天津市南开中学2011届高三第三次月考(数学理)扫描版
天津市高三数学第三次月考试题 理 新人教A版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数=++-ii i 111 A. i - B.C. i -1D. i +12. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为A.1631 B. 2 C.1633 D.3316 6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 A.8πB. 83πC. 43πD. 2π7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 58. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）。
2011届高三年级第三次月考数学试卷
2011届高三年级第三次月考数学试卷一、选择题（10×5=50分） 1、0sin(330)-的值为（ ） A ．12B ．-12CD ．2、若34sin ,cos 55θθ==-，则2θ所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3、如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．3|1|(02)2y x x =-≤≤B ．33|1|(02)22y x x =--≤≤C ．3|1|(02)2y x x =--≤≤D ．1|1|(02)y x x =--≤≤4、函数()y f x =图象如图所示，则函数12log ()y f x = 图象大致是（ ）5、函数32()ln 2f x xπ=-的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4） D ．（4，5）6、直线1ln()y x y x a =+=+与曲线相切，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-27、已知1sin 2sin ,'2y x x y =+则是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8、函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤AB C D9、函数32()6f x ax ax b =-+在[-1,2]上最大值为3，最小值为-29（a>0），则（ ） A ．a=2，b=-29B ．a-3， b=2C ．a=2, b=3D ．以上都不对10、函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[0，1） C ．（-1，0]D ．(,)-∞+∞二、填空题（6×4=24分）11、设230.311331log ,log ,(),,,2a b c a b c ===则大小关系为 。
2011届高三数学月考、联考、模拟试题汇编 直线和圆
直线和圆题组一一、选择题1．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 答案 B.2．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k答案 A.3、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆042222=-+++a ax y x 和0414222=+--+b by y x 恰有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2211b a +的最小值为 （ ）A ．91B ．94C ．1D ．3答案 C.3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点P 是曲线C:321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（ ） A ．12+=x y B ．y=121+-xC ．2y x =D ．21y x =+或2y x =答案 A.4. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条 答案 C.5.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ （ ▲ ）A 、1B 、2C 、3D 、4答案 B.6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点M(1,5)-作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线,则切线方程为（ ） A ．1x =-B ．512550x y +-=C ．1512550x x y =-+-=或D ．15550x x y =-+-=或12答案 C.7．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9答案 D.8．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB满足||||OA OB OA OB +=-，则实数a 的值是（ ）（A ）2 （B ）2- （C 或 （D ）2或2- 答案 D.9. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为（ A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ． 20x y ++= D ．20x y --=答案 C.10.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂答案 A.11.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理） 若直线y x =是曲线322y x x ax =-+的切线，则a =（ ）.1A .2B .1C - .1D 或2 答案 D.邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂12．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）“3=a ”是“直线012=--y ax ”与“直线046=+-c y x 平行”的 （ ）A ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B.13．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线 答案 D.14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=答案 B. 二、填空题14．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ的比为 ．答案 2.15. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线，求椭圆的离心率▲▲.答案 36=e . 16．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a = 答案 0.17. （广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+=的距离为 .18．（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）如下图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =，则CE = .答案12519.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f =_____________。
2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|340}M x x x =--≤，集合{|ln 0}N x x =≥，则M N ⋂=（ ） A ．{|14}x x ≤≤ B ．{|1}x x ≥ C ．{|14}x x -≤≤ D ．{|1}x x ≥- 【答案】A【解析】{|14},{|1}M x x N x x =-≤≤=≥,所以{|14}M N x x ⋂=≤≤,故选A.2．已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】做出可行域，根据图像，即可求解. 【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A 由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时， 取得最小值为3. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 3．如图是一个算法流程图，则输出k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出k ，即可求出结论. 【详解】38,2S k ==；34,3S k ==；26,4S k ==； 10,5S k ==；22,6S k =-=，输出6.故选:D 【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可． 【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2019＞0成立， 若q ≠1，则S 2019()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2019符号相同， ∴a 1与S 2019的符号相同， 则“a 1＞0”⇔“S 2019＞0”， 即“a 1＞0”是“S 2019＞0”充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n 项和公式是解决本题的关键．5．要得到函数y =的图象,只需将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动6π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动6π个单位长度 【答案】C【解析】将y =化为)2y x π=+根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解. 【详解】将函数24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数4y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像，再向左平移4π个长度单位，得到函数)2y x y x π=+==. 故选:C. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C【解析】试题分析：函数()f x 是偶函数，在上是增函数，所以在(]0,+∞上是减函数，0.6420.2log 7log 3<<Q ()()()0.6420.2log 7log 3f f f b a c ∴>>∴<<【考点】函数奇偶性单调性7．设直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若(),0,P m PA PB =，则双曲线的离心率等于( )A ．32B 5C 5D ．2【答案】B【解析】将直线0)30(x y m m -+=≠与双曲线的渐近线方程22220x y a b-=联立，结合韦达定理，求出AB 中点M 坐标，由(),0,P m PA PB =，得出直线PM 斜率为-3，求出,a b 关系，即可求解. