三角形内外角平分线定理上课讲义

三角形内外角平分线

定理

三角形内角与外交平分线定理

一、内角平分线定理

已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。

证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。

则： BA/AE=BD/DC;

∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等）

∠BAD=∠CAD ；（已知）

∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换）

∴ AE=AC ；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分

线。

ABC AD BAC AB BD AC CD

∠=在中，若为的平分线，则：

求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴ BA/AC=BD/DC

结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

二、外角平分线定理

已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD的平行线。

证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则：

BA/AE=BD/DC

∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）

∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）

∠DAF=∠DAC；（已知）

∴∠CEA=∠ECA；（等量代换）

∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-5乙所示，AD 是△ABC 内角∠BAC 的外角∠

CAF 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC.

证明2：过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ∥⊥BA 的延长线于F ；

∵ ∠DAC=∠DAF ；（已知）

∴ DE=DF ；

∵ BA/AC=S △BAD/△DAC ；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S △BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD 和△DAC 的面积时，先以BA 和AC 作底，而以DF 、DE 为等高。然后以BD 和DC 为底，而高是同高

ABC AD A CAE ∠∠在中，为的外角的平分线，AB BD AC CD =则：.ABC AD ABC AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8AB=_______∠2在中，是的平分线，，则5533.,90,12,5,,

1,,____________3Rt ABC B AB BC DE AC E AD D AB DE AC ∠=︒==⊥==中于在边上且则53

3．如图，在△ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，

AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.

图3.1-35

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