高考一轮复习课时作业5-3

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高考一轮复习课时作业5-4

课时作业(二十三)一、选择题1．(2011·湖北八校)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝( )A ．－247B ．－724C.724D.247答案 A解析方法一因为x ∈(－π2，0)，∴sin x <0，∴sin x ＝－35，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝725，∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247.方法二由方法一知：sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是( ) A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2答案 A 解析原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.3．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为( )A.223B ．－223C.23 D ．－23答案 A解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1∴(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝1 ∴2sin 2θcos 2θ＝49，∴(sin2θ)2＝89∵2kπ＋π<θ<2kπ＋3π2，∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π∴sin2θ>0，∴sin2θ＝223.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x ＝( )A ．－195B.195C.113 D ．－113答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195.5．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72 答案 C解析 cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.二、填空题6．(2011·衡水调研)已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.7．(2011·杭州)设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝__________.答案－34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2kπ－π2<α<2kπ，∴4kπ－π<2α<4kπ，又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角。

2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数【原卷版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)下列函数中,是周期函数的为()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=tan|x|D.y=(x-1)02.(5分)函数f(x)=ln(cos x)的定义域为()A.{x|kπ-π2<x<kπ+π2,k∈Z}B.{x|kπ<x<kπ+π,k∈Z}C.{x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z}D.{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}3.(5分)函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0,π2]上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.04.(5分)函数f(x)=sin + cos + 2在[-π,π]上的图象大致为()5.(5分)(2024·哈尔滨模拟)方程2sin(2x+π3)-1=0在区间[0,4π)上的解的个数为()A.2B.4C.6D.8【6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=4cos2x,则下列说法中正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的值域为[0,4]7.(5分)写出一个最小正周期为3的偶函数为f(x)=.8.(5分)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=12,距离最近的两点间的距离为π3,那么此函数的最小正周期是.9.(5分)已知f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)],则f(x)的最小正周期为, f(1)+f(2)+…+f(2025)=.10.(5分)函数f(x)=cos x-cos2x,则f(x)是()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为9811.(10分)已知函数f(x)=sin(2x-π3)+32.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;(2)若f(x0)≤3,求x0的取值范围.即x0的取值范围为[-π2+kπ,π3+kπ](k∈Z).【能力提升练】12.(5分)(多选题)对于函数f(x)=|sin x|+cos2x,下列结论正确的是()A.f(x)的值域为[0,98]B.f(x)在[0,π2]上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的最小正周期为π13.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则f(π8)=.14.(10分)(2023·北京高考)设函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2).(1)若f(0)=-32,求φ的值.(2)已知f(x)在区间[-π3,2π3]上单调递增,f(2π3)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.条件①:f(π3)=2;条件②:f(-π3)=-1;条件③:f(x)在区间[-π2,-π3]上单调递减.2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数【解析版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)下列函数中,是周期函数的为()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=tan|x|D.y=(x-1)0【解析】选B.因为cos|x|=cos x,所以y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.(5分)函数f (x )=ln(cos x )的定义域为()A .{x |k π-π2<x <k π+π2,k ∈Z }B .{x |k π<x <k π+π,k ∈Z }C .{x |2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z }D .{x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z }【解析】选C .由cos x >0,解得2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z .所以函数f (x )=ln(cos x )的定义域为{x |2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z }.3.(5分)函数f (x )=sin(2x -π4)在区间[0,π2]上的最小值为()A .-1B .-22C .22D .0【解析】选B .由已知x ∈[0,π2],得2x -π4∈[-π4,3π4],所以sin(2x -π4)∈[-22,1],故函数f (x )=sin(2x -π4)在区间[0,π2]上的最小值为-22.4.(5分)函数f (x )=sin + cos + 2在[-π,π]上的图象大致为()【解析】选D .由f (-x )=sin (- )+(- )cos (- )+(- )2=-sin -cos + 2=-f (x ),得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .5.(5分)(2024·哈尔滨模拟)方程2sin(2x +π3)-1=0在区间[0,4π)上的解的个数为()A .2B .4C .6D .8【解析】选D .由2sin(2x +π3)-1=0得sin(2x +π3)=12,x ∈[0,4π),分别画出y 1=sin(2x +π3)和y 2=12在x ∈0,4π上的图象,如图:两函数图象有8个交点,故方程2sin(2x +π3)-1=0在区间0,4π上的解的个数为8.6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)已知函数f (x )=4cos 2x ,则下列说法中正确的是()A .f (x )为奇函数B .f (x )的最小正周期为πC .f (x )的图象关于直线x =π4对称D .f (x )的值域为[0,4]【解析】选BD .f (x )=4cos 2x =2cos 2x +2,该函数的定义域为R .因为f (-x )=2cos(-2x )+2=2cos 2x +2=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,A 错误;函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π,B 正确;因为f (π4)=2cos(2×π4)+2=2,所以f (π4)既不是函数f (x )的最大值,也不是该函数的最小值,C 错误;因为-1≤cos 2x ≤1,所以f (x )=2cos 2x +2∈[0,4],D 正确.7.(5分)写出一个最小正周期为3的偶函数为f (x )=.【解析】f (x )=cos(2π3x )为偶函数,且T =2π2π3=3.答案:cos(2π3x)(答案不唯一)8.(5分)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=12,距离最近的两点间的距离为π3,那么此函数的最小正周期是.【解析】根据正弦型函数的周期性,当sin(ωx+φ)=12时,若ωx1+φ=π6,则最近的另一个值为ωx2+φ=5π6,所以ω(x2-x1)=2π3,而x2-x1=π3,可得ω=2.故此函数的最小正周期是2π =π.答案:π9.(5分)已知f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)],则f(x)的最小正周期为, f(1)+f(2)+…+f(2025)=.【解析】依题意可得f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)]=2sinπ3x,其最小正周期T=6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(1)+f(2)+f(3)=3+3+0=23.答案:62310.(5分)函数f(x)=cos x-cos2x,则f(x)是()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98【解析】选D.由题意,f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数,又f(x)=cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1=-2(cos x-14)2+98,所以当cos x=14时,f(x)取最大值98.11.(10分)已知函数f(x)=sin(2x-π3)+32.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;【解析】(1)f(x)的最小正周期T=π.由2x-π3=kπ,k∈Z得x=π6+ π2,k∈Z,故f(x)图象的对称中心为(π6+ π2,32)(k∈Z).(2)若f(x0)≤3,求x0的取值范围.【解析】(2)因为f(x0)≤3,所以sin(2x0-π3)+32≤3,即sin(2x0-π3)≤32,所以-4π3+2kπ≤2x0-π3≤π3+2kπ,k∈Z,即-π2+kπ≤x0≤π3+kπ,k∈Z.即x0的取值范围为[-π2+kπ,π3+kπ](k∈Z).【能力提升练】12.(5分)(多选题)对于函数f(x)=|sin x|+cos2x,下列结论正确的是()A.f(x)的值域为[0,98]B.f(x)在[0,π2]上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的最小正周期为π【解析】选AD.f(x)=|sin x|+cos2x=-2|sin x|2+|sin x|+1=-2(|sin x|-14)2+98[0,98],故A正确;当x∈[0,π2]时,|sin x|∈[0,1],|sin x|=sin x在[0,π2]上单调递增,f(x)=-2(|sin x|-14)2+98,故f(x)在[0,π2]上先增后减,故B错误;f(0)=|sin0|+cos(2×0)=1,f(π2)=|sin π2|+cos(2×π2)=0,f(0)≠f(π2),故C错误;易知y=|sin x|和y=cos2x的最小正周期均为π,故f(x)的最小正周期为π,故D正确.13.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则f(π8)=.【解析】因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为π2,所以 2=π2,得T=π,即2π =π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),因为f(π12)=2,所以f(π12)=2=2sin(π6+φ),即sinπ6+φ)=1,因为0<φ<π2,所以π6+φ=π2,得φ=π2-π6=π3,则f(x)=2sin(2x+π3),则f(π8)=2sin(2×π8+π3)=2sin(π4+π3)=2(sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3)=2(22×12+22×32)=2+62.答案:2+6214.(10分)(2023·北京高考)设函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2). (1)若f(0)=-32,求φ的值.【解析】(1)因为f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2)所以f(0)=sin0cosφ+cos0sinφ=sinφ=-32,因为|φ|<π2,所以φ=-π3.(2)已知f(x)在区间[-π3,2π3]上单调递增,f(2π3)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.条件①:f(π3)=2;条件②:f(-π3)=-1;条件③:f(x)在区间[-π2,-π3]上单调递减.【解析】(2)因为f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2)所以f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.若选条件①:因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为1,最小值为-1,所以f(π3)=2无解,故条件①不能使函数f(x)存在;若选条件②:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,且f(2π3)=1,f(-π3)=-1,所以 2=2π3-(-π3)=π,所以T=2π,ω=2π =1,所以f(x)=sin(x+φ),又因为f(-π3)=-1,所以sin(-π3+φ)=-1,所以-π3+φ=-π2+2kπ,k∈Z,所以φ=-π6+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π2,所以ω=1,φ=-π6;若选条件③:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,在[-π2,-π3]上单调递减,所以f(x)在x=-π3处取得最小值-1,即f(-π3)=-1.以下与条件②相同.。

