三角形内角平分线定理
三角形内角和外角平分线性质定理
请问三角形内角和外角平分线性质定理是什么，最好有图解！谢谢！
三角形内角平分线的性质定理：
三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
如图1: 在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，则有BD AB CD AC
=。
三角形外角平分线的性质定理：
三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。
如图2、在△ABC中，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于D，则有BD AB CD AC
=
这个定理的证明比较简单，构造相似形就可以了。
如果需要证明过程，请说明，我再给你解答。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
三角形内外角平分线与角的关系
三角形内外角平分线与角的关系咱来说说三角形内外角平分线和角的那些事儿。
一、内角平分线与角的关系。
1. 一个内角平分线把这个角分成两个相等的角。
- 你看啊，在三角形里，假如有个角∠A，它的角平分线AD一出来，那就把∠A 分成了两个小角，∠BAD和∠CAD，这俩小角那可是一模一样大的。
就好像把一块蛋糕（∠A这个角），从中间（角平分线）平均切成了两块（∠BAD和∠CAD）。
2. 三角形内角平分线定理。
- 这个定理可有点意思呢。
如果AD是△ABC中∠A的平分线，它交BC于D点，那么就有AB/AC = BD/DC。
你可以想象成，角平分线AD就像一个裁判，它把BC边分成的两段BD和DC的比例，就和AB、AC这两条边的比例是一样的。
这就好像是三角形里的一种“平衡规则”，角平分线在这儿起着一种特殊的协调边和角关系的作用。
二、外角平分线与角的关系。
1. 外角平分线与相邻内角的关系。
- 三角形一个角的外角平分线和它相邻的内角是互补的关系。
比如说，在△ABC 中，∠A的外角∠CAE，它的平分线AF，那∠CAF和∠BAF把∠CAE平分了。
而∠CAE和∠BAC是互补的，也就是∠CAE+∠BAC = 180°。
这就好比一个在外面（外角），一个在里面（相邻内角），它们合起来就是一条直线的角度。
2. 三角形外角平分线定理。
- 如果AE是△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于E点，那么有AB/AC=BE/CE。
这就和内角平分线定理有点类似啦，外角平分线也在协调着边和角之间的比例关系。
只不过这里是涉及到边的延长线部分了。
就好像外角平分线在三角形外面也在按照自己的规则管理着边和角的关系呢。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角平分线定律
角平分线定律一、什么是角平分线定律角平分线定律是解决几何问题中常用的一个定理。
简而言之，角平分线定律说明了一个角的平分线可以将对立的两边分成相等的两部分。
这个定律在三角形中特别有用，可以用于计算角度或边长的比例关系。
二、角平分线定律的表述角平分线定律可以用以下两个等式表达：•在一个三角形中，角的平分线将对立边上的长度成比例分割，即：AB/BC = AC/CD•在一个三角形中，角的平分线将对立角所对的弦分成相等的两部分，即：BD/DC = AB/AC其中，A、B、C是三角形的三个顶点，AB、BC、AC是三角形的三条边，CD是角ABC 的平分线，BD、DC是对立角所对的弦。
三、角平分线定律的证明角平分线定律的证明可以通过几何推理或使用三角函数进行推导。
这里我们以几何推理的方式进行证明。
证明过程：步骤一：假设我们假设在三角形ABC中，角ABC的平分线CD将边AB和AC分别分割成AD和AE 两部分，如下图所示：B/ \/ \A ---- C ---- E\ /\ /D步骤二：证明∠CAD ≌ ∠BAD由于CD是角ABC的平分线，根据平分线的定义，我们可以得出∠CAD ≌ ∠BAD。
步骤三：证明△ACD ≌ △ABD根据步骤二，我们知道∠CAD ≌ ∠BAD，而∠CAD 和∠BAD 是三角形ACD和ABD的共同角。
另外，根据假设，我们已知AD ≌ AD，因此根据ASA（边-边-角）准则，我们可以得出△ACD ≌ △ABD。
步骤四：证明AD/BD = AE/CE根据步骤三，我们知道△ACD ≌ △ABD，因此对应的边也成比例。
即AD/BD =AE/CE。
至此，我们完成了角平分线定律的证明。
四、角平分线定律的应用角平分线定律在解决各种几何问题时非常有用。
下面是一些常见的角平分线定律的应用示例：1. 计算角度的比例关系在一个三角形ABC中，角ABC的平分线AD将边AB和AC分割成AD和AE两部分。
已知AD/BD = 2/5，求∠BAD 和∠CAD 之间的比例关系。
三角形中角平分线的结论
三角形中角平分线的结论
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对
应成比例。
角平分线定理
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两
边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边
