2014-2015年山东省潍坊市高二上学期期末数学试卷与解析

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山东省潍坊市四县市2014-2015学年度高二上学期期中模块监测数学试题word版含答案

潍坊市四县市2014-2015学年度上学期期中模块监测高二数学 2014.11本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:1. 题目注明“文”的仅文科考生做；注明“理”的仅理科考生做，未注明的文理考生都做.2.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.3.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1a ＜1b＜0 ，则下列结论正确的是 A. a >b B. ab b < C. b a a b+<-2 D. 22a b >2.在△ABC 中，已知8=a ，B ∠=060，C ∠=075，则b 等于A ．．54 C ．34 D ．322 3.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a 等于 A ． –4 B ． –6 C ． –8 D ． –104.在△ABC 中，已知04,6,120a b C ==∠=，则sin A 的值是A ．1957 B ． 721 C ． 383 D ． 1957- 5.在△ABC 中，AB =3，BC=13，AC =4，则边AC 上的高为A ．223 B ．233 C ．23 D ．336.已知等差数列||||,}{93a a a n =中，公差0<d ，则使前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．8或97.在△ABC中，030,2B AB AC ∠===，则△ABC 的面积是A ． 32B ． 3C ． 32或34D ．3或328.若实数x y ，满足100,0x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则23x yz +=的最小值是A ．0B ．1CD ．99. 若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,]2x ∈恒成立，则a 的最小值是A ．0 B.－2 C.52- D.－310.已知数列{}n a 中，112,(1)2,N n n a na n a n ++==++∈ ,则11a 等于 A ．36B ．38C ．40D ．42第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项:第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11.不等式<--b ax x 20的解集是(2,3)，则不等式012>--ax bx 的解集是__________. 12.等差数列{}{},n n a b 前n 项的和分别为,n n S T ，且3123n n S n T n -=+，则88ab = . 13.(理)已知y x ,为正实数，且23x y +=，则)21(2+y x 的最大值是__________.（文）已知y x ,为正实数，且12=+y x ，则11x y+的最小值是__________. 14. 已知数列{}n a 满足211233332n n na a a a -++++=，则n a = . 15. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =_____.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16.（本小题12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =, 14AB =,60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒, 求,BD BC 的长．17.（本小题12分）等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S . 等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，且1222=+S b ，33a b =.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和n T .18.（本小题12分）(理)解关于x 的不等式2()()0,()a x x a a R --<∈. (文)解关于x 的不等式2()()0,(0)a x x a a --<>. 19.（本小题12分）在ABC ∆中，,,ab c 分别为角,,A B C 所对的边，角C 2sin c A =.（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若1a =，ABC ∆的面积为2,求c 的值. 20. （本小题13分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元(从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算)，购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x 天购买一次面粉。

山东省潍坊市2015届高三数学上学期期末考试试卷理(含解析)

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． D． C． D．（0，）6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣40 D．407．运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）A．B．C．D．8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600 B．2100 C．2800 D．480010．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①③ B．①④ C．①④⑤D．②③④⑤二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A 为．14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos （﹣）的值．17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．19．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n项和T n，并求使T n+≤成立的最大正整数n．20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． D．4．定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）A．y=x2+1 B．y=|x|+1C．y=D．y=考点：奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．专题：常规题型；压轴题．分析：首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（﹣2，0）为减函数．然后分别分析选项中4个函数的单调性．最后判断答案即可．解答：解：利用偶函数的对称性知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；y=在（﹣2，0）上为增函数．∴y=在（﹣2，0）上为减函数．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题．5．若过点P（﹣2，﹣2）的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（）A．（0，）B． C． D．（0，）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解答：解：由题意可得点P（﹣2，﹣2）在圆x2+y2=4的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+2=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣2=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤2，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．点评：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣40 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项式（2x2﹣）5展开式的通项公式即可求得答案．解答：解：设二项式（2x2﹣）5展开式的通项为T r+1，则T r+1=25﹣r•x2（5﹣r）•（﹣x）﹣r=25﹣r•（﹣1）﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r=1得r=3，∴二项式（2x2﹣）5展开式中x的系数为22•（﹣1）﹣3=﹣40．故选：C．点评：本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．7．运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算a=++…+的值，i=4029时，计算a的值，输出a，程序结束．解答：解：执行程序框图，有n=2015a=0，i=1，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=3，a=，不满足条件i≥2n﹣1，i=5，a=+，…不满足条件i≥2n﹣1，i=4029，a=++…+，满足条件i≥2n﹣1，退出循环，输出a的值为++…+．∵a=++…+=（）=．故选：D点评：本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出每次循环的a的值，裂项法求和是解题的关键，属于基础题．8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用定积分公式，求出阴影部分的面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解答：解：阴影部分的面积S=2×+=1+2ln2，边长为2的正方形的面积为：4，故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P=，故选：A点评：本题考查的知识点是几何概型，其中利用定积分公式，求出阴影部分的面积，是解答的关键，难度中档．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600 B．2100 C．2800 D．4800考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y 满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=400x+300y，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：设每天生产甲产品x千克，乙产品y千克，利润总额为z元，则，目标函数为：z=400x+300y作出可行域：把直线l：z=400x+300y向右上方平移，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最大，此时z=400x+300y取最大值，解方程，解得得A的坐标为（3，3）．此时z=400×3+300×3=2100元．故选：B点评：本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．10．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①③ B．①④ C．①④⑤D．②③④⑤考点：函数的值；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义分别验证对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数即可．解答：解：首先分析题目求对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使 f（x1）+f（x2）=4成立的函数．①y=x，f（x1）+f（x2）=4得 x1+x2=4，解得x2=4﹣x1，满足唯一性，故成立．②y=x2，由 f（x1）+f（x2）=4得 x12+x22=4，此时x2=，x2有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x2∈D，使成立．故不满足条件④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x2∈D，使成立．故成立．⑤y=2x定义域为R，值域为y＞0．对于x1=3，f（x1）=8．要使成立，则f（x2）=﹣4，不成立．故选：B点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= 2 ．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量、的夹角为150°，||=，||=4，我们易得的值，故要求|2+|我们，可以利用平方法解决．解答：解：|2+|====2．故答案为：2点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为9π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故底面的外接圆直径为，故底面的外接圆半径r=，球心距d==1，故球的半径R==，故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=9π，故答案为：9π．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．解答：解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查．14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到，注意离心率的范围．解答：解：P为双曲线右支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4a，|PF2|=2a，由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|，即有4a=2c或2c=2a，即有e==2（1舍去）．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题．分析：原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．解答：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标，而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的，若交点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得或，解得a＞6或a＜﹣6．故答案为：a＞6或a＜﹣6．点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos （﹣）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）在上的最值；（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的表达式，利用三角函数的关系式进行求值即可．解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+=sin2x﹣+cos2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∵x∈，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值为2×（）=．当2x+=，即x=时，f（x）的最大值为2×1=2．（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x﹣），由g（α）=2sinx（α﹣）=﹣，得sinx（α﹣）=﹣，∵α∈（，），∴π﹣α∈（π，），是cos（α﹣）=﹣，∵＜﹣，∴cos（﹣）==﹣．点评：本题主要考查三角函数的最值的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质．17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（1）取AC的中点P，连结PM、PD，通过中位线定理可得四边形DEMP为平行四边形，进而有ME∥DP，利用线面平行的判定定理即得结论；（2）以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面ABE的法向量与平面BCE的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答：（1）证明：如图，取AC的中点P，连结PM、PD，在△ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，∴PM∥BC，且PM=BC，又∵DE∥BC，DE=BC，∴PM∥DE且PM=DE，故四边形DEMP为平行四边形，∴ME∥DP，又∵DP⊂平面ACDF，EM⊄平面ACDF，∴EM∥平面ACDF；（2）解：∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE=CD，AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥BC，又∵∠CDE=90°，DE∥BC，∴BC⊥CD，以C为坐标原点，CA、CB、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（0，2，2），则=（﹣2，4，0），=（﹣2，2，2），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（2，1，1），又∵AC⊥平面BCDE，∴=（2，0，0）为平面BCE的一个法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．点评：本题考查空间中线面平行的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，由此能求出高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的频率分布和数学期望．解答：解：（1）甲生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，乙生产一件产品为优、良、差等次的概率分别为，高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品有两种情况：恰有2件优等品或3件都是优等品，∴高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率：P=（）3+．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为200，160，120，80，40，﹣40，P（X=200）==，P（X=160）==，P（X=120）==，P（X=80）==，P（X=40）==，P（X=﹣40）==，∴X的分布列为：X 200 160 120 80 40 ﹣40PEX=+=124（元）．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n项和T n，并求使T n+≤成立的最大正整数n．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）先利点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26，求出q=3，a1=2，即可求数列{a n}的通项；（2）先把所求结论代入求出数列{T n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．解答：解：（1）∵点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，∴a n+1=3a n，∴公比q=3，∴S3=26，∴a1+3a1+9a1=26，解得a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2×3n﹣1．（2）由（1）知a n=2×3n﹣1，a n+1=2×3n，∵在a n于a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，∴a n+1=a n+（n+1）d n，∴d n=，∴=，∴T n=++…+，①T n+1=++…+②①﹣②，整理得T n=﹣．∴T n+≤，即3n﹣1≤27，解得n≤4，∴使得T n+≤成立的正整数n的最大值是4．点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点Q（，1）、y=c代入椭圆方程，计算即得结论；（2）通过设P（t，t2+h），则直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，代入椭圆方程，利用中点坐标公式及韦达定理计算即得结论．解答：解：（1）∵椭圆过点Q（，1），∴，将y=c代入椭圆方程得：x=±，∴=1，解得：a=2，b=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）设P（t，t2+h），由y′=2x可知切线斜率k=2t，∴直线MN的方程为：y=2tx﹣t2+h，将其代入椭圆方程得：4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，化简得：4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，∵直线MN与椭圆交于不同的两点，∴△＞0，即△=16＞0 （*）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点横坐标为x0，由韦达定理可知：x1+x2=，x0==，设线段PA中点的横坐标为x3，则x3=，由已知有x0=x3，即=，显然t≠0，h=﹣（t++1），当t＞0时，t+≥2，当且仅当t=1时取等号，此时h≤﹣3，不符合（*）式，舍去；当t＜0时，（﹣t）+≥2，当且仅当t=﹣1时取等号，此时h≥1，符合（*）式；综上所述，h的最小值为1．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=1代入求出g（x）的表达式，再求出g（x）的导数，从而求出g（x）的单调区间；（2）将x0=代入f′（x0）==，问题转化为证：k（t）lnt+﹣2的单调性，（t＞1），从而证出结论；（3）设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，通过讨论x的范围，结合导数的应用，从而求出b的范围．解答：解：（1）当a=1时，g（x）=（x﹣1）﹣2f（x）=（x﹣1）﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx，定义域为（0，+∞）；g′（x）=1﹣=；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．（2）证明：k==，又x0=，所以f′（x0）==；即证，＞，不妨设0＜x1＜x2，即证：lnx2﹣lnx1＞；即证：ln＞；设t=＞1，即证：lnt＞=2﹣；即证：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），则k′（t）=﹣=＞0；所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，所以k（t）＞k（1）=0；即结论成立．（3）由题意得+1＜0，即＜0；设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x∈时，G（x）=lnx++x，G′（x）=﹣+1≤0；b≥+（x+1）2=x2+3x++3在上恒成立，设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3﹣；当x∈，G1′（x）＞0；∴G1（x）在上单调递增，G1（x）≤；故b≥．②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx++x；G1（x）=x2+3x++3，G′（x）=﹣﹣+1≤0，b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，综上所述：b≥．点评：本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．。

