2.1 FFT变换
第2章 离散傅里叶变换和快速算法.ppt
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
matlab怎么对向量做傅里叶变换
MATLAB怎么对向量做傅里叶变换引言傅里叶变换是信号处理中非常重要的工具之一，它可以将一个信号从时域转换到频域。
在MATLAB中，我们可以使用内置的函数来对向量进行傅里叶变换。
本文将详细介绍如何在MATLAB中对向量进行傅里叶变换的方法和步骤。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而得到信号在频域上的表示。
它将信号从时域转换到频域，使我们能够分析信号的频谱特性。
二、MATLAB中的傅里叶变换函数MATLAB提供了多个函数来执行傅里叶变换。
其中最常用的函数是fft和fftshift。
2.1 fft函数fft函数用于执行快速傅里叶变换（FFT），它将一个向量作为输入，并返回其在频域上的表示。
使用fft函数可以得到一个复数向量，其中包含了信号的振幅和相位信息。
2.2 fftshift函数fftshift函数用于将FFT的结果进行平移，以使频谱的中心位于频率轴的中间位置。
这对于可视化频谱图非常有用。
三、对向量进行傅里叶变换的步骤下面是在MATLAB中对向量进行傅里叶变换的一般步骤：1.创建一个向量作为输入信号。
2.使用fft函数对向量进行傅里叶变换。
3.使用fftshift函数对傅里叶变换的结果进行平移。
4.可选：计算傅里叶变换结果的幅度谱和相位谱。
5.可选：绘制输入信号和傅里叶变换结果的频谱图。
下面将详细介绍每个步骤的实现方法。
3.1 创建输入信号首先，我们需要创建一个向量作为输入信号。
可以使用MATLAB的向量定义语法或者导入外部数据来创建向量。
例如，我们可以使用以下语句创建一个包含100个样本的正弦信号：fs = 1000; % 采样率t = 0:1/fs:1-1/fs; % 时间向量f = 10; % 信号频率x = sin(2*pi*f*t); % 正弦信号3.2 执行傅里叶变换接下来，我们使用fft函数对输入信号进行傅里叶变换。
fft函数的基本语法如下：X = fft(x);其中，x为输入信号，X为傅里叶变换的结果。
FFT算法
以此类推，经过M-1次分解，最后将N点DFT分解成N/2个2点DFT。一个完整的8点DIT-FFT运算流图如图2.1-4所示。图中用到旋转因子的关系式 。
图2.1-4 时间抽选的FFT流程图（N=8）
这种方法，由于每一次分解都是按输入序列在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，最终分解成N/2个2点DFT,以实现快速算法，所以称为时间抽取基2FFT算法。
FFT虽然仅仅是一种快速算法，其基本原理及计算公式是DFT。但它的意义已远远超出了一种算法的范围，它将DFT的计算速度提高了 倍。使许多信号的处理工作能与整个系统的运行速度协调，它的应用就从数据的事后处理进入到数据的实时处理。FFT算法的基本原理在于利用DFT原始变换矩阵的多余性，化简了原始变换矩阵。把计算长度为N的序列的DFT应用蝶形计算结构逐次的分解成计算长度较短序列的DFT。
由于这个原因，1965 年美国的库利（J , W 。Cooley ）和图基（J . W .Tukey）在《 计算机数学》 （Math . computation ,Vol. 19 , 1965 ）杂志上发表了著名的《 机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，引起了世界各国广泛的注意，20年来其发展速度极快。
图2.1-2 蝶形运算单位
由图2.1-2可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复数乘法和两次复数加法运算。由图2.1-1容易看出，经过一次分解，计算一个N点DFT共需计算两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。我们知道，计算一个N/2点DFT需要 次复数乘法和（N/2-1)N/2次复数加法。所以，N>1时按图2.1-1计算N点DFT总共需要 次复数乘法和 次复数加法运算。由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且 ,当N/2仍然是偶数时，则可以对N/2点DFT再作进一步的分解。
matlab中进行傅里叶变换
matlab中进行傅里叶变换# MATLAB中的傅里叶变换及应用## 引言傅里叶变换是信号处理领域中一项重要的数学工具，广泛应用于信号分析、图像处理、通信等领域。
MATLAB作为一种高效的科学计算软件，提供了强大的傅里叶变换工具，使得用户能够方便地进行信号频谱分析和处理。
本文将介绍MATLAB中傅里叶变换的基本概念、函数使用方法，并结合实例展示其在信号处理中的应用。
## 1. 傅里叶变换的基本概念### 1.1 时域与频域傅里叶变换是将时域信号转换到频域的一种数学工具。
在时域中，信号是关于时间的函数；而在频域中，信号则是关于频率的函数。
通过傅里叶变换，我们能够将信号在时域和频域之间进行转换，从而更好地理解信号的特性。
### 1.2 连续与离散傅里叶变换MATLAB中的傅里叶变换涵盖了连续和离散两种情况。
对于连续信号，可以使用`fft`函数进行变换；对于离散信号，可以使用`fft`函数进行快速傅里叶变换。
这两种情况下，变换的结果分别为连续频谱和离散频谱。
## 2. MATLAB中的傅里叶变换函数MATLAB提供了丰富的傅里叶变换函数，包括`fft`、`ifft`、`fft2`等。
这些函数可以适用于不同类型的信号，如一维信号、二维信号等。
以下是其中一些常用函数的简要介绍：### 2.1 `fft`函数`fft`函数用于计算一维离散傅里叶变换。
其基本语法为：```matlabY = fft(X)```其中，`X`为输入的离散信号，而`Y`则为变换后的频谱。
