2019-2020年高三数学二轮复习 专题一第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理教案 理
高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点2 平面向量与
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
利用A→C＝A→B＋A→D，把A→B、A→D用基底A→E、A→F表示，结合向量三角形法则 求解． ∵A→C＝A→B＋A→D，又∵E、F 为 DC、BC 中点
又AA→→EF＝＝AA→→DB＋＋1212AA→→DB，.②①
得AA→→DB＝＝3443AA→→FE－－2323A→A→EF
∴A→C＝34A→F－23A→E＋43A→E－23A→F＝23A→F＋32A→E
∴ 4 λ＝μ＝23 ∴λ＋μ＝43 3
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
以 AC 为对角线，以 AE、AF 所在直线为邻边作平行四边形来表示A→C＝λA→E
＋μA→F.
取 AD、AB 的中点 G、H.
连 CG，CH，CG∩AE＝M，CH∩AF＝N
∴CM∥AN，CN∥AM
∴四边形 ANCM 为平行四边形
∴A→C＝A→M＋A→N，在△ ADC 中，M 为重心．
∴4 A→M＝23A→E，同理A→N＝23A→F 3
∴A→C＝23A→E＋32A→F
∴λ＋μ＝32＋32＝34.
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
[特例法，在正方形 ABCD 中，建立坐标系求解．]
专题复习·数学（文）
专题一 集合、常用逻辑、平面向量、复数、 合情推理、不等式
必考点二 平面向量与复数运算、算法、合情推理
类
类型一 平面向量概念及线性运算
型
类型二 平面向量的数量积的计算与应用
类型三 法与框图的输入或输出值
类型五 补写完善程序框图
类型六 合情推理
高考·预测 运筹帷幄之中
知识 回扣
必记知识
重要结论
高考理科数学专题二 复数、程序框图与平面向量
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形1.终边相同角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合(1)终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k ·360°，k ∈Z }. (2)终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k ·360°，k ∈Z }. (3)终边在x 轴上的角的集合：{α|α＝k ·180°，k ∈Z }. (4)终边在y 轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }. (5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k ·90°，k ∈Z }. (6)终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }. (7)终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α＝－45°＋k ·180°，k ∈Z }. (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k ·45°，k ∈Z }. 3.1弧度的角在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示. 4.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 5.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝π180rad. (2)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°.6.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r .相关公式：(1)l ＝n πr180＝|α|r .(2)S ＝12lr ＝n πr 2360＝12|α|r 2.7.利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x .(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0). 8.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 9.三种三角函数的性质正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x正切函数y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R零点 {x |x ＝k π，k ∈Z }{x |x ＝π2＋k π，k ∈Z }{x |x ＝k π，k ∈Z }最小正周期 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间⎣⎡⎦⎤-π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫-π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )[2k π，π＋2k π](k ∈Z )对称性 对称轴 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )对称中心(k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )10.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 11.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限.12.三角函数恒等变换(1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，β≠k π＋π2，k ∈Z ，α－β≠k π＋π2，k ∈Z ，sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，2α≠k π＋π2，k ∈Z ，α≠k π±π4，k ∈Z .(2)辅助角公式 a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ，令sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2， ∴a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)， 其中θ为辅助角，tan θ＝ab .13.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 14.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 15.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
2019高考数学二轮复习 板块四专题2 复数、程序框图、平面向量与数学文化学案 理
回扣2 复数、程序框图、平面向量与数学文化1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 ①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. ()其中a ，b ，c ，d ∈R2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈Z )．(4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.3．程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示． (2)条件结构：如图(2)和图(3)所示． (3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．4．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 5．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R )．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i 2＝－1化简合并同类项．3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应． 5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果． 6．a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1－3i B ．－1＋3i C ．1＋3i D ．1－3i答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i ，共轭复数为－1－3i.2．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( ) A ．13i B ．－13i C ．13＋12i D ．12＋13i 答案 A解析 由题意得z 1＝2＋3i ， 故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.3．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝(m ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝m －1＋(m ＋1)i2，由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．4．