2015-2016年山东省潍坊中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤03．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0 9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的条件．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为．14．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使S的最大值为（其中O为坐标原点）？△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣【解答】解：∵抛物线y=﹣x2的标准方程为x2=﹣y，∴抛物线y=﹣x2的准线方程为y=．故选：C．2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．3．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”，故A 错误；命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故B错误；命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”，故C正确，D错误；故选：C．6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．不妨设m=5，n=3，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则△F1PF2的形状是直角三角形△PF1F2的面积为•PF1•PF2=（）（）=1故选：C．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0【解答】解：设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程=1，可得，，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点A（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得：x+2y﹣4=0．故选：D．9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：P：当m＞0时，△=4+4m≥0，此时方程x2+x﹣m=0有实根，故p 为真命题q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=4+4m≥0，解可得m≥﹣1，q为假命题故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2；∵M，O分别是PF2，F1F2的中点；∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b；OM⊥PF2；∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c；∴；根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a；∴；∴；两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴；∴；即椭圆的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件．【解答】解：由“a＞b＞0”利用不等式的性质可得“a2＞b2”成立，故充分性成立．但由“a2＞b2”不能推出“a＞b＞0”，如a=﹣3、b=﹣1时，故必要性不成立．故答案为充分不必要．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是（0，±3）．【解答】解：曲线的焦点为定点，当a﹣4 和a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．当a﹣4 和a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为，双曲线的标准方程为，∴焦点在y轴上，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．故答案为：（0，±3）．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为4．【解答】解：原命题p：“在等比数列{a n}中，若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；逆命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}递增数列”，则“公比q＞1”，例如，当数列为，﹣1，﹣，﹣，…，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列{a n}中，若公比q≤1，则数列{a n}不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．故答案为：414．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．【解答】解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是（1）（3）（4）．【解答】解：根据逆否命题的定义（1）正确；∵m=0时m2=0，若a＜b 则am2＜bm2为假命题，故（2）不正确；∵否命题：不是矩形的四边形的对角线不相等，故（3）正确；∵∅是任何集合的子集，∴（4）正确；故答案是（1）（3）（4）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴，即m＞2．故命题p：m＞2；…（3分）∵方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，∴△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0，即m2﹣4m+3＜0，∴1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．…（6分）∵又p∨q为真，¬q为真，∴p真q假．…（8分）即，此时m≥3；…（11分）综上所述：{m|m≥3}．…（12分）17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，故，∵∠C∈（0，π），∴…（6分）（2）∵cosC==，∴ab=a2+b2﹣4≥2ab﹣4，即ab≤4，等号当a=b时成立，=absinC≤=…12分∴S△ABC18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．【解答】解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则依题意|PB|﹣|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为…（3分）又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上…（5分）由方程组解得即…（8分）由于，可知P在A北30°东方向．…（10分）19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；的最大值为（其中O为坐标原点）？（2）是否存在这样的直线l，使S△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ），∴…（1分）∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1…（2分）椭圆的标准方程为…（3分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0∴，…（4分）∴AB的中点坐标为…（5分）（1）k=0时，满足条件，此时AB的中垂线为x=0；当k≠0时，∵|MA|=|MB|，∴，整理得2k2﹣3k+1=0，解得k=1或…（7分）（2）直线l斜率不存在时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=±，S△=，ABO=|y1﹣y2|=•直线l斜率不存在时时，S△ABO∵k∈R，k≠0，∴，∴综上，∴满足题意的直线存在，方程为x=1．…（14分）。

山东省潍坊市高二上学期化学期末考试试卷

山东省潍坊市高二上学期化学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共26题；共52分)1. （2分）下列表述中，合理的是（）A . 将水加热，促进水电离，但Kw不变B . 把FeCl2的水溶液加热蒸干并灼烧后可得到Fe2O3固体C . 用25 mL碱式滴定管量取20.00 mL高锰酸钾溶液D . 用水洗净的玻璃棒立即蘸取待测溶液滴到pH试纸中央，半分钟后对照比色卡读出pH值2. （2分）下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是（）A . SO2具有氧化性，可用于漂白纸浆B . NaHCO3能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂C . Fe2（SO4）3易溶于水，可用作净水剂D . 液氨汽化时吸收大量的热，可用作制冷剂3. （2分） (2018高一下·蚌埠期末) 下列与有机物的结构、性质有关的叙述正确的是（）A . 苯和乙烯都能使溴水褪色，且反应原理相同B . 乙烯和乙烷都可以通过聚合反应得到高分子材料C . 淀粉和纤维素的最终水解产物相同D . 苯能发生取代反应，所以苯是饱和烃4. （2分）下列反应中，铁元素被氧化的是（）A . FeS +2HCl = FeCl2+ H2S↑B . Fe +H2SO4= FeSO4+H2↑C . FeO + 2HCl =FeCl2+H2OD . Fe2O3+3CO = 2Fe +3CO25. （2分）用Na2FeO4溶液氧化废水中的还原性污染物M，为研究降解效果.设计如下对比实验探究温度、浓度、 pH、催化剂对降解速率和效果的影响，实验测得M的浓度与时间关系如图所示，下列说法错误的是（）A . 实验①在15 min内M的降解速率为1.33×10-5mol/(L·min)B . 若其他条件相同，实验①②说明升高温度，M降解速率增大C . 若其他条件相同，实验①③证明pH越高，越不利于M的降解D . 实验④说明M的浓度越小，降解的速率越快6. （2分）由于碳碳双键（）中的π键不能自由旋转，因此和是两种不同的化合物，互为顺反异构体。

2014-2015学年山东省潍坊市高二上学期期末统考数学(文)

2014-2015学年山东省潍坊市高二上学期期末统考数学(文)一、选择题（共10小题；共50分）1. 命题“若x>y，则x2>y2”的逆否命题是 ( )A. 若x≤y，则x2≤y2B. 若x2>y2，则x>yC. 若x2>y2，则x≥yD. 若x2≤y2，则x≤y2. 设a,b∈R，且b<a<0，则 ( )A. 1a >1bB. ab>b2C. ba<1 D. ba+ab>23. 已知数列a n是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于 ( )A. 4B. 8C. 12D. 164. 曲线y=e x+3在0,4处的切线方程为 ( )A. 2x+y−4=0B. 2x−y+4=0C. x−y+4=0D. x+y−4=05. 椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点（非左右顶点），则△PF1F2的周长为 ( )A. 8B. 6C. 4D. 36. “ x2−x−2>0”是“ x>2”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，一艘轮船从N处开始按照北偏西35∘的方向以每小时30海里的速度航行，灯塔M原来在轮船的北偏东25∘方向上，经过30分钟后，灯塔在轮船的北偏东70∘方向上，则灯塔M距离N 处的海里数为 ( )A. 153+12B. 153−12C. 303+1D. 303−18. 设x，y满足约束条件x−y+2≥0,x+y−2≥0,x≤4,则z=x−2y的最小值是 ( )A. −4B. −6C. −8D. −109. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2B2=a+c2c，则△ABC的形状为 ( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形10. 如图，一条直线与抛物线y2=2px p>0交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为2,1，则抛物线方程为 ( )A. y2=54x B. y2=52x C. y2=5x D. y2=10x二、填空题（共5小题；共25分）11. 命题" ∃x∈R， x >0 "的否定是．12. 等差数列a n中，a1=1，a5=9，若数列1a n⋅a n+1的前n项和为S n，则S10=．13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的离心率为．14. 若函数f x=x3−3bx+3b在区间0,1内有极值，则b的取值范围是．15. 给出下列四个命题：①不等式m−1x2−1−m x+m>0对任意实数x都成立，则实数m的范围是m>1；②如果实数x，y满足x−22+y2=3，则yx的最大值为3；③等差数列a n的前n项和为S n，若S13>0，S14<0，则S7为S n的最大值；④若0<x<12，则x 1−4x2的最大值是14．其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知条件p：实数x满足x−a x−3a<0，其中a>0；条件q：实数x满足x2−5x+6<0．（1）若a=1，且“ p∧q”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b−c2bc=1．（1）求角A；（2）若a=2，c=3，求sin B．18. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=32a n−1，设b n+1=2log3a n n∈N∗．（1）证明：数列b n是等差数列；（2）若c n是a n与b n的等比中项，求数列c n2的前n项和为T n．19. 已知函数f x=ln x+a+1x−1a>−1．（1）当a=0，求f x的单调区间；（2）当x∈e,+∞时，有x⋅f x≥2a恒成立（e=2.71828），求a的取值范围．20. 某企业原来每年可生产某种设备65件，每件设备的销售价格为10万元．为了增加企业效益，该企业今年准备投入资金x万元对生产工艺进行革新，已知每投入10万元资金生产的设备就增加1件，同时每件设备的生产成本a万元与投入资金x万元之间的关系是a=x+25．若设备的销售价格不变，生产的设备能全部卖出，投入资金革新后的年利润为y万元（年利润=年销售额−年投入资金额−年生产成本）．（1）试将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；（2）该企业投入资金为多少万元时，企业的年利润最大?并求出最大利润．21. 椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，C，D分别是椭圆的左、右顶点，过椭圆右焦点F作弦AB（A，B，C，D不重合）．当直线AB与x轴垂直时， AB =2．（1）求椭圆的方程；（2）当△OAB的面积为23时，求直线AB的方程；（3）设真线AC，AD，BC，BD的斜率分别为k1，k2，k3，k4，证明：k1⋅k2⋅k3⋅k4为定值．答案第一部分1. D2. D3. B4. C 【解析】yʹ=e x，切线斜率k=fʹ0=e0=1，所以切线方程为y−4=x，即x−y+4=0．5. B6. B7. A 【解析】设经过30分钟后轮船到达点P处，则依题意，∠MPN=90∘−70∘+90∘−35∘=75∘，又∠MNP=60∘，所以∠PMN=180∘−75∘−60∘=45∘，由正弦定理得 MNsin75=NP sin45∘，又NP=30×12=15，所以MN=15×6+24×2=153+12．8. C 【解析】依题意画出可行域如下图阴影部分．结合图象知，当目标函数y=12x−z2过点A4,6时，截距−z2取到最大值，即z取到最小值−8．9. A 【解析】cos2B2=a+c2c即1+cos B2=a+c2c，由正弦定理得1+cos B2=sin A+sin C2sin C，即sin C+sin C cos B=sin A+sin C，所以sin C cos B=sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，即sin B cos C=0，因为sin B≠0，所以cos C=0，C=π2，即△ABC为直角三角形．10. B【解析】设A x1,y1，B x2,y2，依题意，k OD=12，k AB=−2，所以直线AB方程为y−1=−2x−2，即y=−2x+5，代入抛物线方程得4x2−20+2p x+25=0，所以x1+x2=10+p2,x1x2=254. ⋯⋯①又因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=5x1x2−10x1+x2+25=0，将①代入得5×254−10×10+p2+25=0，解得p=54，所以抛物线方程为y2=52x．第二部分11. ∀x∈R， x ≤012. 1021【解析】依题意，4d=a5−a1=8，d=2，a n=1+2n−1=2n−1，所以1a n⋅a n+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，所以S n=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1，S10=12×1−121=1021．13. 5214. 0,115. ②③④【解析】①m=1时不等式也成立；②x−22+y2=3表示以C2,0为圆心，以3为半径的圆，则yx表示圆上任意一点与原点连线的斜率，当直线与圆相切且过第一象限的时yx取到最大值，设切点为P，此时OC=2，CP=3，所以OP=1，yx 的最大值为CPOP=3；③若S13>0，S14<0，则a1+a13=2a7>0，a1+a14=a7+a8<0，所以a8<0，则S7为S n的最大值；④若0<x<12，则x 1−4x2= x2−4x4=−4 x2−182+116，故当x2=18时，x 2取到最大值14．第三部分16. （1）由x−a x−3a<0且a>0，可解得a<x<3a，当a=1时，有1<x<3，由x2−5x+6<0，可得2<x<3，又由" p∧q "为真，得p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3．（2）由q是p的充分条件，可得q⇒p，从而有a≤2,3a≥3,即1≤a≤2，所以实数a的取值范围是1≤a≤2．17. （1）因为a2−b−c2=bc，所以a2=b2+c2−bc，所以cos A=b2+c2−a22bc =12，所以A=π3．（2）由正弦定理得asin A =csin C，所以3=3sin C，所以sin C=34，又因为c=3<2=a，所以C为锐角，所以cos C=74，所以sin B=sinπ−A+C=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32×74+12×34,所以sin B=3+218．18. （1）当n=1时，S1=a1=32a1−1，得a1=3，当n≥2时，因为S n=32a n−1，所以S n−1=32a n−1−1，所以S n−S n−1=a n=32a n−1−32a n−1−1，所以a na n−1=3，所以a n为等比数列，且公比为3，所以a n=3⋅3n−1=3n，所以b n=2log33n−1=2n−1，因为b n+1−b n=2n+1−1−2n−1=2（常数），所以数列b n是首项为1，公差为2的等差数列．（2）因为c n是a n与b n的等比中项，所以c n2=a n⋅b n=2n−1⋅3n，所以T n=1×3+3×32+5×33+⋯+2n−3×3n−1+2n−1×3n, ⋯⋯①则3T n=1×32+3×33+⋯+2n−5×3n−1+2n−3×3n+2n−1×3n+1, ⋯⋯②①−②可得−2T n=3+232+33+⋯+3n−1+3n−2n−1×3n+1=3+2×321−3n−1−2n−1×3n+1=−6−2n−2⋅3n+1.所以T n=3+n−1⋅3n+1.19. （1）函数f x的定义域为0,+∞，当a=0时，则f x=ln x+1x −1，所以fʹx=1x−1x2=x−1x2，所以当x>1时，fʹx>0，所以f x在1,+∞上单调递增；当0<x<1时，fʹx<0，所以f x在0,1上单调递减．综上，f x的增区间为1,+∞，减区间为0,1．（2）因为x⋅f x≥2a，所以2a≤x ln x+a+1x−1=x⋅ln x−x+a+1，即a≤x⋅ln x−x+1，令g x=x⋅ln x−x+1，所以gʹx=ln x+x⋅1x−1=ln x，因为x∈e,+∞，所以gʹx=ln x>0，所以g x在e,+∞上单调递增．所以g x min=g e=e⋅lne−e+1=1．所以a≤1．20. （1）由条件知，投入x万元资金革新后生产设备65+110x 件，所以该企业的生产成本为x+2565+110x 万元，所以年利润y= 65+110x ×10−x − x +2565+110x =650−2 x +25x ∈ 0,+∞ .（2）x +25=x +25= x +25x +25≥2 625=50，当且仅当 x +25= x +25即x =600 时取等号，所以 y =650−52⋅ x +25≤650−52×50=525，所以企业投入 600 万元的资金才能使年利润最大，且最大年利润为 525 万元．21. （1）由题意知 c a = 22，则 a = 2c ，b =c ，a 2=2b 2，把 x =c 代入椭圆方程解得 y =±b 2a，所以 AB =2b 2a= 2，解得 a 2=2，b 2=1，故椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）当直线 AB 斜率不存在时，由题意知S △OAB =1 AB ⋅c =1× 2×1= 2;故弦 AB 的斜率一定存在，设直线 AB 的方程为 y =k x −1 ，将直线方程代入椭圆方程中，并整理得1+2k 2 x 2−4k 2x +2k 2−2=0,设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则 x 1+x 2=4k 21+2k ，x 1⋅x 2=2k 2−21+2k ．AB = k 2+1 x 1−x 2 = k 2+1⋅2 2 k 2+11+2k =2 2 k 2+1 1+2k ．点 O 到直线 AB 的距离 d = 1+k 2．所以S △OAB=1⋅AB ⋅d =1⋅2 2 k 2+1 2⋅ 1+k 2= 2 k 1+k 22=2. 整理得 k 4+k 2−2=0，解得 k =±1，故直线 AB 的方程为 x −y −1=0 或 x +y −1=0．（3）证明：由题意 C − 0 ，D 0 ，设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则 k 1=1x + 2，k 2=1x − 2，k 3=2x+ 2，k 4=2x− 2，所以 k 1⋅k 2⋅k 3⋅k 4=y 12x 12−2⋅y 22x 22−2，又因为 y 12=1−x 122，y 12=1−x 222，所以 k 1⋅k 2⋅k 3⋅k 4=−12x 12−2 x 12−2⋅−12x 22−2 x 22−2=14．。