### 2.2 `ifft`函数`ifft`函数用于计算一维离散傅里叶反变换。
其基本语法为：```matlabX = ifft(Y)```其中，`Y`为输入的频谱，而`X`则为反变换后的信号。
### 2.3 `fft2`函数对于二维信号，可以使用`fft2`函数进行二维离散傅里叶变换。
其基本语法为：```matlabY = fft2(X)```同样，`X`为输入的二维信号，而`Y`则为变换后的二维频谱。
快速傅里叶变换处理稀疏矩阵-概述说明以及解释
快速傅里叶变换处理稀疏矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、数据压缩等领域。
它通过将时域信号转换到频域来实现信号的分析和处理，具有高效、快速的特点。
稀疏矩阵是一种具有大部分元素为零的矩阵。
由于其特殊的结构，稀疏矩阵在存储和计算的效率上具有很大优势。
在实际应用中，大量的数据都可以表示为稀疏矩阵的形式，例如图像数据、网络数据等。
本文将探讨如何利用快速傅里叶变换处理稀疏矩阵。
首先，我们将介绍快速傅里叶变换的原理，包括离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和快速傅里叶变换的基本概念。
然后，我们将详细介绍稀疏矩阵的定义和特点，包括稀疏矩阵的存储方式以及如何对稀疏矩阵进行表示和计算。
接着，我们将探讨快速傅里叶变换在处理稀疏矩阵中的应用，包括如何利用快速傅里叶变换提高稀疏矩阵的计算效率和压缩存储等方面的优势。
通过本文的研究和分析，我们可以得出结论：快速傅里叶变换在处理稀疏矩阵中具有重要的应用价值。
它不仅可以提高稀疏矩阵的计算效率和存储效率，还可以在图像处理、语音识别等领域中发挥重要作用。
因此，在实际应用中，我们可以充分利用快速傅里叶变换的优势，更好地处理和分析稀疏矩阵的数据。
文章结构部分的内容可以参考以下例子：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将提供对快速傅里叶变换处理稀疏矩阵的概述，介绍本文的目的和重要性。
通过该部分，读者将对文章的主要内容有一个整体的了解。
正文部分包括两个小节：2.1 快速傅里叶变换的原理和2.2 稀疏矩阵的定义和特点。
在2.1小节中，我们将详细介绍快速傅里叶变换的原理和算法，以及其在信号处理领域的应用。
在2.2小节中，我们将定义稀疏矩阵，并讨论稀疏矩阵的特点和常见表示方法。
简述fft变换的原理
简述fft变换的原理
FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的高效算法。
它能够将离散序列从时域（时间域）转换到频域（频率域），在信号处理、图像处理、通信等领域具有广泛的应用。
FFT通过降低傅里叶变换的计算复杂度，大大提高了计算效率。
FFT的原理可以简述如下：
1.傅里叶变换：傅里叶变换是将时域信号转换为频域信号的方法，它将信号分解为不同频率的正弦和余弦成分。
傅里叶变换的公式表达复杂，计算复杂度较高。
2.分治策略： FFT的核心思想是分治法，将原始信号分成若干子信号，分别计算它们的DFT，然后通过合并这些DFT的结果得到原始信号的DFT。
这样，FFT将原本需要O(N^2)次乘法和加法运算的傅里叶变换降低到了O(N log N)次运算。
3.蝶形运算：在FFT的计算过程中，采用了一种称为“蝶形运算”的策略，将多项式的乘法和加法运算通过重新排列计算，从而减少计算量。
蝶形运算实际上是一个特定的运算单元，它将两个复数相乘并进行加法操作。
4.迭代计算： FFT算法是递归性质的，它将原始信号不断分解为规模更小的子信号，然后逐步合并计算出最终的DFT。
这个过程不断迭代，直至计算出所有频率成分。
总之，FFT通过巧妙的分治策略和蝶形运算，将原本计算复杂度较高的傅里叶变换转化为高效的计算过程，使得在信号处理和频谱分析等领域中，能够更快速、有效地进行频域转换。
1/ 1。
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具。
它是一种将信号分解成不同频率成分的方法，可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像、雷达信号等。
傅里叶变换的基本思想是，任何信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率成分的正弦波，并计算它们在信号中的相对强度。
这些频率成分可以用幅度和相位来描述，它们可以用来分析信号的频谱特性，如频率分布、谐波含量、峰值位置等。
傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，其中N是信号的长度。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域。
除了FFT之外，还有其他的傅里叶变换算法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）等。
这些算法在不同的应用场景中有不同的优缺点，需要根据具体的需求进行选择。
定点fft matlab代码
定点fft matlab代码1.引言1.1 概述在文章的引言部分，我们首先要概述一下所要讨论的主题，即定点FFT （快速傅里叶变换）算法的Matlab代码实现。
定点FFT算法是一种计算机快速傅里叶变换的算法。
傅里叶变换是一种重要的信号处理工具，在很多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、音频处理等。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，需要进行大量的复数运算，导致计算时间较长。
而快速傅里叶变换算法通过巧妙地利用对称性和周期性的特点，在计算复杂度上有很大的优势，能够快速地对信号进行频域分析。
Matlab是一种功能强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析等领域。
在Matlab中，有很多已经实现好的函数可以方便地进行FFT 计算。