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为22220x y a b-=，联立2222030x y a b x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去x 得222222(9)60b a y mb b m --+=，当2222290,0,40b a m m a b -≠≠∆=>，设AB 中点为00(,)M x y ，则202239mb y b a =-， 2002239ma x y m b a =-=-，2222223(,)99ma mb M b a b a∴--， (),0,P m PA PB =，2222222223393299MPmb b b a k ma a b mb a -===----，解得2222222154,,144b b a b e a a =∴==+=，e ∴=. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的渐近线的位置关系，合理设出渐近线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.8．()()21,02,41,0x x f x x x g x xx x ⎧+>⎪=--=⎨⎪+≤⎩，若方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，则a 的取值范围是( )A ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,2【答案】A【解析】设2()(1)11t f x x ==-++≤，方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，根据已知条件，()g t a =有两不大于1的解，结合()y g t =图像与直线y a =关系，即可求出a 的范围. 【详解】设2()(1)11t f x x ==-++≤，()g t a = 方程[()]0g f x a -=的实数根个数有4个，()g t a =有两不大于1的解，由已知得，当0t ≤，()1g t ≤ 当0t >，1()14g t t t =+≥，当且仅当12t =时，等号成立， 做出()y g t =的图像如下图所示：5(1)4g =，所以54a ≤ 当54a =时，5()4g t =，则0t >，有1544t t +=解得1t =或14t =此时()t f x =只有三个解，不合题意， 根据图像可得514a ≤<. 故选:A.【点睛】本题考查复合函数根的个数求参数，换元结合函数图像是解题的关键，属于中档题.二、填空题9．已知i 为虚数单位，则13ii+=-__________. 【答案】1255i + 【解析】由复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i i i i i ++++===+--+. 故答案为:1255i + 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.10．123x x ⎛⎝展开式中的常数项为__________. 【答案】220-【解析】写出123x x ⎛⎝展开式的通项，令x 的指数为零，即得常数项. 【详解】12x ⎛ ⎝展开式中第1k +项为 41212311212((1),0,1,2,12k k k k k kk T C xC x k --+==-=L ，令4120,93k k -==，所以常数项为931212220C C -=-=-. 故答案为:-220 【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,4，则其外接球的表面积为__________. 【答案】32π【解析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解. 【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，则长方体相邻的三边长为2,4，且长方体的外接球即为所求，=所以所求的外接球的表面积为2432ππ⨯=. 故答案为:32π. 【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于基础题.12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M ()14cos πθ+=，曲线N 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数).若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于__________. 【答案】8()14cos πθ+=化为直角坐标方程，244x t y t ⎧=⎨=⎩消去参数化为普通方程，联立方程，由韦达定理结合弦长公式，即可得出结论.【详解】()214cos πρθ+=展开得sin 1cos ρθρθ-=，得到10x y --=为曲线M 的直角坐标方程，244x t y t⎧=⎨=⎩消去参数得24y x =， 联立2104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y y --=， 1616320∆=+=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12124,4y y y y +==-，2121212||11||2()48AB y y y y y y =+-=+-=.故答案为:8. 【点睛】本题考查极坐标方程与直线坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，属于基础题.13．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.【答案】22【解析】根据基底,AB AD u u u r u u u r 表示,,AP BP u u u v u u u v 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=u u u r u u u r，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2231162AD AB AB AD=--⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 14．已知()2f x x bx c =++，且()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，则b c +的值为__________. 【答案】152【解析】()12f x ≤等价于()1122f x -≤≤，在[]3,5x ∈恒成立，只需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，根据()2f x x bx c =++的对称轴分类讨论，求出()f x 在[]3,5x ∈的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】()222()24b b f x x bxc x c =++=+-+，对称轴方程为2b x =-，()12f x ≤在[]3,5x ∈恒成立，需()()max min 1212f x f x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，当3,62b b -≤≥-时，()max min1=(5)52521()(3)392f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩①②，(1)-⨯①+②得152b ≤-，不合题意舍去； 当5,102b b -≥≤-时，()max min1=(3)3921()(5)5252f x f b c f x f b c ⎧=++≤⎪⎪⎨⎪==++≥-⎪⎩③④，(1)-⨯③+④得172b ≥-，不合题意舍去； 当max max 35,106,(){(3),(5)}2bb f x f f <-<-<<-=2min1(3)3921(5)52521()()242f b c f b c b b f x f c ⎧=++≤⎪⎪⎪=++≤⎨⎪⎪=-=-+≥-⎪⎩⑤⑥⑦⑤+⑥(2)+-⨯⑦得228320,(8)02b b b ++≤+≤，2(8)0,8b b ∴+==-，代入⑤⑦得312312c c ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，3115,22c b c ∴=+=. 故答案为:152.【点睛】本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.三、解答题15．已知函数()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()2a c cosB bcosC -=，求2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. 【答案】(1)π;(2)2⎛⎝ 【解析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简()fx 2(6)x π=+，即可求出周期；（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出3B π=，求出A的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】(1)由()226f x cos x sin x π⎛⎪⎭+⎫⎝=-22266cos xcossin xsinsin x ππ=++32222sin x x =+2(6)x π=+，则()f x 的最小正周期2T ππω==;(2)由正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== 则2,2,2a RsinA b RsinB c RsinC ===， 由()2a c cosB bcosC -=，则()2sinA sinC cosB sinBcosC -=，则()2sinAcosB sin B C =+， 由()() 0sin B C sin A sinA π+=-=>， 所以12cosB =， 由0B π<<，则3B π=22266A A f A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由203A π<<，则5666A πππ<+<，所以1126sin A π⎛⎫ ⎪⎝⎭<+≤(6)A π<+≤所以2A f ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭⎝. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.16．甲､乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人.随机播放一首歌曲， 参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分， 假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为211,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望; (3)求两队得分之和大于4的概率. 【答案】(1)25;(2)分布列见解析，()2E ξ=;(3)48243【解析】（1）用求组合数的方法，求出从6人中抽取2人的抽法个数，再求出2人来自同一组的抽法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解； （2）甲队中每人答对的概率均为23，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分ξ服从二项分布，23,3~B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出分布列和期望； （3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5分包括甲队2分乙队3分和甲队3分乙队2分，总分和为6分甲乙各3分.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果. 【详解】(1)6个选手中抽取两名选手共有2615C =种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:2326C =种结果用A 表示事件:“从两队的6个选手中抽取两名选手， 求抽到的两名选手在同一个队.”