三招破解三角形解的个数问题(打印)

2 解得 sinA＜ ．∴角 A 的取值范围为(0° ，45° )．故选 C； 2
5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（ A． (0,
）

3
)
B． (
, ) 3 2
C． (0,

4
)
D． (
, ) 4 2
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4 x AC 2 AB 2 BC 2 x 2 4 2 x 解 2：∵ cos A ， 2 AC AB 2 4 2x 4 2
B
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解， 从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ， b＝ 3λ(λ>0)，A＝45° ，则满足此条件的三角形个数是( A．0 B．1 C．2 D．无数个 )
流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足 条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是 ．
o
解 ： 作图： ①当 0 a 2 3 时，0 个； ②当 a 2 3 时，1 个； ③当 2 3 a 4 时，2 个； ④当 a 4 时，1 个.
∴ 0 A 45 ，舍去 45 ．
o o o
5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（
）
A． (0, ) 3
B． ( , ) 3 2
C． (0, ) 4
D． ( , ) 4 2
2 2 2 2 2 o o sin A sin C 解 3：∵ ，∴ 0 A 45 ． sin A sin C 2 2
第二招：二次方程的正根个数
一般地，在 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，常常可对角 A 应用余弦定理， 并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c 2bc cos A b a 0 ，若该方程 无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有 一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （ ） 3 A． (1, 2) B． ( 2, 3) C． ( 3, 2) D． ( 2, 2)
解：如图： ①由 BC sin 60 BP AB 得 a 2 ； ②又要求 AB BC ，否则 AB 就会在 BC 左边， ∠C 就不可能是 60 ，∴ a 3 ． 综上， 3 a 2 ，选 C．
b sin A 100sin45 解： sinB= = 1. a 80
又a<b, B有两解, 三角形有两解。
0
例 3．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°， 则△ABC 的面积等于( D ) 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 4 2
【解析】设 c＝AB＝ 3，b＝AC＝1，由于 B＝30°， 1 3 ∴c·sin B＝ 3×2＝ 2 ，c· sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个． b c 1 3 3 ∵sin B＝sin C，即1＝sin C，∴sin C＝ 2 ， 2 ∴C＝60°或 120°，∴A＝90°或 30°， 1 3 3 又 S△ABC＝2bcsin A，∴S△ABC＝ 2 或 4 ，故选 D.
当 A 45 时，三角形只有一解，舍去．故得 0 A 45 ．
o
o o
湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （ ） 3 A． (1, 2) B． ( 2, 3) C． ( 3, 2) D． ( 2, 2)
C A P A′ B
6．若满足条件 C ， AB 3 ， BC a 的三角形有两个，则 a （ ） 3 A． (1, 2) B． ( 2, 3) C． ( 3,2) D． ( 2,2)
湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）
AB BC 3 a 解：由正弦定理得： ，即 ， sin C sin A sin 60 sin A a 变形得： sin A ．由题意得：当 A∈（90° ，120° ）时， 2
第一招：大角对大边
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数， 一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ， b 2 ， B 45 ，求 A 、 C 及 c ．
a b 解析：直接根据正弦定理可得 ＝ ，可得 sin A sin B bsin A 3λsin 45° 6 sin B＝ ＝ ＝ >1,没有意义, a λ 2 故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
第三招：画圆法
已知 ABC 中， A 为已知角（ 90 ），先画出 A ，确定顶点 A ， 再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC 边长为已知长度，最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边是否有交点， 如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点， 则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形 的解的个数为 2．
b sin C 2 sin15 6 2 当 A 120 时， C 15 ， c ． sin B sin 45 2
点评：在三角形中， a b A B sin A sin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
例2.在ABC中，已知a 80，b 100， 0 A 45 ，试判断此三角形解的情况.
C b
a
A 如果a<b,那么可以分下面三种情况讨论： b B2
B
C a a B1
（1）若a>bsinA,则有两解;
（2）若a=bsinA,则只有一解.A
C b A a=bsinA B b
C
a<bsinA B
（3）若a<bsinA,则无解.
A
• 若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角
2 2 2
【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD CD ， AD 10 ， AB 14 ， BDA 60 ， BCD 135 ，求 BC 的长．
D
解：在 ABD 中，设 BD x ，由余弦定理得
C
A 142 x2 102 2 10 x cos60 ， 2 整理得 x 10 x 96 0 ，解得 x 16 ． BD sin CDB 16sin 30 8 2 ． 由正弦定理， 得 BC sin BCD sin135
C b=4
60°
╭
a=?
A
D
B
∴边长 a 的取值范围是 {a | a 2 3或a 4} ．
5.在⊿ABC 中，若 AB= 2 2 ，BC=2，且⊿ABC 有两解，则 A 的范围是（ A． (0,
）