然而，这些函数通常是基于浮点数运算的，即使用双精度浮点数进行计算。
在某些应用场景下，我们可能需要使用定点数进行傅里叶变换，如在一些嵌入式系统中由于硬件限制无法支持浮点数运算。
因此，我们需要对FFT算法进行定点化的实现。
本文将介绍定点FFT算法的原理和在Matlab中的实现。
在实现过程中，我们将讨论如何进行定点数的表示和运算，并给出详细的代码实现。
同时，我们还将分析定点FFT算法在不同精度下的计算性能和结果精度，并进行相关的讨论和总结。
通过本文的阅读，读者将能够了解到定点FFT算法的原理和编程实现，以及在Matlab中如何使用定点数进行傅里叶变换。
这对于需要在嵌入式系统中进行傅里叶变换的工程师和研究人员来说，将是一份有价值的参考资料。
1.2 文章结构文章将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们将给出本文的概述，简要介绍定点FFT算法，并明确文章的目的。
首先，我们将解释FFT算法的基本原理以及其在信号处理中的应用。
接着，我们将介绍定点FFT算法的原理和特点，包括其对计算资源的要求和性能优化方面的研究。
最后，我们将明确文章的目的，即在Matlab中实现定点FFT算法，并对实验结果进行分析与讨论。
python fft和ifft用法-概述说明以及解释
python fft和ifft用法-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容通常用于介绍文章的主题和目标，以及为读者提供一个整体的认识和背景信息。
下面是一种可能的概述部分的内容：1.1 概述Python中的FFT（快速傅立叶变换）和IFFT（逆快速傅立叶变换）是一对重要的信号处理工具，它们在多个领域中被广泛应用。
FFT和IFFT 的算法以及其在数字信号处理中的作用是理解和掌握Python信号处理的重要基础。
本文将详细介绍FFT和IFFT的用法，并探讨它们在信号处理中的实际应用案例。
首先，我们将对FFT的基本概念和算法进行介绍，包括如何将时域信号转换为频域信号，并解释频谱分析和频域滤波的基本原理。
然后，我们将介绍IFFT的概念和用法，包括如何将频域信号转换回时域信号，以及如何利用IFFT进行信号重构和滤波。
通过学习和掌握这些基础知识，读者将能够更好地理解和应用FFT和IFFT。
总之，本文旨在为读者提供一个全面的了解FFT和IFFT在Python中的用法，并展示它们在实际信号处理中的应用案例。
无论你是初学者还是有一些基础的读者，本文都将帮助你快速入门和深入理解这些强大的信号处理工具。
让我们开始探索吧！文章结构部分的内容应包括对整篇文章的组织方式和各个章节的简要介绍。
文章的组织方式是按照引言、正文和结论三大部分来分章节，以便更好地展示和阐述Python中FFT和IFFT的用法。
引言部分将提供文章的背景和目的，正文部分将详细介绍FFT和IFFT的概念、用法和实例，结论部分将总结FFT和IFFT的应用，以及展示一些实际应用案例。
具体各章节的简要介绍如下：1. 引言1.1 概述：对文章内容进行简短的概述，介绍FFT和IFFT的基本概念和作用。
1.2 文章结构：本节主要介绍文章的组织方式和各章节的内容安排。
1.3 目的：明确文章撰写的目的和意义，说明读者可以从本文中获得什么。
2. 正文2.1 FFT的介绍和用法：详细介绍FFT（快速傅里叶变换）的原理、步骤和常见应用场景，同时提供Python中使用FFT的方法和示例代码。
fft快速傅立叶变换
fft快速傅立叶变换快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号从时域转换到频域的算法。
它是傅立叶变换的一种高效实现方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
一、傅立叶变换简介傅立叶变换是一种将信号分解为不同频率分量的方法。
通过傅立叶变换，我们可以将时域表示的信号转换为频域表示，从而得到信号的频谱信息。
傅立叶变换的公式为：F(k) = ∑[f(n) * e^(-2πikn/N)]其中，F(k)表示信号在频率为k的分量的振幅和相位信息，f(n)表示信号在时刻n的幅度，N为信号的采样点数。
二、傅立叶变换的问题传统的傅立叶变换算法在计算复杂度上存在问题，计算复杂度为O(N^2)，当信号的采样点数N较大时，计算量会非常大，导致计算时间较长。
为了解决这个问题，科学家们提出了快速傅立叶变换算法。
三、快速傅立叶变换的原理快速傅立叶变换是一种分治策略，通过将信号分解为多个子问题，并利用傅立叶变换的对称性质，将计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)。
快速傅立叶变换的核心思想是将信号分解为奇偶两部分，然后对奇偶部分分别进行傅立叶变换，最后再将结果合并得到最终的频域表示。
具体来说，假设信号的采样点数N为2的幂次，将信号分为偶数点和奇数点两部分，分别进行傅立叶变换。
然后，将两部分的结果合并，得到整个信号的频域表示。
这个过程可以递归地进行，直到信号被分解为最小的子问题。
四、快速傅立叶变换的应用快速傅立叶变换广泛应用于信号处理、图像处理和通信等领域。
在信号处理领域，快速傅立叶变换可以用于音频和视频信号的压缩、降噪、滤波等处理。
通过将信号转换为频域表示，可以方便地对信号进行分析和处理。
在图像处理领域，快速傅立叶变换可以用于图像的频域滤波、图像变换等操作。
通过对图像进行傅立叶变换，可以提取图像的频域特征，实现图像的去噪、增强等功能。
在通信领域，快速傅立叶变换可以用于信号的调制解调、频谱分析等操作。
fft曲线平滑-概述说明以及解释
fft曲线平滑-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种广泛应用于信号处理和频谱分析的算法。
通过将信号从时域转换为频域，FFT能够分析信号中的频率成分，从而实现对信号的特征提取、滤波和谱分析等功能。
在信号处理领域，FFT被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统、雷达系统等众多领域。