()62155P A == 故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范， 抽到的两名选手在同一个队的概率为25(2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭()303110327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()21321613327P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()223211223327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()333283327P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭ξ∴的分布列为:ξ123P1272949827ξ的数学期望12480123227992)7(E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)用B 表示事件:“两队得分之和大于4”， 包括:两队得分之和为5，两队得分之和为6， 用1A 表示事件:“两队得分之和为5”， 包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.()3121212121113332323323P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4211409323243⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭用2A 表示事件:“两队得分之和为6”，甲队3分乙队3分，()32221183332243P A ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ ()()()1240848243243243P P A P A B =+=+=【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.17．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点.（1）求证：//FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为3π？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）4π（3）见解析 【解析】试题分析： 1? \*?GB2?=⑴建立平面直角坐标系，由11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()0,2,0DC =u u u v ，GF DC ⊥u u u v u u u v证得//FG 平面PED2?\*?GB2?=⑵建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；⑶假设存在点M ，由共线向量基本定理得到M 点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM 与直线PA 所成角为3π转化为两向量所成的角为3π，由两向量的夹角公式求出M 点的坐标，得到的M 点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论． 解析：（1）∵EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，∴PD ⊥平面ABCD ， ∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，又四边形ABCD 是正方形， ∴AD CD ⊥，故PD ，AD ，CD 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，∵22AD PD EA ===， ∴()0,0,0D ，()0,0,2P ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,1E ，∵F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点， ∴()1,1,1F ，12,1,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1H ， 11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，平面PED 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u v ，又∵11002002GF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u v u u u v ，∴GF DC ⊥u u u v u u u v，又∵FG ⊄平面PED ，∴//FG 平面PED .（2）11,0,2GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，12,0,2GH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，设()1111,,n x y z =u v为平面FGH 的一个法向量，则1100n GF n GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取11y =，得()10,1,0n =u v ，()2,2,2PB =-u u u v ，()0,2,2PC =-u u u v，设()2222,,n x y z u u v =为平面PBC 的一个法向量，则220n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ， 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取21z =得()20,1,1n u u v =，∴12cos ,n n = 12122n n n n ⋅=⋅u v u u v u v u u v ，∴平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. （3）假设在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π， 设PM PC λ=u u u u v u u u v，其中01λ≤≤，由()0,2,2PC =-u u u v ，则()0,2,2PM λλ=-u u u u v ， 又∵FM FP PM =+u u u u v u u u v u u u u v ，()1,1,1FP =--u u uv ，∴()1,21,12FM λλ=---u u u u v ， ∵直线FM 与直线PA 所成角为3π，()2,0,2PA u uu v =-，∴1cos ,2FM PA =u u u u v u u u v ，即()222412221221λλ--+=⋅+-，解得58λ=， ∴550,,44PM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u v ，524PM =u u u u v ，∴在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为3π，此时4PM =. 18．已知数列{}n a 中，11a =，且()2212121,3kk k k k k a a a a -+=+-=+，其中*k N ∈. (1)求234,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 通项公式; (3)求数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】(1)20a =，33a =，44a =;(2)()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数）;(3)+1233222n n S n =-- 【解析】（1）用1k =代入递推公式分别求出23,a a ，再将2k =，代入前一个递推公式，求出4a ；（2）由递推公式可得()212113kk k k a a +-=+-+，用累加法求出奇数项的通项公式，再由递推关系，求出偶数项的通项公式，即可求解；（3）根据通项公式将前2n 项和分成奇数项和与偶数项分别求和，转化为求等比数列和常数列的和. 【详解】(1)211110a a =-=-=,323033,a a =+=+=431314;a a =+=+= (2)()21221313,kk k k k k a a a +-=+=+-+ 所以()212113kk k k a a +--=-+， 所以()131113a a -=-+，()225313a a -=-+，·······()212113kk k k a a +--=-+累加，得()()()121221111...1)33.(..3k kk a a +=+-+-++-+++⎦+⎡⎤⎣()()()()11131311113kk ⎡⎤-⋅--⋅-⎣⎦=++---()11133122kk +---=++()13112kk ++-=-令21k n +=，则12n k -=，112n k ++=所以()212113112(n n n a n -+⎡⎤⎢-⎥⎦=-⎣+为奇数)()()12213131313122k kk k k kk k a a +++-+-=-=--=-令2k n =，则2n k =所以()22(13121,nn n a n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+-为偶数);所以()()1122221311,(21311,(2n n n n n n a n +-⎧⎡⎤+--⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+--⎢⎥⎪⎣⎦⎩为奇数）为偶数） (3)1321n a a a -++⋅⋅⋅+()()()113121111312112222221133311122n n n ++-+----⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()021111133112231n n n -⎡⎤=+++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-+-⎣⋅+-⎦⋅⋅ ()()()()12121133112312nn n ⎡⎤=++--+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦()()()2422422222222421133311122n n n a a a n⎛⎫⎡⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()12121133311122n nn ⎡⎤=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⎣⎦ 所以()+11223133333 (322213)22n n nnSn n n ⋅-=+++-=-=---【点睛】本题考查求数列的通项公式，关键要寻找项之间的关系，考查用分组求和等价转化为求等比数列的和，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在平面直角坐标系0x y 中，已知椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的离心率3e =，12,A A分别是椭圆E 的左､右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q .(1)求直线OP 的方程; (2)求1PQ QA 的值;(3)设a 为常数，过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记三角形OBC 和三角OMN 的面积分别为12,S S .