已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 ∵AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A ．n ＝6?B ．n <6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?答案 C解析 S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故n ≤6.7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n ＝6，则输入整数p 的最小值为( )A ．15B ．16C ．31D ．32 答案 B解析 列表分析如下：是否继续循环 S n循环前 0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故当S 值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p 的最小整数值为16. 8．若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( )A ．2B ．－152 C.152 D ．－2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．15平方米B ．12平方米C ．9平方米D ．6平方米答案 C解析 如图，根据题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2，由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，可得弦＝2AD ＝2×23＝43，所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．故选C. 10．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( )A ．－75B ．－77125 C.77125 D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35， 由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( ) A ．1.9升 B ．2.1升 C ．2.2升 D ．2.3升答案 B解析 要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米a 1升， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3.9，S 9－S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d ＝3，解得a 1＝1.4，d ＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为a 4＋a 5＝(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋7d＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222.现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A.34 B.32 C.54 D.52答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)， 又a ＋b ＋c ＝22＋5，所以a ＝2－1，b ＝5，c ＝2＋1， 则ac ＝1，c 2＋a 2－b 2＝1， 故S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝12 1－14＝34. 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31， 所以输出的n 为32.14．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______． 答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为y 225＋x 24＝1，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．答案80π3解析 椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×22×5－13π×22×5＝80π3.16．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos Csin B·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)， 得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ， 所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos Asin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32.。
2019届高考数学二轮复习第二篇核心知识回扣2.7集合、复数、平面向量、逻辑推理、程序框图、不等式课件文
有雷,综上所述下面一定没有雷的方块有BDEF.
3.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分 枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为 ( )
A.21
B.34
C.52
D.55
2.当a·b=0时,不一定得到a⊥b,当a⊥b时,a·b=0; a·b=c·b,不能得到a=c,即消去律不成立;(a·b)·c 与a·(b·c)不一定相等,(a·b)·c与c平行,而 a·(b·c)与a平行.
3.两向量夹角的范围为[0,π ],向量的夹角为锐角与向 量的数量积大于0不等价.
【易错诊断】 1.在如图的平面图形中, 已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,
(3)O为△ABC的垂心⇔ OA OB OB OC OC OA . (4)O为△ABC的内心⇔ aOA bOB cOC 0 .
【易错易混提醒】 1.要特别注意零向量带来的问题:0的模是0,方向任意, 并不是没有方向;0与任意向量平行;λ 0=0(λ ∈R),而 不是等于0;0与任意向量的数量积等于0,即0·a=0;但 不说0与任意非零向量垂直.
2.忽视空集的情形导致错误,如A∩B=⌀,A⊆B时,忽视 A=⌀的情况.
【易错诊断】
2 2 x y 1.集合A={(x,y)|y=x+2},B= { (x，y) | 1} ,则A∩B 3 4
中的元素个数为 ( A.1 B.2
) C.3 D.4
2 2 x y 【解析】选B.因为直线y=x+2经过椭圆 =1的顶 3 4
A∪B={x|x∈A,或x∈B},
∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
2019-2020年高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
2019-2020年高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。
所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。
从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。
其中，正确命题材的序号是②③2. 化简得3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若＝a ，＝b ，则＝，＝ (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++ （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，， 代入（3）式得，点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例2.已知不共线，,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P,B 三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴ 再证充分性：若则=()()1a OA bOB b OB OA -+=-=,∴例1与共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①， ②， ③。
2-1-2第二讲 平面向量、复数、程序框图及合情推理
2．熟记平面向量的两个充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 3．活用平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则 x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝|a||b|＝ 2 2 2 2. x1＋y1 x2＋y2 4．区分两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程： 实验、观察 → 概括、推广 — 猜测一般性结论
专题一
常以客观题形式考查的几个问题
第二讲
平面向量、复数、程序框图及合情推理
1.命题与备考 1向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则、两向 量共线与垂直的条件以及向量与三角函数、解析几何的交汇问 题是考查的热点内容，因此求解此类问题时要根据题目特征选 择恰当的方法. 2复数的四则运算有时单独考查，有时与复数的相关概 念、复数的几何意义等相互交汇考查，在备考时注意将复数化 为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用.