(人教版)2020届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时作业

第三节等比数列及其前n 项和课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 11－q 31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n－1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 11－251－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1，所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋1，n 为偶数，2n－1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q，∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1D ．13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ，解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1. ∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则q ＝( ) A.32B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1，因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。

2022年高考数学(理)一轮复习课时训练：第五章数列 5-3 Word版含解析

课时规范训练A 组基础演练1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.明显，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，不肯定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，….2．设{}a n 是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选D.由于等差数列{}a n 的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.由于S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.3．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．±2 B ．－ 2 C. 2D ．±2解析：选C.由于a 4，a 8是方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 8＝3＞0a 4a 8＝2＞0，∴a 4＞0，a 8＞0，又a 26＝a 4a 8＝2，∴a 6＝ 2.4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511D ．1 023解析：选B.∵2a 6＝2a 4＋48，即a 6＝a 4＋24 ∴25a 1＝23a 1＋24，从而a 1＝1.于是S 8＝1×(1－28)1－2＝28－1＝255.5．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：选B.设此数列的公比为q (q ＞0)，由已知a 2a 4＝1，得a 23＝1，∴a 3＝1，由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，从而a 1＝4，所以S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝314. 6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝q ＝－2.答案：－28．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.答案：119．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(4n －1)3＋1＝22n ＋1＋13.10．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54，故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．B 组力量突破1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3解析：选B.设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件冲突，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A.∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析：选B.∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *， n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)． 4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－8，a 4＋a 5＋a 6＝1，则a 11－q ＝__________.解析：∵a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝－18，∴q ＝－12，把q ＝－12代入a 1＋a 2＋a 3＝－8，解得a 1＝－323，∴a 11－q ＝－649.答案：－6495．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．。

(新课标)高考数学一轮总复习第五章数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练文(含解析)新人

5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练A 组基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63D.842．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32D.643．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27D.27解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 27＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9.当a 7＝－9时，a 26＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B.4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1D.2n ＋1解析：由题意，得a 2a 8＝a 24，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1D.3解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4a 3＝3.故选D.6．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( C ) A ．5 B.4 C ．3D.27．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( D ) A ．5 B.9 C ．log 345D.10解析：由等比数列性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9，则原式＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5＝10.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__－2__. 9．(2018·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝ __9__.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质，可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9) ＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.10．(2018·某某统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.解析：(1)因为a n ＋1＝3S n ＋4，所以a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，所以数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n ＝4n. (2)证明：因为a n b n ＝log 2a n ，所以b n ＝2n4n ，所以T n ＝241＋442＋643＋ (2)4n ，14T n ＝242＋443＋644＋ (2)4n ＋1，两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1，所以T n ＝89－6n ＋89×4n <89.11．(2017·某某质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n ，知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组能力提升练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B.1C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.2．(2018·某某质检)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507A ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：由题意，可得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507.故选D.3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( B ) A ．4 B.5 C ．6D.7解析：由等比数列的性质，可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.4．(2018·某某适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝( A )A ．22 017－12 B.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 017C ．22 018－12D.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018解析：由a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，得q 6－16q 3＋64＝0，所以q 3＝8，即q ＝2，所以S 2 018＝a 11－q 2 0181－q ＝22 017－12.故选A.5．(2016·高考某某卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C ) A ．充要条件 B.充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意，得a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.6．若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( D )A.32B.94 C ．1D.2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9①，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92②，①÷②得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2.故选D. 7．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( D )A ．6 B.7 C ．8D.9解析：∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)．∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9.故选D.8．(2018·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( A ) A ．22 018－1 B.32 018－6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018－72D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2 018－103解析：因为3S n ＝2a n －3n ，所以当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，所以a 1＝－3；当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．则a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n，所以a n ＝(－2)n－1，所以a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.9．(2018·某某质量预测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝__100__.解析：由log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列．又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.10．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值X 围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__．解析：当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3；当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1，所以S 3的取值X 围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．(2018·某某质检)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1＝1，a 2·a 4＝16. (1)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2a 4＝16，得q 4＝16，所以q ＝2，则a n ＝2n －1.又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝n －1. (2)由(1)可知a n ·b n ＝(n －1)·2n －1，则S n ＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1，2S n ＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n，两式相减，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －1)·2n＝2－2n1－2－(n －1)·2n ＝2n (2－n )－2，所以S n ＝2n(n －2)＋2.12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.。

高考化学一轮复习课时提升作业五第二章化学物质及其变化 3 氧化还原反试题

回夺市安然阳光实验学校课时提升作业五氧化还原反应(45分钟100分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分)1.(2016·宜春模拟)工业上生产下列物质，不涉及氧化还原反应的是( )A.用铝矾土(主要成分Al2O3)生产金属铝B.用硫铁矿(主要成分FeS2)生产硫酸C.用海水、贝壳生产氯化镁晶体D.用氯化钠生产烧碱【解析】选C。

Al2O3生产金属铝，铝元素化合价降低；FeS2生产硫酸，硫元素化合价升高；海水、贝壳生产氯化镁晶体时，CaCO3——CaO——Ca(OH)2——Mg(OH)2——MgCl2，元素化合价没有发生变化；氯化钠生产烧碱时生成氢气和氯气，元素化合价发生变化。

2.(2016·福州模拟)下表中对应关系正确的是( )A 向某溶液中加入盐酸产生无色气体溶液中一定含有C O32−B由油脂得到甘油由淀粉得到葡萄糖均发生了水解反应CCl2+2Br-2Cl-+Br2Zn+Cu2+Zn2++Cu均为单质被还原的置换反应D2Na2O2+2H2O4NaOH+O2↑Cl2+H2O HCl+HClO均为水作还原剂的氧化还原反应【解析】选B。

无色气体可能为二氧化碳或者二氧化硫，A错误；油脂为高级脂肪酸甘油酯，水解生成甘油；淀粉为多糖，水解最终产物为葡萄糖，则均可发生水解反应，B正确；Cl2+2Br-2Cl-+Br2中Cl的化合价降低，单质被还原；Zn+Cu2+Zn2++Cu中Zn的化合价升高，单质被氧化，均属于置换反应，C错误；前者只有过氧化钠中氧元素的化合价变化，水既不是氧化剂也不是还原剂；Cl2+H2O HCl+HClO中只有Cl的化合价变化，均属于氧化还原反应，但水既不是氧化剂也不是还原剂，D错误。

3.(2016·宣城模拟)有人说“五颜六色”形象地说出了化学实验中的颜色变化。

下列颜色变化中是由于发生氧化还原反应导致的是( )①在氯水中加入NaOH溶液；②在FeCl3溶液中加入铁粉；③在品红溶液中通入二氧化硫气体；④在Na2CO3溶液中滴入酚酞；⑤在新制Cu(OH)2悬浊液中滴入葡萄糖溶液，加热。

2021届新高考物理一轮复习(考试A方案)课后作业：第5章第3讲机械能守恒定律及其应用

第5章第3讲机械能守恒定律及其应用课时作业时间：60分钟满分：100分一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。

其中1～6题为单选，7～10题为多选)1．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是()A．M球的机械能守恒B．M球的机械能增大C．M和N组成的系统机械能守恒D．绳的拉力对N做负功答案 C解析细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。

2. 一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为()A ．2mgB.3mgC.4mgD.5mg答案 C 解析小球恰好能通过轨道2的最高点B 时，有mg ＝m v 2B 1.8R ，小球在轨道1上经过其最高点A 时，有F ＋mg ＝m v 2A R ，根据机械能守恒，有1.6mgR ＝12m v 2A －12m v 2B ，解得F ＝4mg ，根据牛顿第三定律，小球在轨道1上经过其最高点A 时对轨道的压力为4mg ，C 项正确。

3. 如图所示，一质量为m 的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O 点。

将小球拉至A 点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O 点正下方与A 点的竖直高度差为h 的B 点时，速度大小为v 。

