2020-2021深圳罗芳中学高中三年级数学下期中模拟试题(附答案)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题附答案(2)
（Ⅱ）令 ，设数列 的前n项和为 ，求使 成立的最大自然数n的值.
22．记等差数列 的前n项和为 ,已知 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式;
（Ⅱ）令 ,求数列 的前n项和 ．
23．设递增等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S3＝13，数列{bn}满足b1＝a1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上，n∈N*.
4．A
解析：A
【解析】
由等差数列的性质得， ， 其前 项之和为 ，故选A.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成 在 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当 取最大值时， 在 轴截距最大
平移直线 ，可知当直线 过图中 点时，在 轴截距最大
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
：先设第一个音的频率为 ，设相邻两个音之间的频率之比为 ，得出通项公式，
根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【详解】
：设第一个音的频率为 ，设相邻两个音之间的频率之比为 ，那么 ，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍， ，所以 ，故选D
19．（理）设函数 ，对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是______．
20．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．
三、解答题
21．设数列 满足 ，其中 .
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(7)
解：画出函数f（x）＝ x2﹣3x+4＝ （x－2）2＋1的图象，如图，
可得f（x）min＝f（2）＝1，
由图象可知，若a>1，则不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．
又不等式a≤ x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，
所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得
【点睛】
本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
设 ，计算出 的三条边长，然后利用余弦定理计算出 ．
【详解】
如下图所示，不妨设 ，则 ，过点 作 ，垂足为点 ，
易知四边形 是正方形，则 ， ，
在 中， ，同理可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故选C．
故填9
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件
14．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4
【解析】
9．D
解析：D
【解析】
【详解】
试题分析：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故选D.
考点：等差数列的通项公式、前n项和公式.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意可得n≥2时，an-an-1=n，再由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，可得an，求得 = =2（ - ），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题带答案(7)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题带答案(7)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．525．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A 25B 5C 310D 106．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13C ．12+D ．47．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或78．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-19．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．2二、填空题13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .14．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．15．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________． 16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 19．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．20．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.三、解答题21．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.22．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .23．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 31cos a Cc A=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积43ABC S ∆=a 的值.25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S26．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．5．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222521310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．6．A解析：A 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()()11122222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅+--- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.7．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x+-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1）而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 14．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11 【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．15．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980 【解析】 【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解. 【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2018是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980 【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．16．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1当n ＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an ＝4n=12n+1n≥2【点睛】本题考 解析：【解析】 【分析】根据和项与通项关系得结果. 【详解】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝.【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；18．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.19．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．20．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.三、解答题21．(1) cos DAC ∠=AC =(2) 3 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ． 【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得AC =11272cos 27ACDAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1）可得：cos sin 77αα==，()sin sin 120BAC α︒∴∠=-1272714=+⨯=，()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-sin 22777α==⨯=在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC ACBAC B=∠，3BC ⨯∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 22．（1）3C π=；（2）S =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；（2）由题意及三角形面积公式可得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，结合特殊角的三角函数值得到2B π=，从而得到结果.【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， ∴2sin cos sin()sin C C A B C =+=， ∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈， ∴3C π=.（2）222224()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=，∴由余弦定理得2cos 22sin ac B ac ac B -+=， ∴sin cos 1B B +=，∴sin 4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2B π=，∴S = 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题．23．（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2）4 【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2pp 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.24．（1）3A π=；（2）【解析】 【分析】（1）把sin 1cos a C A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】（1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 24ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度． 25．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷含答案(2)
（2）求线段 长度的最大值以及此时 的面积，
26．已知点（1，2）是函数 的图象上一点，数列 的前 项和是 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得 由余弦定理得
19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两
解析：[－2，+ ）
【解析】
【分析】
根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ ），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
7．B
解析：B
【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，选B.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由 的三个内角 成等差数列，得出 ,又因为 、 、 成等比数列，所以 ，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为 的三个内角 成等差数列，
解析：4980
【解析】
【分析】
表中第 行共有 个数字，此行数字构成以 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.
