竞争种群模型的反射函数与周期解
一类飞蝇——天敌生态系统的概周期解
ｃＰ ｔ ） 且 ６Ｍ１一ｄ＞０ 于 是 ｌ ｕＰ（）≤ ｔ（ ） ， “ ， ｉ ｓｐ ｔ ｍ
ｔ ｂＭ １ ｄ ￣
－ —
—
：： ・ ． Ｍ２与前面讨论相同， Ｐ ０ ≤ 若 （）
Ｃｌ
由 ｛－｝ ，以 第 个 程 ： ｔ 时 ， Ｐ（）≤Ｍ２故 厂 是 系统 （ ）的最终 于 卢 麦所 由 一 方 知Ⅳ ≥ 有 ｔ ． Ⅵ １
其 中 Ｎ ｔ ， （） （）Ｐ ｔ分别代表 ｔ 时刻的飞蝇种群数量 和天敌种群数量 ， 系数 ０ ｔ ， （） （） ０ ｔ ， ｃ ） １ ｔ ， ｔ ， （） ｂ （ ３ ｃ （）ｃ ￡ ， （） ｔ，（） ｄ ｔ都是定义 在 ［ ， Ｏ ＋∞］ 上连 续、 有 界、 严格正的概周期 函数 ， （ ） Ｒ＋ ＋ 为分段 ｋ ｓ ： ＿ Ｒ＋ 连续函数 ， 并且满足
摘要： 研究 了一类 飞蝇——天敌两 种群动力学模 型 ， 该生态 系统是 一飞蝇种 群被一天 敌种群捕 食． 论 讨 了该生态 系统的正不变集存在 性及其解的有界 性 ； 一步采用 构造 Ｌａ ｔｏ 泛 函的方法 和概周 期解 存 进 ｉ ｍｖ ｐ
在唯一性定 理 ， 明了该生态系统正概周 期解的存在唯一性 ． 证
．
ｆ 后ｓｄ ＝１．＝ｆ ｓ（）ｓ＜ （）ｓ ｔ 后ｓｄ ＋∞ ４
初 始 条件
（） ２
１ 解 的 有 界 性
引理 １ 证明 是生态系统 （ ） １ 的正不变集．
Ⅳ（） 妒 ｓ ≥Ｏ ｓ 一∞， ］尸 ｔ ≥ ， ｓ ＝ （） ， Ｅ（ ０ ， （） Ｏ ｔ Ｅ ０ ＋∞］ ［， ． （） ３ 为方便起见 ， 文采用记法 ： Ⅳ， ）Ｅ 本 （ 尸 ＝ ｛ Ⅳ， ） Ｒ ＝Ｉ ０ Ｐ＞ ｝ 由生物学意义 ， （ 尸 Ｅ Ｎ＞ ， ０ ． 只
具有反应时滞的种间竞争模型
具有反应时滞的种间竞争模型在生态学领域，种群生态成为最近研究的热点议题之一。
种群波动受到很多方面的干扰，比如时滞。
本文首先对不同和相同种群间的竞争机制进行了深入的剖析，在此基础上构建了以时滞为变量的不同和相同种群间的竞争模型并利用计算机展开模拟，对时滞效应如何使得相同种群数量发生变化、对数量变动周期的作用原理以及如何影响两竞争种群进行了实例分析。
主要得到以下结论：第一，通过对具有时滞的离散和连续种内竞争模型的模拟研究发现，时滞是导致种群不稳定的重要因素，一般时滞越长，种群越不稳定。
时滞有着双向的作用，它一方面会造成系统的不稳定，但由另一个角度来讲，有些时候也能极大地稳定系统。
第二，由具时滞种间竞争系统可发现，时滞拥有较大影响。
随着时滞增强，种群数量会产生较大幅的波动，极有可能还将产生周期性波动，从而极大影响系统的稳定性。
种群生态学是催生动物生态学的几门前提学科之一，该学科的研究可以分为三项内容：个体和种群内其他个体、个体和其他种群个体、个体和生活条件下的其他生物和非生物因素等之间的关联。
上世纪五六十年代，一系列研究成果推动了种群生态学的极大发展，这一时期涌现出的著作有Nicholson的《动物种群的平衡》，Lack的《动物数量的自然调节》等。
种群调节学说是种群生态学的主流观点之一，著名的自动调节学说就是最典型的种群调节学说。
美国的克里斯琴以及爱德华在这方面的研究都颇有建树。
到了七十年代，种群生态学迎来了发展高峰期，这一时期的研究著作也呈“井喷”之势，其中最具有代表性的有：Begon及其研究小组（1986）的《生态学：个体种群和生物群落》，Tilman 及其研究小组（1999）的《空间生态学：空间在种群动态和种间相互作用中的作用》。
值得一提的是，梅（May，1974）将数学学科的模型引入到种群研究中来。
这些研究和著作开拓了种群生态学的很多全新研究方向，其中以空间为背景的种群动态研究持续热门到现在。
实例 动物种群的相互竞争与相互依存的模型
实例2动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食物来源短缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一问题分析及模型的建立设)(t x 和)(t y 分别表示t 时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即x dtdx λ=而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即y dtdy μ-=现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率α减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有x y dtdx )(αλ-=类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率μ减少β,减少的量正比于田鼠的数量,因此有y x dtdy )(βμ--=上述公式,最后两个方程联合起来称为Volterra-Lot 方程,这里μλβα,,,均为正数,初始条件为0)0(,)0(y y x x ==现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.表田鼠种群数量记录29.733.132.569.1134.2236.0269.6162.269.639.834.020.722.037.657.6124.6225.0272.7195.794.541.925.710.922.533.548.292.5183.3268.5230.6115.5表田鼠天敌种群数量记录1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.20.91.