北师大版八年级数学第一章勾股定理分点复习
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习精品
1八年级期末复习第一章勾股定理知识点睛1.直角三角形的性质：边：直角三角形斜边长______任意一条直角边长；角：直角三角形两锐角_________；2.勾股定理：如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2．3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是直角三角形．4.勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有_____________；______________；______________；_______________；_______________；_________________． 精讲精练1.一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202.如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．3.如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．4.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，已知正方形ABDE 的面积为100，BC 的长为8，则点E 到直线BC 的距离为_________．6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AB=13cm ，BD=5cm ，CD=9cm ，则线段AD=_________，AC =________________．7.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）A ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，418.如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 9.若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．10.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤1311.如图，将一根24cm 长的筷子，置于底面直径为15cm ，高为8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（）A ．h ≤17B ．h ≥8C ．15≤h ≤16D ．7≤h ≤16应用1：蚂蚁爬最短路问题处理思路背记11—19的平方：112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361．注：勾股定理：角（Rt △）→边（a 2+b 2=c 2）勾股定理逆定理：边（a 2+b 2=c 2）→角（Rt △）2（1）__________________________；（2）__________________________；（3）_______________，利用________________进行计算．1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于12cm ，底面半径等于3cm ．在圆柱的下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 相对的B 点处的食物，则沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3）2.如图，藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由A 上升到B ，已知AB =5cm ，树干直径为4cm ．藤蔓一晚上生长的最短长度为______（π取整数3）3.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是________．4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱（有盖）的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路程是____________．应用2：折叠问题处理思路（1）找___________；（2）______________；（3）利用____________列方程．1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）2.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________．3.如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D与点B 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为_________．4.如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4cm ，BC =5cm ，则EF 的长为________．拓展练习1.若直角三角形两直角边的比为5:12，则斜边上的高与斜边的比为（）A ．60:13B ．5:12C ．12:13D ．60:1692.如图，Rt △ABC 的直角边长分别为12和16，在其内部有n 个小直角三角形，则这n 个小直角三角形周长之和为()A.28 B.48 C.36 D.563.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E 在CD 上，CE=4，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离的平方为()(π按3计算)A.225 B.180 C.468 D.4414.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a （a>0）；⑤22n m -，2mn ，22n m +（m ，n 为正整数，且m>n ）．其中可以构成直角三角形的有()A.①②③④⑤ B.①②④⑤ C.①②④ D.①②5.一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为()米．A.5.2 B.5.8 C.7.6 D.5.4。
北师大版八年级上册数学知识点总结大全
北师大版八年级上册数学知识点总结大全八年级上册数学知识点复习第一章勾股定理1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足a2b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数.如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数划分是：2n、n2－1、n2 1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）任意一条的边长和另外两条边长之间的干系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）断定三角形外形：1a..找最长边；b.比力长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状第二章实数1.无理数的引入。
无理数的界说无穷不轮回小数。
22、无理数：无穷不轮回小数叫做无理数。
在理解无理数时，要捉住“无穷不轮回”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如数）。
（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.…)，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.…；0.……(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数337、5等根号a（a为非完全平方数或非立方实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
新版北师大数学八年级上册各章节知识点总结
第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方与等于斜边c的平方，即222a b c+=2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a，b，c有关系，222+=，那么这个三角a b c形是直角三角形。
勾股数：满意222+=的三个正整数，称为勾股数。
a b c第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数与无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；π+8（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3等；（3）有特定构造的数，如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数与肯定值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，假如a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、肯定值在数轴上，一个数所对应的点与原点的间隔，叫做该数的肯定值。
（|a|≥0）。
零的肯定值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数假如a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1与-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向与单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要留意上述规定的三要素缺一不行）。