已知重力加速度为g ，下列说法正确的是( )A ．小球运动到B 点时的动能等于mghB ．小球由A 点到B 点重力势能减少12m v 2C ．小球由A 点到B 点克服弹力做功为mghD ．小球到达B 点时弹簧的弹性势能为mgh －12m v 2答案 D解析小球由A 点到B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A 项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B 项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，即mgh －12m v 2，D 项正确；小球克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能增加量，C 项错误。

2022高考化学金版教程一轮复习课时练习-第5章高考经典真题规范全解

2022高考化学金版教程一轮复习课时练习-第5章高考经典真题规范全解本章近年高考经典真题规范全解一、选择题1. [2011·课标卷，13]短周期元素W、X、Y和Z的原子序数依次增大。

元素W是制备一种高效电池的重要材料，X原子的最外层电子数是内层电子数的2倍，元素Y是地壳中含量最丰富的金属元素，Z原子的最外层电子数是其电子层数的2倍。

下列说法错误．．的是()A．元素W、X的氯化物中，各原子均满足8电子的稳固结构B．元素X与氢形成的原子比为1∶1的化合物有专门多种C．元素Y的单质与氢氧化钠溶液或盐酸反应均有氢气生成D．元素Z可与元素X形成共价化合物XZ2答案：A解析：X原子的最外层电子数是内层电子数的2倍，可推知X为C；元素Y是地壳中含量最丰富的金属元素，则Y为Al；Z原子的最外层电子数是其电子层数的2倍，且Z的原子序数大于Al，故Z为S；元素W是制备一种高效电池的重要材料，且原子序数小于C，可推知W为Li。

A项，LiCl中，锂原子是2电子的稳固结构，错；B项，C与H可形成C2H2、C6H6等多种化合物，正确；C项，Al与NaOH溶液或盐酸反应均有H2生成，正确；D项，S与C可形成共价化合物CS2，正确。

2. [2011·山东卷，10]某短周期非金属元素的原子核外最外层电子数是次外层电子数的一半，该元素()A．在自然界中只以化合态的形式存在B．单质常用作半导体材料和光导纤维C．最高价氧化物不与酸反应D．气态氢化物比甲烷稳固答案：A解析：依题意知，该元素为Si。

A项，正确；B项，制光导纤维的材料是SiO2；C项，SiO2能与HF反应；D项，硅烷不如甲烷稳固。

3. [2011·浙江卷，9]X、Y、Z、M、W为五种短周期元素。

X、Y、Z是原子序数依次递增的同周期元素，且最外层电子数之和为15；X与Z可形成XZ2分子；Y与M形成的气态化合物在标准状况下的密度为0.76 g·L －1；W 的质子数是X 、Y 、Z 、M 四种元素养子数之和的12。

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)5-3 平面向量的应用(精讲)(解析版)

