浅谈_两边夹不等式_
浅谈不等式的证明方法
1作差比较法2作商比较法3换元法换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略。
三角代换是4放缩法放缩法：即缩小或放宽不等式的范围的方法，常用在多项式中"舍掉一些正（负）项"，使不等式之和变小（大），或"在分式中放大（缩小）分式的分子或分母"，"在乘积中用较大（较小）的因式"等效法，来证明不等式.放缩法：欲证A>B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B<B 1，B 1≤B 2，…B i ≤A ，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。
浅谈不等式的证明方法■文/郭东旭吉林省扶余县第一中学数学组摘要：不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。
关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法作差比较法：比较两个实数大小的关键是，判断差的正负，常采用配方法、因式分解法、有理化等方法。
常用的结论有2200x x ³-£³£，，|x|0，-|x|0等。
“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.例1.若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1¹a ）。
不等式知识点总结（精选5篇）
不等式知识点总结（精选5篇）不等式知识点总结篇11、不等式及其解集用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等式。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式解的集合，简称解集。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
2、不等式的性质不等式有以下性质：不等式的性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
3、实际问题与一元一次不等式解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa)的形式。
4、一元一次不等式组把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。
解不等式就是求它的解集。
对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。
解一元一次不等式组时。
一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
不等式知识点总结篇2不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
不等式的解题方法与技巧初二
不等式的解题方法与技巧引言不等式是数学中常见的一个概念，它描述了两个数之间的大小关系。
解不等式的过程可以帮助我们研究数的范围和取值情况，对于解决实际问题和证明数学定理都有很大的帮助。
本文将介绍不等式的解题方法与技巧，帮助初二学生更好地理解和掌握这一知识点。
下界与上界在讨论不等式的解法之前，我们先来了解一些基本概念。
下界：对于一个不等式，如果存在一个数，使得所有满足不等式的数都大于等于它，这个数称为不等式的下界。
上界：对于一个不等式，如果存在一个数，使得所有满足不等式的数都小于等于它，这个数称为不等式的上界。
有了下界和上界的概念，我们可以更好地理解不等式的解集。
不等式的解集表示方法不等式的解集可以通过不等号的方向以及不等式的范围来表示。
常见的表示方法有：1.图形表示法：可以将不等式的解集表示在数轴上的一个区间上，其中满足不等式的数位于区间内。
