概率论上机实验报告

西安交通大学概率论与数理统计
实验报告
一． 实验问题
用蒙特卡方法估计积分值 1. 估计dx x ⎰3
2
2.
⎰20
sin πxdx x . dx e x ⎰+∞
-02
的值并将估计值与真值进行比较 2. 估计
dx e
x ⎰1
2
.
dx x
⎰+2
2
11
的值并对误差进行估计。

二．问题分析
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。

设欲求积分
其中，P ＝P (x 1，x 2，…，xs ) 表示 s 维空间的点，Vs 表示积分区域。

取Vs 上任一联合概率密度函数 f (P)，令 则
⎰=s
V d G P
P )(θ)()()(P P P f G g =[]
)()()(P P
P P g E d f g s
V ==⎰
θ
即θ是随机变量 g (P) 的数学期望，P 的分布密度函数为
f (P) 。

现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：
P i ，i ＝1，2，…，N ， 则
就是θ的近似估计。

因此，我们可以利用matlab 产生（0，1）区间均匀分
布随机数以及标准正态分布随机数的指令得到理想的随机数。

并对它进行一定的数学变换，即可得到需要的样本，进而得到积分值，以及对结果的误差估计
三． 程序设计
1. dx x ⎰3
2
2
程序如下:
clc; clear; m=10; n=10000; d=0; e=0;
for i=1:m d=0;
a=rand(1,n); for j=1:n b=a(j)+2;
c=b^2;
e(i)=d+c/n; d=e(i); end
fprintf('e=%.8f\n',e(i)) end
p=sum(e)/m; for j=1:m;
s(j)=(e(j)-p)^2; end
q=sum(s);
fprintf('x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q);
2. ⎰20
sin πxdx x
∑==N
i i N g N g
1
)(1ˆP
程序如下：
clc; clear; m=10; n=10000; d=0; e=0;
for i=1:m d=0;
a=rand(1,n); for j=1:n b=a(j)*3;
c=b*sin(b)*3
e(i)=d+c/n; d=e(i); end
fprintf('e=%.8f\n',e(i)) end
p=sum(e)/m; for j=1:m;
s(j)=(e(j)-p)^2; end
q=sum(s);
fprintf('x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q);
3. dx e x ⎰+∞
-02
程序如下：
clc; clear; m=10; n=10000; d=0; e=0;
for i=1:m d=0;
a=rand(1,n); for j=1:n
b=exp(-a(j)^2/2); c=b/n*(2*pi)^0.5;
e(i)=d+c/2; d=e(i); end
fprintf('e=%.8f\n',e(i)) end
p=sum(e)/m; for j=1:m;
s(j)=(e(j)-p)^2; end
q=sum(s);
fprintf('x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q);
4.
dx e
x ⎰1
2
程序如下：
clc; clear; m=10; n=10000; d=0; e=0;
for i=1:m d=0;
a=rand(1,n); for j=1:n
b=exp(a(j)^2); c=b/n; e(i)=d+c; d=e(i); end
fprintf('e=%.8f\n',e(i))
end
p=sum(e)/m; for j=1:m;
s(j)=(e(j)-p)^2;
end
q=sum(s);
fprintf('x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q);
5. dx x
⎰+2
2
11
程序如下：
clc; clear; m=10; n=10000; d=0; e=0;
for i=1:m d=0;
a=rand(1,n); for j=1:n
b=a(i)*4;
c=1/((1+b^2)^0.5); e(i)=d+c*4/n; d=e(i); end
fprintf('e=%.8f\n',e(i)) end
p=sum(e)/m; for j=1:m;
s(j)=(e(j)-p)^2; end q=sum(s);
fprintf('x=%.8f\ny=%.8f\n',p,q);
四．实验结果
1. dx x ⎰3
2
2
e=6.34879520 e=6.34068140 e=6.35081124 e=6.31353632 e=6.35586630 e=6.33058791 e=6.32419121 e=6.33707454 e=6.30357011 e=6.35063255 x=6.33557468 y=0.00273819 2.
⎰
20
sin πxdx x
e=3.12211717 e=3.11373037 e=3.07484948 e=3.08660758 e=3.10052243 e=3.10475698 e=3.13762746 e=3.16481618 e=3.11552000 e=3.09615989 x=3.11167076 y=0.00602301
3. dx e x ⎰+∞
-02
e=0.88617655 e=0.88538972 e=0.88635209 e=0.88575809 e=0.88653705 e=0.88606366 e=0.88634011 e=0.88613926 e=0.88573325 e=0.88644154 x=0.88609313 y=0.00000119
4.
dx e
x ⎰1
2
e=1.46211146 e=1.46154792 e=1.46327379 e=1.46256348 e=1.46318297 e=1.46235828 e=1.46241378 e=1.46316145 e=1.46203052 e=1.46280489 x=1.46254485 y=0.00000288
5. dx x
⎰+2
2
11
e=1.98511173 e=1.02167881 e=1.26713031 e=0.98770837 e=1.14216662 e=1.75642022 e=1.97055988 e=1.96227794 e=1.83229787 e=1.06190231 x=1.49872541 y=1.71205432
其中e 为实验值，x 为平均值，y 为方差。

五 实验总结与体会
通过这次实验，我掌握了利用计算机软件通过蒙特卡方法估计积分值的方法；体会到了概率论与数理统计这一学科在积分领域的独特作用以及估计的基本思想，加深了我对书本理论知识的理解；同时使我的matlab 编程技巧有了一定的提高。

在实验过程中，不够注重程序语言的精准性，经常被一个小小的标点符号而影响了实验结果。

在今后的实验中我要吸取教训。

做到细心，谨慎。