2014-2015学年山东省潍坊市四县市高二上学期数学期中试卷带解析

2014-2015学年山东省潍坊市四县市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜b C．﹣＜﹣2 D．a2＞b22．（5分）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4 B．4 C．4 D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．6．（5分）设{a n}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值时正整数n=（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或97．（5分）在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2 B．C．2或4D．或28．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．99．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣310．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）A．36 B．38 C．40 D．42二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．13．（5分）（理）已知x，y为正实数，且x+2y=3，则的最大值是．（文）已知x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，则a n=．15．（5分）已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．17．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）（理）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a∈R）．（文）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a＞0）．19．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA，（1）求角C的值；（2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值．20．（13分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？21．（14分）设数列{a n}前n项和为S n，且S n+a n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1，b n=，n≥2．求数列{b n}的通项公式；（3）（理）设c n=，求数列{c n}的前n和T n．（文）设c n=，求数列{c n}的前n和E n．2014-2015学年山东省潍坊市四县市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．ab＜b C．﹣＜﹣2 D．a2＞b2【解答】解：∵＜＜0，∴，即b＜a．故选：A．2．（5分）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4 B．4 C．4 D．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．4．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由a=4，b=6，C=120°，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC=16+36﹣48×（﹣）=76，解得c=2，根据正弦定理=得：sinA===．故选：A．5．（5分）在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选：B．6．（5分）设{a n}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值时正整数n=（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6．故选：B．7．（5分）在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2 B．C．2或4D．或2【解答】解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30°，根据正弦定理=得：sinC===，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=60°或120°，∴∠A=90°或30°在△ABC中，由c=2，b=2，∠A=90°或30°则△ABC面积S=bcsinA=2或．故选：D．8．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．9【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选：B．9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，即有﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．由于y=x+的导数为y′=1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．则当x=时，y取得最小值且为，则有﹣a，解得a．则a的最小值为﹣．故选：C．10．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）A．36 B．38 C．40 D．42=（n+1）a n+2（n∈N*），【解答】解：因为na n+1所以在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），所以=+2[（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）]=所以a11=42故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．【解答】解：====．故答案为：．13．（5分）（理）已知x，y为正实数，且x+2y=3，则的最大值是2．（文）已知x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵x，y为正实数，且x+2y=3，∴=≤=2，∴的最大值是2；+=（+）（x+2y）=3++≥3+2，当且仅当=时，+的最小值是3+2，故答案为：2，3+2．14．（5分）已知数列{a n}满足a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，则a n=．【解答】解：∵a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，∴当n≥2时，a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣2•a n﹣1=，两式相减得3n﹣1•a n=﹣=，即a n=，n≥2，当n=1时，a 1=，满足a n=，故a n=，故答案为：15．（5分）已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．【解答】解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x﹣3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，﹣2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z=F（1，﹣2a）=1，即2﹣2a=1，解得a=最小值故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠BDA，即142=x2+102﹣2•10x•cos60°，整理得：x2﹣10x﹣96=0，解之：x1=16，x2=﹣6（舍去）．由正弦定理得：，∴．17．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知可得，又q＞0，∴，∴a n=3+3（n﹣1）=3n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a n}中，a1=3，a n=3n，∴，∴，∴T n=（1﹣）==．18．（12分）（理）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a∈R）．（文）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a＞0）．【解答】解：理：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣a2）＞0，…（2分）当a＞1或a＜0时，a2＞a，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）；…（6分）当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）…（8分）当a=1时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；…（10分）当a=0时，原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；…（12分）文：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣a2）＞0，…（2分）当a＞1a2＞a，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）；…（5分）当a=1时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；…（8分）当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）…12分）19．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA，（1）求角C的值；（2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理得，，…（2分）∵sinA≠0，∴，∵△ABC是锐角三角形，∴．…（5分）（2）由面积公式得，，∵，∴b=2，…．（7分）由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴．…（10分）20．（13分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？【解答】解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1），（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥10989；（当且仅当=9x，即x=10时取等号）所以该厂应每10天购买一次面粉，才能使每天支付的费用最少，平均每天最少费用是10989元．21．（14分）设数列{a n}前n项和为S n，且S n+a n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1，b n=，n≥2．求数列{b n}的通项公式；（3）（理）设c n=，求数列{c n}的前n和T n．（文）设c n=，求数列{c n}的前n和E n．【解答】解：（1）由S n+a n=2，得S n+1+a n+1=2，两式相减，得2a n+1=a n，∴=（常数），故{a n}是公比q=的等比数列，又n=1时，S1+a1=2．解得a1=1，∴a n=．（2）由b1=a1=1，且n≥2时，b n=，得b n b n﹣1+b n=3b n﹣1，即=，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴=1+=，故b n=．（3）理：c n==•，则T n=[30+41+5•（）2+…+（n+2）•（）n﹣1]，T n=[31+4•（）2+…+（n+1）•（）n﹣1+（n+2）•（）n]，以上两式相减得，T n=[3+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣（n+2）•（）n]=[3+﹣（n+2）•（）n]=[4﹣（）n﹣1﹣（n+2）•（）n]，故T n=﹣，）文：c n==n•2n﹣1，则E n=1+2•21+3•22…+n•2n﹣1，2E n=21+2•22+3•23…+n•2n，以上两式相减得，﹣E n=1+21+22+23…2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n（1﹣n）﹣1，故E n=1+2n（n﹣1）．。