例如，不等式x>2的解集可以用2为起点的右开区间(2,+∞)表示。
2.集合表示法：可以将不等式的解集表示为一个集合。
例如，不等式x>2的解集可以用集合表示为$ { x | x > 2 }$。
3.数轴表示法：可以将不等式的解集表示在数轴上的区域上，其中满足不等式的数被标记出来。
例如，不等式x>2的解集可以用数轴上大于2的部分表示。
不等式的加减变形解不等式的第一步是通常是进行加减变形，将不等式变为更简单的形式以方便求解。
下面是常见的加减变形方法：1.加减同一个数：对于不等式x<a，如果我们在两边同时加上一个相同的正数b，则不等式的解集不变，即x<a等价于x+b<a+b。
2.乘除同一个正数：对于不等式x<a，如果我们在两边同时乘以一个相同的正数b，则不等式的解集不变，即x<a等价于bx<ab。
3.乘除同一个负数：对于不等式x<a，如果我们在两边同时乘以一个相同的负数b，则不等式的不等号方向发生改变，即x<a等价于bx>ab。
浅谈不等式证明题的常用方法与技巧
课程篇”肉谈不等式证朗题的常用方出与技巧李阳刚(贵卅省长顺县民族高级中学，贵州长顺)摘要：一般来说，不等关系以及相等关系是数学中最为基本的数量关系。
不等式的内容在高中数学的教学内容中占据着重要的比重，它是高中数学非常重要的知识点，在日常生活、学习中不等式的证明方法以及相关的应用都会得到相应的体现。
在高中不等式的教学过程中，不等式的证明方法是丰富多样的。
主要介绍了一些能够有效证明常见不等式的解题思路和技巧，希望对学生解决不等式问题有一些帮助。
关键词：不等式证明；方法与技巧；教学策略不等关系是在客观世界中广泛存在的一种基本关系，其中，：各种类型的不等式在现代数学的各个领域中都应用得较为广泛。
］不等式.即利用不等号或者是“#”)来表示不等式关系的1式子。
在高中数学不等式的证明过程中，其证明方法都有相对应:的技巧和模式，利用绝对值来求解不等式、结合分段讨论的方法:求解不等式法、综合法、放缩法、比较法、换元法等都是证明和求：解不等式的简便方法。
因此，在数学的学习过程中,教师要引导学;生结合不等式题型的特点，合理地选用不等式证明方法和技巧，1通过简便的途径来有效地解决问题，提高解题效率。
以下我们就:来实际列举一些不等式证明的常见方法与技巧。
一、利用绝对值解不等式在高中数学的不等式解题过程中，处理绝对值样式的不等式的解题思路在于将绝对值不等式转化为非绝对值的不等式。
绝对:值本质上表示数轴上的点位于原点之间的距离，所以教师只有帮1助学生清晰地认知绝对值的含义，才能够帮助学生在理解的基础1上，透彻地掌握绝对值解不等式的解题思路，有效地证明不等式。
1例如，在证明“不等式|乂-3|-|乂+5卜2成立”的过程中，|x-3|:可以表示为数轴上的点到3的距离，那么相应的b+5|就表示为数轴上的点到点-5之间的距离。
那么，不等式b-3|-h+5卜2的■解则会体现在数轴中.所以，教师就可以引导学生：数轴上的点距［离3的长度与点到-5的长度之差能够大于2的所有点都满足这［个不等式的解，则有了以下证明。
两边夹定理公式
两边夹定理公式在数学中，有很多重要的定理和公式可以帮助我们解决问题，其中一个被广泛应用的定理是"两边夹定理"。
这个定理在不同的数学领域中都有应用，包括代数、几何和计算等。
在本文中，我们将介绍和探讨这个定理，并给出一些具体的例子。
对于两边夹定理，我们首先需要明确它的定义。
两边夹定理也被称为夹逼定理或夹逼准则，它的表述方式可能有所不同，但其核心思想是相似的。
简而言之，两边夹定理的基本原理是：如果两个函数在某一区间内夹住另一个函数，并且这两个函数的极限相同，那么这个被夹住的函数的极限也将等于这个相同的值。
为了更好地理解两边夹定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 在 x = 0 的极限。
我们知道，当 x 的值无限接近于 0 时，f(x) 也会无限接近于 0。
那么，我们可以将 f(x) 与另外两个函数进行比较，例如 g(x) = -x^2 和 h(x) = x^2/2。