【详解】
解：表中第 行共有 个数字，此行数字构成以 为首项，以2为公差的等差数列．排完第 行，共用去 个数字，
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷(含答案)(4)
yx M OB ，联立{
，解得 B( 4m , 4m ) ，所以 OB 2 4m ，由
x m( y 4)
m 1 m 1
m 1
2 4m 2 ，解得 1 m 1 ，所以 1 m 0 ，综上所述，实数 m 的取值范围是
m 1
3
5
3
1 3
,
，故选
C.
考点：简单的线性规划. 【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最
B．a＜b
C．a＝b
D．a 与 b 的大小关系不能确定
6．已知数列{an}满足 log3 an 1 log3 an1(n N ) 且 a2 a4 a6 9 ，则
log1 (a5 a7 a9 ) 的值是( ) 3
A．－5
B．－ 1 5
C．5
D． 1 5
7．两个等差数列
an
和
bn
，其前
n
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中
档题．
3．C
解析：C 【解析】
y4
试题分析：直线 x m y 4 恒过定点 (0, 4) ，当 m 0 时，约束条件{x y 0 对应 x m y 4
的可行域如图，则 OP OA R 的最小值为 M 0 ，满足 M 2 ，当 m 0 时，
（1）若 AC 5 ，求 ABC 的面积；
（2）若 sin CAD 2 5 ， AD 4 ，求 CD 的长． 5
25．若 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和，且 S1, S2 , S4 成等比数列， S2 4 .
（1）求数列 an 的通项公式；
3
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(1)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(1)一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．854．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-5．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．846．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．607．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 48．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．3229．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．18210．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．6211．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．1312．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________18．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 19．已知数列的前项和，则_______．20．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．三、解答题21．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △11b c +的值．24．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =，设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.6．B解析：B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．7．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.9．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．10．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.11．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.12．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=； 考点：累加法求数列通项公式二、填空题13．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析：10 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．14．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=. 故答案为:12n n a -=.【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.17．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+解析：91 【解析】 【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.19．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n解析：2 【解析】 【分析】 【详解】由S n ＝n 2+n （n ∈n *）， 当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴22，∴2，故答案为2．20．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．三、解答题21．（1）2n a n =；（2）S n ＝212n -•3n +1+32【解析】 【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；（2）求得b n ＝2n •3n ，由数列的错位相减法求和即可． 【详解】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 3＝6，且前7项和T 7＝56． 可得a 1+2d ＝6，7a 1+21d ＝56，解得a 1＝2，d ＝2，则a n ＝2n ； （2）b n ＝a n •3n ＝2n •3n ，前n 项和S n ＝2（1•3+2•32+3•33+...+n •3n ）， 3S n ＝2（1•32+2•33+3•34+...+n •3n +1）， 相减可得﹣2S n ＝2（3+32+33+ (3)﹣n •3n +1）＝2•（()31313n --﹣n •3n +1），化简可得S n ＝212n -•3n +1+32．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】 【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 23．（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试卷及答案(1)
【解析】
【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前 项和公式求出前 项和.
【详解】
正项等比数列 满足 ， ，
即
则有
代入有
又因为 ，则
故答案为
【点睛】
本题考查了求等比数列前 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
12．在等差数列 中， 表示 的前 项和，若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 满足 ，则 的取值范围是__________.
14．已知数列 的前 项和为 ，则此数列的通项公式为___________．
15．已知 ，若正数a、b满足 ，且 的最小值为1，则实数 的值为______．
∴由等差数列的求和公式可得 ，故选C。
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
二、填空题
13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
16．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2得＋1＋q＋q2=
解析：
【解析】
由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4= ＋a2＋a2q＋a2q2，
得 ＋1＋q＋q2= .
