【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：2.1.1 函数的概念和图象(一)
苏教版高中必修一数学教案
苏教版高中必修一数学教案学科: 数学年级: 高中一年级教材版本: 苏教版教学内容: 必修一教学目标:1. 知识目标:- 掌握直线的方程和性质- 理解向量的概念和运算规则- 学习平面直角坐标系及其性质2. 能力目标:- 能够解决与直线和向量相关的问题- 能够运用平面直角坐标系解决几何问题- 提高思维逻辑和计算能力3. 情感目标:- 培养学生的数学兴趣和自信心- 培养学生的团队合作和解决问题的能力教学重点和难点:重点:- 直线的方程和性质- 向量的概念和运算规则难点:- 向量的运算及实际问题的应用- 平面直角坐标系的运用教学准备:- 教师备课: 深入了解教学内容，准备教学资料和案例- 学生备课: 阅读相关知识点，做好课前准备教学过程:一、导入(5分钟)教师通过引入一个有趣的问题或事例，引发学生对本节课内容的兴趣，激发学生思考。
二、讲授(25分钟)1. 直线的方程和性质的讲解2. 向量的概念和运算规则的讲解3. 平面直角坐标系的重要性和基本性质的讲解三、练习(15分钟)教师设计一些简单到复杂的练习题，供学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、拓展(10分钟)教师设计一些实际问题，让学生应用所学知识解决，培养学生的解决问题的能力。
五、总结(5分钟)教师对本节课的重点知识进行总结回顾，并提出下节课的预习任务。
教学反思:教师应及时对学生的学习情况进行跟踪和反馈，调整教学方法和策略，提高教学效果。
同时鼓励学生多进行思考和讨论，培养他们的独立思考和解决问题的能力。
苏教版高中数学必修1教案
苏教版高中数学必修1教案教学目标：1.了解集合的概念和基本符号表示；2.掌握集合的运算及其性质；3.能够解决集合的相关问题。
教学重点：1.集合的概念和基本符号表示；2.集合的运算及其性质。
教学难点：1.集合运算的深入理解；2.解决集合相关问题的能力。
教学准备：1.教材《高中数学必修1》；2.多媒体教学设备；3.黑板、粉笔。
教学流程：一、引入新知识（5分钟）1.教师引导学生回顾上节课学到的知识，引出本节课的新课内容。
2.介绍集合的概念和基本符号表示。
二、讲解集合的概念和基本符号表示（10分钟）1.与学生一起讨论集合的定义和基本概念。
2.教师利用多媒体教学设备展示集合的基本符号表示。
三、集合的运算及其性质（15分钟）1.介绍集合的运算：并集、交集和补集。
2.讲解集合的运算性质，并进行相关例题讲解。
四、练习与巩固（15分钟）1.教师设计一些练习题，让学生进行实际操作，并在黑板上进行讲解。
2.指导学生按照课本上的习题进行练习，加深对集合运算的理解。
五、讲解集合相关问题（10分钟）1.与学生一起讨论集合相关问题，引导学生分析解决问题的方法。
2.进行相关例题讲解，让学生理解解题思路。
六、作业布置（5分钟）1.布置课后作业：完成课本上的练习题，并思考解答相关问题。
2.鼓励学生积极思考，主动探究。
教学反思：在本节课中，集中讲解了集合的概念、基本符号表示以及运算性质，并通过多种教学方法帮助学生理解和掌握相关知识。
在未来教学中，我将继续注重学生的实际操作和思辨能力培养，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
苏教版高中数学必修一优秀教案
苏教版高中数学必修一优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：掌握二次函数的基本性质和图像特征，能够画出二次函数的图像，并求解相关问题。
2. 过程与方法：培养学生运用直观的几何方法理解二次函数的性质，培养学生观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点1. 二次函数的基本性质：顶点、对称轴、焦点等。
2. 二次函数的图像特征：开口方向、凹凸性、边界点等。
三、教学难点1. 二次函数图像的绘制：包括顶点、对称轴、焦点等的具体确定。
2. 二次函数性质的应用：能够通过性质解决相关问题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引导学生观察钟摆摆动的过程，引入二次函数的概念，让学生体会二次函数图像的特点和性质。
2. 理解二次函数的基本性质（15分钟）教师通过展示二次函数的标准形式，引导学生理解二次函数的顶点、对称轴等基本性质，让学生说出二次函数图像的大致形状。
3. 绘制二次函数的图像（20分钟）教师通过实例引导学生绘制二次函数的图像，让学生掌握顶点、对称轴的具体确定方法，以及开口方向、凹凸性等特征。
4. 运用二次函数的性质解决问题（15分钟）教师通过实际问题引导学生运用二次函数的性质解决相关问题，培养学生的应用能力和分析能力。
5. 总结与拓展（5分钟）教师对本节课的重点知识进行总结，引导学生思考如何更加灵活地应用二次函数的性质解决问题。
五、课堂作业1. 完成课堂练习题。
2. 思考如何用二次函数模型解决生活中的实际问题，并做相关练习。
六、教学资源1. 教材《苏教版高中数学必修一》2. 教师准备的课件及实物展示材料七、教学反思通过本节课的教学，学生在观察、分析和解决问题的能力有所提高，但在二次函数性质的应用方面还存在一些困难。
下节课需要加强相关练习，帮助学生更加熟练地运用二次函数的性质解决问题。
新教材苏教版高中数学必修第一册全册书学案讲义(知识点考点汇总及配套习题)
苏教版必修第一册学案第一章集合 (2)1.1 集合的概念与表示 (2)1.2 子集、全集、补集 (16)1.3 交集、并集 (28)章末复习 (37)第二章 常用逻辑用语 (41)2.1 命题、定理、定义 (41)2.2 充分条件、必要条件、充要条件 (49)2.3 全称量词命题与存在量词命题 (56)章末复习 (63)第三章 不等式 (67)3.1 不等式的基本性质 (67)3.2 ≤a ＋b 2(a ，b ≥0) (77)3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 ................................................ 96 章末复习 .. (123)第四章 指数与对数 (128)4.1 指数 (128)4.2 对数 ...................................................................................................................... 136 章末复习 .. (150)第五章函数概念与性质 (155)5.1 函数的概念和图象 (155)5.2 函数的表示方法 (172)5.3 函数的单调性 (184)5.4 函数的奇偶性 ...................................................................................................... 199 章末复习 .. (209)第六章 幂函数、指数函数和对数函数 (216)6.1 幂函数 (216)6.2 指数函数 (225)6.3 对数函数 .............................................................................................................. 243 章末复习 .. (260)第七章 三角函数 (266)7.1 角与弧度 (266)7.2 三角函数概念 (285)7.3 三角函数的图象和性质 (320)7.4 三角函数应用 ...................................................................................................... 367 章末复习 .. (376)第八章 函数应用 (385)8.1 二分法与求方程近似解 (385)8.2 函数与数学模型 .................................................................................................. 401 章末复习 .. (418)第一章集合1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念学习任务核心素养1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1．通过集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，如图所示，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．知识点1元素与集合的概念(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？[提示]不去，不清楚自己是不是高个子．集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)接近于－1的数可以组成集合．()(2)一个集合中可以找到两个相同的元素．()(3)组成集合的元素一定是数．()[答案](1)×(2)×(3)×知识点2元素与集合1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A，读作“a不属于A”．2.已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________.4[由题意知a－1＝3，即a＝4.]知识点3常用数集及表示符号名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R3.用“∈”或“∉”填空．3．5________N；－4________Z；0.5________R；2________N*；13________Q.∉∈∈∉∈[因为3.5不是自然数，故3.5∉N；因为－4是整数，故－4∈Z；因为0.5是实数，故0.5∈R；因为2不是正整数，故2∉N*；因为13是有理数，故13∈Q.]类型1集合的概念【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．(1)B(2)②[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]一组对象能组成集合的标准是什么？[提示]判断一组对象是否为集合的三依据：(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．[跟进训练]1．判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2020年在校的所有高个子同学；(4) 3的近似值的全体．[解](1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．类型2元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R②3∈R③6∉Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2 B．3C．4 D．5(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．(1)C(2)2或4[(1)①π是无理数∴π∈R故①正确，3是无理数∴3∈R，②正确.6是无理数∴6∉Q，④0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z正确．(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.]判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[跟进训练]2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素个数为________．3[∵63－x∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素个数为3.]类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1.[解]由题意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．所以a＝－1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤[跟进训练]3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3和－1.符合要求．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3.符合要求．综上所述，a的值为0或－1.课堂达标练习1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根[答案]D2．下列结论不正确的是()A．0∈N B．2∉QC．0∉Q D．8∈ZC[0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形A[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.2[因为方程x2－2x－3＝0的解为3和－1，所以a＋b＝2.]5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，求m的值．[解]由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0.这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．当m＝3时，集合中含有3个元素0,2,3.故m的值为3.回顾本节知识，自我完成以下问题．1．元素与集合是怎样定义的？它们之间是什么关系．[提示]一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？[提示]不要忽视集合中元素的互异性．第2课时集合的表示学习任务核心素养1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举时的运算，培养数学运算的素养.3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)4．了解集合的不同的分类方法.集合是数学中最基本的语言，在今后的数学中，我们都要用到它，要研究集合要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合，为此我们来学习集合的表示方法．当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？