(1)解答有关程序框图的问题，首先要读懂程序框图，要熟 练掌握程序框图的三种基本结构．注意逐步执行，并且将每一 次执行的结果都写出来，要注意在哪一步结束循环以防运行程 序不彻底． (2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求 和、累乘求积、多次输入等．
B．[－5，－1] D．[－3,6]
[答案] D
[解析]
由程序框图，可得 其值域为(－2,6]∪[－3，－
2 2t ＋1－3，t∈[－2，0， S＝ t－3，t∈[0，2]，
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题一第2讲平面向量与复数课件理
2018 Ⅱ 1,4 复数的除法运算;平面向量的数量积
Ⅲ
2,13
复数的乘法运算;平面向量的坐标运算及几何意 义
Ⅰ 3,13 复数概念及运算;平面向量的数量积
Ⅱ 2017
Ⅲ
1,12 复数的除法运算;平面向量的坐标运算
2,12
复数的除法运算及复数的模;平面向量的坐标运 算及基本定理
Ⅰ 2,13 复数相等和模;平面向量的模及坐标运算
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+I
解析:z=12+i i
=
2i(1-i) (1+i)(1-i)
=
2+22i=1Ʒ
天津,理
9)i
是虚数单位,则
5-i 1+i
的值为
.
解析:15+-ii
=
(5-i)(1-i) 2
=
4-26i=2-3i.
5-i 1+i
=
4+9 =
∴cos<a,c>=|������������|··|������������|
=
2 1×3
=
23.
答案:23
11.(2019 天津,理 14)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且
AE=BE,则������������ ·������������ =
答案:C
3.(2019全国Ⅱ,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 ������ 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由z=-3+2i,得 ������ =-3-2i,则在复平面内 ������ 对应的点(-3,-2)位于第 三象限,故选C. 答案:C
安徽省2020年高考数学第二轮复习专题升级训练2平面向量、复数、框图及合情推理理
专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理 ( 时间： 一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每题 1．(2020 ·安徽合肥六中最后一卷，理 则实数 a 的值是 ( ) ．60 分钟 满分： 100 分 )6 分，共 36 分)1) 设 i 为虚数单位，复数z ＝ ( a ＋ i)(3 －4i)∈R ，4433 A. 3B ．－ 3C ．－ 4D. 42．阅读下边的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写 ()．A ．i <3?B ． i <4?C ．i <5?3．阅读下列图所示的程序框图，运转相应的程序，输出的D ．i <6?s 值等于 ( )．A ．－ 3B ．－ 10C ．0D ．8 4．已知向量 a ＝ (1 ，2) ，a ·b ＝ 5， |a －b| ＝ 2 5，则 |b| ＝ ( )．A. 5B ．2 5C ．5D ．255．如下图的三角形数阵叫“莱布尼兹调解三角形”，它们是由整数的倒数构成的，第1 1 1 1n 行有 n 个数且两头的数均为 n ( n ≥2) ，其他每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如1＝ 2＋ 2，1 1 1 1 1 1 2＝ 3＋ 6，3＝ 4＋ 12， ，则第 7 行第 4 个数 ( 从左往右数 ) 为( ) ．1 1 1 1A.B.C.D.14010560426．已知两点 A (1， 0)，B (1 ， 3) ， O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠ AOC ＝ 5π6，uuur uuur uuurOC 2OA OB (λ∈R)，则λ＝( ) ．1 1A．－2 B. 2 C．－ 1 D．1二、填空题 ( 本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18分)7．两点平分单位圆时，相关系为sin α＋si n(π＋α)＝0；三点平分单位圆时，相关2π4π系为 sin α＋ sin α＋＋ sin α＋＝ 0. 由此能够推知：四点平分单位圆时的相应正3 3确关系为 ______.8．已知向量 a，b 知足 |b| ＝2，a＝ (6 ，－ 8) ，a 在 b 方向上的投影是－ 5，则 a 与 b 的夹角为 _________________.9．(2020 ·安徽江南十校联考，文14) 如图搁置的正方形ABCD，AB＝1. A，D分别在 x 轴、uuur uuury 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC OB的最大值是___________.三、解答题 ( 本大题共 3 小题，共 46 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )1 1 1 110． ( 本小题满分15 分 ) 已知函数x3 x 3 x3 x 3f x ,g x .5 5(1)证明 f ( x)是奇函数；(2) 分别计算 f (4)－5f (2) g(2)，f (9)－5f (3) g(3)的值，由此归纳出波及函数 f ( x)和对全部不等于0 的实数x都建立的一个等式，并证明．11． ( 本小题满分15 分 ) 已知向量a＝ (cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝ ( g( x) 3，－1) ．(1)若 a⊥b，求θ的值；(2)若 |2a －b|< m恒建立，务实数m的取值范围．12． ( 本小题满分16 分 ) 已知向量 a＝ (cosθ，sinθ)和b＝(2－ sinθ，cosθ )，11π17πθ∈12 ，12.(1)求 |a ＋ b| 的最大值；4 10(2) 若 |a ＋ b| ＝ 5 ，求sin 2 θ 的值．参照答案一、选择题 1．