求12S S ⋅的最大值.【答案】(1)3y x =;(2)34;(3)45a 【解析】（1）连接2A P ，根据已知条件由21A P A P ⊥，212|||||A P OA OA a ===，可得||OP a =，从而有2OA P ∆为等边三角形，可得出直线OP 倾斜角为3π，即可求解； （2）由32e =，椭圆方程化为222241x y a a +=，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，求出P 点坐标，进而求出直线1A P 方程，与椭圆方程联立，求出点Q 坐标，即可求解； （3）设OM 的方程为()0y kx k =>，与椭圆方程联立求出B 点坐标，进而求出||OB ，同理求出||,||,||OC OM ON ，求出12S S ⋅以k 为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值. 【详解】(1)连接2A P ，则21A P A P ⊥，且2||A P a =，又12||2A A a =，所以1260A A P ∠=o.又22||||A P A O =，所以2OPA V 为正三角形，所以260POA ∠=o，所以直线OP的方程为y =.(2)由(1)知，由（1）知2||,3OP a POA π=∠=，P点坐标为(,)22a ，1(,0)A a -， 1A P的方程为)3y x a =+，因为e =c a =所以222231,44c a b a ==， 故椭圆E 的方程为222241x y a a+=由()2222341y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22780x ax a ++=， x a =-或7a x =-，7Q ax ∴=- 所以()1||327||47a a PQ a QA a⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--- (3)不妨设OM 的方程为()0y kx k =>，联立方程组222241y kx x y aa =⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(14),k x a x +==0,k B >在第一象限，得B ⎛⎫所以||OB =用1k -代替上面的k，得||OC =圆2A 方程为2220x y ax +-=，联立2220y kx x y ax =⎧⎨+-=⎩整理得22(1)20k x ax +-=， 0x =或221a k +，得2222(,)11a ak M k k ++，所以||OM = 用1k -代替上面的k，得||ON = 所以4121||||||||4S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=15=≤当且仅当1k =时等号成立，所以12,S S 的最大值为45a . 【点睛】本题考椭圆的性质应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的性质，考查计算能力和综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于较难题.20．已知函数f （x ）＝（x ＋b ）（x e －a ），（b ＞0），在（－1，f （－1））处的切线方程为（e －1）x ＋ey ＋e －1＝0． （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程f （x ）＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 2－x 1≤1＋(12)1m e e－－．【答案】（Ⅰ）1a =，1b =（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意利用导函数研究函数的切线方程，得到关于a ,b 的方程组，求解方程组并检验可得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-，则()f x 在(-1，0)处的切线方程为()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()()F x f x h x =-，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.【详解】 （Ⅰ）由题意()10f -=，所以()()1110f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以()111b f a e e-=-=-+'， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾， 故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， ()()00,10f f =-=， 设在(-1，0)处的切线方程为，易得，()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令()()()F x f x h x =-即()()()()11111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()()12x F x x e e'=+-， 当2x ≤-时，()()1120xF x x e e e=+-<-<'， 当2x >-时，设()()()12x G x F x x e e =+'=-， ()()30x G x x e =+>'， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故.()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为'1x ，则'111me x e =-+-又函数()h x 单调递减， 故()()()'111h x f x h x =≥，故'11x x ≤， 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e =+-'， 当2x ≤-时，()()2220xT x x e =+-<-<'，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，，()()22f x t x ≥设()t x m =的根为'2x ，则'2x m =又函数()t x 单调递增，故()()()'222t x f x t x =≥，故'22x x ≥， 又'11x x ≤，()''2121121111m e me x x x x m e e -⎛⎫-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
南开中学高2011级10-11学年(下)3月月考——数学文
南开中学高2011级高三月考试卷（3月）数 学（文科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上．3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回．一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡 1．已知集合},5,4,3,2,1{=M },6,5,4{=N 则集合MN 中的元素的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42．给定空间中的直线l 及平面a ，条件“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”是“直线l 与a 平面垂直”的( )条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要3．以抛物线x y 42=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )22A.20x y x +-= 22B.0x y x ++= 22C.0x y x +-= 22D.20x y x ++=4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．42 5．已知a ,b 为正实数，且,12=+b a 则ba 11+的最小值为() B.6C.3+D.3-b ．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数)62sin(π+=x y 的图像( )A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位7．若函数812 (,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则使01()4f x >的0x 的取值范围为 （ ）A ．(,1](3,)-∞+∞B ．(,2](4,)-∞+∞C ．(,2)(3,)-∞+∞ D ．(,3)(4,)-∞+∞8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2),(1)()0f x f x x f x '=--<，设(0)a f =，1()2b f = ，(3)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 9．函数,,)(3R x x x x f ∈+=当02≤<-θπ时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(0,1) 1B.(,)2-∞ C.(,0)-∞ D.(,1]-∞10．如图所示，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形O AB PA ,2==为四棱锥ABCD P -内一点，,1=AO若DO 与平面PBC 成角中最大角为α，则α= ( )A.15B.30C.45D.60第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ（只填结果，不要过程）．11．已知向量(1,),(1,),a n b n ==-若,a b ⊥则||_______a =⋅12．在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=，则5678a a a a +++= ； 13．在锐角MBC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若5sin ,2b a B =则cos _______A =⋅14．在体积43π的球的表面上有,,A B C 三点，1,2,,AB BC A C ==两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为 ； 15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为,,21F F 着在双曲线的右支上存在一点P ，使得|,|3||21PF PF =则双曲线的离心率e 的取值范围为_____.三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本小题13分）已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求sin cos θθ的值； （2）求函数()f x 的单调区间．17．（本小题13分）己知21(1,),(1,)a x m b m x=-+=+，当0m >时，求使不等式0a b >成立的x 的取值范围．18．（本小题13分）如图所示， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60,2,ABC PA AB N ∠===为PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ． （2）求二面角B AN C --的正切值．19．