下列函数中其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域
高考数学选填压轴题真题(含答案)
2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）一．选择题（共23小题）1．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π3．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．55．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π6．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．27．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m8．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]9．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个10．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8113．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=14．函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．715．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f （x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m16．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多17．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．118．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π19．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣20．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x321．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．222．如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列23．已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100二．填空题（共17小题）24．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．25．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）26．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．27．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．28．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．29．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．30．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．31．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．32．设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．33．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．34．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．35．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．36．已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．37．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．38．已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=，b=．39．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．40．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．2016年高考数学选填压轴题真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．2．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．4．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B5．（2016•新课标Ⅱ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．6．（2016•新课标Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M 在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣=0，e＞1，解得e=．故选A．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]=m．故选B．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．9．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．10．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A 的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．11．（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B12．（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：3××2=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．故选：B．13．（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D14．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B16．（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．17．（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A18．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C19．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．20．（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A21．（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．22．（2016•浙江）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P ≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，﹣S n+1=S n+1﹣S n，即为S n+2则数列{S n}为等差数列．故选：A．23．（2016•浙江）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．二．填空题（共17小题）24．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．25．（2016•新课标Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④26．（2016•新课标Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1﹣ln2．【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．27．（2016•新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π28．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．29．（2016•新课标Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．30．（2016•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．31．（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=2．【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，即a=b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：232．（2016•北京）设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为2；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【解答】解：①若a=0，则f（x）=，则f′（x）=，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；②f′（x）=，令f′（x）=0，则x=±1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）33．（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．34．（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．35．（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．36．（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=1．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．37．（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是72cm2，体积是32cm3．【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，3238．（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=4，b=2．【解答】解：设t=log b a，由a＞b＞1知t＞1，代入log a b+log b a=得，即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），所以log b a=2，即a=b2，因为a b=b a，所以b2b=b a，则a=2b=b2，解得b=2，a=4，故答案为：4；2．39．（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=1，S5=121．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；=S n+1﹣S n，可得由a n+1S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．40．（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，V max=．故答案为：．。
2016年高考数学试题分类解析考点4 函数及其表示
考点4 函数及其表示
一、填空题