山东省潍坊市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)【解析版】

山东省潍坊市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列1，2，3，4，…的一个通项公式为（）A．n+B．n﹣C．n+D．n+2．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）A．a2＞b2B．a c＞bc C．a c2＞bc2D．a﹣c＞b﹣c3．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+3，若a n=2014，则n=（）A．667 B．668 C．669 D．6724．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°5．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）A．B．3C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最小值为（）A．3B．4C．6D．87．（5分）△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．8．（5分）已知关于x的不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞3}，则a的值为（）A．3B．C．﹣D．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）210．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①△ABC中，B=60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件；②若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；③“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；④命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”则￢p：“∃x，x2﹣2x+3＜0”．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）椭圆的离心率为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=．13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．[来源:]14．（5分）跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是60°和45°，又测得∠ADB=30°，则AB的长为．15．（5分）设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f （x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．[来源:学科网ZXXK]三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设命题p：关于m的不等式：m2﹣4am+3a2＜0，其中a＜0，命题q：∀x＞0，使x+≥1﹣m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．17．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．（Ⅰ）若a1=1，求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3﹣a2=3，求等比数列{a n}前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）某科研所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲、乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）120 90试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=3a n﹣3（n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+a，（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．山东省潍坊市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）数列1，2，3，4，…的一个通项公式为（）A．n+B．n﹣C．n+D．n+考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列1，2，3，4，…可得1+，，，，…，即可得出通项公式．解答：解：由数列1，2，3，4，…可得一个通项公式为a n=n+．故选：A．点评：本题考查了数列的通项公式的求法，属于基础题．2．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）A．a2＞b2B．a c＞bc C．a c2＞bc2D．a﹣c＞b﹣c考点：不等关系与不等式．专题：证明题．分析：由不等式的运算性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，结合特值法排除错误选项．解答：解：A选项不正确，因为若a=0，b=﹣1，则不成立；B选项不正确，若c=0时就不成立；[来源:Z#xx#]C选项不正确，同B，c=0时就不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．故选D点评：本题考查不等关系与不等式，求解本题的关键是熟练掌握不等式的运算性质，能够根据这些运算性质作出正确判断．3．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+3，若a n=2014，则n=（）A．667 B．668 C．669 D．672考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列的通项公式得答案．解答：解：∵a1=1，a n+1=a n+3，∴a n+1﹣a n=3，∴{a n}为首项a1=1公差d=3的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣2．∵a n=2 014，∴3n﹣2=2014，解得：n=672．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．4．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．5．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）A．B．3C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的标准方程即可得出c，进而得出弦AB的坐标及弦长．[来源:学科网ZXXK]解答：解：由椭圆（a＞b＞0），可得a2=4，b2=3，∴=1．不妨取焦点F（1，0），过焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦为AB，，解得．∴弦长|AB|==3．故选B．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最小值为（）A．3B．4C．6D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=3x+2y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时z也最小，将C（1，0）代入目标函数z=3x+2y，得z=3．故选A．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）[来源:学科网ZXXK]A．x＞2 B．x＜2 C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：△ABC 有两组解，所以asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．解答：解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足xsin60°＜2＜x，即．故选C．点评：本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．8．（5分）已知关于x的不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞3}，则a的值为（）A．3B．C．﹣D．考点：其他不等式的解法．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：把不等式＜1化为[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0；由题意得a﹣1＜0，且﹣=3，求出a的值．解答：解：不等式＜1可化为＜0，即[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0；且原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}，∴a﹣1＜0，∴原不等式可化为（x+）（x﹣1）＞0，[来源:]令﹣=3，解得a=，∴a的值为．故选：D．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式进行转化，是基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．n（2n﹣1）B．（n+1）2C．n2D．（n﹣1）2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．解答：解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：C．点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算，属基础题．10．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①△ABC中，B=60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件；②若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；③“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；④命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”则￢p：“∃x，x2﹣2x+3＜0”．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①，利用充分必要条件的概念可从充分性与必要性两个方面判断①的正误；②，写出“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题，再判断②的正误；③，利用充分必要条件的概念可判断③的正误；④，写出命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”的否定（为特称命题），再判断④的正误．解答：解：对于①，△ABC中，若B=60°，则△ABC的三内角A，B，C成等差数列（充分性成立），反之，若△ABC的三内角A，B，C成等差数列，则2B=A+C，3B=A+B+C=π，B=60°（必要性成立），故△ABC中，B=60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件，①正确；对于②，若“am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，不正确，当m=0时，am2=bm2=0，②不正确；对于③，“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”（充分性成立），反之，不然，必要性不成立，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，③正确；对于④，命题p：“∀x，x2﹣2x+3＞0”则￢p：“∃x，x2﹣2x+3≤0”，④不正确．综上所述，真命题的个数是2个，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，主要考查充分必要条件的概念及应用，考查四种命题、全称命题与特称命题的关系，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由椭圆方程可知，a，b，c 的值，由离心率e=求出结果．解答：解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，c=4，∴离心率e==，故答案为：．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c 的值是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=2n﹣1．考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：运用累加法求解：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1即可得到答案．解答：解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=22，…a n﹣1﹣a n﹣1=2n﹣1，相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1，点评：本题考查了数列的函数性，等比数列的求和公式，属于中档题．13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．[来源:]解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．14．（5分）跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是60°和45°，又测得∠ADB=30°，则AB的长为．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长．解答：解：如图根据已知，CD=h，在△ACD中，∠ACD=30°，AD=h，在△BCD中，∠BCD=45°，BD=h，故在△BDA中，∠ADB=30°，AB2=AD2+BD2﹣2×AD×BD×cos∠ADB=h2+h2﹣2×=h2．故AB=．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（5分）设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f （x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：计算题；压轴题．分析：依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可求得S n的取值范围．解答：解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=∴f（n）=∴=∈[，1）．故答案：[，1）点评：本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比三、解答题（共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）设命题p：关于m的不等式：m2﹣4am+3a2＜0，其中a＜0，命题q：∀x＞0，使x+≥1﹣m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解不等式先化简条件p，q；将条件p是q的充分但不必要条件转化为A⊊B，根据集合的包含关系，列出不等式组，解不等式组求出a的范围．解答：解：解m2﹣4am+3a2＜0，a＜0，得：3a＜m＜a，由∀x＞0，x+≥2=4，若∀x＞0，使x+≥1﹣m恒成立，则1﹣m≤4，解得m≥﹣3，∵p是q的充分不必要条件，∴0＞3a≥﹣3，解得：﹣1≤a＜0，∴a的取值范围为[﹣1，0）．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用．17．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．（Ⅰ）若a1=1，求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3﹣a2=3，求等比数列{a n}前n项和S n．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，分别由条件可得公比和首项，分别代入通项公式和求和公式可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（Ⅰ）当a1=1时，由S1，S3，S2成等差数列可得2S3=S1+S2，∴2（1+q+q2）=1+1+q，解得q=﹣∴等比数列{a n}的通项公式为a n=；（Ⅱ）由S1，S3，S2成等差数列可得2S3=S1+S2，∴2（a1+a2+a3）=a1+a1+a2，[来源:学.科.网]∵a3﹣a2=3，∴a3=a2+3，∴2（a1+a2+a2+3）=a1+a1+a2，化简可得a2=﹣2，∴a3=a2+3=1，∴公比q==，∴a1=4，∴等比数列{a n}前n项和S n==[1﹣]点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入得到关系式，再由△ABC的面积等于，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出a与b的值，即可对于△ABC的形状做出判断；（Ⅱ）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可．解答：解：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：∵c=2，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4①，∵△ABC的面积等于②，∴absinC=，即ab=4，联立①②解得：a=b=2，则△ABC为等边三角形；（Ⅱ）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，变形得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，若cosA=0，即A=，由c=2，C=，得b=，此时△ABC面积S=bc=；若cosA≠0，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，联立①③得：a=，b=，此时△ABC面积为S=absinC=．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（12分）某科研所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲、乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）120 90试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；应用题；不等式的解法及应用．分析：由题意，设搭载甲产品x件，乙产品y件，总预计收益为z万元，化为简单线性规划应用．解答：解：设搭载甲产品x件，乙产品y件，总预计收益为z万元，则总预计收益z=120x+90y，则，作出平面区域如图，作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过点M时z取得最大值，[来源:学科网ZXXK]由解得，x=9，y=4；即搭载甲产品9件，乙产品4件，总预计收益最大，为120×9+90×4=1440万元．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=3a n﹣3（n∈N*），数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n=1时，a1=S1=3a1﹣3，解得a1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为2a n=3a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得．利用对数的运算法则可得b n=．（II）由（I）可得=．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=3a1﹣3，解得a1=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3a n﹣3﹣（3a n﹣1﹣3），化为2a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴．∴b n===．（II）=．∴数列{}的前n项和T n=+++…+，=++…++，∴=+…+﹣=﹣=2﹣，∴T n=．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算法则、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+a，（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把a=2代入可构造不等式x2﹣3x+2＞0，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集．（2）根据函数f（x）=x2﹣（a+1）x+a的解析式，可将f（x）＜0化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，分类讨论可得不等式的解集．（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，即在区间（1，+∞）上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，则f（x）=x2﹣3x+2，由f（x）＞0，得x2﹣3x+2＞0，令x2﹣3x+2=0，解得x=1，或x=2∴原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）（2）由f（x）＜0得（x﹣a）（x﹣1）＜0，令（x﹣a）（x﹣1）=0，得x1=a，x2=1，…5 分，当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；…6 分，当a=1时，原不等式的解集为∅；…（7分），当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）．…（8分）．（2）由f（x）+2x≥0即x2﹣ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，得..…9 分，令t=x﹣1（t＞0），[来源:学*科*网Z*X*X*K]则，…13 分∴．故实数a的取值范围是…14 分点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，熟练掌握。

2014-2015年山东省潍坊市高二第一学期数学期末试卷及解析

两条弦 AB 与 CD，当弦 AB 与 x 轴垂直时，|AB|= （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若 A 点在第一象限， •
=0，直线 AB，CD 的斜率分别为 k1，k2，
（i）当 k1+k2=0 时，求△OAB 的面积；（ii）试判断四边形 ACBD 的面积是否有最小值？若有最小值，请求出最小值；若没有，请说明理由．
B．若 x2≤y2，则 x＞y D．若 x2≤y2，则 x≤y ） C．＜1 D． + ＞2 ）
3．（5 分）已知数列{an}是公比为 2 的等比数列，若 a3a4a5=8，则 a6 等于（ A．4 B．8 C．12 D．16
4．（5 分）设，是两个空间向量，若| |=1， =（0，2，1）， =λ （λ∈R），则 λ=（ A．） B．﹣ C．± D．
8．（5 分）设 x，y 满足约束条件 A．﹣4 B．﹣6
，则 z=x﹣2y 的最小值是（ C．﹣8 D．﹣10
9．（5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos2 = △ABC 的形状为（ A．直角三角形） B．锐角三角形 C．等腰三角形
，则
D．钝角三角形
10．（5 分）如图，一条直线与抛物线 y2=2px（p＞0）交于 A，B 两点，且 OA⊥ OB，F 为抛物线的焦点，若△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为 50 物线的东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（B 卷）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5 分）命题“x＞y”，则 x2＞y2 的逆否命题是（ A．若 x≤y，则 x2≤y2 C．若 x2＞y2，则 x≥y 2．（5 分）设 a，b∈R，且 b＜a＜0，则（ A．＞ B．ab＞b2 ）

山东省潍坊市四县市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷-Word版含解析

山东省潍坊市四县市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a b＜b C．﹣＜﹣2 D．a2＞b22．（5分）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4B．4C．4D．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣104．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．6．（5分）设{a n}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值时正整数n=（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或97．（5分）在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2B．C．2或4D．或28．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．99．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0B．﹣2 C．﹣D．﹣310．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）A．36 B．38 C．40 D．42二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．13．（5分）（理）已知x，y为正实数，且x+2y=3，则的最大值是．（文）已知x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，则a n=．15．（5分）已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．17．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）（理）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a∈R）．（文）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a＞0）．19．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且，（1）求角C的值；（2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值．20．（13分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？21．（14分）设数列{a n}前n项和为S n，且S n+a n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1，b n=，n≥2．求数列{b n}的通项公式；（3）（理）设c n=，求数列{c n}的前n和T n．（文）设c n=，求数列{c n}的前n和E n．山东省潍坊市四县市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a b＜b C．﹣＜﹣2 D．a2＞b2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由＜＜0，可得，化简即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴，即b＜a．故选：A．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4B．4C．4D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．解答：解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值和正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．点评：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则sinA的值是（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由C的度数求出sinC和cosC的值，利用求出的cosC，及a与b的值，根据余弦定理求出c 的值，然后再由求出的sinC的值，及a和求出的c，根据正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：由a=4，b=6，C=120°，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC=16+36﹣48×（﹣）=76，解得c=2，根据正弦定理=得：sinA===．故选A点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．5．（5分）在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．解答：解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B点评：本题主要考查了三角形中勾股定理的应用．属基础题．6．（5分）设{a n}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和S n取得最大值时正整数n=（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．8或9考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知中等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，构造方程我们易求出数列{a n}的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列{a n}中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵|a3|=|a9|，∴|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=﹣5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a5＞0故使前n项和取最大值的正整数n是5或6．故选：B．点评：本题考查的知识点是等差数列的定义及等差数列的性质，在处理等差数列问题时，常设出数列{a n}的首项为a1，公差为d，然后构造方程分析首项为a1与公差为d的关系．7．（5分）在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2B．C．2或4D．或2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求出角C，从而求出角A，再根据三角形的面积公式S=bcsinA进行求解即可．解答：解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30°，根据正弦定理=得：sinC===，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=60°或120°，∴∠A=90°或30°在△ABC中，由c=2，b=2，∠A=90°或30°则△ABC面积S=bcsinA=2或．故选D．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0B．1C．D．9考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．9．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，则a的最小值是（）A．0B．﹣2 C．﹣D．﹣3考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令﹣m不大于最小值即可．解答：解：不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，]恒成立，即有﹣a≤x+对于一切x∈（0，]恒成立．由于y=x+的导数为y′=1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y递减．则当x=时，y取得最小值且为，则有﹣a，解得a．则a的最小值为﹣．故选：C．点评：本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，na n+1=（n+1）a n+2，n∈N+，则a11=（）A．36 B．38 C．40 D．42考点：数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），然后利用累加法求数列的通项公式即可．解答：解：因为na n+1=（n+1）a n+2（n∈N*），所以在等式的两边同时除以n（n+1），得﹣=2（﹣），所以=+2[（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）]=所以a11=42故选D．点评：本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用裂项法求数列的和，要使熟练掌握这些变形技巧．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5，b=﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．解答：解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，∴一元二次方程x2﹣ax﹣b=0的根为x1=2，x2=3，根据根与系数的关系可得：，所以a=5，b=﹣6；不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）点评：本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属于基础题．12．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：=，由此能求出结果．解答：解：====．故答案为：．点评：本题考查两个等差数列的第8项的比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．13．（5分）（理）已知x，y为正实数，且x+2y=3，则的最大值是2．（文）已知x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值是3+2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：可利用均值不等式求最值，因为求最，值，所以必须凑积、和为定值．解答：解：∵x，y为正实数，且x+2y=3，∴=≤=2，∴的最大值是2；+=（+）（x+2y）=3++≥3+2，当且仅当=时，+的最小值是3+2，故答案为：2，3+2．点评：本题考查了均值不等式求最值，做题时应细心观察，找到变形式子，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}满足a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，则a n=．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系，利用作差法进行求解即可．解答：解：∵a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣1•a n=，∴当n≥2时，a1+3•a2+32•a3+…+3n﹣2•a n﹣1=，两式相减得3n﹣1•a n=﹣=，即a n=，n≥2，当n=1时，a1=，满足a n=，故a n=，故答案为：点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推关系，构造数列，利用作差法是解决本题的关键．15．（5分）已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由题意得a＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=﹣2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．解答：解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x﹣3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，﹣2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，﹣2a）=1，即2﹣2a=1，解得a=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°求BC的长．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：数形结合．分析：由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．解答：解：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠BDA，即142=x2+102﹣2•10x•cos60°，整理得：x2﹣10x﹣96=0，解之：x1=16，x2=﹣6（舍去）．由正弦定理得：，∴．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求出BD的值，是解题的关键．17．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知可得，由此能求出数列{a n}与{b n}的通项公式．（Ⅱ）由，得，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知可得，又q＞0，∴，∴a n=3+3（n﹣1）=3n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a n}中，a1=3，a n=3n，∴，∴，∴T n=（1﹣）==．点评：本题考查数列{a n}与{b n}的通项公式和数列{}的前n项和T n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）（理）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a∈R）．（文）解关于x的不等式（a﹣x）（x﹣a2）＜0，（a＞0）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣a2）＞0，由此讨论a的取值所对应的原不等式的解集．解答：解：理：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣a2）＞0，…（2分）当a＞1或a＜0时，a2＞a，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）；…（6分）当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）…（8分）当a=1时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；…（10分）当a=0时，原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；…（12分）文：原不等式可化为（x﹣a）（x﹣a2）＞0，…（2分）当a＞1a2＞a，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）；…（5分）当a=1时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；…（8分）当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）…12分）点评：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要对字母系数进行讨论，是易错题．19．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且，（1）求角C的值；（2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理得求出，从而求得C的值．（2）由面积公式求得b=2，由余弦定理求得c2的值，从而求得c的值．解答：解：（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理得，，…（2分）∵sinA≠0，∴，∵△ABC是锐角三角形，∴．…（5分）（2）由面积公式得，，∵，∴b=2，…．（7分）由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴．…（10分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．20．（13分）某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则应用等差数列前n项和公式求得保管费为18x+18（x ﹣1）+…+18=9x（x+1）；（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809；应用基本不等式即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1），（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥10989；（当且仅当=9x，即x=10时取等号）所以该厂应每10天购买一次面粉，才能使每天支付的费用最少，平均每天最少费用是10989元．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．21．（14分）设数列{a n}前n项和为S n，且S n+a n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1，b n=，n≥2．求数列{b n}的通项公式；（3）（理）设c n=，求数列{c n}的前n和T n．（文）设c n=，求数列{c n}的前n和E n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列的递推关系构造等比数列即可求数列{a n}的通项公式；（2）根据递推关系构造等差数列即可求数列{b n}的通项公式；（3）利用错位相减法即可求出数列的和．解答：解：（1）由S n+a n=2，得S n+1+a n+1=2，两式相减，得2a n+1=a n，∴=（常数），故{a n}是公比q=的等比数列，又n=1时，S1+a1=2．解得a1=1，∴a n=．（2）由b1=a1=1，且n≥2时，b n=，得b n b n﹣1+b n=3b n﹣1，即=，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴=1+=，故b n=．（3）理：c n==•，则T n=[30+41+5•（）2+…+（n+2）•（）n﹣1]，T n=[31+4•（）2+…+（n+1）•（）n﹣1+（n+2）•（）n]，以上两式相减得，T n=[3+（）1+（）2+…+（）n﹣1﹣（n+2）•（）n]=[3+﹣（n+2）•（）n]=[4﹣（）n﹣1﹣（n+2）•（）n]，故T n=﹣，）文：c n==n•2n﹣1，则E n=1+2•21+3•22…+n•2n﹣1，2E n=21+2•22+3•23…+n•2n，以上两式相减得，﹣E n=1+21+22+23…2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n（1﹣n）﹣1，故E n=1+2n（n﹣1）．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，利用数列的递推关系构造等比数列和等差数列是解决本题的关键．要求数列掌握利用错位相减法求和的技巧，运算量较大，比较复杂．。

