第一章 勾股定理单元复习
八年级上册期末章节复习第一章勾股定理
cb a cba ED CBA第一章勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明： （1）弦图证明内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数） （5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数） 4．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．5．勾股定理的常见题型．DC BAGF E H例1 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．例2 （1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 例3（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________． （3）（七初半期）若|1|240a b a b --+-=，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________． 例4在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________． 例5（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．图6-1 图6-2ABC DDCB A例6（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．x y =B ．x y >C ．x y <D ．不确定 例7（1）（成外半期）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于________． （2）（西川半期）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若455AD =，25BC =，请求出ABC △的周长．例8 （1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长． （2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．图9-1 图9-2 图9-3EDC'C BAABCEA BCD。
第1章 勾股定理单元复习
第一章 勾股定理单元复习一、知识点复习：1、以直角三角形的两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方 形的面积。
如图1：如果三个正方形的面积分别是M ，Q ，P ，则M=P+Q 。
（图1） （图2）拓展：如图2，所有正方形的面积分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，M. 仿照图1，可知E=A+B ，F=C+D ，M=E+F ； 所以：A+B+C+D=M ；A+B+C+D+E+F=2M ； 所有正方形的面积之和等于3M 。
2、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如图，如果用c b a 和，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+。
注意：在Rt △ABC 中，两个锐角互余，即∠A+∠B=90°。
3、若设△ABC 的三边长分别为c b a 和，，且c b a ≤≤。
（1）若△ABC 为锐角三角形，则有222c b a >+；（2）若△ABC 为直角三角形，则有222c b a =+； （3）若△ABC 为钝角三角形，则有222c b a <+。
4、勾股定理的逆定理：如果三角形三边c b a 、、满足222c b a =+，那么这个三角形是 直角三角形。
5、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
注意：勾股数的正整数倍 还是勾股数。
部分勾股数如下表：6、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。
（1）通常在给出的长、宽、高三个数据中，（展开后）把较小的两个数据的和作为一条直角边，最大的数据作为另一条直角边，求出斜边即为最短距离。
（2）如果给出的蚂蚁所在位置A 或目的地B 并不在长方体的顶点上，则可以先将长方体截成以A 、B 为顶点的最小长方体，再用（1）中给出的方法进行计算。
（3）圆柱中的最短路程问题：①出发点和目的地在圆柱同侧，由展开图（如图3）可知，最短路程AB 与AC 和BC 构成直角三角形的斜边。
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
第一章勾股定理复习1
E
练一练
1.如图，∠A=∠D=90O， AB=CD=12cm,AD=BC=25cm,E是 AD上一点，且AE：ED=16：9。试 判断∠BEC是否为直角，并说明理 E A 由。 D
B
C
2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游 戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米， 在折向北走到6千米处往东一拐，
3.直角三角形的两条直角边分别是5cm, 12cm,其斜边上的高是（ ） 4.以直角三角形的两直角边所作正方形的 面积分别是25和144，则斜边长是（ ）
5.一个直角三角形,两直角边分别为4和5,则 斜边的长度是( )
想一想
直角三角形三边上的等边 三角形的面积之间有什么关系？
F
A D
C
B
3 B 1 ，3
3 B C ⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝， 那么它的长是（ B ） 5 ㎝ 5㎝ A 2 5㎝ B C D 5㎝ 2 2
A 2,
B 1,
C
2,
D
四
证明题：
已知：在△ABC中， A ∠C=90°, ∠A=30°, 求证：AC2=3BC2
C
B
观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25 32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
1
6 3 2 A 8 C B
3.一个无盖的长方体盒子，长、 宽、高分别为5厘米， 4厘米，3 厘米，则盒内所能容下的最长小 棒能有多长？
3 4 5
4.如图,在△ABC中,D 是BC上一点, 若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17, 求△ABC的面积.
第一章《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专题复习(含答案)第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）Ａ．4Ｂ．6 Ｄ．55图2图1 Ｃ．16分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求∠A1E2A2 ∠A4E2C4 ∠A4E5C4的度数．A5A4E5A 54A4E54A3A2A1AB11D1E1 12EA2A3E2B11D1E1解：连结图3A3E2． A3A2 A1A2，A2E2 A2E2， A3A2E2 A1A2E2 90， Rt△A3A2E2≌Rt△A1A2E2（SAS） AEA AEA． 322122．由勾股定理，得：C4E5C3E2，A4E5 A3E2，A4C4 A3C3 2，△A4C4E5≌△A3C3E2（SSS） AEC AEC． 323454勾股定理 - 1 -。
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴•勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么，a2 +b2 =c2，(2).历史文化:勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。
⑶格式：a=8 b=15 解：由勾股定理得c2 =a2 +b2=82+152=64+225=289•/ C>0 ••• C=17【典例精析】1•一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m •那么梯子的顶端距墙脚的距离是( )•(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2•如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160m, BC长128m ,则AB长________________ m.3•利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形, 这个图形被称为弦图•从图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积. 因而c2= +•化简后即为c2= __________ •知识点二：直角三角形的判别要点;*如果三角形三边长为a、b、c, c为最长边，只要符合a2 +b2 =c2，这个三角形是直角三角形。
(勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件)【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A.5、6、7B.1 、4、9C.5 、12、13D.5、11、122、满足下列条件的厶ABC不是直角三角形的是（A.b2=c2- a2B.a : b : c=3 : 4 : 5C. / C=Z A-Z BD. / A：/ B：/C=12： 13 : 1553、三角形的三边长分别是15, 36, 39,这个三角形是______ 三角形。
4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（）A.直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5•有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米, 两树相距5米•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1- 1，在钝角VABC 中，CB = 9, AB = 17, AC = 10, AD BC 于D，求AD 的长。
(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)
