2015年中考第一轮复习第25讲 解直角三角形及应用

解析： ∵∠BCD＝60° ， ∠BAD＝30° ， ∠B＝∠BCD －∠BAD＝30° ，∴AC＝BC＝100 米．如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，在 Rt△BCE 中，∠BCE＝60° ， ∴BE＝BC×sin 60° ＝50 3(米)．故选 B.
答案： B
7．如图，在△ABC 中，∠A＝45° ，∠B＝30° ， CD⊥AB，垂足为 D，CD＝1，则 AB 的长为( )
2．(2014· 丽水)如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡 比 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之 比)，坝高 BC＝3 m，则坡面 AB 的长度是( )
A．9 m C．6 3 m
B．6 m D．3 3 m
解析：∵坡比为 1∶ 3，即 BC∶AC＝1∶ 3，即 BC 3 tan A＝ ，∴∠A＝30° .∵BC＝3 m，又∵sin A＝ ， AB 3 3 即 sin 30° ＝ ，∴AB＝6(m)．故选 B. AB 答案： B
解：如图，过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 E.在 Rt△ABE 中，AB＝25 米，∠ABC＝62° ，
∴AE＝25×sin 62° ≈25×0.88＝22(米)． BE＝25×cos 62° ≈25×0.47＝11.75(米)． 在 Rt△ADE 中，AE＝22 米，tan 50° ≈1.20， AE 22 ∴DE＝ ≈ ≈18.33(米)． tan 50° 1.20 ∴DB＝DE－BE≈18.33－11.75＝6.58(米)． 答：应将坝底向外拓宽 6.58 米．
A．2 3 C. ＋1 3
B．2 3 D. 3＋1
解析： 在 Rt△ACD 中， ∵∠ADC＝90° ， ∠A＝45° ， ∴AD＝CD＝1. 在 Rt△BCD 中，∵∠BDC＝90° ，∠B＝30° ， CD 1 ∴BD＝ ＝ ＝ 3. tan B tan 30° ∴AB＝AD＋BD＝1＋ 3.故选 D. 答案： D
第六章 图形的相似与解直角三角形
第25讲
解直角三角形及应用
考点一
解直角三角形
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)．
2．直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A，∠B，∠C 的 对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系：a ＋b ＝c ； (2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° ；
考点三
解直角三角形的应用
例 3(2014· 莱芜)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝ 62° ，坡面长度 AB＝25 米(图为横截面)，为了使堤 坝更加牢固，
一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50° ，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留 到 0.01 米)(参考数据：sin 62° ≈0.88，cos 62° ≈0.47， tan 50° ≈1.20) 【点拨】本题考查解直角三角形的应用，坡度、 坡角问题是常见的类型．
解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点P作 PN⊥BD于点N，
∵AP∥BD，CE⊥AP， ∴AM＝CE＝PN＝5 km，MN＝AP＝20 km. 在Rt△ABM中，∵∠B＝45° ，
∴BM＝AM＝5(km)． 在 Rt△PND 中，由题意可得∠D＝30° ， PN 3 5 ∵tan D＝ ，即 ＝ ， DN 3 DN ∴DN＝5 3(km)． ∴BD ＝ BM ＋ MN ＋ DN ＝ 5 ＋ 20 ＋ 5 3 ＝ 25 ＋ 5 3(km)．
202－42 3
6．(2014· 随州)如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距 离，在 A 点测得∠BAD＝30° ，在 C 点测得∠BCD＝ 60° ， 又测得 AC＝100 米， 则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( )
A．100 米 200 C. 3 米 3
B．50 3 米 D．50 米
方法总结： 解直角三角形时，结合图形，根据题目的已知条 件选择合适的表达式求解.一般地，尽可能选择乘法表 达式，并尽可能使用题目给出的原始数据求解.