1.(2016·全国卷Ⅱ文科·T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x
B.y=lgx
C.y=2x
1
【解题指南】对数lgx 中x 为正数,函数y=10lgx 不是最简形式,需化简,化简后再比较.
【解析】选D.y=10lgx =x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R ;函数y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为R ;函数y=2x 的定义域为R ,值域为(0,+∞);函数
y=
的定义域与值域
均为(0,+∞).
2.(2016·浙江高考文科·T12)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R ,则实数a= ,b= .
【解题指南】两边式子各自展开各个项的系数相等.
【解析】f(x)-f(a)=x 3+3x 2+1-a 3-3a 2-1
=x 3+3x 2-a 3-3a 2,
(x-b)(x-a)2=x 3-(2a+b)x 2+(a 2+2ab)x-a 2b,
所以22322a b 3,a 2ab 0,a b a 3a ,⎧--=⎪+=⎨⎪-=--⎩解得a 2,b 1.⎧=-⎨=⎩ 答案:-2 1
3.(2016·江苏高考T5)函数
y=错误！未找到引用源。
的定义域是 .
【解题指南】令3-2x-x 2≥0,解不等式即可.
【解析】由3-2x-x 2≥0得x 2+2x-3≤0,即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x ≤1.
答案:[-3,1]
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2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习
专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】 令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】 －2【解析】 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】 要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立， 所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。
【精选高中试题】高中数学黄金100题系列——专题05 函数定义域(解析版) Word版(含解析)
I ．题源探究·黄金母题例1 求函数)34(log )(5.0-=x x f 的定义域. 【解析】要使式子有意义，则0)34(log 5.0≥-x ， 即1log 0)34(log 5.05.0=≥-x ，根据对数函数的单调性，则1340≤-<x ， 解得143≤<x ， 所以函数)(x f 的定义域为]1,43(.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】函数y义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第74页习题2.2 A 组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系. 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点.本题是简单函数定义域的求法，是基础题.III ．理论基础·解题原理考点一 函数定义域的概念1．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域1.一次函数b kx y +=的定义域为R ；2.二次函数c bx ax y ++=2的定义域为R ； 3.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）定义域为R ；4.对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的定义域为),0(+∞；（1）当Z m ∈，n 为奇数且0>mn 时，定义域为R ； （2）当m 为奇数n 为偶数且0>mn 时，定义域为),0[+∞； （3)当*Z m ∈，n 为奇数且0<mn 时，定义域为),0()0,(+∞⋃-∞； （4）当m 是奇数，n 为偶数且0<mn 时，定义域为),0(+∞； 6.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =定义域都为R ；考点三 函数定义域的求法 1.已知函数解析式，求定义域紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。
函数及其表示
第一讲 函数及其表示题组1 函数的概念与表示1.[2016全国卷Ⅱ,10,5分][文]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是 ( ) A.y =xB.y =lg xC.y =2xD.y =2.[2015重庆,3,5分][文]函数f (x )=log 2(x 2+2x -3)的定义域是（ ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)3.[2014山东,3,5分]函数f (x )=1)(log 122-x 的定义域为 ( )A.(0,) B.(2,+∞) C.(0,)∪(2,+∞) D.(0,]∪[2,+∞)4.[2016江苏,5,5分][文]函数y =223x x --的定义域是 .5.[2015新课标全国Ⅱ,13,5分][文]已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a = .6.[2013安徽,14,5分][文]定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )= .题组2 分段函数的应用7.[2017山东,9,5分][文]设f (x )=⎩⎨⎧≥-<<.1),1(2,10,x x x x 若f (a )=f (a +1),则f()= ( )A.2B.4C.6D.88.[2015新课标全国Ⅰ,10,5分][文]已知函数f (x )=⎩⎨⎧>+-≤-,1),1(log ,1,2221-x x x x 且f (a)=-3,则 f (6-a )=( )A.-B.-C.-D.-9.[2015陕西,4,5分][文]设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-,0,2,0,1x x x x 则f (f (-2)=( )A.-1B.C.D.10.[2015湖北,7,5分][文]设x ∈R,定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,01x x x ，则 ( )A.|x |=x |sgn x |B.|x |=x sgn|x |C.|x |=|x |sgn xD.|x |=x sgn x11.[2015山东,10,5分][文]设函数f (x )=⎩⎨⎧≥<-.1,2,1,3x x b x x若f （f (65))=4，则b = ( ) A.1 B.C.D.12.[2017全国卷Ⅲ,16,5分][文]设函数f (x )=⎩⎨⎧>≤+,0,2,01x x x x ，则f (x )+f (x -21)>1的x 的取值范围是 .13.[2015福建,14,4分]若函数f (x )= (ax 0,且x ≠1)的值域是[4,+∞)x 则实数a 的取值范围是 .题组3 与函数有关的新定义问题14.[2016山东,10,5分][文]若函数y =f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y =sin xB.y =ln xC.y =e xD.y =x 315.[2015湖北,10,5分]设x ∈R,[x ]表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[t ]=1,[t 2]=2,…,[t n ]=n 同时成立,则正整数n 的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6A 组基础题1.[2018山西省五校联考,2]函数f (x )= 的x 义域为 ( )A.( ,]B.(0,] C.[,+∞)D.(,+∞)2.[2018豫南九校第二次质量考评,4]已知函数f (x )= 则f (f ())x x )A.3 xB.4C.-3D.383.[2017长春市高三第四次质量监测,3]已知函数f (x )= 则函xf (x )的值x 为 ( )A x [-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[-,+∞) D.R4.[2018安徽省高中十校联考,13]已知函数f (x )= 若f (x )x 3,则实数a= . x5.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,13]已知函数f (x )=x 2+4ax+2a+2的值域为[0,+∞),则a 的取值集合是 .6.[2017长沙市高三五月模拟,13]定义运算:x ∇y= 例如:3y 4=3,(-2)∇4=4,则函数f (x )=x 2∇(2x-x 2)的最大值为 . B 组提升题7.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,8]已知函数y=f (2x-1)的定义域是[0,1],则函数 的定义x 是( )A.[1,2]B.(-1,1]C.[-,0] D.(-1,0)8.[2018江西省新余一中二模,3]若函数y=f (x )的值域为[,3],则函数F (x )=f (x )+ 的值域为( )A.[,3] B.[2,] C.[ ,] D.[3,]9.[2017武汉市高三五月模拟,10]若存在正实数a ,b ,使得∀x ∈R 有f (x+a )≤f (x )+b 恒成立,则称f (x )为“限增函数”.给出以下三个函数:①f (x )=x 2+x+1;②f (x )= ;③f (x )=sin(x 2),其中是“限增函数”的是( )A.①②B.②③C.①③D.③10.[2017昆明市高三适应性检测,16]已知函数f (x )= 若不等式axf (x )≤b 的解集恰好为[x ,b ],则x-a= .11.[2017南昌市高三三模,16]定义域为R 的函数f (x )满足f (x+3)=2f (x ),当x ∈[-1,2)时,f (x )= 若存xx ∈[-x ,x 1),使得不等式t 2-3t ≥4f (x )成x ,则实数t 的取值范围是 .答案1.D 解法一 函数y =10lg x 的定义域为(0,+∞),又当x >0时,y =10lg x =x ,故函数的值域为(0,+∞).只有D 选项符合.解法二 易知函数y =10lg x 中x >0,排除选项A,C;又10lg x 必为正值,排除选项B.选D. 2.D 由x 2+2x -3>0,解得x >1或x <-3,所以函数f(x )的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),故选D. 3.C (log 2x )2-1>0,即log 2x >1或log 2x <-1,解得x >2或0<x <,故所求的定义域是(0,)∪(2,+∞).故选C.4.[-3,1] 要使函数y =223x x --有意义,则3-2x -x 2≥0,解得-3≤x ≤1,则函数y =223x x --的定义域是[-3,1].5.-2 由题意可知(-1,4)在函数f (x )=ax 3-2x 的图象上,即4=-a +2,故a =-2.6.2)1(+-x x 当-1≤x ≤0时,有0≤x +1≤1,所以f (1+x )=(1+x )[1-(1+x )]=-x (1+x ),又f (x +1)=2f (x ),所以f (x )=f (1+x )=2)1(+-x x .7.C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )= ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a ,∵f (a )=f (a +1),∴ =2a ,解得a =或a =0(舍去).∴f ()=f (4)=2×(4-1)=6.当a >1时,a +1>2,∴f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∴2(a -1)=2a ,无解.当a =1时,a +1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f ()=6.