线性代数5-3

XTAX < 0 则称该二次型为负定的，实对称矩阵 A 称为负
定矩阵.
(2) 如果对任意的 X = (x1 , x2 , · · ·, xn)T，有
XTAX 0 ( 0 )
且存在 X0 = ( x10 , x20 , · · ·, xn0 ) 0，使 X0TAX0 = 0, 则称该二次型为半正定(半负定)的，实对称矩阵 A 称为为半正定(半负定)矩阵.
f ( x ) 0, 则称 f 是正定二次型，对应的
实对称矩阵A为 正定矩阵. ( 2) f ( x ) 0, 则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵. ( 3) f ( x ) 0, 则称 f 是正半定二次型，对应 的实对称矩阵A为正半定矩阵. (4) f ( x ) 0, 则称 f 是负半定二次型，对应 的实对称矩阵A为负半定矩阵.
这个定理称为霍尔维茨定理．
说明
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
,
a11 a1n 0; an1 ann
决不是矩阵A负定的充要条件 . 而应是
推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 A 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a11 a1k k 1 0, ak 1 akk
6 11 6 0
3 2
即
( 1) ( 2) ( 3) 0 解之即得A的特征值为 1 或 2 或 3 即A的特征值必然都是正数 ，故A正定.
说明 本例中，决不能说A的特征值就是1， 2， 3.
定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是存在 可逆
2
2
2
2
它的系数分别为1， ， 1， 1， ， 1， 0， ， 0 （0可以没有） ,
在这个顺序下，二次型 的规范形是唯一的 .
比较常用的二次型是系 数全正或全负的情形，
为此，我们引出
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) x Ax, 如果对任何
T
x 0, (1)
定理1(惯性定理) 设有实二次型 f x T Ax, 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 及 x Pz
2 2 f k1 y1 k 2 y2 kr yr2 2 2 f 1 z1 2 z2 r zr2
ki 0 , i 0 ,
(4) 实对称矩阵 A 的特征值均小于零； (5) 实对称矩阵 A 的奇数阶顺序主子式小于
零，偶数阶顺序主子式大于零.
定理 4 . 11 设二次型f (x1 , x2 , · · ·, xn) = XTAX
为正定二次型. 解 二次型 q x1 4 x1 x2 2 x2 4 x1 x3 2 x3 8 x2 x3 1 2 2 A 2 2 4 4 2 2 令 A I 0，可求出三个特征值为 2， 2， 7，
2 2 2
T T T T T
2
若记P TQ 则定理得证.
T
称矩阵A正定 说明 定理3的换个说法是：“实对
的充要条件是 A合同于单位矩阵I .”
例2 若A为正定矩阵， 则其对角线元aii 0. 证明 因为A正定，所以，由定理3，知存在可 逆阵 P , 使成立 A P T P , 由于P可逆，所以P的每个
且必存在正交变换将二 次型 f 化为标准形
q 2 y1 2 y2 7 y3
2 2 2
同时，由正交变换保持 向量长度的不变性，即 xi i 1
3 2
yi ，知该正交变换将 f 化为标准形
2 i 1
3
f 2 y1 2 y2 7 y3 k ( y1 y2 y3 ) ( 2 k ) y1 ( 2 k ) y2 ( 7 k ) y3
成立. 同理，有“A负定的必要条件是 aii 0.” 定义2 称对角线元是 A的前k个对角线元 a11 , a22 ,
, akk的k阶子式为矩阵A的 k 阶 顺序主子式 （或前主子式） . 从而，有
定理4 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 an1 ann
T pn pn *
例2 （续） （矩阵正定的必要条件 ） 若A为正定矩阵， 则其对角线元aii 0.
证
因为A正定，所以对非零向量
T T
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
列向量 p1 , p2 , , pn 都是非零向量，比较 A P T P 两端矩阵的对角线元， 由
p1T p1T p1 T T p p T 2 2 p2 P P [ p1 , p2 ,, pn ] T pn # 即得 2 T aii pi pi pi 0
2 1 2 2 2 3
正定，求参数 t 应满足的条件. 1 t 1 解 f 的矩阵为 A t 4 0 , 1 0 2 根据定理4，应有A的各阶顺序主子式均为 正，由
a11 1 0,
a11 a12 1 a21 a22 t
t 2 4 t 0, 4
2
Q AQ 即 A QQ
T
T
其中 diag[1 ,, n ].又因A正定，故i 0,即有
i i , i 1,, n.
若记矩阵T diag[ 1 ,, n ], 则显然成立 T T . 于是可将 A QQT 写成
A QQ QTTQ (TQ ) (TQ )
i 1
n
充分性 设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
则 y C 1 x 0, 故
f x k i yi2法）
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量) 时,
f Ces ki yi k s 0.
2 2 2
2
2
2
2
2
2
为使二次型正定，按定理2，必有 2 k 0 2 k 0 7 k 0
即
k 7
例 2 已知A为n阶实对称矩阵，且满足
A3 6 A2 11A 6 I O, 试证明A是正定矩阵.
证明 设是A的任一特征值，且有Ax x, 那么由 A3 6 A2 11A 6 I O, 可得
2 2 为负半定二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 886x1 2003x2
三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型 f x T Ax为正定的充分必要条 件是它的正惯性指数 等于变量个数n.
证明 设可逆变换x Cy使
f x f Cy ki yi2 .
2. 判定定理
定理 4 . 10 设二次型f (x1 , x2 , · · ·, xn) = XTAX
（AT = A）则下列各条件等价：
(1) f (x1 , x2 , · · ·, xn) 为负定二次型； (2) f (x1 , x2 , · · ·, xn) 的负惯性指数为 n ;
(3) 实对称矩阵 A 合同于 - E ；
k 1,2,, n.
正定矩阵具有以下一些简单性质：
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
( i 1, 2,, r ) 则 k 1 ,, k r 中正（负）数的个数与 1 ,, r 中正 （负）数的个数相等. 且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数， 负系数个数称为负惯性指数， 分别记作， .
常称形如下式的标准形 为二次型的 规范形：
f y1 y p y p1 yr
矩阵P , 使A P T P . 证明 充分性
因为A P T P , 且P可逆，故对任意 x 0, 必有 Px 0, 于是有
f xT Ax xT P T Px ( Px )T Px Px 0 故得 f 或矩阵 A正定. 必要性 因为A是实对称矩阵，故必存 在正交阵Q, 使
1 t
1
解得
A t 4 0 2t 2 4 0 1 0 2
2t 2
二、二次型的有定性
对于不是正定的二次型，还可以进一步分类.
1. 负定、半正定、半负定的定义
定义 4 . 6 设二次型 f (x1 , x2 , · · ·, xn) = XTAX (1) 如果对任意的 X = (x1 , x2 , · · ·, xn)T，有
特征值问题与二次型
第三节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念
三、正（负）定二次型 的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
(3) 如果对某些 X = (x1 , x2 , · · ·, xn)T，有 XTAX
> 0； 而对另一些 X = (x1 , x2 , · · ·, xn)T，又有 XTAX
< 0， 则该二次型称为不定的，其矩阵 A 也称为不
定的.
根据定义 4 . 6，二次型 f (x1 , x2 , · · ·, xn) = XTAX 为负定二次型，当且仅当 - XTAX = XT( - A ) X 为正 定二次型. 因此，本节各有关结论均可应用. 对于负定二次型的讨论，可类似于正定性进行. 这里我们直接列出有关结论.