知识点1集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn 图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合(1)中国的五岳组成的集合中的元素是什么？怎样列举出来？(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？[提示](1)中的元素为泰山、华山、衡山、恒山、嵩山．(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3.列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合或者根本就不能一一列举的集合．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)0与{0}表示的是同一个集合．()(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,2}．()(3)集合A＝{x∈N|x>5}是用描述法表示的一个集合．()[答案](1)×(2)√(3)√知识点2集合的分类(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．2.(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.(1)是(2)3[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]类型1用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.(2)小于8的质数组成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C.[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，所以C＝{2，－1}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． [跟进训练]1．用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的图象的交点组成的集合D .[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋5，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的交点为(1,3)，所以D ＝{(1,3)}． 类型2 用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．利用描述法表示集合应关注4点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}． [跟进训练]2．用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．[解] (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ 0≤x ≤32，0≤y ≤1. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．类型3 集合表示法的综合应用【例3】 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k 的值组成的集合．[解] 由题意可知，方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根，故k ≠0，且Δ＝64－64k >0，即k <1，且k ≠0.所以实数k 组成的集合为{k |k <1，且k ≠0}．2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k 的取值范围．[解] 由题意可知，方程kx 2－8x ＋16＝0至少有一个实数根．①当k ＝0时，由－8x ＋16＝0得x ＝2，符合题意；②当k ≠0时，要使方程kx 2－8x ＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k ≥0，即k ≤1，且k ≠0.综合①②可知，实数k 的取值范围为{k |k ≤1}．(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想． [跟进训练]3．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }．若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．[解] 集合A 中有两个元素，即关于x 的方程ax 2－3x ＋1＝0有两个不相等的实数根．∴a ≠0，且Δ＝(－3)2－4a >0，解得a <94且a ≠0.类型4 集合相等【例4】 (1)集合A ＝{x |x 3－x ＝0，x ∈N }与B ＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A ＝{1，a ＋b ，a }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.[思路点拨] (1)解出集合A ，并判断与B 是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．(1)是 (2)－1 1 [(1)x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，∴x ＝±1或x ＝0.又x ∈N ，∴A ＝{0,1}＝B .(2)由题意知，a ≠0，故a ＋b ＝0，∴b ＝－a . ∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1.]已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．[跟进训练]4．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ax ，ax 2}．若A ＝B ，求实数x 的值．[解] 若⎩⎨⎧ a ＋b ＝ax ，a ＋2b ＝ax 2，消去b ，则a ＋ax 2－2ax ＝0， ∴a (x －1)2＝0，即a ＝0或x ＝1.当a ＝0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x ＝1时，集合B 中的元素均为a ，故舍去．若⎩⎨⎧a ＋b ＝ax 2，a ＋2b ＝ax ，消去b ，则2ax 2－ax －a ＝0. 又∵a ≠0，∴2x 2－x －1＝0，即(x －1)(2x ＋1)＝0.又∵x ≠1，∴x ＝－12.经检验，当x ＝－12时，A ＝B 成立．综上所述，x ＝－12.课堂达标练习1．用列举法表示集合{x |x 2－2x －3＝0}为( )A ．{－1,3}B ．{(－1,3)}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x －3＝0}A [解方程x 2－2x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.∴集合{x |x 2－2x －3＝0}中有两个元素，用列举法得{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}，故选A.]2．(多选题)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2} D ．{(1,2)} ABD [方程组的解应为有序数对，故A 、B 、D 正确．]3．用描述法表示不等式3x ＋2>5的解集为________．{x |x >1} [由不等式3x ＋2>5得x >1，用描述法可表示为{x |x >1}．]4．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则a ＋b ＝________.1或34 [∵M ＝N ，则有⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎨⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，∴a ＋b ＝1或34.]5．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．[解] 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A 表示y ＝x 2＋3中x 的范围，x ∈R ，∴A ＝R ，集合B 表示y ＝x 2＋3中y 的范围，B ＝{y |y ≥3}，集合C 表示y ＝x 2＋3上的点组成的集合．回顾本节知识，自我完成以下问题．1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？[提示] 列举法、描述法．列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合．描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合．2．对集合的表示有什么要求？[提示] 要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合．一般要符合最简原则．3．通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？[提示]培养数学运算素养和逻辑推理素养．思想方法有等价转化和分类讨论的思想．1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集学习任务核心素养1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？知识点1子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A) 图示①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.1.(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”因为集合A 可能是空集，也可能是集合B.1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A.()(4)若a∈A，则{a}⊆A.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√知识点2真子集的概念与性质(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若A B，B C，则A C.2.{0}与∅相等吗？[提示]不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.2.集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．3[集合A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}共3个．]类型1确定集合的子集、真子集【例1】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．确定子集、真子集的关键点是什么？有什么规律？[提示] 1.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为2n－1个；(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．[跟进训练]1．已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．类型2集合关系的判断【例2】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B.(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A B.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A ⊆B 和A B 同时成立，则A B 更能准确表达集合A ，B 之间的关系． [跟进训练]2．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A ＝{x |x 是12的约数}，B ＝{x |x 是36的约数}；(2)A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是菱形}，C ＝{x |x 是四边形}，D ＝{x |x 是正方形}． [解] (1)因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B .(2)由图形的特点可画出Venn 图如图所示，从而D B A C .类型3 集合之间的包含关系【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． 若B A ，求实数m 的取值范围？集合B 中的元素有何特点？可能为空集吗？m 满足什么条件时B ＝∅.[提示] 集合B 中的元素不确定，随m 的变化而变化．B 可能为空集． 当m ＋1>2m －1时B ＝∅.[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2.(2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧ m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示，∴⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎨⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． [解] 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎨⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论； (2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．[跟进训练]3．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[解] ∵B ⊆A ，∴可以分B ＝∅或B ≠∅讨论．(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上可得m ≥－1.