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.00.9 1.1 1.3 1.9 2.3二模型的求解Volterra-Lotok 方程的解析解即y x ,的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用Matlab 函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.Volterra-Lotok 可转化为⎩⎨⎧+-=-=dtx y d dt y x d )(ln )(ln βμαλ在区间],[1i i t t -上积分,得ii i i i S t t x x 111)(ln ln αλ--=---ii i i i S t t y y 211)(ln ln βμ+--=---这里,⎰-=ii t t i ydt S 11,⎰-=ii t t i xdt S 22,m i ,,1 =于是得到方程组⎩⎨⎧==222111B P A B P A 这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-im m m S t t S t t S t t A 1121211011 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-m m mS t t S t t S t t A 212212012 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αλ1P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βμ2P Tm m x x x x B ln ,,(ln 1011-= T m m y y y y B )ln ,,(ln 101-= 因此方程组参数的最小二乘解为111111)(B A A A P T T -=22122)(B A A A P T T -=由于)(t x 和)(t y 均为未知,因此21,S S i 用数值积分方法的梯形公式解)(21111--+-≈=⎰-i i i i t t i y y t t ydt S i i )(1121--+-==⎰-i i i i t t x x t t xdt S i i这样就可求得参数的近似值.模型参数求解的程序为clear all,clcX=[29.733.132.569.1134.2236.0269.6162.269.639.8...34.020.722.037.657.6124.6225.0272.7195.794.541.925.7...10.922.533.548.292.5183.3268.5230.6115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.11.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.20.9...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.00.9 1.1 1.3 1.9 2.3];N=[X;Y];T=[0:2:60];for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,[23])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];B(i,[12])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];end;A1=A(:,[13]);P1=inv((A1'*A1))*A1'*B(:,1)A2=A(:,[12]);P2=inv((A2'*A2))*A2'*B(:,2)上述结果代入Volterra-Lotok方程,用MATLAB函数ode45求方程在时间[0,60]的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.求方程Volterra-Lotok的数值解的程序为定义函数vlok为[vlok.m]function dydt=vlok(T,Y)dydt=[(0.8765-0.5468*Y(2))*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1))*Y(2)];clear all,clcX=[29.733.132.569.1134.2236.0269.6162.269.639.8...34.020.722.037.657.6124.6225.0272.7195.794.541.925.7...10.922.533.548.292.5183.3268.5230.6115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.11.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.20.9...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.00.9 1.1 1.3 1.9 2.3];N=[X,Y];T=[0:2:60];[t,Y]=ode45(@vlok,[0:0.5:60],[29.71.6]);plot(t,Y(:,1)/100,'k');hold on;plot(t,Y(:,2),'-.k');title('田鼠及其天敌的Volterra-Lotok模型拟合曲线');xlabel('时间');ylabel('数量(只/每百)');gtext('田鼠');gtext('天敌');legend('田鼠','天敌');legend('田鼠','天敌');图田鼠及其天敌的模拟曲线实线和虚线分别为田鼠和天敌的实际值,田鼠的数量为y坐标乘以100.。