显然，在 x = 0 的附近，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
同时，我们可以计算出 g(x) 和 h(x) 的极限，分别是 0 和 0。
根据两边夹定理，我们可以得出结论，f(x) 在 x = 0 的极限也等于 0。
两边夹定理不仅在函数极限的求解中有应用，它还可以帮助我们解决其他类型的问题，例如数列极限和不等式证明。
在数列极限中，我们可以利用两边夹定理来证明某个数列的极限存在，并求出其具体值。
在不等式证明中，我们可以使用两边夹定理来构造夹逼不等式，从而解决一些复杂的不等式问题。
这些应用都充分展示了两边夹定理在数学中的重要性和实用性。
此外，两边夹定理也具有一定的推广性。
我们可以将其推广到多个函数的比较中，仅需满足夹住函数的数量有限。
这样，我们可以通过比较和分析这些函数的极限来推导出求解问题的方法。
这种推广形式可应用于求解更为复杂的数学问题，如函数序列的极限等。
总结起来，两边夹定理是数学中一个重要且有广泛应用的定理。
两边夹定理放大缩小技巧
两边夹定理放大缩小技巧两边夹定理是数学中常用的一种放大缩小技巧，用于证明或推导不等式。
它基于一个基本的观察：如果已知不等式a ≤ b ≤ c成立，那么对于任何满足条件的实数x，都有a + x ≤ b + x ≤ c + x成立。
这个观察告诉我们在一些不等式的研究中，我们可以通过在两边同时加上或减去同一个量来放大或缩小不等式的范围。
通过两边夹定理，我们可以推导和证明各种不等式，包括常见的代数不等式、几何不等式和函数不等式等。
在代数不等式的研究中，两边夹定理是非常有用的。
例如，我们可以通过两边夹定理来证明二次函数的取值范围。
假设f(x) = ax^2 + bx + c是一个二次函数，我们可以找到f(x)的最小值和最大值。
首先，我们需要找到函数的顶点。
顶点的横坐标x = -b/(2a)，代入函数得到纵坐标f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c = c - b^2/(4a)。
由于平方项的系数a是正数，所以a(-b/(2a))^2 ≥ 0，即c -b^2/(4a) ≤ f(x)。
这意味着f(x)的最小值是c - b^2/(4a)。
同样地，我们可以证明f(x)的最大值是c - b^2/(4a)。
为了证明这一点，我们可以观察到f(x) = a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)。
由于平方项的系数a是正数，所以a(x + b/(2a))^2 ≥ 0，即f(x)≤ c - b^2/(4a)。
因此f(x)的最大值也是c - b^2/(4a)。
这个例子展示了两边夹定理在代数不等式中的应用。
我们可以通过找到一个较小值和较大值，将不等式夹在中间。
除了代数不等式，两边夹定理也可以应用于几何不等式。
例如，在三角形中，我们可以使用两边夹定理来证明三角不等式。
三角不等式指出对于任意三角形，任意两边之和大于第三边。
假设我们有一个三角形ABC，其中AB ≤ AC ≤ BC。
两边夹定理放大缩小技巧
两边夹定理放大缩小技巧两边夹定理是一个在数学中被广泛使用的技巧，用于证明某些数学命题和不等式。
该技巧主要基于一条核心思想，即通过寻找某个中间数，使得左右两边的大小关系可以被直接比较，从而推导出不等式的正确性。
在数学中，两边夹定理的应用范围非常广泛，包括代数、几何和概率等多个领域。
一、两边夹定理的应用1、应用于数列和级数的证明数列和级数是两个数学中非常重要的概念，其中数列是由一组有序数构成的序列，而级数是对无穷多个数求和的过程。
两边夹定理可以应用于数列和级数的证明，帮助我们推导出它们的性质和规律。
例如，在数列证明中，我们经常需要证明一个数列的单调性质。
我们可以采用两边夹定理，将数列的下一个数和上一个数与该数列的中间项进行比较，从而得出它们的大小关系。
如果可以证明数列的任意两个相邻项都满足该不等式，那么该数列就是单调的。
