上海市松江区2017届高三一模数学试卷(含答案)

上海市松江区2017届高三一模数学试卷
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =
2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=
3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=
4. 不等式|1|0x x ->的解集为
5. 已知(sin ,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x = ，则函数()f x a b =⋅ 的最小正周期为
6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为
7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是
8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313
a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2
cm 10. 设(,)P x y
是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为
11.
已知函数13()28,
3x x f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x k x =-在其定义域内有3个
零点，则实数k ∈ 12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim
n n n a a -→∞=
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b a a b
+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点
P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ）
A. 13
B. 12
C. 3
D. 2
15. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈， 且11
122122
0a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ） A. 2个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 16. 解不等式1
1()022x
x -+>时，可构造函数1()()2
x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）
A. (0,1]
B. (1,1)-
C. (1,1]-
D. (1,0)-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点；
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；
18. 已知函数21()21
x x a f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；
19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒
∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：
（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米）
（2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）
20. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线 于A 、B 两点；
（1）求双曲线C 的方程；
（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；
（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎
样转动，都有0MA MB ⋅= 成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；
21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；
（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m
=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+ *()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2
n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. {1}
2. 34i -
3. 2
4. (0,1)(1,)+∞
5.
π 6. 14
7. 143 8. 11 9.
10. 10 11. 12. 12-
二. 选择题
13. B 14. C 15. D 16. A
三. 解答题
17.（1）略；（2； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数；
（2）[2,3]；
19.（1）18.9米；（2）6.9°；
20.（1）2
213
y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2
-∞+∞ ；（2）不存在； （3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；。