多种群非线性竞争反馈控制模型的概周期解
（） ｚ （）ｂ 一 ａ （ ｆ ）％］ ≤ Ｅ７ ｔ ｚ （ ） ，
式 中 ≥ ｔ，一１ ２ … ， （ ） （ ） 同） 由 （ ） 。 ｉ ， ， （ ３ ～ ９ 式 ． ２ 式
（） ３
．
在 系统 （ ） １ 中假设
型 有 全 局 吸 引的 概 周 期 正 解 的 充 分 条 件 ． 关 键 词 ： 争 系统 ； 馈 控 制 ； 周 期 解 ； 局 吸 引 ； 线 性 ； ｙ ｐ ｎ ｖ函数 竞 反 概 全 非 Ｌ ａｕｏ 分 类 号 ： 中图 ） ７ ． ４ （ ０ ０ＭＲ） ４ ５ ３ Ｃ ５ ９ Ｄ２ （ Ｏ１ ５ １ ２ ０ ３ Ｋ１ ； ４ ２ ； ２ ５ 文献标志码 ： Ａ
摘 要 ： 究 多 种群 非 线性 竞 争反 馈 控 制模 型． 过技 巧 性 地 引 入 一 个 变 换 ， 所研 究 系统 的 概 周 期 解 存 在 性 问题 研 通 将 转 化 为 新 系统 的 概 周 期 解 的存 在 性 问题 ． 后 利 用微 分 方 程 不 等 式 ， 通 过 构 造 适 当 的 Ｌ ａ ｕ ｏ 然 并 ｙ ｐ ｎ ｖ函 数 ， 得 该 模 获
性和收敛性 的结果 可参考 文献［ ］ 近 十几年来 ， ２． 学者
们 大量 研究 了单种 群反 馈控 制模 型 和多种 群 Ｌ ｔａ ｏｋ－
Ｖ ｌ ｅｒ 竞 争反馈 控 制系 统 的周期 正 解 和概周 期 正 ｏｅ ｒａ ｔ
得 在 Ｒ上长 为 ｌ 的任 意 区间 内总有 ｒ Ｊ （＋ｒｚ 使 ｔ ，） ｆ
２０年６ ０８ 月 Ｊ ｎ ２ ０ ｕ．０８
文章 编 号 ： ２ ３２ ２ （ ０ ８ ０ — １ ２０ ０ ５ — ３ ８ ２ ０ ） ２０ １ — ４
种群竞争模型常微分方程
种群竞争模型常微分方程
种群竞争模型的常微分方程可以表示为：
对于两个种群的竞争模型，假设种群1的数量为x，种群2的数量为y，则其常微分方程可以表示为：
dx/dt = r1 * x * (1 - (x + a*y)/K1)
dy/dt = r2 * y * (1 - (y + b*x)/K2)
其中，r1和r2分别为种群1和种群2的增长率；a和b分别表示种群1和种群2对彼此竞争的强度；K1和K2分别表示种群1和种群2的最大承载能力。
这个模型假设种群的增长率是由其自身数量和竞争对手的数量共同决定的。
当种群数量接近或超过最大承载能力时，增长率会减小，表现为饱和现象。
竞争对手的数量越多，增长率下降的越快。
这个模型可以用来研究不同种群之间的竞争关系，以及种群数量的变化趋势。
种群增长和竞争的数学模型
种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
查1700年至1961年共260年的人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。
几类种群生态学模型动力学分析
摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘 要 (I)Abstract (II)目 录 (III)第一章 绪 论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章 非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章 一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章 两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章 总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致 谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章 非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统 ：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用， 建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明 对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章 非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明 考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ， 即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤ . 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ， 所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明 由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→， 使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理 设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明 由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明 由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明 设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知 ：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终 有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明 由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=， 所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ， 则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且 有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明 设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。
具有竞争种群的Lotka-Volterra微分代数模型的复杂性分析
具有竞争种群的Lotka-Volterra微分代数模型的复杂性分析牛宏;王一丹;王贺【摘要】研究了 Lotka-Volterra食饵-捕食生物模型,考虑当捕食者数量过多时引入与捕食者形成一种简单竞争关系且不具有捕食食饵能力的物种来抑制捕食者的增长,根据守恒关系建立微分代数生物系统模型.然后,应用微分代数系统的稳定性分析方法和相关判据,讨论参数在一定范围内变化时生物模型稳定性问题.最后,结合分析结果应用 Matlab软件对模型进行数值仿真.仿真结果表明,系统在参数取某一定值时出现极限环,所建立的微分代数生物系统模型产生复杂的非线性动力学现象.%The Lotka-Volterra predator-prey biological model is mainly studied in this paper by introducing the new population which has no ability to prey the other population to form a simple competition between predator and prey when the number of predators is excessive.Based on above condition,differential algebraic biological model is established according to the conservation.Then,the stability of biological model is discussed when the parameters change in a certain range by applying the stability analysis method and the related criteria of differential algebraic system.Finally,the model is the simulated numerically by considering the results of the analysis and using the Matlab software,and the simulation results show that the system has a limit cycle when the parameters vary a certain value,which proved that the complex nonlinear phenomena exist in the differential algebraic biological model.【期刊名称】《辽宁石油化工大学学报》【年(卷),期】2018(038)002【总页数】4页(P90-93)【关键词】微分代数模型;极限环;稳定性;Lotka-Volterra食饵-捕食系统【作者】牛宏;王一丹;王贺【作者单位】辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学化学化工与环境学部,辽宁抚顺113001【正文语种】中文【中图分类】O175.12Lotka-Volterra模型是生物学领域较为经典的模型，由美国生物学家、数学家A.Lotka于1925年首先独立提出，适用于两个互相作用种群的动力学系统。
种群增长模型
具密度效应旳种群离散增长最简朴旳模型是：
Nt+1=[1.0-B(Nt-Neq)]Nt
模型旳行为特征，用变化参数值旳措施来检验：
设Neq=100，B=0.011，N0=10， N1=[1.0-0.011(10-100)]10=19.9 N2=[1.0-0.011(19.9-100)]19.9=37.4 N3=63.1 N4=88.7 N5=99.7
与密度有关
种群离散增长模型 种群连续增长模型
（一）与密度无关旳种群增长模型 1、种群离散增长模型（差分方程）
假设：①种群在无限环境中增长,增长率不变 ②世代之间不重叠，增长不连续 ③种群没有迁入、迁出 ④种群没有年龄构造
