《高等数学》(北大第二版 )6-1多元函数
(完整word版)《高等数学》(下)课程教学大纲
《高等数学》（下）课程教学大纲教研室主任：王树泉执笔人：蔡俊青一、课程基本信息开课单位：经济学院课程名称：高等数学下册课程编号：101001212英文名称：Advanced Mathematics课程类型：专业基础课总学时： 72理论学时： 72 实验学时： 0学分：3开设专业：所有专业先修课程：《高等数学》(上)二、课程任务目标（一）课程任务本课程是理科院校经济管理类专业的一门专业基础课，又是全国硕士研究生入学考试统考科目。
通过本课程的学习，要使学生掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
（二）课程目标基本了解多元函数微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学、无穷级数和微分方程的思想方法解决应用问题。
三、教学内容和要求第六章多元函数微积分1．内容概要空间解析几何简介，多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元复合函数微分法与隐函数微分法，多元函数的极值及其求法，二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。
2．重点和难点重点：多元函数的概念；偏导数与全微分的概念；多元复合函数的求导法则；多元函数的极值问题；二重积分的概念及其计算难点：全微分的概念；多元复合函数的求导法则与隐函数微分法；二重积分的计算。
3．学习目的与要求（1）理解多元函数的极限与连续性，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
（2）理解偏导数、全微分的概念。
（3）熟练掌握复合函数求导法；会求二阶偏导。
（4）会求隐函数的偏导数。
高等数学第二版教材内容
高等数学第二版教材内容高等数学是大学理科专业中必修的一门课程，旨在为学生提供扎实的数学基础和方法，以应对日后学科的需求。
高等数学第二版教材是一本经典教材，本文将对其内容进行概述和分析。
第一章：函数与极限这一章从函数的定义和性质开始，介绍了常见的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
接着引入了极限的概念，包括极限的定义、性质、计算方法等。
此外，还讨论了无穷小量和无穷大量的概念，并介绍了一些重要的极限定理。
第二章：导数与微分导数是高等数学中的重要概念，这一章主要介绍了导数的定义、性质和运算法则。
通过导数，我们可以求得函数的切线方程、极值点以及函数的单调性等。
此外，还探讨了微分的概念和微分中值定理。
第三章：微分中值定理与Taylor展开在这一章中，我们深入研究了微分中值定理和Taylor展开定理的应用。
微分中值定理是导数理论中的重要基础，它可以推导出罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理等重要结果。
Taylor展开定理则是将函数在某一点附近展开为幂级数，极大地拓展了函数的研究方法。
第四章：不定积分与定积分本章主要介绍了不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
通过不定积分，我们可以求得函数的原函数，并推导出著名的牛顿-莱布尼茨公式。
定积分则用于计算曲线下的面积、弧长、质量等物理量。
第五章：重积分与曲线积分这一章扩展了积分的概念，介绍了重积分和曲线积分的定义、计算方法和应用。
通过重积分，我们可以计算立体的体积、质心、表面积等。
曲线积分则用于计算沿曲线的质量、功等物理量。
第六章：常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要分支，本章介绍了常微分方程的基本概念、解的存在唯一性定理以及常见的一阶和二阶常微分方程。
通过对常微分方程的研究，我们可以解决许多实际问题，如弹簧振动、电路分析、生物种群模型等。
第七章：级数级数是数学中的一种重要数列，本章主要介绍了级数的概念、性质和判敛法则。
通过对级数的研究，我们可以计算无限累加的和，并讨论级数收敛、发散以及常见的级数收敛方法，如比较判别法、积分判别法和根值判别法等。
第二版高等数学教材答案
第二版高等数学教材答案由于高等数学是一门较为复杂的学科，学生在学习过程中常常会遇到一些难题和疑惑。
为了帮助广大学生更好地掌握高等数学知识，提高学习效果，我们特别整理了《第二版高等数学教材答案》。
本答案提供了全书各章节的详细解析，旨在给学生提供学习的参考和借鉴。
第一章：极限和连续1.1 实数与数列1.2 函数与极限1.3 无穷小与无穷大1.4 极限运算法则1.5 极限存在准则1.6 数列极限的性质1.7 函数的极限1.8 连续与间断1.9 无穷小的比较1.10 极限与连续的关系第二章：导数与微分2.1 函数的概念2.2 三角函数与反三角函数2.3 反函数与复合函数2.4 极限与连续2.5 导数概念2.6 导数的几何意义与物理应用2.7 导数的运算法则2.8 高阶导数2.9 隐函数与参数方程的导数2.10 函数的微分2.11 中值定理与导数的应用第三章：定积分3.1 面积与定积分3.2 定积分的概念与性质3.3 定积分的计算3.4 反常积分3.5 定积分与无穷小量3.6 牛顿—莱布尼兹公式3.7 定积分的应用第四章：不定积分和微分方程4.1 不定积分概念4.2 基本积分公式4.3 第一换元法4.4 分部积分法4.5 三角函数的积分4.6 有理函数的积分4.7 反常积分4.8 微分方程的基本概念4.9 可分离变量的微分方程4.10 齐次方程4.11 一阶线性微分方程4.12 可降阶的高阶微分方程第五章：无穷级数5.1 数项级数概念5.2 正项级数收敛的判别法与性质5.3 收敛级数的四则运算5.4 交错级数5.5 绝对收敛与条件收敛5.6 幂级数5.7 函数展开成幂级数第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念6.2 偏导数6.3 全微分6.4 多元复合函数的求导法则6.5 隐函数与参数方程的求导6.6 微分的几何应用6.7 方向导数与梯度6.8 极值问题6.9 条件极值与最小二乘法6.10 多元函数积分学的基本概念以上是《第二版高等数学教材答案》各章节的内容概述。