故选C.8.A 因为f (x )=⎩⎨⎧>+-≤-,1),1(log ,1,2221-x x x x f (a )=-3所以或⎩⎨⎧-=+->3)1(log ,12a a - - 解得a =7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-,故选A.9.C因为f(-2)=2-2=,所以f(f(-2))=f()=1-=,故选C.10.D当x>0时,|x|=x,sgn x=1,则|x|=x sgn x;当x<0时,|x|=-x,sgn x=-1,则|x|=x sgn x;当x=0时,|x|=x=0,sgn x=0,则|x|=x sgn x.故选D.11.D f(f())=f(3×-b)=f(-b).当--b<1,即b>时,3×(--b)-b=4,解得b=(舍去).当-b≥1,即b≤时,-=4,解得b=.故选D.12.(-,+∞)当x≤0时,由f(x)+f(x-)=(x+1)+(x-+1)=2x+>1,得-<x≤0;当0<x≤时,f(x)+f(x-)=2x+(x-+1)=2x+x+>1,即2x+x->0,因为2x+x->20+0-=>0,所以0<x≤;当x>时,f(x)+f(x-)=2x+>+20>1,所以x>.综上,x的取值范围是(-,+∞).13.(1,2]因为f(x)=所以xx≤2x,f(x)≥4;又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以解得1<a≤2,所以实数a的取值范围为(1,2].14.A设函数y=f(x)的图象上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数的几何意义可知,点P,Q处切线的斜率分别为k1=f '(x1),k2=f '(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f '(x1)·f '(x2)=-1.对于A选项, f '(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;对于B选项,f '(x)=(x>0),显然k1·k2=·=-1无解,故该函数不具有T性质;对于C选项,f '(x)=e x>0,显然k1·k2=·=-1无解,故该函数不具有T性质;对于D选项,f '(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3·3=-1无解,故该函数不具有T性质.故选A.15.B由[t]=1,得1≤t<2.由[t2]=2,得2≤t2<3.由[t4]=4,得4≤t4<5,所以2≤t2<.由[t3]=3,得3≤t3<4,所以6≤t5<4.由[t5]=5,得5≤t5<6,与6≤t5<4矛盾,故正整数n的最大值是4.故选B.A组基础题1.D由题意得log2(2x)+1>0,解得x>.所以函数f(x)的定义域为(,+∞).故选D.2.C由题意知f()=2+3=8,f(f())=f(8)=lo8=-3.故选C.3. B解法一当x<-1时,f(x)=x2-2∈(-1,+∞);当x≥-1时,f(x)=2x-1∈[-,+∞),综上可知,函数f(x)的值域为(-1,+∞).故选B.解法二根据分段函数f(x)的图象(图略)可知,该函数的值域为(-1,+∞).故选B.4.-由题意知,-或,(),解得a=-.5.{-,1}因为二次函数的值域为[0,+∞),所以二次函数的图象与x轴只有一个交点,所以x2+4ax+2a+2=0的判别式Δ=16a2-8a-8=0,解得a=1或a=-,故a的取值集合为{-,1}.6.4由已知得f(x)=x2Ñ(2x-x2)=,(-),-,(-)=,,-,或,易知函数f(x)的最大值为4.B组提升题7.D因为函数y=f(2x-1)的定义域是[0,1],所以-1≤2x-1≤1,要使函数()()有意义,则需-,,,解得-1<x<0,故选D.8.B设f(x)=t,t∈[,3],则F(x)的值域就是函数y=t+,t∈[,3]的值域,由“对勾函数”的图象可知,2≤F(x)≤,所以函数F(x)的值域为[2,],故选B.9. B对于①,f(x+a)≤f(x)+b,即(x+a)2+(x+a)+1≤x2+x+1+b,即2ax≤-a2-a+b,x≤--对一切x∈R恒成立,显然不存在这样的正实数a,b.对于②,f(x)=,即 ≤+b,即|x+a|≤|x|+b2+2b,而|x+a|≤|x|+a,∴令|x|+a≤|x|+b2+2b,则 ≥-,显然,当a≤b2时,式子恒成立,∴f(x)=是“限增函数”.对于③,f(x)=sin(x2),-1≤f(x)=sin(x2)≤1,故f(x+a)-f(x)≤2,当b≥2,a为任意正实数时,式子恒成立,∴f(x)=sin(x2)是“限增函数”.故选B.10. 4由函数f(x)的解析式知,函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,f(x)min=f(2)=1,若a>1,则不等式a≤f(x)≤b的解集为[x1,x2]∪[x3,x4],不合题意,所以a≤1,此时因为22-1=2,所以b≥2,令m2-3m+4=m,解得m=或m=4,取b=4,令22-x=4得x=0,所以a=0,所以b-a=4.11.(-∞,1]∪[2,+∞)由题意知f(x)=f(x+3).当x∈[-1,0)时,f(x)=x2+x=(x+)2-∈[-,0];当x∈[0,2)时,f(x)=-()|x-1|∈[-1,-],所以当x∈[-1,2)时,f(x)min=-1.故当x∈[-4,-1)时,x+3∈[-1,2),所以f(x+3)min=-1,此时f(x)min=×(-1)=-.由存在x∈[-4,-1),使得不等式t2-3t≥4f(x)成立,可得t2-3t≥4×(-),解得t≤1或t≥2.。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
2020高考数学刷题首选卷第二章函数、导数及其应用考点测试5函数的定义域和值域(文)(含解析)
考点测试5 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．－12，0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析 令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3] 答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析 由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析 当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案 －14，＋∞解析 当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞．12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________． 答案 [－1，1)解析 由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3，1]解析 若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．三、模拟小题19．(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．(2018·河南联考)已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．(2018·江西南昌三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0)D ．R 答案 B解析 函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．(2018·邵阳石齐中学月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．(2019·汕头模拟)函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________． 答案 [0，8]解析 当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．一、高考大题1．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．(2018·山东青岛月考)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]． 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．(2019·山西太原一中月考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数， 又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1．4．(2018·陕西渭南尚德中学一模)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3． (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)， 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示练习 新人教A版-新人教A版
第二章 第 1 节 函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书 课时冲关四 文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析
小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。
指数函数与对数函数的关系(反函数)
y
ｙ＝ｘ ｙ＝3ｘ－2
x 0
ｘ＋2 ｙ＝ 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
ｘ＋2 ｙ＝ 的图象之间有什么关系？ 3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换
3 求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
y Q(a,b) (0,1) O
y=2x y=x P(b,a) (1,0)
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x 2 （ 1 x 2） 求出f （4）的值。
1
解：令 x 1 4，解之得：x 5
2
又 x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
x (1)y=5
2 2y . 3
x
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数
2 y 3
x
,它的底数是
3
它的反函数是对数函数 y log2 x
2 3
,
练习 1.说出下列各组函数之间的关系: (1)y=10x和y=lgx； 互为反函数, (2)y=2x和y=log2x; 定义域和值域互换, 对应法则互逆 (3)y=ex和y=lnx.
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
y=ax
指数换对数
x=loga y
交换x,y
y=loga x
对应法则互逆
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第二讲 函数的图象与性质 第二讲 函数的图象与性质教案
