线性系统的稳定性
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
自动控制原理稳定性判据知识点总结
自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。
在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。
本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。
一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。
2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。
2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。
在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。
2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。
常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。
这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。
2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。
常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。
2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。
其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。
2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。
3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。
3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。
系统的特征根
第一列元素变号一次，有一个正根； 全零行对应有一对纯虚根和一个正根； 系统不稳定
第四章 控制系统的时域分析
第3小节 劳斯判据的应用
一、确定参数的取值范围
当闭环特征方程中的某个参数未知时，应 用劳斯判据可以在保证闭环系统稳定的要求下， 获得参数的取值范围。 例：已知系统如图，试确定使系统闭环稳定的
参数分别取值： 特征根分别为：
单位脉冲响应输出曲线分别为：
c(t ) 4.5
4 3.5
3
曲线发散，系统不稳定
a 3
2.5
2
1.5
a0
1
曲线归于0，系统稳定
0.5
a 3
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t /秒
线性系统稳定的充要条件 系统特征方程的根（即系统的闭环极点）
为负实数或是具有负实部的共轭复数。
二、线性系统稳定的充要条件
对控制系统实施理想的单位脉冲信号，模 拟瞬间的外作用，即短暂作用后立即消失的作 用，观察系统的响应：
考察一阶惯性系统的单位脉冲响应 一阶惯性系统的输入输出传递函数为：
系统的特征根： 在单位脉冲信号作用下，系统的输出响应为：
反拉氏变换后，系统时域下的输出为：
指数函数的特点：当指数部分为负数时， 随着 t的增大，函数值会逐渐减小直至为零
一、线性系统的稳定性
自动控制系统稳定性的定义： 线性系统处于某一初始平衡状态，在外
作用下偏离了原来的平衡状态，当外作用消 失后，若经过足够长的时间，系统能够回到 原平衡状态或回到平衡点附近,则称系统是稳 定的，或称系统具有稳定性；否则，称系统 是不稳定的或不具有稳定性。
线性稳定性
i1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O 注意：稳定性与零点无关
Pn
P4
例. 试判断系统
C(S)
1
R(S) S 3 4S 2 5S 2
的稳定性。
解:
3 S
2 4S
5S
2
0
(S 1)(S2 3S 2) (S 1)2 (S 2) 0
• 系统稳定的定义，该系统是不 稳定的。
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 ((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
s6 1 3 5
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
表
s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2ε +8) -7ε 2
D(s) a 0s 2 a1s1 .a 2 0
二阶系统
a0>0时
1 a1 0
2
a1 a0
0 a 2 a1a 2 0
a0>0时, a1>0, a2>0(全部系数数同号)
三阶系统
D(s) a 0s3 a1s2 .a 2s a 3 0 a0>0时
s2
e1
s1
f1
s0
g1
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
a2 a4 a6 … a3 a5 a7 … b2 b3 b4 …
c2 c3 c4 …
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
线性系统稳定性分析
例3-4
列劳斯表 S6
S5 S4 S3 S2 S1 S0
一个控制系统的特征方程为
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
F (s) 2s 4 12s 2 16
dF ( s ) 8s 3 24 s ds
j 2 , j2
s1
a 0
设 s s1 a z a 代入原方程式中，得到以 s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该 方程中是否有根位于垂线 s a 右侧。 此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的 根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
例题3－5
例题
例3-6
设系统如图所示 . (1)试应用 Routh判据确定使系统稳定的 开环增益 K 的取值范围。 (2)如果要求闭环极点全部 位于S -1垂线之左 , 问K至范围应取多大 ?
