7.1.2三角形的高、中线与角平分线

填一填
7、如图，在△ABC中，CE， BF是两条高，若∠A= 50° ， 70° 65° 25° ∠BCE= 30° ，则∠EBF的度数 A 20° 40° 是 25° ， ∠FBC的度
E
F
C
40° 数是 20° .
B
CE
看你会不会
AD 8、如图， 、AF 分别是△ABC 的高和角平线， C 76 ， B 36 则 DAF=______度.
5
2 2 2 3
4
3
2
1
0
D
C
锐角△ABC, 请你画出BC边上的高. 注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
A
B
D
C
1
2
3 3 3
4 4 4
5
0 0 0 1 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8
9
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形纸片。 使折痕过顶点,顶点的 A (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? 对边边缘重合 F (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? E (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 将你的结果与同伴进行交流. C B 锐角三角形的三条高是 D 在三角形的内部还是外部?
ACD，交AB于E， A 118 平分
9、如图 AB // CD， CE
则 AEC =______ 度.
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
知识小结
今天我们学了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。 2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
●
︶
1 2
● C B 三角形的三条角平分线相交于 D 一点,交点在三角形的内部
任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∠ABC ∠ABE ∠CBE ∴____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
归纳小结
三角形的 重要线段 概念 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段 图形 表示法
A
∵AD是△ABC的BC上的
C
三角形 的高线
B
D
高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
F
O
E
∠ACF ∠BCF ∴∠ACB=2______=2______B
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线 段 , 角的平分线是一条射线
思 考
现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 (
×)
F
A 12 G E
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ )
H B
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A)
D
A (B)
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
0 42 5 3 4 5 1 2
3
4
5
6
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 7
0 1 2 3 4 5 8 9 10
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 B 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个 A
三角形的稳定性在生活中 有广泛的应用 ，你能举 出一些例子吗？
议一议：P76
n少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条； 要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条； 要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
1、有木条4根，长度分别为12cm，10cm，8cm， 4cm，选其中三根组成三角形，• 选择的种数有几 则 种？ 2、三角形一边长11，另一边长为5，已知第三边长 是整数，求第三边的长． 3、大家知道房屋的梁是什么形状的吗？为什么？ 4、在栅栏门上斜道钉一条（或两条）木板，你知 道这是为什么吗？
B
C
B A (C) D
B C D (D) A
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个 顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
拓展练习
3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分 线，AF是高。填空：
1 BC （1）BE= CE = ； 2 1 ∠BAC （2）∠BAD= ∠CAD = ； 2
A
B
C
B'
拓展练习

2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的 中点,则下列说法不正确的是( C ) A A.DE是△BCD的中线 D B.BD是△ABC的中线 E B C C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
拓展练习
3、填空： （1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则 1 AF AB=2 ，BD= CD ,AE= 2 AC 。 （2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线， 1 ∠4 ∠2 ∠ABC 则∠1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 2 A A
F B D 图1 E C
B F 1 2 3 D 图2 E 4 C
填一填
5、如图，已知：AD是△ABC 的中线，△ABC的面积为50cm2 80cm , 则△ABD的面积是 25cm2. 40cm A 6、同上题图，若 △ACD的面积为 2 60cm ，则△ABC 30cm B D C 2 60cm 的面积为 120cm .
三角形中线的理解
●
A E
O ∵AD是△ ABC的中线 ● B C 1 ∴BD=CD= BC D 2 三角形的三条中线相交于一 点,交点在三角形的内部.
F
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A
这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 ∵AD是 △ ABC的角平分线 １ ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２∠BAC
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交
3 相交 相交
三角形内部
1 相交 相交
直角顶点
1 不相交 相交
三角形外部
三条高所在直线的 交点的位置
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
（3）∠AFB= ∠AFC =90°；
C
A
E D F
B
拓展练习

1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( ) D A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一
得用刻度尺 三条中线相交 画两点之间 于三角形内一 的线段 点，且把三角 形分成面积相 等的两部分 利用量角器 三条角平分线 画角的平分 相交于三角形 线的一部分 内一点，且这 C 点到三边的距 离相等
中线
A
B
D A
C
角平 分线
B
D
作业
课本69 第3、4题 P70 第8、9题

用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个 三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的 三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了. 在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。 (1) 画出直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. A
D
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
直角边BC边上的高是 直角边AB边上的高是 AB ; CB ;
三角形 的中线
A
∵ AD是△ABC的BC上
C
B
D
的中线. 1 ∴ BD=CD= 2 BC.
A
2 1
三角形的 角平分线
∵.AD是△ABC的
∠BAC的平分线 1 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC
2
B
D
C
名称 基本图形 高
B A
画法
性质
D
C
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
●
B
C
斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
A F D B E C
(1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ 它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流.
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
小结:三角形的高