第二讲函数的图象与性质[考情分析]1．函数的性质是本部分考查的热点，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题重点，多以选择、填空题形式出现；2.函数图象的识别是考查的热点，多与性质隐含结合命题，注意方法的选择与识别的技巧.1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：由题意，令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2＝0， f (3π4)＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i＝( ) A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，m i ＝1x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，m i ＝1x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.答案：B 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 解析：函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D函数及其表示[方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[题组突破]1．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是( ) A.109B.19 C ．－19D ．－109 解析：由题意可得：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A.答案：A2．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为( ) A ．[1,10]B ．[1,2)∩(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋9x ＋10≥0x －1>0x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln x －1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.答案：D3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2) 解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2ex －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B[误区警示]分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，求值时要注意判断自变量的取值，否则要分类讨论．函数图象及应用[典例] (1)函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：当x ＝0时，则y ＝ecos 0＝e ；当x ＝π时，则y ＝e cos π＝1e.可排除A ，B ，D ，选C.答案：C (2)函数f (x )＝ln(x －1x)的图象是( )解析：因为f (x )＝ln(x －1x )，所以x －1x ＝x ＋1x －1x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，选B. 答案：B(3)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )解析：因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A ，D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C.选B. 答案：B(4)已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.答案：B[类题通法]函数图象的识别与判断技巧方法1 特殊点法用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．如本例中(1)．方法2 性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．如本例中(2)．方法3 导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．如本例中(3)．方法4 图象变换法有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．如本例中(4)．[演练冲关]1．(2017·长沙模拟)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( ) 解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.答案：A2．(2017·惠州模拟)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.答案：D函数的性质及应用[方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．(2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x (a ＞0)，则f (x )为周期函数，且2a 是它的一个周期．[典例] (1)(2016·湖南六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：通解：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x <2或⎩⎪⎨⎪⎧ lg x <0－lg x <2，解得1≤x <100或1100<x <1， 所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100.优解：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100，故选C. 答案：C(2)(2017·安徽六安一中测试)已知函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域为[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：函数y ＝3－|x |3＋|x |＝63＋|x |－1，易知函数是偶函数，x >0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y ＝3－|x |3＋|x |的定义域可能为[－3,0]，[－3,1]，[－3,2]，[－3,3]，[－2，3]，[－1,3]，[0,3]，共7种，所以满足条件的整数对(a ，b )共有7个．故选B.答案：B[类题通法]1．数学思想转化在函数性质的应用，主要是已知偶函数时注意f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．2．求解函数性质的综合问题时注意数形结合思想化抽象为直观．3．注意特殊值、特殊点法在性质中的应用．[演练冲关]1．(2017·甘肃会宁一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，12) B ．(－1，12) C ．(－∞，－1] D ．(0，12) 解析：通解：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a x ＋3a ，x <1ln x ，x ≥1的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >01－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选A. 优解：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x 的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12 D.14 解析：由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln(1e ＋1)＋b ，∴b ＝12，∴log 2 12＝－1. 故选B.答案：B3．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f (52)<f (72) B ．f (72)<f (1)<f (52) C ．f (72)<f (52)<f (1) D ．f (52)<f (1)<f (72) 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)，故选B.答案：B新定义下的函数问题[方法结论]新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力．[题组突破]1．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(ⅰ)对任意的x∈[0,1]，恒有f(x)≥0；(ⅱ)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则下列3个函数中不是M函数的个数是( )①f(x)＝x2②f(x)＝x2＋1 ③f(x)＝2x－1A．0 B．1C．2 D．3解析：在[0,1]上，3个函数都满足f(x)≥0. 当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x21＋x22)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(x21＋1)＋(x22＋1)]＝2x1x2－1<0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(212＋－1)－(21x－1＋22x－x x1)＝21x22x－21x－22x＋1＝(21x－1)(22x－1)≥0，满足．故选B.答案：B2．(2017·哈尔滨四校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …fn 个 (x )]}，那么f 2 016(2)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，f 4(2)＝f (2)＝1，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.答案：C。
高中数学《对数与对数函数》练习题
高中数学《对数与对数函数》练习题A 组——基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设x ＝30.5，y ＝log 32，z ＝cos 2，则( ) A ．z ＜x ＜y B ．y ＜z ＜x C ．z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y解析：由指数函数y ＝3x 的图象和性质可知30.5＞1，由对数函数y ＝log 3x 的单调性可知log 32＜log 33＝1，又cos 2＜0，所以30.5＞1＞log 32＞0＞cos 2，故选C. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合． 答案：D4．函数y ＝⎩⎨⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( ) A ．(0,3) B ．[0,3] C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 答案：D5．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 答案：D9．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f (lg 13)＝( ) A.13 B ．－13 C ．5D ．8解析：∵f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4， ∴f (x )＋f (－x )＝8， ∵lg 13＝－lg 3，f (lg 3)＝3， ∴f (lg 3)＋f (lg 13)＝8， ∴f (lg 13)＝5. 答案：C10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．0B ．－3C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D.答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3216．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B 组——能力提升练1．(2018·甘肃诊断考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log25C.12D ．120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log25＝14×15＝120，故选D.答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数， ∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ，则下列大小关系正确的是( ) A ．[f (x )]2＜f (x 2)＜2f (x ) B ．f (x 2)＜[f (x )]2＜2f (x ) C ．2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2 D ．f (x 2)＜2f (x )＜[f (x )]2解析：当0＜x ＜1时，f (x )＝x ln x ＜0,2f (x )＝2x ln x ＜0，f (x 2)＝x 2ln x 2＜0，[f (x )]2＝(x ln x )2＞0.又2f (x )－f (x 2)＝2x ln x －x 2ln x 2＝2x ln x －2x 2ln x ＝2x (1－x )ln x ＜0，所以2f (x )＜f (x 2)＜[f (x )]2.