5、估算三、平方根、算数平方根与立方根1、算术平方根：一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特殊地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a”，读作根号a。
性质：正数与零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，假如一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“a”，读作“正、负根号a”。
北师版八年级数学第一章.勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴4AC ， 2.4AC BCCD AB⋅== DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CBAAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=一、 选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
北师大版八年级第一章勾股定理复习
北师大版八年级第一章勾股定理复习一、知识回顾：（1）勾股定理的内容是（2）、满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
（3）、勾股定理逆定理： 二、基础过手 1、求出x 的值2．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .3．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 . 5．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）．A ．30 cm 2B ．130 cm 2C ．120 cm 2D ．60 cm 26.直角三角形两边长为3和4，求第三边长 7、下列几组数中，为勾股数的是（ ）A 、4，5，6B 、12，16，20C 、-10，24，26D 、2.4，4.5，5.18、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）Ａ、８，15，17； Ｂ、４，５，６； Ｃ、５，８，10； Ｄ、8，39，40三、 例题讲解典型题型1：求线段的长度。
（勾股定理的运用。
）【例 １】如图，△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１４，ＡＣ＝１５，求 ＢＣ 边上的高 ＡＤ．变式已知：如图，△ABC 中，AB=17，BC=21，AC=10，求△ABC 的面积.典型题型2：判断直角三角形。
（勾股定理逆定理的运用。
）x17如图，己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 。
求四边形ABCD 的面积。
变式1. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。
主要数学思想1：方程思想。
【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′．在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC +AC •CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD 的面积是36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴ 又544a HF CH CF a a =+=+= ∴ AF=HF∴ ∠FAH=∠H∴ ∠FAH=∠DAE∴ ∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD ，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD ，再证明另一个角也等于∠EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三：【变式】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ．∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰三角形D ． 直角三角形2． 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．（2015春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比为1：2：3B ．三边长的平方之比为1：2：3C ．三边长之比为3：4：5D ．三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m5． 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．111a b h +=D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A ．25B ．325C ．2197D ．4057． 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A ．()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B ．()()222221,4,1a m b m c m =-==+C ．()()222221,2,1a m b m c m =-==+D ．()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6．其中S 1=16，S 2=45，S 5=11，S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48二．填空题9．如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．（2014春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．三．解答题17．（2016春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉20．如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=， 222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2．【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．3．【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．故选D ．4．【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5．【答案】D ； 【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：ab c h =．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325．7．【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+．8．【答案】C ；【解析】解：如图1，S 1=AC 2，S 2=AB 2，S 3=BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选C ．二．填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形．10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．11．【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5．14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15．【答案】96；【解析】连接AC ，在Rt △ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC 2=100，在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=102+242=262=AB 2，∴△ABC 为直角三角形； ∴图形面积为：S △ABC ﹣S △ACD =×10×24﹣×6×8=96．16．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三．解答题17．【解析】 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a 2+b 2=c 2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18．【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．19．【解析】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20．【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。
北师大版八年级数学上册第1章 勾股定理小结与复习
(n>1)， 那么它的斜边长D是（ ）
A. 2n
B. n + 1 C. n2 - 1 D. n2 + 1
4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm，c =
10 cm，则 Rt△ABC 的面积是（ A ）
A. 24 cm2 B. 36 cm2 C. 48 cm2 D. 60 cm2
2.2米
1.5 米
1.5 米
1.5 米
Cx B
x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5 AB2 = 2.22 + x2 = 9.34 AB ≈ 3.1 米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为
竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米.
见教材章末复习题
B. 14
C. 7
D. 7 或 25
2. 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角
三角形的是（ A ） A. a = 1.5，b = 2，c = 3 C. a = 6，b = 8，c = 10
B. a = 7，b = 24，c = 25 D. a = 3，b = 4，c = 5
3. 如果直角三角形的两直角边长分别为 n2 - 1，2n
第一章 勾股定理
小结与复习
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法
已知两边 求第三边 判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c， 那么
a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的应用条件：
(完整版)北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固(提高)
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a2+b2=c2）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：a2+b2与c2是否具有相等关系：若a2+b2=c2，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若a2+b2∴c2时，△ABC 是锐角三角形；若a2+b2∴c2时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、b、t ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a、b、c ，且a <b <c ，那么存在a2=b +c 成立.（例如④中存在72＝24＋25、92＝40＋41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：AE2+BF 2=EF 2.【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△ BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1) AE2+BF 2=EF 2，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．⎨ ⎩⎧CE = CE ⎪∠ECF ' = ∠ECF = 45°⎪CF = CF ' ∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′． 在 Rt △AEF′中， AE 2 + F 'A 2 = F'E 2 ，∴ AE 2 + BF 2 = EF 2 ．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含 45°角， 120°角内含 60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形 ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证： BD 2 = AB 2 + BC 2 .【答案】解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°．由于 DC ＝AD ，故点 A 转至点 C ．点 B 转至点 E ，连结 BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形 ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴ BC 2 + CE 2 = BE 2∴ BC 2 + AB 2 = BD 22、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使 CE=CP ，连结 EP ，EB⎨ ⎩⎧ AC = BC ⎪∠PCA = ∠ECB⎪PC = EC ∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+ PB 2= BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即△APC ≌△ BEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积．【思路点拨】连接 AC ，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直角三角形， 根据四边形 ABCD 的面积=直角三角形 ABC 的面积+直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【答案与解析】解：连接 AC ，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC 2=25，又∵CD=12，AD=13，∴AD 2=132=169，CD 2+AC 2=122+52=144+25=169，∴CD 2+AC 2=AD 2，∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，则 S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD =AB •BC + AC •CD= ×3×4+×5×12=36．故四边形 ABCD 的面积是 36．【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴△GAB≌△HCG∴∠GAB=∠H，AB=CH又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE∴△ABG≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在R t∴ADF 中，设AD =a ，由勾股定理得：AF 2=AD2+DF 2=a2+ ( 3a)2=25a24 16 ∴AF =5 a4HF =CH +CF =a +a=5a又 4 4∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】（2014 春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3 秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】解：设AB 为3xcm，BC 为4xcm，AC 为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC 是直角三角形，过3 秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3 秒时，△BPQ 的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400 米，BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB，交CD 于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得GB2=GH 2+BH 2= 8002+ 6002=1000000 ．∴GB＝1000，即最短路程为1000 米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：ED2=AE2+AD2= 32+ 42= 25 ．∵ED＞0，∴ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20 千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4 级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD＝1AB =21×240＝120（千米）．2由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200 千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，DE2=AE2-AD2= 2002-1202= 25600DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20 千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2 级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】一．选择题1．在△ABC 中，若a =n 2-1, b= 2n, c =n 2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（2015 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5 4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A、B 处距河岸的距离AC、BD 的长分别为500m 和700m，且C、D 两地的距离为500m，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A．2900m B．1200m C．1300m D．1700m5.直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）A．ab=h2 B．a2+b2=h2 C．1+1=1a b hD．1+1=1a2 b2 h26.如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2 等于( )A．25 B．325 C．2197 D．4057.已知三角形的三边长为a、b、c ，由下列条件能构成直角三角形的是（）A．a2=(m -1)2, b2= 4m2, c2=(m +1)2B．a2=(m -1)2, b2= 4m, c2=(m +1)2C．a2=(m -1)2, b2= 2m, c2=(m +1)2D．