17．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-6
2020-2021高中三年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案)(6)
A． 243
B． 242
C． 162
D． 243
5．设数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项，2 为公比的等
比数列，则 ab1 ab2 ab10 （ ）
A．1033
B．1034
C．2057
D．2058
6．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 a cos B 4c bcos A，则
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
数列{an}满足 an1 an (1)n n ，可得 a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{an}满足 an1 an (1)n n ，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．
则数列{an}的前 20 项的和＝﹣（1+3+……+19） 10 119 100．
Sn
Sn1
1
3 2 an
1
3 2 an1
3 2 an
3 2
an1
，即
1 2 an
3 2
an1
，即
an an1
3n
2 ，数列an是首项 a1
2
，公比 q
3 的等比数列，
S5
a1
1 q5 1 q
2 1 35
13
242 ，故选 B.
5．A
解析：A 【解析】
【分析】
【详解】
首先根据数列{an}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等 比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据 ab1+ab2+…+ab10=1+2+23+25+…+29+10 进行求和． 解：∵数列{an}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=2+（n-1）×1=n+1， ∵{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， ∴bn=1×2n-1， 依题意有：ab1+ab2+…+ab10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选 A．
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题带答案
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题带答案一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-3．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4015．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．327．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．9．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．110．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-311．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．512．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 14．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 17．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．18．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．22．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;(2)若1,3c a ==,求S .23．已知()f x a b =⋅v v ，其中()2cos ,3sin 2a x x =-v，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =，且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线，求边长b 和c 的值． 24．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．25．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B 【解析】【分析】【详解】先作可行域，而46yx++表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以46yx++的取值范围是[,][3,1]AD ACk k=-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．A解析：A【解析】【分析】【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划3．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．6．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.7．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．8．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.10．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．11．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(2)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(2)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4014．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-5．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．326．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．97．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1829．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．1610．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14011．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202012．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．23二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 的面积为6，则BC 的长为______． 16．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 17．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．18．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题21．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <．23．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 24．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 26．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．6．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．9．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===，所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】【分析】 根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x =+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.【详解】 ∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r 共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴y x 的最小值为 【点睛】 该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.15．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题【解析】【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可.【详解】由题意得, 11sin sin 22A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2717BC =+-=,即BC =.故A 为钝角.此时cos A ==故27110BC =++=.即BC =【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.16．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C=∠∠，即o o 2sin 30sin 75BE =，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB 的取值范.考点：正余弦定理；数形结合思想18．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6【解析】【分析】【详解】如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x =,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.19．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将 解析：2或1-.【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2所以2a =或1a =-故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.20．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.三、解答题21．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.22．（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ② -①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12n n a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+， 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．23．(1)212n a n =-;(2)4(13)n n S =-.【解析】【分析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、 （1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-Q ，∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--． 24．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1sin sin 602B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin BC +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）13-（2）3【解析】【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin 3C =，根据ABC ∆的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，所以()sin 3cos 10+=A C ，因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 24∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中， 由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，所以()29a b +=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题26．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案. （Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=． （Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ， 即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，②联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(含答案)(11)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(含答案)(11)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．644．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．322B 5C ．5D ．927．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S8．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．19．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．