第二章 生命函数与生命表理论

第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法 基本原理 插值法 1）均匀分布假定(线性插值 ）均匀分布假定 线性插值) 线性插值 2）常数死亡力假定 几何插 ）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定 调和插值 假定(调和插值 ） 假定 调和插值)
均匀分布假定(线性插值 均匀分布假定 线性插值) 线性插值
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起 选择和终极表：选择效果和终极表合在一起. 表2-3 假定两位老人今年都是65岁 例.假定两位老人今年都是 岁，甲老人是今年刚刚体检合 假定两位老人今年都是 格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险 年前购买的保险， 格购买的保险，乙老人是 年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用表2-3的选择 的选择-终极生命表估计两位老人分别活 范围内。使用表 的选择 终极生命表估计两位老人分别活 岁的概率。 到73岁的概率。 岁的概率
剩余寿命的期望和方差
∞ w−x
o
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值 均值 均值),简记 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值 简记 ex
ex = E(T(x)) = ∫ t ⋅ fT (t)dt =
0
o
∫
0
t
pxdt
o2
剩余寿命的方差： 剩余寿命的方差：
Var(T(x)) = E(T(x)2 ) − E(T(x))2 = 2 ∫ t ⋅ t pxdt −ex
s(x + t) = (1−t)s(x) +ts(x +1) , 0 < t <1
q[x]+n 编制的生命表称为选择生命表 编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年 投保期超过 年的同一年龄上的死亡概率 若选择期为 年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率 相等. 相等
q[x−r]+r = q[x−r−1]+r+1 = q[x−r−2]+r+2 =L= qx
终极表： 终极表：依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命 表.
整值余寿的分布函数
k ≤ T(x) < k +1, k = 0,1,L
Pr(K(X) ≤ k) = Pr(T(x) < k +1) =k+1 qx
整值余寿的生存函数
Pr(K(X) > k) = Pr(T(x) ≥ k +1) =k+1 px
整值余寿的密度函数
Pr(K(X) = k) = Pr(k ≤T(x) < k +1)= k qx
第一节 寿命
寿命的分布函数 新生儿在x岁之前死亡的概率 新生儿在 岁之前死亡的概率
F(x) = Pr( X ≤ x), x ≥ 0.
假定寿命极限为w，满足： 假定寿命极限为 ，满足：
(1)F(0) = 0;
(2)F(w) =1.
寿命的生存函数 随机变量X的生存函数 随机变量 的生存函数
S(x) = Pr( X > x) =1− F(x), x ≥ 0.
k
qx =k+1 qx −k qx =k px −k+1 px = k px ⋅ qx+k
整值余寿的期望与方差 整值剩余寿命的期望值
w−x−1 k=0 w−x−1
ex = E(K(x)) =
整值剩余寿命的方差
∑ k⋅
k
px ⋅ qx+k =
∞
∑
k=0
k+1
px
2 Var[K(x)] = E[K2 (x)] − E2[K(x)] = ∑(2k +1) ⋅ k+1 px −ex k =0
0 5
1)e95 = ∫ t p95dt = 2.5;
0
d95 100 2 2)m = = 1 = ; 95 L95 l95+xdx 9 ∫
0
第七节 选择-终极生命表 选择选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动， 选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动， 而且随已投保年限长短变动. 而且随已投保年限长短变动
假定寿命极限为w，满足： 假定寿命极限为 ，满足：
(1)S(0) =1 ;
(2)S(w) = 0.