a2=(m -1)2, b2= 2m2, c2=(m +1)28．（2016•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A．86 B．64 C．54 D．48二．填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC 边上的中线AD＝2，则△ABC 的面积为．10.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD，则BD＝．11.已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高AD＝12，BC＝．12.如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE=1cm，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．13.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且1BP=BC．如果用一根细线从点A 开始经过3 个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细4线最短需要cm．14．（2014 春•监利县期末）小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15．（2016 春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于．16．如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝．三．解答题17．（2016 春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17 时，b，c 的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c218.如图等腰△ABC 的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P 在底边上从B 向C 以0．25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时．（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．20．如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6 cm ，CD＝15 cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）．现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2 中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3 求图1 的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．【答案与解析】一．选择题1.【答案】D；【解析】因为c2-a2=(n2+1+n2-1)(n2+1-n2+1)＝4 n2=b2，所以c2-a2=b2，a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C；【解析】连接AC，计算AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．3.【答案】D；【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30 度，60 度，90 度，( ) ( ) 所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有 90°角，所以不是直角三角形， 故不正确．故选D ． 4．【答案】C ；【解析】作 A 点关于河岸的对称点 A′，连接 BA′交河岸与 P ，则 PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5. 【答案】D ；ab【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出： c =．再结合勾股定理： ha 2+b 2=c 2．进行等量代换，得 a 2+b 2=1 1 1 a 2b2 h 2 ．两边同除以 a 2b 2， 得 + = ． a 2 b 2 h 2 6. 【答案】B ；【解析】(AC + BC )2 = AC 2 + BC 2 + 2 A C ⋅ BC = AB 2 + 2 A B ⋅ C D ＝169＋2×13×6＝3 25． 7. 【答案】B ；m -1 2 + 4m = m +1 2 【解析】 ．8. 【答案】C ；【解析】解：如图 1，S 1=AC 2，S 2= AB 2，S 3= BC 2， ∵BC 2=AB 2﹣AC 2，∴S 2﹣S 1=S 3，如图 2，S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45﹣16+11+14=54．故选 C ．二．填空题9.【答案】6；【解析】延长AD 到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE 为直角三角形．10.【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD＝x ，则DE＝BD＝x ，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x ，在Rt△CDE 中根据勾股定理列方程．1.【答案】14 或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC＝9－5＝4．12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5．13.【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P 在边BC 上，且1 BP=43BC，∴AC=4cm，PC=4BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5．14.【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．15.【答案】96；【解析】连接AC，在Rt△ACD 中，AD=8，CD=6，∴AC2=100，在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC 为直角三角形；∴图形面积为：S△ABC﹣S△ACD= ×10×24﹣×6×8=96．16.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝2AD＝12 在△ACM 中52+122=132即CM 2+AM 2=AC 2∴∠AMC＝∠BAD=90°三．解答题17.【解析】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m 为大于1 的奇数，将m2 拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1 就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m 为大于1 的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17 时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18.【解析】解：如图，作AD⊥BC，交BC 于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD= BC=4cm，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA⊥AC 时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，∴t=7 秒，当点P 运动t 秒后有PA⊥AB 时，同理可证得PD=2．25，∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，∴t=25 秒，∴点P 运动的时间为7 秒或25 秒．19.【解析】解：（1）过点A 作AD⊥ON 于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40 米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，OA=80m，∵在Rt△AOD 中，∠AOB=30°，∴AD= OA= ×80=40m，在Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= ==30m，故BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18 千米/小时，即=300 米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12 秒．20.【解析】解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2 中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3 中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得AC 2+CD2=AD2．∴ (6 +x)2+152= (x + 9)2．整理，得x2+12x + 36 + 225 =x2+18x + 81 ．化简，得 6 x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．。
北师大版八年级数学第一章勾股定理分知识点复习