《勾股定理》全章复习与坚固（提升）【学习目标】1.认识勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决相关的实指责题.【知识网络】【重点梳理】重点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.（即： a2b2c2）2.勾股定理的应用勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明相关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理相关的面积计算；（4）勾股定理在实质生活中的应用．重点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、 b、 c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否是直角三角形的基本步骤：（1）第一确立最大边，不如设最大边长为 c ；（2）考证：a2 b2与 c2能否拥有相等关系：若 a2 b2 c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若 a2 b2＞ c2时，△ABC是锐角三角形；若 a2 b2＜ c2时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.重点解说：常有的勾股数：①3、4、5；② 5、12、 13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41.假如 ( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.察看上边的①、②、④、⑤四组勾股数，它们拥有以下特色：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假定三个数分别为a、 b、c ，且 a b c ，那么存在a2b c 建立.（比方④中存在72＝24＋25、 92＝40＋41等）重点三、勾股定理与勾股定理逆定理的差别与联系差别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判判断理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，二者互为逆定理，都与直角三角形相关 . 【典型例题】种类一、勾股定理及逆定理的应用1、以以以下图，等腰直角△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， E、 F 为 AB 上两点 (E 左 F 右 )，且∠ECF ＝ 45°，求证：AE2 BF 2 EF 2 .【思路点拨】因为∠ ACB＝90°，∠ ECF＝45°，所以∠ ACE＋∠ BCF＝45°，若将∠ ACE和∠BCF 合在一同则为一特别角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧归并，或将△BCF 绕 C 点旋转到△ACE 的左外侧归并，旋转后的BF 边与 AE 边构成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解： (1) AE2 BF 2 EF 2，原因以下：将△BCF 绕点 C 旋转得△ACF′，使△BCF的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△ BCF，∵在△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ BC，∴∠CAF′＝∠ B ＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝ 45°，∴∠ ACE＋∠ BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠ BCF ，∴∠ ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中CE CEECF ECF 45°CF CF∴△ECF≌△ ECF′ (SAS)，∴EF＝EF′．在 Rt△AEF′中，AE2 F A2 F E2，∴AE2BF 2EF 2．【总结升华】若一个角的内部含有同极点的半角，(如平角内含直角， 90°角内含 45°角，120°角内含 60°角 )，则经常利用旋转法将剩下的部分拼接在一同构成又一个半角，此后利用角均分线、全等三角形等知识解决问题．贯串交融：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ ABC ＝ 30°，∠ ADC ＝ 60°， AD ＝ DC ，求证：BD 2 AB 2 BC2 .【答案】解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转60°．因为 DC ＝ AD ，故点 A 转至点 C．点 B 转至点 E，连结 BE．∵BD ＝DE ，∠ BDE ＝ 60°∴ △BDE 为等边三角形，BE＝ BD易证△DAB ≌△ DCE ，∠ A ＝∠ 2， CE＝ AB∵四边形 ADCB 中∠ ADC ＝ 60°，∠ ABC ＝ 30°∴ ∠A ＋∠ 1＝ 360°－ 60°－30°＝ 270°∴ ∠ 1＋∠ 2＝∠ 1＋∠ A ＝ 270°∴ ∠ 3＝ 360°－ (∠ 1＋∠ 2)＝ 90°∴BC 2 CE 2 BE 2∴ BC2 AB 2 BD 22、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且 PB=1，PC=2，PA=3，求∠ BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ ECB= ∠PCA ，且使 CE=CP ，连结 EP ， EB在 △APC 和 △BEC 中AC BC PCA ECBPC EC∴ △APC ≌△ BEC ∴△ PCE 为等腰直角三角形 ∴∠ CPE=45°， PE 2=PC 2+CE 2=8 又∵ PB 2=1， BE 2=9∴ PE 2+ PB 2= BE 2 则∠ BPE=90° ∴∠ BPC=135°【总结升华】 本题察看了勾股定理的逆定理，经过察看所要求的角度，作出协助线，把 PA 、PB 、PC 的长度转变为一个三角形三条边，结构出直角三角形是解题的重点，自然本题也可以利用旋转的思想来解，马上 △APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即 △APC ≌△ BEC.种类二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（ 2016 春?丰城市期末） 如图，已知四边形 AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积．ABCD中，∠ B=90 °，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，【思路点拨】 连结 AC ，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AC的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理获得三角形 ACD 为直角三角形，依据四边形 ABCD 的面积 =直角三角形 ABC 的面积 +直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连结 AC ，以以以下图： ∵∠ B=90 °，∴△ ABC 为直角三角形， 又∵ AB=3 ， BC=4，∴依据勾股定理得： AC 2 =25，又∵ CD=12 ，AD=13 ，∴AD 2=132=169， CD 2+AC 2=122+52=144+25=169 ，222 ，∴CD +AC =AD∴△ ACD 为直角三角形，∠ ACD=90 °，则 S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD = AB ?BC+ AC ?CD= × 3× 4+ × 5× 12=36． 故四边形 ABCD 的面积是 36．【总结升华】 本题察看了勾股定理， 以及勾股定理的逆定理， 娴熟掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的重点．4、如图：正方形 ABCD 中， E 是 DC 中点， F 是 EC 中点 .求证：∠ BAF=2 ∠EAD.【答案与解析】证明：取 BC 中点 G ，连结 AG 并延伸交 DC 延伸线于 H ∵∠ ABG= ∠ HCG ， BG=CG ，∠ AGB= ∠HGC ∴ △GAB ≌△ HCG ∴ ∠ GAB= ∠ H ，AB=CH 又∵ AB=AD ，∠ B= ∠D ， BG=DE ∴ △ABG ≌△ ADE∴ ∠ GAB= ∠ DAE在 Rt △ ADF 中，设 AD a ，由勾股定理得：AF2AD 2DF2a2( 3a)225 a 24 16 ∴ AF5a4又 HFCH CFaa5 a4 4∴ AF=HF ∴ ∠ FAH= ∠H ∴ ∠ FAH= ∠DAE∴ ∠ BAF=2 ∠DAE【总结升华】 要证∠ BAF=2 ∠ EAD ，一般方法是在∠ BAF 中取一个角使之等于∠ EAD ，再 证明另一个角也等于∠ EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它能否等于较大的角.贯串交融：【变式】（ 2014 春 ?防城区期末）以以以下图，在 △ABC 中， AB ： BC ： CA=3 ： 4： 5，且周长为 36cm ，点 P 从点 A 开始沿边向B 点以每秒 1cm 的速度挪动；点Q 从点 B 沿 BC 边向点C 以每秒2cm 的速度挪动，假忧如时出发，问过3 秒时， △BPQ的面积为多少？解：设 AB 为 3xcm ， BC 为 4xcm ，AC 为 5xcm ，∵周长为 36cm ， AB+BC+AC=36cm ，∴ 3x+4x+5x=36 ，得 x=3 ，∴ AB=9cm ， BC=12cm ， AC=15cm ，222∵ AB +BC =AC ， ∴△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时， BP=9 ﹣ 3×1=6（ cm ）， BQ=2× 3=6（ cm ），∴ S △PBQ = BP?BQ= ×（ 9﹣ 3） ×6=18（ cm 2）．2故过 3 秒时， △BPQ 的面积为 18cm ．5、以以以下图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分别为 AC ＝ 400米，BD ＝ 200 米，CD ＝ 800 米，牧童从 A 处把牛牵到河畔饮水后再回家．试问在哪处饮水，所走行程最短？最短行程是多少？【思路点拨】 作点 A 对于直线 CD 的对称点段最短 ”可知应在 E 处饮水，再依据对称性知角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】G ，连结 GB ，交 CD 于点 E ，利用 “两点之间线GB 的长为所走的最短行程，此后结构直角三解：作点 A 对于直线 CD 的对称点 G ，连结 GB 交 CD 于点 E ，由 “两点之间线段最短 ”可以知道在 E 点处饮水，所走行程最短．说明以下：在直线 CD 上随意取一异于点 E 的点 I ，连结 AI 、 AE 、 BE 、 BI 、 GI 、 GE ．∵点 G 、A 对于直线 CD 对称，∴AI ＝ GI ， AE ＝ GE ．由 “两点之间线段最短 ”或 “三角形中两边之和大于第三边 ”可得 GI ＋ BI ＞GB ＝ AE ＋ BE ，最短行程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝ CD＝ 800，BH ＝ BD ＋DH ＝ BD ＋ GC＝BD ＋ AC ＝ 200＋ 400＝ 600，∴由勾股定理得GB 2GH2BH2800260021000000．∴GB ＝1000，即最短行程为 1000 米．【总结升华】这是一道相关极值的典型题目．解决这种题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，经常另选一个量，经过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题表现了勾股定理在实质生活中的应用．贯串交融：【变式】以以以下图，正方形ABCD 的 AB 边上有一点E，AE ＝ 3， EB ＝1，在 AC 上有一点P，使 EP＋ BP 最短．求EP＋ BP 的最小值．【答案】解：依据正方形的对称性可知：BP ＝DP，连结 DE ，交 AC 于 P， ED ＝ EP＋ DP＝ EP＋ BP，即最短距离 EP＋ BP 也就是 ED ．∵AE ＝ 3， EB ＝ 1，∴ AB ＝ AE ＋EB ＝ 4，∴AD ＝ 4，依据勾股定理得：ED2 AE 2 AD 2 32 42 25 ．∵ED＞ 0，∴ ED＝ 5，∴ 最短距离 EP＋ BP＝ 5．6、台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心，在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的 B 处，在沿海城市福州 A 的正南方向240 千米，此中心风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，以以以下图，该台风中心正以 20 千米 /时的速度沿北偏东 30°方向向 C 挪动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超出 4 级，则称受台风影响．试问：（1）该城市能否会遇到台风影响？