通过将信号转换为频域表示，FFT能够快速计算信号的频谱，并提取信号中的频率特征。
这为进一步的信号分析和处理提供了基础。
本文的重点是FFT曲线平滑方法。
在实际应用中，我们常常会遇到从FFT得到的频谱曲线存在噪声或震荡的情况。
这些噪声和震荡会对进一步的信号分析和处理带来困扰。
为了去除这些噪声和震荡，研究人员提出了各种FFT曲线平滑的方法。
这些方法包括基于窗函数的平滑、滑动平均平滑、高斯平滑等。
本文将介绍这些方法的原理和应用，并比较它们的优劣。
通过对FFT曲线的平滑处理，我们可以得到更准确和可靠的频谱结果。
这将有助于在音频处理、图像处理和通信系统等领域中更好地分析和理解信号。
同时，FFT曲线平滑方法的研究也是一个不断发展的领域，未来我们可以期待更多更有效的平滑算法的出现。
通过本文的学习，读者将能够深入了解FFT的基本原理、应用，以及FFT曲线平滑方法的原理、效果和应用。
同时，读者也可以对FFT曲线平滑的未来发展进行展望。
本文的目的是为读者提供一个全面的介绍和参考，帮助读者更好地理解和应用FFT曲线平滑技术。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以是以下几点：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章的研究对象进行概述，介绍FFT曲线平滑的背景和意义。
同时，还会对整个文章的结构进行简要说明，为读者提供一个概览。
正文部分是整篇文章的核心部分，包括FFT的基本原理、FFT在信号处理中的应用以及FFT曲线平滑的方法。
在2.1节中，我们将介绍FFT的基本原理，包括离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的基本概念和理论基础。
多相fft结构-概述说明以及解释
多相fft结构-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述多相FFT（Fast Fourier Transform）是一种基于快速傅里叶变换算法的信号处理技术。
它在现代数字信号处理领域得到了广泛应用，并在许多实际问题中展现出了强大的性能和灵活性。
传统的FFT算法通常处理复数序列，将输入序列从时域转换到频域，并实现诸如频谱分析、滤波、信号合成等功能。
然而，在一些实际应用中，信号的频谱可能包含多个不同的分量，而这些分量之间存在特定的相位关系。
这种情况下，传统的FFT算法并不能很好地处理。
多相FFT结构的出现正是为了解决这一问题。
多相FFT结构可以将输入序列分解成多个子序列，并分别进行FFT变换。
子序列之间通过系数矩阵进行连接，从而得到最终的频域结果。
这种结构能够充分利用信号中的相位关系，从而提高频谱估计的精度和准确性。
多相FFT的应用领域非常广泛。
在通信系统中，多相FFT可以用于频偏估计、信道均衡、符号定时等关键环节。
在音频信号处理中，多相FFT 可以用于声音增强、语音识别、音乐合成等方面。
除此之外，多相FFT还被广泛应用于雷达信号处理、图像处理、生物医学工程等领域。
本文将详细介绍多相FFT的定义和原理，并探讨其在不同领域的应用。
同时，还将分析多相FFT相比传统FFT的优势所在，并展望其未来的发展方向。
通过对多相FFT这一重要信号处理技术的深入研究，我们可以更好地理解其原理和应用，为解决实际问题提供更为有效的方法和工具。
文章结构部分主要是对整篇文章的结构进行描述，包括各个章节的内容和顺序。
在本文中，文章结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 多相FFT的定义和原理2.2 多相FFT的应用领域3. 结论3.1 多相FFT的优势3.2 未来发展方向在引言部分中，我们将对多相FFT进行概述，介绍其定义、原理和应用领域。
引言的目的是为了引起读者的兴趣并提供对多相FFT的基本了解。
n点fft要几级蝶形运算
n点fft要几级蝶形运算1.引言【1.1 概述】FFT（快速傅里叶变换）是一种重要的信号处理算法，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统以及其他领域。
它可以将一个时域信号转换为频域信号，通过分析信号的频谱特性，实现信号的各种处理和分析操作。
FFT算法通过利用傅里叶变换的对称性和周期性特点，从而减少计算量，提高运算效率。
通常情况下，FFT算法需要将问题划分为多个子问题，然后通过蝶形运算（Butterfly Operation）来实现计算的并行化。
蝶形运算是FFT算法的核心步骤之一，它通过对输入信号进行一系列复数运算，将输入序列划分成两部分，并按照特定规则进行计算，最终得到输出序列。
蝶形运算的级数和点数决定了FFT算法的复杂度和计算量。
在确定n点FFT算法的级数时，需要考虑两个因素：一是蝶形运算的可实现性，即每级蝶形运算的计算量和运算速度是否可接受；二是算法的效率和计算时间。
通常情况下，选择尽可能少的级数可以减少计算量，但可能会影响运算速度；选择较多的级数可以提高运算速度，但可能会增加计算量。
因此，在确定n点FFT算法的级数时，需要充分考虑系统要求、硬件资源、计算效率等因素。
根据具体的应用场景和需求，选择合适的级数可以在满足要求的同时，最大限度地提高FFT算法的运算效率。
在实际应用中，常见的n点FFT算法的级数为2、3、4等，可以根据具体情况进行选择。
综上所述，本文将对FFT算法的基本原理和算法流程进行详细介绍，并探讨n点FFT算法的级数选择问题。
通过对不同级数的蝶形运算进行分析和比较，希望为使用FFT算法的工程师和研究人员提供一些参考和指导，以便在实际应用中取得更好的效果和性能。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文主要包括以下几个方面的内容：1. 引言：介绍本文的研究背景和意义，以及本文的目的和结构。
2. FFT的基本原理：详细介绍FFT（快速傅里叶变换）的基本概念和原理，包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换的关系，以及FFT的关键思想和核心算法。