故选C. 答案：C5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A.答案：A6．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[2，＋∞)解析：因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1，又2－a ＞0，所以1＜a ＜2. 答案：C7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为{lg x ≥0lg x ＜2或{lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1. ∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C 8．已知函数f (x )＝若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n <1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B ．34 C.710D ．32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C. 答案：C11．设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0与－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＝12⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012e 2 013＋f⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． ∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝{ log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，114．(2017·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 解析：由题意可知lna 1－a ＋ln b1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1415．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数， 由于f (x )＞1恒成立， 所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4， 故这样的a 不存在．∴1<a <83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83高中数学《函数的图像》练习题A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图象是选项D 中的图象．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()解析：直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x 的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()解析：函数f(x)＝(x－1x)cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝(π－1π)·cos π＝1π－π＜0，排除选项C，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y＝ln|x|－x2的图象大致为()解析：令f(x)＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln |x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x＞0时，y＝ln x－x2，则y′＝1x －2x，当x∈(0，22)时，y′＝1x－2x＞0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2－x2 2xB．f(x)＝cos x x2C．f(x)＝－cos2x xD．f(x)＝cos x x解析：A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x→0＋时，f(x)<0，与题图不符，故不成立．选D.答案：D6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D7．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.故选B.答案：B8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.答案：C9．已知函数f(x)＝|2x－m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是()A．[12，2]B．[2,4]C．(－∞，12]∪[4，＋∞)D．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图象如图3所示，由图象知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点， 故m 的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f(x)≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B组——能力提升练1．函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sin πx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．－6 B．－4C．－2 D．－1解析：依题意，注意到函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)均是奇函数，因此其图象均关于原点成中心对称，结合图象不难得知，它们的图象共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y＝1x与函数y＝－2sin πx(－3≤x≤3)的图象同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y＝1＋1x＋1＝x＋2x＋1、y＝－2sin π(x＋1)＋1＝2sin πx＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y＝x＋2x＋1的图象与函数y＝2sinπx＋1(－4≤x≤2)的图象所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B.答案：B2．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b 3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( ) A ．3c ＞3a B ．3c ＞3b C ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图象，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图象可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D.答案：D7．设函数若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图象与G (x )的图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m 2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎨⎧ 1x －1，x ≥01－x －1，x ＜0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。
2022数学第二章函数2
第二章函数2.1函数及其表示必备知识预案自诊知识梳理1.函数与映射的概念2。
函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.(2）函数的三要素：、和.(3)相等函数：如果两个函数的相同,并且完全一致，那么我们就称这两个函数相等.3。
函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数(1)定义:如果一个函数,在其定义域内，对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式，则称其为分段函数。
(2）分段函数的相关结论①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集。
1。
映射：(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数;(2）映射问题允许多对一，但不允许一对多。
2。
判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致。
考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。
（1)函数是其定义域到值域的映射.（）(2）函数y=f(x）的图象与直线x=1有两个交点.（）(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.(）(4)对于函数f:A→B,其值域是集合B.()（5）分段函数是由两个或几个函数组成的.（)+ln x的定义域是.2.(2020北京,11)函数f（x）=1x+13.已知f，g都是从A到A的映射（其中A={1,2，3}）,其对应关系如下表：则f（g（3）)等于()2022 2.1A.1 B。
2 C.3 D。
不存在4。
(2020辽宁大连模拟，文2)设函数f(x)={1-x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f1 f(2)的值为（）A.1516B。
—2716C.89D.185。
如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中是映射，是函数.关键能力学案突破考点函数及其有关的概念【例1】以下给出的同组函数中，表示相等函数的有.(只填序号)①f1(x）=xx,f2（x)=1；②f1(x)={1,x≤1,2,1<x<2,3,x≥2,f2(x）:③f1(x)=2x,f2(x)：如图所示。
初等函数练习题(全)