810．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 18．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =+=ABC ∆中边上的高h .22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.23．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，7c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S25．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．26．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数；④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数. 答案：C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.3．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.4．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.5．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．10．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．11．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．C【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题13．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】 【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （ 解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1当n ＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an ＝4n=12n+1n≥2【点睛】本题考解析：【解析】 【分析】根据和项与通项关系得结果. 【详解】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝.【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.17．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x a ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.【详解】∵()3af x x x=++，*x ∈N ， ∴()2221a x af x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意， 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =，当0x a <<时，即()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，当x a >时，即()0f x '>，函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，∴当x a =时，函数()f x 取最小值，又*x ∈N ，∴x 应取离a 最近的正整数使()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值， ∴56a <<或45a <≤，∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354a a++≤++， 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.19．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备A 类产品 （件）（≥50）B 类产品 （件）（≥140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．20．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际 21 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ， 所以207BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．三、解答题21．(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=；（2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论．详解：（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以3C π=；（2）由余弦定理()22232cos33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即113222⨯⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．（1）6π；（2）10-. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan 3A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan 3A =，tan 6B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab Ca b c =+-由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 23．（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题. 24．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
2020-2021深圳罗芳中学初三数学下期中模拟试题(附答案)
2020-2021深圳罗芳中学初三数学下期中模拟试题(附答案)一、选择题1．已知4A 纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则4A 纸的高度约为（ ）A ．29.7cmB ．26.7cmC ．24.8cmD ．无法确定2．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ：DB ＝2：3，则下列结论中正确的（ ）A ．23DE BC =B ．25DE BC = C ．23AE AC =D ．25AE EC = 3．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知反比例函数y ＝﹣6x，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点（﹣3，2）B ．函数图象分别位于第二、四象限C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3D ．y 随x 的增大而增大5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），坝高3m BC =，则坡面AB 的长度是（ ）．A ．9mB ．6mC ．63mD ．33m 6．如图，直线12y x b =-+与x 轴交于点A ，与双曲线4(0)y x x =-<交于点B ，若2AOB S ∆=，则b 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 7．对于反比例函数y=1x，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣1） B ．图象关于y 轴对称C ．图象位于第二、四象限D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 8．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝12m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．15mB ．203mC ．24mD ．103m 9．如图，过反比例函数的图像上一点A 作AB ⊥轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，:1:2AD BD =，那么下列条件中能够判断//DE BC的是( )A．12DEBC=B．31DEBC=C．12AEAC=D．31AEAC=11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．15B．25C．215D．812．如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )A．3B．3或43C．3或34D．43二、填空题13．已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-，那么k的值是__．14．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．15．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.16．如图，等腰直角三角形ABC中， AB=4 cm.点是BC边上的动点，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE.在点D从点B移动至点C的过程中，点E移动的路线长为________cm.17．在ABC ∆中，若45B ∠=o ，102AB =，55AC =，则ABC ∆的面积是______．18．如图，已知两个反比例函数C 1：y ＝1x 和C 2：y ＝13x在第一象限内的图象，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_____．19．如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m ，则玲玲的身高约为________m ．（精确到0. 01m ）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.20．在 ABC V 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE = ________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC V 相似．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝b ． （1）若a ＝3，b ＝4，求DE 的长；（2）直接写出：CD ＝ （用含a ，b 的代数式表示）；（3）若b ＝3，tan ∠DCE=13，求a 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A 、B 、C 都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中()A 1,8，()B 3,8，()C 4,7． ()1ABC V 外接圆的圆心坐标是______；()2ABC V 外接圆的半径是______；()3已知ABC V 与DEF(V 点D 、E 、F 都是格点)成位似图形，则位似中心M 的坐标是______；()4请在网格图中的空白处画一个格点111A B C V ，使111A B C V ∽ABC V ，且相似比为2：1．23．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.24．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．25．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】设A4纸的高度为xcm ，对折后的矩形高度为2x cm ，然后根据相似多边形的对应边成比例列方程求解.【详解】 设A4纸的高度为xcm ，则对折后的矩形高度为2x cm ， ∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴21=212x x 解得21229.7=≈x故选A.【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边成比例，找到对应边列出方程是关键. 2．B解析：B【解析】【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】∵AD ：DB =2：3，∴AD AB =25． ∵DE ∥BC ，∴DE BC =AD AB =25，A 错误，B 正确；AE AC =ADAB=25，C错误；AE EC =ADDB=23，D错误．故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．【详解】连接AB，由图可知：OA=0B，AO=AB∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．5．B解析：B【解析】由图可知，:BC AC =tan BAC ∠=， ∴30BAC ∠=︒， ∴36m 1sin 302BC AB ===︒． 故选B ． 6．D解析：D【解析】 因为直线12y x b =-+与x 轴交于点A ,所以令y =0,可得:1 02x b -+=,解得2x b =, 则OA =2b ,又因为2AOB S ∆=,所以B 点纵坐标是:2b ,因为B 点在4(0)y x x =-<,所以B 点坐标为(－2b ,2b ),又因为B 点在直线12y x b =-+上,所以()2122b b b =-⨯-+,解得1b =±,因为直线12y x b =-+与y 轴交于正半轴,所以0b >,所以1b =,故选D. 7．D解析：D【解析】A 选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x的图象上，故本选项错误；B 选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；C 选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；D 选项：∵k=1＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故是正确的．故选B ． 8．C解析：C【解析】【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：Rt △ABC 中，BC ＝12cm ，tanA ＝1∴AC＝BC÷tanA＝123cm，∴AB＝2212(123)+＝24cm．故选：C．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．9．C解析：C【解析】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k的几何意义.10．