高考第一轮复习：简单的逻辑联结词

一轮复习：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[最新考纲]1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.辨析感悟1．逻辑联结词的理解与应用(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(√)(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(×)2．对命题的否定形式的理解(3)(2013·山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)(4)(2013·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则綈p：∃n∈N,2n≤1 000.(×)(5)(2013·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p：∃x∉A,2x∉B.(×)(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.(×)[感悟·提升]1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6).学生用书第7页考点一含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()．A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真(2)(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析(1)函数y＝sin 2x的最小正周期为2π2＝π，故命题p为假命题；x＝π2不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A. 答案(1)C(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．【训练1】若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p ∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．答案綈p，綈q考点二含有一个量词的命题否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.解(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋14＜0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．【训练2】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题p ：∃x 0＞1，x 20－1＞0，那么綈p 是( )．A ．∀x ＞1，x 2－1＞0B ．∀x ＞1，x 2－1≤0C ．∃x 0＞1，x 20－1≤0D ．∃x 0≤1，x 20－1≤0(2)命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________． 解析 (1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ＞1，x 2－1≤0，故选B. (2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根”． 答案 (1)B (2)存在k ＞0，使方程x 2＋x －k ＝0无实根考点三 含有量词的命题的真假判断【例3】 下列四个命题 p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，012x ⎛⎫⎪⎝⎭＜013x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；p 2：∃x 0∈(0,1)，12log x 0＞13log x 0； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜13log x . 其中真命题是( )． A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4解析 根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞)，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞13x⎛⎫ ⎪⎝⎭，故命题p 1是假命题；由于12log x －13log x ＝lg x－lg 2－lg x－lg 3＝lg x (lg 2－lg 3)lg 2lg 3，故对∀x ∈(0,1)，12logx ＞13log x ，所以∃x 0∈(0,1)，12log x 0＞13log x 0，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，12log x ＞1，故12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＞12log x 不成立，命题p 3是假命题；∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，13log x ＞1，故12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜13log x ，命题p 4是真命题． 答案 D学生用书第8页规律方法 对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立. 【训练3】 (2013·开封二模)下列命题中的真命题是( )． A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1 C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3x D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故D 错误．所以选B. 答案 B1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题【典例】(12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a 的取值范围．[规范解答]∵函数y＝a x在R上单调递增，∴p：a＞1.不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，且a＞0，∴a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. (5分)∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假．(7分)①当p真，q假时，{a|a＞1}∩{a|a≥4}＝{a|a≥4}．(9分)②当p假，q真时，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}．(11分)故a的取值范围是{a|0＜a≤1，或a≥4}．(12分)[反思感悟] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算． 答题模板 第一步：求命题p ，q 对应的参数的范围．第二步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 真q 假”或“p 假q 真”．第三步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第四步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 【自主体验】(2014·锦州月考)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a ＞1，∴a ＜1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2；(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).对应学生用书P223基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )．A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 解析 根据特称命题的否定为全称命题知，选D. 答案 D2．(2014·合肥质检)已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是( )． A ．綈p B ．q C ．綈p ∨q D ．綈q ∧p解析 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，綈q 是真命题；则綈q ∧p 是真命题，綈p ∨q 是假命题，故选D. 答案 D3．下列命题中，真命题是( )．A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析 由函数奇偶性概念知，当m 0＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 答案 A4．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＜sin x解析 当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“∀x ∈R ，x 3＞0”是假命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0＜sin x ，故“∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＜sin x ”是真命题． 答案 C5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )．A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 答案 C 二、填空题6．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是________． 答案 ∃x 0∈R ，e x 0＞x 07．已知命题p ：x 2＋3x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是________．解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0] 三、解答题9．分别指出“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”的真假． (1)p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有两组对边相等．(2)p ：1是方程x 2－4x ＋3＝0的解；q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解． (3)p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ；q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅. 解 (1)p 真q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为假． (2)p 真q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真，“綈p ”为假． (3)p 假q 假，∴“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1. 