fft后的峰值就是相位差_概述及解释说明
fft后的峰值就是相位差概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文主要探讨了峰值与相位差之间的关系，在进行FFT（快速傅里叶变换）后，我们可以得到一个频谱图，其中最高峰值对应着信号中的主频率。
而相位差则描述了不同信号之间的时间偏移情况。
通过研究峰值与相位差之间的关系，我们可以更深入地理解信号处理领域中的一些原理和方法。
1.2 文章结构本文共包括五个部分：引言、FFT后的峰值与相位差的关系、实例分析和数学推导、应用举例和实际意义以及结论与总结。
在引言部分，将介绍文章所要讨论的主题，并简要概述文章内容安排。
接下来将逐步展开阐述FFT后的峰值与相位差之间的联系，并结合实例进行分析和数学推导。
然后，将给出一些具体应用举例以及这种关系在实际中的意义和价值。
最后通过总结和展望来归纳全文。
1.3 目的本文旨在解释说明FFT后峰值与相位差之间存在着什么样的关系，从乃至实例分析和数学推导的角度探索这种关系。
通过本文，读者将有助于更加深入地理解峰值与相位差之间的关系，并能够应用于实际信号处理领域中。
同时，我们也希望为进一步研究和探索这一领域提供了一定的参考价值。
2. FFT后的峰值与相位差的关系2.1 FFT的基本原理在进行频谱分析时，我们常常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT是一种将信号从时域转换到频域的算法，它将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波组成的谱线。
2.2 峰值对应的频率和相位差的定义当进行FFT之后，我们可以得到频谱图，其中能量最高或幅度最大的那个频率对应的点被称为峰值频率。
与此同时，每个频率上都有一个相位信息。
相位差即为两个波形之间在特定时间点上振动状态的差异。
2.3 解释说明峰值与相位差之间的关系在FFT中，峰值通常代表了信号中具有最大能量或幅度的那个频率。
而这个峰值所对应的相位信息则表示了该频率下信号波形参考特定起始点时（通常是零相位）所呈现出来的振动状态。
也就是说，相位差描述了该峰值频率相对于起始点来说，在特定时间点上处于何种振动状态。
16点fft的运算效率
16点fft的运算效率1.引言概述部分的内容可以包括对本文主题的简要介绍和背景说明。
下面是对1.1 概述部分内容的一个参考写法：概述随着数字信号处理技术的广泛应用，高效率的信号处理算法成为了研究的热点之一。
其中，快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）作为一种高效的频域处理算法，在信号处理、通信和图像处理领域发挥着重要作用。
本文将着重探讨16点FFT的运算效率。
对于更高维度的信号处理，16点FFT是一种常见的处理方式，它能够将16个采样点的时域信号转换为频域，提供详细的频率信息。
我们将通过分析16点FFT的基本原理和算法优化，旨在提高其运算效率。
通过评价其运算效率，可以帮助我们更好地理解并应用FFT算法在各种实际场景中。
文章将分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将对本文的主题进行概述，说明研究的背景和目的。
正文部分将详细介绍16点FFT的基本原理，并探究其在算法优化方面的研究成果。
最后，结论部分将对全文进行总结，并对16点FFT的运算效率进行评价。
通过对16点FFT的运算效率的研究，我们可以进一步提高信号处理算法的效率和准确性，为后续的信号处理应用提供更好的基础和指导。
同时，对于深入理解和运用高维度FFT算法的读者，本文也将具有一定的参考价值。
在正文部分，我们将对16点FFT的关键技术进行详细分析，以期能够更好地理解其优化思路和算法实现细节。
接下来，我们将详细介绍16点FFT的基本原理，以及对其运算效率的优化探索。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面探讨16点FFT的运算效率。
首先，我们将介绍FFT的基本原理，包括离散傅里叶变换的定义和算法流程。
其次，我们将重点讨论对16点FFT的算法优化，通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，提出一些优化策略，以提高16点FFT的运算效率。
在正文中，我们将首先介绍FFT的基本原理，解释离散傅里叶变换的定义和作用。
我们还会简要介绍FFT的算法流程，包括原始的蝶形算法和快速傅里叶变换算法的推导过程。
fft的perm format格式
fft的perm format格式1. 引言1.1 概述本文将讨论FFT（快速傅里叶变换）中的Perm format格式。
FFT是一种重要的信号处理技术，广泛应用于数字通信、图像处理、音频处理等领域。
Perm format是FFT算法中一种特殊的数据格式，它对输入序列进行重新排列，以优化计算效率和减少内存占用。
本文将介绍Perm format格式的基本原理和在FFT 中的应用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、FFT的Perm format格式、Perm format的优势和局限性、实例与案例分析以及结论与展望。
首先，我们将在引言部分提出全篇主题，并概述相关内容。
然后，在第二部分中，我们将详细介绍FFT的基本原理，并详细阐述Perm format格式在该算法中扮演的角色。
接着，在第三部分中，我们将评估Perm format格式的优势和局限性，并讨论其适用性范围。
第四部分将通过实例和案例分析来验证Perm format在真实场景中的应用效果。
最后，在第五部分中，我们将总结文章观点和结果，并给出未来发展方向建议。
1.3 目的本文旨在全面介绍FFT的Perm format格式，通过对其基本原理和应用进行分析和讨论，以展示Perm format格式在FFT算法中的重要性和有效性。