山东省潍坊三县市2014-2015学年高二上学期联考数学试题

高二阶段性教学质量检测数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共50分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动：用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．不等式26x x <+的解集为A.{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x > 2．若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是 A ．b a 11< B ．22b a >C ．1122+>+c b c aD ．||||c b c a >3．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为． A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°4．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A ．d ＞83 B ．d ＜3 C.83≤d ＜3D.83＜d ≤3 5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A ．075,45,10===C A b B ．080,5,7===A b a C ．060,48,60===C b a D ．045,16,14===A b a6．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定8.已知ABC ∆满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 9．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b = A ．23 B ．2131n n -- C ．2131n n ++ D ．2134n n -+ 10．设x ，y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则32a b +的最小值为A ．256B ．83C ．113D ．4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填写的答题纸的相应位置. 11．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则789a a a ++＝； 12．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为13.如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是 ___________14．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 能取到最大值，且满足：9111011+30,0,a a a a <⋅<对于以下几个结论：① 数列{}n a 是递减数列； ② 数列{}n S 是递减数列； ③ 数列{}n S 的最大项是10S ； ④ 数列{}n S 的最小的正数是19S ．其中正确的结论的个数是___________三、解答题：本大题共6小题，共计75分。

山东省潍坊市高二上学期期末考试数学试题

山东省潍坊市高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由|x|>1，解得x>1或x<−1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．2.已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是()A. 若a>b，则√a>√bB. 若a<b，则am2<bm2C. 若1a <1b，则a>b D. 若a3>b3，则a>b【答案】D【解析】解：A.a>b得不出√a>√b，比如，a=4，b=−2时；B.m=0时，a<b得不出am2<bm2；C.1a <1b得不出a>b，比如，a=−2，b=4；D.∵y=x3是增函数，∴a3>b3得出a>b．故选：D．可举反例说明前三个说法都是错误的，而根据y=x3是增函数可由a3>b3得出a>b，即选项D的说法正确，从而选D．考查不等式的性质，以及函数y=x3的单调性．3.双曲线方程为x24−y2=1，则渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±2x C. y=±x D. y=12x【答案】A【解析】解：∵双曲线方程为x24−y2=1，则渐近线方程为x24−y2=0，即y=±12x，故选：A．把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．4. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，设PA ⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗=c ，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. a ⃗ +b ⃗ +cB. a ⃗ −b ⃗ +cC. a ⃗ +b ⃗ −cD. −a ⃗ +b ⃗ +c【答案】B【解析】解：如图所示，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗ =c ，则PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ +(PC ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ +c ．故选：B ．根据题意画出图形，结合图形利用空间向量的基本定理用PA ⃗⃗⃗⃗ 、PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PC ⃗⃗⃗⃗ 表示出PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．本题考查了空间向量的基本应用问题，是基础题．5. 在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4=8，a 7=32，则a 2=( )A. −1B. 1C. ±1D. 2【答案】C【解析】解：等比数列{a n }中，a 2a 3a 4=8，则a 33=8，则a 3=2， ∵a 7=32， ∴q 4=a 7a 3=16，解得q =±2， ∴a 2=±1，故选：C ．根据等比数列的性质可求出a 3=2，再求出公比，即可求出a 2，本题考查等比数列的定义和性质考查了计算能力，属于基础题．6. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，均有x 2+x +1<0B. ∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0C. ∃x ∈R ，使得x 2+x +1≥0D. ∃x ∈R ，使得x 2+x +1=0【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0．故选：B ．直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基础题．7. 已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，则点A 到直线BC 的距离为( )A. 2√23B. 1C. √2D. 2√2【答案】A【解析】解：∵A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，−2)， ∴点A 到直线BC 的距离为：d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2 =1×√1−(−11×3)2=2√23．故选：A ．推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，−2)，点A 到直线BC 的距离为：d =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1−(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >)2，由此能求出结果．本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作倾斜角为60∘的直线交曲线C 于A ，B ，则|AB|=( )A. 8B. 83C. 16D. 163【答案】D【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点(1,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴F 且倾斜角为60∘的直线y =√3(x −1)， ∴{y =√3x −√3y 2=4x，整理得3x 2−10x +3=0，由韦达定理可知x 1+x 2=103，由抛物线的定义可知：|AB|=p +x 1+x 2=2+103163，故选：D ．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2=103，由抛物线的性质可知|AB|=p +x 1+x 2=，解得可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．9. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )A. 95313分B. 105212分C. 115123分D. 125056分【答案】B【解析】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分． ∴1350+12d =160，解得d =−119012，∴“立春”时日影长度为：1350+(−119012)×3=105212(分)．故选：B ．利用等差数列的性质直接求解．本题考查“立春”时日影长度的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为√3，底面ABCD 的边长为1，则二面角A −CD 1−D 的余弦值为()A. √37B. √77C. √217D. 2√77【答案】C【解析】解：过D 作DO ⊥CD 1于O ，连接AO ，则∠AOD 就是二面角A −CD 1−D 的平面角．∵正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为√3，底面ABCD 的边长为1，∴AA 1=√3．在Rt △CDD 1中，CD =1，DD 1=√3，可得CD 1=2，DO =√32．在Rt △ADO 中，AO =√AD 2+DO 2=√72，cos∠AOD=ODAO =√32×√7=√217．故选：C．过D作DO⊥CD1于O，连接AO，则∠AOD就是二面角A−CD1−D的平面角.解△ADO即可．本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．11.某大学毕业生为自主创业于2014年8月初向银行贷款240000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2014年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2019年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少()元(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；年按12个月计算)A. 18000B. 18300C. 28300D. 36300【答案】B【解析】解：由题意，可知：该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240000元，∴两种还款方式的本金没有差额．∵该大学毕业生决定2019年8月初将剩余贷款全部一次还清．∴从2014年9月初第一次还款到2019年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的．∴按原约定所有还款数额−按现计划的所有还款数额═原约定还款方式从2019年9月起到最后还完这整60个月所还的利息∵每月应还本金：240000÷120=2000(元)2019年8月还完后本金还剩240000−2000×60=120000(元)．∴2019年9月应还利息为：120000×0.5%，2019年10月应还利息为：(120000−2000)×0.5%，2019年11月应还利息为：(120000−2000×2)×0.5%，…最后一次应还利息为：(120000−2000×59)×0.5%．后60个月所还的利息为：120000×0.5%+(120000−2000)×0.5%+(120000−2000×2)×0.5%+⋯(120000−2000×59)×0.5%=0.5%×[120000+(120000−2000)+(120000−2000×2)+⋯(120000−2000×59)]=0.5%×[120000×60−2000×(1+2+⋯+59)]=18300(元)．故选：B．本题在认真阅读理解题意的基础认识到两种还款方式的本金没有差额，而前60个月的还款利息也是一样的，唯一不同的是后60个月的还款利息．本题联系生活实际考查理解能力，及运用数学知识解决实际生活中的数学问题的能力，属较难的中档题．12. 已知点P 是椭圆E ：x 216+y212=1上的任意一点，AB 是圆C ：(x −2)2+y 2=4的一条直径，则PA ⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( )A. 32B. 36C. 40D. 48【答案】A【解析】解：如图所示，设P(x,y)，满足x 216+y 212=1．PA ⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =−R 2=−4， ∴PA ⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PC ⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PC⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 2−4， =(x −2)2+y 2−4 =(x −2)2+12×16−x 216−4=14(x −8)2−4，−4≤x ≤4．∴当且仅当x =−4时，14(x −8)2−4=32． ∴PA ⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是32．故选：A ．如图所示，设P(x,y)，满足x 216+y 212=1．PA ⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−R 2=−4，PA ⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PC ⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用数量积运算性质、椭圆的标准方程及其二次函数的单调性即可得出．本题考查了数量积运算性质、椭圆的标准方程及其二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知正数a ，b 满足a +b =1，则1a +1b 的最小值为______．【答案】4【解析】解：∵正数a ，b 满足a +b =1，∴1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√ab ×ba =4，当且仅当a =b =12时取等号． ∴1a +1b 的最小值为4．故答案为：4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．14. 已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =AD =AA 1=1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，则AC 1=______．【答案】√6【解析】解：∵AB =AD =AA 1=1，∠BAD =∠BAA 1=∠DAA 1=60∘，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6， ∴|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6．故答案为：√6．根据空间向量可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方即可得出答案．本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．15. 已知A(2,√2)是椭圆x 2m+y 24=1上一点，F 是椭圆的右焦点，设点F 到直线x =4的距离为d ，则m =______，|AF|d=______．【答案】8 √22【解析】解：A(2,√2)是椭圆x 2m +y 24=1上一点，代入可得：4m +24=1，解得m =8．∴c =√a 2−b 2=2． ∴F(2,0)．∴|AF|=√(2−2)2+(√2−0)2=√2．点F 到直线x =4的距离为d =2，|AF|d=√22．故答案为：8，√22．A(2,√2)是椭圆x 2m +y 24=1上一点，代入可得：4m +24=1，解得m.再利用椭圆的性质、两点之间的距离公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 给出下列四个命题①已知P 为椭圆x 24+y 2=1上任意一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|⋅|PF 2|的范围是[3,4]；②已知M是双曲线x24−y25=1上任意一点，F2是双曲线的右焦点，则|MF2|≥1；③已知直线l过抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F，且l与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则x1x2+4y1y2=0；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球(小球的半径忽略不计)从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a．其中正确命题的序号为______(请将所有正确命题的序号都填上)【答案】②③【解析】解：①椭圆x24+y2=1的a=2，b=1，c=√3，e=ca=√32，设P的横坐标为m，由焦半径公式可得则|PF1|⋅|PF2|=(2+√32m)(|(2−√32m)=4−34m2，由−2≤m≤2，可得可得所求范围是[1,4]，故①错误；②已知M是双曲线x24−y25=1的a=2，b=√5，c=3，若M在双曲线左支上，可得|MF2|≥5；若M在双曲线右支上，可得|MF2|≥1，故②正确；③已知直线l过抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F，设直线l的方程为y=kx+p2，代入抛物线的方程可得x2−2pkx−p2=0，且l与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，可得x1x2=−p2，y1y2=(x1x2)24p2=p24，则x1x2+4y1y2=0，故③正确；对于④，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：(1)球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a−c)；(2)球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2(a+c)；(3)球从A不沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A.此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或2(a−c)或2(a+c).故④错误．故答案为：②③．①求得椭圆的a，b，c，e，运用焦半径公式和椭圆的范围，可得结论；求得双曲线的a，b，c，讨论M在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；④可假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，对球的运动方向分沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，及球从A不沿x轴，斜向上(或向下)运动，讨论即可．本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1和对角线DB1的中点．(1)证明：MN//平面ABCD；(2)求直线MN与直线CB1所成角的大小．【答案】证明：(1)连结BD ，∵M ，N 分别是棱BB 1和DB 1的中点， ∴MN//BD ，∵MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴MN//平面ABCD ．解：(2)设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，B 1(1,1，1)，∴M(1,1，12)，N(12,12,12)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,0)， ∴cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√12⋅√2=12．∴<MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=π3，∴直线MN 与直线CB 1所成角的大小为π3．【解析】(1)连结BD ，推导出MN//BD ，由此能证明MN//平面ABCD ．(2)设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN 与直线CB 1所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18. 已知二次函数f(x)=x 2+mx −6(m >0)的两个零点为x 1和x 2，且x 2−x 1=5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)解关于x 的不等式f(x)<4−2x ．【答案】解：(1)由题意得：x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，由韦达定理得{x 1x 2=−6x 1+x 2=−m，故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25，故m 2=1，∵m >0，∴m =1，故f(x)=x 2+x −6； (2)由f(x)<4−2x 得， x 2+x −6<4−2x ，即x 2+3x −10<0，即(x+5)(x−2)<0，解得：−5<x<2，故不等式的解集是{x|−5<x<2}．【解析】(1)根据二次函数的性质得到关于关于m的方程，解出即可；(2)问题转化为x2+3x−10<0，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及解不等式问题，是一道常规题．19.已知数列{a n}是等差数列，a2=3，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且满足S n=23b n+13．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=−b2a n2+4n−2，求数列{c n}的前n项和T n．【答案】解：(1)数列{a n}是公差为d的等差数列，a2=3，a7=13，可得a1+d=3，a1+6d=13，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1；S n=23b n+13，当n=1时，b1=S1=23b1+13，可得b1=1，n≥2时，b n=S n−S n−1=23b n+13−23b n−1−13，即有b n=−2b n−1，即有b n=(−2)n−1，则a n=2n−1，b n=(−2)n−1；(2)c n=−b2a n2+4n−2=2(2n−1)2+4n−2=24n2−1=12n−1−12n+1，前n项和T n=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n2n+1．【解析】(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求数列{a n}的通项公式；运用数列的递推式可得所求数列{b n}的通项公式；(2)求得c n=−b2a n2+4n−2=2(2n−1)2+4n−2=24n2−1=12n−1−12n+1，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．20.已知A(−2,2)，B(2,2)，直线AD与直线BD相交于点D，直线BD的斜率减去直线AD的斜率的差是2，设D点的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l过点T(0,2)，且与曲线C交于P，Q两点(P,Q异于A，B)，问在y轴上是否存在定点G，使得∠PCT=∠QCT？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)设D(x,y)，则k BD−k AD=y−2x−2−y−2x+2=2，整理为：x2=2y，∴曲线C的方程为x2=2y，(x≠±2)．(2)假设在y轴上存在定点G(0,y0)，使得∠PCT=∠QCT，可知：直线PQ的斜率存在．设PQ的方程为：y=kx+2，代入抛物线方程可得：x2−2kx−4=0，△=4k2+16>0恒成立，设P(x1,y1)，Q(x2,y2).则x1+x2=2k，x1x2=−4，∵∠PCT=∠QCT，∴k CP+k CQ=0．∴y1−y0x1+y2−y0x2=0，∴(kx1+2−y0)+(kx2+2−y0)x1=0，化为：2kx1x2+(2−y0)(x1+x2)=0，∴−8k+(2−y0)⋅2k=0，即k(2+y0)=0，∴y0=−2，因此在y轴上存在定点G(0,−2)，使得∠PCT=∠QCT．【解析】(1)设D(x,y)，利用斜率计算公式k BD−k AD=2，化简整理即可得出．(2)假设在y轴上存在定点G(0,y0)，使得∠PCT=∠QCT，可知：直线PQ的斜率存在.设PQ的方程为：y=kx+2，代入抛物线方程可得：x2−2kx−4=0，△>0恒成立，设P(x1,y1)，Q(x2,y2).根据∠PCT=∠QCT，利用根与系数的关系代入k CP+k CQ=0.化简即可得出．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，PB⊥AD，E为AD的中点，二面角P−AD−B为60∘．(1)证明：AD⊥平面PBE；(2)求点P到平面ABCD的距离；(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】证明：(1)∵△PAD是正三角形，E为AD中点，∴AD⊥PE，∵AD⊥PB，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，∴AD⊥平面PBE．解：(2)∵AD⊥平面PBE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥BE，∴∠PEB是二面角P−AD−B的平面角，∴∠PEB=60∘，∵AD⊥平面PBE，AD⊂平面ABCD，∴平面PBE⊥平面ABCD，作PF⊥BE，垂足为F，则PF⊥平面ABCD，∴PF=PE⋅sin∠PEB=√3⋅sin60∘=32，∴点P到面ABC的距离为32．(3)∵AD⊥BE，E为AD中点，∴AB =BD ，即△ABD 为正三角形，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，D(−1,0，0)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32,32)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)，设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面ABP 的一个法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√32y +32z =0，取x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,√3,1)， ∵AD//BC ，∴AD 与平面APB 所成的角和BC 与平面APB 所成的角相等，设BC 与平面APB 所成角为θ，∴sinθ=|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3√1313． ∴直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√1313．【解析】(1)推导出AD ⊥PE ，AD ⊥PB ，由此能证明AD ⊥平面PBE ．(2)由AD ⊥平面PBE ，得AD ⊥BE ，从而∠PEB 是二面角P −AD −B 的平面角，∠PEB =60∘，推导出平面PBE ⊥平面ABCD ，作PF ⊥BE ，垂足为F ，则PF ⊥平面ABCD ，由此能求出点P 到面ABC 的距离．(3)以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，考查线面的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√32，A 1，A 2分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，△A 1BA 2的面积为2.直线l 过点D(1,0)且与椭圆E交于P ，Q 两点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求△OPQ 面积的最大值；(3)设直线A 1P 与直线QA 2交于点N ，证明：点N 在定直线上，并写出该直线方程．【答案】解：由题意知e =c a =√1−b2a 2=√32， ∴b 2a 2=14，即a =2b ，∵△A 1BA 2的面积为2，∴ab =2，解得a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1， (2)PQ 斜率不存在时，易知P(1,√32)，Q(1,−√32)，此时S △OPQ =√32，当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y =k(x −1)，k ≠0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，将y=k(x−1)代入x24+y2=1，整理可得(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0，∴x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，∴|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=4√3k2+11+4k2，∴S△OPQ=12×1×|y1−y2|=|k|2⋅|x1−x2|=2√3k4+k21+4k2，令1+4k2=t，t>1，∴S△OPQ=2t √316(t−1)2+14(t−1)=12√−1t2−2t+3<√32，故△OPQ面积的最大值√32证明(3)PQ斜率不存在时，易知N(4,√3)，当直线PQ的斜率存在时，直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线A2Q的方程为y=y2x2−2(x−2)，∴y1x1+2(x+2)=y2x2−2(x−2)，∴x−2x+2=y1(x2−2)y2(x1+2)=k(x1−1)(x2−2)k(x2−1)(x1+2)=x1x2−(x1+x2)+2−x1x1x2+2(x1+x2)−2−3x1=4k2−24k2+1−x112k2−64k2+1−3x1=13，解得x=4，即N点的横坐标为4，综上所述，点N在定直线x=4上．【解析】(1)根据离心率和三角形的面积即可求出a=2，b=1，(2)分两种情况，当PQ斜率不存在时，S△OPQ=√32，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y=k(x−1)，k≠0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出△OPQ的面积的最大值．(3)分两种情况，PQ斜率不存在时，易知N(4,√3)，当直线PQ的斜率存在时，直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线A2Q的方程为y=y2x2−2(x−2)，即可整理化简可得x−2x+2=13，解得即可．本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．。

