三角形内外角平分线定理
角平分线定理比例关系
角平分线定理比例关系是：三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
扩展资料
定理1角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：
AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C
∴∠ABD=∠ACD=90°
又 AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命题得证。
三角形三条角平分线交点定理
三角形三条角平分线交点定理1. 引言三角形是几何学中的基本概念之一，研究三角形的性质对于几何学的发展具有重要意义。
在研究三角形时，我们常常会遇到一些特殊点和线，它们与三角形的关系可以揭示出许多有趣的性质和定理。
本文将介绍一个与三角形相关的重要定理——三角形三条角平分线交点定理。
2. 定理表述给定一个任意三角形ABC，分别作边AB、AC上的两条内角平分线AD和AE，以及边BC上的一条外角平分线BF。
则AD、AE和BF交于一点。
3. 定理证明为了证明这个定理，我们需要用到一些基本几何知识和方法。
步骤1：构造辅助线首先，我们需要构造两条辅助线来帮助证明。
我们在顶点A处引入边BC上的内切圆，并设其切点为D’、E’。
此外，在顶点B和C处分别引入边AC和AB上的外切圆，并分别设其切点为F’、F”。
如下图所示：步骤2：证明三边相等根据内切圆的性质，我们知道AD’和AE’是三角形ABC的两条角平分线，因此它们与边BC垂直。
同样地，根据外切圆的性质，BF’和BF”也与边BC垂直。
由于直角三角形中两条垂直线段互相平分对应的弧长，我们可以得出以下结论： - 弧BD’ = 弧CD’ - 弧BE’ = 弧CE’ - 弧BF’ = 弧CF”再根据弧长定理可知： - BD’ = CD’ - BE’ = CE’ - BF’ = CF”又因为D’E’||BC，所以我们可以得到以下结论： - AD’/AD = AE’/AE - BD’/BD = BE’/BE根据内切圆的性质，我们还可以得到以下结论： - AD’/BD’ = AE’/BE’综上所述，我们可以得出以下等式： 1. AD/BD = AE/BE 2. BD/CD = BE/CE 3. AD’/BD’ = AE’/BE’ 4. AD/BD = AD’/BD’ 5. AE/BE = AE’/BE’步骤3：证明交点存在根据步骤2的结果，我们可以得出以下结论： - 三角形ABD与三角形ABD’相似（共边AB，∠BAD = ∠BAD’，AD/BD = AD’/BD’） - 三角形ACE与三角形ACE’相似（共边AC，∠CAE = ∠CAE’，AE/CE = AE’/CE’）由于相似三角形的性质，我们知道∠ADB = ∠ADB’，∠AEC = ∠AEC’。
三角形内外角平分线性质定理优秀课件
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
三角形内角平分线定理：
A
在ABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：ABBD AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 平分线。
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。在该证法中，我们看 △BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作 底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为 底，而高是同高，图中并没有画出来。你学 会这种变换
1 .在 A B C中 , A D是 A B C的 平 分 线 ， A B = 5 cm ， A C = 4 cm ， B C = 7 cm ， 则 B D = _ _ _ _ _ _ _
2 . 分 线 ， A B -A C = 5 , B D -C D = 3 , D C = 8 ， 则 A B = _ _ _ _ _ _ _
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
三角形平分线定理
三角形平分线定理
Triangle bisection theorem，是一个源自已久较今的古典定理，它说明在一个给定
的三角形中，垂足连线分割出两个新的角，它们所构成的新三角形的面积之比与给定的三
角形的锐角的余弦值相等。
中文说明：三角形平分线定理认为：在任意给定的三角形内，若从某个内角的顶点，
将而該角的边向外延伸的垂足连成一线，那么这条线将其它两条边分为两等份，并形成两
个新的三角形，其中锐角的余弦与两个新三角形的面积之比是相等的。
拓展解释：由这个定理可以得出：垂足连线是三角形的一条平行边，因为它将三角形
的两条边分割成等长。
推广此思想，在所有三角形形状中可以证明其三角形底边垂足连线，这条线平分类其他两条边，它具有重要的意义。
三角形平分线定理的一个主要用途在于用来解决一些具有特殊角度的三角形面积问题，如用三角形平分线定理计算棱形的面积，用三角形平分线定理计算梯形的面积，以及求几
何形状的面积比等等，三角形平分线定理都能派上用场。
三角形角平分线五大模型
三角形角平分线五大模型
基础知识点回顾：
1、 三角形的内角：三角形的内角和为180°；
2、 三角形的外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
知识讲解概览：
1、“8”字模型
2、飞镖模型
3、内外角平分线模型
一、“8”字模型与飞镖模型
如图，线段 AB 与CD 相交于点O ，连接A 、C ，连接B 、D ，则有∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C
二、飞镖模型