课堂达标练习1．设集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1}，则下列关系正确的是( ) A ．N ∈M B ．N ∉M C ．N ⊇MD ．N ⊆MD [∵1∈{1,2,3}，∴1∈M ，又2∉N ，∴N ⊆M .] 2．(多选题)下列四个集合中，不是空集的为( ) A ．{0}B ．{x |x >8，且x <5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x >4}ACD [满足x >8且x <5的实数不存在，故{x |x >8，且x <5}＝∅.] 3．集合A ＝{x |x (x －2)＝0}，则集合A 的子集的个数为________． 4 [由x (x －2)＝0得x ＝0，或x ＝2，所以A ＝{0,2}． A 的子集有∅，{0}，{2}，{0,2}．] 4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪yx ＝1，则A ，B 的关系是________．B A[∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪yx ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .]5．已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x ≥a }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．a ≥1 [结合数轴知a ≥1.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？[提示] A ⊆B 或A B .从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论．2．本节课中有哪些易错地方？[提示](1)忽略对集合是否为空集的讨论．(2)忽视是否能够取到端点值．3．本节课主要学习了哪些数学思想方法．[提示]分类讨论、数形结合．第2课时全集、补集学习任务核心素养1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)1．通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过金奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？知识点1补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A 的补集，记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：(4)补集的性质①∁S∅＝S，②∁S S＝∅，③∁S(∁S A)＝A.知识点2全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？[提示]不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合．所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．补集符号∁S A有三层含义：(1)A是S的一个子集，即A⊆S；(2)∁S A表示一个集合，且∁S A⊆S；(3)∁S A是S中所有不属于A的元素构成的集合．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.已知全集U＝{－1,0,1}，且∁U A＝{0}，则A＝()A．{－1,1} B．{－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}A[∵U＝{－1,0,1}，∁U A＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3.若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴∁R A＝{x|x≤1}．]类型1全集与补集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，。
【新课标】2018-2019学年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及解析
必修一数学版高中苏教年度学2018-2019）课标（新）1及其表示（义集合的含1.1
§训练后课感受理解【】N ：) 集数自然为其中(题出下列
命给．1baNbNaNaaNN∈②若1 中最小的元素是①值的
最小+则，∈,∈若③-则 2 是
2题个数为其中正确的命，
为的解可表示）4（2. 法表示下列集合举．用列成的集合；
质数构的12①小于成的集合；数组②平方等于本身的
的集合；实数所确定的③由
成的集合组上的点)数的自然5小于为
(线④抛物22MMxxxx为的解-2=0-和方程+6=0-5若方程3. 个数为中元素的则，为元素的集合
可以是组值的取则元素，个3中含有，集合个成一．由4】
用应思考【元素个成的集合里最多有
组所实数．由5组”由“6. 是值的则实数
集合，个成的集合是同一组”由“与成的集合 . 明理由说，若不
确定，来求出请否确定的？若确定，
算：运集
合义．定7，求集合设，集合
2x空集、含一为，解
集时件么条足什别满当分，的方程于关．8 元素？两个元素、
含个 .
已知集合9. A：证求数明：任何整证
(1)设(2)的元素；都是2121】拓展提高【，① 成的集合：构所实数件的两个
条足下列满是设9.则，，②若：问题解答下列请
这两个数，求出两个数中必有另外则，）若1（；
则，：若证）求2（a S明理由；请说？个中元素能否只有一）在集合3（S. 不同的元素个中至少有三：集合证）求4（。
2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：2.1.1 函数的概念和图象(一)
2．1.1函数的概念和图象(一)学习目标 1.理解函数、定义域、值域的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数符号，会求简单函数的定义域、值域．知识点一函数的概念思考初中是用两个变量之间的依赖关系定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，是函数图象？梳理设A，B是两个非空的数集，如果按某种____________，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为______________．其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．知识点二判断两个变量是否具有函数关系的方法思考用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；(2)；(3)；；(5).梳理(1)如果一个输入值对应到唯一的输出值，就称这种对应为单值对应．(2)检验两个变量之间是否具有函数关系的方法①定义域和对应法则是否给出；②根据对应法则，确认是否为两个非空数集上的单值对应．知识点三值域思考下图所示的“箭头图”表示的对应关系是否为函数？如果是，3是不是输出值？梳理若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．对于函数f：A→B而言，如果值域是C，那么C⊆B，不能将B当作函数的值域．类型一函数关系的判断命题角度1给出三要素判断是否为函数例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断(1)A，B必须是非空数集．(2)A中任何一个输入值在B中必须有输出值与其对应．(3)A中任何一个输入值在B中必须有唯一一个输出值与其对应．跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是________．(填序号)①A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→1|x|；。
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最新整理高一数学教案苏教版高中数学必修1全套学案.docx最新整理高一数学教案苏教版高中数学必修1全套学案§1.1集合的含义及其表示（1）教学目标1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．考纲要求1．知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.课前导学1．集合的含义：构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示：.（2）集合中的元素的特性：.（3）元素与集合的关系：（i）如果a是集合A的元素，就记作__________读作“___________________”；（ii）如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”.思考构成集合的元素是不是只能是数或点？答2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________，整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.3．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1）________________________叫做有限集；（2）________________________叫做无限集；（3）_______________叫做空集，记为_____________4.集合的表示方法：（1）________________________叫做列举法；（2）________________________叫做描述法.（3）_______________叫做文氏图例题讲解例1、下列每组对象能否构成一个集合？(1)高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)所有正三角形的全体；(4)方程的实数解；(5)不等式的所有实数解.例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作；②直线上点的集合记作；③不等式的解组成的集合记作；④方程组的解组成的集合记作；⑤第一象限的点组成的集合记作；⑥坐标轴上的点的集合记作.例3、已知集合,若中至多只有一个元素，求实数的取值范围.课堂检测1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________2．已知2a∈A，a2-a∈A，若A含2个元素，则下列说法中正确的是①a取全体实数；②a取除去0以外的所有实数；③a取除去3以外的所有实数；④a取除去0和3以外的所有实数3．已知集合，则满足条件的实数x组成的集合教学反思§1.1集合的含义及其表示（2）教学目标1．进一步加深对集合的概念理解；2．认真理解集合中元素的特性；3.熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性.考纲要求3．知道常用数集的概念及其记法.4．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.课前导学1．集合，则集合中的元素有个.2．若集合为无限集，则.3.已知x2∈{1，0，x}，则实数x的值.4.集合,则集合=.例题讲解例1、观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1)(2)(3)例2、含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求.例3、已知集合，若,求的值.课堂检测1.用适当符号填空：(1)(2)2．设,集合，则.3．将下列集合用列举法表示出来:教学反思§1.2子集全集补集（1）教学目标1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.考纲要求1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.课前导学1．子集的概念及记法：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（），则称。
苏教版高中数学必修1教案5篇
苏教版高中数学必修1教案5篇苏教版高中数学必修1教案5篇教案是以系统方法为指导。
教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。
下面小编给大家带来关于苏教版高中数学必修1教案，方便大家学习苏教版高中数学必修1教案1教学目标：(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的属于和不属于关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点：掌握集合的基本概念;教学难点：元素与集合的关系;教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程的解;(5) 某校2023级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
2018版高中数学苏教版必修一学案2.2.1 函数的单调性(一)
．函数的单调性(一)
学习目标.理解函数单调区间、单调性等概念.会划分函数的单调区间，判断单调性.会用定义证明函数的单调性．
知识点一函数的单调性
思考画出函数()＝、()＝的图象，并指出()＝、()＝的图象的升降情况如何？
梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
设函数＝()的定义域为，区间⊆.
()如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有()<()，那么就说＝()在区间上是单调增函数，称为＝()的单调增区间．
()如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有()>()，那么就说＝()在区间上是单调减函数，称为＝()的单调减区间．
单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
知识点二函数的单调区间
思考我们已经知道()＝的单调减区间为(－∞，]，()＝的单调减区间为(－∞，)，这两个单调减区间的书写形式能不能交换？
梳理一般地，有下列常识
()函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
()单调区间⊆定义域.
()遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
类型一求单调区间并判断单调性
例
如图是定义在区间[－]上的函数＝()，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间。
最新苏教版2018-2019学年高中数学必修一1.3《交集、并集》一等奖教学设计
§1.3 交集、并集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．交集(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____，A∩B＝A⇔______.2．并集(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪∅＝____，A∪B＝A⇔______，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、填空题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．①A⊆B；②B⊆C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b ＝______.二、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C ＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B ＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A 但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§1.3 交集、并集知识梳理1．(1)所有属于集合A 且属于集合B 的 A ∩B (2){x|x ∈A ，且x ∈B} (4)B ∩A A ∅ A ⊆B 2.(1)由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B (2){x|x ∈A ，或x ∈B} (4)B ∪A AA B ⊆A⊆ ⊆作业设计1．{0,1,2,3,4}2．{x|－1≤x<1}解析 由交集定义得{x|－1≤x ≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．3．④解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C.4．{(3，－1)}解析 M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.5．3解析依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3.6．②解析∵N M，∴M∪N＝M.7．0或1解析由A∪B＝A知B⊆A，∴t2－t＋1＝－3①或t2－t＋1＝0②或t2－t＋1＝1③①无解；②无解；③t＝0或t＝1.8．1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1. 9．－1 2解析∵B∪C＝{x|－3<x≤4}，∴A(B∪C)，∴A∩(B∪C)＝A，由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.10．解由A∩C＝A，A∩B＝∅，可得：A＝{1,3}，即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A.∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，得a ＝0或a ＝12. 12．6解析 x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6.13．解 符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}．②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}．③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．。
2018版高中数学苏教版必修一学案：2.2.1函数的单调性(二)
2.2.1 函数的单调性(二)【学习目标】1•理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义2会借助单调性求最值.3•掌握求二次函数在闭区间上的最值.ET向题导学 -------------------------知识点一函数的最大(小)值思考在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？i为什么不是最小值？梳理设y= f(x)的定义域为A.如果存在x o€ A，使得对于任意的x€ A,都有f(x) w f(X o)，那么称f(x o)为y= f(x)的最大值，记为y max= f (x o).如果存在x o€ A，使得对于任意的x€ A,都有f(x)>f(x°)，那么称f(x o)为y= f(x)的最小值，记为y min = f(x o).知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y = x2, x€ [ —1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.梳理函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点.知识点三函数的单调性与最值若函数y = f(x)在区间［a, b］上是单调增函数，则函数的最小值为y min = f(a)，最大值为y max=f(b);若函数y= f(x)在区间［a, b］上是单调减函数，则函数的最小值为y min =f(b),最大值为y max= f(a).即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值.题型探究类型一借助单调性求最值x例1已知函数f(x) = x?+ 1 (x>0)，求函数的最大值和最小值.反思与感悟(1)若函数y= f(x)在区间［a, b］上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2) 若函数y = f(x)在区间［a , b］上为单调减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3) 若函数y = f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)•函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.⑷如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f(x)=|x+ 1|+ |x- 1|.(1) 画出f(x)的图象；(2) 根据图象写出f(x)的最小值.类型二求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x) = x2-2x- 3，若x€ [0,2]，求函数f(x)的最值；⑵已知函数f(x) = x2- 2x- 3，若x€ [t, t + 2],求函数f(x )的最值；⑶已知函数f(x) = x-2 .x-3,求函数f(x)的最值；(4) “菊花”烟花是最壮观的烟花之一•制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂•如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=— 4.9t2+ 14.7t+ 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.跟踪训练2 ⑴已知函数f(x) = x4—2x2-3,求函数f(x)的最值；⑵求二次函数f(x)= x2—2ax+ 2在［2,4］上的最小值；⑶如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷c 5 5 出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h = —x2+ 2x+ 5, x€ ［0,刁,求水流喷出的高度h的最大值是多少?类型三函数最值的应用例3已知X —x+ a>0对任意x€ (0,+^ )恒成立，求实数a的取值范围. 引申探究1若将本例中“ x€ (0 ,+s)”改为“ x€ (- ,+^)”，再求a的取值范围.反思与感悟恒成立的不等式问题，任意x€ D, f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题: 来解决.任意x€ D , f(x)<a恒成立？ f(x)max<a.当最值不存在时，可求值域，但要注意值的变化. 跟踪训练3已知ax2+ x w 1对任意x€ (0,1］恒成立，求实数a的取值范围.f(x)min >a a的取ET当堂训练 -------------------------11 .函数y= —x+1在区间【2，2］上的最大值是_________ •12.函数f(x) =-在［1 , +m)上的最大值为____________ .x3 .函数f(x)= x2, x€ ［—2,1］的最大值，最小值分别为______ .2x+ 6, x€ ［1 , 2］,4 .已知函数f(x)「则f(x)的最大值，最小值分别为__________ .x+ 7, x€ ［—1 , 1 )15 .若不等式—x+ a + 1> 0对一切x€ (0,刁恒成立，则a的最小值为____________ .规律与方法------------------------------- 11.函数的最值与值域、单调性之间的联系1(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y=二如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.⑵若函数f(x)在闭区间［a, b］上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).2 .二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y= f(x)的草图，然后根据图象的增减知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4,最小的函数值为 2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.知识点二思考x= ±1时，y有最大值1,对应的点是图象中的最高点，x = 0时，y有最小值0,对应的点为图象中的最低点.题型探究例1解设X i, X2是区间(0,+ g )上的任意两个实数，且X l<X2,贝y f(x i) - f(X2)= - 一 2 2X2+ 1 x2+ 1X i x2 + 1 一X2 X1 + 1盟+ 1/2+ 1 )X2 - X1 X2X1 - 1(x1 + 1 (x2+ 1 )当X1<X2^ 1时，x2—X1>0 , X1X2—1<0 ,f(X1 ) - f(X2)<0 , f(X1)<f(X2),••• f(x)在(0,1］上为单调增函数；当 1 < X1<X2 时，X2- X1>0 , X1X2- 1>0 ,f(X1 ) - f(X2)>0, f(X1)>f(X2),• f(x)在［1 , + g)上为单调减函数.1•- f(x)max= f(1) = 2，无最小值.跟踪训练1解(1)f(x)的图象如图.⑵由图知，f(x)在(一g, —1］上为单调减函数，在［—1,1］上为常函数，在［1，+g )上为单调增函数，…f(X )min = 2.例2 解 ⑴•••函数f(x)= x 2- 2x — 3开口向上，对称轴 x = 1,••• f(x)在［0,1］上为单调减函数，在［1,2］上为单调增函数，且 f(0) = f(2). …f(x) max = f (0) = f(2) =—3,f(x) min = f(1) = —4. (2) •••对称轴 x = 1,① 当1> t + 2即t w - 1时，2f(x)max = f(t) = t — 2t — 3,2f(x) min = f(t + 2) = t + 2t — 3.t + t + 2② 当一2— w 1<t + 2,即一1<t w 0 时， f(x)max = f(t) = t 2— 2t — 3, f(x) min = f(1) =—4・t + t + 2 ③当t w 1<2 ，即0<t w 1时,2f(x) max = f(t + 2) = t + 2t — 3, f(x) min = f(1) = — 4. ④当1<t ，即t>1时，2f(x) max = f(t + 2) = t + 2t — 3,2f(x) min = f(t)= t — 2t — 3. 设函数最大值为g(t),最小值为 以t)，则有—2t — 3 t w 0 ,+ 2t — 3 t>0 ,_ 2t 2+ 2t — 3 t w — 1 ,<^(t) = — 4 — 1<t w 1 ,I 2t 2— 2t — 3 t>1 .(3) 设 x = t(t > 0)，贝U x — 2 x — 3 = t 2— 2t — 3.t 2 g(t) = ° t 2由⑴知y= t2—2t—3(t >0)在［0,1］上为单调减函数，在［1,+^)上为单调增函数.• ••当t= 1 即X= 1 时，f(X)min =—4，无最大值.⑷作出函数h(t) = — 4.9t2+ 14.7t+ 18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t) = —4.9t2+ 14.7t + 18,我们有：当t=—= 1.5时,2X( —4.9 )4 X (— 4.9 X 18—14.72函数有最大值h= - 29.4X (— 4.9)于是，烟花冲出后 1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练 2 解(1)设x2= t(t > 0)，贝U x4—2x2— 3 = t2—2t —3.y= t2—2t—3(t > 0)在［0,1］上为单调减函数，在［1 , + )上为单调增函数..