D 分析： z ＝ ( a ＋ i)(3 ∴3－ 4a ＝ 0，－ 4i)＝ (3 a ＋ 4) ＋ (3 － 4a )i∈ R ， 3即 a ＝ 4，应选 D.2．D 分析： i ＝ 1， s ＝ 2 ； s ＝2－ 1＝ 1， i ＝ 1＋ 2＝ 3； s ＝1－ 3＝－ 2， i ＝ 3＋ 2＝ 5； s ＝－ 2－ 5＝－ 7， i ＝5＋ 2＝ 7.因输出 s 的值为－ 7，循环停止，故判断框内应填“3．D224．C 分析：∵|a － b | ＝( a － b ) ＝ 2 0，i <6？”，应选D.22∴|a| ＋ |b| － 2a ·b ＝ 20. 又 a ＝ (1,2) ， a ·b ＝ 5， ∴ (*) 式可化为 5＋ | b | 2 －10＝ 20，∴|b | 2＝ 25，∴|b | ＝5.115．A 分析：由“第 n 行有 n 个数且两头的数均为 n ( n ≥2) ”可知，第 7 行第 1 个数为 7，由“其他每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 1 1 17行第 2个数为 － ＝，同理，6 74211 1 1 1 1第 7 行第 3 个数为 30－ 42＝ 105，第 7 行第 4 个数为 60－ 105＝ 140.6．B 分析：如下图：5π 3 1∠AOC ＝ 6 ，依据三角函数的定义，可设 C － 2 r ， 2r . uuur uur uuur 3 1∵ OC2OAOB ，∴ － 2 r ， 2r ＝ ( － 2,0) ＋ ( λ ， 3λ) ，3r ＝－ 2，－λ12∴解得 λ＝ 2.12r ＝ 3λ，二、填空题7． sin α＋ sinπ＋ sin( α＋π ) ＋ sin3π＝ 0α＋ 2 α＋ 2分析：由类比推理可知，四π3π 点平分单位圆时， α 与 α＋π 的终边互为反向延伸线，α＋ 2 与 α＋ 2 的终边互为反向延长线，如图．18．120° 分析：由题意得， | a | ·cos 〈 a ， b 〉＝－ 5，即 cos 〈 a ， b 〉＝－ 2，∴〈 a ， b 〉＝ 120°.9． 2 分析：设∠ BAx ＝ θ，则 B (sin θ ＋ cos θ， sinθ) ， C (cos θ ， sin θ＋ cosπθ),0 ≤ θ≤，2uuur uuur∴ OC OB ＝ (cos θ， sin θ ＋ cos θ) ·(sinθ＋cos θ ，sin θ)＝sin θ cos θ＋ cos 2θ＋ sin 2θ＋sin θcos θ＝ 1＋ sin 2 θ≤2.三、解答题10． (1) 证明： f ( x ) 的定义域为 ( －∞ ，0) ∪(0 ，＋∞ ) ，1(x) 3 (x)又 f ( － x ) ＝51113x 3x 3＝－ f ( x ) ，5故 f ( x ) 是奇函数．(2) 解：计算知 f (4) － 5f (2) g (2) ＝ 0，f (9) － 5f (3) g (3) ＝ 0，于是猜想 f ( x 2) －5f ( x ) g ( x ) ＝ 0( x ∈R 且 x ≠0) ．22x 3 x证明： f ( x ) －5f ( x ) g ( x ) ＝52 13x 3 x551 1 13x 3 x 3 ＝ 0. 511．解： (1) ∵ a ⊥ b ，∴ 3cos θ－ sinθ ＝ 0，得 tan θ＝3.又 θ ∈[0 ，π ] ，∴ θ＝ π. 3(2) ∵2a － b ＝(2cos θ－ 3，2sin θ＋ 1) ，∴|2 a － b | 2＝ (2cos θ－3) 2＋ (2sinθ ＋ 1) 2＝ 8＋ 8 1sin θ－ cos θ ＝ 8＋ 8sin θ－ π.2233又 θ ∈[0 ，π ] ，∴ θ－ π － π 2π .3 ∈ 3 ，3 π 3 ∴ s in θ － 3 ∈ － 2 ， 1 .∴ |2 a － b | 2 的最大值为 16. ∴|2 a － b | 的最大值为 4. 又|2 a － b |< m 恒建立，∴ m >4.12．解： (1) a ＋ b ＝ (cos θ－ sin θ＋ 2， cos θ ＋ sin θ) ， | ＋| ＝ (cosθ －sinθ ＋ 2) 2 ＋(cosθ ＋sinθ ) 2ab4＋ 2 2(cos θ－ sin θ ) ＝4＋ 4cosπ＝ θ＋ 4＝21＋cos θ＋π . 411π 17π7π π 5π ∵θ∈ 12，12 ，∴ 6 ≤θ ＋ 4 ≤ 3 ， 3 ≤cos θ ＋ π 1 max∴－ 2 4 ≤ 2. ∴|a ＋ b | ＝ 6.(2) 由已知 | a ＋ b | ＝ 4 10 ＋ π 35 ，得 cos θ 4 ＝ 5 ，sin 2 θ＝－ cos 2 θ＋ π4＝ 1－ 2cos 2θ＋π ＝ 1－2× 9 ＝ 7 .42525。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
高考数学第二轮复习第2讲平面向量复数框图及合情推理理试题
专题一 常以客观题形式考察的几个问题第2讲 平面向量、复数、框图及合情推理创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日真题试做1．(2021·高考，理7)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB BC ＝1，那么BC 等于( )． A. 3B.7C ．2 2 D.232．(2021·高考，理12)复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，那么|z |＝________. 3．(2021·高考，理14)假如执行如下图的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，那么输出的数S ＝________.4．(2021·高考，理16)设N ＝2n(n N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置． 考向分析本局部内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或者中档题，对平面向量的考察重点是应用或者与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考察主要是复数概念、复数四那么运算和复数的几何意义；对框图的考察主要以循环构造的程序框图为载体考察学生对算法的理解；对合情推理的考察主要以归纳推理为主，考察学生的观察、归纳和类比才能．