请说明原因．（2）若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长？（3）该城市遇到台风影响的最狂风力为几级？【答案与解析】解：（ 1）该城市会遇到台风影响． 原因：如图，过点A 作 AD ⊥ BC 于 D 点，则 AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在 Rt △ABD 中，因为∠ B=30°， AB=240 ． ∴AD ＝ 1AB =1 ×240 ＝ 120 （千米）． 2212-4）×25=200（千米）以内时，则会遇到台风影响．由题可知，距台风中心在（因为 120＜200，所以该城市将会遇到影响．（2）依题（ 1）可知，当点 A 距台风中心不超出 200 千米时，会受台风影响，故在 BC 上作 AE=AF=200 ；台风中心从点 E 挪动到点 F 处时，该城市会处在台风影响范围以内．（如图）由勾股定理得， DE2AE 2 AD 2 200 2120225600DE ＝ 160 （千米）．所以 EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以 20 千米 /时的速度挪动． 所以台风影响该城市 320÷20=16（小时）． （3）∵ AD 距台风中心近来，∴该城市遇到此次台风最狂风力为：12-（120÷25）（级）． 答：该城市受台风影响最狂风力7.2 级．【总结升华】 本题是将实指责题转变为直角三角形中的数学识题， 可经过作协助线结构直角三角形，再把条件和问题转变到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【坚固练习】 一．选择题1．在 △ ABC 中，若 a n 2 1, b 2n, c n 2 1，则 △ABC 是（）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2． 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的极点， 则∠ ABC 的度数为（ ）A ．90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°3．（ 2015 春 ?西华县期末）以下知足条件的三角形中，不是直角三角形的是（A ．三内角之比为 1： 2：3B ．三边长的平方之比为 1： 2： 3C ．三边长之比为 3： 4： 5D ．三内角之比为 3： 4： 5）4．如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在500m 和 700m ，且 C 、D 两地的距离为B 处， A 、B 处距河岸的距离 AC 、BD 的长分别为500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河畔去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）A ． 2900mB ． 1200m C． 1300m D． 1700m5．直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则以下各式中总能建立的是（）A ． ab=h 2B ． a2+b2=h2 C．11 1 D ．1 1 1a b h a2 b2 h26．如图， Rt △ABC 中，∠ C＝ 90°， CD ⊥ AB 于点 D， AB ＝13， CD ＝6，则 (AC ＋ BC) 2等于()A ． 257．已知三角形的三边长为A ．a2 m 1 2 ,b2B ．a2 m 1 2 ,b2C．a2 m 1 2 ,b2D ．a2 m 1 2,b2B． 325C． 2197 D ．405a、b、c ，由以下条件能构成直角三角形的是（）4m2 , c2 m214m, c2 m212m, c2 m212m2 , c2 m218．（ 2016?连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 、1 S 、 S ；如图 2，分别以直角三角形三个极点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等2 3的扇形，面积分别为S4、S5、S6．此中 S1=16 ，S2=45，S5=11 ，S6=14 ，则 S3+S4=（）A ． 86B ． 64 C． 54 D ． 48二．填空题9．如图， AB ＝ 5， AC ＝3， BC 边上的中线AD ＝ 2，则△ABC 的面积为 ______．10．以以以下图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝ 6，BC ＝8，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC 上，折痕为 AD ，则 BD ＝ ______．11．已知：△ABC 中， AB ＝ 15，AC ＝ 13，BC 边上的高AD ＝ 12，BC＝ _______．12．如图， E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边 AB 上一点，且A E=1cm ， P 为对角线BD 上的随意一点，则AP+EP 的最小值是cm．113．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 2cm，高为 4cm，点 P 在边 BC 上，且 BP=BC ．如4 果用一根细线从点 A 开始经过 3 个侧面环绕一圈抵达点 P，那么所用细线最短需要cm．14．（ 2014 春 ?监利县期末）小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不可以”）．15．（ 2016 春 ?浠水县期末）如图，AD=8 ， CD=6 ，∠ ADC=90 °， AB=26 ，BC=24 ，该图形的面积等于．16．如所示，在△ABC 中，AB ＝ 5，AC ＝13，BC 上的中AD ＝ 6，∠ BAD ＝ ________．三．解答17．（ 2016 春 ?召陵区月考）能成直角三角形的三个正整数，我称之一勾股数，察表格所出的三个数a， b， c， a＜b＜ c．（1）找出它的共同点，并明你的；（2）写出当 a=17 ， b， c 的．3， 4， 52 2 23 +4 =55， 12， 13，52+122=1327， 24， 25 72+242=2529， 40， 41 92+402=41 2⋯⋯17， b， c 172+b2=c218．如等腰△ABC 的底8cm，腰 5cm，一个点 P 在底上从 B 向 C 以 0．25cm/s的速度移，你研究，当 P 运几秒， P 点与点 A 的 PA 与腰垂直．19．（ 2015?永州）如，有两条公路OM 、ON 订交成 30°角，沿公路OM 方向离 O 点 80 米有一所学校 A ．当重型运卡P 沿道路 ON 方向行，在以 P 心 50 米半径的形地区内都会遇到卡噪声的影响，且卡P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若向来重型运卡P 沿道路 ON 方向行的速度18 千米 /．（ 1）求学校 A 的噪声影响最大卡P 与学校 A 的距离；（ 2）求卡P 沿道路 ON 方向行一次学校 A 来噪声影响的．20．如 1，四根度必定的木条，此中AB ＝ 6 cm， CD ＝ 15 cm，将四根木条用小．．．．合在一同，构成一个四形ABCD （在 A 、B 、 C、 D 四点是可以活的）．固定AB 不，个四形，使它的形状改，在的程中有以下两个特别地点．地点一：当点 D 在 BA 的延上，点 C 在段 AD 上（如2）；地点二：当点 C 在 AB 的延上，∠C＝ 90°．（1）在 2 中，若 BC 的x，用x的代数式表示 AD 的；（2）在 3 中画出地点二的正确形；（各木条度需吻合目要求）．．（3）利用图2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中， BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】 D ；【解析】因为c2a2n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 ＝4n2b2，所以 c2a2b2，a2b2c2，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．2．【答案】 C；【解析】连结 AC ，计算 AC 2＝ BC2＝ 5,AB 2＝ 10,依据勾股定理的逆定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ ABC ＝ 45°．3．【答案】 D ；【解析】解：A 、因为依据三角形内角和定理可求出三个角分别为 30 度， 60 度， 90 度，所以是直角三角形，故正确；B、因为其吻合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C、因为其吻合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D、因为依据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．应选 D ．4．【答案】 C；【解析】作A 点对于河岸的对称点 A′，连结 BA′交河岸与 P，则 PB+PA=PB+PA′ =BA′最短，如图， BB′=BD+DB′=1 200， B′A′=500，BA′=1300（ m）．5．【答案】 D ；【解析】解：依据直角三角形的面积可以导出：c ab．再联合勾股定理： a2+b2=c2．进ha2b 2a 2b2，得1 1 1行等量代换，得a2+b2= 2 ．两边同除以a 2b2h2．h6．【答案】 B ；【解析】 AC2AC 2 BC2 2AC BC AB2 2 AB CD ＝169＋2×13×6＝BC325．7．【答案】 B ；【解析】 m 1 24m m21 ．8．【答案】 C；【解析】解：如图1， S1= AC 2， S2= AB2， S3= BC2，2 2 2，∵BC =AB ﹣ AC∴S2﹣ S1=S3，如图 2， S4 =S5+S6，∴S3+S4=45﹣ 16+11+14=54．应选 C．二．填空题9．【答案】 6；【解析】延伸AD 到 E，使 DE ＝AD ，连结 BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】 3；B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD ＝x，则 DE ＝ BD ＝x， AE ＝AB ＝ 6，CE【解析】设点＝ 4， CD＝ 8－x，在 Rt△CDE 中依据勾股定理列方程．11．【答案】 14 或 4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝ 9＋ 5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝ 9 －5＝ 4．12．【答案】 5【解析】作 E 点对于直线BD 的对称点E′，连结 AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值 5．13．【答案】 5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和 2cm ，高为 4cm ，点 P 在边 BC 上，且1 3 BP= BC ，∴ AC=4cm ，PC=BC=3cm ，依据两点之间线段最短， AP=5 ．4414．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，依据题意，得 x 2=502+402+30 2=5000，270 =4900 ，因为 4900＜ 5000 ， 所以能放进去．15．【答案】 96；【解析】连结 AC ，在 Rt △ ACD 中， AD=8 ， CD=6，∴ AC 2=100 ，在△ ABC 中，∵ AC 2+BC 2=10 2+242=262=AB 2， ∴△ ABC 为直角三角形；∴图形面积为：S △ABC ﹣ S △ ACD = × 10× 24﹣ ×6× 8=96．16．【答案】90°；【解析】延伸AD到 M ，使 DM ＝ AD ，易得 △ABD ≌△ MCD ．