的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内角平分线定理
三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,
则BD/DC=AB/AC。
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。
三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。
三角形角平分线的定理
三角形角平分线的定理角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。
在三角形中，角平分线起着重要的作用。
本文将介绍三角形角平分线的定理以及其相关性质。
一、三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是指：在一个三角形中，如果一条直线从一个顶点平分对角的两个角，那么这条直线将平分对角的对边。
具体而言，设△ABC为一个三角形，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D。
那么有以下结论：1.∠BAD = ∠DAC，即∠BAD和∠DAC是相等的。
2.∠ABD = ∠CAD，即∠ABD和∠CAD是相等的。
3.BD/CD = AB/AC，即BD与CD的比值等于AB与AC的比值。
二、三角形角平分线的证明要证明三角形角平分线的定理，首先我们可以通过角平分线的定义得出∠BAD = ∠DAC和∠ABD = ∠CAD。
接下来，我们需要证明BD/CD = AB/AC。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：AB/AC = sin∠BAC/sin∠ABCBD/CD = sin∠BAC/sin∠CBD由于∠ABC = ∠CBD，所以sin∠ABC = sin∠CBD。
因此，我们可以得出BD/CD = AB/AC。
三、三角形角平分线的应用三角形角平分线的定理在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.角平分线定理可以用来解决三角形内角的问题。
通过已知条件，我们可以利用角平分线的性质来求解未知角度的大小。
2.角平分线定理可以用来证明三角形的相似性。
当两个三角形的角平分线相交于同一点时，我们可以利用角平分线的性质证明这两个三角形是相似的。
3.角平分线定理可以用来证明三角形的内心存在。
内心是三角形内切圆的圆心，它同时也是三条角平分线的交点。
4.角平分线定理可以用来证明三角形的垂心存在。
垂心是三角形三条高的交点，其中两条高与第三条高的交点恰好是角平分线的交点。
四、总结三角形角平分线的定理是几何学中的重要定理之一。
通过角平分线的性质，我们可以解决三角形内角的问题，证明三角形的相似性以及存在性等问题。
三角形角平分线的定理
三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它是指在一个三角形中，如果一条直线从一个角平分另一个角，那么这条直线所在的线段将把对边分成两个相等的线段。
这个定理的主要内容包括以下几个方面：一、定理的表述三角形角平分线的定理可以用以下的方式表述：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
其中，AB、AC、BD、CD分别表示三角形ABC中的边和角平分线。
二、定理的证明三角形角平分线的定理的证明可以通过以下的方式进行：1. 假设BD是角B的平分线，那么∠ABD=∠CBD。
2. 由于∠ABD=∠CBD，所以三角形ABD与三角形CBD是全等的。
3. 因此，AB/BD=CB/BD，即AB/CB=BD/CD。
4. 所以，AB/AC=AB/(AB+CB)=BD/(BD+CD)=BD/CD。
5. 因此，BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。
三、定理的应用三角形角平分线的定理在初中数学中有很多应用，其中最常见的应用包括以下几个方面：1. 求角平分线所在的线段长度如果已知一个三角形中的两个边和一个角的大小，可以通过三角函数求出第三条边的长度，然后再利用角平分线的定理求出角平分线所在的线段长度。
2. 求角平分线所在的点的坐标如果已知一个三角形中的三个顶点的坐标，可以通过向量的方法求出角平分线所在的点的坐标。
3. 判断角平分线是否在三角形内部如果一个三角形中的一个角的平分线不在三角形内部，那么这个三角形就不是一个普通的三角形，而是一个退化的三角形。
四、总结三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。
在学习这个定理的过程中，我们需要掌握定理的表述、证明和应用，以便在实际问题中灵活运用。
三角形中的角平分线定理与外接圆性质
三角形中的角平分线定理与外接圆性质角平分线定理是指，在一个三角形中，内角的平分线所构成的线段，将对应的边平分为两个相等的线段。
外接圆的性质是指，在一个三角形中，三个顶点都在同一个圆上的圆叫做外接圆。
外接圆的圆心位于三角形的外接圆心上，半径等于外接圆的半径。
角平分线定理与外接圆性质是三角形的基本性质之一，对于三角形的研究和问题解决具有重要意义。