热点例析热点一 平面向量的运算及应用(1)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(0,1)，|b |＝2，那么|2a ＋b |的值是__________． (2)向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．假设a －2b 与c 一共线，那么k ＝__________.规律方法1.平面向量主要考察： (1)平行、垂直的充要条件； (2)数量积及向量夹角； (3)向量的模．2．解决此类问题的方法主要有： (1)利用平面向量根本定理及定义； (2)建立坐标系通过坐标运算．变式训练1 在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，那么|3PA PB |的最小值为__________．热点二 复数的概念与运算(1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，那么实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D.12(2)复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限规律方法 1. 处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；2．掌握复数的四那么运算规律及i n(n N *)的结果． 变式训练2a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b R )，其中i 为虚数单位，那么a ＋b ＝( )． A ．－1B ．1C ．2D ．3热点三 算法与程序框图(2021·石景山一模)执行下面的程序框图，假设输入的N 是6，那么输出p 的值是( )．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040规律方法对本局部内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或者将框图补充完好．变式训练 3 如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，那么空白框内应填入的条件是( )．A ．i >10?B ．i <10?C ．i >20?D ．i <20?热点四 合情推理的应用 设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝__________.规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进展综合分析，归纳发现其一般结论，假设已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．变式训练4在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示__________．思想浸透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或者根本图形问题． (2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (3)类比法：运用类比推理，猜想问题的结论，易于确定．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，假设AB ＝m AM ，AC ＝n AN (m ，n >0)，那么1m ＋4n的最小值为( )．A ．2B ．4C.92D ．9解析：连结AO ，那么2AB AC MO AO AM +=--－1m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB ＋12AC ，同理NO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC ＋12AB .因M ，O ，N 三点一共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB ＋12AC ＝λ11122AC AB n ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m －λ2AB ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋λn AC ＝0.由于AB ，AC 不一共线，根据平面向量根本定理得12－1m －λ2＝0且12－λ2＋λn ＝0，消掉λ即得m ＋n ＝2，故1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋4)＝92，当且仅当n ＝2m 时取等号．应选C.答案：CC 命题调研明晰考向用深化的高考命题研究，准确指引备考方向。
高考二轮复习高考理科数学 第2讲平面向量、复数(可编辑PPT)
第2讲平面向量、复数1.(2018福建期末考试)已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=( )A. B.3C. D.2.已知复数z=---,则z=( )A.iB.iC.-iD.-i3.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=1+2i,则=( )A.--iB.-+iC.1-iD.1+i4.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( )A.-B.-C. D.5.已知i为虚数单位,a∈R,若-为纯虚数,则复数z=2a+i的模等于( )A. B.C. D.6.(2018武汉武昌调研考试)已知复数z满足z+|z|=3+i,则z=( )A.1-iB.1+iC.-iD.+i7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )A.-B.-3C. D.38.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形9.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A.πB.C. D.10.如图,在△ABC中,点D满足+2=0,·=0,且|+|=2,则·=( )A.-6B.6C.2D.-11.在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( )A.,B.,C.,D.,12.