北师大版八年级数学第一章勾股定理分点复习01 分点突破知识点1 勾股定理及其验证1.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）2.如图是一张直角三角形的纸片两直角边6AC =cm ，8BC =cm ，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm3.如图，在ABC 中，1310AB AC BC ===，，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为E ，则DE =__________.知识点2 直角三角形的判别4.在ABC 中，12cm,9cm,15cm AB AC BC ===，则ABCS等于（ ）2222A. 54cmB. 108cmC. 180cmD. 90cm5.下列说法中，错误的是（ ）A.在ABC 中，C A B ∠=∠-∠，则ABC 为直角三角形 B 在ABC 中,若::5:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC 为直角三角形C.在ABC 中,若34,55a c b c ==，则ABC 为直角三角形D.在ABC 中，若::3:2:4a b c =，则ABC 为直角三角形6.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且满足12,2c a b c a b +=-=，则ABC 是什么特殊三角形？ 知识点3 勾股定理的应用7.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（ ）A. 440mB. 460mC. 480mD. 500m8.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇.公路PQ 上距离O 点240m 的A 处与铁路MN 的距离是120m.如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km/h 的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是多少？02 易错题集训9.在Rt ABC 中，,,a b c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若90B ︒∠=，则（ ）222222222A. B. C. D. a b c b c a c a bb a c+=+=+=+=10.在ABC 中，4115AB AC ==，，BC 边上的高AD 长为9，则ABC 的面积为_________. 03 常考题型演练11.（郑州三中月考）以下列几组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）222111A. ,, B. 1,2,3345C. 3,4,5 D. 0.3,0.4,0.512.（三门峡期中）如图，在Rt ABC 中，90,3C AC ︒∠==.将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环该圆环的面积为（ ）A. B. 3 C. 6 D. 9ππππ13.（平顶山期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm ，则图中所有正方形的面积之和为（ ）2222A. 169cmB. 196cmC. 338cmD. 507cm14.（郑州期中）在ABC 中，,,a b c 分别为三边，给出下列各组条件：①::3:4:5A B C ∠∠∠=；②::3:4:5a b c =；③166365a b c ===，，；④1123A B C ∠=∠=∠，其中能判定ABC 是直角三角形的有__________个.15.如图，在Rt ABC 中，90,6cm,8cm C BC AC ︒∠===，按图中所示方法将BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边上的点C '处，那么ADC '的面积是________.16.（郑州期中）如图，在四边形ABCD 中，2015724AB BC CD AD ====，，，，90B ︒∠=.（1）问：ADC ∠是否为直角？并说明理由； （2）求四边形ABCD 的面积.17.如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面还多1米,同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刺好接触地面，求旗杆的高度（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计）04 核心素养专练18.【关注数学文化】（东营中考）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是___________尺.19.【分类讨论思想】（黑龙汇中考）Rt ABC 中，90,3,4ABC AB BC ︒∠===，过点B 的直线把ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________.参考答案1.D2.B3.60134.A5.D6.解：因为12,2c a b c a b +=-=,所以1()()22c a c a b b +-=⋅.所以222c a b -=，即222a b c +=.所以ABC 是直角三角形且90C ︒∠=. 7.C8.解：A 处受噪音影响的时间是16s. 9.C 10.234或126 11.D 12.D 13.D 14.3 15.62cm 16.解：（1）ADC ∠是直角，理由：连接AC .因为20,15,90AB BC B ︒==∠=，所以由勾股定理，得2222015625AC =+=，又因为7,24CD AD ==,所以22625CD AD +=.所以222AC CD AD =+，所以90ADC ︒∠=.（2）234ABCD S =四边形. 17.解：设旗杆的高度AC 为x 米，则绳子AB 的长度为1x +（）米，在Rt ABC 中，根据勾股定理,得2225(1)x x +=+，解得12x =.答：旗杆的高度为12米. 18.25 19.3.6或4.32或4.8。
北师大版八年级上册数学[勾股定理(基础版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（基础）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以． 要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3． 与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，∴ 2222210664a c b =-=-=，∴ a ＝8．（2）设3a k =，5c k =，∵ ∠C ＝90°，b ＝32，∴ 222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．类型二、与勾股定理有关的证明2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b ）2=4×， 整理，得a 2+2ab+b 2=2ab+c 2．所以a 2+b 2=c 2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ，整理，得 ，所以 ．【答案与解析】证明：∵S 大正方形=c 2，S 大正方形=4S △+S 小正方形=4×ab+（b ﹣a ）2，∴c 2=4×ab+（b ﹣a ）2，整理，得2ab+b 2﹣2ab+a 2=c 2，∴c 2=a 2+b 2． 故答案是：；2ab+b 2﹣2ab+a 2=c 2；a 2+b 2=c 2．【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则AE 2-BE 2等于（ ）A ．AC 2B ．BD 2C ．BC 2D ．DE 2【答案】连接AD 构造直角三角形，得，选A ．类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4，在Rt △ABC 中，()22284x x +=+，解得6x =． 【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．11D ．16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC ，在△ABC 和△CDE 中，∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴BC=DE∵222AB BC AC +=∴222AB DE AC +=∴b 的面积为5+11=16，故选D ．【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015•东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（ ）A.25B.31C.32D.40【答案】解：如图，由题意得：AB 2=S 1+S 2=13，AC 2=S 3+S 4=18，∴BC2=AB 2+AC 2=31，∴S=BC 2=31，故选B ．类型五、利用勾股定理解决实际问题5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．【答案与解析】解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺，根据勾股定理可得：x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．【总结升华】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB =(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．。
新北师大版数学八年级上册复习知识点完整版
新北师大版数学八年级上册复习知识点HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】新北师大版八年级上数学第一章到第七章知识点总结第一章 勾股定理【主要知识】1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于_______________。
如果用b a ,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________【注】①直角三角形；②找准斜边、直角边。
2、（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。
