〖湘教数学同步课时教案〗九年级数学2.4一元二次方程根与系数的关系教案
【湘教版】九年级数学上册：2.4《一元二次方程根与系数的关系》教案(含答案)
2.4一元二次方程根与系数的关系教学目标【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想.【情感态度】通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.【教学重点】根与系数关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.教学过程一、情景导入，初步认知我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的值是由a、b、c来决定的.除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？【教学说明】由问题引入新课，提高学生学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.探究规律先填空，再找规律：2.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，你能猜想x1+x2=______，x1·x2=______.3.你能证明你的猜想吗？当Δ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个根，分别为：12b x a +=－,22b x a=－【归纳结论】当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：这种关系称为韦达定理.【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.三、运用新知，深化理解 1.教材P47例1、例2.2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x-1＝0的两个根的. （1）平方和（2）倒数和分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求.3.已知方程5x 2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值.分析:根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求. 解：设方程的另一个根是x 1，那么2x 1=－6/5 ∴x 1=－3/5 又x 1+2=－k/5 ∴k=－74.已知一元二次方程x 2-6x-5=0的两根为a 、b ，则1/a+1/b 的值是多少？ 解：∵a ，b 是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=-5，5.已知方程x2-4x-1=0有两个实数根x1，x2，要求不解方程，求值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2x1+x1x2解：x1+x2=-b/a=4；x1x2=c/a=-1，（1）（x1+1）（x2+1），=x1x2+x1+x2+1，=-1+4+1=4；6.已知x，y均为实数，且满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，求x/y+y/x的值.解：当x≠y时，∵x、y满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，∴x、y是z2-2z-6=0的两根，∴x+y=2，xy=-6，当x，y的值相等时，原式=2．故答案为：-8/3或2．【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.4”中第1、2、3题.教学反思此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
《一元二次方程的根与系数的关系》教案
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学内容由一元二次方程的求根公式推导一元二次方程根与系数的关系，并用根与系数的关系求方程另一根及字母系数的值及一些代数式的值等运用．教学目标1．知识与技能：会用求根公式推导根与系数的关系，并利用它不解方程，解决一些与方程的根有关的问题．2．过程与方法：不解方程，直接用根与系数的关系求方程的另一根，及有关x 1、x 2的对称式的代数式的值．教学重难点熟练用求根公式，不解方程而直接解决与方程的根有关的问题．教学过程一、教师导学问题：方程x 2＋x －6＝0的两个根．x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0)的两个根x 1＝________，x 2＝________，x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．二、合作与探究由上面的问题可知，x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________．分析：∵x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a这就是一元二次方程根与系数的关系．【例1】若x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值： (1)1x 1＋1x 2(2)x 21＋x 22 (3)(x 1－x 2)2 (4)(x 1＋1)(x 2＋1)分析：利用根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，再将所有式子用x 1＋x 2，x 1x 2表示，再整体代入求解即可．解：略．【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两实根为α，β，且1α＋1β＝－1，求m 的值． 分析：1α＋1β＝α＋βαβ，由根与系数关系代入求出m 的值，但是m 的值必须满足一元二次方程有两实根，即满足Δ＝b 2－4ac ≥0.解：m ＝3.三、巩固练习1．已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝__12__． 2．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值． 解：m 1＝－11(舍去)，m 2＝3.3．关于x 的方程x 2－23x ＋m ＝0的一个根为3＋1，求方程的另一根，及m 的值．解：另一根为3－1，m ＝2.四、能力展示已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2＝0的两个实数根，且(x 1＋2)(x 2＋2)＝11，求a 的值． 解：a 1＝5(舍去)，a 2＝－1.五、总结提升本节课应掌握不解方程，利用根与系数的关系解决关于x1＋x2与x1x2有关代数式值的问题或求方程的根或字母系数的值．六、布置作业教材P16练习。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
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最新整理初三数学教案2.4一元二次方程根与系数的关系教案新版湘教版2.4一元二次方程根与系数的关系课题*2.4一元二次方程根与系数的关系授课人教学目标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．数学思考通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．问题解决根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．教学重点根与系数的关系及其推导过程.教学难点根与系数的关系的推导过程及其应用．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：(多媒体展示问题)1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程有实数根的条件是什么？3．当Δ》0，Δ＝0，Δ《0时，一元二次方程的根的情况如何？4．一元二次方程的求根公式是什么？通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.活动一：创设情境导入新课课堂引入(多媒体展示)问题：解下表中的方程，并完成填空：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x－3＝0x2－3x＋2＝0x2＋5x＋6＝0师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.活动二：实践探究交流新知1.填写上表后思考：(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.(3)如何证明以上发现的规律呢？2.教师与学生共同整理证明过程.证明：当Δ》0时，由求根公式得x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.当Δ＝0时，x1＝x2＝－b2a，所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.活动三：开放训练体现应用应用举例例1(多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．变式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()A．－4B．－1C．1D．4变式二若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．