山东省潍坊市2014-2015学年高二数学第二学期期末考试试题-理

2014-2015学年第四学段模块监测高二数学（理科）本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数31iz i-=-等于 A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -22．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．① D ．②③4．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻(a 在b 的前面)，共有排列方法A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种5．已知命题p :若x y >，则x y -<-；命题q :若x y <，则22x y >；在下列命题中：(1);(2);(3)();(4)()p q p q p q p q ∧∨∧⌝⌝∨，真命题是A ．（1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D. （2）（4）6．下列推理过程是演绎推理的是 A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠D ．在数列{}n a 中，12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式 7．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤08．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3) 9．若201523201501232015(12)...(),x a a x a x a x a x x R +=+++++∈ 则320142015122320142015...22222a a a a a -+-++-的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ． 210．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f (1)=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为A. (1,)+∞B. (,)e +∞C. (0,1)D. (0,)e第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项:1. 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤3)＝0.841 3，则P (ξ≤1)＝________.12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 .13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．14.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是________．15．定义在R 上的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log )(log )b e f e ππ=，()22c f =--，则,,a b c 的大小关系为___ .三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数.若p q ∨为真，p q ∧为假.求实数a 的取值范围．17. （本小题满分12分）已知复数1z i =-（i 是虚数单位），函数()214f x x x =+--．（Ⅰ）若233z az b i ++=-,求实数,a b 的值; （Ⅱ）解不等式()2bf x >. 18．（本小题满分12分）观察下列等式11= 第一个式子 9432=++ 第二个式子 2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．19. （本小题满分12分）如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d 的平方和宽度a 的乘积成正比，与它的长度l 的平方成反比．（Ⅰ）在a ＞d ＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R 为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l ，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？20. （本小题满分13分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列和数学期望()E x ． (Ⅱ)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 21. （本小题满分14分）已知函数2()(1)ln ,f x a x x a R =-+∈.（Ⅰ）当14a =-时，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）12a =时，令1()()3ln 2h x f x x x =-+-，求()h x 在[]1,e 的最大值和最小值；（Ⅲ）当[)1,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在不等式组1,1x y x ≥⎧⎨≤-⎩所表示的区域内，求实数a 的取值范围.2014-2015学年第四学段模块监测高二理科数学试题参考答案一、选择题CBAAC,CABBD 二、填空题11. 0.1587 12.100 13. －3 14. 13 15.a>c>b三、16. 解 :设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图像开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. …………2分又∵函数f (x )＝(3－2a )x是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1. …………4分又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．…………5分 (1)若p 真q 假，则221a a -<<⎧⎨≥⎩∴1≤a <2；…………8分 (2)若p 假q 真，则221a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或∴ 2a ≤-. ………11分综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2…………12分17. 解：（Ⅰ）()2212z i i =-=-， ……………………………… 1分由233z az b i ++=-得()2133i a i b i -+++=-，…………………… 2分即()()233a b a i i ++-=-，所以323a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得1a =-，4b =； ……6分（Ⅱ）由（1）知，4b =.所以()214f x x x =+--2>…………………… 7分令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥ ………… 10分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫⎪⎝⎭，．… 1分所以2142x x +-->的解集为}357{>-<x x x 或………………… 12分注：用零点分区间法相应给分。

2014年潍坊市高二上学期期末考试数学试题(理)

