2018届人教B版三角函数的图形变换单元测试

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2018届人教B版三角函数的图象与性质检测卷

专题二三角函数第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1．(2016·四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．答案：A2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为2，则函数f (x )的一个零点为( )A ．－π3B.23C.⎝⎛⎭⎪⎫23，0 D ．(0，0)解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3，∵T ＝2πa ＝2，∴a ＝π.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，∴当x ＝23时，f (x )＝0.答案：B3．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：由题意知y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，验证可知x ＝－π2是所得图象的一条对称轴．答案：A4．(2016·北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解析：∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12. ∵P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，∴2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，∴s 的最小值为π6.答案：A5.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22等于( ) A.12 B.22 C.32D ．1解析：由题中图象可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，得到f (x )的一条对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12，∴x 1＋x 2＝2×π12＝π6，观察题中图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1. 答案：D二、填空题6．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，37．(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．解析：法一：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，y ＝cos x 的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0，3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0，3π]上两个函数图象的交点个数是7.法二：联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin 2x ，y ＝cos x ，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x ＝cos x 解的个数．方程可化为2sin x cos x ＝cos x ，即cos x (2sin x －1)＝0，∴cos x ＝0或sin x ＝12.①当cos x ＝0时，x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵x ∈[0，3π]，∴x ＝π2，32π，52π，共3个；②当sin x ＝12时，∵x ∈[0，3π]，∴x ＝π6，56π，136π，176π，共4个．综上，方程组在[0，3π]上有7个解，故两曲线在[0，3π]上有7个交点．答案：78．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，∵函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，∴f (ω)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝±2，∴ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，∴ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，∴ω＝π2. 答案：π2三、解答题9．(2016·北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，得πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)．10．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z.即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 11．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4≤2， ∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z.(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8 ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z.又0<ω<10，所以ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，此时其最小正周期为π.。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 2

一、选择题1．(2016·东营模拟)计算：sin 116π＋cos 103π＝ ( A )A ．－1B ．1C ．0D ．12－32[解析] 原式＝sin(2π－π6)＋cos(3π＋π3)＝－sin π6＋cos(π＋π3)＝－12－cos π3＝－12－12＝－1.2．(2016·广州模拟)已知sin(52π＋α)＝15，α是第四象限角，则sin α＝ ( D )A ．15B ．－15C ．265D ．－265[解析] sin(52π＋α)＝sin(2π＋π2＋α)＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.因为α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－125＝－265. 3．(2017·山东省泰安市宁阳复圣中学高三上学期9月月考数学试题)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝ ( C )A ．－513B ．513C ．－125D ．125[解析] 利用同角三角函数的基本关系，求得tan α的值．解：∵α是第四象限角，sin α＝－1213，∴cos α＝1－sin 2α＝513，则tan α＝sin αcos α＝－125，故选C ．[点拨] 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．4．(2017·浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量测试(二模)数学试题)已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝ ( A )A ．－43B ．－34C ．43D ．34[解析] 由题设(sin α＋cos α)2＝125，则2sin αcos α＝－2425，故(sin α－cos α)2＝1＋2425＝4925，所以sin α－cos α＝75，与sin α＋cos α＝15联立解之可得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，应选A ．5．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于 ( B )A ．25B ．－25C ．25或－25D ．－15[解析] 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B ． 6．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f (－25π3)的值为 ( A )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos 25π3＝cos(8π＋π3)＝cos π3＝12.7．(2016·广东汕头质量检测)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2α－2π3)的值是 ( D )A ．79B ．13C ．－13D ．－79[解析] sin(α＋π6)＝sin[π2－(π3－α)]＝cos(π3－α)＝cos(α－π3)，所以cos(2α－2π3)＝2cos 2(α－π3)－1＝2×(13)2－1＝－79，故选D ．8．(2016·广东惠州三调)已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为 ( B )A ．23B ．－23C ．13D ．－13[解析] 因为sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，两边平方可得1＋2sin θ·cos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B ．二、填空题9．(2017·北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试数学试题)计算sin(－330°)＝12[解析] 因为sin(－330°)＝sin(－330°＋360°)＝sin(30°)＝12，所以sin(－330°)＝12.10．(2016·济宁模拟)若tan(π－α)＝2，则sin2α＝－45.[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2. ∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－45.11．化简：sin (π2＋α)·cos (π2－α)cos (π＋α)＋sin (π－α)·cos (π2＋α)sin (π＋α)＝_0.[解析] 原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 三、解答题12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin (5π2＋α)cos (5π2－α)的值.[答案] ±52[解析] 因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin (5π2＋α)cos (5π2－α)＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝1－sin 2α＝－55， ∴原式＝1sin αcos α＝－52.13．(2016·浙江杭州模拟)已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求1cos 2x －sin 2x的值．[解析] (1)方法一：联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，①sin 2x ＋cos 2x ＝1，②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0. 因为－π2<x <0，所以⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，所以sin x －cos x ＝－75.方法二：因为sin x ＋cos x ＝15，所以(sin x ＋cos x )2＝(15)2，即1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.因为(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925.①又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，所以sin x －cos x <0.② 由①②可得sin x －cos x ＝－75.(2)1cos 2x －sin 2x ＝1(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＝115×75＝2571．(2016·沧州七校联考)已知sin θ＋3cos θ3cos θ－sin θ＝5，则sin 2θ－sin θcos θ的值是 ( A )A ．25B ．－25C ．－2D ．2[解析] ∵sin θ＋3cos θ3cos θ－sin θ＝5，∴6sin θ＝12cos θ，即tan θ＝2，∴sin 2θ－sin θcos θ＝sin 2θ－sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－tan θtan 2θ＋1＝25，选A ．2．(2016·河南郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于 ( B )A ．1－32B ．1＋32C ． 3D ．－ 3[解析] ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32. ∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0.∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32，∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. [点拨] 利用根与系数的关系表示出sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值，再利用完全平方公式求出sin θ－cos θ的值即可．3．(2017·湖北省襄阳市枣阳一中开学数学试题)△ABC 为锐角三角形，若角θ的终边过点P (sin A －cos B ，cos A －sin C )，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为 ( B )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] 由题意△ABC 为锐角三角形，可知，sin A －cos B ＞0，cos A －sin C ＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．解：△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＞π2，所以sin A ＞cos B ，cos A ＜sin C ；所以θ是第二象限角，所以y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝1－1－1＝－1故选B ．4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，是tan(θ－π4)＝－43.[解析] 通性通法因为sin(θ＋π4)＝35，所以cos(θ－π4)＝sin[π2＋(θ－π4)]＝sin(θ＋π4)＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，所以sin(θ－π4)＝－1－(35)2＝－45，所以tan(θ－π4)＝sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝－43.光速解法因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝45，所以tan(θ－π4)＝sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝－cos[π2＋(θ－π4)]sin[π2＋(θ－π4)]＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4)＝－43. 5．(教材改编题)已知f (α)＝sin (π2－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π)tan (π＋α)sin (π2＋α)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．[解析] (1)f (α)＝cos αcos α(－tan α)tan αcos α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝－sin α，所以sin α＝－15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－256. 所以f (α)＝256.(3)因为α＝－1 860°＝－6×360°＋300°，所以f (α)＝f (－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－6×360°＋300°)＝－cos60°＝－12.。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换 (1) 单元测试

课时规范训练[单独成册][A 组基础演练] (时间：35分钟)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A ，B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D.因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.4．已知△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B.因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 019°，cos 2 019°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.因为sin 2 019°＝sin(11×180°＋39°) ＝－sin 39°<0，cos 2 019°＝cos(11×180°＋39°) ＝－cos 39°<0，所以点A (sin 2 019°，cos 2 019°)位于第三象限．6．设扇形的周长为8 cm ，面积为 4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝2，l ＝4.∴圆心角α＝l r ＝42＝2.答案：27．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.答案：－18．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)． ∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm. 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限．其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[B 组能力突破] (时间：25分钟)11．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43 B ．34 C ．－34D ．－43解析：选D.因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16. 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)，其中符号为负的是( )A ．①②B ．②C ．③D ．①③解析：选C.与－1 000°终边相同的角是80°，所以－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则cos(－2 200°)>0；－7π2<－10<－3π，所以－10是第二象限角，则tan(－10)<0.13．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B.由已知得⎩⎨⎧sin α－cos α>0，tan α>0，α∈[0,2π]，∴⎩⎪⎨⎪⎧π4＜α＜5π4，0<α<π2或π<α<3π2.故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4.14. 如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，平行四边形OAQP 的面积为S (θ)．(1)求OA →·OQ →＋S (θ)的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)的值．解：(1)由已知，得A ，P 的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)，OA →·OQ →＝1＋cos θ，又S (θ)＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S (θ)＝sin θ＋cos θ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1(0<θ<π)，故OA →·OQ →＋S (θ)的最大值是2＋1，此时θ0＝π4. (2)∵cos α＝－35，sin α＝45，θ0＝π4，∴cos(θ0＋α)＝cos π4·cos α－sin π4·sin α＝－7210.15. 如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。

2018届人教B版简单的三角恒等变换单元测试

开卷速查(二十一) 简单的三角恒等变换A 级基础巩固练1．计算sin 20°cos 70°－cos 160°sin 70°＝( )A ．0B ．－sin 50°C ．1D ．－1解析：原式＝sin 20°cos 70°－cos (180°－20°)sin 70° ＝sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70° ＝sin (20°＋70°)＝sin 90°＝1。

答案：C2．已知cos α2＝45，α∈(0,2π)，则sin α4＝( )A .1010B ．－1010C .31010 D ．－31010解析：角α2是α4的2倍，所以sin 2α4＝1－cos α22＝1－452＝110。