∴ CM ＝AB ＝ 5AM＝2AD ＝ 12 在 △ACM 中 52 122 132 即 CM 2 AM 2 AC 2 ∴∠ AMC ＝∠ BAD=90°三．解答题 17．【解析】解：（ 1）以上各组数的共同点可以从以下方面解析：222② 最小的数（ a ）是奇数，其他的两个数是 的正整数；③ 最小奇数的平方等于另两个 整数的和，如 32=9=4+5， 52=25=12+13， 72=49=24 +25， 92=81=40+41⋯由以上特色我 可猜想并 明 一个 ：m 大于 1的奇数，将 m 2拆分 两个 的整数之和，即 m 2=n+（ n+1），m ， n ，n+1 就构成一 的勾股数，明：∵ m 2=n +（ n+1）（ m 大于 1 的奇数），2222∴ m +n =2n+1+n =（ n+1） ，∴ m ， n ，（n+1）是一 勾股数；（ 2）运用以上 ，当a=17 ，2∵ 17 =289=144 +145， ∴ b=144， c=145． 18．【解析】 解：如 ，作AD ⊥ BC ，交 BC 于点 D ，∵ BC=8cm ，∴ BD=CD= BC=4cm ，∴ AD=3 ，分两种状况：当点 P 运 t 秒后有 PA ⊥AC ，∵ AP 2=PD 2+AD 2=PC 2 AC 2，∴ PD 2+AD 2=PC 2 AC 2，2222． 25 ，∴ PD +3 =（PD+4 ） 5 ∴PD=2 ∴ BP=4 2． 25=1 ． 75=0． 25t ， ∴ t=7 秒，当点 P 运 t 秒后有 PA ⊥ AB ，同理可 得 PD=2． 25，∴ BP=4+2 ．25=6． 25=0． 25t ，∴ t=25 秒， ∴点 P 运 的7 秒或 25 秒．19．【解析】解：（ 1） 点 A 作 AD ⊥ON 于点 D ，∵∠ NOM=30° ，AO=80m ， ∴ AD=40m ，即 学校 A 的噪声影响最大 卡P 与学校 A 的距离40 米；（ 2）由 可知：以 50m 半径画 ， 分 交 ON 于 B ，C 两点，AD ⊥ BC ，BD=CD=BC ，OA=80m ，∵在 Rt △AOD 中，∠ AOB=30° ，∴ AD= OA= ×80=40m ，在 Rt △ABD 中，AB=50 ，AD=40 ，由勾股定理得： BD= = =30m ，故 BC=2× 30=60 米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为 18 千米 /小时，即=300 米 /分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要 60÷300=0． 2（分钟） =12（秒）．答：卡车 P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为12 秒．20．【解析】解：（ 1）∵在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度向来保持不变，BC＝x，∴在图 2 中， AC ＝BC － AB ＝x－6， AD ＝ AC ＋CD ＝x＋ 9．（2）地点二的图形见图 3．（3）∵ 在四边形 ABCD 转动的过程中， BC、 AD 边的长度向来保持不变，∴在图 3 中， BC＝x， AC ＝ AB ＋BC＝ 6＋x， AD ＝x＋ 9．在△ACD 中，∠ C＝ 90°由勾股定理得AC 2 CD 2 AD 2．∴(6 x)2 152 ( x 9)2．整理，得x2 12 x 36 225 x2 18x 81 ．化简，得 6 x＝ 180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD ＝39．。
第一章：勾股定理复习专题
C
A
B
3、 勾股定理的应用 （ 1 ）一只蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬到点 B，如果圆 柱的高为 8cm ，圆柱的底面半径为 的路线长是多少？ B
6 cm ，那么最短
（6） 一个三级台阶的每一段的长、 宽、 高分别为 20、 3、 2 分米，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，点 A 有一 只蚂蚁，想到 B 点去吃食物，求蚂蚁爬的最短路程？
C A B B A
C
2、 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
100 225
6、 已知直角△ABC 的两直角边分别为 6，8， 分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
C 6 A 8 B
x
17 15
?
3、 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积的和是 cm2．
B
等面积法 思路：利用图形面积的不同表达方式建等式 （1）在△ABC 中，∠ACB=90º， CD⊥AB，D 为垂足， AC=6cm,BC=8cm.求① △ABC 的面积； ②斜边 AB 的长； ③斜边 AB 上的高 CD 的长
A D
（2）一辆卡车装满货物后，高 4 米，宽 2.8 米.这辆卡 车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道 吗？
B A C D
7cm
三、习题 1、 勾股定理习题 折叠问题 思路：找折痕（对称轴） ；表数据；利用勾股定理建立 等式 （1）折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边 的 F 点处，若 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长.
A D E
4、 用拼图法证明勾股定理
B
第一章勾股定理单元复习
勾股定理复习学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：二、示例类型一 已知两边求第三边例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm ，2cm ，则第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长．CPABCDEABCDEFBA例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP +DP 最小值。
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm . 类型三 判别一个三角形是否是直角三角形例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =14BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？FED C B A类型四 实际运用例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。
近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。
①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？东西北AB类型五、拼图例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．三、课堂检测1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cml321S 4S 3S 2S 12．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm3．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？8m图3八年级上册第一章勾股定理练习题一、选择题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A . 1.5, 2, 3; B . 7, 24, 25; C . 6 ,8, 10; D . 9, 12, 15.2、适合下列条件的△ABC 中, 是直角三角形的个数为 ( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A =450; ③∠A =320, ∠B =580; ④ ;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A . 2个; B . 3个; C . 4个; D . 5个.3、已知直角三角形两直角边的长为A 和B ，则该直角三角形的斜边的长度为（ ） A 、A ＋B B 、2AB C 、B -A D 、22B A +4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ） A 、6厘米 B 、8厘米 C 、1380厘米 D 、1360厘米 5、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm ,那么它的面积为 ( ) A . 48 cm 2 B . 36 cm 2 C . 24 cm 2 D .12 cm 2 6、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米7、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ） A .18 cm B .20 cm C .24 cm D .25 cm8、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（ ）A .34英寸（87厘米）B . 29英寸（74厘米）C . 25英寸（64厘米）D .21英寸（54厘米）9、一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°， 木板的面积为( )30°6A DBC第9题北南 A 东第12题图A ．60B ．30C ．24D ．1210、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm11、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． A .24cm 2 B .36cm 2 C .48cm 2 D .60cm 212、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里二、填空题13、在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．14、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝3∶4，则S Rt △AB ＝ ．15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
八年级数学上册 第一章 勾股定理单元复习课件
内容 总结 (nèiróng)
第一章 C．10或14
No 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)。C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2。A．100 D．100或28。A．锐角三角形 B．钝角三角形。C．直角三角形
B．28。 D．等腰三角形
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12/13/2021
第十九页，共十九页。
解：作AD⊥MN于点D，并作AB＝AC＝200 m交MN于点B，C.因为AD＝120 m，所以BD＝ 160(m)，BC＝160×2＝320(m)＝0.32(km)，t＝0.32÷72×3600＝16(s).答：A处受噪音影响 的时间是16 s
第十六页，共十九页。
16．如图，一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上 找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个(yī ɡè)直角三角形，且 木棒所在边为直角边，这个点将绳子分成的两段各有多长？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2
