第6章 分治

low←8:high←10 mid=(8+10)/2 mid=(8+10)/2=9 x>A[9]=15 return BinarySearchRec(10,10) BinarySearchRec(10,10) 10 low←8:high←14 mid=(8+14)/2 mid=(8+14)/2=11 x<A[11]=23 return BinarySearchRec(8,10) BinarySearchRec(8,10) 10 low=10,high=10,mid=10 low=8,high=10,mid=9 low=8,high=14,mid=11 low=1,high=14,mid=7 7
low←1:high←14 mid=(1+14)/2 mid=(1+14)/2=7 x>A[7]=10 return BinarySearchRec(8,14) BinarySearchRec(8,14) 10 BinarySearchRec(1,14) 10
递归二分搜索算法的分析
当n=1时，else部分将被执行，无论x＝A[mid] n=1时 else部分将被执行 无论x 部分将被执行， 或x≠A[mid]，递归过程将被终止。从而得到：当 x≠A[mid]，递归过程将被终止。从而得到： n=1时 过程刚好被执行1 n=1时，过程刚好被执行1次。
算法BinarySearchRec的递归最大深度为 算法BinarySearchRec的递归最大深度为log2n +1， 的递归最大深度为 +1， 而每次递归所需空间为Θ(1)， 而每次递归所需空间为Θ(1)，二分搜索法的迭代算法仅 Θ(1)空间 空间。 需Θ(1)空间。 在过程BinarySearchRec中 共有2次元素比较， 在过程BinarySearchRec中，共有2次元素比较，故最 大比较次数应为2( 大比较次数应为2(log2n+1)=O(log2n)。 n)。
AБайду номын сангаас1..4] = 9 4 5 2 A[5..8] = 1 7 4 6
接着分别对这二个数组的元素进行排序，然后将它们 接着分别对这二个数组的元素进行排序， 合并得到所希望的排序数组，将该算法称为sort。 合并得到所希望的排序数组，将该算法称为sort。 可使用任何排序算法对每一半进行排序， 可使用任何排序算法对每一半进行排序，特别是利用 算法sort本身 如果这样的话， 本身。 算法sort本身。如果这样的话，就得到了著名排序算法 11 MergeSort。 MergeSort。
算法6.3 MergeSort（ 算法6.3 MergeSort（Page 105） 105） 输入： 个元素的数组A[1..n] 输入：n个元素的数组A[1..n] 输出：按升序排列的数组A[1..n] 输出：按升序排列的数组A[1..n] 1. MergeSort(A,1,n) 过程 0. procedure MergeSort(A[1..n],low,high) 1. if low＜high then //low和high不指向同一个元素 low＜ //low和high不指向同一个元素 2. mid←(low+high)/2 mid←(low+high)/2 3. MergeSort(A,low,mid) 4. MergeSort(A,mid+1,high) 5. Merge(A,low,mid,high) 6. end if 12 7. end procedure
方案二（采用分治法） 方案二（采用分治法）
将16个硬币问题划分为二个8个硬币的问题（A组和B 16个硬币问题划分为二个 个硬币的问题（ 组和B 个硬币问题划分为二个8 ）。比较 比较A 轻者含有伪币，假设B较轻。 组）。比较A和B，轻者含有伪币，假设B较轻。 个硬币的问题进一步划分为二个4 将8个硬币的问题进一步划分为二个4个硬币的问题 组和B ）。比较 比较B 轻者含有伪币，假设B （B1组和B2组）。比较B1和B2，轻者含有伪币，假设B1 较轻。 较轻。 个硬币的问题进一步划分为二个2 将4个硬币的问题进一步划分为二个2个硬币的问题 组和B ）。比较 比较B 轻者含有伪币， （B11组和B12组）。比较B11和B12，轻者含有伪币，假 较轻。 设B12较轻。 只有2个硬币，比较2个硬币就可找出伪币。 因B12只有2个硬币，比较2个硬币就可找出伪币。 找出伪币总的比较次数恒定为4 16=4） 找出伪币总的比较次数恒定为4（log216=4）。算法 的时间复杂性可以用Θ n)来表示 来表示。 的时间复杂性可以用Θ(log2n)来表示。 4
10
6.3 合并排序
在第1 在第1章，我们介绍了算法BottomUpSort。现反向来 我们介绍了算法BottomUpSort。 考虑问题的解，用“自顶向下” 取代“自底向上”。 考虑问题的解， 自顶向下” 取代“自底向上” 设一开始有输入数组
A[1..8] = 9 4 5 2 1 7 4 6