考点二
用直角三角形的边角关系解三角形
例 2(2014· 济宁)如图，在△ABC 中，∠A＝30° ， ∠B＝45° ，AC＝2 3，则 AB 的长为________．
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝6， 2 cos B＝ ，则 BC 的长为( A 3 A．4 18 13 C. 13 B．2 5 12 13 D. 13 )
2．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯 角分别为 30° ，45° ，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 AB 两点间 的距离是( )
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A＝α，AC ＝3，那么 AB 的长为( D A．3sin α B．3cos α ) 3 C. sin α 3 D. cos α
AC 解析：在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，cos α＝ ， AB AC 3 ∴AB＝ ＝ .故选 D. cos α cos α
3．某人想沿着梯子爬上高 4 m 的房顶，梯子的倾 斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60° ， 否则就有危险， 那么梯子的长至少为( C A．8 m 8 3 C. m 3 ) B．8 3 m 4 3 D. 3 m
4．如图，两个建筑物 AB 和 CD 的水平 距离为 30 m，张明同学住在建筑物 AB 内 10 楼 P 室，
5． (2014· 毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的 半圆 O，点 C 恰在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 3 D，已知 cos∠ACD＝ ，BC＝4，则 AC 的长为( 5 )
A．1
20 B. 3
C．3
16 D. 3
解 析 ： ∵AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， ∴∠ACB ＝ 90° .∵CD⊥AB ， ∴∠ADC ＝ 90° .∴∠ACD ＝ ∠B. 在 BC 3 Rt△ABC 中，∵cos B＝cos∠ACD＝ ，BC＝4，即 AB 5 3 20 ＝ ，解得 AB＝ .∴AC＝ AB2－BC2＝ 5 3 16 ＝ .故选 D. 3 答案： D
一锐角与邻 边(如∠A，b) 一锐角与对 边(如∠A，a) 斜边与一锐 角(如 c，∠A)
∠B＝90° －∠A；a＝b· tan A； b c＝ cos A a ∠B＝90° －∠A；b＝ ； tan A a c＝ sin A ∠B＝90° －∠A；a＝c· sin A； b＝c· cos A
温馨提示： 解直角三角形的思路可概括为 “有斜 斜边 用弦 正弦、 余弦， 无斜用切正切， 宁乘勿除， 取原避中”.
他观测建筑物 CD 楼的顶部 D 处的仰角为 30° ， 测 得底部 C 处的俯角为 45° ，求建筑物 CD 的高度． ( 3≈1.73，结果保留整数)
解：如图，过点P作PE⊥CD于点E，则四边形 BCEP是矩形，
∴PE＝BC＝30 m. 在 Rt△PDE 中，∵∠DPE＝30° ，PE＝30 m， 3 ∴DE＝PE· tan 30° ＝30× ＝10 3≈17.3(m)． 3 在 Rt△PEC 中，∵∠EPC＝45° ，PE＝30 m， ∴CE＝PE＝30(m)． ∴CD＝CE＋DE≈30＋17.3≈47(m). 答：建筑物 CD 的高约为 47 m.
【点拨】如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ACD 中，AC＝2 3，∠A＝30° ，∴CD＝ 3，AD ＝ AC2－CD2＝3. 在 Rt△BCD 中，CD＝ 3，∠B＝ 45° ，∴BD＝ 3，∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3.
【答案】
3＋ 3
温馨提示： 当三角形不是直角三角形时，可以通过作高构造 直角三角形求解.
考点一
解直角三角形 )
例 1(2014· 杭州)在直角三角形 ABC 中，已知∠C ＝90° ，∠A＝40° ，BC＝3，则 AC＝( A．3sin 40° C．3tan 40° B．3sin 50° D．3tan 50°
【点拨】∵∠B＝90° －∠A＝90° －40° ＝50° ， AC tan B＝ ，∴AC＝BC· tan B＝3tan 50° .故选 D. BC 【答案】 D
方法总结： 坡度、坡角和仰角、俯角问题是应用解直角三角 形解决问题的两种常见类型.①坡度、坡角问题中，两 个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决 此类题目的基本出发点；②仰角、俯角问题中，若出 现两个不同的仰角俯角或一个仰角、一个俯角，解 决此类问题时，一般是设出未知数，用同一个未知数 表示问题中的未知量，然后根据问题中的数量关系列 出方程求角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角 如图②，坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫做坡 h 度(或坡比)，即 i＝tan α＝ ，坡面与水平面的夹角 α l 叫做坡角．
答案：A
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，如果 a2 ＋ b2 ＝ c2 ，那么下列结论正确的是 ( A ) B．bcos B＝c D．ctan B＝b
2 2
A．csin A＝a C．atan A＝b
2
a 解析： ∵a ＋ b ＝ c ， ∴∠C ＝ 90° .∵sin A ＝ ， c ∴csin A＝a，∴A 正确．故选 A.
A．200 米 C．220 3米
B．200 3米 D．100( 3＋1)米
解析： ∵∠ACD ＝ 60° ， CD ＝ 100( 米 ) ， ∴AD ＝ CD· tan∠ACD ＝ 100 3( 米 ) ． ∵∠BCD ＝ 45° ， CD ＝ 100( 米 ) ， ∴BD ＝ CD ＝ 100( 米 ) ． ∴AB ＝ AD ＋ BD ＝ 100( 3＋1)米．故选 D. 答案： D