2、应用于三角函数和指数函数的证明三角函数和指数函数是数学中的两个重要函数，它们的性质和规律对于数学和其他科学领域的研究具有重要作用。
两边夹定理可以应用于证明这些函数的性质和规律，帮助解决一些已知问题和推导一些新的结论。
例如，在证明三角函数的性质时，我们可以将不等式两边都夹上一个 sin 或 cos 函数，然后利用三角函数的性质来化简不等式。
通过不断重复这个步骤，我们最终可以得到一个可以解决的不等式或结论。
3、应用于图形的证明图形证明是几何中的重要方法，主要是通过对图形的特点和性质进行分析和推导，从而证明一些几何命题。
两边夹定理可以应用于图形证明中，帮助解决一些比较困难的问题。
例如，在证明三角形的角平分线定理时，我们可以将其中一个角平分线的两边都夹上一个角度之和，然后利用三角形内角和的性质来化简不等式。
通过一系列的推导和变形，我们最终可以得到角平分线定理的正确性。
二、两边夹定理的放大缩小技巧在应用两边夹定理时，我们需要注意一些放大缩小技巧，以确保我们得到的不等式或结论是正确的。
下面是一些常用的放大缩小技巧：1、乘除法在不等式两边乘除以一个正数时，该不等式的方向保持不变，但是不等式的大小会发生变化。
两边夹准则求极限例题
两边夹准则求极限例题极限是数学中重要的概念，它便可以用来表示函数中变化的方式。
极限的概念，即“两边夹准则”，是在无限中接近于同一值的有限的数学过程。
极限可以用来推断函数在特定点的行为，并可以用来求解不可积分的方程。
一、极限的概念极限是指一个变量接近某一值时，该变量所取得的极大值或者极小值。
极限可以理解为当函数值接近某一值时，函数值取值会收敛到某一常数上，收敛到这个常数就是极限。
极限的概念可以用表达式“当x趋近某一值时，f(x)趋近于常数L”来描述，其中x为函数自变量，f(x)为函数的值，L为一常数。
以函数y=2x+3为例，当x趋近于1时，函数值y一定会趋近于5，即极限为5。
二、两边夹准则函数的极限的定义即“两边夹准则”，也叫做“夹紧定理”。
它指出：若对x趋近于某一数值a时，使函数f(x)取得极大值和极小值，则有函数f(x)收敛于某一常数L。
例如，考虑函数f(x)=x2-2x，若极限lim x→2 f(x)存在，则应该有以下两个性质：1)x<2时，函数值f(x)小于极限L；2)x>2时，函数值f(x)大于极限L。
因此，可以利用两边夹准则来求解极限：若x趋近a时，函数值f(x)既大于极限L，又小于极限L，则说明函数收敛于L。
三、实例计算以下为一个利用两边夹准则求极限的实例：即求极限lim x→0 sinx/x。
由于0是一个特殊点，所以首先要考虑x=0时函数的行为，根据解析函数定义可以知道，当x=0时，函数值sinx/x=1。
再考虑当x<0时，函数值的极大值和极小值，显然此时极大值为-1，极小值为1；而当x>0时，极大值为1，极小值为-1。
结合上述考虑，可以知道当x趋近于0时，函数值sinx/x的取值范围在-1到1之间，最后收敛为1。
因此lim x→0 sinx/x=1。
四、极限的应用极限可以用来推断函数在特定点的行为。
例如，当x趋近于某个点a时，可以通过求解lim x→a f(x)来推断函数f(x)在点a处的行为，也可用来求解不可积分的方程。
浅谈_两边夹不等式_
数 ) . 事实上数列 { an } 各项的分子和分母的比即为 裴波拉契数列的前项与后项之比.
至于该不等式在解决其他问题时有何应用 , 还
有待于进一步探讨.
在教学过程中 ,对于一些不起眼的“小问题 ”,教
师若能认真分析 ,用教师的探究视角 ,激起学生的探
究活动 ,那么学生的探究热情一定会很高涨 ,其教学
2006年第 9期 数 学 教 学 研 究
19
出大小介于它们之间的一些数吗 ?
1 …4 …3 …5 …2 …5 …3 …4 …1 3 11 8 13 5 12 7 9 2 依据两边夹不等式可以得到上述表格中的各个 分数 ,而且这些分数从左到右依次增大 , 照此下去 , 可以无限地写下去. 你知道上述表格中的各个分数 是如何得到的吗 ?这不是很有趣吗 ?
?