2.线性系统稳定的充要条件
线性系统稳定的充要条件：闭环系统特 征方程的所有根均具有负实部；或者说闭
环传递函数的极点均严格位于左半平面。 系统的稳定性只与系统自身结构参数有 关，而与初始条件、外作用大小无关；系 统稳定性只取决于系统特征根（闭环极 点），而与系统零点无关。
S平面特征根分布与稳定性关系
1
改变一次
改变一次
有两个实部为正的根。
劳斯表中出现全零行 解决的办法
用系数全为零行的上一行系数构造一个辅 助多项式，并以这个辅助多项式导数的系 数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯 表的排列。 这些大小相等、径向位置相反的根可以 通过求解这个辅助方程式得到，而且其 根的数目总是偶数的。相应方程中含有 一些大小相等符号相反的实根或共轭虚 根。相应的系统为不稳定。
线性系统稳定性分析
线性系统稳定性分析1.系统的稳定性：（1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
（2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。
当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。
对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。
2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。
如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。
对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。
系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。
3. Lyapunov 稳定性分析（1）Lyapunov 稳定性定义设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。
设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。
第三章 线性系统的稳定性
定义4.1 如果对给定的任一实数 0，都对应地存在
一个实数（t0 ,） 0,使得由不等式 x0 xc （t0 ,）的 任一初态出发的受扰运动都满足不等式 x(t; x0 , t0 ) - xc
t t0则称平衡状态xc是lyapunov意义下稳定的。如果 xc 0则称原点是lyapunov意义下稳定的。
下面给出原点为平衡状态的系统，其大范围渐进稳定 的判别定理，通常称为lyapunov主稳定定理。
定理1 [大范围一致渐进稳定的定理]对系统x& f ( x, t) t t0如果存在一个x和t的标量函数V ( x, t )且满足如下条件： 1） V ( x, t)，V&x ( x, t)和V&t ( x, t)对x, t连续，且V (0, t) 0 2） V ( x, t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数
a
b
向量范数，如果存在两个与
无关的正常数d1
,
d
使得
2
d1
b
a
d2
, V
b
则称范数 和 是等价的。
a
b
定理1 有限维线性空间V 上的任意两个向量范数都是
等价的。
定义4 设 A 是以C mn中的矩阵A为自变量的非负实值 函数，如果它满足以下三个条件： 1） 非负性：对A 0时，A 0.当A 0时，A 0 2） 齐次性：对任意k C , A C mn ,有 kA k A 3) 三角不等式：对任意A, B C mn , 有 A B A B 则称 A 为m n矩阵A的范数。 若 AB A B , 称 g 具备相容性条件。
2c
x(t) (t, )x( ) (t, ) x( )
x(t ) x( ) Nec( t )
线性系统的稳定性
r
t
h
et
d
r0
h
e
d
h
d
此式表明：若
ht
d
t无界，则r0也无界
必要性得证。
X
7
第
四．因果系统稳定性的判据
页
充分必要条件 ： h(t) d t 0
X
系统是稳定的。
lim h(t) 0
t
例如 1 , s p
p0
系统稳定；
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定。
X
3
第
2．不稳定系统
页
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶
（或以上）极点
lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t 为,阶h(跃t) 或等幅振荡。
ht d t M
M为有界正值。
X
5
三．证明
第
页
充分性
对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：
r
t
h
et
d
代入
et
Me
rt
，得
r t
h
பைடு நூலகம் Me
et h
d
d
如果满足
X
4
二．定义（BIBO）
第 页
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的， 则称此系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统， 简称稳定系统。
§4.10 线性系统的稳定性
此式表明： 若 无界， r 此式表明： ∫ h(t ) d t无界，则 (0)也无界 −∞ 必要性得证。 必要性得证。
∞
−∞
−∞
第
稳定系统的充分必要条件是： 稳定系统的充分必要条件是： −∞ h(t ) d t ≤ M ∫
∞
6 页
jω
jω 0
−α
O
α
σ
− jω 0
第
四．由H(s)的极点位置判断系统稳定性
−∞ ∞
代入e(t ) ≤ Me ， 得
−∞
r(t ) ≤ Me ∫ h(τ ) dτ
∞ −∞
如果满足 ∫
∞
−∞
h(t )dt ≤ M， 则
充分性得证
r(t ) ≤ Me M
第 4 页
必要性
r 已知 e( t ) ≤ Me ， ( t ) ≤ Mr ⇒
已知 e( t ) ≤ Me ，
已知 e( t ) ≤ Me ，
1 G(s) = (s −1)(s + 2)
F(s)
+∑
X(s)
G(s)
Y(s)
−
k 当常数k满足什么条件时 系统是稳定的？ 满足什么条件时， 当常数 满足什么条件时，系统是稳定的？
加法器输出端的信号 输出信号
X(s) = F(s) − kY(s)
Y(s) = G(s) X(s) = G(s)F(s) − kG(s)Y(s)
18 页
L[ f (t )] = F f (t ) ⋅ e−σ t u(t ) = F(s) s=σ +jω
单边拉氏变换的收敛域的情况为： 单边拉氏变换的收敛域的情况为：
[
]
, s 当σ0 > 0时 收敛边界落于 右半平面
线性系统的稳定性
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
第7章线性系统的稳定性分析
(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即
线性系统的稳定性
设控制系统的特征方程式为
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an = 0
必要条件是 （1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： ） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 均为 正值，且特征方程式不缺项。 正值，且特征方程式不缺项。 （2）列劳斯表。 ）列劳斯表。
s ( s 2 + s + 1)( s + 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C (s) K = 2 R( s ) s ( s + s + 1)( s + 2) + K
所以系统的特征方程为