(周5学时) 《高等数学II》教学大纲
高等数学Ⅱ一、 说明（一） 课程性质高等数学课程是高等学校理科类、工科类、管理类学生的一门必修的、重要的专业基础理论课。
（二） 教学目的本课程的教学目的是使学生理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，培养学生的数学素质，培养学生变量数学的观点和具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
（三） 教学内容本教材的主要教学内容为空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
（四） 教学时数本课程的教学时数为90课时。
（五） 教学方式以课堂讲授为主，并组织学生进行适当的讨论。
(六) 参考教材同济大学应用数学系《高等数学》，北京：高等教育出版社二．教学要求及安排第八章空间解析几何与向量代数教学要点：通过本章学习，要求学生理解空间解析几何的知识，通过引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后运用坐标系讨论向量运算。
教学时数：16学时教学内容：第一节向量及其线性运算（2学时）向量概念、向量的线性运算、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影第二节数量积向量积混合积（2学时）两向量的数量积、两向量的向量积、向量的混合积第三节曲面及其方程（3学时）曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面第四节空间曲线及其方程（3学时）空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程（3学时）平面的点法式方程、平面的一般方程、两平面的夹角第六节空间直线及其方程（3学时）空间直线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线与平面的夹角、杂例第九章多元函数微分法及其应用教学要点：通过本章学习，要求学生通过类比方法在一元函数的基础上学习多元函数的微分和积分问题。
《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式
例 ， = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是 如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证 在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D，
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成
《高等数学》北大第二版6-2多元函数的极限
通过本书的这一章节，我们将深入理解多元函数的极限，包括其定义、性质 和应用，以便更好地应对高等数学的挑战。
多元函数的极限定义
我们先来学习多元函数的极限的定义及其解释，为进一步理解后续内容打下 坚实的基础。
多元函数的数列极限
通过数列极限的概念，我们可以更好地理解多元函数的极限，以及如何在实际问题中应用它们。
多元函数的函数极限
函数极限是多元函数研究中的重要概念，它使我们能够更准确地描述多元函数在某一点的趋势和性质。
多元函数的极限的性质
多元函数的极限具有
利用夹逼定理求多元函数的极 限
夹逼定理是求解多元函数极限时非常有用的方法，通过它，我们可以确定函 数的极限值并做出准确的判断。
利用洛必达法则求多元函数的 极限
洛必达法则是一种常用的求解多元函数极限的方法，通过它，我们可以更好 地理解多元函数的趋势和性质。
利用泰勒展开式求多元函数的极限
泰勒展开式是求解多元函数极限的强大工具，通过它，我们可以精确地计算函数在给定点的极限值。
《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题
f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式 当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证 设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解 问题 转化为求二元 函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组 即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最 线性近似公式
补例 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
高等数学教材第二版答案
高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。
本篇文章将给出《高等数学教材第二版》的答案，以满足学生们在学习过程中的需求。
第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。
同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。
值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。
与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。
希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。