推广 2 (一般性推广 ) 若正数 a、b、c、d及非零
实数
λ 1
、λ2
满足
a b
<
c ,则 a db
<
λ 1
λ 1
a b
+λ2 c +λ2 d
<
c. d
证明 ∵ a b
=
λ 1
λ 1
a , b
c d
=
λ 2
λ 2
c , d
及
a b
<
c, d
∴由两边夹不等式得 a b
<
λ 1
λ 1
a b
+λ2 c +λ2 d
=
1 +λ b +λd
<
c. d
λ
(其中 λ
=
2
λ
1
> 0)
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
【趣味数学】高中数学校本课程：第8课时 不等式性质应用趣题―“两边夹不等式”的推广及趣例
第8课时 不等式性质应用趣题―“两边夹不等式”的推广及趣例教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用教学过程：一、情境引入 大家都熟知等比定理：若d c b a =，则d c d b c a b a =++=。
若将条件中的等式改为不等式，如dc b a <，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知d c b a ,,,都是正数，且ad bc >，则dc d b c a b a <++<(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。
下面为了说明问题的方便，称不等式dc d b c a b a <++<为两边夹不等式。
当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．二、“两边夹不等式”理解推广1、两边夹不等式的两种理解解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A 、B ，已知溶液A 的浓度为ba ，溶液B 的浓度dc ，现将两种溶液混合成溶液C ，此时溶液浓度为d b c a ++，由日常生活经验知道有dc d b c a b a <++<。
（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设),(a b A O = ，),(c d B O = 则直线OA 、OB 斜率分别是b a ，dc (如图1)，则),(c ad b B O A O ++=+ ，它表示图中的C O ,显然直线OC 的斜率介于OA 、OB 的斜率之间，即dc d b c a b a <++<。
进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如)2,2(2c a d b B O A O D O ++=+= 得到不等式dc d b c a b a <++<22，仿此还可到几个不等式链：（1）dc nd b nc a d b c a d b c a d b c a b a <⋅⋅⋅<++<⋅⋅⋅<++<++<++<3322 （2）dc d nb c na d b c a d b c a d b c a b a <⋅⋅⋅<++<⋅⋅⋅<++<++<++<3322 （3）dc nd mb nc ma b a <⋅⋅⋅<++<（其中*∈N n m ,） 2．两边夹不等式的一个简单应用练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知mb a ,,都是正数，且b a <，求证：mb m a b a ++<。
两边夹定理
两边夹定理夹逼定理：又称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。
英文原名Squeeze Theorem，也称夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
夹逼定理应用1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。
若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
1、如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞则，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn =a。
证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N 时，∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，又因为a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。
也就是说limXn=a2、两边同趋向取极限结果等于A由夹逼准则可知，中间的极限值也为A如果两边极限值不相等，一个A，另外一个B这是夹逼定理么？极限值有且只有一个（唯一性）因此两边极限值相等都是A导致中间极限值只能是A高中数学的二项式定理是多项式乘法的特例，是同学们在初中所学过的多项式乘法的延伸。
例谈“两边夹定理”的应用
例谈“两边夹定理”的应用一证明,,(0)2O AOB x x π∠=<<设单位圆圆心角.ADO ∆作单位圆的切线，得,OAB x 扇形的圆心角为,OAB BC ∆的高为sin ,,tan ,x BC x AB x AD ===于是有弧△AOB 的面积＜圆扇形AOB 的面积＜△AOD 的面积 即12sin x <12x 12tan x <，sin cos 1xx x<< 0sin lim 1x xx+→= 二2008年全国联赛11题设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =令()()2x g x f x =-，则 2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+三2008年江苏省高考题．设函数13)(3+-=x ax x f （R x ∈）若对于任意]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 。
由于此题中含有参数a ，我们直接研究)(x f 单调性较为困难，可以先缩小a 的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⇒≥≥≥-420)0(0)1(0)1(a f f f ，从而0≠x 时，即为3213x x a -≥恒成立，可以求出]1,1[-∈x 时，3213x x -的最大值为4，此时21=x ，∴4≥a ，从而a 只能等于4。
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B 的浓度为 c ,且 a < c . 现将两种溶液混合成溶 dbd
液 C,此时溶液浓度为 a + c. 由日常生活经验知道有 b +d
a < a +c < c. b b +d d
3 两个有意义的推广
推广 1 (等比定理的推广 ) 已知 ai、bi ∈ R+ ( i = 1, 2, …, n) ,
= b a2 + b2 - c2 + c c2 + a2 - b2 = a,
2ab
2ca
即 a = bcosC + ccosB.