•.当t= 1 即x= ±1 时，f(x)min = —4,无最大值.(2) •/函数图象的对称轴是x= a,•••当a<2时，f(x)在［2,4］上是单调增函数，•• f(x) min = f(2)= 6 —4a.当a>4时，f(x)在［2,4］上是单调减函数，•f(x) min = f(4) = 18—8 a.当2< a W 4 时，f(x)min = f(a) = 2—a2.6 —4a, a<2,…f(x) min =i 2 —a , 2 W a W 4,18 —8a, a>4.2 5 5⑶由函数h= —x2+ 2x+ 4, x€ [0 , ^]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点. 此时函数取得最大值.2 5 5对于函数 h =— x + 2x + 4, x € ［0 ,㊁］, 当x = 1时，函数有最大值2 5 9h max = — 1 + 2 X 1 + ：=匚. 4 4、 9于是水流喷出的最高高度是 9 m.4 例3解方法一令y = x 2— x + a ,4a — 1i + m )恒成立，只需y min =h>°，解得a >;.1•••实数a 的取值范围是(-,+ g ).方法二 x 2— x + a>0 可化为 a> — x 2 + x. 要使a> — x 2 + x 对任意x € (0, + g )恒成立, 丿 I2 只需 a>( — x + x)1•实数a 的取值范围是(-,+ g ).引申探究1解f(x)=— x 2 + x 在(2，+ g )上为单调减函数,1• f(x)的值域为(一g, 4),2 1要使a> — x + x 对任意x € q+ g )恒成立，1只需a > 1，1• a 的取值范围是［4, + g ).跟踪训练3解■/ x>0,要使x 2 — x + a>0对任意x € (0, 又(一x + x) max = 4 , 1 • a >4.max ,2 1 1•ax + x< 1 可化为a<.x x要使a<吉―x对任意x€ (0,1］恒成立，只需a<（X2—x）min.设t = X, •/ x€ （0,1] ,••• t> 1. 入2 11当t = 1 时，（t2—t）min= 0，即X= 1 时，$ —X）min = 0 , …a w 0.• a的取值范围是（一g, 0].当堂训练1 11.22.13.4,04.10,65. —§。
2018版高中数学苏教版必修一学案：2.1.1第1课时函数的概念和定义域
；第2章函数2. 1函数的概念2. 1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念和定义域学习目标1理解函数的概念(难点)；2.了解构成函数的要素(重点);3.会求一些简单函数的定义域和函数值(重点).|课前预习白i堂习、乩淀基叫预习教材P23-25的例2,完成下面问题：知识点一函数的概念设A, B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x)，x€ A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y= f(x)的定义域.【预习评价】试用函数的定义判断下列对应是不是函数?(1) f:求周长，A=｛三角形｝，B= R;y123x123y12提示(1)不是，因为集合A不是数集.(2) 是•对于数集A中的每一个x,在数集B中都有唯一确定的y和它对应.(3) 是•对于数集A中的每一个x,在数集B中都有唯一确定的y和它对应.(4) 不是•一个x= 1,对应了三个不同的y,违反了“唯一确定”.(5) 不是.x= 3没有相应的y与之对应.检验两个变量之间是否具有函数关系的方法：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.只有当(1)(2)同时满足时，y才是x的函数.知识点二函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应法则，值域.(1) 定义域定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.(2) 对应法则对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x,可得到值域{y|y= f(x)且x € A}中唯一确定的y与之对应.(3) 值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定.【预习评价】1. 下列图形可以表示为以M = {x|O W x< 1}为定义域，N = {x|O W x< 1}为值域的函数是________ 填序号).解析根据函数定义任意实数x对应唯一实数y,所以(3)正确. 答案(3)XI —52. 函数y=x —4》0, 解析依题意有故定义域为{x|4<x v5,或x>5}.g ±答案{x|4< x v 5,或x>5}知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,我们就称这两个函数相等. 【预习评价】下列各组函数中，表示同一函数的是_________ (填序号).x ⑴y= 1, y= x(2) y= x-1 • x+ 1, y= ：x2-1(3) y= x, y= ^x3(4) y= xi, y= ( x)2解析四个表达式中对应法则和定义域均相同的只有(3),故填(3).答案(3)课堂互甬，厅如•宪题型一函数概念【例1】判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数.(1)A= R, B = {y|y>0}, f: X T y= XI；(2)A=Z , B = Z , f: X T y = x2;(3)A=Z , B = Z , f: X T y= x;(4)A= {x|—1< X< 1} , B= {0} , f: x T y= 0.解(1)当取值为0时A中在B中没有对应值，故不是集合A到集合B的函数.(2) 对于集合A中的任意一个整数X,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.(3) 集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的值，故不是集合A到集合B的函数.(4) 对于集合A中任意一个实数X,按照对应法则f: X T y= 0在集合B中都有唯——个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.规律方法(1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：① A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中有唯一确定的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.【训练1】下列对应或关系式中是A到B的函数的有__________ .①A€ R，B€ R，x2+ y2= 1;②A= {1,2,3,4}，B = {0,1}，对应关系如图：③A= R，B= R，f: x T y = x—2④人二Z，B= Z，f: X T y= 2x— 1.解析 对于①，X + y 2= 1可化为y =± :j — X 2,显然对任意x3, y 值不唯一， 故不符合；对于②，符合函数的定义；对于③，2 3,但在集合B 中找不到与之 相对应的数，故不符合；对于④，—13,但在集合B 中找不到与之相对应的数， 故不符合. 答案② 题型二 求函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: 解(1)要使函数有意义，自变量X 的取值必须满足所以函数的定义域为{x|x < 1,且x M — 1} •(2)要使函数有意义，必须满足|x| — X M 0,即x|M x , •'x < 0.•••函数的定义域为{x|x < 0} •规律方法 (1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：①负数不能开偶次方，所以偶 次根号下的式子大于或等于零；②分式中分母不能为0;③零次幕的底数不为0;④ 如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合； ⑤ 如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是 一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.【训练2】 求下列函数的定义域：x + 1工 0， $ 1— x > 0， X M —1，即彳x< 1. (1沪 x + 1 ⑵尸IX —；‘ 0⑴戸探;____ 1 1(2)尸Aj^3 -^J^—；+1 解⑴由于0°无意义，故x+ 1工0,即X M — 1.又x+ 2>0, x>—2,所以x> — 2 且X M — 1.‘ 0(x+ 1 )所以函数尸一的定义域为{x|x> —2,且X M — 1}.寸X+ 1 22+ 3> 0,(2)要使函数有意义，需2—x>0,X M 0,3解得—2= x<2,且X M0,/ ------- 1 1 3所以函数尸寸2x+ 3— ----------- +x的定义域为* —齐x<2,且X M 0A/2 —x x、22【探究1】已知f(x) = 1+x(x€ R，且X M — 1), g(x) = x2+ 2(x€ R).(1)求f(2), g(2)的值;⑵求f(g(3))的值.1 _ 11 + 2_ 32 2又-.g(x)_ x + 2,/g(2)_2 + 2_ 6.(2)・.g(3)_ 32+ 2_ 11,1 1 ••f(g(3))_ f(11)_ _ 12.1+11 121【探究2】已知f(x) _ (x€ R, X M2), g(x) _x+ 4(x€ R).2 —x(1) 求 f(1), g(1)的值；(2) 求 f(g(1)), g(f(1))的值；(3) 求 f(g(x)), g(f(x))的表达式.1解 (1)f(1)= = 1, g(1) = 1+ 4 = 51 1⑵f(g ⑴)=f(5)=三一 3, g(f(1)) = g(1)= 1+ 4= 5.(3)f(g(x)) = f(x + 4)=2x 【探究3】 已知函数f(x) = 1+2.1 1(1) 求 f(2)与 f (2), f(3)与 f(3)；1(2) 由(1)中求得结果，你能发现f(x)与址)有什么关系？并证明你的发现; 1 1 1⑶求 f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2 016)+f(2)+f (3)+…+的值. 卄 .......... x 2 224解(1)・.f (x)= ,「f (2)= = 4,1+ x 1 + 2 51 g(f(x)) = □= 1 +4. 2 — x-21- 2 + 1- 5-11(3)由(2)知:f(2) + f (2)= 1, 1 1f(3)+ f (3)= 1,…，f(2 016)+ f (2丽=1,1 + 1 + 1 +…+ 1•••原式=2+ = 2 015+ 2=生031规律方法 (1)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.函数的定 义域和对应法则一经确定，值域随之确定.(2) f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为 f 与x 的乘积.在不同的函数中f 的具体含义不同，对应法则可以是解析式、图 象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.(3) 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解 析式计算，对于f(g(x))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与 g(f(x))的区别.课堂反馈 自：反氷呛別示姦课堂达标1. 有对应法则f :x(1) A = {0,2}，B = {0,1}，xp ;1 f(x) + f (x )= x 2 x 2 1 = 2+ 2 = 1 + — 2 1 + x 1 + x1.解析(2)(3)中，当x= 0时，B中不存在数值与之对应；(5)中，集合A不是数集答案(1)(4)2. 已知集合A= B= R, x€ A, y€ B,对任意x€ A, x—ax+ b是从集合A到集合B的函数，若输出值1和8对应的输入值分别为3和10,则输入值5对应的输出值为_________ .r f3a+ b= 1, a= 1,解析由题意得解得l10a+ b = 8, [b=—2,所以对应法则f: x—x —2,故输入值5对应的输出值为3.答案33. 函数f(x)="tj的定义域为x+ 1、/4—x 4- x>0,解析要使函数f(x)二有意义，需满足解得x< 4且X M —1,x+ 1 x+ 1工0,Y4—x所以函数f(x)= •的定义域为{xx<4,且X M —1}.x+ 1答案{x|x< 4,且X M —1}4. _______________________________________________________________ 函数f(x)对任意自然数x 满足f(x+ 1) = f(x) + 1, f(0)= 1,则f(5) = ____________解析f(1)=f(0)+ 1= 1 + 1 = 2, f(2)= f(1)+ 1 = 3, f(3)= f(2)+ 1 = 4, f(4) = f(3)+ 1= 5, f(5) = f(4) + 1= 6.答案65. 已知函数f(x)=x+2.(1)求f(2)；(2)求f(f(1)).x+ 1•f(2)=2+ 1_3 2+ 2 = 4(1)-f(x) =x+ 2课堂小结(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应法则•函数的定义域和对应法则共同 确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对 应法则不一定相同•如y = x 与y = 3x 的定义域和值域都是R ，但它们的对应法 则不同，所以是两个不同的函数.2 (2) A = { - 2,0,2}，B = {4}，x — x ；(3) A = R ，B = {yy > 0}，x —卡;(4) A = R ，B = R ，x — 2x + 1;(5) A ={(x , y)|x , y € R }，B = R ，(x ，y) — x + y.其中能构成从集合A 到集合B 的函数的有 __________ (填序号). (2)f(1) = 1 +- 2+ 35-8 -。
