三角形内外角平分线性质定理

玉林高中数学科
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个
结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中
有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介
绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其
中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度
的题目，而“三角形内外角平分线性质定理” 的题
结论：使用面积法时，要善于 从不同的角度去看三角形的底 和高。在该证法中，我们看 △BAD和△ DAC的面积时，先 以BA和AC作底，而以DF、DE 为等高。然后以 BD 和 DC 为底， 而高是同高，图中并没有画出 来。你学会这种变换
内角平分线性质定理证明 证明：
设 ABC的高为h, 则：S
ABD
• 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的 两边作平行线，构造等腰三角形或菱形， 其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转 的直角三角形全等，第三，要想到长截短 补法，第四，你能想到用该定理解决问题 吗？
三角形外角平分线定理：三角形 两边之比等于其夹角的外角平分 线外分对边之比。
• 三角形外角平分线定理：如果三角形的外 角平分线外分对边成两条线段，那么这两 条线段和相邻的两边应成比例.
B
D
C
外角平分线性质定理证明
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE
∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
1.在 ABC中,AD是ABC的平分线，AB=5cm， 35 AC=4cm，BC=7cm，则BD=_______ 9
证明： OE // AB
OE CE AB BC (1)OE Biblioteka / DC OE BE DC BC
(2)
OE OE CE BE BC （）（ 1 2）得： 1 AB DC BC BC BC 1 1 1 AB CD OE
玉林高中数学科
三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其夹 角的平分线内分对边之比。 A C 三角形内角平分线定理：
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思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F； ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知） ∴ DE=DF； ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC
D
E C
G
用平行线分线段成比例定理. B 故作CG//AB,且与DE的延长 线交于点G.
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC AD DE . ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC AB DG ∵四边形DEFB为平行四边形， ∴DG=BC.
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF 的平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC • 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定 理证明。 • 证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC • ∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等） • ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等） • ∠DAF=∠DAC；（已知） • ∴ ∠CEA=∠ECA；（等量代换） • ∴ AE=AC； • ∴ BA/AC=BD/DC 。 • 结论1：该证法具有普遍的意义。 • 角度看问题的方法了吗？
EF DF EB DC
同理可得 :
DE DF AE DC
DE 1 如图, 在 ABC中，E为中线AD上的一点， , 连结BE , 例2 ： AE 2 延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
A F
证明： 作DH AC, 交BF于点H
DH BD CF BC
（平行于三角形的一边，并且和其他两边 相交的直线所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。）
2.在 ABC中，AD是ABC的平分线， 55
3 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______
3.Rt ABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
5 AD 1 D在AB边上,且 , 则DE ____________ 3 AC 3
证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 由这组平行线截得的线段. AD AE DE . 故作EF//AB. AB AC BC
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B D F C B D A A E D A C B C E B D C E
例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例.(文字语言) A (图形语言) 已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G( , ) 3 3
三角形旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两 边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 三角形旁心性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角 平分线交于一点，该点即为三角形的旁心； 2、每个三角形都有三个旁心； 3、旁心到三边的距离相等； A B E
H E B D
C
D是BC的中点
DH BD 1 CF BC 2
DH DE 1 同理可得： AF AE 2
DH DH AF CF
DE 1 AE 2
AF CF
例3 如图，已知：AB // CD,AC,BD交于O,OE // AB交BC于E.求证：
1 1 1 AB DC OE
B
D
在 ABC中，若AD为BAC的 AB BD 平分线， 则： AC DC
三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹 角的外角平分线外分对边之比。 E A B 三角形外角平分线定理：
在 ABC中，AD为A.的外角CAE 的平分线，
C
D
AB BD 则： AC DC
三角形内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）
C
D
• 三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边 之比。 • 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC; • 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。 • 证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。 • 则： BA/AE=BD/DC; • ∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等） • ∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等） • ∠BAD=∠CAD；（已知） • ∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换） • ∴ AE=AC； • ∴ BA/AC=BD/DC 。 • 结论1：该证法具有普遍的意义。
(符号语言) 分析：由平行线分线段 成比例定理的推论可直 接得到AD:AB=AE:AC.
AD AE DE . 点D、E.求证： AB AC BC
D B F
E
C
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、 E.求证：AD AE DE
AB

AC

BC
.
A
(图形语言)
AD DE 法2：为了证明 AB BC ，需
1 1 BD h AB AD sin BAD 2 2
S
S S
DAC
1 1 CD h DA AC sin DAC 2 2
BD h AB AD sin BAD DC h AC AD sin DAC
ABD DAC
A
AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD AC DC
目直接围绕定理展开，难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 如图，因为AD∥BE∥CF，
所以AB：BC=DE：EF;
AB：AC=DE：DF；
BC：AC=EF：DF
也可以说AB：DE=BC：EF；
AB：DE=AC：DF；
BC：EF=AC：DF
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
• 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分 线。 • 求证： BA/AC=BD/DC • 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； • ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） • ∴ DE=DF； • ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之 比等于底之比） • BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面 积之比等于底之比） • ∴ BA/AC=BD/DC
AD AE DE . AB AC BC
D
如图，F 是平行四边形ABCD边CD上一点，连结BF， 例 1： DE DF 并延长BF交AD的延长线于点E.求证： AE DC E 证明： 四边形ABCD为平行四边形 C
F B
A
CD // AB，AD // BC DE EF （平行于三角形一边的直线截其他两边， AE EB 所得的对应线段成比例）
三角形内心性质：
1、角平分线上的任意点到角两边的距离相等；