(2018重庆质量调研(一))已知i为虚数单位,复数z=,则|z|= .13.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .14.在△ABC中,N是AC边上一点且=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值是.15.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.答案全解全析1.B 因为c=2a-b=2(1,2)-(-1,1)=(3,3),所以|c|= =3 .故选B.2.C∵ - =( - )( )( - )= - ,∴ - = - = ( )( - )( )= ,∴z= - - -= - - =- i.故选C.3.A 由题意知z 2= =1-2i,所以= -=( - )( )·( - )=- ( )=- -=- - =- -i. 4.D a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,解得m=-,所以a·b=-1× -+2×1=.5.C 由题意可设 - =ti,t≠0,∴2-i=-t+tai,∴ - , - ,解得 - , ,∴z=2a+ i=1+ i,∴|z|= ,故选C. 6.D 设z=a+bi,其中a,b∈R,由z+|z|=3+i,得a+bi+ =3+i,由复数相等可得, ,解得, ,故z=+i,故选D.7.C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以 =(5,5),又 =(2,1),所以向量 在 方向上的投影为| |cos< , >=·| |== .8.A ( - )·( + -2 )=0, 即 ·( + )=0, ∵ -= , ∴( - )·( + )=0, 即| |=||, ∴△ABC 是等腰三角形,故选A.9.D 设a 与b 的夹角为α,α∈[0,π],由题意可知(a-b)·(3a+2b)=3a 2-a·b -2b 2=0,即|b|2-|b|2cos α-2|b|2=0,化简得cos α= ,所以α=.10.A ∵+2=0,∴D是AB边上靠近点B的三等分点,∴=+=+=+(-)=-.∵|+|=||=2,∴CD=2,∴·=·-=--·=-=-6.11.D根据已知条件,A,B1,P,B2构成一个矩形,以A为原点,、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设||=a,||=b,点O的坐标为(x,y),则点P的坐标为(a,b),||=.由||=||=1得(-),(-).由||<得(x-a)2+(y-b)2<,可得1-y2+1-x2<,x2+y2>,由(x-a)2+y2=1可知y2≤1,同理,x2≤1,得x2+y2≤2,故<=||≤,故选D.12.答案解析因为z==()(-)()(-)==1+i,所以|z|==.13.答案2解析由题意知a·b=|a|·|b|·cos 60°=2×1×=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12,所以|a+2b|=2.14.答案解析如图,因为=,所以=,所以=m+=m+.因为B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=.15.答案解析如图,由=2得=+,所以·=·(λ-)=λ·-+λ-·, 又·=3×2×cos 60°=3,=9,=4,所以·=λ-3+λ-2=λ-5=-4,解得λ=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高三数学二轮复习 专题一第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理教案 理类型一 复数 (1)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝a －b i. (2)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |(3)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈ R)． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R)．[例1] (1)(2012年高考天津卷)i 是虚数单位，复数＝( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．－1－i(2)(2012年高考江西卷)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2 [解析] (1)利用复数的乘法、除法法则求解．5＋3i 4－i ＝（5＋3i ）（4＋i ）42＋1＝17＋17i17＝1＋i. (2)利用复数运算法则求解．∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. [答案] (1)C (2)A跟踪训练1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为z1z2＝1－3i3－2i＝（1－3i）（3＋2i）（3－2i）（3＋2i）＝9－7i13，在复平面内对应的点为(913，－713)，在第四象限，选D.答案：D2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a＋bi＝a－b i为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B类型二平面向量1．平面向量的线性运算法则(1)三角形法则；(2)平行四边形法则．2．向量共线的条件存在两非零向量a，b，则(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.3．向量垂直的条件(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.4．夹角与模(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则①cos θ＝a·b|a||b|；②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2.[例2] (1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ，则AE ·BF 的值是________．