因为α∈(0,2π)，所以α4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α4＝110＝1010。

答案：A3．[2016·长沙模拟]函数f(x)＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：f(x)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6。

x ∈R ，所以x －π6∈R ，所以f (x )∈[－3，3]，故选B 。

答案：B4．[2016·成都模拟]已知锐角α满足cos2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：由cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α)，由α为锐角知cos α＋sin α≠0。

2018届人教B版与三角变换、平面向量、函数等综合的三角形问题检测卷

难点三难点突破强化训练（一）选择题（12*5=60分）1.【2017届湖南长沙一中高三月考五】在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠= ，CD是AB 边上的高，则CD CB =（）A.94-B.94C.274 D.274-【答案】B【解析】如图所示，在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠= ，CD 是AB 边上的高，则120ABC ∠= ，所以sin 60CD BC ==，且030BCD ∠=，所以cos 3cos30CD CB CD CB BCD =∠= 94=.2.【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（）A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】A3.【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三12月月考】在ABC ∆中，,P Q 分别是,AB BC三等分点，且11,33AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b == ，则PQ = （）A ．1133a b +B ．1133a b -+C ．1133a b -D ．1133a b -- 【答案】A 【解析】因b a AB AC AB AB BQ AB AP AQ PQ 3131)(313231+=-+=-+=-==.故应选A.4.【2017届河北武邑中学高三周考11.13】若点P 是ABC ∆的外心，且0,120PA PB PC C λ++=∠=，则实数λ的值为（）A ．12 B ．12- C.1- D ．1 【答案】C【解析】由题设可知0120=∠APB ,所以结合图形可知PC PB PA =+,即=-+,故1-=λ,应选C.B5.【2017届河北武邑中学高三上学期调研五】已知ABC ∆中，AB 上一点P 满足2133CP CA CB =+，若||||PB t PA = ，则t =（）A ．13B ．3 C. 12D ．2【答案】D6.【2017届河南南阳一中高三上学期月考四】已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积为（）A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C【解析】如图所示，1OA OB OC ++=，由3450OA OB OC ++= 可得345OA OB OC +=- ，两边平法可得9121625OA OB +⋅+= ,所以0OA OB ⋅=，因此OA OB ⊥ ，同理354OA OC OB +=- ，453OB OC OA +=-，两边分别平方可得43cos ,,cos ,55OB OC OA OC =-=- ,根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC == ，所以0ABC AOB AOC BC S S S S ∆∆∆∆=++113146111111225255=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,故选C.7.【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】A【解析】根据集合中元素的特性：互异性可知，该三角形不可能为等腰三角形.选A. 8.【2017届江西吉安市一中高三上段考二】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形【答案】A【解析】由余弦定理得2222c b c a b bc+-<，化简得2220a c b +-<，故为钝角三角形．9.【2017届河北武邑中学高三周考11.13】已知ABC ∆中，10,16BC AB AC =⋅=-，D为边BC 的中点，则AD等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】D10.【2017届山西运城市高三上学期期中】已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】AACBO11.【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】在Rt AOB ∆中，OA OB AB = 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若34OE EA = ，则向量EA 在向量OD上的投影为（）A ．32B ．1C ．1或12D ．12或32【答案】D【解析】因为，0=∙所以，OB OA ⊥5AB =，ＯＢＯＡ２１ＯＤ＝ＡＢ２１＝△ＯＡＢ∙∙∙∙S ，所以2ABOBOA OD =∙=.因为43DEA =∠∙，43所以43（，2321或，故选项为D.12.【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA的值为（）A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D【解析】如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，∴0OD AD ∙=，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +∙=∙-=-∙∙4AO OD OD AD ∙+∙=-2cos 444OA OD AOD ODOA OD ∙∙∠∙===.AOB ∆中，利用余弦定理可得AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=∙∙=∙∙︒可得111222OD =∙∙∙，所以OD =，∴328OE EA =，故选：D.（二）填空题（4*5=20分）13.【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且20OA OC ++=则AOC ∠= ．【答案】23π【解析】不妨设外接圆半径为1，202OA OC OA OC +=⇔+=，两边平方得1443OA OC ++⋅= ，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=14. 【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据得cos θ= ．1-15. 【贵州遵义市2017届高三第一次联考，15】某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10cm ，则旗杆的高CD 的长是__________m ．【答案】(103【解析】由题意得4530DEA ADE ∠=∠=，,所以sin 45sin 30AE AD == ,因此sin 606010(3CD AD ===16. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一）】ABC △中的内角 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若b =，5c =，2B C =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC △的面积为．【答案】10 【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin 22cos sin 2cos sin sin sin b B C C C C c C C C =====，所以cos C ．由余弦定理知222cos 2a b c C ab +-==11a =，所以5DC =，又sin C，所以11sin 51022ADC S DC AC C ∆=⋅=⨯⨯=．（三）解答题（4*12=48分）17.【2017届山东枣庄市高三上学期末】如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =.（1）若BA 与BC的夹角为30 ，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O =为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG 与OD 互为相反向量求AD CD的值.【解析】(1)3232,cos3032,cos30BA BC BA BC BA BC =∴=∴==111sin 30222ABC S BA BC ∆∴===.(2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y = ，因为OG 与OD 互为相反向量，所以(),OG x y =--.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+ ,因此22949BA BC x y =-+.由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=.18.【2017届河南南阳一中高三上学期月考四】已知向量,1)4xm = ，2(cos ,cos )44x x n = ，记()f x m n =⋅ ．（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A 的取值范围．【解析】（1）向量,1)4x m = ，2(cos ,cos )44x x n = ，记()f x m n =⋅ ，则 2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+，因为()1f x =，所以1sin()262xπ+=，以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=．19.【2017届福建连城县二中高三上学期期中】在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B = ，(,cos )n b A = ，且//m n ，m n ≠．（1）求sin sin A B +的取值范围；（2）若abx a b =+，试确定实数x 的取值范围．【解析】因为(,cos )m a B = ，(,cos )n b A = ，且//m n，所以cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，又m n ≠，所以22A B π+=，即2A B π+=．（1）sin sin sin sin()sin cos )24A B A A A A A ππ+=+-=+=+，因为02A π<<，∴3444A πππ<+<，∴2)4A π<+≤因此sin sin A B +的取值范围是．（2）若abx a b =+，则a bx ab+=，由正弦定理，得sin sin sin cos sin sin sin cos a b A B A Ax ab A B A A+++===，设sin cos A A t +=∈，则212sin cos t A A =+，所以21sin cos 2t A A -=，即22221112t t x t t t t ===≥=---，所以实数x的取值范围为)+∞．20.【2017届江苏徐州丰县民族中学高三上学期调考二】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅= ，求ABC ∆的面积；（2）设向量(2sin ,x B = ，2(cos 2,12sin)2B y B =- ，且//x y ，求角B 的值．【解析】（1）∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2ab C =，∴15ab =，又∵3cos 10C =，(0,)C π∈，sin C =．所以ABC S ∆=。

2018届人教B版三角函数、解三角形单元测试

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.答案 B2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35C.－35D.－45解析由三角函数的定义知cos α＝－4（－4）2＋32＝－45 . 答案 D3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D.2解析设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C 4.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角， ∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝7π4. 答案 D5.若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A.0B.2C.－2D.2或－2解析∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4(k∈Z)，∴α2是第二象限角或第四象限角.当α2是第二象限角时，y＝sinα2sinα2－cosα2cosα2＝0，当α2是第四象限角时，y＝－sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝0，故选A.答案 A二、填空题6.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.解析由已知P(cos α，sin α)，则Q(－cos α，－sin α).答案(－cos α，－sin α)7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝______.解析因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－88.在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(3，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________.解析设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，∴x＝2cos 60°＝1，∴y＝2sin 60°＝3，∴B点的坐标为(1，3).答案(1，3)三、解答题9.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35， cos α＝x r ＝4t －5t＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.10.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r ＝2弧度. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB ＝2sin 1 (cm).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A.1B.－1C.3D.－3解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.答案 B12.点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析由题意知Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案 A13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________.解析如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP→＝(2－sin 2，1－cos 2). 答案 (2－sin 2，1－cos 2)14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长.解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23).P 点走过的弧长为43π·4＝163π.Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。