第二页，共十九页。
2．已知一个(yī ɡè)直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是( )
D
A．100
B．28
C．10或14 D．100或28
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3．(郑州二中月考)如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现
7．下列说法中，错误的是( D ) A．在△ABC 中，若∠C＝∠A－∠B，则△ABC 为直角三角形 B．在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三 角形 C．在△ABC 中，若 a＝35 c，b＝45 c，则△ABC 为直角三角形 D．在△ABC 中，若 a∶b∶c＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形
勾股定理整章复习
勾股定理复习1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
思考：（1）a 2,b 2,c 2分别代表什么？（2）a 2与a 的单位的关系。
（3）变式：由a 2+b 2=c 2得a= 或b= ,或c= （4）运用勾股定理的前提是：必须知道有一个直角）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数 ， ，4．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。
典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt △ABC ，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
例题2、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
例题3、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？ACBDDCBACA N AN练习。
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时AD 的长．例题4、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
★等积法：在直角三角形中： 直角边×另一条直角边=斜边×斜边上的高例5：已知直角三角形的两条直角边长分别为3 , 4 ，则斜边上的高等于 专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc 组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5； 例题2：已知：在△ABC 中，∠A ∠B ∠C 的对边分别是abc ，a=n 2－1，b=2n ，c=n 2＋1（n ＞1）求证：∠C=90°。
完整版北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固提高
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1•了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2•理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3•能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1•勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方•（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1•勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证：2 a 2 2b与c是否具有相等关系：若c 2 若ab2c2，则A ABC是以/ C为90。
的直角三角形；若c 2 若a b22> C时，A ABC是锐角三角形；若a2 b2v c2时，△ABC是钝角三角形.其主要2•勾股数一一2 2 2满足不定方程x y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③ 8 15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.如果（a、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形•观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1•较小的直角边为连续奇数；2•较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为a b c，且a b c，那么存在a2 b c成立•（例如④中存在2 27 = 24 + 25、9 = 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关•【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC中，/ ACB = 90° E、F为AB上两点（E左F右），且 / ECF = 45° 求证：AE2BF2EF2【思路点拨】由于/ ACB = 90° / ECF= 45°所以/ ACE + Z BCF = 45°若将/ ACE和 / BCF 合在一起则为一特殊角45°于是想到将A ACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到A ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.【答案与解析】解：⑴AE2BF2EF2，理由如下:将ABCF绕点C旋转得△ACF，,使^BCF的BC与AC边重合,即△ACF'BA BCF,•/ 在△ABC 中，/ ACB = 90 ° AC = BC,/ CAF'=/ B = 45 °•••/ EAF' = 90 °/ ECF = 45 °•/ ACE +Z BCF = 45 °/ ACF'=/ BCF , •/ ECF' = 45 °在AECF和AECF'中CE CEoECF ECF 45CF CF△ECF◎△ECF' (SAS,/• EF = EF'.在Rt △AEF'中，AE2FA2F E2,AE2BF2EF2.【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，（如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角），则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，/ ABC = 30° / ADC = 60° AD = DC ,求证：BD2 AB2 BC【答案】解：将MBD绕点D顺时针旋转60°.由于DC = AD，故点A转至点C.点B转至点E，连结BE.•/ BD = DE，/ BDE = 60°••• ABDE为等边三角形，BE = BD易证ADAB ◎△ DCE，/ A = Z 2, CE= AB•/ 四边形ADCB 中/ ADC = 60° / ABC = 30°•/ A + Z 1 = 360°—60°- 30°= 270°•/ 1 + Z 2 =Z 1 + Z A = 270°•/ 3= 360°—(/ 1 + Z 2) = 90°•BC2 CE2 BE22 2 2BC AB BDL2、如图，在A ABC 中，Z ACB=90°, AC=BC , P 是△ABC 内的一点，且PB=1 , PC=2,PA=3，求Z BPC的度数.【答案与解析】解：如图，做/ ECB= / PCA，且使CE=CP，连结EP, EB 在△APC和ABEC中AC BCPCA ECBPC EC•••/ BPC=135【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将AAPC绕点C旋转，使CA与CB重合即AAPC BEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，/ B=90 ° AB=3 , BC=4 , CD=12 ,【思路点拨】连接AC,在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积. 【答案与解析】解：连接AC,如图所示:•••/ B=90 °•△ ABC为直角三角形，又••• AB=3，BC=4，•根据勾股定理得：AC2=25，又••• CD=12，AD=13，•AD 2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，2 2 2•CD2+AC2=AD2，• △ ACD为直角三角形，/ ACD=90 °:丄AB?BC+亍AC?CD=故四边形ABCD的面积是36.【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键.X 3X 4* X 5x 12=36.则S 四边形ABCD =S^ABC +S A ACD =则/ BPE=90AD=13，求四边形ABCD的面积.【答案与解析】证明：取BC 中点G ,连结AG 并延长交DC延长线于H•/ / ABG= / HCG , BG=CG ，/ AGB= / HGCAF 2 AD 2 DF 2 a 2 (3a)2 25a 2 4165 --AF a4a 5又 HF CH CF a — —a 4 4••• AF=HF ••• / FAH= / H ••• / FAH= / DAE • / BAF=2 / DAE【总结升华】 要证/ BAF=2 / EAD ，一般方法是在/ BAF 中取一个角使之等于/ EAD ，再 证明另一个角也等于/ EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角 •举一反三：【变式】（2014春？防城区期末）如图所示，在 △ABC 中，AB : BC : CA=3 : 4: 5，且周长 为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点 Q 从点B 沿BC 边向点 C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3秒时，ABPQ 的面积为多少？C -!/T-/ [TJ3—>Q I4、如图：正方形F 是 EC 中点•求证：/ BAF=2 / EAD.在Rt^ ADF 中，设AD a ，由勾股定理得:【答案】解：设 AB 为 3xcm , BC 为 4xcm , AC 为 5xcm , •••周长为36cm ,AB+BC+AC=36cm , /•3x+4x+5x=36 , 得 x=3 , /• AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2T AB +BC =AC ,•••△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 - 3X1=6 (cm ), BQ=农 3=6 (cm ).-X (9- 3) X 6=18 (cm 2).2△3PQ 的面积为18cm 2.类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为 AC = 400 米，BD = 200米，CD = 800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水， 所走路程最短？最短路程是多少？C A【思路点拨】 作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用两点之间线 段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三 角形，利用勾股定理可解决. 