将该数组分成二个4 将该数组分成二个4个元素的数组
6.2 二分搜索法
给定元素x 给定元素x和元素已按升序排列的数组 A[low..high]， 与中间元素A[mid]作比较， A[low..high]，将x与中间元素A[mid]作比较，其 作比较 low+high)/2 中mid= (low+high)/2。 如果x=A[mid]，则返回mid。 如果x=A[mid]，则返回mid。 如果x<A[mid]，则不考虑A[mid..high]， 如果x<A[mid]，则不考虑A[mid..high]，对 A[low..mid-1]重复实施相同的方法 A[low..mid-1]重复实施相同的方法。 重复实施相同的方法。 如果x>A[mid]，则不考虑A[low..mid]， 如果x>A[mid]，则不考虑A[low..mid]，对 A[mid+1..high]重复实施相同的方法 A[mid+1..high]重复实施相同的方法。 重复实施相同的方法。 由此启示，可用递归算法BinarySearchRec来实 由此启示，可用递归算法BinarySearchRec来实 5 现二分搜索。 现二分搜索。
如果n>1，则存在二种可能。 x=A[mid]， 如果n>1，则存在二种可能。当x=A[mid]，则过程仅 执行一次，否则过程执行的次数是： 执行一次，否则过程执行的次数是：1加上由递归调用 所产生的过程执行次数，数组元素个数逐次减半。 所产生的过程执行次数，数组元素个数逐次减半。
用C(n)表示算法BinarySearchRec对数组A[1..n] C(n)表示算法 表示算法BinarySearchRec对数组 对数组A[1..n] 执行过程的最大次数，C(n)可表示为如下递推 所执行过程的最大次数，C(n)可表示为如下递推 式： 1 若 n = 1
算法6.2 BinarySearchRec（参见Page 103-104） 算法6.2 BinarySearchRec（参见Page 103-104） 输入：按升序排列的n个元素的数组和元素x 输入：按升序排列的n个元素的数组和元素x 输出：如果x=A[j]，则输出j 否则输出0 输出：如果x=A[j]，则输出j；否则输出0。 1. output BinarySearchRec(1..n) 过程BinarySearchRec(low,high) 过程BinarySearchRec(low,high) 1. if low＞high then return 0 low＞ 2. else 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. mid＝ (low+high)/2 mid＝(low+high)/2 if x＝A[mid] then return mid x＝ if x＜A[mid] then x＜ return BinarySearchRec(low,mid-1) BinarySearchRec(low,midelse return BinarySearchRec(mid+1,high) end if end if
6.3.1 操作过程
1 2 4 4 5 6 7 9 9 4 5 2 1 7 4 6
2 4 5 9 9 2
1 4 6 7 7 4 6
4 4 9 9
5 2 2 5
1 7
4 6
9
4
5
2
1
7
4
6
黑色箭头表示调用过程MergeSort
13 红色箭头表示返回后执行Merge过程
1 2 4 4 5 6 7 9 9 4 5 2 1 7 4 6
第6章 分 治
1
6.1 引言 6.2 二分搜索法 6.3 合并排序 6.4 分治范式 6.6 快速排序 6.X 分治法应用（循环赛日程表） 分治法应用（循环赛日程表）
2
6.1 引言
例（找出伪币） 找出伪币） 给你一个装有16个硬币的袋子 16个硬币中有一个是 个硬币的袋子， 给你一个装有16个硬币的袋子，16个硬币中有一个是 伪币，这个伪币要比真币轻一些。 伪币，这个伪币要比真币轻一些。提供一台可用来比较 二组硬币重量的仪器，用它来找出伪币。 二组硬币重量的仪器，用它来找出伪币。 方案一（逐一比较） 方案一（逐一比较） 比较硬币1和硬币2 若不等，轻者则为伪币； 比较硬币1和硬币2，若不等，轻者则为伪币；否则 继续比较； 继续比较； 比较硬币1和硬币3 若不等，轻者则为伪币； 比较硬币1和硬币3 ，若不等，轻者则为伪币；否 则继续比较； 则继续比较； 按照这种方式，找出伪币最多需15次比较 (16按照这种方式，找出伪币最多需15次比较 (16-1=15) 最少仅为1 平均8 算法时间复杂性可以用Ｏ(n)来 最少仅为1次，平均8次。算法时间复杂性可以用Ｏ(n)来 表示。 表示。 3
6
全程量A[1..n]和 全程量A[1..n]和x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14