[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解． ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.[答案] (1)3 2 (2)2跟踪训练已知A (－3，0)、B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝，且∠AOC ＝4π， 设OC ＝OA OB λ+ (λ∈R )，则λ的值为( )A ．1 B.13C. 12D.23解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝4π，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC ＝OE ＋OB ＝OA OB λ+，即OE ＝λOA ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：D类型三 算法与程序框图1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构． 2．循环结构一定包含条件结构．[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( ) A ．8 B ．18 C ．26 D ．80(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N1 000B ．P ＝4N 1 000 C ．P ＝M 1 000 D ．P ＝4M1 000[解析] (1)按照循环条件，逐次求解判断．运行一次后S ＝0＋3－30＝2，运行两次后S ＝2＋32－3＝8，运行三次后S ＝8＋33－32＝26，此时n ＝4，输出S .(2)采用几何概型法．∵x i ，y i 为0~1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当2i x ＋2i y ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的 14圆内，当 2i x ＋2i y >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．∴有144N Mππ-=，N π＝4M －M π，π(M ＋N )＝4M ，π＝41000M . [答案] (1)C(2)D跟踪训练(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为()A ．12-B ．－1 C. 12D ．2 解析：第一次循环：s ＝12，i ＝2；第二次循环：s ＝－1，i ＝3；第三次循环：s ＝2，i ＝4；…易知当i ＝2 012时输出s ，因为循环过程中s 的值呈周期性变化，周期为3，又2 012＝670×3＋2， 所以运行结果与i ＝2时输出的结果一致，故输出s ＝12. 答案：C类型四 合情推理1．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．[例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________． [解析] 归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为2222211111111234566+++++< [答案] 2222211111111234566+++++<跟踪训练(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ，b ，c ，则由勾股定理有：a 2＋b 2＝c 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由图可得S 1＝12OM ·ON ，S 2＝12OL ·ON ， S 3＝12OM ·OL ， S 4＝12ML ·NL ·sin ∠MLN＝12ML ·NL ·1－cos 2∠MLN ＝12ML ·NL ·1－（ML 2＋NL 2－MN 2）2ML ·NL）2＝14·4ML 2·NL 2－（ML 2＋NL 2－MN 2）2. ∵OM 2＋ON 2＝MN 2，OM 2＋OL 2＝ML 2， OL 2＋ON 2＝LN 2，∴S 4＝12OM 2·ON 2＋OL 2·ON 2＋OM 2·OL 2，∴ S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 24.析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考安徽卷)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a · b 的最小值是________． 【解析】 利用向量减法的三角形法则及数量积的运算公式求解． 由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3.此时设a ＝λb (λ<0)，则|2a －b |＝|2λb －b |＝3，又由a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，知 当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小． 有：a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|（2λ－1）2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－（－4λ－1λ）－4≥－98(当且仅当λ＝－12时取“＝”)， ∴a ·b 的最小值为－98.【答案】 －98【名师点睛】 本题考查了向量减法的三角形法则、数量积的运算公式及利用均值不等式求最值．其解题的关键是将a ·b 表示为λ的函数，再根据函数结构变形求最值． 考情展望高考对平面向量的考查灵活多变，多以选择题、填空题形式出现，主要涉及平面向量的线性运算与数量积的运算，有时综合三角不等式、最值等问题 名师押题【押题】 在边长为1的正三角形ABC 中，BD ＝x BA ，CE ＝y CA ，x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则 CD · BE 的最大值为( )【解析】 建立如图所示的直角坐标系，则 A (－12，0)，B (12，0)，C (0，32),设D (x 1，0)，E (x 2，y 2)，【答案】 D。