《高等数学》 课程教学大纲
二、课程基本内容和要求
1． 函数、极限、连续
教学内容
(1) 函数概念、性质、基本初等函数图象的性质，复合函数，初等函数，建立函数关系举例。
(2) 函数极限的概念，极限的四则运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量概念及性质，无穷小的比较
(3) 函数的连续性，初等函数的连续性，间断点，闭区间上连续函数的性质
制定人：朱铭扬
审核人：高 枫
（2）偏导数概念，多元复合函数与隐函数的微分法
（3）全微分及其应用
（4）多元函数的极值和最值
教学要求
(1) 理解多元函数的基本概念，其定义域及图象特点，知道二元函数的极限、连续性等概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。
(2) 理解偏导数，熟练地计算函数的一阶偏导数，熟练掌握复合函数的求导法则，会求隐函数的偏导数。
《高等数学》 课程教学大纲
总学时:128 学分：8
一、课程性质、任务和目的
高等数学是大学专科工学和理学专业一门必修的重要公共基础课，通过本课程的学习着重使学生理解极限的思想方法，掌握微积分学、级数、微分方程等内容，并通过各教学内容的有机结合，培养学生的逻辑思维能力和比较熟练的运算能力，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用数学方法。
（2）直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算
（3）二重积分在几何上的应用：曲顶柱体体积计算
教学要求
(1) 理解二重积分概念及几何意义，知道其性质
(2) 掌握直角坐标系下二重积分的计算，会利用极坐标系计算二重积分。
(3) 会利用二重积分计算一些简单曲顶柱体的体积。
重点与难点：二重积分（包括概念、计算与应用）；化重积分为累次积分；元素法
高等数学教材北大版本目录
高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。
高等数学6_1多元数量值函数积分的概念与性质
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n
1 k n
抽 象 其 共 性
如果不论
n
怎样划分，点
怎样选取，极限 上可积，且
()
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lim f ( M k )k 都存在，则称f 在
0
称此极限值为 f (M )在Ω上的积分,记作
k 1
f (M )d.
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即：
被积式或 积分微元 积分域
被积函数
注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式 和名称也不相同
0
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n
d称为面积微元，在直角坐标系下常写作d x d y, 引例1中平面薄板的质量:
M ( x, y ) d ( x, y ) d x d y
D D
引例2中曲顶柱体体积:
V f ( x, y ) d f ( x, y ) d x d y
第六章 多元函数积分学及其应用
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 多元数量值函数积分的概念与性质
一、引例
第六章
二、多元数量值函数积分的概念
三、积分存在的条件和性质
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一、引例
1. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则
0 k 1
曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
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n
一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体
上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或
北大版高等数学下册教材
北大版高等数学下册教材北京大学版高等数学下册教材简介北京大学版高等数学下册教材是一本专门为高等数学学习者准备的教材。
本教材通过分章节的方式，系统介绍了高等数学下册的各个知识点和概念，力求深入浅出地让读者理解和掌握这门学科的核心内容。
下面将对本教材的主要特点和章节内容进行介绍。
第一章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
首先对微分方程的定义进行了详细解释，然后介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的求解方法。
此外，还对常微分方程和偏微分方程进行了区分和讲解，通过一系列例题和习题，帮助读者巩固所学知识。
第二章微分方程的应用本章主要介绍了微分方程在物理和工程等领域的应用。
通过讲解物理问题和工程实际案例，引导读者将微分方程的概念和解法应用到实际问题中。
同时，介绍了一些经典的物理方程和工程方程，如振动方程和热传导方程等。
第三章多元函数微分学本章主要介绍了多元函数的导数和微分学的基本概念。
首先介绍了多元函数的概念和性质，然后对偏导数和全微分进行了详细解释。
同时，还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法，以及拉格朗日乘子法等高级计算技巧。
第四章多元函数积分学本章主要介绍了多元函数的积分和积分学的基本概念。
首先介绍了多元函数积分的定义和性质，然后讲解了重积分和曲线、曲面积分的计算方法。