2018届高中数学新人教b版(理科数学)三角函数图象与性质、三角恒等变换单元测试版含答案

专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 3

一、选择题1．(2017·湖南省益阳六中3月月考数学试题)三角函数y ＝sin x2是 ( A )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数[解析] 由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性，可得结论．解：三角函数y ＝sin x 2是奇函数，它的周期为2π12＝4π，故选A ．2．(2017·湖南省益阳六中3月月考数学试题)函数y ＝cos x tan x 的值域是 ( C ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1]C ．(－1,1)D ．[－1,0)∪(0,1][解析] 先确定函数函数y ＝cos x tan x 的定义域，再由正弦函数的值域从而可确定答案．解：∵x ≠π2＋k π时，y ＝cos x tan x ＝sin x∴y ＝sin x ∈(－1,1)函数y ＝cos x tan x 的值域是(－1,1) 故选C ．3．(2016·福建模拟)若a ＝sin(π－π6)，则函数y ＝tan ax 的最小周期为 ( C )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] ∵a ＝sin(π－π6)＝sin π6＝12，则函数y ＝tan ax ＝tan x 2的最小周期为π12＝2π，故选C ．4．(2016·安徽“江南十校”联考)已知函数y ＝2cos x 的定义域为[π3，π]，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是 ( B )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3[解析] 因为x ∈[π3，π]，所以cos x ∈[－1，12]，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a＝3.故选B ．5．(2016·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，下列说法正确的是 ( A )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数[解析] 因为f (x )的最小正周期为6π，所以ω＝13.因为当x ＝π2时，f (x )有最大值，所以13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )．因为－π<φ≤π，所以φ＝π3.所以f (x )＝2sin(x 3＋π3)，由此函数验证易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．故选A ．6．(2017·浙江省台州中学高三10月月考数学试题)函数y ＝3sin(2x ＋π6)的图象是轴对称图形，其中它的一条对称轴可以是 ( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－π12C ．直线x ＝π6D ．直线x ＝π3[解析] A ．x ＝0时，2x ＋π6＝π6，不合题意；B ．x ＝－π12时，2x ＋π6＝0，不合题意；C ．x＝π6时，2x ＋π6＝π2，正确；D ．x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，不合题意，故选C ． 7．(2016·广东广州测试)若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为 ( B )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 依题意，得cos(ω·π6＋π6)＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k ∈Z )．又ω是正整数，因此ω的最小值是2.故选B ．8．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是 ( C )A ．[－32，0)B ．[－3,0)C ．(0，32]D ．(0,3][解析] 由于y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3 ·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C ．二、填空题9．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2－π8，0)，k ∈Z .[解析] 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2－π8，0)，k ∈Z .10．(2017·浙江省镇海中学高三3月高考模拟数学试题)若函数f (x )＝a sin(x ＋π4)＋3sin(x－π4)是偶函数，则实数a ；单调增区间为[2k π，π＋2k π]k ∈Z . [解析] 由题设可得f (－π4)＝f (π4)，即a ＝－3；此时f (x )＝－26cos x ，因此其单调递增区间是[2k π，π＋2k π]k ∈Z ，应填－3，[2k π，π＋2k π]k ∈Z .11．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2.[解析] f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.三、解答题12．已知函f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<2π3) 的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间．[解析] ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点(π6，32)时，sin(2×π6＋φ)＝32，即sin(π3＋φ)＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . 13．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间[214，234]上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解析] (1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知A ＝2.且π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(πx ＋2k π＋π6)＝2sin(πx ＋π6)，故f (x )＝2sin(πx ＋π6)．(2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234. 得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5.故在[214，234]上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.1．(2016·大庆检测)函数y ＝cos(2x －3π2)是 ( C )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数[解析] ∵cos(2x －3π2)＝－sin2x ，∴函数是最小正周期为π的奇函数，选C 项．2．(2017·浙江省温州中学高三10月高考模拟数学试题)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为 ( A )A ．(π4，π3)B ．(－π4，π4)C ．(0，π3)D ．(－π3，0)[解析] 因为f (x )＝2sin(ωx －π3)，所以T 2＝π2，即T ＝2πω＝π，则ω＝2，故f (x )＝2sin(2x －π3)，g (x )＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＝2sin2x ，故其减区间为2k π＋π2≤2x ≤3π2＋2k π，即k π＋π4≤x ≤3π4＋k π，故应选A ．3．(2017·山西重点中学协作体质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (0)，则f (x )的单调递增区间是 ( C )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k ππ6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )[解析] 由题意知，f (x )在π6处取得最大值或最小值，所以x ＝π6是函数f (x )的对称轴．所以2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f (π2)>f (π)得sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π，不防取φ＝－56π.所以f (x )＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f (x )的单调增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．故选C ．4．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为π2.[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (34π，0)对称.(1)求φ，ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈[－3π4，π2]，求f (x )的最大值与最小值．[解析] (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M (34π，0)对称，所以ω×34π＝π2＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是[3k π－3π2，3k π]，k ∈Z .(3)因为x ∈[－3π4，π2]所以23x ∈[－π2，π3]，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1，当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 4

一、选择题1．(2017·福建省四地六校第三次联考数学试题)函数y ＝－3sin(12x ＋π4)的周期，振幅，初相分别是 ( C )A ．π4，3，π4B ．4π，3，π4C ．4π，3，5π4D ．2π，3，5π4[解析] 根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，写出函数的振幅、周期和初相即可．解：函数y ＝－3sin(12x ＋π4)＝3sin(12x ＋5π4)的振幅是A ＝3，周期是T ＝2π12＝4π，初相是φ＝5π4.故选C ．2．(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)要得到函数y ＝sin2x 的图象，只需将函数y ＝sin(2x －π3)的图象 ( B )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度[解析] 把函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数 y ＝sin2(x －π6)＝sin(2x－π3) 的图象，把平移过程逆过来可得结论．解：把函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数 y ＝sin2(x －π6)＝sin(2x －π3)的图象，故要得到函数y ＝sin2x 的函数图象，可将函数y ＝sin(2x －π3)的图象向左至少平移π6个单位即可，故选B ．3．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则 ( A )A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)[解析] 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－(－π6)，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y＝2sin(2x －π6)．[解法总结] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法：(1)求A ，b 确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，具本如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π. 4．(2017·广东韶关六校联考)将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍(纵坐标不变)，所得函数在下面哪个区间单调递增 ( A )A ．(－π3，π6)B ．(－π2，π2)C ．(－π3，π3)D ．(－π6，2π3)[解析] 将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍所得图象的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，故其增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )，当k ＝0时，对应增区间[－π3，π6]，故选A ．5．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 ( D )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)[解析] 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)．故选D ．6．(2017·湖北咸宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( B )A ．关于点(π12，0)对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称[解析] 由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin(2x ＋π3＋φ)(－π2<φ<π2)且为奇函数，所以φ＝－π3，f (x )＝sin(2x －π3)．令2x －π3＝k π＋π2，易得图象关于直线x ＝5π12对称．故选B ．7．(2017·山东省烟台市高三上学期期中数学试题)将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移π3个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则y ＝sin(ωx ＋φ)图象上离y 轴距离最近的对称中心为 ( C )A ．(π3，0)B ．(56π，0)C ．(－π6，0)D ．(－π3，0)[解析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin[ω(x＋π3)＋φ]的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(12ωx ＋π3ω＋φ)的图象；由解析式相同求出ω、φ的值，然后根据正弦函数的对称中心求出函数y ＝sin(ωx ＋φ)的对称中心，进而求出离y 轴距离最近的对称中心．解：将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin[ω(x＋π3)＋φ]的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(12ωx ＋π3ω＋φ)的图象；∴函数y ＝sin(12ωx ＋π3ω＋φ)的图象与函数y ＝sin x 的图象相同∴12ω＝1，π3ω＋φ＝0 解得：ω＝2，φ＝－2π3∴y ＝sin(ωx ＋φ)＝sin(2x －2π3)由2x －2π3＝k π得2x ＝k π＋2π3(k ∈Z )当k ＝－1时，x ＝－π6∴离y 轴距离最近的对称中心为(－π6，0)．故选C ．8．(2017·四川眉山中学期中)将函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数 ( B )A ．其一条对称轴方程为x ＝－π6B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．当x ＝π12＋k π(k ∈Z )时取得最大值D ．在区间[－π6，π3]上单调递增[解析] f (x )＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位所得图象对应的函数为f (x )＝3sin[2(x－π2)＋π3]＝－3sin(2x ＋π3)其对称轴方程为2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z ) 即x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，排除A ．由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，即f (x )的增区间为[π12＋k π，7π12＋k π](k ∈Z )，故选B ．二、填空题9．(创新题)(2016·湖北黄冈模拟)函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象截直线y ＝π4所得最短线段长为π4，则f (π4)＝0.[解析] 依题意知，πω＝π4.所以f (x )＝tan4x .所以f (π4)＝tan(4×π4)＝tanπ＝0.10．(2017·山西省长治一中期中数学试题)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝32.[解析] 由题意可知函数在x ＝π3时确定最大值，就是ωπ3＝2k π＋π2，求出ω的值即可．解：由题意可知函数在x ＝π3时确定最大值，就是ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋32；只有k ＝0时，ω＝32满足题意．故答案为：32.[点拨] 本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．11．(2016·江苏四市二调)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为2.[解析] 由题意得，函数的周期满足T 2≤π2，即T ≤π，所以ω＝2πT ≥2，即ω的最小值是2.三、解答题12．(2016·安徽合肥模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f (π4)＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．[解析] (1)最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f (π4)＝cos(2×π4＋φ)＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，所以sin φ＝－32.因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos(2x －π3)，列表如下：13．(2016·福建模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2).(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．[解析] (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )．所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)因为x ∈[π12，π2]，所以2x ＋π6∈[π3，7π6]．当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．1．(2017·高三毕业年级模拟考试)将函数y ＝3sin(4x ＋π6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位，所得函数图象的一个对称中心为 ( D )A ．(7π48，0 )B ．(π3，0 )C ．(5π8，0 )D ．(7π12，0 )[解析] 由已知得函数为y ＝3sin(2x －π6)分别代入A 、B 、C 、D 四个选项否定A 、B 、C ，故选D ．2．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是 ( A )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)[解析] 由最小正周期为π，可得ω＝2，又x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，故可令φ＝π6，得函数f (x )＝A sin(2x ＋π6)，即f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin(4＋π6)，f (－2)＝A sin(－4＋π6)，由正弦函数性质易得f (0)>f (－2)>f (2)．故选A ．3．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象，B 、C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝ ( C )A ．π3B ．π4C ．π6D ．π12[解析] 由题意可知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2，知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB →|2，所以∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π6，故选C ．4．(2017·上海交通大学附属中学高三上学期摸底数学试题)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)单调，则ω的最大值为9.[解析] 先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f (x )在(π18，5π36)单调，可得ω·π18＋φ≥2k π－π2，且ω·5π36＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．解：∵函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，∴ω(－π4)＋φ＝n π，n ∈Z ，且ω·π4＋φ＝n ′π＋π2，n ′∈Z ，∴相减可得ω·π2＝(n ′－n )π＋π2＝k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝2k ＋1，即ω为奇数．∵f (x )在(π18，5π36)单调，∴ω·π18＋φ≥2k π－π2，且ω·5π36＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，即－ω·π18－φ≤－2k π＋π2 ①，且ω·5π36＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ②，把①②可得336ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11.当ω＝11时，－114＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|≤π2，∴φ＝－π4.此时f (x )＝sin(11x －π4)在(π18，5π36)上不单调，不满足题意．当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|≤π2，∴φ＝π4，此时f (x )＝sin(9x ＋π4)在(π18，5π36)上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为9.[点拨] 本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．5．(2016·辽宁重点中学协作体月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，－π2<φ<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式，并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数是偶函数．[解析] (1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos(φ＋π4)＝0，即φ＋π4＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k∈Z .又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π4.(2)由(1)得f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，T ＝23π，ω＝2πT ＝3.所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．所以最小正实数m ＝π12.。