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由 两点之间线段最短”可以 知道在E点处饮水，所走路程最短•说明如下：在直线CD 上任意取一异于点 E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE .点G 、A 关于直线CD 对称，• AI = GI ，AE = GE .由 两点之间线段最短”或 三角形中两边之和大于第三边 ”可得GI + BI >GB = AE + BE ， 于是得证.最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点 G 作BD 的垂线交于点H ，在直角 三角形GHB 中，GH = CD = 800, BH = BD + DH = BD + GC = BD + AC = 200+ 400= 600,故过3秒时, D T n _lT rzli由勾股定理得GB2 GH 2 BH 2800260021000000 .••• GB = 1000，即最短路程为1000米.【总结升华】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑两点之间线段最短”另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个最大”最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点•本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E, AE = 3, EB = 1，在AC上有一点P, 使EP+ BP最短.求EP+ BP的最小值.【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP = DP,连接DE，交AC于P, ED = EP+ DP = EP+ BP, 即最短距离EP+ BP也就是ED .AE = 3, EB = 1,.・. AB = AE + EB = 4,2 2 2 2 2• AD = 4,根据勾股定理得：ED AE AD 3 4 25 .•/ ED>0,二ED= 5, • 最短距离EP+ BP= 5.6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响•试问：(1 )该城市是否会受到台风影响？请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响.理由：如图，过点 A 作AD 丄BC 于D 点, 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离. 在 Rt A ABD 中，因为/ B=30 , AB=240 .1 1二 AD = - AB = — X240 = 120 （千米）.2 2由题可知，距台风中心在（12-4） >25=200 （千米）以内时，则会受到台风影响.因为120V 200,因此该城市将会受到影响.（2）依题（1）可知，当点 A 距台风中心不超过 200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200 ;台风中心从点 E 移动到点F 处时, 图） 由勾股定理得， DE 2 AE 2 AD 2 2002 1202 DE = 160 （千米）.所以 EF=2X 160=320 （千米）. 又知台风中心以20千米/时的速度移动. 所以台风影响该城市 320+20=16 （小时）. （3） v AD 距台风中心最近，•••该城市受到这次台风最大风力为： 12- （120+25） =7.2 （级）答：该城市受台风影响最大风力7.2级.【总结升华】 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题, 三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决. 【巩固练习】 一•选择题2 2n 1, b 2n,c n 1，则 /△KBC 是(2.如图，每个小正方形的边长为 1 , A 、B 、C 是小正方形的顶点，则/ABC 的度数为（ ）3.（ 2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A .三内角之比为 1 : 2:3B .三边长的平方之比为 1 :2: 3 C .三边长之比为3: 4: 5D .三内角之比为 3: 4： 54. 如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A 、B 处距河岸的距离 AC 、BD 的长分别为 500m和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮可通过作辅助线构造直角1.在△ ABC 中，若a A .锐角三角形B .钝角三角形C .等腰三角形D . 直角三角形A . 90 °B . 60 °C . 45D . 30 °C水后，再赶回家，那么牧童至少要走（)AuD c BA B . 1200m C . 1300m D . 1700m A . 2900m 5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是 （ ） 1 1 则（AC + BC ）2等于 2 A . ab=h B . a 2+b 2=h 2 6.如图，Rt △ABC 中，/ C = 90° ( ) C 1 1 1 C . — — — a b h CD 丄 AB 于点 D , AB = 13,1 D .— aCD = 6, 7.已知三角形的三边长为 325 a 、b 、 C . 2197 2,b 24m 2, c 22,b 2 4m, c 22,b 22m, c 22,b 22 2 2m , c D . 由下列条件能构成直角三角形的是（405)& （ 2016?连云港） S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等 S 4、S 5、S 6.其中 S 1 = 16 , S 2=45, S 5=11 , S 6=14，则 S 3+S 4=（ ） 如图1 , 分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S 1、54 D . 489.如图，AB = 5, AC = 3, BC 边上的中线 AD = 2，则△ABC 的面积为 __________A10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB = 6, BC = 8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD = _________ .11. 已知：△ABC 中，AB = 15, AC = 13, BC 边上的高AD = 12 , BC = _________ .12. 如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm , P为对角线BD 上的任意一点，贝U AP+EP的最小值是_______________ c m.113. 如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP= - BC .如4 果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P,那么所用细线最短需要 _14. （2014春?监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm , 40cm, 50cm的木箱中，他能放进去吗？答：____________ （选填能”或不能”.15. （2016 春？浠水县期末）如图，AD=8 , CD=6，/ ADC=90 ° AB=26 , BC=24，该图形的面积等于______ .C行等量代换，得 却=穹.两边同除以皆得a b h .16. ___________________________________________________________________________ 如图所示，在△ABC 中，AB = 5, AC = 13, BC 边上的中线 AD = 6，/BAD = ___________________三•解答题17. （2016春？召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股 数，观察表格所给出的三个数a, b ，c ， a v b v c .（1） 试找出它们的共同点，并证明你的结论； （2） 写出当a=17时，b , c 的值.3, 4, 532+42=52 5, 12, 13, 52+122=132 7, 24, 25 72+242=252 9, 40, 41 92+402=412 17, b , c172+b 2=c 218. 如图等腰 A ABC 的底边长为8cm,腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.19. （2015?永州）如图，有两条公路 OM 、ON 相交成30。
第一章勾股定理复习
关于勾股定理的思考题和挑战题
勾股定理的证明方 法有哪些？请列举 出至少两种。
勾股定理在日常生 活中的应用有哪些？ 请举例说明。
勾股定理的பைடு நூலகம்定理 是什么？请给出证 明过程。
请设计一道与勾股 定理相关的数学挑 战题，难度适中， 适合中学生水平。
勾股定理的趣味故事和传说
毕达哥拉斯的发现：相传在公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，偶然发现地板图案中直角 三角形三边的平方和等于另一边平方，从而发现了勾股定理。
总统证法：美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德利用勾股定理证明了一个数学定理，并因此被选为英国皇家学会荣 誉会员。
勾股定理的证明：古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中利用反证法证明了勾股定理，被誉为“几何之父”。
勾股定理在数学竞赛中的应用场景
勾股定理在几何证明中的应用 勾股定理在数列求和中的应用 勾股定理在代数方程求解中的应用 勾股定理在平面几何和立体几何中的应用
数学竞赛中常见的勾股定理题目类型
直角三角形中的勾股定理
勾股定理与几何图形的结合
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勾股定理与面积的关系
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勾股定理在数列中的应用
勾股定理的推广
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足勾股定理，则该三角形为直角三角形
勾股定理的推广：勾股定理可以推广到多边形，多边形的边长满足勾股定理，则该多边形为直 角多边形
勾股定理的应用：勾股定理在几何学、物理学等领域有广泛应用，如建筑、航天、航海等
勾股定理的证明方法：勾股定理有多种证明方法，如欧几里得证明法、赵爽证明法等
《勾股定理》整章复习(教师版)