保密★启用前试卷类型：A1. 2. 命题“V H GR,护＞云”的否定是A.使得孑。

不存在x6R,使得的逆否命B. D. D.3. 抛物线A.(+‘ 0) B. (1, 0) C. (―0) D.(0, 1)4. 公比为*的等比且 026=16,则 a 7 =5.B. 1C. 2D.已知则下列结论斛的是 A. a 2<b 2B. ab>b c ・ 7+fD. Iga 2<lga6高二数学（理）2014. 01本试埒共4页，分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）注意事项：1・答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上..2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.高二理数第2页（共4页）6.“丄V2”是“工>寺”的X LA・充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件•7.在厶ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，若2acos2 f = a + c,贝lj AABC 的形状为A・直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰宜角三角形&已知数列“=卅刁GWN+）,则数列｛aj的前10项和为A 20 18 r 10 n 9A* 21 B* 19 C* 21 D- 199・在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示平面区域的面积为9,则x^ab¥的最小值为A. —1R 2B・7C丄C 7D.5~T10・已知工>0, y>0,且尤+，+巧=2,则xy的最大值为A. 1+箱B. V3-1C. 4 — 2 -/3D.4 + 2箱11・设数列"J满足如+勞+罟+・・・+ ¥ = 1_£，则"”=A・1 一寺B・2匕D.n12.已知P是双曲线召一召=1（Q0, 6>0）右支上一点，尺、F?分别是双曲线的左、右焦点，J为△PF】F2的内心，若S△門=S△性+专S“迅成立，则该双曲线的离心率为第R卷（非选择题共90分）注意事项：1.将第n卷答案用o. 5mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.A. 4高二理数第3页（共4页）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.等差数列仏”｝的前n项和是S”，若S l4>0, S15<0,则当n为________________ 时，&取最大值.2 214.已知双曲线話-计=1 （a>09 b>0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_____________ ・B 15.小明以每分钟20屈米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔£在/A北偏东30°,行走1小时后，到达C处，看到这个电视塔在北偏西15°,北 / 、亍则此时小明与电视塔的距离为_______ 米. 为丫16.已知函数f^=x2-2ax + b2的最小值为0,若关于工的不等式（:/（x）<c的解集为（£,£+4）,则实数c的值为________ ・三、解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知A（l,2,0）,B（0,4,0）,C（2,3,3）・（I ）求COS<A5,A C> J（II）当入为何值时，恥与忑玄+入屁垂直？18.（本小题满分12分）已知加WR,设命题P：关于x的不等式加"+ （1—加）工+（加一1）=0,对任意实数x 都成立;命题g：直线y=2x-^m与抛物线y2 = \x有两个不同的交点•若命题A q9t为真命题，求加的取值范围.19・（本小题满分12分）在厶ABC中，e 分别是角A,B,C 的对边，且（2a+6）cosC+ccosB = 0, （1）求/0（n ）若abc成等差数列丿=5,求AABC的面积.高二理数第4页(共4页)20. (本小题满分12分)设仏”｝是递增等差数列，其前并项和为S”•已知如=1,且S2，d4+l ，S 成等比数列, 数列⑹｝满足 a, = 21og 3d B -l(n6N +).(I)求数列｛*｝,｛"｝的通项公式； ⑹令。

山东省潍坊市潍坊中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文(扫描版,答案不全)

山东省潍坊市潍坊中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文（扫描版，答案不全）坤峙屮*A二上学期过用性检测秋学试崩（丈科）20J 5. 12 * * * OA10f■）壽別■ 6曲* Asofr充■小■診出的四乍纸壤中・只沪1 HlhTHtttAll的则魚宾中JC命挫勺' A.枷"m.則N也商」怜SWA全舔命島i®谢注F si的是< >I1 * 上2硏V + F『* V* / 2xyir" *5业M酬轉点年的距富为4, N是砒的中点* HIICHI够# |不暮于ur”的上直为（）(0)很矯三痢略内痢和平等干即・工时是橢|«£上・1的右焦乩im 上的点与点F 的量大距高为亂豪小距25 16 离为tn t + m)=()2h 2 FL 10C, J\0 D. 5&“如畏Qb •则旷5>tr 犷的連否命题是( )A ・如果盘5则a'5<b'5；B,如果a-5>b-5p 则a>b'.如杲心冬占* gija ~ 5 5 A - 5 ; D*如果◎ - 5 W h - 5 ,则o 冬b苦椭怖『入分订1的一个焦点是(_h 0),则沪斗1心2⑻ T-血(C)七运(D) !±^2&已知平面内动点卩剽两定点算■巧的酊的和等于常数2。

.关于动点P 的轨确以下说法：⑴和伽迹一定曲服⑵2“出|时，点p 的轨迹是椭團 ⑶加=闪用i 5)点P 的轨迹不一定存在.则上述说法中，(A) 1个 ⑻2个(C) 3个 *9.欄腿g~+y l ・i 写BhrTy+y(巧加右八卄上—9用公共点规讪卧值与星小值分别为⑷3.乎⑻3, y 9)评⑹4去设界(一C0).巧@0)是桶… ' 鈕>0)的两牛焦焦p 是叫你H 栓的風与椭卿的冷交点1且ZP 華7"F F 耐泌亠'?几则该椭圆的倉心率为时「和摘进躍段阿⑷点p 的轨妇定锂正确的有()CD) 4 个週I刖可訪轴収床苯冶"甘¥心字氐hZ其儈箏生”叶临皿討R 皿紅期'腕般切孑點f丑甲斛寺遶阅同［=弓十岂曲里（辰乳卒梨鞠屮*）!:託H射阍瓣Ui戸第刨站星9£・应+上耳圈斛旨甘亿一t）VJI（0蒔処即H印一孑甌艸它X期游‘丁膽、甘単祁U）；酬卑眾瞬凹關聽水（将乳好鹼耐屮水』引霸呼芨望辛產罰龍旻修聊主鼻聊宝网孚純书铤菲‘暨许0诟京羊車=BSW '»紹球（g® 1二F圖鼻哥甜曲町曲'BMMT# x E x'p-1 ^VrSSSf ""確4118'〈本小瞬分12分》弋辽，& 竺曲£ 53C 知楠陋的方程为务手儿点P 为欄聶上的点，编二撷妙二押遊⑷ _ ⑴初側闻二加 ⑴若纠阳=0•求砌话的面稅； "1 1噩八佛匸岡曲LW )W ⑵ 求|PF ；卜］阳|的量大值,及此时P 点的坐标・" 1也f 本小題满分12分) J 已ftp^Sx^lO, q:j J -2x+l-w J S0 (QO)，若予是勺的必要非充分条馄求实数刑的取值范［览幵I % J1戏'、皿 20.(本小题溝分13分)卜玳和枷］戒心M7心人：；已知动圆财过点歼训并且与定■£：(—4)仃八100為/：护二M 2 十肿二Qq I w ' ) 啊二J$ A*舌祐时空 B 啓駄求弦AB 的直冰L 7?1'¥ 2誠二而紗乐莎孔厂西—1上划宜F 到左*右两幄* 0严加M3 门奔|廉［血*》从"皿糧竺而 ⑴疳用上-削(0> *祸足刚=冋毛蝮整皋k 的值爪脑卜M 乔茹7■ •总丽；小曲必这刖脱人I 更九c 的"帥罟伍中。

山东省潍坊市高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．＞D．ac2＜bc22．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥03．“x＜0”是“＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知四面体ABCD， =， =， =，点M在棱DA上， =2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣B．﹣++C．++D．﹣﹣8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．9．对任意实数x，若不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤210．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m= ．12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为．13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA= ．14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= ．15．给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为（写出所有正确的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．18．已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；③中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t．（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？20．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{b n}满足：b1+3b2+32b3+．．．+3n﹣1b n=，（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n+，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2B．a3＜b3C．＞D．ac2＜bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；D．取c=0，即可判断出正误．【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；C．取a=﹣2，b=1，不正确；D．取c=0，不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0C．∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0D．∃x∈[0，+∞），x3+2x≥0【考点】命题的否定．【专题】集合思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由全称命题的否定的规则可得．【解答】解：∵命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”为全称命题，故其否定为特称命题，排除A和C，再由否定的规则可得：“∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0”故选：B．【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题．3．“x＜0”是“＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由＜0，化为x（x+1）＜0，解出即可判断出．【解答】解：∵＜0，∴x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，∴“x＜0”是“＜0”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出△ABC 的形状．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．故选：C．【点评】此题考查了三角形形状的判断，考查了余弦定理以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知推导出=，双曲线的一个焦点为F（5，0），由此能求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，∴=．∵双曲线的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，∴由y=0，得x=5，∴双曲线的一个焦点为F（5，0），∴，解得a=3，b=4，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．已知四面体ABCD， =， =， =，点M在棱DA上， =2，N为BC中点，则=（）A．﹣﹣﹣B．﹣++C．++D．﹣﹣【考点】空间向量的加减法．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用．【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出．【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中， =， =， =，点M在棱DA上， =2，∴ =，又N为BC中点，∴ =（+）；∴=+=﹣++=﹣++．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得．【解答】解：设该女第n天织布为a n尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得=5，解得a1=，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．9．对任意实数x，若不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤2【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵对任意实数x，不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，∴（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，∴△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：A．【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m= 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，∵离心率是e=，∴ ==，解得m=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x结合图象可得结论．【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=2x+z，平移直线y=2x可知：当直线经过点A（﹣1，3）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z=3﹣2（﹣1）=5故答案为：5．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA= ﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将a=2b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：在△ABC中，∵b，c，a成等比数列，∴c2=ab，又a=2b，∴c2=2b2，即c=b，则cosA===﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= 9 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y2=8x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|．【解答】解：抛物线C：y2=8x的准线方程为x=﹣2，焦点F（2，0）．∵A到抛物线的准线的距离为6，∴A的横坐标为4，代入抛物线C：y2=4x，可得A的纵坐标为±4，不妨设A（4，4），则k AF=2，∴直线AB的方程为y=2（x﹣2），代入抛物线C：y2=4x，可得4（x﹣2）2=4x，即x2﹣5x+4=0，∴x=4或x=1，∴B的横坐标为1，∴B到抛物线的准线的距离为3，∴|AB|=6+3=9．故答案为：9．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．15．给出下列四个命题：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；③定义：为n个数p1，p2，…，p n的“均倒数”，已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2．以上命题正确的为①③④（写出所有正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据数列{a n}的前n项的“均倒数”为，即可求出S n，然后利用裂项法进行求和即可．④根据余弦定理进行求解判断．【解答】解：①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；故①正确，②在△ABC中，“A＞B”等价于a＞b，等价为sinA＞sinB，则，“A＞B”是“sinA＞sinB 的充分必要条件”；故②错误，③∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴=，即S n=n（n+2）=n2+2n，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，当n=1时，a1=S1=1+2=3，满足a n=2n+1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，故③正确，④在△ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，设AB=2x，则cos∠AOC=﹣cos∠BOC，即=﹣，即x2﹣4=﹣x2，即x2=2，则x=，则AB=2．故④正确，故答案为：①③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，充分条件和必要条件以及解三角形的应用，综合性较强，难度中等．三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16．已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与∥，且⊥，列出方程组求出x、y、z的值即可；（2）根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出（+）与（+）所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），且∥，⊥，∴，解得x=﹣1，y=﹣1，z=1；∴向量=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，﹣2），=（3，1，1）；（2）∵向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，﹣1），∴（+）•（+）=2×4+2×0+3×（﹣1）=5，|+|==，|+|==；∴（+）与（+）所成角的余弦值为cosθ===．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知条件化简变形可得：a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可得cosC，结合范围C∈（0°，180°），即可得解C的值．（2）利用已知及正弦定理可得sinB，利用大边对大角可求角B的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）2﹣c2=3ab，变形可得：a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°…6分（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得m范围．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a ＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得m范围．又￢q是￢p的充分不必要条件，可得p⇒q．【解答】解：由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得a＜m＜a+1．又￢q是￢p的充分不必要条件，∴p⇒q．则，解得．经过检验a=或1时均适合题意．故a的取值范围是．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；②定位后中国海警缉私船即刻沿直线匀速前往追埔；③中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2t．（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）t=1时，确定P的横坐标，代入抛物线方程可得P的纵坐标，利用|AP|，即可确定中国海警辑私船速度的大小；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上走私船，此时位置为（2t，9t2），从而可得v关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=1时，P的横坐标x P=2，代入抛物线方程y=x2中，得P的纵坐标y P=9．由A（0，﹣18），可得|AP|=，得中国海警辑私船速度的大小为海里/时；（2）设中国海警辑私船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（2t，9t2）．由vt=|AP|=，整理得v2=81（t2+）+352因为t2+≥4，当且仅当t=时等号成立，所以v2≥81×4+352=262，即v≥26．因此，中国海警辑私船的时速至少是26海里才能追上走私船．【点评】本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．20．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{b n}满足：b1+3b2+32b3+．．．+3n﹣1b n=，（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n+，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过联立a1+a5=10、S4=16可知首项和公差，进而可知a n=2n﹣1；通过作差可知当n≥2时b n=，进而可得结论；（Ⅱ）通过（I）及错位相减法计算可知数列{a n b n}的前n项和和为P n=1﹣（n+1），通过裂项、利用并项相加法可知数列{}的前n项和Q n=，进而计算可得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得：，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；∵b1+3b2+32b3+…+3n﹣1b n=，∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2b n﹣1=（n≥2），两式相减得：3n﹣1b n=﹣=，∴b n=（n≥2），又∵b1=满足上式，∴数列{b n}的通项公式b n=；（Ⅱ）记p n=a n b n=（2n﹣1），其前n项和和为P n，则P n=1•+3•+…+（2n﹣1），P n=1•+3•+…+（2n﹣3）+（2n﹣1），两式相减得： P n=+2（++…+）﹣（2n﹣1）=2•﹣﹣（2n﹣1）= [1﹣（n+1）]，∴P n=1﹣（n+1），∵q n===（﹣），∴其前n项和Q n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵c n=a n b n+，∴T n=P n+Q n=1﹣（n+1）+．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法、裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（i）求得F（﹣2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围；（ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由可得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量的数量积的坐标表示，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查点在定直线上的求法，注意运用直线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．。