新生儿将在x岁至 岁之间死亡的概率 新生儿将在 岁至z岁之间死亡的概率 岁至
Pr(x < X ≤ z) = s(x) − s(z)
岁的概率； （1）刚出生婴儿活过 岁的概率； ）刚出生婴儿活过60岁的概率
lx+t S(x +t) = t px = lx S(x)
岁的人在x与 岁之间生存的总年数； 5.t Lx :x岁的人在 与x+t岁之间生存的总年数； 岁的人在 岁之间生存的总年数
t
Lx = ∫ lx+sds
0
t
特别： 时 特别：t=1时，有
1 Lx ≈ (lx +lx+1) 2 6.mx :中位死亡率：x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数； 中位死亡率： 岁的人平均每存活一年会发生的死亡数 岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；
死亡效力表示剩余寿命的密度函数
f (x) = µx ⋅ S(x) = µx ⋅ exp{−∫ µsds}
0
x
S(x) − S(x +t) G(t) =t qx =1− t px = S(x) d d S(x) − S(x +t) S(x +t)µx+t g(t) = G(t) = = t px ⋅ µx+t = dt dt S(x) S(x)
q[x]+n 表示 岁加入保险、经过 年在 表示x岁加入保险 经过n年在 岁加入保险、 年在x+n岁的死亡概率 岁的死亡概率. 岁的死亡概率 q[x] < q[x−1]+1 < q[x−2]+2 <L
把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为 把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为 选择效果明显期. 选择效果明显期
生命表起源 Halley
生命表的理论基础
kn 依概率收敛 lim P(x) → n→∞ n
生命表的构造
1.lx (x = 0,1 L, w−1):存活到 岁的期望个数； , 存活到x岁的期望个数 岁的期望个数； lx = l0 ⋅ S(x)
之间死亡的期望人数； 与 之间死亡的期望人数 2.t dx : 在x与x+t之间死亡的期望人数；
剩余寿命的生存函数
ST (x) (t) = Pr(T(x) > t) = Pr(X > t + x | X > x) S(x +t) = = t px =1−t qx S(x)
特别地. 特别地
(1)x p0 = S(x); (2) px =1 px;
(3) t|u qx =t px −t+u px = t px ⋅ u qx+t
120 − x 例 假设某人群的生存函数为 S(x) = ,0 ≤ x <120.求： 10
岁的人至少还能再活45年的概率 （1）39岁的人至少还能再活 年的概率； ） 岁的人至少还能再活 年的概率； 岁的人能活过71岁但活不过 岁的概率. （2）56岁的人能活过 岁但活不过 岁的概率 ） 岁的人能活过 岁但活不过84岁的概率
µx = A+ Bcx
S(x) = exp{−Ax − B(cx −1)/lnc} , B > 0,A ≥ -B,c >1,x ≥ 0
Weibull模型 模型(1939) 模型
µx = kxn
S(x) = exp{−kxn+1 /(n +1)} , k > 0, n > 0, x ≥ 0
第六节 生命表
dx = lx −lx+t 特别： 时 特别：t=1时，记作 dx
t
S(x) − S(x +t) t qx = Pr( X ≤ x + t | X > x) = S(x) 特别：t=1时，记作 qx 特别： 时
之间存活概率； 与 之间存活概率 4.t px : 在x与x+t之间存活概率；
之间死亡概率； 与 之间死亡概率 3.t qx : 在x与x+t之间死亡概率； t dx t qx = lx
如果40岁以前死亡效力恒定为 岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力 例. 如果 岁以前死亡效力恒定为 ， 岁之后死亡效力 提高到0.06，求25岁的人未来的期望存活时间。 岁的人未来的期望存活时间。 提高到 ， 岁的人未来的期望存活时间 在未来25年内的期望存活时间 在未来 年内的期望存活时间
第五节 有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型 模型(1729) 模型
1 µx = ω− x x S(x) =1− ,
ω
0 ≤ x ≤ω
Gompertze模型 模型(1825) 模型
µx = Bcx
S(x) = exp{−B(cx −1)/lnc}, B > 0,c >1,x ≥ 0
Makeham模型 模型(1860) 模型
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率； 后者是条件概率；
特别地. 特别地
(1)t q0 = F(t); (2)1qx记 qx ; 为
(3)t|u qx = Pr(t < T(X) ≤ t +u) = Pr(x +t < X ≤ x +t +u X > x) S(x +t) − S(x +t +u) = S(x)
0
0 w
x
第二节 剩余寿命