2018届人教B版 3.2 三角函数图象变换失误检测卷

迁移运用1.【2017中原名校豫南九校第四次质量考评】要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点（）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度 C.向左平行移动12π个单位长度 D ．向右平行移动12π个单位长度【答案】D【解析】cos 2cos 2sin 2sin 26323126y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,向右平移12π个单位得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选D.2.【2017福建厦门一中上学期期中】将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于（）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位．若所得图象与原图象重合,所以2π是已知函数周期的整数倍,即22πωπ=⋅k （Z k ∈）,解得k 4=ω（Z k ∈）,A,C,D 正确．故选B ．3.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】为了得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位【答案】A4.【2017山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值为（）A ．3B ．6 C. 9 D ．12 【答案】B【解析】将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度,得cos ()cos()33y x x ωωωππ=-=-,又因为所得的图象与原图象重合,所以23k ωπ-=π,即6k ω=()k Z ∈,所以ω=65.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】已知函数()3sin(2)3f x x π=-,则下列结论正确的是（）A ．导函数为'()3cos(2)3f x x π=-B ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．函数()f x 在区间5(,)1212ππ-上是增函数D ．函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到【答案】C【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-='32cos 6πx x f ,故A 错误；B ．当2π=x 时,()33sin 3322sin 3±≠=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=πππx f ,不是最值,故()f x 的图象关于直线2x π=不对称,故B 错误；C ．当12512ππ<<-x 时,2322πππ<-<-x ,则x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上单调递增函数,故C 正确；D ．函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322sin 332sin 3ππx x y ,则不能得到函数()x f 的图象,故D 错误,故选C. 6.【2017山西运城上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6π个单位,这是对应于这个图象的解析式为（）A ．sin(2)3y x π=- B ．sin(2)6y x π=-C ．1sin()23y x π=-D ．1sin()26y x π=-【答案】A【解析】函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,可以得到函数sin 2y x =的图象,再把图象向右平移6π个单位,以得到函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选A7．（2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中）函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示,为了得到()cos g x A x ω=-的图象,可以将()f x 的图象（）A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度【答案】B8.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3sin 2=的图像( )A.向右平移4π个单位 B .向左平移4π个单位 C .向右平移12π个单位 D .向左平移12π个单位【解析】y ＝sin 3x ＋cos 3xsin (3x ＋4π)sin 3(x ＋12π),故需将ysin 3x 的图象向左平移12π【答案】D9．将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平移后,得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,则函数()f x 的解析式为( )A .sin 2y x =B .sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C .sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】将函数()y f x =的图象按向量,212a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后,得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,即函数()y f x =的图象可以由函数()y g x =的图象向右平移12π个单位,再向下平移2个单位.即()sin[2()]22126f x x ππ=-++-即可得()sin 2f x x =.故选A .10．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到的图象解析式为( )A ．x y 2sin =B ．x y 2cos =C ．)322sin(π+=x yD ．)62sin(π-=x y 【答案】D11.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】将函数()()1sin 22f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于3x =π对称,则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6π C. 3πD ．56π【答案】B 【解析】)2sin(21)(ϕ+=x x f 向左平移6π个单位后得到)32sin(21)6(ϕππ++=+x x f ,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到)3sin(21)621(ϕππ++=+x x f ,此函数图象关于3π=x 对称,所以令3π=x ,得1)32sin()33sin(±=+=++ϕπϕππ,所以ππϕπk +=+232,得Z k k ∈+-=,6ππϕ,则ϕ的最小值为6π.12.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足()()122f x g x -=的1x ,2x ,有12minπ3x x -=,则ϕ=（）. A.5π12B.π3C.π4D.π6 【答案】D【解析】依题意()f x 向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g ,又因为 2|)()(|21=-x g x f ,所以不妨设1π22π2x k =+,2π222π2x m ϕ-=-+, 所以12π()π2x x k m ϕ-=-+-. 又因为12min π3x x -=,所以πππ236ϕϕ-=⇒=.故选D.13．（2016届江西省南昌二中高三上第三次考试）将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象,则()6f π= ．14.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再把得到的图象向右平移3π个单位,得到的新图像的函数解析式为()g x = ,()g x 的单调递减区间是．【答案】sin(2)6x π+；2(,)63k k ππππ++,k Z ∈ 【解析】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点横坐标缩短到原来的12倍,得5sin(2)6y x π=+,再把得图象向右平移3π个单位,得5()sin[2()]sin(2)366g x x x πππ=-+=+；由222262k x k ππ3ππ+≤+≤π+,即63k x k π2ππ+≤≤π+()k Z ∈,所以()g x 的单调递减区间是2(,)63k k ππππ++()k Z ∈． 15.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】如图所示函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||2πϕ<）的部分图像,现将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为．【答案】sin(2)6x π-16.【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考】函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示,则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移个单位得到．【答案】6π【解析】由图象可得,354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,解得T π=,由2T ππω==得2ω=. 因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭，,所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭, 则5262k ππϕπ+=+,得()=23k k Z πϕπ-+∈,由22ππϕ-<<,得3πϕ=-, ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.17.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度,个单位长度,得到函数()g x 的图像,求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域.【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）.（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度,得到函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,,得到()23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()g x ∈即函数()g x 的值域为.18．已知向量a m x (,cos 2)= ,b x n (sin 2,)= ,函数f (x )＝a b ⋅ ,且y ＝f (x )的图象过点(12π和点2(,2)3π-． (1)求m ,n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y ＝g (x )的单调递增区间．【答案】(1)m ,n ＝1；(2)[kπ－2π,kπ],k ∈Z .【解析】试题分析：(1)利用数量积列出等式,利用图象经过已知两点,可解出m ,n 的值；(2)设出平移后的最高点,利用最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求出最高点的坐标,进而解得平移量,求出单调区间.试题解析：(1)由题意知,f (x )＝a ·b ＝msin 2x ＋ncos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(12π)和点(23π,－2),所以sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ=+⎨⎪-=+⎪⎩即12122m n =+⎨⎪-=-⎪⎩ 解得mn ＝1.(2)由(1)知f (x )2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋6π)由题意知,g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin (2x ＋2Φ＋6π)设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)．由题意知,x 02＋1＝1,所以x 0＝0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得,sin (2Φ＋6π)＝1.因为0<φ<π,所以φ＝6π.因此,g (x )＝2sin (2x ＋2π)＝2cos 2x .由2kπ－π≤2x ≤2kπ,k ∈Z 得kπ－2π≤x ≤kπ,k ∈Z ,所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[kπ－2π,kπ],k ∈Z .19．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,且0)4(=πf ,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出0x 的值,若不存在,说明理由；(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．【答案】(1)x x g sin )(=；(2)假设存在,当)4,6(ππ∈x 时,22sin 21<<x ,212cos 0<<x ,又21)6(=πf ,则)()6()(00x f f xg >>π,所以2)()(00=+x f x g )6(πf ,即12cos sin 00=+x x ,化简得0sin 0=x 或21sin 0=x 与22sin 210<<x 矛盾,所以不存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列；(3)1±=a ,1342=n . 【解析】(1)由函数)sin()(ϕω+=x A x f 的周期为π可得,2=ω,又由0)4(=πf ,πϕ<<0得2πϕ=,所以x x f 2cos )(=；将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(保持纵坐标不变)后可得x y cos =的图像,再将x y cos =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数x x g sin )(=.(2)假设存在,当)4,6(ππ∈x 时,22sin 21<<x ,212cos 0<<x ,又21)6(=πf ,则 )()6()(00x f f x g >>π,所以2)()(00=+x f x g )6(πf ,即12cos sin 00=+x x ,化简得0sin 0=x 或21sin 0=x 与22sin 210<<x 矛盾,所以不存在0(,)64x ππ∈,使得)6(),(),(00πf xg x f 按照某种顺序成等差数列.20．已知函数()sin 2cos 2()f x a b x c x x R =++∈的图像过点(0,1),(,1)4A B π,且b >0,又()f x的最大值为1.(1)将()f x 写成含sin()(0)A ωx φωφπ+><，0<的形式;(2)由函数y ＝()f x 图像经过平移是否能得到一个奇函数y ＝()g x 的图像？若能,请写出平移的过程；若不能,请说明理由．【答案】(1)())14f x x π=+-；(2)能,过程见解析．【解析】(1)()sin 2cos 2)(tan )bf x a b x c x a x c ϕϕ=++=++=,由题意,可得111a c a b a ⎧+=⎪+=⎨⎪=-⎩,解得122a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以()12sin 2cos 2f x x x =-++,()12sin 2cos 2)14f x x x x π=-++=+-． (2)将()f x 的图像向上平移1个单位得到函数())4f x x π=+的图像,再向右平移8π单位得到2y x =的图像,而函数y x =为奇函数,故将()f x 的图像先向上平移1个单位,再向右平移8π单位就可以得到奇函数y ＝()g x 的图像．。