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2014-2015学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“x＞y”，则x2＞y2的逆否命题是（）A．若x≤y，则x2≤y2B．若x2≤y2，则x＞yC．若x2＞y2，则x≥y D．若x2≤y2，则x≤y2．（5分）设a，b∈R，且b＜a＜0，则（）A．＞B．ab＞b2C．＜1D．+＞2 3．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于（）A．4B．8C．12D．164．（5分）曲线y=e x+3在（0，4）处的切线方程为（）A．2x+y﹣4=0B．2x﹣y+4=0C．x﹣y+4=0D．x+y﹣4=0 5．（5分）椭圆+=1的两个焦点为F1、F2，点P是椭圆上任意一点（非左右顶点），则△PF1F2的周长为（）A．8B．6C．4D．36．（5分）“x2﹣x﹣2＞0”是“x＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，一艘轮船从N处开始按照北偏西35°的方向以每小时30海里的速度航行，灯塔M原来在轮船的北偏东25°方向上，经过30分钟后，灯塔在轮船的北偏东70°方向上，则灯塔M距离N处的海里数为（）A．B．C．30（+1）D．30（﹣1）8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣109．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2=，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形10．（5分）如图，一条直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则抛物线方程为（）A．y2=x B．y2=x C．y2=5x D．y2=10x二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题“∃x∈R，|x|＞0”的否定是．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a5=9，若数列{}的前n项和为S n，则S10=．13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率e=．14．（5分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为．15．（5分）给出下列四个命题：①不等式（m﹣1）x2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的范围是m＞1；②如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为；③等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＞0，S14＜0，则S7为S n的最大值；④若0＜x＜，则x的最大值是．其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知条件p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；条件q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．（Ⅰ）若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=1．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=2，c=，求sinB．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），设b n+1=2log3a n （n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）若c n是a n与b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1（a＞﹣1）．（Ⅰ）当a=0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立（e=2.71828…），求a的取值范围．20．（13分）某企业原来每年可生产某种设备65件，每件设备的销售价格为10万元，为了增加企业效益，该企业今年准备投入资金x万元对生产工艺进行革新，已知每投入10万元资金生产的设备就增加1件，同时每件设备的生产成本a万元与投入资金x万元之间的关系是a=，若设备的销售价格不变，生产的设备能全部卖出，投入资金革新后的年利润为y万元（年利润=年销售额﹣年投入资金额﹣年生产成本）．（Ⅰ）试将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；（Ⅱ）该企业投入资金为多少万元时，企业的年利润最大？并求出最大利润．21．（14分）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C、D分别是椭圆的左右顶点，过椭圆右焦点F作弦AB（A，B，C，D不重合）．当直线AB与x轴垂直，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当△OAB的面积为时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设直线AC、AD、BC、BD的斜率分别为k1，k2，k3，k4，证明：k1•k2•k3•k4为定值．2014-2015学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“x＞y”，则x2＞y2的逆否命题是（）A．若x≤y，则x2≤y2B．若x2≤y2，则x＞yC．若x2＞y2，则x≥y D．若x2≤y2，则x≤y【解答】解：命题“若x＞y，则x2＞y2”；条件为：“若x＞y”，结论为：“x2＞y2”；故其逆否命题为：若x2≤y2，则x≤y．故选：D．2．（5分）设a，b∈R，且b＜a＜0，则（）A．＞B．ab＞b2C．＜1D．+＞2【解答】解：对于A．∵b＜a＜0，∴ab＞0，∴，化为，因此不正确；对于B．ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2，因此不正确；对于C．∵b＜a＜0，∴，因此不正确；对于D．∵b＜a＜0，∴0，，∴≥=2，由于a≠b，因此等号不成立，因此正确．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且a3a4a5=8，∴a43=8，解得a4=2，∴a6=a4×22=8，故选：B．4．（5分）曲线y=e x+3在（0，4）处的切线方程为（）A．2x+y﹣4=0B．2x﹣y+4=0C．x﹣y+4=0D．x+y﹣4=0【解答】解：y=e x+3的导数为y′=e x，即有曲线y=e x+3在（0，4）处的切线斜率为k=1，即有曲线y=e x+3在（0，4）处的切线方程为y﹣4=x，即为x﹣y+4=0，故选：C．5．（5分）椭圆+=1的两个焦点为F1、F2，点P是椭圆上任意一点（非左右顶点），则△PF 1F2的周长为（）A．8B．6C．4D．3【解答】解：由椭圆+=1，得a2=4，b2=3，∴c2=a2﹣b2=4﹣3=1，则a=2，c=1．∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×2+2×1=6．故选：B．6．（5分）“x2﹣x﹣2＞0”是“x＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即当x＞2时，x2﹣x﹣2＞0成立，即必要性成立，若x=﹣2，满足x2﹣x﹣2＞0，但x＞2不成立，即充分性不成立，即“x2﹣x﹣2＞0”是“x＞2”的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）如图，一艘轮船从N处开始按照北偏西35°的方向以每小时30海里的速度航行，灯塔M原来在轮船的北偏东25°方向上，经过30分钟后，灯塔在轮船的北偏东70°方向上，则灯塔M距离N处的海里数为（）A．B．C．30（+1）D．30（﹣1）【解答】解：由题意可知△AMN中AN=15，∠N=60°，∠MAN=75°，∴∠M=45°，由正弦定理可得，∴MN=，故选：A．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣10【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得．∴B（4，6）．化z=x﹣2y为．由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z最小．此时z=4﹣2×6=﹣8．故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2=，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：∵cos2=，∴=，∴解得：cosB=，∴由余弦定理可得：=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．10．（5分）如图，一条直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则抛物线方程为（）A．y2=x B．y2=x C．y2=5x D．y2=10x【解答】解：∵OD⊥AB，∴k OD•k AB=﹣1．又k OD=，∴k AB=﹣2，∴直线AB的方程为y=﹣2x+5，设A（x1，x2），B（x2，y2），则由OA⊥OB，即⊥．则x1x2+y1y2=0，又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）=5x1x2﹣10（x1+x2）+25=0，联立方程，消y可得4x2﹣（20+2p）x+25=0①∴x1+x2=，x1x2=．∴x1x2+y1y2=5×﹣10×+25=0，∴p=，当p=时，方程①成为8x2﹣45x+50=0显然此方程有解．∴p=成立，即有抛物线的方程为y2=x．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题“∃x∈R，|x|＞0”的否定是∀x∈R，|x|≤0．【解答】解：命题为特称命题，则命题“∃x∈R，|x|＞0”的否定是：∀x∈R，|x|≤0，故答案为：∀x∈R，|x|≤0，12．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a5=9，若数列{}的前n项和为S n，则S10=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a5=9，∴9=1+4d，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a n=2n﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和为S n=+…+==．∴．故答案为：．13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率e=．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=x，故可得=，即a2=4b2，又a2+b2=c2，故，=，解得e==故答案为：14．（5分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为（0，1）．【解答】解：由题意得f′（x）=3x2﹣3b，令f′（x）=0，则x=±又∵函数f（x）=x3﹣3bx+b在区间（0，1）内有极小值，∴0＜＜1，∴b∈（0，1），故答案为（0，1）．15．（5分）给出下列四个命题：①不等式（m﹣1）x2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的范围是m＞1；②如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为；③等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＞0，S14＜0，则S7为S n的最大值；④若0＜x＜，则x的最大值是．其中正确的命题序号是②③④（把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，不等式（m﹣1）x2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则m=1时，1＞0恒成立；当m＞1，且判别式（1﹣m）2﹣4m（m﹣1）＜0，解得m＞1，则m的范围是[1，+∞），则①错；对于②，如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，令=k，则y=kx，（1+k2）x2﹣4x+1=0，由判别式△=16﹣4（1+k2）≥0，解得﹣≤k，则k的最大值为．则②对；对于③，等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13＞0，S14＜0，则（a1+a13）•13＞0，即有a7＞0，S14＜0，即为（a1+a14）•14＜0，即为a7+a8＜0，即有a8＜0，则有公差小于0，即有前7项均为正数，第8项起均为负的，则S7为S n的最大值，则③对；对于④，若0＜x＜，则x=≤=，当且仅当4x2=1﹣4x2，即x=＜，取得最大值．则④对．故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知条件p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；条件q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．（Ⅰ）若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，不等式为（x﹣a）（x﹣3a）＜0为（x﹣1）（x﹣3）＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，由x2﹣5x+6＜0得（x﹣3）（x﹣2）＜0，则2＜x＜3，即q：2＜x＜3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，则实数x的取值范围是2＜x＜3；（2）∵x2﹣4ax+3a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，∵q：2＜x＜3，∴若q是p的充分条件，则a＞0，且，即1≤a≤2，则实数a的取值范围是[1，2]．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=1．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=2，c=，求sinB．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a2﹣（b﹣c）2=bc，∴a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，∴A=．（Ⅱ）由正弦定理得，∴，∴sinC=，又∵c=＜2=a，∴C为锐角，∴cosC=，∴sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），设b n+1=2log3a n （n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）若c n是a n与b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．【解答】（I）证明：当n=1时，，解得a1=3．当n≥2时，∵S n=（a n﹣1），∴S n=，∴a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣，化为a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴．∴b n+1=2log3a n==2n，∴b n=2n﹣1，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣1﹣（2n﹣1）=2．∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为2．（II）解：∵c n是a n与b n的等比中项，∴=a n•b n=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n2}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n，3T n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）×3n+（2n﹣1）×3n+1，∴﹣2T n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）×3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2﹣2n）×3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）×3n+1+3．19．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1（a＞﹣1）．（Ⅰ）当a=0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立（e=2.71828…），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0，f（x）=lnx+﹣1（x＞0），f′（x）=﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）上递减．综上可得f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，有x•f（x）≥2a恒成立，即为2a≤x（lnx+﹣1）=xlnx﹣x+a+1，即a≤xlnx﹣x+1在[e，+∞）恒成立．令g（x）=xlnx﹣x+1，g′（x）=lnx+x﹣1=lnx，当x∈[e，+∞）时，g′（x）≥1＞0，即g（x）在[e，+∞）递增，则g（x）的最小值为g（e）=elne﹣e+1=1．即有a≤1．20．（13分）某企业原来每年可生产某种设备65件，每件设备的销售价格为10万元，为了增加企业效益，该企业今年准备投入资金x万元对生产工艺进行革新，已知每投入10万元资金生产的设备就增加1件，同时每件设备的生产成本a万元与投入资金x万元之间的关系是a=，若设备的销售价格不变，生产的设备能全部卖出，投入资金革新后的年利润为y万元（年利润=年销售额﹣年投入资金额﹣年生产成本）．（Ⅰ）试将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；（Ⅱ）该企业投入资金为多少万元时，企业的年利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（Ⅰ）由题意，投入资金x万元资金革新后生产设备（65+x）件，∴生产成本为•（65+x）万元，∴该企业的年利润y=（65+x）×10﹣x﹣•（65+x）=650﹣（x≥0）；（Ⅱ）∵=+≥2=50，当且仅当=，即x=600时取等号，∴y=650﹣≤650﹣=525，∴该企业投入资金为600万元时，企业的年利润最大，最大利润为525万元．21．（14分）椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C、D分别是椭圆的左右顶点，过椭圆右焦点F作弦AB（A，B，C，D不重合）．当直线AB与x轴垂直，|AB|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当△OAB的面积为时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设直线AC、AD、BC、BD的斜率分别为k1，k2，k3，k4，证明：k1•k2•k3•k4为定值．【解答】（Ⅰ）解：由题意知，，则，b=c，a2=2b2，把x=c代入椭圆方程得，∴|AB|=，解得：a2=2，b2=1，故椭圆方程为：；（Ⅱ）解：当直线AB的斜率不存在时，由题意可知，，故弦AB的斜率一定存在，且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线的方程代入椭圆方程中，整理得到（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|==．点O到直线AB的距离d=．∴=．整理得：k4+k2﹣2=0，解得：k=±1．故直线AB的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．（Ⅲ）证明：由题意C （），D （），设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴，又∵，，∴k1•k2•k3•k4 =．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。