N t+1=λNt 或
Nt=N0 λt lgNt=lgN0+(lgλ)t
式中：N —— 种群大小； t —— 时间； λ—— 种群旳周限增长率。
§1、种群旳概念
§2、种群动态 种群统计学
密度 初级种群参数 次级种群参数 生命表和存活曲线 种群增长率
三、种群增长模型
研究种群旳目旳：阐明自然种群动态 规律及调整机制。
归纳法（搜集资料、解释、归纳）
措施
自然种群
演绎法（假设、搜集资料、检验）
试验种群
种群 增长 模型
与密度无关
种群离散增长模型 种群连续增长模型
按此方程，种群增长将不再是“J”字型， 而是“S”型。“S”型曲线有两个特点：
①曲线渐近于K值，即平衡密度； ② 曲线上升是平滑旳。
草履虫（Paramecium caudatum）种群旳S型增长（Gause,1934）
逻缉斯谛曲线常划分为5个时期： ① 开始期，种群个体数极少，密度增长缓慢； ② 加速期，随个体数增长，密度增长逐渐加紧； ③ 转折期，当个体数到达饱和密度旳二分之一 （即 K/2时），密度增长最快； ④ 减速期，个体超出 K/2 后来，增长变慢； ⑤ 饱和期，种群个体数到达 K 值而饱和。
几类生物种群模型的定性研究
几类生物种群模型的定性研究
生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的数学模型。
根据物种的
特点和研究的重点不同，生物种群模型可以分为多类。
1.多样性维持模型：
多样性维持模型关注的是物种之间的相互作用对物种多样性的影响。
其中，竞争-排除模型认为物种之间存在强烈的竞争关系，导致了物种数
量的稳定状态；互补-促进模型则认为物种之间存在互补关系，相互促进
物种的数量增加。
2.捕食者-猎物模型：
捕食者-猎物模型研究的是捕食者与猎物之间的相互作用对种群数量
的影响。
最经典的模型是Lotka-Volterra模型，它描述了捕食者和猎物
之间的动态关系，可以观察到周期性的数量变动。
3.分散子模型：
分散子模型主要研究的是物种的生殖与迁移对种群数量的影响。
例如，在孤立岛上的物种会受限于资源的有限性以及个体迁移的难度，因此种群
数量可能会下降。
4.生态位模型：
生态位模型主要研究的是一个物种在特定环境中的占据与竞争策略对
物种数量的影响。
生态位模型可以通过计算物种的竞争优势指数来推断物
种数量的变化。
总的来说，生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的重要工具。
不同类型的模型从不同角度切入，揭示了生物种群数量变化的机制和规律，对于理解和保护生物多样性具有重要意义。
竞争种群模型的反射函数及其周期解
为 下 文 的叙 述 方便 起 见 ， 里给 出反 射 函数 的定 义．设 在 微 分 系统 （ ） 不一 定 为周 期 系统 ） ， 这 １（ 中 Ｘ（， 在 Ｒ 上 连续 、 ｔ ） 科 可微 ， 且保 证 其 Ｃ ｕｈ 并 ａ ｃ ｙ问题 的解 存 在唯 一 ， 表示 解 ｆ０ ） Ｌ ； ， 的存 在 区间 ， 记 一 ｛； ∈Ｉ ） Ｄ一 ｛ ￡ ； ｔ 一ｆ ， （， ∈Ｒ ，∈ＩｎＩ ｝ ） ｔ ． 定 义 ３ 若 Ｆ（， 一 －ｔｔ 为 Ｄ一 上 的连 续 、 ｔ ） ；， ） 可微 函数 ， 称它 为 系统 （ ） 则 １ 的反射 函数 ．
收 稿 日期 ：２０ ０ ０ ７— ７—１ ３
基 金项 目 ： 苏 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ Ｋ２ ００ ４ 江 Ｂ ０ ６６）
＊ 联 系人 ． — ｉ ｚｓ ｙ ｅ ． ｅ Ｅ ｍａ ：ｙ ｚｌ ｚｎ ｎ ｔ ｌ ＠
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１ ４
１ 基 本 概 念 及 基 本 定 理
考 虑微 分 系统 （ ） 足 条件 ① （ ， 连续 、 １满 ￡ ） 可微 ， 且Ｖ （， ∈Ｒ ，其 Ｃ ｕ ｈ 并 ￡ ） ａ ｃ ｙ问题 具 有 唯一
解 ｔ ￡ｒ ，ｔ ｃ Ｒ；② （＋ ２ ） （， ， ０ ；， ） ∈ ￡ ， 一 ｆ ） ≥ ．
Ｖ ｏ．１ １ ０ Ｎｏ． ４ ＮＯｖ．２ ０７ ０
竞 争 种 群 模 型 的 反 射 函 数 及 其 周 期 解
章 山林 ，周 正 新
（ 州 大 学 数 学 科 学 学 院 ，江苏 扬 州 ２ ５０ ） 扬 ２ ０ ２
摘 要 ： 据 ＭＩ Ｏ ＮＫ 的反 射 函 数 理 论 ， 出竞 争 种 群 模 型 的 反 射 函数 第 一 分 量 不 依 赖 于第 二 分 量 根 Ｒ ＮＥ Ｏ 给 的 充 要 条 件 ， 此 条 件 下 建 立 反 射 函数 的表 达 式 ， 讨 论 该 模 型 存 在 周期 解 的 条件 ． 在 并 关 键 词 ：竞 争 种 群 模 型 ；反射 函数 ； 期 解 周 中 图分 类 号 ： ７ ． ４ Ｏ １ ５ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ７ ２ Ｘ（ ０ ７ ０ —０ １ 一 ４ １ ０ —８ ４ ２ ０ ） ４ ０ ３ ｏ
具有功能反应函数的种群生态竞争系统周期正解的存在性
第 ２ ３卷
第 ３期
电
力
学
报
ＶＯ１ ３ ＮＯ． ．２ ３
２０ ０ ８年 ６月
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＥＬＥＣＴＲＩ ＯＷ ＥＲ ＣＰ
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ． ０８