D解析：D【解析】【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【详解】如图，可假设DE∥BC，则可得12AD AEDB EC==，13AD AEAB AC==，但若只有13DE ADBC AB==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．11．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】 作OH ⊥CD 于H ，连结OC ，如图，∵OH ⊥CD ，∴HC=HD ，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA ﹣AP=2，在Rt △OPH 中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1， 在Rt △OHC 中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=22=15OC OH -，∴CD=2CH=215．故选C ．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键12．B解析：B【解析】AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43，AP AQ AC AB =,246AQ =，AQ =3.故选B.点睛：相似常见图形（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图）（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：二、填空题13．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k的值【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．【详解】∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答14．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4解析：【解析】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CDBC AC=，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得.15．14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告解析：14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14．点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．16．【解析】试题解析：连接CE如图：∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形∴AC=ABAE=AD∠BAC=45°∠DAE=45°即∠1+∠2=45°∠2+∠3=45°∴∠1=∠3∵∴△ACE∽△ABD∴∠解析：【解析】试题解析：连接CE，如图：∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，∴2AB ，2AD ，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3，∵2AC AEAB AD== ∴△ACE ∽△ABD ，∴∠ACE=∠ABC=90°，∴点D 从点B 移动至点C 的过程中，总有CE ⊥AC ，即点E 运动的轨迹为过点C 与AC 垂直的线段，22， 当点D 运动到点C 时，2， ∴点E 移动的路线长为2cm ．17．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25解析：75或25 【解析】 【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积． 【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ABD ∆中，sin 10AD AB B =⋅=，cos 10BD AB B =⋅=； 在Rt ACD ∆中，10AD =，55AC = ∴225CD AC AD =-=，∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=，∴1752ABC S BC AD ∆=⋅=或25． 故答案为：75或25．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．18．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△解析：2 3【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=111236⨯=，S矩形PCOD=1，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形P AOB的面积．【详解】∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=11||23⋅=111236⨯=，S矩形PCOD=1，∴四边形P AOB的面积=1﹣2×16=23．故答案为：23．【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．掌握反比函数比例系数k的几何意义是解答本题的关键．反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．19．79【解析】【分析】身高影长和光线构成直角三角形根据tan55°=身高：影长即可解答【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=125×1428≈179（m）故答案为179【点睛】本题考查了解直角三解析：79【解析】【分析】身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55°=身高：影长即可解答．【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）．故答案为1.79．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用．20．【解析】当时∵∠A=∠A∴△AED∽△ABC此时AE=；当时∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC此时AE=；故答案是：解析：512 35或【解析】当AE ABAD AC=时，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE=·621255 AB ADAC⨯==；当AD ABAE AC=时，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE=·52563 AC ADAB⨯==；故答案是：125 53或.三、解答题21．（1）710；（2）22ab a b+；（3）101-.【解析】【分析】（1）求出BE，BD即可解决问题．（2）利用勾股定理，面积法求高CD即可．（3）根据CD＝3DE，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，a＝3，b＝4，∴223 5,cos5BCAB a b BAC∴=+===．∵CD，CE是斜边AB上的高，中线，∴∠BDC＝90°，15 BE AB22==．∴在Rt △BCD 中，39cos 355BD BC B =⋅=⨯=5972510DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ∴==ABC 11S AB CD AC BC 22=⋅=⋅V QAC BC CD AB ⋅∴=== （3）在Rt △BCD 中，2cos BD BC B a =⋅==∴222DE BE BD =-==， 又1tan 3DE DCE CD ∠==， ∴CD ＝3DE 223=．∵b ＝3，∴2a ＝9﹣a 2，即a 2+2a ﹣9＝0．由求根公式得1a =-±即所求a 1-． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）(2，6);（2（3）(3，6) ;（4）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据作图,结合网格特点解答；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答； （3）根据位似变换和位似中心的概念解答；（4）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答. 【详解】 解：（1）如图1，由作图可知△ABC外接圆的圆心坐标是(2，6),故答案为(2，6)；（2）作AB、BC的垂直平分线交于G，连接AG，根据网格特点可知，点G的坐标为（2，6），则AG=22=5，12则△ABC外接圆的半径是5，故答案为5；（3）如图2，连接BE、FC，根据网格特点，BE与FC交于点M，点M的坐标为（3，6），根据位似中心的概念可知，位似中心M的坐标是（3，6），故答案为（3，6）；（4）由网格特点可知，AB=2，2，10，∵△A1B1C1∽△ABC2：1,∴A1B12，B1C1=2，A1C15所求的△A1B1C1如图3．【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）CD=3【解析】【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B为AF的中点，∴BF=AB，∴设CD=BF=x，∵△CDE∽△CBF，∴CD DE CB BF=，∴13xx =，∵x>0，∴即：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质24．（1）100(0 1.5)225( 1.5)x xyxx⎧⎪=⎨⎪⎩剟…；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班，见解析．【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；（2）根据题意得出x=10时y的值进而得出答案．【详解】（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，则150=1.5k，解得：k=100，故y=100x，当1.5≤x时，设函数关系式为：yax=，则a=150×1.5=225，解得：a=225，故y225x=（x≥1.5）．综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y()()1000 1.52251.5x xxx⎧≤≤⎪=⎨≥⎪⎩；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．理由如下：∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，∴x=10时，y22510==22.5＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．【点睛】本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题，属于中考常考题型．25．(1)见解析 (2)△ABD∽△ACE【解析】分析：（1）由∠BAD=∠CAE易得∠BAC=∠DAE，这样结合∠ABC=∠ADE，即可得到△ABC∽△ADE．（2）由（1）中结论易得AB ACAD AE=，从而可得：AB ADAC AE=，这样结合∠BAD=∠CAE即可得到△ABD∽△ACE了．详解；（1）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．（2）△ABD∽△ACE，理由如下：由（1）可知△ABC∽△ADE，∴AB AC AD AE=，∴AB AD AC AE=，又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题附答案(3)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题附答案(3)一、选择题1．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD2．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．03．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．24．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,5．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+6．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．327．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 8．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．169．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256 B ．25C ．253D ．510．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．35二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．15．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____． 17．设0,0,25x y x y >>+=______.18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．19．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________20．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 25．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到2222AC BC AB AC BC +-=⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到1122225CD CD ⨯=⨯⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.2．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．3．C解析：C 【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，所以yx 的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.5．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．