（2）勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为______________。
3、勾股定理的应用1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）A ．26B ．18C ．20D ．212、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ）①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17A 、4组B 、3组C 、2组D 、1组3、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形4、下列各组数：①，，；②9，12，16；③4，5，6；④a 8，a 15，a 17（0≠a ）； ⑤9，40，41。
其中是勾股数的有（ ）组A 、1B 、2C 、3D 、45、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )A 、 直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、无法确定6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ）A ：5B ：10C ：25D ：57、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
完整版北师大八年级上册第一章勾股定理全章复习与巩固提高
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1•了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2•理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3•能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1•勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方•（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1•勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c，满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证：2 a 2 2b与c是否具有相等关系：若c 2 若ab2c2，则A ABC是以/ C为90。
的直角三角形；若c 2 若a b22> C时，A ABC是锐角三角形；若a2 b2v c2时，△ABC是钝角三角形.其主要2•勾股数一一2 2 2满足不定方程x y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③ 8 15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.如果（a、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形•观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1•较小的直角边为连续奇数；2•较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为a b c，且a b c，那么存在a2 b c成立•（例如④中存在2 27 = 24 + 25、9 = 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关•【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC中，/ ACB = 90° E、F为AB上两点（E左F右），且 / ECF = 45° 求证：AE2BF2EF2【思路点拨】由于/ ACB = 90° / ECF= 45°所以/ ACE + Z BCF = 45°若将/ ACE和 / BCF 合在一起则为一特殊角45°于是想到将A ACE旋转到ABCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到A ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明.【答案与解析】解：⑴AE2BF2EF2，理由如下:将ABCF绕点C旋转得△ACF，,使^BCF的BC与AC边重合,即△ACF'BA BCF,•/ 在△ABC 中，/ ACB = 90 ° AC = BC,/ CAF'=/ B = 45 °•••/ EAF' = 90 °/ ECF = 45 °•/ ACE +Z BCF = 45 °/ ACF'=/ BCF , •/ ECF' = 45 °在AECF和AECF'中CE CEoECF ECF 45CF CF△ECF◎△ECF' (SAS,/• EF = EF'.在Rt △AEF'中，AE2FA2F E2,AE2BF2EF2.【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，（如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角），则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，/ ABC = 30° / ADC = 60° AD = DC ,求证：BD2 AB2 BC【答案】解：将MBD绕点D顺时针旋转60°.由于DC = AD，故点A转至点C.点B转至点E，连结BE.•/ BD = DE，/ BDE = 60°••• ABDE为等边三角形，BE = BD易证ADAB ◎△ DCE，/ A = Z 2, CE= AB•/ 四边形ADCB 中/ ADC = 60° / ABC = 30°•/ A + Z 1 = 360°—60°- 30°= 270°•/ 1 + Z 2 =Z 1 + Z A = 270°•/ 3= 360°—(/ 1 + Z 2) = 90°•BC2 CE2 BE22 2 2BC AB BDL2、如图，在A ABC 中，Z ACB=90°, AC=BC , P 是△ABC 内的一点，且PB=1 , PC=2,PA=3，求Z BPC的度数.【答案与解析】解：如图，做/ ECB= / PCA，且使CE=CP，连结EP, EB 在△APC和ABEC中AC BCPCA ECBPC EC•••/ BPC=135【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将AAPC绕点C旋转，使CA与CB重合即AAPC BEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，/ B=90 ° AB=3 , BC=4 , CD=12 ,【思路点拨】连接AC,在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积. 【答案与解析】解：连接AC,如图所示:•••/ B=90 °•△ ABC为直角三角形，又••• AB=3，BC=4，•根据勾股定理得：AC2=25，又••• CD=12，AD=13，•AD 2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，2 2 2•CD2+AC2=AD2，• △ ACD为直角三角形，/ ACD=90 °:丄AB?BC+亍AC?CD=故四边形ABCD的面积是36.【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键.X 3X 4* X 5x 12=36.则S 四边形ABCD =S^ABC +S A ACD =则/ BPE=90AD=13，求四边形ABCD的面积.【答案与解析】证明：取BC 中点G ,连结AG 并延长交DC延长线于H•/ / ABG= / HCG , BG=CG ，/ AGB= / HGCAF 2 AD 2 DF 2 a 2 (3a)2 25a 2 4165 --AF a4a 5又 HF CH CF a — —a 4 4••• AF=HF ••• / FAH= / H ••• / FAH= / DAE • / BAF=2 / DAE【总结升华】 要证/ BAF=2 / EAD ，一般方法是在/ BAF 中取一个角使之等于/ EAD ，再 证明另一个角也等于/ EAD ，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角 •举一反三：【变式】（2014春？防城区期末）如图所示，在 △ABC 中，AB : BC : CA=3 : 4: 5，且周长 为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点 Q 从点B 沿BC 边向点 C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3秒时，ABPQ 的面积为多少？C -!/T-/ [TJ3—>Q I4、如图：正方形F 是 EC 中点•求证：/ BAF=2 / EAD.在Rt^ ADF 中，设AD a ，由勾股定理得:【答案】解：设 AB 为 3xcm , BC 为 4xcm , AC 为 5xcm , •••周长为36cm ,AB+BC+AC=36cm , /•3x+4x+5x=36 , 得 x=3 , /• AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2T AB +BC =AC ,•••△ ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP=9 - 3X1=6 (cm ), BQ=农 3=6 (cm ).-X (9- 3) X 6=18 (cm 2).2△3PQ 的面积为18cm 2.类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A 、B 到河岸的距离分别为 AC = 400 米，BD = 200米，CD = 800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水， 所走路程最短？最短路程是多少？