文 章 编 号 ： １ ０ —５ ８ ２ ０ ） ３０ ７ —３ ０ ５６ ４ （０ ８ ０ １ ７０
其 中 ： ｒ， ａ ， ｒ， ａ ， ｂ 是 连 续 的 ０ ９周 期 函 数 ，且
ｒ∞
ｄ ｇ｛ ＱＮ ， ｒＬ， ） ０ 则 方程 Ｌ ｅ Ｑ Ｎ Ｋｅ ０ ≠ ， ｘ—Ｎｘ在 Ｄ ｍ 内至少 存在 １ 解 。 ｏ ＬＮ Ｑ 个
引理 １２ Ｒ ． 一 ｛ 一 （ １ … ， ＥＲ ： ０ ． ． ， ． ） ．≥ ， ｙ ｙ ｙ ｙ ｉ １ … ， 系统 （． ） 正 向不变 的 。结论 显 然 。 一 ， ） １ １是
中 图分 类 号 ： ４ ． ｏ２ １ ８ 文 献标 识码 ： Ａ
１ 准 备 知 识
生态竞 争 系统周 期正 解 的存 在性 具有 非 常重要 的实 际意义 ， 历来 受 到学术 界 的重 视 ， 多学者 都进 许
行 了深 入 研 究 ｎ ］ 在 我 们 之 前 的研 究 文 章 中讨 论 了 。。
Ｑ） 则 ： ｏ Ｌ ＮＫｅ （ ， Ｌｊ ｍ ｒＰ： 一Ｐ） Ｄ Ｘ— Ｉ Ｌ可 逆 ， ｍ
设 其 逆 映 射 为 Ｋ 设 Ｑ为 ｘ 中 的 有 界 开 集 ， 果 ． 如
Ｑ （ 有 界 且 Ｋ 一Ｑ） ： — Ｘ 是 紧 的 ， 称 Ⅳ Ⅳ Ｑ） （ Ⅳ Ｑ 则
在 Ｑ上 是 Ｌ 紧的 。 一 由于 Ｉ Ｑ 与 Ｋｅ ｍ ｒ Ｌ同构 ， 因而存
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
生物人教版选择性必修二 知识点 总结
生物人教版选择性必修二知识点总结模型种群的J形增长模型是指在无限资源条件下，种群数量呈指数增长，最终达到极限值的模型。
该模型常见于初期繁殖速度快、死亡率低的种群。
2.种群的＂S＂形增长模型种群的S形增长模型是指在资源有限的情况下，种群数量呈现指数增长，但增长速度逐渐减缓，最终趋于稳定的模型。
该模型常见于资源受限、种群达到饱和状态的情况下。
三、影响种群数量变化的因素1.生物因素：包括出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。
2.非生物因素：包括环境因素、人为干扰等。
四、种群数量的调节机制1.负反馈调节：种群数量增加时，环境资源减少，导致种群数量减少。
2.正反馈调节：种群数量增加时，生物间的竞争加剧，导致种群数量进一步增加。
3.稳定调节：种群数量在环境资源充足的情况下，呈现稳定状态，数量波动范围较小。
第一节种群数量特征种群是指生活在一定连续区域内的同种生物全部个体的集合，既是生物进化的基本单位，也是繁殖的基本单位。
种群的数量特征以种群密度为基础，直接影响因素包括出生率、死亡率、迁入率和迁出率。
年龄组成和性别比例对密度没有直接影响，但年龄组成通过影响出生率和死亡率来预测种群数量变化趋势，性别比例则间接影响种群密度。
种群密度的调查方法有逐个计数法和估算法，估算法包括样方法和标记重捕法。
第二节种群数量变化建构种群增长模型的方法包括数学模型和曲线图，其中曲线图能更直观地反映出种群数量的增长趋势。
种群数量增长曲线包括J形增长模型和S形增长模型，分别适用于无限资源条件下和资源有限的情况下。
种群数量的变化受到生物因素和非生物因素的影响，调节机制包括负反馈调节、正反馈调节和稳定调节。
环境因素、天敌数量、竞争物种数量等。
2.波动原因：种群数量的波动是由于环境等因素的影响，导致种群密度发生变化，进而影响出生率和死亡率。
3.波动类型：周期性波动和非周期性波动。
要点：种群数量的波动是自然界中普遍存在的现象，周期性波动是由于环境因素的周期性变化所导致，非周期性波动则是由于环境因素的随机变化所导致。
种群增长和竞争的数学模型
2013年06月05日 15:31:35在地中海中每平方米就有30至40只水母，种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
数学模型_种群的相互竞争
的根
0
若从P0某邻域的任一初值出发，都有 lim x 1 ( t ) x 1 , t
lim x 2 ( t ) x 2 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0
模型
x1 x2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N2
x1 x 2 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 N1 N 2
种群的相互竞争
• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 • 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 • 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
t 时 x 1 ( t ), x 2 ( t )的趋向
(平衡点及其稳定性)
(二阶)非线性 x 1 ( t ) f ( x 1 , x 2 ) 的平衡点及其稳定性 (自治)方程 x ( t ) g ( x , x ) 2 1 2
平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
时数量变化均服从Logistic规律;
x 1 ( t ) r1 x 1 (1 x1 N1 )
x 2 ( t ) r2 x 2 (1
x2 N2
)
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。
模型
x1 x2 x2 x1 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N1 N 2 N2