同时，还介绍了格林公式和高斯公式等重要的积分计算定理。
第五章级数本章主要介绍了级数的概念和性质。
首先讲解了数项级数和函数项级数的定义，然后介绍了级数收敛和发散的判定方法。
同时，通过一些经典的级数例题，帮助读者加深对级数的理解和掌握。
第六章傅里叶级数本章主要介绍了傅里叶级数的概念和性质。
首先介绍了周期函数和傅里叶级数的定义，然后讲解了傅里叶级数的计算方法和傅里叶级数的收敛性。
同时，还介绍了傅里叶级数的应用领域，如信号处理和波动现象等。
第七章偏微分方程本章主要介绍了偏微分方程的基本概念和解法。
首先介绍了一阶偏微分方程和二阶偏微分方程的定义，然后讲解了常见的偏微分方程解法，如分离变量法和特征线法等。
高等数学第二版教材解析
高等数学第二版教材解析高等数学是大学数学课程的重要组成部分，对于理工类专业的学生来说，学好高等数学是非常重要的。
而高等数学第二版教材作为一本经典的教材，具有全面详尽的内容，具备了良好的教学和学习效果。
本文将从内容概述、特点分析和教学建议三个方面对《高等数学第二版》进行解析。
一、内容概述《高等数学第二版》是一本涵盖了高等数学各个主要章节的教材，其中包括了微积分、级数与广义积分、空间解析几何、多元函数与偏微分方程等内容。
每个章节都有具体而详尽的讲解，配以大量的习题和例题，能够帮助学生更好地理解和应用各个数学概念和方法。
微积分部分是《高等数学第二版》的重点内容之一。
它从导数和微分的概念入手，逐步引入极限、函数的连续性和可导性等内容。
同时，还介绍了一元函数的微分中值定理、Taylor公式、不定积分和定积分等重要概念和定理。
这些内容既有严谨的推导和证明，又有大量的例题和习题，能够帮助学生理解和掌握微积分的基本原理和方法。
级数与广义积分部分是《高等数学第二版》的另一个重点内容。
它包括常数项级数、正项级数、相邻项之差形成的数列、幂级数等各种级数的性质和判别法。
同时，还介绍了广义积分的定义和性质，以及计算广义积分的方法。
这些内容对于学生理解级数和广义积分的概念和计算方法非常有帮助。
空间解析几何部分介绍了三维空间中点、直线、平面、曲面的相关概念和性质。
通过引入向量和坐标表示，帮助学生准确地描述和分析平面和直线，并能够解决空间几何问题。
此外，还介绍了曲线和曲面的参数方程和一阶偏导数等内容，为后续的多元函数与偏微分方程的学习打下了基础。
二、特点分析《高等数学第二版》的特点主要体现在内容的全面性和概念的逻辑性上。
教材中的每个章节都涵盖了相关知识点和方法，能够满足大部分大学高等数学课程的需求。
同时，教材的组织结构合理，概念之间的逻辑关系清晰明了，使学生能够系统地学习和掌握数学知识。
此外，教材中还注重实例和习题的设计。
在每个概念和定理的讲解过程中，都会给出具体的例题，帮助学生理解和应用相关知识。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
高等数学(第二版)(2019年科学出版社出版的图书)
2019年科学出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源 06 图书目录
《高等数学（第二版）》是由马少、张好治、李福乐主编，科学出版社于2019年出版的中国科学院规划教材、 大学数学系列教材。该教材可供于高等院校生物类、经贸类和管理类各专业的本、专科学生和高职院校的学生使 用，也可供其他相关专业的学生参考。
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列）
教学资源
《高等数学（第二版）》拥有配套教材《高等数学学习指导与习题解答（第二版）》。
作者简介
马少军：男，青岛农业大学副教授，主要从事领域为控制论方面的研究。 张好治：男，青岛农业大学副教授，主要从事研究方向为统计与管理、运筹与优化。 李福乐：男，青岛农业大学副教授，主要从事应用数学研究。
该教材共有十一章，主要介绍了导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分等高等数学的基础 知识和基础方法。
成书过程
修订情况
出版工作
《高等数学（第二版）》是根据编者的教学实践，按照教材改革的精神，并结合高等数学课程教学基本要求 和考研的需要，在《高等数学》的基础上修订而成的。
《高等数学（第二版）》的修订工作由所有编委共同完成。
图书目录
第二版前言 第一版前言 第一章函数与极限 第二章导数与微分 第三章中值定理与导数的应用 第四章不定积分 第五章定积分 第六章定积分的应用 第七章微分方程 第八章空间解析几何与向量代数 第九章多元函数微分学
谢谢观看
2019年8月1日，《高等数学（第二版）》由科学出版社出版。
内容简介
《高等数学（第二版）》共有十一章，主要内容为函数与极限、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定 积分、定积分、定积分的应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、级数。 书后有自测题、习题参考答案、自测题参考答案与提示、积分表。
高等数学教材哪个版本的最难
高等数学教材哪个版本的最难高等数学作为大学学习中不可或缺的一门课程，其教材版本众多，每个版本都各有特点。
然而，对于许多学生来说，他们往往会关注其中哪一个版本才是最难的，因为这关系到他们将来的学习和成绩。
近年来，有关高等数学教材版本难易程度的争议不断，不同版本之间的难度差异也使得学生和教师更加关注。
本文将探讨各个高等数学教材版本的特点，并分析哪一个版本被普遍认为最难。
一、高等数学教材版本概述目前，市面上流行的高等数学教材版本众多，其中包括《高等数学》（第一版、第二版、第三版）、《高等数学分册》（上册、下册）、《高等数学教程》（上册、下册）等等。
每个版本都经过精心编写和策划，旨在帮助学生掌握高等数学的基本理论和方法。
二、不同版本的难度比较1.《高等数学》第一版第一版《高等数学》是较早面世的版本，由许多著名的教育家和数学家共同编写。
它以理论严谨、注重数学基础为特点，对数学概念和公式的解释详尽，循序渐进。