5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）考点一证线段垂直【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形ABCD 中，()2,3AC =-，()6,4BD =，则该四边形的面积为（）A ．52B ．252C ．13D ．26【答案】C【解析】∵12120AC BD ⋅=-+=，∵AC ∵BD ，所以四边形ABCD 面积为：114936161322AC BD ⋅=⨯+⨯+=.故选：C. 【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任意一点（异于A 、C 两点），PE AB ⊥，PF BC ⊥，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP EF ⊥.【答案】见解析【解析】设正方形ABCD 的边长为1，()01AE a a =<<，则EP AE a ==，1PF EB a ==-，2AP a =.，()()DP EF DA AP EP PF DA EP DA PF AP EP AP PF∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅考点呈现例题剖析()()1cos18011cos902cos4521cos45a a a a a a =⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯()210a a a a =-++-=，DP EF ∴⊥，即DP EF ⊥.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD 满足：0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形一定是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形【答案】B 【解析】0AB CD +=，AB DC ∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC -⋅=, 0DB AC ∴⋅=，所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形.故选：B2．（2022·福建·漳州三中）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】ABC 中，|||2||||()()|OB OC OB OC OA CB OB OA OC OA -=+-⇔=-+- 22||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC ⇔-=+⇔-=+22222240AB AB AC AC AB AB AC AC AB AC ⇔-⋅+=+⋅+⇔⋅=因AB 与AC 均为非零向量，则AB AC ⊥，即90BAC ∠=，ABC 是直角三角形.故选：B3．（2022·上海）在Rt ABC 中，90,BAC AB AC ︒∠==，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且,2AE EB BF FC ==．求证：CE AF ⊥．【答案】证明见解析.【解析】因为12CE CA AE AC AB =+=-+，()1133AF AB BF AB BC AB AC AB =+=+=+-=2133AB AC +．由0AB AC ⋅=且AB AC =，得121233CE AF AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221110332AB AC AB AC --⋅=，所以CE AF ⊥.考点二夹角问题【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H 为ABC 的垂心，若1235AH AB AC =+，则sin BAC ∠=（）A BC D 【答案】C【解析】依题意，2235BH BA AH AB AC =+=-+，同理1335CH CA AH AB AC =+=-．由H 为△ABC 的垂心，得0BH AC ⋅=，即22035AB AC AC ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭，可知222cos 53AC AC AB BAC =∠，即3cos 5AC BAC AB∠=．同理有0CH AB ⋅=，即13035AB AC AB ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，可知213cos 35AB AC AB BAC =∠，即5cos 9AB BAC AC ∠=，解得21cos 3BAC ∠=，2231cos 2sin 113∠∠=-=-=BAC BAC ，又()0,πBAC ∠∈，所以sin BAC ∠=．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（）A B ．C ．D 【答案】D【解析】建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M ,得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ D.2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC 中，斜边BC 长为a ，A 是线段PE 的中点，PE 长为2a ，当⋅B C P E 最大时，PE 与BC 的夹角是（）A ．0B ．30C ．60D ．90【答案】A【解析】如图所示，设PE 与BC 的夹角为[]()0,θθπ∈，AB AC ⊥，所以0AB AC ⋅=，因为A 是线段PE 的中点，PE 长为2a ，所以=AP AE ，==AP AE a ，又因为,==--BP AP AB CE AE AC ，所以()()⋅-⋅-=⋅-⋅-⋅+=⋅BP CE AP AB AE AC AP AE AP AC AB AE AB AC22a AP AC AB AE a AE AC AB AE =--⋅-⋅=-+⋅-⋅()22=-+⋅-=-+⋅a AE AC AB a AE BC222211cos cos 22a PE BC a PE BC a a θθ=-+⋅=-+⋅=-+，因为0,θπ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]cos 1,1θ∈-，所以当cos 1θ=时⋅B C P E 最大，此时0θ=，⋅B C P E 最大的值为0.故选：A.3．（2022·福建省同安第一中学）在OAB 中，2OA OB ==，AB =P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（）A B C D 【答案】C【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则(3,0),(3,0),(0,1)A B O-,设(,)P x y，因为动点P位于直线OA上，直线OA的方程为：1y=+，所以22(,),)3PA PB x y x y x y→→⋅=-⋅-=-+222244931)2(334x x x x x=-++=-=-，当x=PA PB→→⋅取得最小值94-，此时3()4P，3(),(4BP BA→→==-，所以15cosBP BAPBABP BA→→→→⋅∠====⋅又因为(0,)PBAπ∠∈，所以sin14PBA∠=，故选：C.考点三线段长度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形ABCD中，(2,1,2,AB AD AC===，则BD=（）A．1B C．2D．3【答案】B【解析】由题意得|7AC=∣，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，得：()()222222222,22110,BD AC AB AD BD BD+=+∴+=+=∴=B【例3-2】（2022·云南）已知ABC120C∠=︒，2cosc b B=，则AC边的中线的长为（）A B．3C D．4【答案】C【解析】根据正弦定理由2cos sin2sin cos sin sin2c b B C B B C B=⇒=⇒=，因为,(0,180)B C∈︒，所以2C B=，或2180C B+=︒，当2C B=时，60B∠=︒,不符合三角形内角和定理，当2180C B+=︒时，30B∠=︒，因此30A∠=︒,因此a b=，因为ABC所以有122a a a⋅==，负值舍去，即2a b==，由余弦定理可知：AB ==设AC 边的中点为D ，所以有1()2BD BC BA =+，因此222111()24222BD BC BA BC BA BC BA =+=++⋅=故选：C 【一隅三反】1．（2022·云南师大附中）ABC 中，60A ∠=︒，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知3AB =，且1233AD AC AB =+，则AD 的长为（）AB ．3C ．D ．【答案】C【解析】如图，过D 作//DE AC 交AB 于E ，作//DF AB 交AC 于F ，则AD AE AF =+，又1233AD AC AB =+，所以23AE AB =，13AF AC =，所以13BD AF BC AC ==，即12BD DC =，又AD 是BAC ∠的平分线，所以12AB BD AC CD ==，而3AB =，所以6AC =， cos 36cos609AB AC AB AC BAC ⋅=∠=⨯⨯︒=，222212144()33999AD AC AB AC AC AB AB=+=+⋅+2214469312999=⨯+⨯+⨯=，所以23AD =C ． 2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，2AB AC ==，点M 满足20BM CM +=，若23BC AM ⋅=，则BC 的值为（） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】取BC 中点O ，连接AO ，20BM CM +=，即2BM MC =，∴M 为BC 边上靠近C 的三等分点，()BC AM BC AO OM BC AO BC OM ⋅=⋅+=⋅+⋅，AB AC =，AO BC ∴⊥，0BC AO ∴⋅=，又16OM BC =，21263BC AM BC OM BC ∴⋅=⋅==，2BC ∴=.故选：C .3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形ABCD 中，ABD △是边长为4的等边三角形，213AC =，(2)CA tCB t CD =+-，(1)t >，则OD =（）A ．52B ．C ．3D 【答案】C【解析】取AC 的中点为M ，因为(2)CA tCB t CD =+-，故2CA CD tDB -=即22CM CD tDB -=，故2DM tDB =，所以,,D M B 三点共线，故M 与O 重合，所以AO =故21316+24cos3OD OD π=-⨯⨯，解得1OD =或3OD =，因为1t >且2DO tDB =，故OD OB >，故3OD =，故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，1534ABC S =△，则AB 边上的中线长为（） A ．49 B ．7C ．494 D ．72【答案】D【解析】因为ABCS11sin 322ab C b ==⨯⨯=5b =，根据余弦定理可得2222cos 19c a b ab C =+-=，故c =AB 中点为M ，故()12CM CA CB =+，故22172cos 22CM CA CB CA CB C =++==. 即AB 边上的中线长为72.故选：D .考点四几何中的最值【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AD AB ⊥，且6AB =，3AD =.若线段CD 上存在唯一的点E 满足4AE BE ⋅=，则线段CD 的长的取值范围是（） A ．[1,2) B ．[1,5)C ．[1,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【解析】如图所示，以A 为坐标原点，AB 和AD 分别为x 轴和y 轴正方向建立直角坐标系.则(0,0),(6,0)A B , 设DE 的长为x ，则(,3)E x ，则(,3)AE x =，(6,3)BE x =-，所以(6)94AE BE x x ⋅=-+=，解得1x =或5x =，由题意知：DC x ≥ ，且点E 存在于CD 上且唯一，知CD 的长的取值范围是[1,5)，故选：B. 【一隅三反】1．（2022·安徽安庆）设点P 是ABC 的中线AM 上一个动点，()PA PB PC ⋅+的最小值是92-，则中线AM 的长是___________. 【答案】3【解析】设PM x =，,AM m =则.PA m x =-因为M 为BC 边中点，所以1()2PM PB PC =+，即2PB PC PM +=.于是222()22()222()22m m PA PB PC PA PM x m x x mx x ⋅+=⋅=--=-=--. 当2m x =，即点P 是中线AM 的中点时，()PA PB PC ⋅+取得最小值2,2m -即29,22m -=-因此 3.m =故答案为：32．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点P 是边长为2的正三角形ABC 的三条边上任意一点，则||PA PB PC ++的最小值为___________.【解析】不妨假设P 在AB 上且(1,0),(1,0)A B C -，如下图示，所以，P 在3(1)y x =+且10x -≤≤，设(,3(1))P x x +，则(,)PA x =-，(1,1))PB x x =--+，(1,1))PC x x =-+，所以(3,PA PB PC x ++=---，故||9PA PB PC x ++=，当12x =-时，||PA PB PC ++3．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF .若正六边形的边长为1，点P 是其内部一点（包含边界），则AP AC ⋅的取值范围为___________.【答案】[0,3]【解析】过点C 作CM AB ⊥于,M 所以,AC AM MC =+且33==,=22AM MC AP AQ QP AM MC λμ=++，,其中1123λμ-≤≤≤≤，0,()()()()22=3=34=A A AM MCAM MC MAM M M P AC C C λμλλμμλμ++++++⋅当P 点与C 点重合时，AP 在AC 方向上的投影最大，此时1,1λμ==,·AP AC 取得最大值为3；当P 点与F 点重合时，此时1,13λμ=-=，即AP AC ⊥,故0AP AC =,取得的最小值为∴·AP AC 的取值范围是[0,3]．故答案为：[0,3]．4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 、AC 的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则MN 的最小值是________．【解析】在等腰ABC 中，∵||||1AB AC ==，120o A ∠=， ∴1||||cos 2AB AC AB AC A ⋅==-； ∵E 、F 分别是边AB 、AC 的点，∴11()()22AM AE AF AC AB μλ=+=+，1()2AN AB AC =+，∵1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-，∴222222211[(1)2(1)(1)(1)]44MN AB AB AC AC λμλμλμλλμμ+---+=-+--⋅+-=，∵21λμ+=，∴12λμ=-， ∴()()()22222237()121212174177444MN μμμμμμμμμ-+-+-----+-+===，其中λ，(0,1)μ∈，即1(0,)2μ∈，∴当27μ=时，2MN 取得最小值328，∴||MN ．考点五三角形的四心【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（） A ．若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC 的重心 B ．若222OA OB OC ==，则点O 为ABC 的垂心C ．若()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=，则点O 为ABC 的外心 D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC 的内心【答案】AC【解析】对于A ，设边BC 、AC 、AB 的中点分别为D 、E 、F 2OB OC OD +=,则20OA OD +=，所以2OA OD =-所以A 、O 、D 三点共线，即点O 在中线AD 上，同理点O 在中线,BE CF 上，则O 是ABC 的重心.故A 正确对于B ，若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，所以OA OB OC == 所以O 为ABC 的外心，故B 错误对于C ，设边AB 、BC 、CA 的中点分别为点D 、E 、F ，则()20OA OB AB OD AB +⋅=⋅=,所以OD 为线段AB 的中垂线，同理OE 、OF 分别为线段BC 、CA 的中垂线，所以O 是ABC 的外心，故C 正确对于D ，由已知，()0OA OB OB OC OB OA OC OB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，即OB 垂直CA ，也即点O 在边AC 的高上；同理，点O 也在边AB BC 、的高上，所以则O 是ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC 【一隅三反】1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC 中，点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )A ．2GH OG =B ．0GA GB GC ++= C ．OH OA OB OC =++D ．OA OB OC ==【答案】ABC 【解析】如图：根据欧拉线定理可知，点O ､H ､G 共线，且2GH OG =.对于A ，∵2GH OG =，∵2GH OG =，故A 正确；对于B ，G 是重心，则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点，且AG ＝2GD ，则2GA GB GC GA GD ++=+0=，故B 正确；对于C ，33()OH OG AG AO ==-23()3AD AO =-23AD AO =-2()3AO OD AO =+-2OD AO=-OB OC OA =++，故C 正确；对于D ，OA OB OC ==显然不正确.故选：ABC.2．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知∵ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =4，AC =2，则下列各式正确的有（） A ．4AG BC ⋅= B ．6AO BC ⋅=-C ．OH OA OB OC =++D ．42AB AC OM HM +=+【答案】BCD【解析】由G 是三角形ABC 的重心可得23AG AM =211()322AB AC =+1133AB AC =+，所以1()()3AG BC AB AC AC AB ⋅=+⋅-221(||)3AC AB =-=4-，故A 项错误；过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，如图（1），易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO AC OAE AO AB OAD =∠-∠AE AC AD AB =-2211||622AC AB =-=-，故B 项正确；因为G 是三角形ABC 的重心，所以有0GA GB GC ++=，故OA OB OC ++()()()OG GA OG GB OG GC =+++++3OG GA GB GC =+++3OG =，由欧拉线定理可得3OH OG =，故C 项正确；如图（2），由3OH OG =可得2133MG MO MH =+，即2133GM OM HM =+，则有26AB AC AM GM +==216()33OM HM =+42OM HM =+，D 项正确，故选：BCD.3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O 是四边形ABCD 内一点，若0OA OB OC OD +++=，则下列结论错误的是（）A ．四边形ABCD 为正方形，点O 是正方形ABCD 的中心 B ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 的对角线交点 C ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 的外接圆的圆心 D ．四边形ABCD 为一般四边形，点O 是四边形ABCD 对边中点连线的交点【答案】ABC【解析】对于A ，若四边形ABCD 为正方形，点O 是正方形ABCD 的中心，则必有0OA OB OC OD +++=，但反过来，由0OA OB OC OD +++=推不出四边形ABCD 为正方形，故A 错误；对于BCD ，如图所示，O 是四边形ABCD 内一点，且0OA OB OC OD +++=设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，由向量加法的平行四边形法则知2OA OB OE =+，2OC OD OF +=，0OE OF ∴=+，即O 是EF 的中点；同理，设AD ，BC 的中点分别为M ，N ，由向量加法的平行四边形法则知2OA OD OM +=，2OC OB ON =+，即O 是MN 的中点；所以O 是EF ，MN 的交点，故BC 错误，D 正确；故选：ABC4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心 B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心 C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形【答案】ABCD 【解析】对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =-，所以||:||2:1AN ND =，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB ACBC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．考点六三角的面积【例6-1】（2022·全国·高三）点P 菱形ABCD 内部一点，若230PA PB PC ++=，则菱形ABCD 的面积与PBC 的面积的比为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【解析】如图，设AB 中点为E ，BC 中点为F ，因为230PA PB PC ++=，即220PA PB PB PC +=++，则420PE PF +=，即2PF PE =-，则24111122334326PBCPBFBEFABCABCD ABCD SSSS S S ==⨯=⨯=⨯=，所以ABCD 的面积与PBC 的面积的比值是6.故选：B.【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点O 为正ABC 所在平面上一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAC 的面积与OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为（）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】B【解析】(1)0OA OB OC λλ+++=， ()0OA OC OB OC λ→∴+++=．如图，D ，E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知2OA OC OE +=，()2OB OC OD λλ+=，故OE OD λ=-，在正三角形ABC 中，11114428COAAOBABCABCSS S S ==⨯=，113828COB ACBABCABCABCS SS S S =--=，且三角形AOC 与三角形COB 的底边相等，面积之比为13,所以13OE OD =，得13λ=．故选：B 【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）设O 为OAB 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与OAB 的面积的比值为（） A ．6 B ．83C ．127D ．4【答案】A【解析】设1112,7,3===OA OA OB OB OC OC ，因为2730OA OB OC ++=，所以1110OA OB OC ++=，所以O 为111A B C △的重心，设111111===OA B OA C OB C SSSk ，所以111111*********,,21146⋅⋅⋅======⋅⋅⋅OBC OAB OAC OB C OA B OA C S S S OB OC OA OB OA OC S OB OC S OA OB S OA OC ，则111,,21146===OBCOABOACSk S k S k ，所以27=++=ABCOBCOAB OACS SSSk ，所以276121==ABC BOCk S Sk ，故选：A2．（2022·全国·高三）P 是ABC 所在平面内一点，若3CB PA PB =+，则:ABP ABC S S =△△（） A ．1:4 B ．1:3C ．2:3D ．2:1【答案】A【解析】由题设，3PA CB BP CP =+=，故,,C P A 共线且3CP PA =，如下图示：所以:1:4ABPABCSS=.故选：A3．（2022·四川凉山）已知P 为ABC 内任意一点，若满足()0,,0xPA yPB zPC x y z ++=>，则称P 为ABC 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（） ∵若1x y z ===，则点P 为ABC 的重心； ∵若1x =，2y =，3z =，则16PBCABCSS =；∵若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则点P 为ABC 的垂心； ∵若1x =，3y =，1z =且D 为AC 边中点，则25BP BD =． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对于∵，当1x y z ===时，0PA PB PC ++=；设BC 中点为M ，则2PB PC PM +=，即22PA PM MP =-=，P ∴为ABC 的重心，∵正确；对于∵，当1x =，2y =，3z =时，230PA PB PC ++=，()2PA PC PB PC ∴+=-+，取AC 中点D ，BC 中点E ，2PA PC PD +=，2PB PC PE +=，24PD PE ∴=-，即2PD EP =，P ∴到直线BC 距离1d 与D 到直线BC 距离2d 之比为：1:3，即12:1:3d d =；又D 为AC 中点，∴点A 到直线BC 距离322d d =，13:1:6d d ∴=， 13::1:6PBCABCSSd d ∴==，即16PBCABCSS =，∵正确；对于∵，由PA PB PB PC ⋅=⋅得：()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心，∵正确；对于∵，当1x =，3y =，1z =时，30PA PB PC ++=，3PA PC PB ∴+=-，又D 为AC 边中点，233PD PB BP ∴=-=，又BP PD BD +=，32BP BP BD ∴+=，25BP BD ∴=，∵正确.故选：D.。