6．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.9．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题含答案(10)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题含答案(10)一、选择题1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．1102．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．24．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) ABCD5．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．146．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++8．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-9．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1610．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C ．16D ．811．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B．(C．()D．)12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．35二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________； 14．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.15．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___16．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 17．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________18．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 20．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 三、解答题21．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.22．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T 23．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V的面积为2，求a ，c . 25．已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.26．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-， 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10sin A = 由正弦定理sin sin a c A C=得sin 10sin 210a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=+， 23302b b +-=，33b -+=（33b --= ∴113333sin 122ABC S ab C ∆--==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A.8．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.10．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.12．C 解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和二、填空题13．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公解析：13【解析】 【分析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b +()C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b+取得最大值，从而求出结果.【详解】在ABC∆中由余弦定理可得2222cosc a b ab C=+-，所以2222cos3sin2cos3sin2cosb a a bc ab C ab C ab CC Ca b ab ab ab++++====+()13sin Cϕ=+，其中213sin13ϕ=，313cos13ϕ=，当b aa b+132Cπϕ+=，∴213cos cos sin213Cπϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭．213【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 14．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等解析：22【解析】【分析】由于{}n a是等比数列，所以1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值.【详解】设数列{}n a的公比为0q>，则1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a，公比为1q的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a+++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭L L ，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫-⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得12a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.15．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()221n n +-【解析】 【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-， 34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.16．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2 【解析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．17．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-.故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.18．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题含答案(4)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题含答案(4)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．525．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．36．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．37．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40368．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20179．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．10010．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1611．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞12．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．6二、填空题13．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 14．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．15．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 16．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC V 的面积为______．19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．三、解答题21．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，c =b ； （2）若sin 4B =，a =b ． 22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 24．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △b ，c ． 25．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13.故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到2222.22AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到AB=25, 再由等面积法得到112252522222CD CD ⨯⨯=⨯⨯⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．141141413()()(5)(56662b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．5．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.6．B解析：B 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.7．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.9．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.10．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．11．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.二、填空题13．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-解析：23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞ 【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --），即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．14．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式解析：[﹣3，3] 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：联立13x y x y -=-+=，解得12x y ==，()1,2B ，化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22x zy =-. 由图可知，当直线22x zy =-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；当直线22x zy =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.15．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号 考点：1线性规划的应用；2利解析：7 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.16．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-【解析】 【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.18．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2s inC•sinBcosB， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，∴cosB （sinA cosA +sinBcosB）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinBcosAcosB+=﹣2sinC ，∴cosB•()sin A B cosAcosB+=sinCcosA=﹣2sinC ，解得cosA=﹣12，A=23π； ∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=192⨯，故答案为4． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．19．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin解析：3π 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝. 又0<B <π，∴B ＝. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.三、解答题21．（1）2b =2）6b =3【解析】 【分析】（122ac b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，由余弦定理可得222224ac a c ac =+-g，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】 （1）Q222sin 1cos sin A C B B =-=．∴22ac b =，2a =Q ，22c =22b ∴=（2）14sin 4B =Q ，2cos 4B ∴=，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-2224a c ac =+-⋅，又a =c =b ∴=经检验，b【点睛】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．