2018届人教B版三角函数02 单元测试

三角函数021.若锐角,αβ满足(1)(1)4αβ=，则αβ+=_______________【答案】3π【解析】因为(1)(1)4αβ=，所以13(t a n t a n)3t a n t a n 4αβαβ++=，tan )33tan tan =3(1tan tan )αβαβαβ+=--，即tan tan tan tan )αβαβ+-，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-3παβ+=。

2.已知α为第二象限角，则cos sin =____________【答案】0【解析】原式cos sin =11cos sin cos sin αααα=+，因为α是第二象限，所以sin 0cos 0αα><，，所以11cos sin 110cos sin αααα+=-+=，即原式等于0. 3. 把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断： ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=； ②该函数图象关于点)0,3(π对称； ③该函数在]6,0[π上是增函数；④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a ．其中，正确判断的序号是________________________ 【答案】②④【解析】将函数向左平移6π得到=sin 2()sin(2)63y x x ππ+=+，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到2s i n (2)3y x π=+，即()2s i n (2)3y f xx π==+。

所以①不正确。

()2s i n (2)2s i n 0333y f ππππ==⨯+==，所以函数图象关于点(,0)3π对称，所以②正确。

由222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z πππ-+≤≤+∈，即函数的单调增区间为5[,],1212k k k Z πππ-++∈，当0k =时，增区间为5[,]1212π-，所以③不正确。

2018届人教B版三角函数、解三角形 2 单元测试

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )A.43B.34C.±43D.±34解析 ∵cos α＝45＞0，α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34. 答案 B2.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( ) A.－55 B.55 C.255 D.－255解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0， ∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－55. 答案 A3.(2016·肇庆模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( ) A.35 B.－35 C.45 D.－45解析由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.答案 D4.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2 解析 1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A5.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A.－15B.－35C.15D.35 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35.答案 B二、填空题 6.sin 43π·cos 56π·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________. 解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案－3347.(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________. 解析由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－55＝－1. 答案－18.已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是________. 解析 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 答案－229三、解答题9.已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，k ∈Z .求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ； (2)14sin 2θ＋25cos 2θ.解由sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，知tan(θ＋k π)＝－2，故tan θ＝－2，(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－23tan θ＋5＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725. 10.已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－π－α）. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α ＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α ＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.故f (α)＝265.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A.－79 B.－13 C.13 D.79解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79. 答案 A12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A.1＋ 5B.1－ 5C.1±5D.－1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4.又()sin θ+cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.答案 B13.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案 91214.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①② 由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 7

一、选择题1．(2017·甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)△ABC 的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝ ( D )A ． 2B ． 3C ．2D ．3[解析] 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，利用已知整理可得3b 2－8b －3＝0，从而解得b 的值．解：∵a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，∴由余弦定理可得：cos A ＝23＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋4－52×b ×2，整理可得：3b 2－8b －3＝0，∴解得：b ＝3或－13(舍去)．故选D ．2．(2016·陕西咸阳模拟)若△ABC 的内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于 ( D )A ．154B ．34C ．31516D ．1116[解析] 由正弦定理把已知条件转化为6a ＝4b ＝3c ，设6a ＝4b ＝3c ＝12t (t >0)，则a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2t )2＋(4t )2－(3t )22×2t ×4t＝1116.故选D ．3．(2017·天津市六校高三上学期期中联考数学试题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积 ( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[解析] 根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．解：∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2－2ab ＋b 2＋6，即a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，∵C ＝π3，∴cos π3＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，解得ab ＝6，则三角形的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．[点拨] 本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab ＝6是解决本题的关键．4．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ ( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.5．(2017·山东省济南一中期中数学试题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠B ＝ ( C )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] 先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sin C 的值，进而求得C ，然后利用三角形面积公式求得S 的表达式，进而求得a ＝b ，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B ．解：由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝2R sin C ·sin C∴sin C ＝1，C ＝π2.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此∠B ＝45°. 故选C ．6．(易错题)(2016·山东潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B 的对边分别是a ，b .若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是 ( C )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 方法一：因为cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二：因为cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ＝ba，所以a 2(b 2＋c 2－a 2 )＝b 2(a 2＋c 2－b 2)．所以a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4.即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.所以a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选C ．[易错提醒] 对于sin2A ＝sin2B ，注意结合三角形内角范围应分为A ＝B 和A ＋B ＝π2两种情况7．(2016·山东德州模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积是 ( C )A ．32B ．34 C ．32或34D ．32或 3 [解析] 由正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝32，由题意知C 有两解．当C ＝π3时，A ＝π2，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32；当C ＝2π3时，A ＝π6，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝34.故选C ．8．(2016·四川模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则a sin (30°－C )b －c＝ ( B )A ．－12B ．12C ．－32D ．32[解析] ∵b 2＋c 2＋bc －a 2＝0， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.由正弦定理可得a sin (30°－C )b －c ＝sin A sin (30°－C )sin B －sin C＝sin120°sin (30°－C )sin (60°－C )－sin C ＝32sin (30°－C )－3sin (C －30°)＝12，故选B ．二、填空题9．(2015·安徽)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝2.[解析] 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得ACsin45°＝6sin60°，解得AC ＝2. 10．(2015·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________ 4 .[解析] 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.11．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b [解析] 由cos C ＝13，得sin C ＝223.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝4 3.∴b ＝2 3. 三、解答题12．(2017·合肥市高三毕业年级模拟考试)△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,2sin 2A ＋B2＝sin C ＋1. (1)求角C 的大小；(2)若a ＝2，c ＝1，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵2sin 2A ＋B2＝sin C ＋1，在△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π. ∴2sin 2π－C 2＝sin C ＋1,2cos 2C2＝sin C ＋1，∴cos C ＝sin C ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.(2)方法①由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∵c ＝1，a ＝2，C ＝π4，∴1＝2＋b 2－22b 22，b 2－2b ＋1＝0，∴b ＝1. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12.方法②在△ABC 中，由正弦定理：2sin A ＝1sin π4，∴sin A ＝1，A ＝90°，∴S △ABC ＝12bc ＝12.13．(2016·安徽宣城三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积． [解析] (1)在△ABC 中，因为cos B ＝1114，所以sin B ＝5314.因为23a sin B ＝5c ，所以23·a ·5314＝5c .所以3a ＝7c .因为a sin A ＝c sin C ，所以3sin A ＝7sin C ，所以3sin A ＝7sin(A ＋B )．所以3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ，即3sin A ＝7·sin A ·1114＋7·cos A ·5314.所以－sin A ＝3cos A ，所以tan A ＝－3，即A ＝2π3.(2)因为AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194，又3a ＝7c ，所以BD ＝12a ＝76c .所以c 2＋(76c )2－2c ·76c ·1114＝194，所以c ＝3，所以a ＝7.所以S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534.1．(2016·湖北模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为 ( C ) A ．22B ． 2C ．2D ．4[解析] △ABC 中，由b sin A －3a ·cos B ＝0，利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，∴tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋cb＝2，故选C ．2．(2017·陕西省西安一中大学区高三上学期期中数学试题)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是 ( C )A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)[解析] 先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cos A 的范围，进而求得A 的范围．解：由正弦定理可知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝ b 2＋c 2－a 22ba ≥12，∴A ≤π3∵A ＞0，∴A 的取值范围是(0，π3]，故选C ．3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝ ( C )A ．31010B ．1010C ．－1010D ．－31010[解析] 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C ．4．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )．则A ＝ ( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.5．(2017·江苏苏州期中)已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)·cos x .(1)若0≤x ≤π2，求函数f (x )的值域；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且f (A )＝32，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B )的值．[解析] (1)f (x )＝(sin x ＋3cos x )cos x ＝sin x cos x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.由0≤x ≤π2得，π3≤2x ＋π3≤4π3，－32≤sin(2x ＋π3)≤1， ∴0≤sin(2x ＋π3)＋32≤1＋32，即函数f (x )的值域为[0,1＋32]，(2)由f (A )＝sin(2A ＋π3)＋32＝32得sin(2A ＋π3)＝0，又由0<A <π2，∴π3<2A ＋π3<4π3，∴2A ＋π3＝π，A ＝π3. 在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7，得a ＝7. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝217，∵b <a ，∴B <A ，∴cos B ＝277，∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝12×277＋32×217＝5714.。