C A【思路点拨】 作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用两点之间线 段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三 角形，利用勾股定理可解决. 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由 两点之间线段最短”可以 知道在E点处饮水，所走路程最短•说明如下：在直线CD 上任意取一异于点 E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE .点G 、A 关于直线CD 对称，• AI = GI ，AE = GE .由 两点之间线段最短”或 三角形中两边之和大于第三边 ”可得GI + BI >GB = AE + BE ， 于是得证.最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点 G 作BD 的垂线交于点H ，在直角 三角形GHB 中，GH = CD = 800, BH = BD + DH = BD + GC = BD + AC = 200+ 400= 600,故过3秒时, D T n _lT rzli由勾股定理得GB2 GH 2 BH 2800260021000000 .••• GB = 1000，即最短路程为1000米.【总结升华】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目，一方面要考虑两点之间线段最短”另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个最大”最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点•本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E, AE = 3, EB = 1，在AC上有一点P, 使EP+ BP最短.求EP+ BP的最小值.【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP = DP,连接DE，交AC于P, ED = EP+ DP = EP+ BP, 即最短距离EP+ BP也就是ED .AE = 3, EB = 1,.・. AB = AE + EB = 4,2 2 2 2 2• AD = 4,根据勾股定理得：ED AE AD 3 4 25 .•/ ED>0,二ED= 5, • 最短距离EP+ BP= 5.6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响•试问：(1 )该城市是否会受到台风影响？请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响.理由：如图，过点 A 作AD 丄BC 于D 点, 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离. 在 Rt A ABD 中，因为/ B=30 , AB=240 .1 1二 AD = - AB = — X240 = 120 （千米）.2 2由题可知，距台风中心在（12-4） >25=200 （千米）以内时，则会受到台风影响.因为120V 200,因此该城市将会受到影响.（2）依题（1）可知，当点 A 距台风中心不超过 200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200 ;台风中心从点 E 移动到点F 处时, 图） 由勾股定理得， DE 2 AE 2 AD 2 2002 1202 DE = 160 （千米）.所以 EF=2X 160=320 （千米）. 又知台风中心以20千米/时的速度移动. 所以台风影响该城市 320+20=16 （小时）. （3） v AD 距台风中心最近，•••该城市受到这次台风最大风力为： 12- （120+25） =7.2 （级）答：该城市受台风影响最大风力7.2级.【总结升华】 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题, 三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决. 【巩固练习】 一•选择题2 2n 1, b 2n,c n 1，则 /△KBC 是(2.如图，每个小正方形的边长为 1 , A 、B 、C 是小正方形的顶点，则/ABC 的度数为（ ）3.（ 2015春?西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A .三内角之比为 1 : 2:3B .三边长的平方之比为 1 :2: 3 C .三边长之比为3: 4: 5D .三内角之比为 3: 4： 54. 如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A 、B 处距河岸的距离 AC 、BD 的长分别为 500m和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边去饮可通过作辅助线构造直角1.在△ ABC 中，若a A .锐角三角形B .钝角三角形C .等腰三角形D . 直角三角形A . 90 °B . 60 °C . 45D . 30 °C水后，再赶回家，那么牧童至少要走（)AuD c BA B . 1200m C . 1300m D . 1700m A . 2900m 5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是 （ ） 1 1 则（AC + BC ）2等于 2 A . ab=h B . a 2+b 2=h 2 6.如图，Rt △ABC 中，/ C = 90° ( ) C 1 1 1 C . — — — a b h CD 丄 AB 于点 D , AB = 13,1 D .— aCD = 6, 7.已知三角形的三边长为 325 a 、b 、 C . 2197 2,b 24m 2, c 22,b 2 4m, c 22,b 22m, c 22,b 22 2 2m , c D . 由下列条件能构成直角三角形的是（405)& （ 2016?连云港） S 2、S 3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等 S 4、S 5、S 6.其中 S 1 = 16 , S 2=45, S 5=11 , S 6=14，则 S 3+S 4=（ ） 如图1 , 分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S 1、54 D . 489.如图，AB = 5, AC = 3, BC 边上的中线 AD = 2，则△ABC 的面积为 __________A10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB = 6, BC = 8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD = _________ .11. 已知：△ABC 中，AB = 15, AC = 13, BC 边上的高AD = 12 , BC = _________ .12. 如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm , P为对角线BD 上的任意一点，贝U AP+EP的最小值是_______________ c m.113. 如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP= - BC .如4 果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P,那么所用细线最短需要 _14. （2014春?监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm , 40cm, 50cm的木箱中，他能放进去吗？答：____________ （选填能”或不能”.15. （2016 春？浠水县期末）如图，AD=8 , CD=6，/ ADC=90 ° AB=26 , BC=24，该图形的面积等于______ .C行等量代换，得 却=穹.两边同除以皆得a b h .16. ___________________________________________________________________________ 如图所示，在△ABC 中，AB = 5, AC = 13, BC 边上的中线 AD = 6，/BAD = ___________________三•解答题17. （2016春？召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股 数，观察表格所给出的三个数a, b ，c ， a v b v c .（1） 试找出它们的共同点，并证明你的结论； （2） 写出当a=17时，b , c 的值.3, 4, 532+42=52 5, 12, 13, 52+122=132 7, 24, 25 72+242=252 9, 40, 41 92+402=412 17, b , c172+b 2=c 218. 如图等腰 A ABC 的底边长为8cm,腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.19. （2015?永州）如图，有两条公路 OM 、ON 相交成30。
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北师大版八年级数学第一章勾股定理分点复习
01 分点突破
知识点1 勾股定理及其验证（河南中招2018T10选，T14填,T15填，T22解，2017T15填，T18解，2014T8选,T15填，2013T15填） 1.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
2.如图是一张直角三角形的纸片两直角边6AC =cm ，8BC =cm ，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 10cm
3.如图，在ABC 中，1310AB AC BC ===，，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为E ，则DE =__________.