基于MatLab的三种群Volterra模型数值求解
ｉⅢ８弹．ＫＤＤ ２∞４：５４５－５５０
【卸ｏｈｍＤｎ，Ｎｅｉｌ Ｅ ａｎｄ Ｊａｊｏｄｋ Ｓｕｓｈｌｌ．Ｓｔｅｆ，ａｎｏｇａｐｂｙ：Ｓｅｅｉｎｇ
Ｕｎｍ，ＩＥＥＥ ｔｈｅ
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，ＰＰ．２６—３４，Ｆｃｂｎ“ｙ １９９８
［３］Ｊ＇ｏｈｎｓｅｎ，Ｎｅｉｌ Ｆ．ａｎｄ Ｊａｊｏｄｈ Ｓｕｓｈｉ］．Ｓｔｅｇａｎａｌｙｍ ０ｆ Ｉｍａ弹
Ａｂｅｔｒａｃｔ：ｈｑ”螂－“ｑ掣“ｙｔｋ矗ｌ耐ｔＩｌⅢｈＩ目ｅｄ硼ａ妇ｃｈａｒｅｃｔｅ血ｆｉｃ ０ｆ ｉｍａｇｅ，．ｈ扭ｅ１９０ｒｉｔｈｍ ｉｓ ｂａｓｅｄ佣
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力。
方程（１）、（３）、（４）构成植物、哺乳动物、爬行动
物三者依存、制约现象的数学模型．即
机 物独立生存时以指数规律增长。相对增长率为ｎ，即
＾
墓
ｘｍ－－－＂ｒｌｘ，，而哺乳动物的存在使植物的增长率减小．设
（５）
ｊＩ旧ｌ（ｎ—＾一ｄ 尊 减小的程度与捕食者数量成正比．于是植物的模型为：
二
＾
＾
七
收罄日期：２００７－０６－１８謦罄日期：２００７－０８—１１
（８）
Ｎ：是哺乳动物的最大容量，仃Ｉ的意义是：单位数
量的哺乳动物（相对Ｎ２而言）掠取毋倍的单位植物
量（相对Ｎ。）。 哺乳动物没有植物的存在会灭亡．设其死亡率
为．则哺乳动物独立存在时有：
五（Ｉ）—ｍ
（９）
植物为哺乳动物提供食物．于是（９）式右端应加 上植物对哺乳动物的促进作用．哺乳动物的增长又受
到自身的阻滞作用．于是有：
种群相互竞争模型
数学实验设计课题：两种群相互竞争模型如下：()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。
s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。
分析：这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。
y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。
假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。
这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。
另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。
则我们可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。
对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；问题一：设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。
编写如下M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后运行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：123456789100102030405060708090100相图为：1020304050607080901000510152025xy结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。
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Ｏ ｎ Ｒｅ ｌ ｃ ｉ ｅ Ｆｕｎｃ ｉ ｎ ｆＣｏ ｐ ｔｔｏ ｐｕｌ ｔｏｎ Ｍ ｏｄ ｌ ｆｅ ｔｖ ｔｏ ｏ ｍ ｅ ｉｉ ｎ Ｐｏ ａｉ ｅ
Ｘ ｔ ， （ ＋２ ）＝Ｘ（ ，） ＞０ ｔ ，
Ａｌｓ ｖ ｃ ｉ ｅ ｉ ｈ［４。 Ｖ ｒｓｖ ｈ ｅｅｏｉ ｃ
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的 Ｐ ｉｃｒ 映 射 的 一 种 新 方 法 ， ｒｎ ｎ ｏ１ ， ｏｎ ａｅ Ｍｉ ｅ ｋ ｌ ｏ 引
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作 了深人 研 究 ， 取 得 了 丰 富 的研 究 成 果 。 些 结 并 这
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竞争 种 群 模 型 的 反射 函数 与 周期 解
周 坚 赵 士银 周 正新 ， ，
（ ． 迁学 院 教 师教 育 系，江 苏 宿迁 ２３０ ； ．扬 州大 学 数 学科 学学 院 ，江苏 扬州 ２５ ０ ） １宿 ２８０ ２ ２０ ２ 摘 要 ： 根据 Ｍｉ ｎｎ ｏ ｒ ｅｋ 的反射 函数理论 ， 究了竞争种群模型具有 满足特定 关 系式的反射 函数和存 ｏ 研 在 周期解的充要条件 ， 到 了此条件 下竞争种 群模型 的反射 函数 的具体表达 式和周期解 的稳 定性 态。 得
Ｕ ｉｅｓ ｙ Ｙ ｎ ｚ ｏ ２ ０ ２ ｈｎ ｎｖ ｒ ｔ ， ａ ｇｈ ｕ２ ５ ０ ，Ｃ ｉａ） ｉ
