1.1周期现象1.2角的概念推广

出现相同的数值，因此，水深是周期性变化.
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y随时间的 变化是周期性的吗？
在任何确定的时间，地球与太阳距离y是唯一确定的，每经 过一年地球围绕着太阳转一周。 无论从哪个时间t算起，经过一年时间(T=365天），地球又回到 原来的位置，所以地球与太阳的距离是周期变化的。
- 9 0° ； 1.时钟从12时到15时,时针所走的角度为_______ 分针所走的角度为_______ 。 -1080°
2.请大家作出下列各角： -50°，405°，-250°.
画图表示一个大小一定的角，先画一条射线 作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转 方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量， -50° 405° -250° 画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标 注.
y
o
x
-50°
o
405°
x
o
x
思考：在直角坐标系中，135°角的终 边在什么位置？终边在该位置的角一 定是135°吗？ y 135°
O
x
495°
-225°
3.终边相同的角： 一般地，所有与角α终边相同的 角，连同角α在内所构成的集合 S 可 以表示为：
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}
与 终边相同的角的集合为：
例3. 如图是水车的示意图，水车上A点到水面的距
离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经5min就会重
复出现，因此，该距离y随时间的变化也具有周期性.
水车上A点到水面的距离记为y， 假设水车5分钟转一圈，那 么y的值每经过5分钟就会重复出现， 因此，距离y随时间的变化 规律也具有周期性。
由上面的例子，我们可以看到在现实生活中存在着 大量的周期现象.
而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意
角，那么用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
1.角的第二定义：
B
终边

顶点
o
始边
A
角可以看做:平面内一条射线绕着它的 端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形。
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
2.象限角定义：
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负 半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角 是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认 为这个角不属于象限角，或称这个角为轴线角. 那么下列各角：-50°，405°，-250°, 分别 是第几象限的角？
y y
-250°
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
§1.1 周期现象

钱塘江一线潮 由于月球和太阳的引潮力作用，使海洋水面发生的周期性涨落 的潮汐现象。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大 约在每一昼夜的时间里，波浪每间隔一段 时间就会重复出现。 这种现象就是我们今天要学到的 周期
现象。
月盈则亏是周期现象
地球自转和公转
周期现象 每隔一段时间 就会________ 重复 (1)定义：某种动作或现象_____________ 出现,这种现象被称为周期现象. (2)判断一个现象是否为周期现象,关键是抓住这 重复性 一现象是否具有_______.
课堂练习2
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º 的角是锐角吗？区间 (0º ,90º )内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º 的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º ,90º )内的角是锐
角．
课堂练习2
360°(k∈Z) ， (2)与-496°终边相同的角是 -496°+k· 它是第 三 象限的角，它们中最小正角是 224°， 最大负角是 —136° 。
• 终边落在坐 标轴上的情 形
180°+K·360° o
+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
当 k 为偶数时,不妨令 k＝2n,n∈Z, α 则 45° ＋ n· 360° < <90° ＋ n· 360° , 2 α 此时, 为第一象限角； 2 当 k 为奇数时,令 k＝2n＋1,n∈Z, α 则 225° ＋ n· 360° < <270° ＋ n· 360° , 2 α 此时, 为第三象限角. 2 α ∴ 为第一或第三象限角. 2
S=s1∪s2
={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪ {β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800,K∈Z} 终边落在x轴上的角的集合;终边落在第 一象限内的角的集合;终边落在第二象限 内的角的集合。
例3. 写出终边分别落在四个象限的角的集合. +K · 360° y 90°
S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}
注 : （ 1） k ∈ Z ;
（2） 是任意角; （3）终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同，终边相同的角有无数多 个，它们相差 360°的整数倍。
例1. 在0º ~360º 范围内，找出与下列各角终边相同的
角，并判断它是哪个象限的角. (1) －120º ；(2) 640º ；(3) －950º 12′. 解：⑴∵－120º =240º +（-1）×360º ， ∴ －120º 的角与 240º 的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640º =280º +1 × 360º ， ∴ 640º 的角与 280º 的角终边相同， 它是第四象限角． ⑶ 解：∵－950º12’=129º48’ +（-3）×360º ， ∴ － 950º12’的角与 129º48’的角终边相同， 它是第二象限角．
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
于是，终边落在y轴上的角的集合为
2×360º －21º =699º ．
(3) S=｛β| β= 363º14’ +k· 360º ， k∈ Z } S中在－360º ～720º 间的角是 0×360º+363º14’=363º14’； －1×360º+363º14’=3º14’； －2×360º+363º14’=－356º46’．
角的象限的判断
例：已知 为第二象限角，问 2， 分别是第几象限角？ 2

由角 α 为第二象限角， 可以写出 α 的范围： 90° ＋k· 360° <α<180° ＋k· 360° ，k∈Z，在此 α 基础上可以写出 2α，2 的范围，进而可以 判断出它们所在的象限.
[解题过程] ∵α 是第二象限角, ∴90° ＋k· 360° <α<180° ＋k· 360° . ∴180° ＋2k· 360° <2α<360° ＋2k· 360° . ∴2α 是第三或第四象限角,或是终边落在 y 轴的 非正半轴上的角. k α k 同理 45° ＋ · 360° < <90° ＋ · 360° . 2 2 2
10:00
11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00
2.7
3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3
18:00
19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00
5.3
4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
1.图中横坐标和纵坐标分别表示什么？其中哪个是自变量，哪个是 因变量？ 2.大约什么时间港口的水最深？深度约是多少？大约什么时间港口 的水最浅？深度约是多少？ 从散点图可以看出，每经过相同的时间T（12h），水深度就重复
1.1.2 角的概念的推广
问题提出
过去我们是如何定义一个角的？角的范围是 什么？
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围：0°～360° 初中定义
边
顶 点
边
如：体操运动员表演中的转体10800
花样滑冰运动员转体12600
跳水运动员后空翻7200
这些例子中有的角不仅不在范围：0º 至 360º ，
例4. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
解：(1) S={β| β=60º +k· 360º ，k∈Z }, S中在－360º ～720º 间的角是 0×360º +60º =60º； －1×360º +60º =－300º ； 1×360º +60º =420º ．
如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°， γ=660°.
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零角即零度角（0º ）．此时零角的始边与