1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D ． 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A ．3．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D y ＝|f (x )|的图象如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．[两年模拟]1．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．109 B ．19 C ．－19D ．－109解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.故选A ． 2．(2017·江西调研)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg (3x ＋1)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－13，1 C ．⎝⎛⎭⎫－13，13 D ．[0,1)解析：选D要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧lg (3x ＋1)≥0，3x ＋1>0，1－x >0，即0≤x <1，故函数的定义域为[0,1)，故选D ．[备考指导]一、必备知识分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．二、必会方法分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)判断奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[典例] (2016·沈阳质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析] f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x >1，故x 的取值范围是[0，＋∞)．[答案] D三、必明易错求函数的定义域，关键是使含自变量x 的代数式有意义，从而列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同.函数的图象及应用[三年高考]1．(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A 、B ． 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D ． 2．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B ．3．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )解析：选B 由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B ．[两年模拟]1．(2016·宜昌模拟)当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D ．2．(2017·合肥模拟)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－12，0 解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x <x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2<32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立，∴1≤g (x )<32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，则实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选C ．[备考指导]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．[典例] 如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )[解析] 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α. 在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(t －1)2－1.又0≤t ≤1，故选B ．[答案] B函数的性质及应用[三年高考]1．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选C 设(x ，y )为y ＝f (x )图象上任意一点， 则(－y ，－x )在y ＝2x ＋a 的图象上， 所以有－x ＝2－y ＋a ，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)， 所以y ＝a －log 2(－x )， 即f (x )＝a －log 2(－x )，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1，解得a ＝2.故选C ． 2．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以当x >0时，f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －13．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.答案：3[两年模拟]1．(2017·湖南东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (2)，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1100，1B ．⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫1100，100D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：选C 法一：不等式可化为⎩⎨⎧lg x ≥0，lg x <2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x <0，－lg x <2.解得1≤x <100或1100<x <1，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1100，100 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100.故选C ．2．(2016·开封模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，对于函数y ＝f (x )，给出以下几个结论：①y ＝f (x )是周期函数；②x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③(－π，0)是y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④当x ＝π2时，y ＝f (x )一定取得最大值．其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．①③④D ．②④解析：选A ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，又f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，则f (x )＝f (π－x )，－f (－x )＝f (π－x )，∴f (π＋x )＝－f (x )，故f (2π＋x )＝－f (π＋x )＝f (x )，故y ＝f (x )是周期函数，①正确；f (2π＋x )＝f (x )＝－f (－x )，∴f (2π＋x )＋f (－x )＝0，则(－π，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心，故③正确，从而②错误；x＝π2是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，但当x＝π2时，f(x)不一定取得最大值，故④错误．[备考指导]一、必备知识1．函数的单调性(1)单调函数的等价变形，设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么①f(x1)－f(x2)x1－x2>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；②f(x1)－f(x2)x1－x2<0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2．判断复合函数单调性的常用结论(1)当f(x)，g(x)同时为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．(2)设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于0时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于0时，f(x)·g(x)是减(增)函数．3．函数奇偶性的重要结论(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.[特别提醒]f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．4．函数周期性的常用的结论(1)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(2)若满足f(x＋a)＝1f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(3)若函数满足f(x＋a)＝－1f(x)，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0)．二、必会方法1．求函数最值的5个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． [例1] 已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，则a 的值为( )A ．－2B ．12C ．103D ．－2或103[思路分析] 本题中的函数是关于sin x 的二次函数，令t ＝sin x ，就将问题转化为二次函数的最值问题．[解析] 令t ＝sin x ，则y ＝f (t )＝－t 2＋at －a 4＋12，t ∈[－1,1]．所以f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，函数图象的对称轴为t ＝a 2. ①当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝14(a 2－a ＋2)＝2，解得a ＝－2或a ＝3(舍去)．②当a 2>1，即a >2时，函数f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增， 故y max ＝f (1)＝－1＋a －14a ＋12＝2，解得a ＝103.③当a2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋ 14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减， 故y max ＝f (－1)＝－1－a －14a ＋12＝2，解得a ＝－2(舍去)．综上可得，a ＝－2或a ＝103，故选D ．[答案] D2．判断函数奇偶性的3个常用方法 (1)定义法若定义域关于原点对称，则有偶函数⇔f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0；奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0.若定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数．(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数[例2]下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x[解析]因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝⎝⎛⎭⎫12 x，是非奇非偶函数．[答案] B三、必明易错1．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．2．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．性质型新定义函数问题性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景．(1)函数单调性的命题经常把单调性的定义式进行等价变形；(2)奇偶性与对称性的命题常涉及两个方面，一是函数图象自身的对称性，二是两个函数图象之间的对称性；(3)最值问题的命题通常以函数最值求解为背景，多与不等式恒成立、不等式有解等问题相联系．[典例] 如果定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1； ②y ＝3x －2(sin x －cos x )； ③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的是________．(填上所有正确的序号)[解析] 若函数f (x )为“H 函数”，则有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，x 1[f (x 1)－f (x 2)]>x 2[f (x 1)－f (x 2)]，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.所以“H 函数”f (x )就是R 上的单调递增函数． ①y ′＝－3x 2＋1，由y ′>0，解得－33<x <33，所以该函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，而在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递减，显然在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．