同时，我们也将探讨Perm format格式的优势和局限性，并提供实例和案例分析来进一步验证其实际应用价值。
最后，我们将总结全文内容，回顾主要观点，并提供未来研究方向建议，以促进Perm format格式的持续发展。
2. FFT的Perm format格式2.1 FFT的基本原理快速傅里叶变换（FFT）是一种广泛应用于信号处理和图像处理领域的算法，它可以将一个信号在频域和时域之间进行转换。
FFT算法通过将离散傅里叶变换（DFT）分解为多个较小的DFT计算来实现高效运算。
2.2 Perm format格式介绍Perm format是一种表示离散傅里叶变换系数排列顺序的格式。
python做傅里叶变换
Python做傅里叶变换一、什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学变换，可以将一个函数或序列表示为一组正弦和余弦函数的和。
它在信号处理、图像处理、通信等领域具有广泛的应用。
二、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换的基本原理是将一个函数或序列分解成一组基函数（正弦和余弦函数）的线性组合。
这些基函数的频率和振幅可以表示原始信号中不同频率的成分，从而提供了对信号频域特性的分析。
2.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）通常用于处理连续信号。
它将一个连续函数表示为正弦和余弦函数在所有频率上的加权和。
连续傅里叶变换公式如下：∞(t)e−iωt dtF(ω)=∫f−∞2.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）常用于处理离散信号。
它将一个离散序列分解成一组离散正弦和余弦函数的和。
离散傅里叶变换公式如下：N−1(n)e−i2πkn/NF(k)=∑fn=0三、Python中的傅里叶变换Python提供了多个库和函数用于实现傅里叶变换。
其中最常用的是NumPy库中的fft模块。
3.1 导入NumPy库为了使用NumPy库中的fft模块，我们首先需要导入NumPy库。
可以使用以下语句实现：import numpy as np3.2 傅里叶变换函数NumPy库中的fft模块提供了多个函数用于执行傅里叶变换。
其中最常用的是fft 函数和fftshift函数。
3.2.1 fft函数fft函数用于计算一维离散傅里叶变换。
它的语法如下：numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)参数说明： - a：输入数组，可以是实数或复数。
- n：返回结果数组的长度，如果未指定，则默认为输入数组的长度。
- axis：计算傅里叶变换的轴，默认为最后一个轴。
- norm：规范化类型，可以取None、"ortho"等值。
fft晶格间距确定晶面
fft晶格间距确定晶面以FFT晶格间距确定晶面引言：晶体学研究中，晶面是非常重要的概念。
晶面可以通过晶格间距来确定，而FFT（快速傅里叶变换）是一种常用的方法来计算晶格间距。
本文将介绍FFT的原理以及如何利用FFT来确定晶面。
一、FFT的原理FFT是一种将信号从时域转换到频域的算法。
在晶体学中，FFT可以用来分析晶体的衍射图样，从而得到晶体的晶格信息。
下面简要介绍FFT的原理。
1.1 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
在数学中，傅里叶变换可以表示为：F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx其中，F(k)表示频域上的信号，f(x)表示时域上的信号，k表示频率。
1.2 快速傅里叶变换快速傅里叶变换是一种高效计算傅里叶变换的方法。
它利用了傅里叶变换的对称性和周期性，通过递归的方式将计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。
在晶体学中，FFT常用于计算衍射图样的傅里叶变换，从而得到晶格间距的信息。
二、利用FFT确定晶面通过计算晶体的衍射图样的FFT，可以得到晶格间距的信息。
根据布拉格定律，晶格间距与衍射角度有关。
因此，通过分析FFT的频谱图，可以确定晶格间距，进而确定晶面。
2.1 衍射图样的FFT计算为了进行FFT计算，首先需要获取晶体的衍射图样。
衍射图样可以通过X射线衍射或电子衍射等实验方法获得。
然后，将衍射图样进行二维FFT计算，得到频谱图。
2.2 频谱图的分析得到频谱图后，可以通过分析频谱图来确定晶格间距。
频谱图中的峰值对应着不同的晶格间距。
通过观察峰值的位置和强度，可以确定晶格间距以及相应的晶面。
2.3 晶面的确定根据峰值的位置和强度，可以确定晶面的Miller指数。
晶面的Miller指数表示了晶面的方向和倾斜度。
通过对频谱图的分析，可以得到晶面的Miller指数，从而确定晶面。
三、应用实例以下是一个应用FFT确定晶面的实例。
3.1 实验假设有一块未知晶体，通过X射线衍射实验获得了其衍射图样。
fft幅值的单位
FFT幅值的单位1. 什么是FFTFFT（快速傅里叶变换）是一种将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的算法。
它通过将信号分解为一系列频率成分，可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
在信号处理领域，FFT广泛应用于音频、图像、视频等领域。
例如，在音频处理中，我们可以通过FFT来分析音乐中不同音调的强度和频率分布。
2. FFT的幅值在FFT中，幅值表示了每个频率成分的强度或振幅。
它告诉我们在给定频率上信号的能量大小。
幅值通常使用线性单位或对数单位来表示。
2.1 线性单位线性单位下的幅值直接表示了信号在每个频率上的能量大小。
它是一个非负实数。
假设我们有一个包含N个采样点的离散信号x(n)，其中n是时间索引。
通过对x(n)进行FFT变换，我们得到一个复数序列X(k)，其中k是频率索引。