2014高考数学总复习一轮用书与名师对话5-3

【答案】 2
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与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·数学（理）
建立坐标系，将平面向量的线性运算转化为坐标运算，便于理解和计算．
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高考总复习 ·课标版 ·数学（理）
2π (1)(2011 年江苏)已知 e1，2 是夹角为的两个单位向量， e 3 a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若 a· b＝0，则 k 的值为________． (2)(2011 年湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中， → ＝设BC → → → → BE → 2BD，CA＝3CE，则AD· ＝________.
【答案】 (1)3 2
π 5 (2)6，6π
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高考总复习 ·课标版 ·数学（理）
在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝ a· a要引起足够重视，是求距离常用的公式．
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1.求向量的长度(模)时通常遵循以下规则： “要求向量的长度，先求向量长度的平方”，其依据是 a· a＝|a|2，这样就把向量长度的平方转化为向量的平方，进而转化为已知向量的数量积问题． a· b 2．一般由公式 cos θ＝求向量的夹角．若给出向量 |a||b| x1x2＋y1y2 的坐标形式，则可根据公式 cos θ＝ 2 2 2 2求两个向 x1＋y1 x2＋y2 量的夹角．
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2022届高考数学一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和课时作业(含解析)新人教版

第五章数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3，当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9，当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误．答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确．答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2，两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1，所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2，两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．答案：D。

2023年高考复习专项练习一轮化学课时规范练5 物质的量浓度及其计算

课时规范练5物质的量浓度及其计算基础巩固1.下列关于0.2 mol·L-1Ba(NO3)2溶液的说法正确的是()A.溶液中含有的阴、阳离子总物质的量为0.6 molB.在0.5 L该溶液中,Ba2+的浓度为0.1 mol·L-1C.在500 mL该溶液中,含有0.2 mol N O3-D.取1 L该溶液稀释到10 L时,N O3-的浓度为0.02 mol·L-12.(2020甘肃甘谷一中检测)现有两份溶液:①将106 g Na2CO3固体溶于1 L水配成溶液,②将1 mol Na2CO3·10H2O溶于水配成1 L溶液。

下列量一定相等的是()A.物质的量浓度B.溶质的物质的量C.溶液的体积D.质量分数3.(2020河南南阳期中质量评估)下列叙述不正确的是()A.10 mL质量分数为98%的H2SO4溶液,用10 mL水稀释后H2SO4的质量分数大于49%B.配制0.1 mol·L-1的Na2CO3溶液480 mL,需用500 mL容量瓶进行配制C.用浓硫酸配制一定物质的量浓度的稀硫酸时,量取浓硫酸时仰视量筒,会使所配溶液浓度偏小D.同温同压下20 mL CH4和60 mL O2所含的原子数之比为5∶64.MgSO4、NaCl的溶解度曲线如图所示。

下列说法正确的是()A.MgSO4的溶解度随温度升高而升高B.NaCl的溶解度比MgSO4的溶解度大C.T2℃时,MgSO4饱和溶液溶质的质量分数最大D.将MgSO4饱和溶液的温度从T3℃降至T2℃时,有晶体析出5.1 mol HCl溶解在1 L水中(水的密度近似为1 g·cm-3),所得溶液的密度为ρ g·cm-3,质量分数为w,物质的量浓度为c mol·L-1,N A表示阿伏加德罗常数的值。

则下列叙述正确的是()A.所得溶液的物质的量浓度c=1 mol·L-1B.所得溶液中含有N A个HCl分子C.1 mol HCl气体在标准状况下占有的体积约为22.4 LD.所得溶液中溶质的质量分数w=36.51000ρ6.(2020山西怀仁一中月考)下列有关实验原理或操作正确的是()A.用20 mL量筒量取15 mL酒精,加水5 mL,配制质量分数为75%的酒精溶液(ρ酒精<1 g·cm-3)B.200 mL某硫酸盐溶液中含有1.5N A个硫酸根离子,同时含有N A个金属离子,则该硫酸盐的物质的量浓度为2.5 mol·L-1C.实验中需用2.0 mol·L-1Na2CO3溶液950 mL,配制时应选用的容量瓶的规格和称取的Na2CO3的质量分别为950 mL、201.4 gD.实验室配制500 mL 0.2 mol·L-1的硫酸亚铁溶液,其操作是用托盘天平称量15.2 g绿矾(FeSO4·7H2O),放入小烧杯中加水溶解,转移到500 mL容量瓶中,稀释、定容、摇匀7.实验室需要450 mL 0.1 mol·L-1NaOH溶液。