②y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1,1]，所以y ′＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥3－22>0，故该函数在R 上是单调递增函数，即“H 函数”． ③因为函数y ＝e x 在R 上是单调递增函数，所以y ＝e x ＋1在R 上也是单调递增函数，即“H 函数”．④由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln (－x )，x <0，0，x ＝0.故该函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以在R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”．综上，填②③.[答案]②③[规律方法]该题以函数的单调性问题作为背景，显然“H函数”的特征——“x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)”的实质就是函数单调性定义式的一个变形，所以解决此类问题的关键是灵活转化条件，将其转化为常见的、熟悉的数学式子，这样就可以借助学习过的数学知识来解决．如(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0与f(x1)－f(x2)x1－x2>0是等价的，而f(x1)－f(x2)x1－x2>k(x1>x2)类的式子则需转化为f(x1)－kx1>f(x2)－kx2，进而转化为函数y＝f(x)－kx的单调性来解．[变式训练](2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3解析：选A若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则存在x1＝2kπ(k∈Z)，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝1x ，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x＞0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1，显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A．[A组——“12＋4”限时提速练]一、选择题1．函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0,2)B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D ．3．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象；因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，选B ．4．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立．设a ＝f (－4)，b ＝f (1)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <b <a解析：选B 由函数单调性的定义式知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (x )是偶函数，所以a ＝f (－4)＝f (4)，因为1<3<4，所以f (1)<f (3)<f (4)，即f (1)<f (3)<f (－4)，所以b <c <A ．故选B ．5．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D ．6．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )解析：选D 由题设条件，当x ≥1时，f (x )＝2log 2x －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x ；当0<x <1时，f (x )＝2－log 2x －⎝⎛⎭⎫1x －x ＝1x －⎝⎛⎭⎫1x －x ＝x .故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x ，0<x <1，其图象如图所示．故选D ．7．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D 选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数； 选项D 中，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故y ＝2－x 在(－1,1)上是减函数． 8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(0,1) D．(－∞，＋∞)解析：选A x≤0时，f(x)＝2－x－1，0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.故x>0时，f(x)是周期函数，如图所示．若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．10．(2017·江西师大附中模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)<f(3)的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2)C．(－1,2) D．(2，＋∞)解析：选C 易知f (－x )＝f (x )，故函数f (x )是偶函数，由复合函数单调性知函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2x －1)<f (3)⇒f (|2x －1|)<f (3)，从而|2x －1|<3，解得－1<x <2，故选C ．11．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是()解析：选D ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． 12．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(xm ，ym )，则∑i ＝1mxi ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mxi ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mxi ＝2×m －12＋1＝m .故选B ． 二、填空题13．函数f (x )＝lg x 2的单调减区间是________． 解析：函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数．f (x )＝lgx 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x >0，2lg (－x )，x <0，可得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)14．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，周期为2， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－2 15．已知函数f (x )＝22x＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________. 解析：因为f (x )＝22x ＋1＋sin x ，所以f (－x )＝22－x ＋1－sin x ＝2·2x 2x ＋1－sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2.则f (2)＋f (－2)＝2，f (1)＋f (－1)＝2.而f (0)＝220＋1＋sin 0＝1，所以f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.答案：516．(2017·武汉调研)定义函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，已知f (x )＝log 2x ，x ∈[1,22 016]，则函数f (x )＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为________．解析：根据定义，函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，令x 1x 2＝1·22 016＝22 016，当x 1∈[1,22 016]时，选定x 2＝22 016x 1∈[1,22 016]，可得M ＝12log 2(x 1x 2)＝1 008.答案：1 008[B 组——重点难点补偿练]1．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：选B 因为f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x >0，解得－1<x <0或x >1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A 、D ．因为函数u ＝x －1x 在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，选B ．2．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．(2016·重庆模拟)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0B ．13C ．23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C ．4．对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，log 12⎝⎛⎭⎫12－x ，x <0的上确界是( ) A ．0 B ．12C ．1D ．2解析：选C ∵f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1，∴n ≥1，∴G ＝1.故选C ．5．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1， ∴f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 16．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32小题命题区间(三)⎪⎪基本初等函数、函数与方程。
lg定义域
lg定义域
lgx的定义域为{x丨x>0}。
lgx为对数函数，底数为10，所问以log10N记为lgN。
根据对数函数的概念可知，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即内x>0。
因此其定义域为{x丨x＞0}。
定义域（domainofdefinition）是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。
求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。
含义是指自变量x的取值范围。
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
函数的连续性：
在数学中，连续是函数的一种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
设f是一个从实数集的子集射到的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：
f在点c上有定义。
c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。
我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。
更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
高考文数考点解析考点4 函数及其表示
考点4 函数及其表示
一、填空题
1.(2016·全国卷Ⅱ文科·T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x
B.y=lgx C .y=2x
D.y=
【解题指南】对数lgx 中x 为正数,函数y=10lgx 不是最简形式,需化简,化简后再比较.