（本小题12分）已知1x =为函数32()1f x x x ax =--+的一个极值点． （1）求a 及函数)(x f 的单调区间；（2）若对于任意2[1,2],[1,2],)22x t fx t mt ∈-∈≥-+恒成立，求m 取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，且过点，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值； （3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(0)OPOMλλ=>，求点M 的轨迹方程．21．（本小题12分）已知数列}{n a 的前以项和为,n S 且对于任意的*,N n ∈恒有2,n n S a n =-设⋅+=)1(log 2n n a b(1)求证：数列}1{+n a 是等比数列； (2)求数列}{},{n n b a 的通项公式n a 和;n b(3)若12,nb n n nc a a +=证明：1243n c c c +++<⋅重庆南开中学高2011级高三月考（3月）数学参考答案 （文科）一、选择题：BCADC BCADB 二、填空题：11．2 12．12 55.13 23.14 ]2,1(15⋅ 三、解答题：16．解：(1)1cos 2()sin 2coscos 2sin662xf x x x ππ+=-+1222x =+ ………………………………………………5分由,1)(=θf 可得sin 23θ=所以1sin cos sin 262θθθ==. …………9分(2)当222,,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈即[,],44x k k k Z ππππ∈-++∈时，)(x f 单调递增．所以，函数)(x f 的单调增区间是[,],.44k k k Z ππππ-++∈ (13)分17．解：22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--=-++==> ………………4分∴当0<m <l 时，(0,)(1,)x m ∈+∞；…………………………7分当m =l 时，(0,1)(1,)x ∈+∞； ………………………………10分当m >l 时，(0,1)(,)x m ∈+∞⋅ ………………………………13分18．解：(1) ABCD BD AC PA ABCD BD PA BD PAC BD ABCD PA AC A ⇒⊥⎫⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎭是菱形平面平面平面 ………5分(2)由(l)可知，BO ⊥平面P AC ，故在平面P AC 内，作OM ⊥A ， 连结BM （如图），则∠BMO 为二面角B AN C --的平 面角．在Rt BMO ∆中，易知22,3==OM AO tan 6,BMO ∴∠=即二面角B AN C --的正切值为 6. ………………13分19．解：(1)2()32,f x x x a '=-- ……………………………………2分由(1)0f '=得：1,a = (3)分()(31)(1),f x x x '∴=+- ………………………………………4分1()(,)(1,)3f x ∴-∞-+∞在和上增函数，)(x f 在1(,1)3-上减函数 (6)分(2)(1,2)x ∈-时，)(x f 最小值为0 ………………………………8分2220t mt ∴-+≤对]2,1[∈t 恒成立，分离参数得：tt m 12+≥易知：]2,1[∈t 时,2312≤+t t 23≥∴m ………………………12分 20．解：(1)由题意可得,2=b …………………………………………………………1分又3,3c e a==即2223,,a c a b c ==+得,1,3==c a ……………2分 所以椭圆方程为.12322=+y x ………………………………………………3分(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =即22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x --====---- 12k k ∴的值为2.3- ………………………………………………8分(3)设(,)M x y ，其中[x ∈由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中[x ∈ ………………12分21．解: (1)当n =l 时，1121,S a =-得1 1.2,n n a s a n ==-∴当2n ≥时，112(1),n n S a n --=--两式相减得：1221,n n n a a a -=--12 1.n n a a -∴=+111222(1),n n n a a a --∴+=+=+{1}n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．……………………4分(2)由(1)得11222,n n n a +==-*21,.n n a n N ∴=-∈*22log (1)log 2,.n n n b a n n N ∴=+==∈……………………………………8分1111222(3),,n n n n n n n C c a a a a +++-+==由{}n a 为正项数列，所以{}n c 也为正项数列，从而122222(21)2(21)1,21242n n n n n n n n c a c a ++++--==<=--所以数列{}n c 递减， 所以21121111111()()222n n c c c c c c c -+++<++++111()421312nc -=<⋅- ………12分另证：由11211,(21)(21)2121n n nn n n c ++==----- 所以12n c c c +++12231111111()()212121212121n n +=-+-++-------。
南开中学高三理科3月考试题.docx
重庆南开中学高2016级（下）3月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A= {1,2,345},集合B={xk （4 — x ）＜°}，则图中阴影部分表示（） A. {1,234} B. {1,2,3} C. {4,5}D. {1,4} 22. 等比数列{a"}满足a 3-a 7,贝ijcosa 5 =()1 B.一 2A.1 C. ±- 23. 设z •为虚数单位且Z 的共辗复数是Z,若z + z=4,Z • Z=8,则Z 的虚部为（）A. ±2B. ±2zC. 2D. -24.现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如 图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种 数为（） A. 27B. 54C. 108D. 1445. 执行右图所示的程序框图，输出的x 值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 在AABC 中AC=6, AC 的垂直平分线交AB 边所在直线于N 点, 则痛•应的值为（） A. -6A /3 B. -15A /^" C. -9D. -187. 某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中 最大|洞蜒|幡|瀚c. 2V2 D. 2>/6俯视图D.2的最大值为.在AA3C 中，AB=AC, E 为AC 边上的点，且AC=3AE, 最大值为•8.已知圆C ： x 2 + y 2 =1,在线段A3： x-y + 2 = 0(-2<x<3)±任取一点M ,过点M 作圆C 的切线，则“点M 与切点的距离不大于3”的概率P%().1 3 2 A ・一 B. — C.—3 5 34D.—59.如图，将绘有函数/(%) = 2sin((ZK + (pi a )>0,<(p<7i j 部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角,若A3之间的空间距离为而，则f(—1) = () A. — 2 B. 2 C. - V3 D. V310.直三棱柱ABC-A l B,C l 的各顶点均在同一个球面上, 则此球的表面积为() 11. A. 20“B. 16/r广 v 2已知双曲线C ：。
天津市高三数学上学期第三次月考试题 理(含解析)新人教A版
天津一中2012—2013学年高三数学三月考试卷(理科)一、选择题：1．复数2i2i -=+ A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-,选A. 2．“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0m =，两直线方程为1y =和1x =-，此时两直线垂直。
若12m =，两直线方程为2x =-和13302x y ++=，此时两直线相交。
当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为11212m y x m m =+--和33y x m m =--，两直线的斜率为12m m -和3m-。
若两直线垂直，则有3()112m m m⨯-=--，解得1m =-，所以直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直时的条件为1m =-或0m =。
所以1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直的充分不必要条件，选A.3．执行右图所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．-1B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】第一次循环，21,224S i ==-=-;第二次循环，22,32(1)3S i ===--;第三次循环，23,42223S i ===-;第四次循环，24,5322S i ===-;所以该循环是周期为4的周期循环，所以当9i =时，和第四次循环的结果相同，所以4S =.选D. 4．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1( 【答案】C【解析】因为2(1)21log 110f =-+=>，2011()21log 10222f =⨯-+=-<，所以根据根的存在性定理可知函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的区间为1(,1)2，选C.5．91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是A ．36-B ．36C ．84-D ．84【答案】C【解析】展开式的通项公式为93921991()(1)kkkk k kk T C C x x --+=-=-，令9302k -=得3k =。
天津市南开中学高三数学下学期第三次月考试卷 理(含解析)