【新人教版】2022版高考生物一轮复习课时作业五细胞器和生物膜系统(含解析)

细胞器和生物膜系统(30分钟100分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.(2021·长沙模拟)下列有关结构与功能相统一的观点不正确的是( )A.细胞内的生物膜把各种细胞器分隔开,保证了细胞生命活动高效、有序地进行B.神经细胞轴突末梢有大量突起,有利于接受更多神经递质进行信息传递C.叶绿体内类囊体膜堆叠使膜面积增大,有利于充分利用光能D.线粒体内膜向内折叠形成嵴,有利于有氧呼吸快速进行【解析】选B。

生物膜系统分隔细胞器,保证细胞生命活动高效、有序地进行,A正确;神经细胞轴突末梢有大量突起形成突触小体,有利于神经递质的释放,而神经递质受体蛋白位于突触后膜,B错误;叶绿体内类囊体膜堆叠使膜面积增大,有利于附着更多的光合色素,从而有利于充分利用光能,C正确;线粒体内膜是有氧呼吸第三阶段的场所,向内折叠形成嵴,有利于附着更多的有氧呼吸酶,从而有利于有氧呼吸快速进行,D正确。

2.(2021·十堰模拟)生物界细胞的形态、结构和功能是多样的,但其结构与功能总是相适应的,下列观点正确的是( )A.小肠绒毛细胞形成很多微绒毛,其膜表面积与体积的比值增大有利于物质交换的高效性B.核糖体是“生产蛋白质的机器”,只在真核细胞中存在C.有些重要的细胞器具有双层膜,如线粒体、细胞核、叶绿体等D.癌细胞分裂异常旺盛,故游离的核糖体较少【解析】选A。

小肠绒毛细胞形成很多微绒毛,有利于增大相对表面积,从而提高物质交换效率,A正确;核糖体是合成蛋白质的场所,是真核细胞和原核细胞共有的细胞器,B错误;细胞核是细胞结构,不属于细胞器,C错误;癌变的细胞分裂异常旺盛,需要合成大量蛋白质,故游离的核糖体较多,D错误。

3.如图是细胞内蛋白质的合成和转运示意图,下列有关说法正确的是 ( )A.多肽合成时,mRNA在核糖体上移动B.图中具有双层膜的细胞器有3种C.多肽通过胞吞的形式进入细胞核D.进入细胞器a的多肽,部分具有催化作用【解析】选D。

高考一轮复习课时作业5-6

课时作业(二十五)一、选择题1．(2010·重庆卷)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A.2．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( ) A ．(－π4，π4)B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)答案 D解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2kπ＋π≤2x ≤2kπ＋2π ∴kπ＋π2≤x ≤kπ＋π∴k ＝0时，π2≤x ≤π.选D.3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π4处取得最小值，则( )A ．f (x ＋π4)一定是偶函数B ．f (x ＋π4)一定是奇函数C ．f (x －π4)一定是偶函数D ．f (x －π4)一定是奇函数答案 A解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的f (x )图象关于x ＝π4对称，则f (x ＋π4)图象关于x ＝0对称，故f (x ＋π4)为偶函数．4．(2011·杭州模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π3)的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 D解析据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.5．函数y ＝－x cos x 的部分图象是( )答案 D分析方法一由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图象关于原点对称．又由当x ∈[0，π2]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0.当x ∈[－π2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选D.方法二特殊值法，由f (±π2)＝0，∵f (π4)＝－π4·cos π4<0，由图象可排除A 、B ，又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0，排除C ，故选D.6．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①任意φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②存在φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③任意φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④存在φ∈R ，使f (x )是奇函数．其中假命题的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③答案 A解析对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，则f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝0时f (x )＝f (－x )，则命题③错误；如取φ＝π，则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sin πx ，命题④正确．二、填空题7．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]则x 0＝______答案－π6解析因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6.8．(2010·浙江)函数f (x )＝sin (2x －π4)－22sin 2 x 的最小正周期是________．答案 π解析 f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，故该函数的最小正周期为2π2＝π. 9．(2011·济南统考)设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝kπ(其中k ∈Z)，φ＝kπ－π3，又0<φ<π，所以φ＝2π3.10．(2011·德州一模)若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间[－π6，π3]上是增函数，则y ＝f (x )的解析式可以是______．答案 y ＝cos(2x －23π)．11．(2010·福建卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－23，3]解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，所以f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－32≤3sin(2x －π6)≤3，即f (x )的取值范围为[－32，3]．12．(20101·山东淄博)将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________. 答案 12解析注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R)． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)．(2)由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得kx －π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z)．14．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)单调递减时，f (x )单调递增，∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．15．已知向量m ＝(sin w x ，－3cos w x )，n ＝(sin w x ，cos(w x ＋π2))(w >0)，若函数f (x )＝m·n的最小正周期为π.(1)求w 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递减区间．解析 (1)由题意得f (x )＝m·n ＝sin 2w x －3cos w x cos(w x ＋π2)＝sin 2w x ＋3cos w x sin w x ＝1－cos2w x 2＋32sin2w x＝32sin2w x －12cos2w x ＋12＝sin(2w x －π6)＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且w >0，所以2π2w＝π，解得w ＝1.(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝f (x ＋π12)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝f (x 4＋π12)即函数y ＝g (x )的图象．由(1)知f (x )＝sin(2x －π6)＋12，所以g (x )＝f (x 4＋π12)＝sin[2(x 4＋π12)－π6]＋12＝sin x 2＋12.令2kπ＋π2≤x 2≤2kπ＋3π2(k ∈Z)，解得4kπ＋π≤x ≤4kπ＋3π(k ∈Z)．因此函数y ＝g (x )的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k ∈Z)．。