一、角平分线定理在一个三角形ABC中，设角A的平分线AD与边BC相交于点D，那么有以下结论：1. 点D将边BC分为BD和DC两段，即BD=DC；2. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD=∠DAC；3. 边AB上的角BAD的度数等于边AC上的角DAC的度数，即∠BAD=∠DAE，其中∠DAE为角DAC的度数。
根据角平分线定理，我们可以利用这个定理来解决一些与角或边的长度有关的问题。
例如，可以利用角平分线定理来求解角的度数，或者利用已知角的度数来计算边的长度。
二、外接圆性质在一个三角形ABC中，假设点O是三角形的外接圆心，那么有以下结论：1. 边AB、BC和AC都是以点O为圆心的圆的弦；2. 弧AB、BC和AC都是以点O为圆心的圆的弦所对应的弧；3. 在角ABC处，角的度数等于角AOB对应的弧的度数，即∠ABC=∠AOB；4. 外接圆的半径等于AO或BO或CO的长度，即R=AO=BO=CO。
根据外接圆性质，我们可以利用这个性质来解决一些与外接圆有关的问题。
例如，可以利用外接圆性质来证明一些关于三角形的定理，或者利用已知外接圆的半径来计算三角形中的角度或边的长度。
综上所述，角平分线定理与外接圆性质是三角形中的重要性质，具有一定的数学意义和实际应用价值。
掌握并应用这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
在解决问题时，我们可以根据具体情况选择角平分线定理或者外接圆性质来进行推导和计算，以便更好地解决问题并获得准确的结果。
因此，对于学习和理解三角形的角平分线定理与外接圆性质，我们应该加强实际应用的训练，提高解决问题的能力。
角平分线的三个定理
角平分线的三个定理
第一性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
第一性质定理逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
定理：三角形内角平分线分对边所成的两条线段，与夹这个角的两边，对应成比例。
角平分线就是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
性质：
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1。
三角形内角平分线定理的证明过程
三角形内角平分线定理的证明过程一、引言三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质对于几何学的发展具有重要意义。
在三角形中，内角平分线定理是一个重要的定理，它揭示了三角形内角平分线的性质及其与三角形边长的关系。
本文将详细探讨三角形内角平分线定理的证明过程。
二、定义和性质在开始证明之前，我们先来回顾一下一些与三角形相关的基本定义和性质。
2.1 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都有一个夹角。
2.2 内角平分线的定义在一个三角形中，从某个顶点引出的线段，将相邻两边的夹角平分，这条线段称为内角平分线。
2.3 内角平分线的性质•内角平分线将对应的角分成两个相等的角。
•内角平分线与对应边的比例相等。
三、证明过程接下来，我们将开始证明三角形内角平分线定理。
3.1 证明思路我们将使用反证法来证明三角形内角平分线定理。
假设在三角形ABC中，D是边AC 上的一点，且AD是角B的内角平分线。
我们将证明BD与CD的比例等于AB与AC 的比例。
3.2 证明过程假设AD与BC相交于点E，我们需要证明BD与CD的比例等于AB与AC的比例，即证明BD/CD = AB/AC。
由于AD是角B的内角平分线，根据内角平分线的性质，我们知道∠BAD = ∠DAC。
又因为∠BAC是三角形ABC的内角，所以∠BAD + ∠DAC = ∠BAC。
我们将∠BAD和∠DAC分别记为α和β，∠BAC记为θ，则有α + β = θ。
由三角形内角和定理可知，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
将∠BAC记为θ，∠ABC记为γ，∠ACB记为δ，代入上式得到θ + γ + δ = 180°。
根据三角形内角和定理，我们可以得到γ + δ = 180° - θ。
将α + β = θ和γ + δ = 180° - θ代入BD与CD的比例等于AB与AC的比例的表达式中，得到：BD/CD = sinα/sinβ = sin(θ - γ)/sin(θ - δ) = sinθsinγ + sinθsinδ - sinγsinδ)/(sinθsinγ + sinθsinδ +sinγsinδ)继续化简上式，得到：BD/CD = (ABsinγ + ACsinδ)/(ABsinγ - ACsinδ)由于我们要证明BD与CD的比例等于AB与AC的比例，即证明BD/CD = AB/AC。
三角形内外角平分线性质定理
并 延 长 BF交 AD的 延 长 线 于 点 E.求 证 ： D ED F
E D
AE D C
C 证明： 四 边 形 A B C D 为 平 行 四 边 形
F
C D //A B ， A D //B C
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : E F D F