知识点2 直角三角形的判别
4.在ABC 中，12cm,9cm,15cm AB AC BC ===，则ABC
S
等于（ ）
222
2
A. 54cm
B. 108cm
C. 180cm
D. 90cm
5.下列说法中，错误的是（ ）
A.在ABC 中，C A B ∠=∠-∠，则ABC 为直角三角形 B 在ABC 中,若::5:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC 为直角三角形
C.在ABC 中,若34
,55a c b c ==，则ABC 为直角三角形
D.在ABC 中，若::3:2:4a b c =，则ABC 为直角三角形
6.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且满足1
2,2
c a b c a b +=-=，则
ABC 是什么特殊三角形？ 知识点3 勾股定理的应用
7.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（ ）
A. 440m
B. 460m
C. 480m
D. 500m
8.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇.公路PQ 上距离O 点240m 的A 处与铁路MN 的距离是120m.如果火车行驶时，周围200m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km/h 的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是多少？
02 易错题集训
9.在Rt ABC 中，,,a b c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若90B ︒
∠=，则（ ）
2222222
2
2
A. B. C. D. a b c b c a c a b
b a c
+=+=+=+=
10.在ABC 中，4115AB AC ==，，BC 边上的高AD 长为9，则ABC 的面积为_________.
03 河南常考题型演练
11.（郑州三中月考）以下列几组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
222
111A. ,, B. 1,2,3345C. 3,4,5 D. 0.3,0.4,0.5
12.（三门峡期中）如图，在Rt ABC 中，90,3C AC ︒∠==.将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环该圆环的面积为（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 9π
πππ
13.（平顶山期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm ，则图中所有正方形的面积之和为（ ）
222
2
A. 169cm
B. 196cm
C. 338cm
D. 507cm
14.（郑州期中）在ABC 中，,,a b c 分别为三边，给出下列各组条件：①
::3:4:5A B C ∠∠∠=；②::3:4:5a b c =；③166365a b c ===，，；④11
23A B C ∠=∠=∠，其中能判定ABC 是直角三角形的有__________个.
15.如图，在Rt ABC 中，90,6cm,8cm C BC AC ︒∠===，按图中所示方法将BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边上的点C '
处，那么ADC '
的面积是________.
16.（郑州期中）如图，在四边形ABCD 中，2015724AB BC CD AD ====，，，，
90B ︒∠=.
（1）问：ADC ∠是否为直角？并说明理由； （2）求四边形ABCD 的面积.
17.如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面还多1米,同学们把绳子的末端拉开5米后，发现绳子末端刺好接触地面，求旗杆的高度（旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计）
04 核心素养专练
18.【关注数学文化】（东营中考）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是___________尺.
19.【分类讨论思想】（黑龙汇中考）Rt ABC 中，90,3,4ABC AB BC ︒∠===，过点B 的直线把ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________.
参考答案
1.D
2.B
3.
60
13
4.A
5.D
6.解：因为12,2c a b c a b +=-=,所以1
()()22
c a c a b b +-=⋅.所以222c a b -=，即
222a b c +=.所以ABC 是直角三角形且90C ︒∠=. 7.C
8.解：A 处受噪音影响的时间是16s. 9.C 10.234或126 11.D 12.D 13.D 14.3 15.62cm 16.解：（1）ADC ∠是直角，理由：连接AC .因为20,15,90AB BC B ︒==∠=，所以由勾股定理，得2222015625AC =+=，又因为7,24CD AD ==,所以
22625CD AD +=.所以222AC CD AD =+，所以90ADC ︒∠=.（2）234ABCD S =四边形. 17.解：设旗杆的高度AC 为x 米，则绳子AB 的长度为1x +（）米，在Rt ABC 中，根据勾股定理,得2225(1)x x +=+，解得12x =.答：旗杆的高度为12米. 18.25 19.3.6或4.32或4.8。