高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例课时跟踪检测理新人教A版-

第三节平面向量的数量积及应用举例A 级·基础过关 |固根基|1.已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B ．2．(2019届某某一中高三入学测试)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，∴|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13，故选C ．3．(2019届某某模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析：选B 由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n＝－n 2|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m ||n |×13＝－3|n ||m |.又4|m |＝3|n |，∴t ＝－3×43＝－4.故选B ．4．(2019届东北联考)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.故选C ．5．(2019届某某模拟)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AC →·BC →＝1，则BC ＝( ) A ． 3 B ． 2 C ．2D ．3解析：选D 设∠A ＝θ，因为BC →＝AC →－AB →，AB ＝4，AC ＝3，所以AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝AC →2－AC →·AB →＝9－AC →·AB →＝1，即AC →·AB →＝8，所以cos θ＝AC →·AB→|AC →||AB →|＝83×4＝23，所以BC ＝16＋9－2×4×3×23＝3.故选D ．6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值X 围为( ) A ．[1，2]B ．[2，4]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2.因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故选D ．7．(2020届某某调研)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选D 由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.由AB →＝3BE →，得CB →－CA→＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.所以CD →·CA →＋CE →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．8.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49解析：选B 因为BF →＝2FO →，r ＝1，所以|FO →|＝13，所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO→2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89，故选B ．9．(2019届某某市摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC＝60°，则△OBC 的面积为( )A ．33 B ． 3 C ．32D ．23解析：选A ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，∴S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB→|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2.又∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 10．(2020届某某摸底)已知a ，b 均为单位向量，若|a －2b |＝3，则a 与b 的夹角为________．解析：由|a －2b |＝3，得|a －2b |2＝3，即a 2－4a ·b ＋4b 2＝3，即1－4a ·b ＋4＝3，所以a ·b ＝12，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π311．(2019届某某摸底调研)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为________．解析：解法一：动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB ，因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l为y ＝3(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2，0)，A (－1，3)，因为M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.设C (x ，y )，因为CB →＝52CA →，所以(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52（－1－x ），－y ＝52（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3.解法二：连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为CB →＝52CA →，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋23BA →＝OA →＋23OA →－23OB →＝53OA →－23OB →.又M 为AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，且OA →与OB →的夹角为60°，则OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA→－23OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＝56OA →2－13OB →2＋12|OA →||OB →|cos 60°＝56×4－13×4＋12×2×2×12＝3. 答案：312.如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cosx ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0，2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ，整理得2cos 2x －3cos x ＝0，解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，即x ＝π6.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届某某市第一次联考)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <0解析：选C 因为点O 是锐角三角形ABC 的外心，所以O 在三角形内部，则m <0，n <0.不妨设锐角三角形ABC 的外接圆的半径为1，因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →.设向量OA →，OB →的夹角为θ，则1＝m 2＋n 2＋2mn cos θ<m 2＋n 2＋2mn ＝(m ＋n )2，所以m ＋n <－1或m ＋n >1(舍去)，所以m ＋n <－1，故选C ．14．已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点A ，B ，C 在以坐标原点O 为圆心的单位圆上运动，且AB →·BC →＝0，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由A ，B ，C 三点在圆x 2＋y 2＝1上，且AB →·BC →＝0，得AC 是该圆的直径．设PO →，OB →的夹角为θ，θ∈[0，π]，则|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|＝（3PO →＋OB →）2＝9|PO →|2＋|OB →|2＋6PO →·OB →＝36＋1＋12cos θ＝37＋12cos θ，当θ＝0时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7，故选C ．15．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 是AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的最大值是( )A ．1B ．2－22C ．22D ．2＋22解析：选A 以点C 为坐标原点，CA →，CB →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，所以AB →＝(－1，1)．因为点P 在线段AB 上，AP →＝λAB →，所以AP →＝(－λ，λ)，所以P (1－λ，λ)，所以CP →＝(1－λ，λ)，PB →＝(λ－1，1－λ)，λ∈[0，1]．因为CP →·AB →≥PA →·PB →，所以(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，化简得2λ2－4λ＋1≤0，解得2－22≤λ≤2＋22.因为λ∈[0，1]，所以2－22≤λ≤1，所以λ的最大值是1.故选A ．16.如图，在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝2，向量AD →在AB →方向上的投影为1，且BD →·DC →＝0，点P 在线段CD 上，则PA →·PB →的取值X 围为________．解析：解法一：由题意知∠DAB ＝45°，且|AB →|＝1，设|PD →|＝x ，则0≤x ≤1，因为AP →＝AD →＋DP →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →＋CP →，所以PA →·PB →＝(－AD →－DP →)·(－AD →－CP →)＝AD →2＋AD →·CP →＋AD →·DP →＋DP →·CP →＝2＋2(1－x )cos 135°＋2x cos 45°－x (1－x )＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．解法二：由题意可知，DB ⊥AB ，以B 为坐标原点，AB 及BD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由题意知B (0，0)，A (－1，0)，设P (x ，1)，其中0≤x ≤1，则PA →·PB →＝(－1－x ，－1)·(－x ，－1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34∈[1，3]．答案：[1，3]17．已知△ABC 的面积为24，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且满足CE →＝3EA →，CD →＝2DB →，连接AD ，BE 交于点F ，则△ABF 的面积为________．解析：解法一：如图，连接CF ，由于B ，F ，E 三点共线，因而可设CF →＝λCB →＋(1－λ)CE →.∵CE →＝3EA →，CD ＝2DB →，∴CF →＝32λCD →＋34(1－λ)CA →.又A ，F ，D 三点共线，∴32λ＋34(1－λ)＝1，解得λ＝13，∴CF →＝13CB →＋23CE →＝13CB →＋12CA →.∵AF→＝CF →－CA →＝13CB →－12CA →，FD →＝CD →－CF →＝13CB →－12CA →，∴F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC＝4.解法二：如图，过D 作AC 的平行线，交BE 于H ，则由已知CD →＝2DB →，得DH ═∥13CE ，又CE →＝3EA →，因而DH ═∥EA ，△AEF ≌△DHF ，则F 为AD 的中点，因而S △ABF ＝12S △ABD ＝16S △ABC ＝4. 答案：4。

课后训练题及参考答案(五)--2023年高考语文一轮复习(新高考)

课时作业5语言表达连贯语言文字运用Ⅰ一、阅读下面的文字，完成1～3题。

我母亲几乎年年都买水仙，赶上春节前后()开放，暗香()，照亮沉闷的室内。

在户外，顶属杏花开得最早，随后梨花、丁香、桃花，风卷花香，熏得人头晕，昏昏欲睡。

小时候常说①“春困秋乏夏打盹，睡不醒的冬三月②，”那时尚不知有花粉过敏一说。

等到槐花一开，夏天到了。

国槐乃北方人性格，有一种恣意妄为的()之美。

相比之下，那淡黄色槐花开得平凡琐碎，一阵风过，如雨飘落。

槐花的香味儿很淡，但悠远如箫声。

……暴雨似乎来自体内的压力。

当闷热到了难以忍受的临界点，一连串雷电惊天动地，青春期的()得到某种程度的释放。

雨一停，孩子冲向马路旁阴沟上，一边蹚水一边高叫③：“下雨啦④、冒泡啦⑤、王八戴上草帽啦⑥……”1．依次填入文中括号内的词语，全都恰当的一项是()A．愀然浮动狞厉懵懂B．悄然涌动狞厉躁动C．悄然浮动狰狞躁动D．愀然涌动狰狞懵懂2．文中画横线的几处标点符号中，全都正确的一项是()A．①②③B．②④⑤C．①③⑥D．①④⑤3．有人认为“槐花的香味儿很淡，但悠远如箫声”语句不通，应去掉“如箫声”。