但考虑到历史因素，一些内容在表达和展示上有待改进。
相对来说，第一版《高等数学》在难度上较为平缓，适合初学者。
2.《高等数学》第二版第二版《高等数学》在第一版的基础上进行了修订和增补，增加了一些实用且前沿的数学应用，如微积分、曲线与曲面积分等。
这个版本在难度上有所提升，但仍然以易于理解和学习为目标，注重培养学生的数学思维能力。
3.《高等数学》第三版第三版《高等数学》是最新版本，相对于之前的版本，它在内容和难度上进行了全面升级。
这个版本涵盖了更多的高级数学知识和应用，如多元函数微积分、级数、场论等。
由于其理论深入和难度较大，许多学生认为它是目前最难的教材版本之一。
4.《高等数学分册》（上册、下册）《高等数学分册》是一套分册教材，分为上下两册。
这个版本相对于综合版的《高等数学》更加精简和简洁，但仍然涵盖了高等数学的核心内容。
其中下册相对来说稍难一些，引入了更多抽象和深入的数学概念和方法。
5.《高等数学教程》（上册、下册）《高等数学教程》是另一套分册教材，也分为上下两册。
高等数学-二元函数积分学
15
3､二重积分的性质
第六章 多元函数积分学
二重积分有着和定积分相似的性质，以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积.
性质 1 f (x, y) g(x, y)d f (x, y)d g(x, y)d ；
D
D
D
性质 2 kf (x, y)d k f (x, y)d (k R) ；
D
D
中 D : x2 y2 1.
20
3､二重积分的性质
第六章 多元函数积分学
例3
不作计算，估计 I e d (x2y2 ) 的值，其中 D 是椭圆闭区域： D
x2 y2 1 a2 b2
(0 b a) .
解 区域 D 的面积 abπ, 在 D 上因为 0 x2 y2 a2 ,
所以1 e0 ex2 y2 ea2 .
D
D
性质 3 设 D 由 D1 、 D2 组成，则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d ；
DD1 D2
D1
D2
16
3､二重积分的性质
第六章 多元函数积分学
性质 4 如果 f (x, y) 1，则有 1dx dx D 的面积；
D
D
这个性质表明: 以 D 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的
图 6-7）.
▲▲▲
O
x 图 6-7
23
二､直角坐标系下二重积分的计算
第六章 多元函数积分学
故在直角坐标系中，面积微元 d 可记为 dxdy ， 即 d dxdy . 进 而 把 二
重积分记为 f (x, y)dxdy ，这里我们把 dxdy 称为直角坐标系下的面积微元.
D
在实际应用中，直接通过二重积分的定义和性质来计算二重积分一般是困难 的，本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分 化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.
高等数学课程内容及基本要求
高等数学课程内容及基本要求高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。
通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法,为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面,打好基础.在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业,逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力,掌握学习方法,培养自学能力。
高等数学是全校公共基础课，对于我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。
该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课,而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。
课程内容及基本要求(一)函数、极限与连续(20学时)内容：函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小,极限存在准则、无穷小的比较,函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
基本要求1．深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数,了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。
2．理解数列极限的定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。
3．理解函数极限、左右极限定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性,掌握极限运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
4．理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
5．理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。
.重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限,函数的连续性.难点:极限的定义,极限存在准则。
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n
中的集合到 R
m
的映射
n
n 元函数实质上就是 R 中的一个集合到 R 的一个 .