对于线性单位下的幅值A(k)，它可以通过以下公式计算得到：A(k) = sqrt(Re(X(k))^2 + Im(X(k))^2)其中，Re(X(k))和Im(X(k))分别表示X(k)的实部和虚部。
2.2 对数单位对数单位下的幅值通常使用dB（分贝）来表示。
分贝是一种用于衡量两个物理量之间的比例关系的单位，它可以将一个广泛范围内的数值压缩到一个更容易理解和比较的范围内。
对于对数单位下的幅值A_dB(k)，它可以通过以下公式计算得到：A_dB(k) = 20 * log10(A(k))其中，log10表示以10为底的对数运算。
3. 幅值单位选择在选择FFT幅值单位时，我们需要根据具体应用场景和需求来决定。
3.1 线性单位的优点•直观：线性单位下的幅值直接表示了信号在每个频率上的能量大小，更容易理解。
•方便计算：线性幅值可以直接用于计算信号处理中常见的操作，如滤波、增益等。
•没有范围限制：线性幅值没有上限限制，可以表示任意大或小的幅度。
3.2 对数单位的优点•更广泛应用：在一些应用中，信号能量可能涵盖很大范围，使用线性单位表示不够直观。
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反之，在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的
f(x,y)要乘上一个正的指数项 e
j 2π (
u 0 x v0 y ) N
u xv y f x, y exp j 2 F u u , v v N
0 0 0
0
因此，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空 域中也只发生相移，而幅值不变。
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里设 为1），然后和图像原来的幅值谱 结合，进行傅里叶反变换
a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相 位谱较幅值谱更能 影响图像的轮廓。
傅立叶变换的性质
（1）可分性
1 F u, v 2 N 1 2 N 1 N
N 1 N 1 x 0 y 0
N 1
ux vy f x, y exp j 2 N
ux N 1 vy exp j 2 f x , y exp j 2 N y 0 N x 0
ux F x, v exp j 2 N x 0
例 对比
傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们 首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。
傅立叶变换的物理意义
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分 布是以原点为圆心，对称分布的。 将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率 分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期 性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正 弦干扰，移 频到原点的频谱图上可以看出除了中 心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点 集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以 很直观的通过在该位置放置带阻 滤波器消除干扰
傅立叶变换的比例性表明，对于二个标量a和b，有
af ( x, y ) aF (u , v ) 1 u v f ( ax, by) F( , ) | ab | a b
在空间比例尺度的展宽，相应于频域中比例尺度的 压缩，其幅值也减少为原来的 1
傅立叶原理
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都 可 以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据 该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始 信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的 频 率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反 变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单 独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信 号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可 以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最 后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时 域信号。
k 0 l 0 M 1 N 1
i 0,1,, M 1; j 0,1,, N 1;
图像变换基础
信号变换理论
“任意”的函数通过一定的分解，都能够表 示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦 函数在物理上是被充分研究而相对简单的 函数类。
5.2 傅里叶变换
傅里叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅里叶级数（三角级 数）创始人。 1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会 主席。 主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴 黎科学院呈交了《热的传播论文》，推导著名的热传导方程，并在求 解该方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任 意函数可以展成三角函数的无穷级数。