Ａｂｓ ｒ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ａｃ ： ｓ ｄ ｏ Ｍｉｏ ｎｋ ｅ ｌ ｃ ｉ ｅ ｆ ｃ ｉ ｎ ｈ ｏ ｙ，ｔ ｅ ａ ｅ ｓａ ｉｈ ｓ ｔ ｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｒ ｎｅ ｏ ｒ ｆｅ ｔｖ ｕｎ ｔｏ ｔ ｅ ｒ ｈ ｐ ｐ ｒ ｅ ｔ ｂｌｓ ｅ ｈｅ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎｄ ｔｏ ｓｏ ｏ ｅ ｉｉ ｎ ｐｏ ｕ ａｔｏ ｄ ｌ ｗｈｉｈ ｈ ｓｔ ｅ ｒ ｆｅ ｔｖ ｕ ｃｔｏ ｈ ｔｆ ｒａｌ ｕ ｉ ｉ ｎ ｏ ｉｉ ｎ ｆｔ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ｐ ｌ ｉ ｎ ｍｏ ｅ ， ｈｅ ｃ ａ ｈ ｅ ｌ ｃ ｉ ｅｆ ｎ ｉ ｎ ｔ ａ ｏ ｌ ｓ ｌ ｉ ｎ ｆｔ ｓ ｍｏ ｌ ｓ ｔｓｉ ｓ ｔ ｐ ｃ ａ ｅ ａｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎｃ ｆ ｐ ｒｏ ｉ ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｈ ｓ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ｈｉ ｄｅ ａ ｉｆｅ ｈｅ ｓ ｅ ｉ ｌｒ ｌ ｔｏ ｎ ｈ ｘ ｓｅ ｅ ｏ ｅ ｉ ｄ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎｓ ｆ ｒ ｔ ｉ
果 为进一 步解释 一些 物 体 的复 。 中利 用 反 射 函数 理 文 论， 给出 了竞 争种 群模 型具有 满足关 系式
Ｆ （ ， ）＋ （ ， ， ＝Ｏ （） ＋， ） ｔ ， ｔ ， ，） ｇ ｚ（ ， ，
第 ９卷 第 ３期 ２１ ０ ０年 ６月
江 南 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｎ ｎＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｏＪ ｔ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． Ｎｏ ３ １９ ．
Ｚ ＨＯＵ Ｊａ Ｚ ｉｎ ， ＨＡＯ Ｓ ｉｙｎ ｈ— ｉ ， ＺＨＯＵ Ｚｈ ｎ ．ｉ ｅ ｇｘ ｎ （ ．Ｄ ｐｒ ｎ ｆ ｅ ｃｅｓＥ ｕａｉｎ ｕ ｉｎＣ ｌ ｇ ，Ｓ ｑａ ２ ８０， ｈｎ ； ． ｃ ｏｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ａｇｈ ｕ １ ｅａｔ ｔ ａｈ ｒ ｄ ｃｔ ，Ｓ ｑａ ｏ ｅｅ ｕ ｉｎ２ ３０ Ｃ ｉａ ２ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈｍａｉ ，Ｙ ｎｚｏ ｍｅ ｏ Ｔ ｏ ｌ Ｍａ ｃ
反射 函数 法是研 究周 期微分 系统
＝
Ｘ（ ， （ ， ｔ ） ｔ ）∈ Ｒ ， ‘ （） １
１ 几 个 引理
为叙 述方便 ， 引入反 射 函数 的定 义 ：
考虑 微分 系统 （ ）满 足 ： ｔ ）是 连 续 可微 ， １ （ ，
且对 Ｖ（， ∈ Ｒ ， Ｃ ｕ ｈ ｔ ） 其 ａ ｃ ｙ问题 具 有 惟 一 解 ｔ （ ； ， ， ，ｃ Ｒ。 ｔｒ ） ｔ∈
ｍｏ ｅ ． ｄ ｒ ｔ ｅ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ ｈ ｒ ｏ ｈ ｅ ｌ ｃ ｉ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ｈ ｓ ｂ ｅ ｅ ｔ ｂ ｉｈ ｄ ｎ ｈ ｄ １ Ｕｎ ｅ ｈ ｓ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｔ ｅ ｆ ｍ ｆ ｔ ｅ ｒ ｆ ｔ ｕ ｃ ｉ ａ ｅ ｎ ｓａ ｌ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｏ ｅ ｖ ｏ ｓ ｓａ ｉｉ ｆｔ ｅ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｈ ｓ ｂ ｅ ｉ ｃ ｓ ｅ ． ｔ ｂ ｌｔ ｏ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ａ ｅ ｎ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｙ ｈ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅ ｔｖ ｕ ｃ ｉ ｎ，ｃ ｍｐ ｔ ｉ ｎ ｐ ｐ ｌ ｔ ｎ ｍｏ ｅ ，ｐ ｒ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｎ，ｓａ ｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｒ ｆ ｃ ｉ ｅ ｆ ｎ ｔ ｌ ｏ ｏ ｅ ｉ ｏ ｏ ｕ ａ ｉ ｄ ｌ ｅ ｉ ｉ ｏ ｕ ｉ ｔ ｏ ｏ ｏ ｔｂ ｌ ｙ ｉ
（ ）＝ （ ） 一 ０ （ ）＝ １ （） ２
定义 １ 根据 文献 ［ ］ 称 连续 可微 函数 ： ｔ １， Ｆ（， ）＝ （ ；， ，， ∈ Ｄ为微 分 系统 （ ）的反射 函数 。 一ｔｔ ） １ 由文献 ［ ］知 ， １ 可微 函数 Ｆ（ ， ： Ｒ ｚ Ｄ ） 为微