如图，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠ADC
三、内外角平分线问题
（1）内角平分线+内角平分线，P 点再△ABC 内
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠P=90°+2
1∠A
（2）内角平分线+外角平分线，P 点再△ABC 外
如图，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACD 角平分线的交点， 则∠P=2
1∠A
（3）外角平分线+外角平分线
如图，在△ABC 中，点P 是外角∠ABC 和外角∠ACB 角平分线的交点， 则∠P=90°－2
1∠A。
三角形中的角平分线定理
三角形中的角平分线定理三角形中的角平分线定理是基本的几何定理之一，它给出了关于三角形内部角平分线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨角平分线定理的定义、证明以及相关应用。
定义：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，且将该角划分为两个相等的角，那么这条线段就是该角的角平分线。
证明：为了证明角平分线定理，我们假设在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角A划分为两个相等的角。
我们需要证明AD是BC边上角BAC的角平分线。
首先，由三角形内角和定理可知，角A + 角B + 角C = 180°。
因为AD是角A的角平分线，所以角BAD和角DAC相等，即角BAD = 角DAC。
根据三角形内角和定理，角BAD + 角DAC + 角B = 180°。
由于角BAD = 角DAC，我们可以将该等式改写为2 ×角BAD + 角B = 180°。
进一步整理可得2 ×角BAD = 180° - 角B，即角BAD = (180° - 角B)/2。
又因为角A + 角BAD = (180° - 角B)/2 + 角B = 180°/2 = 90°，可以得出角BAD = 90° - 角B/2。
同样地，我们可以利用类似的步骤证明角CAD = 90° - 角C/2。
由于角BAD = 90° - 角B/2，角CAD = 90° - 角C/2，我们可以得出结论：角BAC的角平分线AD将角BAC划分成两个相等的角BAD和角CAD。
应用：三角形中的角平分线定理不仅仅局限于理论证明，它在解决实际问题时也有着广泛的应用。
首先，角平分线定理可以用于求解三角形内部角的大小。
当我们知道了角平分线的长度和其他两个角的大小时，可以通过角平分线定理计算出未知角的大小。
其次，角平分线定理还可以用于证明两条线段相互平分对方所在的角。
三角形中的角平分线定理与内心定理
三角形中的角平分线定理与内心定理三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条边和三个角组成。
在三角形的研究中，角平分线定理和内心定理是两个重要的基本定理。
本文将介绍这两个定理的定义、性质以及应用。
一、角平分线定理角平分线定理是指一个角的平分线把这个角分成两个相等的角。
具体来说，对于三角形ABC，角BAD是角BAC的一个平分线，那么角BAD和角DAC是相等的。
角平分线定理的应用十分广泛，它可以用于解决多个几何问题。
例如，通过角平分线定理我们可以推导出相似三角形的性质，进而解决一系列的角度和长度相关的问题。
此外，角平分线定理也是证明三角形内心定理的基础。
二、内心定理内心定理是指三角形的三条角平分线的交点被称为三角形的内心，内心到三角形的三条边的距离相等。
具体来说，对于三角形ABC，角D、角E、角F分别为三角形ABC的三个角的平分线，交于点I。
则I 到三角形ABC的三边AB、BC、CA的距离分别相等。
内心定理是三角形中的重要定理之一，它可以用于推导出许多三角形性质。
通过内心定理，我们可以得到三角形内切圆的圆心和半径，以及内切圆和三角形边的关系。
此外，内心定理还可以用于解决与三角形的外接圆和内切圆相关的问题。
三、角平分线定理与内心定理的证明角平分线定理的证明可以通过三角函数、相似三角形等方法来推导。
这里我们采用相似三角形的方法进行证明。
证明：设角BAD为角BAC的平分线。
连接AC、BD。
则由相似三角形的性质可知，三角形BAD与三角形BAC相似。
因此，根据相似三角形的对应角相等的性质可得角BAD和角DAC相等。
证毕。
内心定理的证明需要借助角平分线定理。
下面给出内心定理的简要证明：证明：设角D、角E、角F为三角形ABC的三个角的平分线，交于点I。
连接BI、CI。
由角平分线定理得角BID和角CIA相等，同理角BID和角CIB也相等。
因此，根据三角形内角和为180度的性质可知，角BIA和角BIC的和为180度。
由此可得，角AIC和角BIC的和也为180度。
三角形内角平分线公式
三角形内角平分线公式三角形是几何学中最基本的图形之一，其内角平分线是三角形内部的一条特殊线段。
本文将详细介绍三角形内角平分线的概念、性质以及相关定理。
一、三角形内角平分线的概念三角形内角平分线是指从三角形的一个内角的顶点出发，将该内角平分成两个相等的角的线段。
对于任意一个三角形，都存在三条内角平分线，分别从三个内角的顶点出发。
二、三角形内角平分线的性质1. 三角形内角平分线与对边相交于一点：三角形的内角平分线与对边相交于一点，这个点被称为三角形的内心。
2. 内心到三角形各顶点的距离相等：三角形的内心到三个顶点的距离相等，即内心到三个顶点的线段长度相等。
3. 三角形内角平分线上的点到对边的距离相等：三角形内角平分线上的任意一点到对边的距离相等，即内角平分线上的点到对边的线段长度相等。
三、三角形内角平分线的定理1. 内角平分线定理：三角形的内角平分线将对边分成一段和另一段，这两段的长度之比等于与这两段对边夹角相等的两条内角平分线所分割的对边之比。
2. 角平分线定理：三角形的内角平分线所分割的两条对边的比等于与这两条对边夹角相等的两条内角平分线所分割的对边之比。