《勾股定理》整章复习(教师版)【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.第一部曲.基础班【典型例析】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长． 【答案与解析】 解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268100x =+=． 当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=228x =．所以这个三角形的第三边的平方为100或28．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长． 【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=． ∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =． ①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42． 综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点． 求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ． 【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ． ∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴ AD ＝BD ． ∵ ∠ACB ＝90°， ∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=， ∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证． 举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】解：∵△BEF 是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， ∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3， ∵由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2=42+22=20，EF 2=DE 2+DF 2=22+12=5，BF 2=BC 2+CF 2=42+32=25， ∴BE 2+EF 2=BF 2， ∴∠BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE 2+EF 2=BF 2.4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵ AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴ △ABP ≌△CBQ∴ AP=CQ(2)由PA ：PB ：PC=3：4：5 可设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a连结PQ ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a ，且∠PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a 于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP ≌△CBQ ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°． 在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状. 【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+= ∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c === ∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况． 【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度． 在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=． 在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ． 【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中， ∵BC=20尺，AC=5×3=15尺， ∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．第二部曲.提高班【典型例析】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合， 即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ， ∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°． ∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′． 在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=， ∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题． 举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ． ∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB ∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30° ∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270° ∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE += ∴ 222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC ∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8 又∵PB 2=1，BE 2=9 ∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c 点的最大值，然后得到c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 【答案与解析】解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为锐角三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角；（2）∵c 为最长边，2+4=6，∴4≤c ＜6，a 2+b 2=22+42=20，①a 2+b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c ＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H∵∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴△GAB≌△HCG∴∠GAB=∠H，AB=CH又∵AB=AD，∠B=∠D，BG=DE∴△ABG≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF△中，设AD a=，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点， 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离． 在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动． 所以台风影响该城市320÷20=16（小时）． （3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 答：该城市受台风影响最大风力7.2级． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．续曲.基础班【巩固练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A.15B.16C.17D.183. 放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红和小颖家的距离为（）A．600m B．800m C．1000m D．不能确定4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )+= B.三角形的三边比为1∶2∶3A.三角形的三边满足关系a b cC.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A.32cm B.42cm C.62cmD.122cm二.填空题9. 根据下图中的数据，确定A= ，B= ，x= ．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______． 11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．12．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm ．（容器厚度忽略不计）14．如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.15. 小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.【答案与解析】 一.选择题1.【答案】C ；2.【答案】C ；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.【答案】C ；【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m. 4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影． 5.【答案】D ； 6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ；【解析】解：过D 作BM 的垂线交BM 于N ，∵图中S 2=S Rt △DOI ，S △BOC =S △MND ， ∴S 2+S 4=S Rt △ABC ．可证明Rt △AGE ≌Rt △ABC ，Rt △DNB ≌Rt △BHD ， ∴S 1+S 2+S 3+S 4 =S 1+S 3+（S 2+S 4），=Rt △ABC 的面积+Rt △ABC 的面积+Rt △ABC 的面积 =Rt △ABC 的面积×3 =12×5÷2×3 =90．故选：A ．8.【答案】C ；【解析】设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，.二.填空题9.【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可． 10．【答案】8； 11．【答案】30； 12.【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A 关于EC 的对称点A′，连接A′B 交EC 于F ，则A′B 即为最短距离． ∵高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，∴A′D=50cm，BD=120cm ，∴在直角△A′DB 中，A′B===130（cm ）．故答案是：130．14．【答案】100；【解析】依题知AC ＝60cm ，BC ＝80cm ，∴ AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ． 15.【答案】能；【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去． 16.【答案】81； 三.解答题 17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：()()2223420x x +=化简得：216x = ∴直角三角形的面积为：21346962x x x ⨯⨯==. 18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002， ∴∠BAC=90°，∵C 岛在A 北偏东35°方向， ∴B 岛在A 北偏西55°方向．∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中，根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20. 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3， ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =． ∴ 5BN =.