同理 b = ccosA + acosC, c = acosB + bcosA.
射影定理证毕.
6 用射影定理证明正弦定理
在 △AB C 中 , a = bcosC + ccosB , c = acosB +
bco sA , 则
a = bcosC + ccosB = bcos (π - A - B ) + ( acosB + bcosA ) cosB = bsinA sinB - bcosA cosB + acos2B + bcosA cosB = bsinA sinB + acos2B , ∴a ( 1 - cos2B ) = bsinA sinB , 即 a sin2B = bsinA sinB. ∵sinB ≠0, ∴a sinB = bsinA,
效果也将十分显著.
抓住主线 整体教学
曾 荣
(江苏省南通市小海中学 226015)
《数学课程标准 》要求数学教学要突出数学本 质 ,避免过分形式化 , 即在数学教学中应该“反璞归 真 ”,努力揭示数学的本质. 传统的“复旧 、讲新 、练 习 、作业 ”的教学结构模式 ,形式单一 , 只重知识的传 递 ,忽视了学生的心理过程是一个统一的整体 , 忽视 了知 、情 、意 、行的相互关联和相互渗透. 在实际教学 中 , 笔者常先采用整体教学法 , 注重知识的“再发 现 ”,帮助学生构建“知识树 ”,理清知识主线 ,再循序 渐进地进行教学. 下面从整体教学的意义 、具体操作 方法和注意事项三方面进行阐述. 1 整体教学的意义 1. 1 整体教学有利于培养学生的数学思维能力
2006年第 9期 数 学 教 学 研 究
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出大小介于它们之间的一些数吗 ?
1 …4 …3 …5 …2 …5 …3 …4 …1 3 11 8 13 5 12 7 9 2 依据两边夹不等式可以得到上述表格中的各个 分数 ,而且这些分数从左到右依次增大 , 照此下去 , 可以无限地写下去. 你知道上述表格中的各个分数 是如何得到的吗 ?这不是很有趣吗 ?
时 ,将此题抛给了学生 ,收到了意想不到的效果.
下面为了说明问题的方便 ,称不等式 a < a + c b b +d
< c 为两边夹不等式. d 当然这个不等式的证明是简单的 , 而探讨这个
不等式却别有一番风味. 对该不等式的探讨是从它 的一个简单应用开始的. 1 两边夹不等式的简单应用
利用此不等式 , 可以轻松地证明下面这个经典
数 ) . 事实上数列 { an } 各项的分子和分母的比即为 裴波拉契数列的前项与后项之比.
至于该不等式在解决其他问题时有何应用 , 还
有待于进一步探讨.
在教学过程中 ,对于一些不起眼的“小问题 ”,教
师若能认真分析 ,用教师的探究视角 ,激起学生的探
究活动 ,那么学生的探究热情一定会很高涨 ,其教学
不等式 :已知 a、b、m 都是正数 ,且 a < b,求证 : a < b
a + m. b +m
分析 ∵a < b, ∴ a < 1 = m .
b
m
由两边夹不等式立即得 a < a + m. b b +m
2 两边夹不等式的一个实际意义理解
有同种溶液 A、B ,已知溶液 A 的浓度为 a , 溶液 b
1 2
,
1).