四、三角形内角平分线的应用1. 三角形内角平分线可以用来解决一些有关角度和长度的问题，如求角度的大小或线段的长度。
2. 三角形内角平分线还可以用来证明一些三角形的性质和定理，如三角形的内心、外心、垂心等的存在性和性质。
3. 在几何建模和工程设计中，三角形内角平分线也有广泛的应用，可以用来确定物体的位置、角度和形状等。
五、总结三角形内角平分线是三角形内部的一条特殊线段，具有重要的性质和应用。
通过研究三角形内角平分线的概念、性质和定理，我们可以更深入地理解三角形的结构和性质，并能够灵活运用它们解决实际问题。
因此，在几何学中，三角形内角平分线是一个重要的概念，它不仅具有理论意义，还具有实际应用价值。
通过深入学习和研究三角形内角平分线的相关知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
高一-三角形内角和外角平分线定理
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE
1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
D在AB边上,且
三角形中的角平分线定理与角的外切圆
三角形中的角平分线定理与角的外切圆三角形是几何学中基础而重要的形状之一，它的性质和定理非常丰富。
本文将着重介绍三角形中的角平分线定理以及角的外切圆。
一、角平分线定理在三角形ABC中，如果有一条线段AD，使得∠BAD=∠DAC，我们称AD为角BAC的角平分线。
角平分线具有以下重要性质：1. 角平分线把对应角的两个邻边分成相等的部分。
具体来说，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AB/BD=AC/CD。
即角平分线将两条邻边分成的线段比值相等。
2. 角平分线平分对应角的大小。
也就是说，如果AD是∠BAC的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=1/2 * ∠BAC。
基于这些性质，我们可以利用角平分线解决许多与三角形有关的问题。
例如，通过角平分线定理，我们可以证明三角形的内切圆存在，并且与三角形的三边相切于三个不同的点。
二、角的外切圆在三角形ABC中，如果存在一个圆O，它与三角形的三边AB、BC和CA相切于点D、E和F，那么我们称圆O为三角形ABC的外切圆。
外切圆具有以下重要性质：1. 外切圆的圆心位于角的平分线的交点上。
也就是说，如果AD和CF是∠BAC的两条角平分线，那么圆O的圆心一定位于线段AD和CF的交点上。
2. 外切圆的半径等于三角形的半周长除以三角形的面积。
具体来说，如果三角形的半周长为s，面积为S，那么外切圆的半径R等于R = s / (2S)。
基于角平分线定理和角的外切圆的性质，我们可以解决一些三角形的相关问题。
例如，通过角平分线定理和外切圆的性质，我们可以证明角平分线和外接圆的关系，进而解决一些与三角形内接圆和外接圆相关的问题。
总结：三角形中的角平分线定理和角的外切圆是三角形几何学中的重要概念和定理。
角平分线定理指出角平分线的性质，并可以解决许多与三角形相关的问题。
角的外切圆则是与三角形的三边相切的圆，具有一些特殊的性质，可以用来解决一些与三角形的几何性质相关的问题。
理解和应用这些定理和性质，将有助于我们更好地理解和研究三角形的性质和特点。
三角形内角平分线定理证明
三角形内角平分线定理证明
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形角平分线性质的引申及应用
－
1 2
（ 180°
－
∠A）
=
90°
+
1 2
∠A．
性质 2 由三角形两条外角平分线所组
成的角等于 90° 与第三角一半的差．
如图 2，在 ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外
角平分线交于点 P，则 ∠P
=
90° －
1 2
∠A．
%
A
B 1
D
C 2
E
P
图2
证明 因 为 BP、CP 分 别 平 分 ∠DBC，
∠ECB，
所以 ∠1
=
1 2
∠DBC，∠2
=
1 2
∠ECB．
在 PBC 中，
∠P = 180° － （ ∠1 + ∠2）
=
180° －
1 2
（
∠DBC
+
∠ECB）
= 180°
－
1 2
（
180°
－ ∠ABC + 180°
－
∠ACB）
=
180°
－
1 2
［360°
－ （ ∠ABC
+ ∠ACB） ］
=
1 2
（ 180° － 2∠BPC）
= 50°．
例 3 如图 11，已知线段 AB、CD 相交于
点 O，连结 AD、CB，我们把形如图 11 的图形称
之为“8 字 形”． 如 图 12，在 图 11 的 条 件 下，
∠DAB 和 ∠BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点
P，并且与 CD、AB 分别相交于点 M、N．
叫做“规形图”． 观察如图 7 的“规形图”，若
∠ABC、∠ADC 的 平 分 线 相 交 于 点 O，则
三角形内外角平分线定理
三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。
这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。
让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。
假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。
根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。
这意味着角BED和角CEA的度数相等。
那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。