D( s) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
4 3 2
列劳斯表如下: 列劳斯表如下
D( s ) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5 0
由于该表第一列系数的符号变化了两 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方 不稳定的 程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定 程中有两个根 右半平面 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的 的取 ：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取 值范围。 值范围。 K
ε
→ −∞ < 0
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 在劳斯表的某一行中， 在劳斯表的某一行中 情况。 情况。 (1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行 (2)再将上述辅助方程对 求导 再将上述辅助方程对s求导 再将上述辅助方程对 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 用求导后的方程系数代替全零行的元素， 用求导后的方程系数代替全零行的元素 续完成劳斯表。 续完成劳斯表。
自控理论 3-5线性系统的稳定性分析
a1 Dn =
a3
a5 a4 a3
a7 a6 a5
L 0 L L L L M 0 0 0 0 M
a0 a2 0 a1 0 a0 0 0 M M 0 0
a2 a4 a1 a3 M M 0 0
L an
即
Di > 0
( i = 1, 2,Ln )
其中 D1 = a1 > 0 , D2 = a1 D3 = a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 > 0 a3
• 线性系统的稳定性只取决于系统的结构及 参数，而与初始条件、 参数，而与初始条件、外作用大小及形式 无关。 无关。 • 稳定性只取决于系统闭环极点，而与系统 稳定性只取决于系统闭环极点， 零点无关。 零点无关。
作业： － － 作业： 3－A－8 3－A－9 － －
§3-5 线性系统的稳定性分析 一、稳定的概念 稳定性是指扰动消失后， 稳定性是指扰动消失后，系统由初始偏 差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统 差状态恢复到原平衡状态的性能。 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的， 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否 则不稳定。 则不稳定。
线性系统稳定性的定义： 线性系统稳定性的定义： 若线性控制系统在扰动作用下， 若线性控制系统在扰动作用下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称 系统渐近稳定，简称稳定。反之， 系统渐近稳定，简称稳定。反之，若在扰动 作用下， 作用下，系统的动态过程随时间的推移而发 则称系统不稳定。 散，则称系统不稳定。
【例3-5】D(s)= s4 + 2s3 +3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯 】 判据判别系统是否稳定, 若不稳, 确定正实部根的数目。 判据判别系统是否稳定 若不稳 确定正实部根的数目。
线性稳定性
劳斯表出现零行
1 2
出劳系斯 现统表零一何行定时怎不会么出办稳现?定零行?
③ 解辅助方程得对称根:
s1,2=±j
由综合除法可得另两
3 如何求对称的根?
个根为s3,4= -2,-3
设系统特征方程为：
s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0 第三行全部为零！
s5 1
3
2
s4 1
3
2
s3 4
6
由上一行构造辅助方程。 Q(s)=s4+3s2+2=0 求导得：4s3+6s=0 由此方程得到s3行的各项系数
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 ((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
s6 1 3 5
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
表
s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2ε +8) -7ε 2
s0 7ε
7
第一列出现零元 素时，用正无穷小量 ε代替。
a0 a2
b1
a1 a3 a1a2 a0a3
a1
a1
a0 a4
b2
a1 a5 a1a4 a0a5
a1
a1
a1 a3
c1
b1 a1b1
b2 a5
b1a3 a1b2 b1
c2
b1 b3 b1a5 a1b3
b1
b1
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一， 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
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5 页
yt h f t d
代入 f t M f ， 得
如果满足
y t M f h d
ht dt M ， 则
yt M f M
称朱里排列。
A( z ) an z an 1 z
n
B( z ) , 设n阶离散系统的 H ( z ) A( z )
n 1
A(z)为
an 2 z
n 2
a1 z a0
X
第
19 页
朱里排列如下：
X
第
20 页
朱里排列共有(2n-3)行。第1行为A(z)的各项系数从an
7 页
X
第 8 页
p1, 2 1 1 4 K 2 (1)当1 4 K 0时，K 1 为实极点，为使其在单 4 位圆内，要求 : 1 1 4 K 1， 1 1 4 K 1 2 2 则：K 2，K 0。因而有K 0 极点
1 时为复极点 : p 1 j 4 K 1 (2)当1 4 K 0时，即K 1, 2 4 2 为使极点在单位圆内，必须 p1, 2 1，则K 1，综合上述结果， 当 0 K 1 时系统是稳定的。
, d n 3
cn 1 c1 c0 cn 2
, d n4
cn 1 c2 c0 cn 3
,
X
第
21 页
朱里准则是: A(z)=0的根，即H(z)的极点全部在单位圆 内的充分和必要条件为
各奇数行，其 第一个元素必 大于最后一个 元素的绝对值
A(1) A( z ) z 1 0 n (1) A(1) 0 an c0 an 1 c0 an 2 d 0 r2 r0
X
第
15 页
例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为
s2 H1 ( s ) 4 3 2 s 2 s 3s 5 2s 1 H 2 ( s) 5 4 3 2 s 3s 2 s 3s 2 s 1 s 1 H 3 ( s) 3 s 2 s 2 3s 2
X
第 9 页
五. 连续系统的稳定性准则（罗斯准则）
罗斯-霍尔维兹准则 设n阶线性连续系统的系统函数为
B( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) A( s ) an s n bn 1s n 1 a1s a0
式中，m≤n，ai(i=0, 1, 2, …, n)、bj(j=0, 1, 2, …, m)是实常数。
§ 线性系统的稳定性
•引言
•定义（BIBO）
•证明 •由H(•)的极点位置判断系统稳定性 •稳定性准则
第
一．引言
某连续时间系统的系统函数
1 0.001 H s s1 s2
2 页