2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 3002．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①④D．②④3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D． 26．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x2=y B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n= ．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•= ．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）= ．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B． 240 C． 276 D． 300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．解答：解：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真命题；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．3．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．5．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D． 2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=c﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即c﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==+1故选：C．点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．6．已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍．若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A． x2=y B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：∵双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，即=4，∴，双曲线的一条渐近线方程为：．抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，∴2=，∵，∴p=8．∴抛物线C2的方程为x2=16y．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．7．抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．8．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．二、填空题：（每小题0分，共30分．）015春•天津校级月考）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1（n∈N*），且a1=1，则通项公式a n= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a n+1=S n+1﹣S n，可得该数列从第2项起的公比为，进而可得结论．解答：解：∵S n=2a n+1（n∈N*），∴S n+1=2a n+2，两式相减得：a n+1=2a n+2﹣2a n+1，整理得：=，又∵a1=1，∴a1+a2=2a2，即a2=，∴，故答案为：．点评：本题考查求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．1015春•天津校级月考）圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5 ．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由条件求得圆心的坐标为C（﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C的方程．解答：解析：直线AB的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C（﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=，∴圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x+3）2+（y﹣2）2=5点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．1015春•天津校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则•= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，用与作基底表示要求的向量，由数量积的运算可得．解答：解：由题意可得||=||=2，且与的夹角∠BAD=60°，由向量的运算可得=+=+，=﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣﹣=22﹣×2×2×﹣×22=1故答案为：1点评：本题考查平面向量的数量积，涉及平面向量基本定理，属基础题．1015春•天津校级月考）已知cos（x﹣）=﹣，则cosx+cos（x﹣）= ﹣1 ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由和差角的三角函数公式可得cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cos（x﹣），代入已知数据可得．解答：解：∵cos（x﹣）=﹣，∴cosx+cos（x﹣）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x﹣）=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．1015春•天津校级月考）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点，则实数c的取值范围是（﹣2，2）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，根据根的存在性定理知，只需使函数f（x）的极大值与极小值符号相反即可．解答：解：令f′（x）=3x2﹣3=0解得，x=1或x=﹣1，∵函数f（x）=x3﹣3x+c的图象与x轴恰好有三个不同的公共点，∴f（1）f（﹣1）＜0，即（c﹣2）（c+2）＜0，则﹣2＜c＜2，故答案为：（﹣2，2）．点评：本题考查了函数的图象与性质，利用导数求极值及根的存在性定理．1015春•天津校级月考）点F是椭圆E：的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为，则直线l的斜率是．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的a，b，c，求得F的坐标，设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，运用韦达定理，由△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方，化简整理，解方程即可得到m，进而得到直线l的斜率．解答：解：椭圆E：的a=5，b=3，c=4，则F（﹣4，0），设直线AB：x=my﹣4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=，y1y2=，则|y1﹣y2|2=（y1+y2）2﹣4y1y2=（）2﹣4•=，则△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=，两边平方可得，16•=81，解得m=，即有直线l的斜率为，故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：（15-18每小题0分，19-20每小题0分，共80分．）1015春•天津校级月考）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（Ⅱ）X的取值可能是2，3，4，5，分别分别求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的取值为2，3，4，5．=，=，=，=．所以X的分布列为X 2 3 4 5PX的数学期望EX=2×+3×+4×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查计算能力．1013•铁岭模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求2sin2A+cos（A﹣C）的范围．考点：正弦定理；等差数列；三角函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos（A﹣C）的范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，即：sin（A+C）=sinB，∴sinB=2sinBcosB，又在△ABC中，sinB≠0，∴，∵0＜B＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴∴==，∵，∴∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案．1014•东莞二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．解答：证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…（2分）且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…（6分）又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（9分）（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．1014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．解答：解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．1014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，∴a n=．（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）•（）n+1=，∴T n=3﹣．∴T n﹣=3﹣=，∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．①当n=3时，23＞2×3+1，成立②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，∴，①当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，再利用及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．把y1，y2分别用x1，x2表示，在代入直线BE的方程即可得出；（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．解答：（1）解：由抛物线x2=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，解得，∴椭圆的方程为．（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），联立，消去y得到（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0 ①设点A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1）．直线BE的方程为．令y=0，则，把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式并整理得．②由①得，，将其代入②并整理得．∴直线BE与x轴相交于定点M（﹣1，0）．（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x3，y3），T（x4，y4）在椭圆C上，联立得（4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0，则△=（8m2）2﹣4（4m2+3）（4m2﹣12）=144（m2+1）＞0．∴，，∴=m2（x3x4+x3+x4+1）=﹣．∴=x3x4+y3y4==﹣．由m2≥0得．当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=﹣1，，，此时，，∴•的取值范围为．点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．。
