非线性方程组数值解法_Newton法遇奇异点的处理

证明 · 12·
若对固定的 λ ∈ （ － β， η） ， 在 S0 上定义 A（ x） = F ＇（ x） + λ I，
都是未知的． 1． 2 依据 KaHTOPOBHY 定理 定理 2 （ KaHTOPOBHY） 假设 F ： D R → R 在
n n
y ∈ D0 ， 凸集 D0 D 上 F 可导， 并且对任何 x， 有常数 r ＞ 0使 ‖F ＇（ x） － F ＇（ y） ‖ r‖x － y‖ ， F ＇（ x0） ］－1 ‖ β， 再 假 设 存 在 x0 ∈ D0 ，使 ‖［ 1 F ＇（ x0） ］－1 F （ x0 ） ‖ η 且 h = βγη ， ‖［ 闭球 2 s =珋 s （ x0 ， t * ） D0 ，其 中 t * = N（ h） η， N（ h） = 1 － 槡 1 － 2h ， 则 Newton 法产生的序列 ｛ x k ｝ 均在闭 h s （ x0 ， t * ） 内， s （ x0 ， t ＊＊ ） ∩ 球珋 并收敛到 F （ x） = 0 ， 在珋 D0 内 的 唯 一 解 x * ，其 中 t ＊＊ = L（ h） η， L（ h） 1 + 槡 1 － 2h ， 且 误 差 估 计 为 ‖x * h η （ 2 h） 2 k －1
步 2； 步7 2． 2 结束． 收敛性证明
2
Newton 法与简化 Newton 法相结合的方法
Newton 迭代程序 x k +1 = x k － ［ F ＇（ x k） ］－1 F （ x k ） ， k = 0， 1， 2， … （ 2）
整个程序过程是： Newton 法 + 若干步简化 Newton 法（ 奇异处 ） + Newton 法 + 若干步简化 Newton 法（ 奇异处） + …， 而 Newton 法是超线性收敛到方程 * ［3 ］ * 组的解 x 的 ， 简化 Newton 法是线性收敛到 x 的
第 33 卷第 4 期 2012 年 4 月
通化师范学院学报 JOURNAL OF TONGHUA NORMAL UNIVERSITY
Vol． 33 №4 Apr． 2012
— — Newton 法遇奇异点的处理 非线性方程组数值解法 — 杨家岭
（ 中国矿业大学 理学院， 江苏 徐州 221008 ） 摘 — —Newton 法奇异点问题的经典讨论， 要： 文中依据对非线性方程组的数值解法 — 给出了一个新的处理方法． 文献标志码： A 文章编号： 1008 － 7974 （ 2012 ） 04 － 0012 － 02
* * 设 x 是非线性方程组 F （ x） = 0 的解：
* 这也不可能， 这矛盾说明 A（ x ） 非奇异， 于是映像
G（ x） = x － ［ F ＇（ x） + λ I］－1 F （ x）
* * 在球 S = S（ x ， δ） S0 中适定且在 x 处可导， 并有

G ＇（ x * ） = I － ［ F ＇（ x * ） + λ I］－1 F ＇（ x * ） ， 它的特征值为 v i = 1 － n． 由此可知， 条件 v i 即 λ ＞－ λ ＜－ μi 2Reμ i μi 2Reμ i
避免奇异性的方法也可以用在其他 Newton 型迭代 中， 简便易行．
参考文献： ． 北京： 科学出版社， 1992． ［ 1］李庆杨， 莫孜聪， 补力群． 非线性方程组的数值解法［M］ ［ 2］ 1989． 冯果忱． 非线性方程组迭代解法［M］． 上海： 上海科学技术出版社， M］ ． 武汉： 武汉大学出版社， 2004． ［ 3］ 黄象鼎， 曾钟钢， 马亚南． 非线性数值分析的理论与方法［ ［ 4］ 1980 （ 1 ） ． 王兴华， 关于牛顿法的收敛域［J］． 科学通报数理化专辑，
*
若 F ＇（ x k ）
= 0， 则 F ＇（ x k ） → F ＇（ x k －1 ） ， 转
4， 否则直接转 4 ； 解线性方程组 A k Δ x k = － b k 得 Δ x k ； 求 x k +1 = x k + Δx k 及 F （ x k +1 ） ； 若 ‖Δx K ‖ ε1 ‖x k ‖ 或 ‖F（ x k +1 ） ‖
［2 ］ * ， 所以整体得到的迭代序列是收敛到 x 的． 4］ ． 这种 其中 Newton 法的收敛域问题可详见［
若出 现 F ＇（ x k ） 为 奇 异 矩 阵，则 用 F ＇（ x k －1 ） 代 替 F ＇（ x k ） ， 即在此时用一步简化 Newton 法： x k +1 = x k － ［ F ＇（ x k －1） ］－1 F （ x k ） ． 替代 （ 2 ） 式， 还若 F ＇（ x k +1 ） 再奇 异继续用 F ＇（ x k －1 ） 代替 F ＇（ x k +1 ） ， 即用了两步简化