(图形语言)
点D、E.求证：AD AE DE. D
AB AC BC
(符号语言)
B
分析：由平行线分线段
E
F
C
成比例定理的推论可直 证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, 接得到AD:AB=AE:AC. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形. AE、AC、DE、BC成为 ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC.
线交于点G.
E
G
C
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G.
∵DE//BC, ∵CG//AB,
∴AD:AB=AE:AC ∴DE:DG=AE:AC
AD AB
DE . DG
∵四边形DEFB为平行四边形， ∴DG=BC.
AD AE DE.
AB 2021/3/10 AC BC
讲解：XX
7
例1：如 图 ， F是 平 行 四 边 形 ABCD边 CD上 一 点 ， 连 结 BF，
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 如图，因为AD∥BE∥CF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF
三角形的平分线的定理
三角形的平分线的定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
角平分线定理的多种证明方法
三角形内角平分线定理的多种证明方法四川省资阳市雁江区南津中学陈彬一、三角形内角平分线定理的多种证明方法已知，如图1，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC方法一：（面积法）证明：三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM,三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM,所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，如图1即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM，所以AB／AC=MB／MC方法二（相似形）证明：如图2，过C作CN平行于AB交AM的延长线于N三角形ABM相似三角形NCM,AB/NC=BM/CM,又可证明∠CAN=∠ANC，所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC方法三（相似形）如图2证明：如图3，过M作MN平行于AB交AC于N，可得三角形ABC相似三角形NMC,故AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC，又可证明∠CAM=∠AMN所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC，所以AB／AC=MB／MC如图3方法四（正弦定理）证明：如图4，作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得：AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,如图4所以AB／AC=MB／MC二、三角形内角平分线定理的应用阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：如图1，△ABC 中，AD 是角平分线，求证：=。
分析：要证=，一般只要证BD、DC 与AB、AC 或BD、AB 与DC、AC 所在的三角形相似，现在B、D、C 在一条直线，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
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三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC;
思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则：BA/AE=BD/DC;
∵∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD；（已知）
∴∠AEC=∠ACE；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC
证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；
∵∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ DE=DF；
∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴BA/AC=BD/DC
结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？。