拓展提升例2解答下列问题：(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求1x1＋1x2的值．师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.活动四：课堂总结反思达标测评1．两根均为负数的一元二次方程是()A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝02．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.当堂训练1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！2．布置作业：教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.知识网络提纲挈领，重点突出.教学反思①[授课流程反思]在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．②[讲授效果反思]重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．③[师生互动反思]从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．④[习题反思]好题题号_______________________________________错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.。
九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
二、课时安排1课时三、教学重点掌握一元二次方程根与系数的关系。
四、教学难点能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
五、教学过程（一）导入新课如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用前面学过的配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．（二）讲授新课【问题】已知ax 2+bx+c =0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根为∴x 1+x 2和x 1x 2的值。
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx =-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x +2b a）2=2244b ac a∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x +2b a即x∴x 1，x 2∴x 1+x 2= - ba , x 1x 2=q归纳总结：如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1 ，x 2，那么x 1+x 2= -p , x 1x 2= ca（三）重难点精讲例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）2310x x +-=（2）22410x x -+=解：（1）123x x +=- ，121x x ⋅=-（2）原方程可化为：21202x x -+=122x x +=，1212x x ⋅=例题2、已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
解：原方程可化为：26055kx x +-=设方程的另一根是x 1，那么2 x 1= 65- ∴x 1= 35- 又∵（35-）+2= 5k- ∴ k=-5[(35-)+2]=-7答：方程的另一个根是 35- ，k 的值是-7。
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。
2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。
四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。
2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。
2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。
3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。
5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。
六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。
2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。
七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。
2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。
3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。
4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。
5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。
初中数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系一、教学目标知识与技能：理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，并能够运用该性质求解一元二次方程根的相关问题。
过程与方法：学生通过小组讨论、自主探究等过程，培养学生的创新意识和探究能力。
情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系——韦达定理。
难点：方程中两个根之间关系的归纳探究过程。
三、教学过程（一）导入新课【教师活动】通过复习导入的形式询问学生有关一元二次方程的一般形式是怎样的？求根公式是什么？【学生活动】学生通过思考很容易得出一元二次方程的一般形式和求根公式42b x a -=。
【教师活动】顺势提出问题“对于一元二次方程如果有2个根，那么这两个根在数值上是否存在某种特殊的关系呢”？进而导入新课。
【设计意图】复习原有的一元二次方程的求根公式，为接下来研究根与系数的关系，奠定了知识基础，有利于新课的探究。
（二）新课讲授1.感知新知【教师活动】教师出示一元二次方程2340--=x x ，组织学生求解，猜想这两个根在数值上与方程的各项的系数有什么关系”【学生活动】独立求解，得到方程的两个根。
【设计意图】通过一个简单的例子，学生可以先感知，两个根与系数的关系，提高数学抽象能力。
2.生成新知【教师活动】引导学生将()()120x x x x --=进行展开，然后合并同类项，学生通过化简从而得到()212120x x x x x x -++=。
【教师活动】引导学生用p -表示12x x +，用q 来表示12x x 并结合之前学习的有关一元二次方程的求根公式通过小组讨论探究两个根与一元二次方程的系数之间的关系。
【学生活动】学生通过小组讨论最终不难发现1212b c x x x x a a+=-=，即韦达定理。
【设计意图】经历特殊到一般的腿到过程，发展学生的合情推理能力。
湘教版九年级上册教案：2.4 一元二次方程根与系数的关系
*2.4 一元二次方程根与系数的关系1．理解并掌握根与系数关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2．会用根的判别式及根与系数的关系解题．阅读教材P46～47，完成下列问题：(一)知识探究当Δ≥0时，设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.这个关系通常被称为韦达定理．(二)自学反馈根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x 2－3x －1＝0； (2)2x 2＋3x －5＝0；(3)13x 2－2x ＝0.活动1 小组讨论例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x 2－6x －15＝0； (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15.(2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3. (3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14. 先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c 的值．例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：设另一根为x ，由根与系数的关系得－3·x ＝－92，解得x ＝32. 又∵－3＋32＝－k 2，解得k ＝3. ∴另一根是32，k 的值是3. 本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．活动2 跟踪训练1．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．2．已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根，则(x 1－2)·(x 2－2)＝________.3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15； (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0；4．