当输入为ε(t)时，系统的零状态响应的象函数为
1 0.005 1 0.005 Yzs s s s 1 s 2
解：由左右加法器可得 X ( z ) ( z 1 Kz 2 ) X ( z ) F ( z ) Y ( z ) (1 2 z 1 3 z 2 ) X ( z ) 则系统函数为 Y ( z ) 1 2 z 1 3 z 2 z 2 2z 3 H ( z) 2 1 2 F ( z ) 1 z Kz z zK 极点 p1, 2 1 1 4 K 2
X
第
罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则， 称为罗斯-霍尔维兹准则 (R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两 部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。
11 页
X
第
12 页
若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵 列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按 以下规则计算：
X
充分性得证
第
必要性
如果 ht d t无界，则至少有一个 有 界的f (t )产生无界
6 页
的y (t )。选择如下信号：
这表明 f t ht ht , 则响应 yt
yt h f t d
1 f t sgn ht 0 1
判断三个系统是否为稳定系统。
X
第
16 页
解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的 系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定 系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进 一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为
A3 ( s) s 2s 3s 2
yt M y
f t M f
4 页
则称该系统是稳定的。式中， f , M y为有界正值。 M 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积或可和条件）：
ht d t M
k 0
M为有界正值。
h( k ) M
X
第
三．证明（以连续系统为例） 充分性 对任意有界输入f(t)，系统的零状态响应为：
0.005 1
yzs t 1 e 0.005 e t
t 2t
但t 很大时，这个正指数项超过其他 项并随着t 的增大而不断增大
X
第
……续
实际的系统不会是完全线性的这样，很大的信号将 使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截 止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系 统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备
3 2
A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为
1 2 c2 d2
3 2 c0 d0
X
第
17 页
根据式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得
1 3 1 c2 2 2 2 2 1 d2 2 2 2 0 2 2 1 c0 0 2 2 0 2 0 1 d0 0 2 0 0 1 0
X
第
13 页
罗斯判据(罗斯准则) 指出： 多项式A(s)是霍尔维
兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为
正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明A(s)=0在
右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或 从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根 据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列 元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平 面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符 号不完全相同， 则系统是不稳定系统。
X
第
23 页
c2 c1 c0
12 1 1 12 12
143 185 68
7
1 16 12 16 1 7
根据朱里 0 (1)3 A(1) 36 0 c2 c0
X
到a0 依次排列，第2行是第1行的倒排。若系数中某项为 零，则用零替补。第3行及以后各行的元素按以下规则计 算：
cn 1 d n2
a n a0 a0 a n
, cn 2
an a1 a0 an 1
, cn 3
an a2 a0 a n 2
,
an 1 c0 c0 cn 1
3 页
等。
稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激
励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数
从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。
X
第
二．定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO） 稳定的系统，简称稳定系统。 对所有的激励信号f(t) 其响应y(t)满足
ht 0
ht 0
ht 0
y0 h f d h d
此式表明：若 ht d t无界，则y0也无界 必要性得证。
X
第
四．由H(s)、 H(z) 的极点位置判断系统稳定性
例 7.2-2 如图7.2-4所示的离散系统，当K满足什么条件时， 系统是稳定的？
X
第
22 页
例 7.8-2 已知离散系统的系统函数为
z z3 H ( z) 3 2 12 z 16 z 7 z 1
2
判断系统是否为稳定系统。 解 H(z)的分母A(z)=12z3-16z2+7z-1，对A(z)的系数进
行朱里排列， 得
12 16 7 c2 c1 c0
1
1 7 16 12
因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据 R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。
X
第
18 页
六.离散系统的稳定性准则（朱里准则）
朱里提出了一种列表的方法来判断H(z)的极点是否全部 在单位圆内，这种方法称为朱里准则。朱里准则是根据H(z)
的分母A(z)的系数列成的表来判断H(z)的极点位置，该表又
H(s)的分母多项式为
A( s) an s an 1s
n
n 1
a1s a0
X
第
10 页
H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，
则A(s)称为霍尔维兹多项式。
A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都 不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数， 可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai ＞0。 显然， 若A(s)为霍尔维兹多项式， 则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准 则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包 括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。