【解析】选D.y=10lgx =x ,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R;函数y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为R;函数y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);函数
y=
的定义域与值域
均为(0,+∞).
2.(2016·浙江高考文科·T12)设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )-f (a )=(x-b )(x-a )2,x ∈R,则实数a= ,b= .
【解题指南】两边式子各自展开各个项的系数相等.
【解析】f (x )-f (a )=x 3+3x 2+1-a 3-3a 2-1 =x 3+3x 2-a 3-3a 2
, (x-b )(x-a )2=x 3-(2a+b )x 2+(a 2+2ab )x-a 2
b , 所以22322a b 3,a 2ab 0,a b a 3a ,⎧--=⎪+=⎨⎪-=--⎩
解得a 2,b 1.⎧=-⎨=⎩ 答案:-2 1
3.(2016·江苏高考T5)函数
y=错误！未找到引用源。
的定义域是 .
【解题指南】令3-2x-x 2≥0,解不等式即可.
【解析】由3-2x-x 2≥0得x 2+2x-3≤0,即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x ≤1.
答案:[-3,1]。
lgx的定义域和值域
lgx的定义域和值域LGX是一个数学术语，通常用来表示一个函数的定义域和值域。
在数学中，函数是一种将一个变量映射到另一个变量的关系。
这个关系可以用一个公式、图形或表格来表示。
函数的定义域是所有输入变量可能取值的集合，也就是该函数能够接受的所有输入值的范围。
函数的值域是所有输出变量可能取值的集合，也就是该函数可能输出的所有值的范围。
LGX的定义域和值域通常用数学符号来表示。
定义域通常用大写字母D表示，而值域则通常用大写字母R表示。
例如，如果有一个函数f(x) = x，那么它的定义域是所有实数集合，即D = {x | x ∈ R}，而它的值域是所有非负实数集合，即R = {y | y ≥ 0}。
LGX的定义域和值域对于理解函数的性质和行为非常重要。
例如，如果一个函数的定义域只包括正实数，那么我们可以推断出该函数不会接受负数或零作为输入。
同样地，如果一个函数的值域只包括正实数，那么我们可以推断出该函数不会输出负数或零。
LGX的定义域和值域也可以用来解决一些数学问题。
例如，如果我们想要找到一个函数的最大值或最小值，我们可以通过分析该函数的值域来解决问题。
同样地，如果我们想要找到一个函数的反函数，我们可以通过分析该函数的定义域和值域来解决问题。
LGX的定义域和值域也可以用来描述一些实际问题。
例如，如果我们想要描述一个物体的运动，我们可以将时间作为输入变量，将位置或速度作为输出变量。
在这种情况下，时间的取值范围就是该函数的定义域，而位置或速度的取值范围就是该函数的值域。
总之，LGX的定义域和值域是数学中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解函数的性质和行为，解决数学问题，描述实际问题。
因此，在学习数学时，我们应该注重理解和掌握这些概念。
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(1) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是
（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D
）y = (2) 函数π()cos 26cos(
)2f x x x =+-的最大值为 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7
(3) 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），
(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=m
i
i x =∑ (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m
（4）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13
C =，a =1，则b =____________.
（5）已知A 是椭圆E ：22
143
x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.
（I ）当AM AN =时，求AMN V 的面积
(II)当2AM AN =
2k <<.
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
(1) D (2)B (3) B (4) 21
13 (5)【答案】（Ⅰ）14449；
（Ⅱ）)
2. 试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .
试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
π，
又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22
143
x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22
143
x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.
由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k
-=+，故12||2|34AM x k =+=+.
由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k
=-+，故同理可得||AN =. 由2||||AM AN =得
2223443k k k =++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，
所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，
因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<.。