已知x 1，x 2是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，求代数式1x 1＋1x 2的值． 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究－b a c a自学反馈(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1.(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52. (3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.－4 3.(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15.(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1.(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36. 4.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝2.∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝42＝2.。
【湘教版】初中数学九年级上册同步教案 2.4 一元二次方程根与系数的关系
*2.4 一元二次方程根与系数的关系教学目标1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
教学重难点【教学重点】一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系，求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
【教学难点】根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
课前准备无教学过程第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0)3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”。
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x +1=0目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。
自然引出本节课要学习的课题第三环节：探究新知内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）问题：1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
湘教版九年级上册教学设计：2.4 一元二次方程根与系数的关系
湘教版九年级上册教学设计：2.4一元二次方程根与系数的关系一. 教材分析《一元二次方程根与系数的关系》是湘教版九年级上册数学课程的一部分。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行学习的。
通过本节内容的学习，使学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念和求解方法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.能够运用根与系数的关系判断一元二次方程的解的情况。
3.提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自主探索。
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现并理解根与系数之间的关系。
3.合作交流法：鼓励学生与他人交流、合作，共同解决问题，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.学习小组：将学生分成若干小组，便于合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（15分钟）让学生分组进行合作交流，共同解决一些与生活实际相关的问题，运用所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对一元二次方程根与系数之间的关系的理解。
一元二次方程根与系数的关系教案
元二次方程根与系数的关系 一、 教学目标1、 掌握一元二次方程根与系数的关系式，能用它由已知一元二次方程的一个根求出另一根与位置系数；2、 通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳能力和推理论证能力；3、 通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。
二、 教学重点和难点；1、 教学重点；根与系数的关系与推导。
2、 教学难点；正确理解根与系数的关系。
3、 教学疑点；一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。
4、 解决办法；在实数范围内应用韦达定理，必须注0≥∆而应用判别式 的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数0≠a,因此，解题时，因此要根据题目分析中有没有隐含条件 三、 教学过程 1、 复习提问（1） 写出一元二次方程的一般式和求根公式。
（2） 根据公式法请同学们完成下面的表格0 0 ≠≥ ∆ a 和观察、思考两根和、两根积与系数的关系。
在教师的引导和点拨，有思考得出结论教师提问：所有的一元二次方程的两个根和与两根积和系数的关系。
设1x 、2x 是方程)0(02≠=++a c bx ax的两根。
∴aacbb x 2421-+-=，aacbb x 2422---=∴ab ab aacbb acbb x x -=-=---+-+-=+222442221由此得出，一元二次方程根与系数的关系。
结论1、如果 )0(02≠=++a c bx ax的两根是21,x x，那么abx x -=+21，ac x x =21.例、（口答）下列方程中，写出下列两根的和与两根的积？（1）（2）1092=+-x x（3）5922=+-x x（4）1742=+-x x（5）0522=-x x（6）12=-x1 2 2= + - x x。
【教学设计】《一元二次方程根与系数的关系》(湘教版)
《一元二次方程根与系数的关系》教学设计◆教材分析本节课是“一元二次方程”的第四节课，是继一元一次方程，二元一次方程，分式方程之后，又学习的一种方程类型，本节课主要讲解一元二次方程根与系数的关系，要求掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
通过经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
因此本节课重点是掌握根与系数关系及运用.所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
◆教学目标【知识与能力目标】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
【过程与方法目标】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
【情感态度价值观目标】通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
【教学重点】根与系数关系及运用。
【教学难点】定理的发现及运用。
多媒体课件。
一、导入新课我一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：()224402b b ac x b ac a -±-=-≥ 二、新课学习解下列方程并完成填空：（1）x 2-7x+12=0 (2)x 2+3x-4=0 (3) 2x 2+3x-2=0 一元二次方程 1x2x 1x +2x 1x .2xx 2-7x+12=0x 2+3x-4=02x 2+3x-2=052x +4x -1=0思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关◆ 课前准备◆ 教学过程◆ 教学重难点系？从中你能发现什么规律？设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
2.4 一元二次方程根与系数的关系 教案
达标测试（5 分钟） 课堂测试， 检 验学习结果
1、说出下列各方程的两根之和与两根之积：
2、已知方程 值为（B ） A.1 3、方程 2 x
2
x 2 (2m 1) x m 0 的两根之和与两根之积相等，那么 m 的
B.-1 C. 2 D. -2
ax 2b 0 的两根和为 4，积为
和，两根之积的形式，再整体代入．
x1 x 2
1 ∵ x
2
2 1
x 22 x 1 x 2 2x 1x 2
2
7 3 ,x 1 x 2 5 5 3 79 5 25 x2
7 2 5 2 1 1 x1
已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值。 （用两种方法解 答）
体验收获
1、一元二次方程根与系数的关系。
布置作业
教材习题第 1、2 题。
，b=
2
-3，则 a= 8
—3
。
4、设 x1，x2 是方程 2x －9x＋6＝0 的两个根，求下列各式的值：