续曲.提高班【巩固练习】一.选择题1. 在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m 5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ） A ．ab =h 2 B ．a 2+b 2=h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A.25B.325C.2197D.4057. 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+ C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A．90 B．100 C．110 D．121二.填空题9. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD，求：△ABC的面积．18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．20. 如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置. 位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）； 位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C ＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长； （2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求） （3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】 一.选择题1.【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°. 3.【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确． 故选D ．4.【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.【答案】D ；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=． 6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+.8.【答案】C ；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形． 10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．11.【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4.12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5.13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5.14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ， 根据题意，得x 2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000， 所以能放进去．15.【答案】3，2， 8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三.解答题 17.【解析】。
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勾股定理复习
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理
以及它的应用．其知识结构如下：
二、示例
类型一 已知两边求第三边
例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm ，2cm ，则第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长
例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长．
C
P
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
B
A
例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP +DP 最小值。
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm . 类型三 判别一个三角形是否是直角三角形
例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =14
BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？
F
E
D C B A
类型四 实际运用
例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭。
近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动（如图），距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。
①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
东
西
北
A
B
类型五、拼图
例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．
三、课堂检测
1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A ．50cm
B ．100cm
C ．140cm
D ．80cm
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
3．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿
4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．
5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？
8m
图3
八年级上册第一章勾股定理练习题
一、选择题
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A . 1.5, 2, 3; B . 7, 24, 25; C . 6 ,8, 10; D . 9, 12, 15.
2、适合下列条件的△ABC 中, 是直角三角形的个数为 ( ) ①;5
1
,41,31===
c b a ②,6=a ∠A =450; ③∠A =320, ∠B =580; ④ ;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b a A . 2个; B . 3个; C . 4个; D . 5个.
3、已知直角三角形两直角边的长为A 和B ，则该直角三角形的斜边的长度为（ ） A 、A ＋B B 、2AB C 、B -A D 、
22B A +
4、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ） A 、6厘米 B 、8厘米 C 、
13
80厘米 D 、1360
厘米
5、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm ,那么它的面积为 ( ) A . 48 cm 2 B . 36 cm 2 C . 24 cm 2 D .12 cm 2
6、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米
7、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ） A .18 cm B .20 cm C .24 cm D .25 cm
8、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（ ）
A .34英寸（87厘米）
B . 29英寸（74厘米）
C . 25英寸（64厘米）
D .21英寸（54厘米）
9、一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°， 木板的面积为( )
30°
6
A D
B
C
第9题
北
南 A 东
第12题图
A ．60
B ．30
C ．24
D ．12
10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm
11、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）．
A .24cm 2
B .36cm 2
C .48cm 2
D .60cm 2
12、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另
一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
二、填空题
13、在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ．
14、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝3∶4，则S Rt △AB ＝ ．
15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点
距离电线杆底部有 米。
16、如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两
棵树的斜坡距离AB 约为 m 。
（精确到0.1m ，可能用到的数据41.12≈，
73.13≈）。
17、已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，则这个三角形的面积为 。
18、在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需
要___________m ．
13
5m
(18题) 15题
16题
三、解答题
19、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
20、一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
这个梯子顶端离地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
21、如图，海中有一小岛A ，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45º的B 处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C 处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。
2.8
米
9.6
米
22、如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 离点C 5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？
23如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
24、咖菲尔德（Garfeild ，1881年任美国第二十届总统）利用图7证明了勾股定理（1876年
4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程。
∠B 和∠D 为直角。
B A
C
15
5B
A
C
D E
A B
C
D
E a
b
c
a
b c。