3
)
B． (
, ) 3 2
C． (0,

4
)
D． (
, ) 4 2
解 1 ： ∵a＝2，c＝ 2 2 ，∴a＜c，∴A＜C，∴A 为锐角． 要使三角形有两解，则：csinA＜a＜c，即 2 2 sinA＜2＜ 2 2 ，
流星宇高考仿真卷理三
4.在⊿ABC 中，角 A，B 的对边分别是 a,b,且∠A= 60 ，b =4，那么满足 条件的⊿ABC 只有一个时，边长 a 的取值范围是 ．
o
C b=4
60°
╭
a=?
A
D
B
3 解 ： 易知 0 sin B 或 sin B 1 时，只有一解，故 {a | a 2 3或a 4} ． 2
三招破解三角形解的个数问题
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道 3 边，2 角 1 边， 2 边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的 条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修 5》在第 8 页到第 9 页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即： 在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理求出 sin B 的值， ①若该值大于 1，与 sin B 1 矛盾，则无解； ②若该值小于或等于 1，则要考虑 a ， b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角： 若 A 是钝角，且该值小于 1，则有 1 解，若该值等于 1，则无解； 若 A 是锐角，且 b a ，则有 1 解； 若 b a ，且该值小于 1，则有 2 解； b a ，且该值等于 1，则有 1 解． 但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解， 操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
3 a 1 ， 满足条件的△ABC 有两个，所以 2 2
解得： 3 a 2 ，则 a 的取值范围是 ( 3, 2) ，故选 C．
sin 45° 2 【解析】sin A＝ ·x＝ x. 2 4 因三角形有两解． 所以 45°<A<135°且∠A≠90°， 2 ∴x>2，且 x<1. 4 解得 2<x<2 2.
例 3．已知△ABC 中，a,b,c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边，∠B= 60° , b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是 ．
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况.
b sin A 分析：由sinB= ,可求出角B， a a sin C 0 则C=180 ( A B), 从而c= . sin A 1.当A为钝角或直角时:
必须a>b,才能有且只有一解，否则无解。
C b a C b a
A
B
A
B
2.当A为锐角时: 如果a b,那么只有一解。
a b 无解 若A为直角或钝角时: a b 一解锐角
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 角形时，只有当A为锐角且 b sin A a b 时，有两解； 其它情况时则只有一解或无解。
【例 1】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的情况（ ） （A）无解 （B）有一解 （C）有两解 （D）不能确定
C b A
a
3 3 2
>
6
D
解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ， 以顶点 C 为圆心，以 CB a 6 为半径画圆，看该圆与 AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0，故选 A．
2．△ABC 中，已知 a＝x，b＝2，B＝45°.若解此 (2，2 2) ． 三角形有两解，则 x 的取值范围是__________
解 ： 当 a sinB ＜ b ＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2 ， B=60° ， a=x ， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
4 3 那 么 x 应 满 足 x sin60° ＜ 2 ＜ x， 即 2＜ x＜ , 3 4 3 )． 故 x 的 取 值 范 围 是 ： (2, 3
a sin B 3sin 45 3 解：由正弦定理，得 sin A ， b 2 2 ∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60 或 120 ． b sin C 2 sin 75 6 2 当 A 60 时， C 75 ， c ； sin B sin 45 2