分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是： (1)利用根与系数的 关系求 x1＋x2，x1x2 的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含 x1＋x2，x1x2 的代数 式表示；(3)将 x1＋x2，x1x2 的值整体代入求出待求式的值． 应用提高（5 分钟） 能力提升， 学 有余力的同 学可以仔细 研究 已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值.（用两种方法解 答）
ax2 bx c 0(a 0)中
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 2a 2a
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案一、教学目标
知识与技能：
掌握、运用一元二次方程的根与系数关系。
在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值
过程与方法：
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程，体会由特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观：
1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合
作交流的学习习惯。
2、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
三、教学用具
普通教学工具、多媒体工具
四、教学过程。
初中数学湘教版九年级上册《2.4一元二次方程根与系数的关系》教学设计
重点
理解一元二次方程根与系数的关系，并能简单灵活运用。
难点
①一元二次方程的根与系数的关系的推导。
②会用利用根与系数的关系解有关的问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
回顾知识
+
导入新课
因此，方程的另一个根为0，q的值为0.
【例3】设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．
分析：由根与系数的关系，得α+β ，α是方程的根， 所以，4α2-2α-3=0，原式化为只含α+β的式子，从而求值.
解：∵α是方程4x2-2x-3=0的根，
∴4α2-2α-3=0，即：4α2=2α+3．
（3） + =- ， · = = .
（4） + =0， · =- .
从例题中，我们可以发现：在使用根与系数的关系时：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）在使用x1+x2=－ 时，“－ ”不要漏写.
若ax2bxc0（a00）
（1）若两根互为相反数，则b0;
（2）若两根互为倒数，则ac;
（3）若一根为0，则c0 ;
根据七年级上册教科书2.5节关于两个多项式相等的规定，得 =-（ + ）， =（ · ）.
+ =- ， · =
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
湘教版-数学-九年级上册-《一元二次方程根与系数的关系》名校教案
*2.4 一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
教学重难点重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用。
难点：定理的发现及运用。
教学过程一、自主学习 感受新知【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【探究】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---， 能得出以下结果： x 1＋x 2=a b -，即：两根之和等于ab - x 1•x 2=ac ，即：两根之积等于ac 特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== x 1•x 2=如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ab x ＋ac ＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+x 2）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)三、自主应用 巩固新知【练习】教材P48练习题1、2题四、自主总结 拓展新知不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。
1、先化成一般形式，再确定a,b,c .2、当且仅当b 2-4ac ≥0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和－－比前面有负号，两个根的积－－比前面没有负号。
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通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．
教学重点
根与系数的关系及其推导过程.
教学难点
根与系数的关系的推导过程及其应用．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
(多媒体展示问题)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2.4一元二次方程根与系数的关系
课题
*2.4一元二次方程根与系数的关系
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
数学思考
通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
问题解决
根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．
x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.
问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？
学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.
③[师生互动反思]
从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x x2＋x1x .
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【当堂训练】
1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：
教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.
指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．
【拓展提升】
例2解答下列问题：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．
(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求 ＋ 的值．
2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.
3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1(多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．
拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．两根均为负数的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0【知Leabharlann 网络】提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．
②[讲授效果反思]
重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．
反思，更进一步提升.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．
变式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
变式二 若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.
x1＝ ，x2＝ ，
所以x1＋x2＝ ＋ ＝－ ＝－ ；
x1x2＝ × ＝ ＝ .
当Δ＝0时，x1＝x2＝－ ，
所以x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.
活动
二：
实践
探究
交流新知
1.填写上表后思考：
(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？
(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？
已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何证明以上发现的规律呢？
2.教师与学生共同整理证明过程.
证明：当Δ>0时，由求根公式得
2．一元二次方程有实数根的条件是什么？
3．当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程的根的情况如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？
通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(多媒体展示)
问题：解下表中的方程，并完成填空：
方程
x1
x2
x1＋x2