2018届人教B版三角函数的图象与性质单元测试

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______【答案】；【解析】cosθ== 2.【2013⋅新课标全国】函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）【答案】C ；3.【2014全国1高考理】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（）xy1Oxy1OA BCD【答案】CP OAM D POAM D4.【2014高考全国1卷文】在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】A【解析】①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22T ππ==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，即T π=; ③22T ππ==; ④2T π=，则选A ．5.【2015全国1理问】函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）.A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】D【名题精选练兵篇】1．【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为（） A ．12-B ．12C ．D【答案】C【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所的函数解析式为)32sin()(ϕπ++=x x g ，此函数关于原点对称，即)()(x g x g -=-，将解析式代入其中，利用三角恒等变换可求得30)3sin(πϕϕπ-=⇒=+，则)32sin()(π-=x x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为，所以本题的正确选项为C. 2．【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】要得到函数cos 2y x =的图像，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像沿x 轴（） A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位【答案】A3．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是（）A.56π B.π C. 76πD.2π 【答案】D【解析】当2sin 1y x ==时，1sin 2x =，所以可令6b π=，又函数的最小值为2，所以762a ππ-≤≤-，所以2433b a ππ≤-≤，所以选项D 不可能，故选D. 4．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（）.A ①④②③ .B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①【答案】A 【解析】函数sin y x x =是偶函数，所以对应图象应为第一个图象；函数cos y x x =是奇函数，且当在区间(0,)+∞函数值有正有负，对应图象为第3个函数图象；函数cos y x x =是奇函数，且当在区间(0,)+∞函数值0y ≥，所以对应图象为第4个图象；当0x <时，20x y x =⋅<，当0x >时，20x y x =⋅>，所以函数2x y x =⋅的图象为第2个，故选A.5．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知函数()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（） A ．14032π B ．12016π C ．14032 D ．12016【答案】C【解析】因为()cos (sin )(0)f x x x x ωωωω=>sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，则12016,24032T πω≤∴≥，所以ω的最小值为14032，故选C. 6．【2016届四川省成都市七中高三考试】关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A7．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模考试】若函数[])111sin 20,y x x π=-∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）AB ．()21872π+ C ．()21812π+ D【答案】B【解析】设()()221212z x x y y =-+-，则z 的几何意义是两曲线动点之间的距离的平方，取函数[])sin 20,y x x π=-∈的导数2cos y x '=，直线3y x =+的斜率为1，由2cos 1y x '==，即cos 21x =，解得6x π=，此时sin 20y x ==，即函数在(,0)6π处的切线与3y x =+平行，则最短距离为d ()()221212x x y y -+-的最小值为()221872d π+=，故选B.8．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟考试】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称中心是（）A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A9．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知()[)()cos 0,0,2y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．32πB ．4πC ．74πD ．0【答案】C【解析】由题意得，根据给定的图象，可知284T T =⇒=，又284x w ππ=⇒=，即cos 4y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x =，则cos 112,44k k ππϕϕπ⎛⎫⨯+=⇒=-∈Z ⎪⎝⎭，又[)0,2ϕπ∈，所以令1k =，所以74πϕ=，故选C. 10．【2016届福建省厦门一中高三下学期测试】已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图象关于点3π⎛ ⎝对称，则m 的值可能是（）A ．6πB ．2πC ．76π D ．712π 【答案】D由函数()g x 的图象关于点3π⎛ ⎝对称，可得1522,,36212m k k Z m k k Z πππππ⨯++=∈∴=-∈ 则当2k =时，712m π=，选D 11. 【江西省九江市2015年第一次高考模拟】已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（）A.23π-B.3π-C.3πD.23π【答案】C.【解析】由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++，又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++， ∴2+=233k ππϕπ+，即=23k πϕπ+，k Z ∈，∵ϕπ<，∴=3πϕ，故选C. 12. 【湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研】将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（） A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 【答案】C13. 【江苏省苏锡常镇四市2015届高三调研】设函数π()sin())(0,)2f x ωx φωx φωφ=++><的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为．【答案】π[π,π],()2k k k -+∈Z【解析】因为()sin())2sin()3πf x ωx φωx φωx φ=+++=++，所以由22ππωω=⇒=，由()()2()32f x f x k k Z -=⇒+=+∈p p j p ，因为π2φ<，所以π=,()cos 26φf x x =，由222,2πk ππx k πk πx k πk Z -≤≤⇒-≤≤∈，即函数()f x 的单调增区间为π[π,π],()2k k k -+∈Z 14. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ．【答案】37π；【解析】a x x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ． 15．已知函数()sin(2)()2f x x x R π=-∈下列结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数【答案】C16. 【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考】设函数()11sin 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是（）.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【名师原创测试篇】1. 若函数22()sin 6sin cos 3cos (0)f x x x x x ωωωωω=--+>的最小正周期为2π，若对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，则tan α的值为A.32- B.23- C.32 D. 23【答案】A【解析】由已知=--+=--=12sin 3)2cos 1(21cos sin 6cos 4)(2x x x x x x f ωωωωω1)2cos(1312sin 32cos 2++=+-θωωωx x x ，此时132cos =θ，133sin =θ，因最小正周期为2π，故21=ω，又对任意x R ∈,都有()1()1f x f α-≤-，所以1)(-αf 应为1)(-x f 的最值，即⇒±=+=-13)cos(131)(θααf πθαk =+，所以tan α23cos sin tan )tan(-=-=-=-=θθθθπk 2.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0)sin()(πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图像（）A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D.关于直线125π=x 对称【答案】C【解析】根据最小正周期为π，知：2ω=，将()()sin 2f x x ϕ=+图像向右平移3π个单位得到2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以()23k k Z πϕππ-=+∈，解得：()53k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，只有当1k =-时，3πϕ=-符合题意，所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据三角函数的性质可知5012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以C 正确.3.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin (1)8g x x π=+ C.()sin(1)2g x x π=+D.()sin(1)8g x x π=+【答案】B4.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（）A ．[1,2]B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵()|sin()|2|cos()||sin |2|cos ||sin |2|cos |f x x x x x x x πππ+=+++=-+-=+， ∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()sin 2cos )f x x x x α=+=+，其中cos α=，sin α=，∴max ()()2f x f πα=-=，()()12f x f π>=，当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x的值域为.5. 已知函数y ＝sinωx (ω＞0)在区间[0，2π]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】12{,1}33，【解析】由题意知，223=k ππωωππ⎧≥⎪⎨⎪⎩即013k ωω<≤⎧⎪⎨=⎪⎩，其中k Z ∈，则ω的取值集合为12{,1}33，6. 设偶函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，0MK ML ⋅= ， ||1KL =，则1()6f 的值为（）A． B ．14- C ．12- D【答案】D6.已知函数[]sin,0,2()1(2),(2,)2x xf xf x xπ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，()()ln1g x x=-求函数()()()h x f x g x=-的零点个数（）A．2 B. 3 C．4 D.5 【解析】C。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷

第三章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·辽宁沈阳模拟)若角α的终边过点P (2cos120°，2sin225°)，则sin α＝ ( D ) A ．－32B ．－12C ．22D ．－22[解析] 由于cos120°＝－12，sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22，所以P (－1，－1)，r ＝|OP |＝2，所以sin α＝y r ＝－22，故选D ．2．(2017·新疆兵团农二师华山中学期末数学试题)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为 ( D ) A ．0 B ．33C ．1D ． 3[解析] 先将点代入到解析式中，解出a 的值，再根据特殊三角函数值进行解答．解：将(a,9)代入到y ＝3x 中，得3a ＝9，解得a ＝2.∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 故选D ．3．(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ＝ ( B )A ．－43或0B ．43或0C ．－43D ．43[解析] ∵2sin θ＝1＋cos θ，∴两边平方，整理可得：5cos 2θ＋2cos θ－3＝0，∴解得：cos θ＝－1或35，∴当cos θ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z 得：tan θ＝0；当cos θ＝35时，有sin θ＝45，tan θ＝43，故选B ．4．(2017·黑龙江双鸭山一中期中)已知cos(α－π6)＝12，则cos α＋cos(α－π3)＝ ( C )A ．12B ．±12C ．32D ．±32[解析] cos α＋cos(α－π3)＝cos α＋cos αcos π3＋sin αsin π3＝32sin α＋32cos α＝3sin(α＋π3) ＝3sin(－π2＋(α＋π6))＝3cos(α－π6)＝32，故选C ．5．(2016·西安模拟)若△ABC 中，cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为 ( D )A ．5665B ．－5665C ．－1665D ．1665[解析] △ABC 中，cos A ＝513，cos B ＝45，即有sin A ＝1－(513)2＝1213，sin B ＝1－(45)2＝35，则cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(513×45－1213×35)＝1665，故选D ．6．(2017·江西赣州十三县期中)函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是 ( C )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π][解析] y ＝－2sin(2x －π6)由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z ) ∴函数在[0，π]上的增区间为[π3，5π6]，故选C ．7．(2016·浙江嘉兴一中等高三五校联考)为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象 ( B )A ．向右平移π6B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向左平移π3[解析] 函数y ＝cos2x ＝sin(2x ＋π2)图象向右平移π3，得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，故选B ．8．(2016·吉林大学附中模底)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (x )的解析式及f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 008)的值分别为 ( C )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2 007B ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2 008C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2 009D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2 010[解析] 观察图象可知，b ＝1，T ＝4，即2πω＝4，所以ω＝π2，又A ＝12，φ＝0，所以f (2)＝12sin π2x ＋1，所以f (0)＝1，f (1)＝32，f (2)＝1，f (3)＝12，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4，且4项为一周期，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 008)＝4×502＋1＝2 009，故选C ．9．(2016·浙江嘉兴一中等高三五校联考)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，关于函数g (x )，下列说法正确的是 ( D )A ．在[π4，π2]上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈[0，π3]时，函数g (x )的值域是[－1,2][解析] 由题意得， g (x )＝2sin[2(x ＋π6)＋π6]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，A ：x ∈[π4，π2]时，2x ∈[π2，π]，g (x )是减函数，故A 错误；B ：g (－π4)＝2cos(－π2)＝0，故B 错误；C ：g (x )是偶函数，故C 错误；D ；x ∈[0，π3]时，2x ∈[0，2π3]，值域为[－1,2]，故D 正确，故选D ．10．(2017·黑龙江哈三中期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状是 ( C )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[解析] ∵a ＝2b cos C ∴sin A ＝2sin B cos C ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ∴cos B sin C －sin B cos C ＝0 ∴sin(C －B )＝0又－π<C －B <π，∴B ＝C ，故选C . 另解：∵a ＝2b cos C ∴a2b ＝cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ∴b 2－c 2＝0，∴b ＝c ，故选C ．11．(2016·贵州贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内．若飞机的高度为18 km ，速度为1 000 km/h ，某时刻飞行员看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后看到山顶的俯角为75°，则山顶的高度为(3≈1.73精确到0.1 km) ( B )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km[解析] 因为AB ＝1 000×160＝503(km)，所以BC ＝AB sin45°·sin30°＝5032(km)．所以航线离山顶h ＝5032×sin75°≈11.38(km)．所以山高为18－11.38≈6.6(km )．故选B ．12．(2017·辽宁省葫芦岛市普通高中期末数学试题)已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A 为 ( A )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[解析] 根据G 为三角形重心，化简已知等式，用c 表示出a 与b ，再利用余弦定理表示出cos A ，将表示出的a 与b 代入求出cos A 的值，即可确定出A 的度数．解：∵△ABC 的重心为G ，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，即GA →＋GB →＝－GC →， ∵aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，∴(a －33c )GA →＋(b －33c )GB →＝0， ∴a －33c ＝0，b －33c ＝0，即a ＝33c ，b ＝33c ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c22×33c 2＝32，则A ＝π6.故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2017·内蒙古包头市包钢四中期中数学试题)若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为43.[解析] 根据角α的终边经过点P (1，－2)，可先求出tan α的值，进而由二倍角公式可得答案．解：∵角α的终边经过点P (1，－2)， ∴tan α＝－21＝－2⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43故答案为43.14．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__________ 3 .[解析] tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3.15．(2016·福建模拟)一艘船以15 km/h 的速度向东航行，该船在A 处看到灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为[解析] 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．16．(2016·河北教学质量监测)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则下列四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的序号为②④. [解析] 因为T ＝π，所以ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π3(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以y ＝sin(2x ＋π3)．由图象及性质可知②④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·浙江重点中学协作体第二次适应性测试)已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2x2cos (π4＋x )sin x的值．[答案] (1)－43 (2)14[解析] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，得tan x2＝2，故tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x2(22cos x －22sin x )sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x＝cos x ＋sin x sin x ＝1＋1tan x＝1－34＝14.18．(本小题满分12分)(2017·湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[答案] (1){x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，π2 (2)α＝π12[解析] (1)利用正切函数的性质，由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，可求得f (x )的定义域，由其周期公式可求最小正周期；(2)利用同三角函数间的关系式及正弦、余弦的二倍角公式，可得sin2α＝12，再由α∈(0，π4)，知2α∈(0，π2)，从而可求得α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，即sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得：sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)，因为sin α＋cos α≠0，所以可得(cos α－sin α)2＝12，解得sin2α＝12，由α∈(0，π4)得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，α＝π12.19．(本小题满分12分)(2016·广东中山一中等七校联合体联考)已知函数f (x )＝A sin(π3x＋φ)，x ∈R (其中A ＞0,0＜φ＜π2)，其部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A ).(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[答案] (1)6 π6(2) 3[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6，因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，所以Q (4，－A )．(注：也可以根据周期求出点Q 坐标)连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A ＞0，所以A ＝ 3.20．(本小题满分12分)(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． [解析] (1)由余弦定理及题设得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos(3π4－A )＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos(A －π4)．因为0<∠A <3π4，∴－π4<∠A －π4<π2.所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.注：2cos A ＋cos C ＝22(sin A ＋cos A )＝sin(A ＋π4) ∵0<A <3π4∴π4<A ＋π4<π ∴当A ＋π4＝π2即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 已取得最大值．21．(本小题满分12分)(2017·浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三上学期期中数学试题)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c ＝2,2sin A ＝3a cos C .(1)求角C 的大小；(2)若2sin2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C ，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知及正弦定理得，sin C sin A ＝3sin A cos C ，结合sin A ＞0，利用同角三角函数基本关系式化简可求tan C ＝3，结合角的范围即可得解C 的值．(2)利用三角函数恒等变换的应用化简可求4sin A cos A ＝2sin B cos A ，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．解：(1)由已知得，c sin A ＝3a cos C ，由正弦定理得，si n C sin A ＝3sin A cos C .又sin A ＞0，∴cos C ≠0，sin C ＝3cos C ，tanC ＝3，∴C ＝π3.(2)由2sin 2A ＋sin(2B ＋C )＝sin C ，可得：2sin 2A ＝sin C －sin(2B ＋C )，∴4sin A cos A ＝sin(A ＋B )－sin [(π－A )＋B ]＝sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin B cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，此时B ＝π6，∵c ＝2，∴b ＝233，S △ABC ＝12bc ＝233.当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a .由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得，4＝a 2＋b 2－ab .联立⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a a 2＋b 2－ab ＝4，得a ＝233，b ＝433，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝233.综上所述，△ABC 的面积为233.22．(本小题满分12分)(2016·淄博模拟)如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得B ，D 间的距离为21海里.(1)求sin ∠BDC 的值；(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A? [解析] (1)由已知可得CD ＝40×12＝20，△BDC 中，根据余弦定理求得 cos ∠BDC ＝212＋202－3122×21×20＝－17，∴sin ∠BDC ＝437.(2)由已知可得∠BAD ＝20°＋40°＝60°， ∴sin ∠ABD ＝sin(∠BDC －60°)＝437×12－(－17)×32＝5314. △ABD 中，由正弦定理可得AD ＝BD ×sin ∠ABD sin ∠BAD ＝21×sin ∠ABDsin ∠BAD ＝15，∴t ＝1540×60＝22.5分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．。

2018届高中数学新人教B版专题二三角函数单元测试 Word版含答案

三角函数1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．解：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，得2sin B ·cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ，因为0<B <π，所以sin B ≠0.所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)因为a ＝3，b ＝2c ，由(1)知A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12，解得c ＝3，所以b ＝2 3.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332. 2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3，CD ＝5，∠A ＝π3，cos ∠ADB ＝17.(1)求BD 的长；(2)求△BCD 的面积．解：(1)在△ABD 中，因为cos ∠ADB ＝17，∠ADB ∈(0，π)，所以sin ∠ADB ＝437.根据正弦定理，有BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，又AB ＝8，∠A ＝π3，解得BD ＝7. (2)在△BCD 中，根据余弦定理cos ∠C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD，代入BC ＝3，CD ＝5，得cos ∠C ＝－12，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝2π3，所以S △BCD ＝12×3×5×sin 2π3＝1534. 3．(2017·河南郑州一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)．4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6－2(1－cos2ωx )＋2 ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋2cos2ωx ＝32sin2ωx ＋32cos2ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. 由题意知f (x )的周期为π，∴ω＝1，故f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位得到g (x )的图象，则g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3. ∵g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴3sin[2(－π3)＋2m ＋π3]＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，∴2m －π3＝k π，k ∈Z ，解得m ＝k 2π＋π6，k ∈Z . ∵m >0，∴当k ＝0时，m 取得最小值π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 若－π6≤x ≤7π12，则π3≤2x ＋2π3≤11π6，当π3≤2x ＋2π3≤π2，即－π6≤x ≤－π12时，g (x )单调递增；当3π2≤2x ＋2π3≤11π6，即5π12≤x ≤7π12时，g (x )单调递增． ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.1．(2017·淄博模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B 的值．。

2018届人教B版第三章三角函数、解三角形单元测试

(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．(2015·衡阳模拟)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由题意得⎩⎨⎧ cos α＜0，tan α＜0⇒⎩⎨⎧cos α＜0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限，故选B.【答案】 B2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 【答案】 C3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 【解析】 ∵P (－8m ，－3)，∴|OP |＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝936m ＞0，∴m ＝12.【答案】 C4．下列三角函数值的符号判断错误的是( )A ．sin 165°＞0B ．cos 280°＞0C ．tan 170°＞0D ．tan 310°＜0【解析】 165°是第二象限角，因此sin 165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°＜0正确．【答案】 C5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]【解析】由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.【答案】 A 二、填空题6．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．【解析】 2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 【答案】－5π67．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0， ∴y ＜0且y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.【答案】－88．设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第________象限角．【解析】由题意，得2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z . ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，则α2是第一或第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2≤0，因此α2是第三象限角．【答案】三三、解答题9．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α的值．【解】因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－3t 5t ＝－35，cos α＝4t 5t ＝45，tan α＝－3t 4t ＝－34，所以sin α＋cos α＋45tan α ＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－25；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45， tan α＝－3t 4t ＝－34.所以sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，所求值为－25或－45.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .【解】 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．[能力练]扫盲区提素能1．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【解析】圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.【答案】 B图3-1-32．(2015·大连模拟)如图3-1-3，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S ，半径为r ，弧长为l ，则使用铁丝长度最短时应满足的条件为( )A ．r ＝lB ．2r ＝lC ．r ＝2lD ．3r ＝l【解析】由S ＝12lr ，得l ＝2Sr . 铁丝长度C ＝2r ＋l ＝2r ＋2Sr . 由基本不等式得C ≥22r ·2Sr ＝4S ，当且仅当S ＝r 2时，即l ＝2Sr ＝2r 时上式等号成立．【答案】 B3．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为____________．【解析】设B 点为(x ，y )，依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．【答案】 (－1，3)4.如图3-1-4，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为______．图3-1-4【解析】设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧P A 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．【答案】 (2－sin 2,1－cos 2)图3-1-55．如图3-1-5所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .【解】 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，又∵sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35×12－45×32＝3－4310. 6．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．【解】 (1)由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 8