22．（1）n a n =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组11246{434102a d a d +=⨯+=，即可解得11{1a d ==，从而写出通项公式n a n =； (Ⅱ)由题意22n n n n b a n =⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得1(1)22n n T n +=-⋅+．试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==,可得11246{434102a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得11{1a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=,故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =(Ⅱ)依题意,22n nn n b a n =⋅=⋅,∴12n n T b b b =+++L231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅L()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,∴1(1)22n n T n +=-⋅+考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法．23．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴= =点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和：1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:.11n a n n n n ==+++24．(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】 试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒． （2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：（1）∵在ABC V中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=， 即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V则124S bc sinA =⋅== ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．25．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】 【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】（1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---，又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）n a n =-；（2）1n n +. 【解析】 【分析】(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n . （2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111nn n =-=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题(附答案)(8)
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题(附答案)(8)一、选择题1．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100C ．55D ．02．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．854．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．245．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．326．已知01x <<，01y <<，则()()()()222222221111x y x y x y x y ++--+-+- ）A 5B ．2C 10D ．237．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13C ．12+D ．48．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．39．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形10．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为A ．13B ．38C ．37D ．111．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-二、填空题13．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ． 14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．16．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞=__________．(*n ∈N ) 17．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．18．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .三、解答题21．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin a A b B c C B +=+()1求角C ；()2求cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值． 22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2nn n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △11b c +的值．24．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.25．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围． 26．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷含答案(10)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷含答案(10)一、选择题1．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-2．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．43．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．34．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．25．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．566．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．927．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-9．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-310．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A．256B ．25C ．253D ．511．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524312．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．16．如图，在ABC V 中，,43C BC π==时，点D 在边AC 上， AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .19．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．20．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值．22．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.23．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 24．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V 3，求ABC V 的周长．26．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时q=2f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.3．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.5．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．8．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a+13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）≥2143a a ⨯=43，即4a +13a ≤-43故1212a x x x x ++的最大值为43-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．10．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题带答案(3)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试题带答案(3)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <2．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．93．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．33- B ．33- C ．33+ D ．33+ 4．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)5．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．847．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b8．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222y x =+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 9．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．6210．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10 B ．12? C ．14D ．16 11．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3612．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.17．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 19．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()5A C -=，求线段DC 的长．22．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos )()cos a B C c b A -=-．（1）求A ； （2）若b =D 在BC 边上，2CD =，3ADC π∠=，求ABC △的面积．23．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 24．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .25．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 3．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin 10A =， 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（b =∴1133sin 12238ABC S ab C ∆--==⨯⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．4．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.5．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.7．C解析：C【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C8．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.10．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()11119999110216y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.11．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C12．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(带答案)(11)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(带答案)(11)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．44．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸7．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S9．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1610．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．911．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．912．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.14．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a b c 、、分别为ABC△内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos BC B=-，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 19．在△ABC 中，2BC =，7AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .三、解答题21．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=.（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题(及答案)(11)