在 μ j 使得 μ j + λ = 0 ， λ ≠ 0， 若 λ ＞ 0， 因 λ ∈ （ － β， η） 故有 λ ＜ η μj λ = ， － 2Reμ j 2
2
1
1． 1
经典的引入阻尼因子 λ k 法与 KaHTOPOBHY
引入阻尼因子 λ k 引入参数 λ k 使 F ＇（ x k ） + λ k I 非病态， 此时得到
2 2 2
μi λ = ， i = 1， 2， …， μi + λ μi + λ ＜ 1 等价于
2
F ： D R n → R n 在 x * 的邻域 S0 D 上的连续可微 …， 且 F ＇ （ x ） 非奇异， 又设 μ1 ， μ n 为矩阵 F ＇ （ x ） 的 特征值， 令 μi β = min | Reμ i ＞ 0 ， i 2Reμ i μi η = min | Reμ i i － 2Reμ i
关键词： 非线性方程组； 牛顿法； 奇异问题； 简化牛顿法 中图分类号： O24 收稿日期： 2011 － 11 － 01 作者简介： 杨家岭（ 1988 － ） ， 安徽六安人， 中国矿业大学理学院硕士研究生．
n n 设映像 F ： D R → R ， 非线性方程组 F （ x） = 0 的 数 值 解 法 — — —Newton 法， x k +1 = x k －
· 13·
* 由于 F ＇（ x） 在 S0 上连续， 故 A（ x） 在 x 处连续， * * 下面证明 A（ x ） 非奇异， 假定 A（ x ） 奇异， 则必存
［ F ＇（ x k） ］－1 F （ x k ） ， k = 0， 1， … 中， 当 F ＇（ x k ） 奇异或 病态时迭代就不能进行， 以下给出三种避免 F ＇（ x k ） 奇异的方法．
定理
这是不可能的， 若 λ ＜ 0， 则 μj ＞ 0 ， 故有 λ ＞－β － μ2 μj λ j =－ = ， 2Reμ j 2 2
迭代序列 x k +1 = x k － ［ F ＇（ x k ） + λ k I］－1 F （ x k ） ， k = 0， 1， … （ 1） λ k 称 阻 尼 因 子，只 要 选 取 λ k 足 够 大 使 得 F ＇ （ x k ） + λ k I 成为对角占优就可以消除奇异性， 且 关于（ 1 ） 的局部收敛定理如下． 定理 1
若不存在 Reμ i ＞ 0 或 Reμ i ＜ 0 的特征值可分取 β = + ∞ 或 η = + ∞， 则对任意 λ ∈ （ － β， η） ，由 （ 1 ） 迭代产生的序列 ｛ x k ｝ S0 ，
* 且收敛于 x ．
于x 的
*
［1 ］
．
此定理的不足之处就是它需要事先知道方程组
* * 但在实际问题中 x 大 的解 x 才能求出 λ 的范围，
2k －1
Newton 法， 往后以此类推， 若 F ＇（ x k +1 ） 为非奇异矩 则再回到 Newton 迭代程序（ 2 ） ． 阵， 2． 1 算法 步 1 给出初始近似值 x0 及计算精度 ε1 和 ε2 ；
步 2 假定已经进行了 k 次迭代， 已求出 x k 及 F（ x k ） ， 计算 F ＇（ x k ） = A k ， 并记 b k = F （ x k ） ； 步3 步4 步5 步6
*
2 2 λ ＜ λ + μi
+ 2 λ Reμ i ，
{
2
{
2
} ＜ 0 }，
当 Reμ i ＞ 0 时， 当 Reμ i ＜ 0 时，
* 这表明 λ ∈ （ － β， η ） 时， ρ（ G ＇（ x ） ） ＜ 1 ， 从而只要 k （ 1 ） 中 λ k ∈ （ － β， η） ， 则它产生的序列｛ x ｝ 是收敛
（ 责任编辑： 王宏志）
Numerical Solution of Nonlinear Equations： Processing Singular Problem in Newton’ s Method YANG Jia － ling （ School of Sciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou，Jiangsu 221008 ，China） Abstract： This paper gives a new method for processing singular problem in Newton ’ s method which based on numerical solution of nonlinear equations． Key words： nonlinear equations； Newton’ s method； singular problem； Simplified Newton method