你觉得呢？请说明理由。

答：二、阅读下面的文字，完成4～6题。

七月里，去蜈蚣岭。

当地人说，“街口进街源，只见青山不见回”。

在一个岔路口，公路拐进山端后，两边的山峰立刻气势汹汹地挤过来，天空逼仄得像一根蓝色的棉线。

眼前的石砖，层层叠叠，随着山体盘旋环绕。

从前，这里“三条大岭五面坡，山高土薄石头多”，而蜈蚣岭人，开山抬土，成就了今天的千亩石砌梯形茶园。

茶季之后，茶树开始，青草、野菜，这些大自然的伙伴，与它们朝夕相处。

石磅坡面并不规则的平整，山芋藤、南瓜藤悬挂下来，被它遮了一半。

黄色的南瓜花开得绚烂，绿色的小南瓜也是，冬瓜、扁豆、羊角，从底部攀援而上。

看过几处路边的民宅，喟叹起当年生活的艰辛。

看到悬崖上“蜈蚣岭”三个红色的大字，也就抵达了蜈蚣岭村委会。

这里地势略显平缓，山顶上的村庄地踞在那里。

2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·沈阳模拟)数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,则命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为()A.∀x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.∃x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.∃x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y32.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)(2023·江西九校联考)已知p:∀x∈[3,4),x2-a≥0,则p成立的一个充分不必要条件可以是()A.a<9B.a>9C.a<16D.a>164.(5分)(2024·信阳模拟)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-1,+∞)C.(-1,2)D.[2,8]【5.(5分)(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件6.(5分)(多选题)(2024·黔西模拟)下列命题不正确的有()A.若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集为⌀C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要条件D.∀x∈R, 2=x7.(5分)(2024·西安模拟)若命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”,则“¬p”为.8.(5分)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥e x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p为真命题,则实数a的取值范围为;若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围是.9.(5分)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为.10.(10分)(2024·石家庄模拟)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的?(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由;(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.11.(10分)(2024·徐州模拟)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.设实数a的取值集合为A,设集合B={x|3m<x<m+2},若,求实数m的取值范围.在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;②“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件;③B∩∁R A=∅这三个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并按照你的选择求解问题.【能力提升练】12.(5分)(多选题)“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有()A.0≤a<1B.0<a<1C.-1≤a<1D.-1<a<213.(5分)(2024·杭州模拟)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.14.(10分)已知函数f(x)= 2- +1 -1(x≥2),g(x)=a x(a>1,x≥2).(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求实数m的取值范围;(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·沈阳模拟)数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,则命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为()A.∀x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.∃x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.∃x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3【解析】选D.因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.2.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.“不积跬步,无以至千里”说明能“至千里”必须“积跬步”,而“积跬步”不一定能“至千里”.故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.3.(5分)(2023·江西九校联考)已知p:∀x∈[3,4),x2-a≥0,则p成立的一个充分不必要条件可以是()A.a<9B.a>9C.a<16D.a>16【解析】选A.a≤x2在区间[3,4)上恒成立,所以a≤9,所以结合选项可知p成立的一个充分不必要条件可以是a<9.4.(5分)(2024·信阳模拟)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-1,+∞)C.(-1,2)D.[2,8]【解析】选C.由log2(x+1)<2,得-1<x<3,所以p:-1<x<3,由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,所以q:a≤x≤a+1,因为p是q的必要不充分条件,所以{x|a≤x≤a+1}能推出{x|-1<x<3},则 >-1 +1<3,解得-1<a<2.5.(5分)(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【解析】选CD.对于A,当a=b时,ac=bc成立,当ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A不是真命题.对于B,当a=-1,b=-2时,a>b,a2<b2,当a=-2,b=1时,a2>b2,a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故B不是真命题.对于C,当a<3时,一定有a<5成立,当a<5时,a<3不一定成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故C是真命题.对于D,易知“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故D是真命题.6.(5分)(多选题)(2024·黔西模拟)下列命题不正确的有()A.若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集为⌀C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要条件D.∀x∈R, 2=x【解析】选ACD.对A,若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0,故A不正确;对B,因为x2-4x+5<0,令y=x2-4x+5,则Δ=42-4×5=-4<0,又因为y=x2-4x+5的图象开口向上,所以不等式x2-4x+5<0的解集为⌀,故B正确;对C,由(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,设A=(-∞,1),B=(-2,1),则B⫋A,故x<1是(x-1)(x+2)<0的必要不充分条件,故C不正确;对D,当x=-1时,(-1)2=1≠-1,故D不正确.7.(5分)(2024·西安模拟)若命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”,则“¬p”为.【解析】全称量词命题的否定步骤为“改量词,否结论”,所以命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”的否定为¬p:∃x∈R,x2-2x-2<0.答案:∃x∈R,x2-2x-2<08.(5分)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥e x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p为真命题,则实数a的取值范围为;若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围是.【解析】由已知命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由∃x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.答案:[e,+∞)[e,4]9.(5分)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为.【解析】由题意可知,命题“∀x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1<0”为真命题.①当a2-4=0时,可得a=±2.若a=-2,则有-1<0,符合题意;若a=2,则有4x-1<0,解得x<14,不符合题意;②若a2-4≠0,则 2-4<0,=( +2)2+4( 2-4)<0,解得-2<a<65.综上所述,实数a的取值范围是 -2≤ <答案: -2≤ <10.(10分)(2024·石家庄模拟)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的?(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由;【解析】(1)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件,则A=B.故1- =-33 -2=4,无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件.(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.【解析】(2)因为m>1,故3m-2>1>1-m,故B≠⌀.选①:充分不必要条件.由题意A⫋B,故-3≥1-4≤3 -2,解得 ≥4 ≥2,故m≥4,即m的取值范围为[4,+∞);选②:必要不充分条件.由题意B⫋A,故-3≤1-4≥3 -2,解得 ≤4 ≤2,故m≤2,又m>1,故m的取值范围为(1,2].11.(10分)(2024·徐州模拟)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.设实数a的取值集合为A,设集合B={x|3m<x<m+2},若,求实数m的取值范围.在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;②“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件;③B∩∁R A=∅这三个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并按照你的选择求解问题.【解析】由已知命题为假,则¬p:∀x∈R,ax2+2x-1≠0为真,若a=0,∀x∈R,2x-1≠0显然不成立;若a≠0,只需Δ=4+4a<0⇒a<-1;所以A={a|a<-1},选①:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞);选②:“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件,则B⊆∁R A,而∁R A={a|a≥-1},若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且3m≥-1⇒m≥-13,此时-13≤m<1;所以m∈[-13,+∞);选③:由B∩∁R A=∅,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞).【能力提升练】12.(5分)(多选题)“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有()A.0≤a<1B.0<a<1C.-1≤a<1D.-1<a<2【解析】选CD.若关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立,当a=0时,不等式为1>0,满足题意;a≠0时,则必有a>0且Δ=(-2a)2-4a×1<0,解得0<a<1,故a的范围为{a|0≤a<1},故“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{a|0≤a<1},结合选项知C,D满足条件.13.(5分)(2024·杭州模拟)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】因为集合A={x|y=ln(2x2-x-6)}={x|2x2-x-6>0}={x|x>2或x<-32},B={x|9x+m-27>0}={x|32x+2m>33}={x|x>12(3-2m)},又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以12(3-2m)≥2,解得m≤-12,实数m的取值范围为{m|m≤-12}.答案:{m|m≤-12}14.(10分)已知函数f(x)= 2- +1 -1(x≥2),g(x)=a x(a>1,x≥2).(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求实数m的取值范围;【解析】(1)f(x)= 2- +1 -1=x+1 -1=x-1+1 -1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立.所以,若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.【解析】(2)当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2.若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则 2≤3, >1,解得1<a≤3.所以a的取值范围为(1,3].。

高考数学人教版理科一轮复习课件：5-3 等比数列

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组便可比数列，Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4
＝1，S3＝7，则 S5 等于( B )
15
31
33
17
A. 2
B. 4
【解析】 (1)因为 a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中 S3， S6－S3，S9－S6 成等比数列，即 8，－1，S9－S6 成等比数列，所以有 8(S9－S6)＝1，则 S9－S6＝18，即 a7＋a8＋a9＝18.
(2)由SS150＝3312，a1＝－1 知公比 q≠－1，S10S－5 S5＝－312.由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列，且公比为 q5，故 q5＝－312，q＝－12.
示为 an＝ amqn－m .
2．等比数列的前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，
a11－qn Sn＝ 1－q
＝a11－－aqnq.
3．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都
解析：根据等比数列的性质，若 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则 am，ak，an 成等比数列．故选 D.
知识点二等比数列的通项公式及前 n 项和公式
1．若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an
＝ a1qn－1 ；
若等比数列{an}的第 m 项为 am，公比是 q，则其第 n 项 an 可以表

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课时作业(二十二)
一、选择题
1．(2010·福建卷，理)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.1
2 B.3
3 C.22
D.32
答案 A
解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2
.
2．已知sin α＝1213，cos β＝4
5，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于
( )
A.33
65 B.63
65 C ．－1665
D ．－5665
答案 A
解析因为α是第二象限角，且sin α＝12
13，所以cos α＝－
1－144169＝－5
13
.又因为β是第四象限角，cos β＝4
5，所以sin β＝－
1－1625＝－35.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45
－
(－513)×(－35)＝48－1565＝3365
. 3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π
4)等于( )
A.7
5 B.15 C ．－75
D ．－15
答案 B
解析因为α∈(0，π2)，sin α＝3
5
，所以cos α＝
1－925＝4
5
. 所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－
3
5＝1
5
4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α
D ．cos β
答案 C
解析等式即cos(α－β＋β)＝cos α
5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6
2
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a
答案 B
解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59° b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61° c ＝
6
2
＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23
3，则cos A cos B ＝( )
A.14
B.34
C.12 D ．－14
答案 B
解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B
cos B
＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝23
3
∴cos A cos B ＝3
4
7．已知tan(α＋β)＝2
5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.13
18 B.13
22 C.322 D.16 答案 C
解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π
4
＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦
⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝
tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭
⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝3
22.
8．(09·陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋sin2α的值为( )
A.103
B.53
C.23 D ．－2
答案 A
解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－1
3
.
1
cos 2α＋sin2α＝cos 2
α＋sin 2
αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2
α1＋2tan α
＝1＋
191－23
＝103.
二、填空题
9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________．答案 12
解析 cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝12
.
10．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan (π
4＋2α)＝________.
答案－1
7
解析由cos 2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－25
5，
则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α
＝－1
7.
11．(2011·潍坊)化简：sin (3α－π)sin α＋cos (3α－π)
cos α＝________.
答案－4cos2α
解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3α
cos α＝
－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4α
sin αcos α＝
－
4sin αcos α·cos2α
sin αcos α
＝－4cos2α.
12．不查表，计算1sin10°－3
sin80°＝________.(用数字作答)
答案 4
解析原式＝cos10°－3sin10°
sin10°cos10°
＝2(12cos10°－3
2sin10°)sin10°cos10°
＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)
2sin10°cos10°
＝
4sin (30°－10°)
sin20°
＝4.
三、解答题
13．求(tan10°－3)·cos10°
sin50°
的值．
解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°
sin50°＝
sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin (60°－10°)cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°
＝－2.
14．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π
4.求cos α的值．
解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π
4
∴π2<α＋π
4<π ∴cos(α＋π
4
)＝－
1－sin 2(α＋π4)＝－3
5
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π
4]
＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π
4
＝－35×22＋45×22＝2
10
.
15．已知tan2θ＝34(π
2<θ<π)，求2cos 2θ
2＋sin θ－1
2cos (θ＋π
4)
的值．
解 ∵tan2θ＝
2tan θ1－tan 2θ＝3
4
， ∴tan θ＝－3或tan θ＝1
3，
又θ∈(π
2
，π)，∴tan θ＝－3，
∴2cos2
θ
2
＋sinθ－1
2cos(θ＋
π
4
)
＝
cosθ＋sinθ
cosθ－sinθ
＝
1＋tanθ
1－tanθ
＝1－3
1＋3
＝－
1
2
.。