2020-2021高中三年级数学下期中一模试题(及答案)(11)一、选择题1．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．573．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6 B ．16C ．32D ．644．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．105．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．326．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A 32B 5C ．5D ．927．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-8．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +10．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-311．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．1412．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.15．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________ 16．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.18．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 19．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？三、解答题21．如图，在四边形ABCD中，2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求+a b 的最小值．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．25．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.2．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.3．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.4．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
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2020-2021深圳罗芳中学高中三年级数学下期中模拟试题(附答案)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2433．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 4．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20585．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．326．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．327．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40368．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-9．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．1610．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmB 3 kmC ．5D ．10711．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-12．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．9二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.15．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．16．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 17．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V，则ab =__18．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．19．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 20．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 23．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T25．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 26．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．5．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．6．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.7．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.9．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D.【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.10．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．11．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.12．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】 【分析】 由题得11(1)2a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】 由题意知，1112a q =-，可得11(1)2a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23--【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析：8 【解析】 【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可.【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩.则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->.整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.16．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于解析：-8 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.17．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】222sin sin sin sin sin A B C A B +=+Q ，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin 2C ==， ABC QV1sin 2ab C ==，∴解得4ab =，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角 解析：14- 【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===- 故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 19．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析：1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+，所以()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，得到1λ=，所以()1131n n a a ++=+，而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-.【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题. 20．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =- 三、解答题21．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明 【详解】 （1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩. 整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.（2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题22．（1）证明见解析（2）()11222n n n n S ++=--【解析】【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n n a n =-,所以()()()()232122232n n S n =-+-+-+⋅⋅⋅+- ()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.23．（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x+=x+1x -4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2. 所以当x=1时,y=()f x x的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1, 所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.不妨设g(x)=x 2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩解得a≥34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.24．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)n n T n =+ 【解析】【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴=（2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n n T n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（1）3C π=（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得a =，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222a b ab ab ab +-==， 又()0,C π∈，所以3C π=． （2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-，得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，再由正弦定理得2224cos b c a ac A +-=，所以222cos 4b c a A ac +-=．① 又由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，② 由①②，得22222242b c a b c a bc bc+-+-=，得42ac bc =，得2a b =， 联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得3a =，3b =． 所以222b a c =+．所以2B π=． 所以ABC V的面积11222S ac === 26．(1) 12π．(2) 【解析】【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =， 又由正弦定理b c sinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=， 12C AB ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a b sinA sinB =，可得2a sinB b sinA ⨯⋅===， ()1sin 222sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭Q11222ABC S absinC ∴==⨯=V 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。