天津市高三数学第三次月考试题 理 新人教A版
天津市新华中学2013届高三第三次月考数学试题 理一、选择题：(本大题共8小题，每小题6分，共48分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x2. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 7B. -5C. 4D. -73. 如图，E 、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4. 设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为( ) A. 16 B. 13 C. 35 D. 565. 设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( ) A. βαβα⊥⊥,//,b a B. βαβα//,,⊥⊥b a C. βαβα//,,⊥⊂b a D. βαβα⊥⊂,//,b a6. 若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-27. 已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 32 B. 53 C. 256D. 不存在8. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A. 26B. 36C. 23D. 22二、填空题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分.)把答案填在题中横线上.9. 已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.10. 已知向量,a b r r 夹角为45︒，且 1,210a a b =-=r r r ；则b =r ___ ___. 11. 若1111335(21)(21)S n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯-+，则S = . 12. 设数列{a n }满足132nn n a a +=+，(n ∈N ﹡)，且11a =，则数列{a n }的通项公式为 .13. 在数列{a n }中，(1)()8nn a n =+，则数列{a n }中的最大项是第 项。
天津市高三数学第三次月考 理 新人教A版
（理科）一、选择题：(本大题共8小题，每小题6分，共48分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x【答案】D【解析】直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.2. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 7B. -5C. 4D. -7【答案】B【解析】由2z x y =-得，2y x z =-，做直线2y x =，平移直线2y x z =-，由图象 可知当直线2y x z =-经过点B 时，直线的截距最大，此时2z x y =-最小，由23x y y +=⎧⎨=⎩得，13x y =-⎧⎨=⎩，代入2z x y =-得最小值2235z x y =-=--=-，所以选B.3. 如图，E 、F 分别是三棱锥P-ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】,取AC 的中点M,连结EM,MF ，因为E,F 是中点，所以16//,322MF AB MF AB ===,110//,522ME PC ME PC ===,所以MF 与ME 所成的角即为AB 与PC 所成的角。
在三角形MEF 中，222537151cos 253302EMF +--===-⨯⨯，所以120EMF ∠=,所以直线AB 与PC 所成的角为为60，选B.4. 设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为( ) A. 16 B. 13 C. 35 D. 56【答案】D【解析】由5283()S a a =+得，1555()322a a a +=⨯，即3556a a =，所以5356a a =，选D.5. 设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 ( ) A. βαβα⊥⊥,//,b a B. βαβα//,,⊥⊥b a C. βαβα//,,⊥⊂b a D. βαβα⊥⊂,//,b a【答案】C【解析】若b β⊥，//αβ，所以b α⊥，又a α⊂，所以b a ⊥，即a b ⊥，所以选C. 6. 若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ） A. 1 B. 1或2C. -2D. 1或-2【答案】A【解析】直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。
天津市南开区高三数学(理)第三次月考
天津市南开区高三数学（理）第三次月考第一卷（50分）一. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知M={y|y = x 2 ， x ∈R} N={y|x 2+y 2=2} 则M ⋂N=（ ）A. {（1，1）（-1，1）}B. {1}C. [0，1]D. [0，2] 2. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有（ ）A.)1()43(2+->-a a f fB. )1()43(2+-≥-a a f fC. )1()43(2+-<-a a f fD.23()(1)4f f a a -≤-+3. 已知函数()21x f x =+的反函数为1()f x -，则1()0f x -<的解集为（ ）A. (,2)-∞B. （1，2）C. (2,)∞D. (,1)-∞4. 如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是（ ）A. 2131)1()1(a a ->-B. log （1－a ）（1+a ）>0C. （1－a ）3>（1+a ）2D.（1－a ）1+a>15. 一个等差数列的项数为奇数，所有奇数项的和为72，所有偶数项的和为66，则这个等差数列共有（ ）A. 11项B. 21项C. 23项D. 25项6. 已知Rt△ABC 中，∠C=900，∠A， ∠B， ∠C 所对的边分别是a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等差数列，求tanA+tanB 的值（ ）A. 2512B. 43C. 137D. 27. 已知函数,0),35sin()(≠+=k kx x f 其中π使得自变量x 在任意两个整数之间（包括正整数本身）变化时，函数)(x f 至少有一个最大值和一个最小最小值。
则最小自然数k为 （ ）A. 15B. 16C. 31D. 32 8. 若－2<a <7，1<b <2，则ab的取值范围是（ ） A. （－1，7） B.（－2，7） C.（－7，1） D.（－7，2）9. 在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下： （1）对任意a ，b 有()()1a b a b b *=+- （2）对任意实数a 有2a a a *=*当2x =时，()2321x x *⎡⎤*-*+⎣⎦的值为（ ）A. 18B. 16C. 12D. 6 10. 已知奇函数()f x 满足：()(2)f x f x =-，且当x ∈（0，1）时，()21x f x =-，则12(log 35)f 的值为（ ）A. －3529B. －1916C. －2935D. 以上答案均不对第二卷（共100分）二. 填空题（本大题共6小题，每小题4分）11. ()(,),{()}n n f n i i i n Z f n -=+∈为虚数单位则集合元素个数为________。
天津市高三数学第三次月考试题 理(含解析)新人教A版
天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数=++-ii i 111 A. i -B.C. i -1D. i +1【答案】D 【解析】2211(1)1221(1)(1)12ii i i i i i i i i i i ++-++-++====+-+-,选D. 2. 条件甲：⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ；条件乙：⎩⎨⎧<<<<3210y x ，则甲是乙的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当⎩⎨⎧<<<<3210y x 能得到⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但当⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 时，不妨取21x y ==，满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ，但⎩⎨⎧<<<<3210y x 不满足，所以甲是乙的必要而不充分条件 选C.3. 设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】由y x z +=得y x z =-+.做出不等式对应的平面区域阴影部分，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点C (2,0)时，直线的截距最小，此时z 最小，为202z x y =+=+=，无最大值，选B.4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】第一次循环为00,021,1S S k ==+==;第二次循环为11,123,2S S k ==+==;第三次循环为33,3211,3S S k ==+==;第四次循环为1111,112100,4S S k ==+>=;第五次循环，不满足条件，输出4k =.选A.5. 已知等比数列{a n }的首项为1，若1234,2,a a a 成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为 A.1631B. 2C.1633 D.3316 【答案】A【解析】因为1234,2,a a a 成等差数列，所以13244a a a +=，即211144a a q a q +=，所以2440q q -+=，即2(2)02q q -==，，所以1112n n n a a q --==，所以111()2n n a -=，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和55511(1())13122[1()]121612S -==-=-，选A. 6. 将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 A.8πB.83π C.43π D.2π【答案】B【解析】函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位得到2sin[2()]2sin(22)44y x x ππϕϕ=-+=+-，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍得到2sin(42)4y x πϕ=+-，此时 关于直线4π=x 对，即当4π=x 时，4242,4442x k k Zππππϕϕπ+-=⨯+-=+∈，所以324k πϕπ=+，3,82k k Z ππϕ=+∈，所以当0k =时，ϕ的最小正值为38πϕ=，选B. 7. 设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点，点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C -=1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C.25D. 5【答案】D【解析】由题意知(,0)2p F ，不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，由22b y x a y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥，所以2A p x =，即2222pa p x b ==，解得224b a =，即22224b a c a ==-，所以225c a =，即25e =，所以离心率e = D.8. 