再在区间
B 1内利用两边夹不
等式得到第二个数
a2
=
2 3
,此时
a2 又将区间
B1 分
成两个区间 A2
=(
1, 2
2 3
) 、B 2
=(
2 3
,
1)
, 在区间
A2
中利用两边夹不等式得到第三个数 a3
=
3 ,依此类 5
推可以得到数列
{
an
}
,
则
lim
n→+∞
an
=
5 - 1 (黄金分割 2
若 a1 b1
< a2 b2
< … < an , 则 a1
bn
b1
n
<
ρ
i=
1
ai
n
ρ
i=
1
bi
<
an . bn
证明 利用两边夹不等式可以很容易得到证
明 ,这里从略. 由于分数的分子分母同乘以一个非零实数 , 分
数的值不变 ,那么将 a 与 c 的分子分母各乘以非零 bd
实数
λ 1
、λ2
, 又有什么结论呢
=
1 4 c2
[
4a2
c2
-
c4
-
a4
-
b4
-
2a2 c2
+ 2a2 b2
+ 2b2 c2 - 4b2 c2 + b4 + c4 + a4
- 2a2 b2 - 2a2 c2 + 2b2 c2 ] = 0,
即 a2 sin2B = b2 sin2A,
∵△AB C中有 a sinB > 0, bsinA > 0,
∴a sinB = bsinA,即 a = b . sinA sinB
同理 b = c . sinB sinC
故
a sinA
=
b sinB
=
sincC.
5 用余弦定理证明射影定理
由余弦定理得
cosC = a2 + b2 - c2 , cosB = a2 + c2 - b2 ,
2ab
2ac
∴bcosC + ccosB
即 a = b ,同理 b = c .
sinA sinB
sinB sinC
故 a = b = c . sinA sinB sinC
7 用射影定理证明余弦定理 ∵a = bcosC + ccosB , b = ccosA + acosC,
c = acosB + bcosA. ∴b2 = bccosA + abcosC, c2 = accosB + bccosA, 故 b2 + c2 = 2bccosA + a ( bcosC + ccosB ) = 2bccosA + a2 , 即 a2 = b2 + c2 - 2bcco sA. 同理 b2 = c2 + a2 - 2caco sB ,
<
c. d
4 推广 2的几何解释
推广 2中间的那个分式使人联想到定比分点坐
标公式 ,于是可从几何角度来理解这个不等式.
由a b
<
c d
λ 得λ1
1
a b
<
λ 2
λ 2
c , d
∴a b
λ
<
λ 1
λ 1
a b
+λ2 c +λ2 d
=
a +λ2 c 1 λ
b +λ2 d
1
a +λc
=
a b
+λc +λd
?
推广 2 (一般性推广 ) 若正数 a、b、c、d及非零
实数
λ 1
、λ2
满足
a b
<
c ,则 a db
<
λ 1
λ 1
a b
+λ2 c +λ2 d
<
c. d
证明 ∵ a b
=
λ 1
λ 1
a , b
c d
=
λ 2
λ 2
c , d
及
a b
<
c, d
∴由两边夹不等式得 a b
<
λ 1
λ 1
a b
+λ2 c +λ2 d
是有 a b
<
a +λc b +λd
<
c. d
特别地 ,当 λ = 1时 ,点 P为线段 AB 的中点 ,即
为两边夹不等式.
在此基础上 ,我们是否还可以这样思考 :当点 P
是线段 AB 的外分点时 , 对应的不等式是什么呢 ?此
时应有 λ < 0且 λ ≠ - 1.
(1)
若
a b
+λc +λd
>
0, 由于
> ad,则 a < a + c < c . 这是课本上的一道练习题 b b +d d
(高中数学第二册 (上 ) (人教版 ) 第 14 页练习第 5 题 ) ,教学中若不注意 , 其丰富的内涵和研究价值便 被忽略了. 笔者在高三复习的后期回归教材的教学
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数 学 教 学 研 究 2006年第 9期
c2 = a2 + b2 - 2abco sC.
浅谈“两边夹不等式 ”
李勤俭
(安徽省枞阳县浮山中学 246736)