2018版高中数学苏教版必修一学案：1.1-第2课时-集合的表示
第2课时集合的表示学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法的格式及其适用情形.3.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换.4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念．知识点一列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？梳理列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，这种表示集合的方法称为列举法一般形式{a1，a2，a3，…，a n}知识点二描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？梳理描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来的方法称为描述法一般形式{x|p(x)}(其中x为集合的代表元素，p(x)是指元素x具有的性质)知识点三Venn图图示法画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合的方法称为图示法，或称为Venn 图法一般形式知识点四集合相等、有限集、无限集、空集思考1集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}元素是否完全相同？思考2集合A＝{x∈R|x2<1}，B＝{x∈N|x2<1}，C＝{x∈R|x2<－1}中的元素各有多少个？梳理(1)如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等，记作A＝B.(2)含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅.类型一用列举法表示集合例1用列举法表示以下集合．(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．跟踪训练1用列举法表示以下集合．(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示以下集合．(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号．(2)说明该集合中元素的性质．(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．(4)在描述法的一般形式{x|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，“p(x)”是集合中元素x 的共同特征，竖线不可省略．跟踪训练2用描述法表示以下集合．(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示以下集合．(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3假设集合A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是________．反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依据，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．跟踪训练4定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是________．(用列举法表示) 3．设A＝{x|1≤x<6，x∈N}，则用列举法表示A为________．4．第一象限的点组成的集合可以表示为________．5．以下集合不等于由所有奇数构成的集合的是________．(填序号)①{x|x＝4k－1，k∈Z}；②{x|x＝2k－1，k∈Z}；③{x|x＝2k＋1，k∈Z}；④{x|x＝2k＋3，k∈Z}．1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．假设元素个数比较少用列举法比较简单；假设集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被外表的字母形式所迷惑．答案精析问题导学知识点一思考把它们一一列举出来．知识点二思考不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．知识点四思考1用列举法表示两个集合，即A＝{…，－1,1,3,5，…}；B＝{…，－1,1,3,5，…}．所以A与B尽管形式不一样，但它们所含的元素完全一样，故A＝B.思考2A＝{x∈R|－1<x<1}，元素无限多个；B＝{0}，元素只有一个；C中没有元素．题型探究例1解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．跟踪训练1解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．例2解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x|x2－2＝0}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x|10<x<20，x∈Z}．引申探究解{(x，y)|y＝x2－2}．跟踪训练2解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y ＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．例3解(1)列举法：{0,2,4}；描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．跟踪训练3解析由A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．例417解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．跟踪训练46解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.当堂训练1．{1} 2.{(1，－2)} 3.{1,2,3,4,5} 4．{(x，y)|x>0且y>0} 5.①。
2018版高中数学苏教版必修一学案：2.1.1第2课时函数的图象和值域
第2课时函数的图象和值域学习目标 1.会画一些简单函数的图象(重点)；2.求一些简单函数的值域(重、难点)•I课前預习I 窿鑒繼lliillillll鑫養IIIII1鑒lillill醫管至輩SKI題離基郵预习教材P25—30,完成下面问题：知识点一函数图象的概念将自变量的一个值X0作为横坐标，相应的函数值f(X0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(X0, f(X0)) •当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为｛(x, y)|y= f(x), x€ A｝，所有这些点组成的图形就是函数y= f(x)的图象.【预习评价】下列图形中，不可能是函数y=f(x)的图象的是____________ .① ② ③ ④解析由函数定义知，一个x只能对应一个y值，而在④中当x>0时，一个x 值有两个y值与之对应；所以④不可能是函数y= f(x)的图象.答案④知识点二常见函数的图象【预习评价】x+1, x q —1, 0],已知f(x) = 2则关于图中函数图象的说法正确的是l x2+1, x q o, 1],________ 填序号).(1)是f(x—1)的图象；(2)是f(—x)的图象；⑶是f(xi)或|f(x)|的图象；(4)以上说法都不对.解析对于(1),当一1 <x< 0时，f(x)二x+ 1为上升的直线，与图中的所示不符,故(1)错误，根据图象又知⑵(3)均错误，(4)正确.答案⑷知识点三求函数值域的常见方法(1) 观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域求出函数的值域.⑵配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y= ax2+ bx+ c(a^ 0)型的函数, 则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为反比例函数类型的形式，便于求值域.【预习评价】11. ------------------------------ 已知函数f(x) = ___________ 2，贝U f(x)的值域是2x—x解析--2x—x2= —(x—1)2+ K 1,所以f(x)= '的值域为(一％, 0)屮,2x —x+ 8).答案(—8, 0)U [1 ,+8 )22. ___________________________________________ 函数y=x —x(—K x< 4, x®)的值域是_________________________________________ .解析由x=—1,0,1,2,3,4,代入解析式即得y€{0,2,6,12}.答案{0,2,6,12}课堂互甬「迎「，可如穷题型一画函数的图象【例1】画出下列函数的图象：(1) y= x2+ x, x€ { —1,0,1,2,3};(2) y= x2+ x, x€ R;(3) y= x2+ x, x€ [ —1,1).解(1)列表：描点得该函数的图象如图: 故函数对称轴为x=—2顶点为i—1，- 4.又y =x 2 + x 开口向上，且与x 轴，y 轴分别交于点(一1,0), (0,0). 故图象如图：(3)y = x 2 + x , x q — 1,1)的图象是y = x 2 + x , x ^R 的图象上x q — 1,1)的一段，其中 点(—1,0)在图象上，用实心点表示；点(1,2)不在图象上，用空心点表示：27\ .B 11X规律方法 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线•作图象时一般应先 确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.⑵函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键 点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关 键点是实心点还是空心点.【训练1】 画出下列函数的图象： (1) y = x + 1(x < 0);2(2) y = x — 2x(x > 1，或 x v — 1).解(1)y =x + 1(x <0)表示一条射线，图象如图(1).2(2)y = x + x = x +12-4,(2) y= x2—2x= (x—1)2—1(x> 1,或x v —1)是抛物线y=x2—x 去掉—1<x< 1 之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二函数图象的变换【例2】分别在同一坐标系中作出下列两组函数的图象，并探究它们图象之间的关系？(1) y= x, y= XI, y= X—1|；2 2 2(2) y= x , y= (x—1) , y = (x—1) + 1.解⑴在同一坐标系中分别用描点法作出它们的图象，如图.首先作出y=x的图象，当作完y= xi的图象时，我们发现只要把y=x在x轴下方的图象翻折到x轴上方，就能得到y= |x|的图象，如果再把y=|x|的图象向右平移一个单位，就得到y= |x—1|的图象.⑵在同一坐标系中用描点法分别作出它们的图象，如图.由图象可以看出，把y= x2的图象向右平移一个单位得y= (x—1)2的图象，把y=(x—1)2的图象向上平移一个单位得到y= (x—1)2+ 1的图象.规律方法(1)函数图象的平移变换：①左右平移：y=f(x)的图象向右(a>0)或向左(a v0)平移|a|个单位得到y=f(x—a) 的图象.②上下平移：y= f(x)的图象向上(a>0)或向下(a v0)平移|a|个单位得y=f(x) + a的图象.(2)函数图象的对称变换：①y= f(- x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称；②y=- f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称；③y=- f( —x)的图象与y= f(x)的图象关于原点对称；④y= |f(x)|的图象是保留y=f(x)的图象中位于x轴及其上方的部分，将y= f(x)的图象中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到；⑤y= f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y 轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到.【训练2】试画出下列函数的图象：2(1沪2(2)y= x，x€ [ —2,1)且X M0；(3)y=x+r解(1)如图：2(2)y=】，在x q —2,1)上的一段，如图:5•函数的值域为{y|y M 4}.2 2⑶由y = x 向左平移一个单位得戸不的图象'如图:考查方向题型三求函数的值域方向1:【例3—1】 求函数的值域：y = x - 1. 解••: x > 0,\ x — 1 > — 1.•••函数y = x — 1的值域为［—1,+x ). 