其中 Sa(t )
傅立叶谱在(0,0)处 取最大值； 傅立叶谱在
π ux=nπ
π vy=nπ 处取零值。
说明： 傅立叶谱通常用lg(1+|F(u,v)|) 的图像显示，而 不是F(u,v)的直接显示。因为傅立叶变换中， F(u,v)随u或v的衰减太快，这样只能表示F(u,v) 高频项很少的峰，其余都难于看清楚。 采用lg(1+|F(u,v)|) 显示 1. 能更好得表示F(u,v)的高频(即F(u,v)＝0的点)， 这样便于对图像频谱的视觉理解； 2. 这样显示的傅立叶频谱图像中，窗口中心为低频 （图像能量），向外为高频（噪声和细节），从 而便于分析。
图像的傅里叶 变换是图像在空域和 频域之间的变换
幅度和相位哪个更
能影响图像的形状呢
请看如下试验
先 准 备 两 张 图 片
a 图
b 图
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 幅 值 谱
b 图的相位谱
a 图的相位谱
图a的幅值谱 和图b的相位谱 重新组合
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 相 位 谱
F(u,v) = F*(-u,v) |F(u,v) |= |F(-u,-
共轭对称性可表示为
v)| 如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换， 则F*(-u,-v)是f(-x,-y)的傅立叶变换的共轭函数
（4）旋转不变性 如果引入极坐标
x r cosθ y r sin θ
u ω cosφ v ω sin φ
0 0
ux vy f x x , y y F u, v exp j 2 N
0 0 0 0
也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发 生相移，而傅立叶变换的幅值不变。
| F (u, v)e j 2π (ux0 vy0 ) || F (u, v) |
N N F (u , v ) 2 2
即，如果将图像频谱的原点从起点(0，0)移到图像中 心点(N/2，N/2)，只要f(x,y)乘上(－1)(x＋y)因子后，再 进行傅立叶变换即可。
（3）周期性和共轭对程称性
周期性可表示为
F u, v F u N , v F u, v N F u mN, v nN f ( x, y) f ( x mN, y nN) m, n 0,1,2,
第2章
图像变换
第2章 图像变换
2.1 傅里叶变换及其应用 2.2 离散余弦变换 2.3 小波变换及其应用
问题的提出
目的：为达到某种目的将原始图象变换映射到另 一个空间上，使得图象的某些特征得以突出，以 便于后面的处理和识别。 图像变换： 原则上，所有的图像处理都是图像变换。 本章：图像变换是指数字图像经过正交变换， 把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个 “变换域”形式描述的过程。
图像傅立叶变换
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
图像傅立叶变换
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
图像傅立叶变换
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
z ( x) f ( x) * g ( x) f (i) g ( x i)
i 0
N 1
N A C 1
任意函数与脉冲函数卷积的结果，是将该函数平移到脉冲所在位置。
对于图像二维函数的卷积，则
z (i, j ) f (k , l ) g (i k , j l )
则f(x,y)和F(u,v)分别变为f(r,θ) 和F(ω ，φ) 在极坐标系中，存在以下变换对
f (r, θ θ0 ) F (ω, θ0 )
该式表明，如果空间域函数f(x,y)旋转θ0角度后， 相应的傅立叶变换F(u,v)在频域中也旋转同一θ0角， 反之，F(u,v)在频域中旋转θ0角，其反变换f(x,y)在 空间域中也旋转θ0角
图像傅立叶变换
原图像
幅度谱
相位谱
图像傅立叶变换
原图像
幅度谱
相位谱
图像傅立叶变换
幅度谱告诉的什么 位置
通常我们只关心幅度谱
图像傅立叶变换
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 反映出原始图像 的灰度级变化， 这正是图像的轮 廓边
（5）分配性（线性）和比例性（缩放） 傅立叶变换的分配性表明，傅立叶变换和反变换 对于加法可以分配，而对乘法则不行，即
{ f1 ( x, y) f 2 ( x, y)} { f1 ( x, y)} { f 2 ( x, y)} { f1 ( x, y) f 2 ( x, y)} { f1 ( x, y)} { f 2 ( x, y)}
b 图的大体轮廓
b图的幅值谱与 a图的相位谱组合
a 图 的 相 位 谱
b 图 的 幅 值 谱
a 图的大体轮廓
由此可以说明相位 谱较幅值谱更能影响 图像的形状。 通俗的说，幅度决 定图像的强弱，相位 决定图像的频率。
先将幅值谱设为常数（这里设 为1），然后和图像原来的相位谱 结合，进行傅里叶反变换
f ( x, y)
φ
g ( x, y )
g ( x, y) [ f ( x, y)]
变换后的图象，大部分能量都分布
于低频谱段，这对以后图象的压缩、 传输都比较有利。使得运算次数减少， 节省时间。
卷积
考虑一维的情况，假设f(x)(x=0,1…,A-1)以及 g(x)(x=0,1,…,C-1)是两个有限离散函数，其线性 卷积为
• 数学与图像处理
• 空域与频域的桥梁 • 第二种语言
5.2 傅里叶变换 什么是傅立叶变换