我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。
假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。
根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。
在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。
三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。
这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。
通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。
总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。
它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。
在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。
通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。
对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。
它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。
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三角形内角与外交平分线定理
一、内角平分线定理
已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC;
思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。
证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。
则： BA/AE=BD/DC;
∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD ；（已知）
∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换）
∴ AE=AC ；
∴ BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC
证明2：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ；
∵ ∠BAD=∠CAD ；（已知）
∴ DE=DF ；
∵ BA/AC=S △BAD/S △DAC ； （等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S △BAD/S △ABCDAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。
二、外角平分线定理
已知：如图所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC
思路1：作角平分线AD 的平行线。
证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 交于E 。
则： BA/AE=BD/DC
∵ ∠DAF=∠CEA ；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA ；（两线平行，内错角相等）
∠DAF=∠DAC ；（已知）
∴ ∠CEA=∠ECA ；（等量代换）
∴ AE=AC ；
∴ BA/AC=BD/DC 。
ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的
平分线，则：
结论1：该证法具有普遍的意义。
引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线
段和相邻的两边应成比例
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-5乙所示，AD 是△ABC 内角∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC.
证明2：过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ∥⊥BA 的延长线于F ；
∵ ∠DAC=∠DAF ；（已知）
∴ DE=DF ；
∵ BA/AC=S △BAD/△DAC ；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S △BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中，我们看△BAD 和△DAC 的面积时，先以BA 和AC 作底，而以DF 、DE 为等高。
然后以BD 和DC 为底，而高是同高
3．如图，在△ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，
AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.
图3.1-8 ABC AD A CAE ∠∠在中，为的外角的平分线，AB BD AC CD =则：359.ABC AD ABC AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8AB=_______∠2在中，是的平分线，，则5533.,90,12,5,,
1,,____________3Rt ABC B AB BC DE AC E AD D AB DE AC ∠=︒==⊥==中于在边上且则53。