方向2:分离常数法5x — 1【例3-2】求y =戸的值域.5 10 5 145x — 1 44x + 2 —1 —7 44x + 2 —忆 y^=4x + 2 4x + 2 4x + 25742(4x + 2j.7 2 4x + 2 .°y M 54.方向3：换元法【例3 —3】求y= x + 2x—1的值域.解设u=- ：2x—1(x> 1),1+ u2则x= 2 (u》0),2 21 + u (u+ 1)•°y= ~2~ + u= 2 (u》0) •由u》0知(u+ 1)2》1,1• 2-•函数y=x+ 2x—1的值域为［2,+^).方向4:数形结合(图象法)【例3 —4】设函数f(x)= 1 —2x2, g(x) = x2—2x,若F(x)=l眇)'fx)》gx)，fx), f(x)vg(x),求函数F(x)的值域.解作出F(x)的图象，如图所示(图中实线部分)，当f(x) = g(x)时，即1 —2x2= x21 1 7 ( T\—2x,解得x= —3或X= 1, f(—3)= 9则由图可知F(x)的值域为一X,-.规律方法(1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数y= x2—2x+ 3的值域与函数y= x2—2x+ 3, x€[0,3)的值域是不同的.(2) 在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化.cx+ d cx+ d(3) 分离常数法即将形如y= @工0)的函数分离常数，变形过程为=ax+ b ax+ bc , , be , be , bca ax+ b+ d—石c d—7 d —7=a + ，再结合x 的范围确定 的取值范围，从而确定 ax + b aax + b ax + b函数的值域. I 课堂反馈I!■■■麗■■靈鐘■麗謹噩自生MM 龍颐咸魏课堂达标1.函数 f(x) = X 2 + x — 2(— K x < 2)的值域为 ____ . 解析 作出函数y = x 2+x —2, x q —1,2］的图象，观察图 Ly象可知值域为 2\ ..[-9, 4]. -2 4!c 1 >1 i v1 i K 2x 9答案[—4, 4]ii I J 1 il ^3^L112 .函数y = 2 +彳的图象可以看成由函数y — x — 1的图象沿x 轴方向向____________ 移 ______________ 单位长度，再沿y 轴方向向 _______________ 移 ____________ 单位长度而得到.1 1 解析 函数y =2 + ------ 的图象可以看成由y = x 的图象向右平移1个单位长度，x — 1 x再向上平移2个单位长度而得到. 答案右 1 上2113.函数v =—r 的图象可以看作是由函数 v = -的图象沿x 轴方向向平7x +1 x ------------移 ________ 单位长度而得到.1 1解析 函数y = ——的图象可以看作是由函数y =-的图象沿x 轴方向向左平移1x +1 x个单位长度而得到. 答案左14 .函数 y = 2x + 1, x € {1,2,3,4,5}的值域是 ________ .解析由题意可得y§3,5,7,9,11}.答案{3,5,7,9,11}5•已知二次函数f(x)= x2+ bx+ c 满足f(2)= f( —1),试比较f(—2), f(0), f⑵的大小.1解由f(2) = f( —1)得该二次函数的对称轴是x=2,则f( —2) = f(3),又开口向上，由图象易知f(0)v f(2)v f(3), 即卩f(0)v f(2)v f( —2).课堂小结1•作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.2•在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确.3.分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，贝U该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象•。
2018版高中数学苏教版必修一学案：2章末复习课
章末复习课网络构建核心归纳1．映射与函数已知A，B是两个非空集合，在对应法则f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B.由定义可知在A中的任意一个元素在B中都能找到唯一的对应元素，而B中的元素在A中未必有对应元素．若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个对应元素，则这样的映射叫做从A到B的一一映射．函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应法则．两个函数只有当定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数．2．函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2，得x2－x1>0；②作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论．(3)证明函数单调性的等价变形：(1)f (x )是单调递增函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0；(2)f (x )是单调递减函数⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0.3．函数的奇偶性对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)→⎩⎨⎧f (－x )＝－f (x )⇔f (x )为奇函数，f (－x )＝f (x )⇔f (x )为偶函数.性质：①函数y ＝f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． ②函数y ＝f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称．③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数f (x )在x ＝0处有定义时，必有y ＝f (x )的图象过原点，即f (0)＝0.要点一 函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性入手，分析函数的图象及其变化趋势，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．【例1】 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n .比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x . 任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1时，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.【训练1】求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1(x ＜0)，x (0≤x ＜1)，2(1≤x ≤2)的定义域和值域．解 函数的定义域为(－∞，0)∪[0,1)∪[1,2]＝(－∞，2]． 当x ＜0时，x －1＜－1，∴－1＜1x －1＜0，即－1＜f (x )＜0；当0≤x ＜1时，0≤f (x )＜1；当1≤x ≤2时，f (x )＝2. 故函数f (x )的值域为{y |－1＜y ＜1，或y ＝2}．要点二 函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．【例2】 对于函数f (x )＝x 2－2|x |. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． 图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ≥0)，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＜0).画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)； 单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．【训练2】 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．解析 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x ≤1，32x ＋12， 1<x ≤5，x 2－4x ＋3 x >5.f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2. 答案 2要点三 抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题．【例3】 函数f (x )对一切实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性，并说明理由． 解 方法一 设任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0.由条件x >0时，f (x )>0， ∴f (x 2－x 1)>0.又f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＝－f(x2－x1)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)为R上的增函数．方法二设x1∈R，令x2＝x1＋a(a>0)，则x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋a)＝f(x1)－f(x1)－f(a)＝－f(a)．又当a>0时，f(a)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)为R上的增函数．【训练3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.求证：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．证明(1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f[(－1)×x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f [x 1(x 2x 1)]－f (x 1)＝f (x 1)＋f (x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．∵x 2>x 1>0， ∴x 2x 1>1. ∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)－f (x 1)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的． 要点四 求函数的最值 求函数最大(小)值的常用方法：(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值； (2)配方法，对于二次函数类型的函数，一般通过配方法求最值；(3)图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值； (4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值．【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，求f (x )在[－5,5]上的最大值．解析 f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2，x ∈[－5,5]，图象的对称轴为直线x ＝－a .①当－a ＜－5，即a ＞5时，函数f (x )在[－5,5]上单调递增，如图(1)所示， ∴f (x )max ＝f (5)＝52＋2a ×5＋2＝27＋10a .②当－5≤－a＜0，即0＜a≤5时，如图(2)所示，∴f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.③当0≤－a≤5，即－5≤a≤0时，如图(3)所示，∴f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.④当－a＞5，即a＜－5时，如图(4)所示，函数在[－5,5]上单调递减，∴f(x)max＝f(－5)＝27－10a.【训练4】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；当t＞1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.。
2018版高中数学苏教版必修一学案：2.2.1 第1课时 函数的单调性