一、选择题1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的(C)A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°[解析]如图，点B在点A的南偏东30°.2．以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北方向为始边，按顺时针方向旋转280°到目标方向线，则目标方向线的位置在观测者的(C)A．北偏东80°B．东偏北80°C．北偏西80°D．西偏北80°[解析]注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形分析可得正确选项为C．3．(2017·湖南省常德市石门一中上学期第一次月测数学试题)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于1 km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(C)A．1 km B． 2 kmC． 3 km D．2 km[解析]先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．解：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°＝1＋1＋2×1×1×12＝ 3.即灯塔A与灯塔B的距离为 3 km.故选C．4．(易错题)(2016·山东临沂质检)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(A)A ．4003 mB ．40033 mC ．20033mD ．2003m[解析] 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，所以∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，∠DAC ＝30°.因为AB ＝200，所以AC ＝4003 3.在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．故选A ．[易错提示] 作图时注意仰角和俯角的作图方法5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 ( A )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里[解析]如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝AB sin45°，解得BC ＝102(海里)．6．(易错题)(2016·辽宁大连模拟)如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底点B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝135°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高AB 为 ( D )A ．10 2 mB ．10 3 mC ．15 6 mD ．10 6 m[解析] 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－135°＝30°，由正弦定理，得BCsin ∠BDC＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin135°sin30°＝302(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝302×tan30°＝106(m)．故选D ．[易错提示] 涉及立体图形时，注意图形间的立体关系二、填空题7．在相距2千米的A ，B 两点处观测目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C.[解析]如图所示，由题意知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 8．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为__________ km.[解析]如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3. 设BC ＝x ，则由余弦定理可得： AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°，即32＝22＋x 2－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1(另一解为负值舍掉)．三、解答题9．(2016·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，在长江南岸找到一个点C ，从点C 可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B ，C .测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1 m.(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离．[解析] (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin150°＝12×1×1×12＝14(m 2)．(2)因为∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan60°＝3(m)．在△BCE 中．∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°.因为BCsin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE，所以BC ＝CE sin ∠CBE ·sin ∠CEB ＝1sin30°×sin45°＝2(m)．因为cos15°＝cos(60°－45°) ＝cos60°cos45°＋sin60°sin45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，所以AB ＝6－22(m)． 10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[答案] 东偏北30°方向[分析] 本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .[解析] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．1．(2017·四川省成都外国语学校期中数学试题)如图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量A 、B 两点间的距离，选取一条基线CD ，A 、B 、C 、D 在一平面内．测得：CD ＝200 m ，∠ADB ＝∠ACB ＝30°，∠CBD ＝60°，则AB ＝ ( A )A ．20033 mB ．200 3 mC ．100 2 mD ．数据不够，无法计算[解析] 由题意可得AC ⊥BD .设AC ∩BD ＝O ，可得△OCD 为等腰直角三角形，求得OC ＝OD 的值，△BCO 中，由直角三角形中的边角关系求得 OB 的值，同理求得OA 的值，再利用勾股定理求得AB 的值．解：如图所示，∵∠ADB ＝∠ACB ＝30°，∠CBD ＝60°，∴AC ⊥BD . 设AC ∩BD ＝O ，则△AOD ∽△BOC ，设OA ＝x ，OB ＝y ，则AD ＝2x ，BC ＝2y ， ∴OD ＝3x ，OC ＝3y .△COD 中，由勾股定理可得3x 2＋3y 2＝40000，求得 x 2＋y 2＝40 0003，故AB ＝x 2＋y 2＝20033.故选A ．[点拨] 本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理的应用，属于中档题． 2．(2016·安徽模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )①则量A ，C ，b .②测量a ，b ，C .③测量A ，B ，a .④测量a ，b ，B ．则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为 ( A ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①②③④[解析] 对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离。

2018届人教B版三角函数、三角恒等变换、解三角形检测卷 1

第三章第一讲一、选择题1．(易错题)(2016·江西模拟)下列说法中，正确的是 ( C ) A ．小于π2的角是锐角B ．第一象限的角不可能是负角C ．终边相同的两个角的差是360°的整数倍D ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角[解析] 锐角的范围是(0，π2)，小于π2的角还有0度角和负角，它们都不是锐角，A 项不正确；－300°角的终边就落在第一象限，B 项不正确；与角α终边相同的角都可以写成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，其差显然是360°的整数倍，C 项正确；若α是第一象限的角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2a 是第一象限或第二象限或终边在y 轴非负半轴上的角，D 项不正确，故选C.[易错提示] 对角的概念理解不深刻而致误2．(2016·四川成都模拟)若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 ( B ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0[解析] 在第三象限，sin α<0，cos α<0，tanα>0，则可排除A 、C 、D 三项．3．(2017·江西省鹰潭一中高三上学期期中数学试题)若角765°的终边上有一点(4，m )，则m 的值是 ( C )A ．1B ．±4C ．4D ．－4[解析] 直接利用三角函数的定义，即可求出m 的值．解：因为角765°的终边上有一点(4，m )，所以tan 765°＝tan 45°＝m4＝1，所以m ＝4.故选C.4．(2016·浙江温州一模)已知角α的终边与单位圆交于点(－45，35)，则tan α的值等于( D )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34.故选D.5．(2017·吉林省东北师大附中净月实验学校期中数学试题)设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是 ( A )A ．1B ．4C ．1或4D ．π[解析] 设扇形中心角的弧度数为α，半径为r .利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得αr ＝2，12a ·r 2＝2，解出即可．解：设扇形中心角的弧度数为α，半径为r . 则αr ＝2，12a ·r 2＝2，解得α＝1.故选A.6．(2017·辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校期末联考数学试题)已知MP ，OM ，AT 分别为角θ(π4<θ<π2)的正弦线、余弦线、正切线，则一定有 ( B )A ．MP <OM <ATB ．OM <MP <ATC ．AT <OM <MPD ．OM <AT <MP[解析] 解：由MP ，OM ，AT 分别为角θ(π4<θ<π2)的正弦线、余弦线、正切线，如图由于(π4<θ<π2)，所以OM ＜MP 又由图可以看出MP ＜AT ，故可得OM ＜MP ＜AT .故选B.[点拨] 作出角θ的三角函数线图象，由图象进行判断即可得到OM ＜MP ＜AT . 7．(2016·山东日照模拟)若角α是第二角限角，则角α3一定不是 ( C )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 方法一：因为α是第二象限角，所以π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π6＋2k π3<α3<π3＋2k π3，k ∈Z .当k ＝3m ，m ∈Z 时，π6＋2m π<α3<π3＋2m π，m ∈Z ，此时α3为第一象限角；当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，5π6＋2m π<α3<π＋2m π，m ∈Z .此时α3为第二象限角；当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α3<5π3＋2mπ，m ∈Z ，此时α3为第四象限角．故选C.方法二：也可举特例，α＝120°，则α3＝40°不可选A ，α＝480°则α3＝160°否定B ，α＝840°，α3＝280°否定D.故选C.方法三：作出图形由图可知α3不会是第三象限角．8．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( A )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) [解析] 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点Q 的坐标为(－12，32)．二、填空题9．－2 017°角是第_二_象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是_143°_，最大负角是_－217°_.[解析] ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与143°角的终边相同． ∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.10．(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 3 .[解析] 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则弧AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3.作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴I ＝3r ，由弧长公式I ＝|a |r ，得α＝I r ＝3rr＝3，故答案为 3.[点拨] 本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键，难度一般；等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOM ＝π3，在△OAB 中求出AB 的长度(用r 表示)，即AB ＝3r ，就是弧长，再由弧长公式a ＝Ir求圆心角弧度数．11．(2016·鹰潭模拟)若α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2x 4，则sin α＝4. [解析] α是第二角限角，其终边上一点P (x ，5)，所以x <0，则OP ＝x 2＋5所以cos α＝x x 2＋5＝2x 4，x ＝－3，sin α＝58＝104.三、解答题12．(2016·玉林月考)已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上的一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[答案] (1)α在第四象限 (2)m ＝－45，sin α＝－45[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，由lgcos α有意义可知cos α>0， ∴α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义或知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.13．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[答案] (1)23或6 (2)α＝2,4sin1[解析] 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8 ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C ＜0，则△ABC 的形状是 ( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定[解析] ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A ＞0. ∵sin A ·cos B ·tan C ＜0，∴cos B ·tan C ＜0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C ＞0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.2．(2017·新疆生产建设第二中学高三上学期第二次数学试题)点M (13，a )在函数y ＝log 3x的图象上，且角θ的终边所在直线过点M ，则tan θ＝ ( C )A ．－13B ．±13C ．－3D ．±3[解析] 因为M (13，a )在函数y ＝log 3x 的图象上，即a ＝log 313＝－1得M (13，－1)，故tan θ＝－113＝－3，故选C. 3．(2016·松原模拟)如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是 ( D )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ[解析] 由π4<θ<π2，可得sin θ∈(22，1)，cos θ∈(0，22)，tan θ>1，故有cos θ<sin θ<tan θ，故选D.4．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 ( D ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α＞cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α＞cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan β [解析] 由三角函数线可知选D.5．(2016·临沭期中)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠POQ ＝α，α∈(0，π)。

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[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C. 2．[2017·山东济南模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin 2x ＋2 C ．y ＝cos 2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 3．[2017·辽宁丹东二模]函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π8 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋7π16答案：B解析：由题中图象可知，该函数的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2ππ＝2.又当x ＝π8时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以所求函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．－ 3 B.33 C ．1 D. 3 答案：D解析：由题意可知，该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关答案：C解析：π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2017·广西第一次质检]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎪⎫23x －15答案：B解析：由题图可以判断|A |<1，T >2π，|ω|<1.f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．7．[2017·河北承德一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 8．[2017·山西太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫w >0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，⎝⎭3当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2， ∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案：22 解析：―――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6. 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.⎝⎭26解析：据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.11．[2017·辽宁抚顺一模]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2，点P (x 1,4)和Q (x 2,4)是函数f (x )图象上相邻的两个最高点，且|x 1－x 2|＝π，x ＝π3是函数f (x )的一个零点，则使函数f (x )取得最大值的最小正数x 0的值是________．答案：π12解析：由题意，可得A ＝4，2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝4sin(2x ＋φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，又0≤φ≤π2，所以φ＝π3，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 再根据sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝1，可得最小正数x 0＝π12.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．答案：①③④⑤解析：f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确；将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，⑤正确．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数 D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错．2．[2017·江西南昌一模]如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )A B C D答案：C解析：如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B,2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，则x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x N －x M |＝T 2＝πω(常数)，故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32 答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D. 4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.5．[2017·重庆巴蜀中学一模]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6. (2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，方程g (x )－(2m ＋1)＝0有两个解可看成函数y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2和函数y ＝2m ＋1的图象有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y＝g (x )的图象有两个交点，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.。

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