一般化就是 Rn中的一个集合到 Rm的映射 .
例3 平面曲线的参数方程
x ( t), ( t ), y ( t)
1 其中 与 是在 [ ， ] 上的连续函数 . 这实质上是 R 中的
u f ( x , x , , x ) 1 2 n
点集 D 称为函数f的定义域 ; 全体函数值的集合：
f ( D ) u u f ( x , x , , x ) | ( x , x , , x ) D 1 2 n 1 2 n
称为函数f的值域 . 自变量，而把u称作因变量. 通常把 ( x , x , , x ) 称作 1 2 n
x
j 1
n
j
x
0 j
R2 具有坐标的平面的全体 点 .
R 具有坐标的三维空间中 的全体点 .
3
相等同
相等同
相等同
全体有序的 n 个实数组 ( x ,x ,x ) 所组成的 1 2 n
R {( x , x , x ) | x R , j 1 , 2 , , n }. 1 2 n j
有时我们也称 u 是 ( x , x , , x ) 的函数 . 1 2 n
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
2 z f ( x , y ), ( x , y ) D R
当 n = 3 时, 有三元函数
u f ( x , y , z ), ( x , y , z ) D R
因此， R中的集合到 R 的一个映射可用有序的 m 个 n
n
m
元函数表示 .其中第 j个 n 元函数 fj称作映射的 第j个分量.
3.
0 0 Qx , , x x , , x R n 中的点 P 1 到 1 的距离 d P, Q n n
R 中距离、邻域及开集
n
定义为
在数轴 R 上
T p k (k为常数） , V 在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.
函数:
多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组，
如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量 形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当 一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化 时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种 看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到 实 数域R 的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数实 质上就是三维空间中某个点集合到实数 域R 的一个映射.
多元函数的定义域及图形.
3
( x , y )x y r 定义域为 圆域
2 2 2
x y 例1, 二元函数 z r
2 2
2
z
o
x
图形为中心在原点的上半球面.
ry
例2 函数zln(xy)的定义域为
{(x y)|xy>0} 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 {(x y)|x2y21}
2 2 2 u arcsin( x y z) 补例 三元函数 定义域为 单位闭球 2 2 2 ( x , y , z ) x y z 1
图形为 R 4 空间中的超曲面.
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 .
2. R
全体有序的实数组 (x ,y ) 所组成的集合：
2 R {( x , y ) |x R , y R }.
全体有序的三元实数组 (x ,y ,z)所组成的集合：
3 R {( x , y , z ) | x R , y R , z R }.
R 具有坐标的直线（数轴 ）上的全体 .
m 那么，对于 D 中的每一个点 (x , x , , x ), 在 R 中都有 1 2 n
惟一确定的点
(y , ym)与之相对应， 这里每一个 y j 1, y 2,
(j 1, , m) 都是由 (x , x , , x ) 所决定的 . 故y j是 1 2 n
2 2 其中 为一固定常数 . 映射 ( x , y ) ( u , v ) 是 R 到 R 一个
uxcos ysin , vx sin ycos ,
映射， 这里 u与 v是两个二元函数 .
n m 设 D 为 R 中的一个集合 . 又设 f 是 D R 的一个 .
第六章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
6-1 多元函数
1.多元函数的概念
引例:
三角形之一边 c 是另外两边 a 与 b 及其夹 的函
2 2 c a b 2 ab cos .
b a
c
一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的
2 2 集合 [ ， ] 到 R 的映射 : f: [ ， ] R . 但是,与函数
不同，对于每一个 t [ ， ],f(t) 不再是一个值， 而应是
R2中一个点 . 因此， f (t)应由两个坐标刻画， 即
f( t ) ( ( t ), ( t )).
例4 平面上的坐标变换
设它为 f (x , x , , x )( j 1 , , m ) (x , xn) 的一个函数， j 1 2 n 1, x 2,
于是，映射
y1 = f1 x1, , xn , m f : D R y = f x , , x , n m m 1
n
n 每一个实数组 ( x , x , x ) 称作 R 的一个点 . 1 2 n
定义 设有一个集合D Rn , 如果对于 D 中每一点 ,x x , 按照一定的规则 f , 都有一个唯一确定的实 1, n 数 u R 与之相对应，则称 f 是一个定义在 D 上的n元 函数． 记作