2．2 函数的简单性质 2．2.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性学习目标 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(难点)．预习教材P37－38，完成下面问题： 知识点一 单调增函数与单调减函数的定义一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)(f (x 1)＞f (x 2))，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增(减)函数，I 称为y ＝f (x )的单调增(减)区间． 【预习评价】如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是________． ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0； ③f (a )＜f (x 1)＜f (x 2)＜f (b )； ④x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)＞0. 解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，①、②、④正确； 对于③，当x 1＜x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ， 即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故③不成立．答案 ①②④知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 称为单调区间． 【预习评价】判断 (1)任何函数在定义域上都具有单调性．( )(2)若函数f (x )在定义域内的两个区间D 1，D 2上都是减函数，那么f (x )的减区间可写成D 1∪D 2.( )提示 (1)×.函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质．有的函数不具有单调性，例如：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数；再如：函数y ＝x ＋1(x ∈Z )，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性．(2)×.单调区间不能取并集，如y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？提示 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x 的定义域．题型一 求单调区间并判断单调性【例1】 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？(2)写出y ＝x 2－3|x |＋2的单调区间．解 (1)y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．(2)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2，x ＜0，x 2－3x ＋2，x ≥0，画出草图：∴f (x )在(－∞，－32]，[0，32]上单调递减，在[－32，0]，[32，＋∞)上单调递增． 规律方法 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．【训练1】 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是单调增函数还是单调减函数；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．解 (1)函数在[－1,0]，[2,4]上是单调减函数，在[0,2]，[4,5]上是单调增函数．(2)先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x ＜－1或x ＞3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如下图．则函数单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]，单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)．题型二 函数单调性的判定与证明【例2】 求证：函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． 证明 设任意的x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 由f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋1x 2)－(x 1＋1x 1)＝x 2－x 1＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x2.因为0<x 1<x 2<1，所以x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，x 2－x 1>0， 所以(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x2<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号；(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性．【训练2】 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． 证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1＜x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 2＞x 1＞－1，∴x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．方向1【例3－1】 函数f (x )＝x 2－2mx －3在区间[1,2]上具有单调性，则m 的取值范围是________．解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f (x )＝x 2－2mx －3的对称轴为x ＝m ，函数在区间[1,2]上单调，则m ≤1或m ≥2. 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞) 方向2：与不等式相结合【例3－2】 已知f (x )是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f (a )＜f (2－3a )，则a 的取值范围是________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤2－3a ≤1，a ＜2－3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，13≤a ≤1，a ＜12，即13≤a ＜12.∴a 的取值范围是13≤a ＜12.答案 [13，12)方向3：比较函数值大小【例3－3】 已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是单调减函数，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小．解 a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0， ∵y ＝f (x )在[0，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.方向4：证明抽象函数的单调性【例3－4】已知函数y ＝f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1. 求证：f (x )在R 上是单调减函数．证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)，∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1， ∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1， ∴f (x )＝1f (－x )＞1.∴对任意实数x ，f (x )恒大于0， 设任意x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， ∴0＜f (x 2－x 1)＜1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]＜0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在R 上单调递减．规律方法 (1)运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1＜x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→结论．(2)对单调增函数的判断，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.对单调减函数的判断，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.(3)要熟练掌握常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．(4)若f (x )，g (x )都是单调增函数，h (x )是单调减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0)．(5)对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.课堂达标1．已知函数f (x )＝kx ＋b 为R 上的减函数，且f (0)＞0，则点P (k ，b )在第________象限．解析 由函数f (x )＝kx ＋b 为R 上的减函数可知k ＜0，对f (0)＞0知b ＞0. 答案 二2．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间是________．解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在[0，12]上单调递增． 答案 [0，12]3．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在(－∞，2)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝－x 2＋2ax ＋1＝－(x －a )2＋1＋a 2，抛物线开口向下，对称轴x ＝a ≥2时，f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以实数a 的取值范围是a ≥2. 答案 [2，＋∞)4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3. 答案 (3，＋∞)5．求函数y ＝x |x －1|的单调递增区间．解 画出函数y ＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，－x 2＋x ，x ＜1的图象，如图，可得函数的单调递增区间为(－∞，12]，[1，＋∞)．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性． 2．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断．(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间． (3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.。
苏教版高中数学必修一教案
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教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的`三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ当α=β时，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα即：sin2α=2sinαcosα(S2α)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ当α=β时，tan2α=2tanα1-tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α还可以变形为：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α=π2 +kπ，k∈Z时，tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ，k∈Z时tan2α的值不存在).当α=π2 +kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下，才有可能成立[当且仅当α=kπ(k∈Z)时，sin2α=2sinα=0成立].同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为α2 的2倍，将α2 作为α4 的2倍，将3α作为3α2 的2倍等等.。
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2．1.1函数的概念和图象(一)
学习目标 1.理解函数、定义域、值域的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数符号，会求简单函数的定义域、值域．
知识点一函数的概念
思考初中是用两个变量之间的依赖关系定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，是函数图象？
梳理设A，B是两个非空的数集，如果按某种____________，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为______________．其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．知识点二判断两个变量是否具有函数关系的方法
思考用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？
(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；
(2)
；(3)
；。