即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴綈p ：c ＞1. 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12，∵c ＞0且c ≠1，∴綈q ：c ＞12且c ≠1. 又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真， q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞12，且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12＜c ＜1.②当p 假，q真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )．A ．∃α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B2．(2013·衡水二模)已知命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋2ax 0＋1＜0成立”为真命题，则实数a 满足( )．A ．[－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析 “∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1.答案 B二、填空题3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题：①若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤ 2b －1”； ③“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1≤1”；④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析 若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，根据正弦定理可得sin A ＞sin B ，所以④正确．故不正确的命题有①③.答案 ①③三、解答题4．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p 且q ”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．∴⎩⎨⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧m ≤2，1＜m ＜3.解得：m ≥3或1＜m ≤2，即实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．基础回扣练——集合与常用逻辑用语 (对应学生用书P225)(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·深圳二次调研)已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{2,0,1,3}的集合B共有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由题知B集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共4个，故选D.答案 D2．(2014·济南4月模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|log2x＜2}，则A∩B ＝()．A．(－1,3) B．(0,4) C．(0,3) D．(－1,4)解析将两集合分别化简得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，故结合数轴得A∩B＝{x|－1＜x＜3}∩{x|0＜x＜4}＝{x|0＜x＜3}．答案 C3．(2014·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是()．A．0 B．2 C．3 D．6解析∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.答案 D4．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()．A．(－1,1) B．(－2,2)C．[0,2) D．(－∞，2)解析解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.答案 C5．(2014·厦门质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是()．A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件C．x∈P是x∈Q的充分必要条件D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件解析P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．故选A.答案 A6．(2013·湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．答案 A7．(2014·长沙模考(二))下列命题错误的是()．A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0C．“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝ac”的充分不必要条件D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件解析对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项A正确．对于B，对命题p：任意x∈R，均有x2＋x ＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0，因此选项B正确．对于C，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，当b＜0时，b＝－ac；若b＝ac，有可能a＝0，b＝0，c＝0，则a，b，c不成等比数列，因此“a，b，c成等比数列”是“b＝ac”的既不充分也不必要条件．对于D，注意到由x＞2得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0；反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，如取x＝0时，x2－3x ＋2＞0，但此时0＜2，因此选项D正确．故选C.答案 C8．(2013·深圳调研)下列命题为真命题的是()．A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0解析对于A，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以D错；故选B.答案 B9．(2013·太原检测)已知p：x－1x≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()．A．(2＋2，＋∞) B．(－∞，2＋2] C．[2，＋∞) D．[6，＋∞)解析x－1x≤0⇒0＜x≤1⇒1＜2x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6，故选D.答案 D10．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4解析若已知a1＜a2＜a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1＞0时，解得q＞1，此时数列{a n}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1＜a2＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.答案 D二、填空题11．(2014·金华第二次统练)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若∁I(M∩N)＝∁I N，则M∪N＝________.解析由Venn图可知N⊆M，∴M∪N＝M.答案M12．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析由题意知a2＝4，所以a＝±2.答案±213．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N ＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)14．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞1x0”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．解析全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤1 x.答案∀x∈(0，＋∞)，x≤1x假15．(2013·海口模拟)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)16．(2013·昆明质检)下面有三个命题：①关于x 的方程mx 2＋mx ＋1＝0(m ∈R )的解集恰有一个元素的充要条件是m ＝0或m ＝4；②∃m 0∈R ，使函数f (x )＝m 0x 2＋x 是奇函数；③命题“x ，y 是实数，若x ＋y ≠2，则x ≠1或y ≠1”是真命题．其中真命题的序号是________．解析 ①中，当m ＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m ＝0时，f (x )＝x 显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x ，y 是实数，若x ＝1且y ＝1，则x ＋y ＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题． 答案 ②③三、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.故实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．18．已知命题p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 由关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，知0＜a ＜1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a ＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧ a ＞0，1－4a 2＜0，解得a ＞12. 因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＞12⇒a ＞1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，a ≤12⇒0＜a ≤12. 综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞).。