若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】C【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=---=-+, 若P 、Q 关于原点对称，可知，函数为奇函数，可有2()4()f x x x f x -=-+=-，即2()4,(0)f x x x x =->，则函数24,(0)y x x x =--≤的图象关于原点对称的函数是2()4,(0)f x x x x =->,由题意知，作出函数2()4,(0)f x x x x =->的图象，看它与函数2()log ,(0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．由图象可知它们的图象交点个数为2个，所以此函数的“友好点对”有2对，选C.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______； 【答案】18【解析】由题意知，中年职工和老年职工共有270人，则老年职工人数为90人.则抽出老年职工人数为x ，则3290160x =，解得18x =. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________；【答案】8011. 若⊙1与⊙2相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是____________________； 【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ，所以452052=⋅⋅=AB . 12. 已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为________________； 【答案】215-【解析】函数的导数为2'()32f x x bx c =++，因为函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，所以2'()320f x x bx c =++≤在[1,2]-上横成立.则有'(1)0'(2)0f f -≤⎧⎨≤⎩，即3201240b c b c -+≤⎧⎨++≤⎩，设z b c =+，则c b z =-+.做出不等式对应的平面区域BCD,如图，平移直线c b z =-+，由图象平移可知当直线c b z =-+经过点B 时，直线c b z =-+的截距最大，此时z 最大.由3201240b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得326b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即3(,6)2B --，代入z b c =+得315(6)22z =-+-=-，即b c +的最大值为215-.13. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ，则⋅=_______；【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.14. 设{a n }是等比数列，公比2=q ，S n 为{a n }的前n 项和.记1217+-=n nn n a S S T ，*N n ∈，设0n T 为数列{T n }的最大项，则n 0=__________； 【答案】4【解析】设首项为1a，则n S =，2n S =11n n a a +=，所以1217+-=n nn n a S ST =2(2)17(n -=[(2)17](n =+-，因为8n≥=，当且仅当n =，即4n=，4n =时取等号，此时[(2)17](817)(n n T =+-≤-=有最大值，所以04n =.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数)(1cos 2)62sin()(2R x x x x f ∈-+-=π（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知21)(=A f ，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值.16. （本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51. （1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，︒90=ABC ∠，AB=PB=PC=BC=2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD.（1）求证：AB ⊥平面PBC ；（2）求平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小； （3）在棱PB 上是否存在点M 使得CM//平面PAD ？若存在，求PBPM的值；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）如图F 1、F 2为椭圆1:2222=+by a x C 的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率23=e ，2312-=∆DEF S .若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B 两点的“椭点”分别为P 、Q.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点F 1的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知函数x x ppx x f ln )(--=，)21(ln )(22p e e x p x x g -+-=，其中无理数e=2.71828….（1）若p=0，求证：x x f -≥1)(；（2）若)(x f 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p ，是否存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立？若存在，求出符合条件的一个x 0；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=.（1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.数学发展性试题（理科）：（15分）1. 若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为（ ）A. 13-B. 13+C. 232+D. 232-2. 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i ⋯（n 是不小于3的正整数），若对任意的p ，},,3,2,1{n q ⋯∈，当q p <时有q p i i >，则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2.若数组),,,,(321n i i i i ⋯的逆序数为n ，则数组),,,(11i i i n n ⋯-的逆序数为_________；3. 定义在)1,1(-上的函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时0)(>x f .若)0(,21,11151f R f Q f f P =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=，则P,Q,R 的大小关系为_____________.【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBA ABDC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 18 10. 8011. 4 12. 215-13. 18 14. 4三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15. 解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π)62sin(2cos 212sin 23π+=+=x x x 令)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ )(x f 的单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）由21)(=A f ，得21)62sin(=+πA ∵62626ππππ+<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A 由b,a,c 成等差数列得2a=b+c∵9=⋅AC AB ，∴9cos =A bc ，∴18=bc由余弦定理，得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= ∴183422⨯-=a a ，∴23=a16. 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为614132=⨯ 丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=-， 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯ （2）ξ可能取的值为0,3,6.41)411)(321()0(=--==ξP127)321(41)411(32)3(=-+-==ξP 614132)6(=⨯==ξP 所以ξ的分布列为ξ0 3 6P41 127 61 E ξ=4116161273410=⨯+⨯+⨯17. 解：（1）证明：因为o 90=∠ABC ，所以AB ⊥BC因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC. （2）如图，取BC 的中点O ，连接PO ，因为PB=PC ，所以PO ⊥BC.因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ，因为平面PBC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD 得，)0,2,1(),0,1,1(),3,0,0(A D P -.所以)0,1,2(),3,1,1(=-=DA DP ， 设平面PAD 的法向量为),,(z y x =.因为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DA m ，所以⎩⎨⎧=+=+-0203y x z y x令1-=x ，则3,2==z y .所以)3,2,1(-=m .取平面BCP 的一个法向量)0,1,0(=， 所以22,cos =>=<n m 所以平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小为4π （3）在棱PB 上存在点M 使得CM//平面PAD ，此时21=PB PM .取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ，则MN//PA ，AN=21AB.因为AB=2CD ，所以AN=CD ，因为AB//CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以CN//AD.因为MN ∩CN=N ，PA ∩AD=A ，所以平面MNC//平面PAD. 因为CM ⊂平面MNC ，所以CM//平面PAD. 18. 解：（1）由题意得23==a c e ，故ab ac 21,23==，231)231(412)23(21)(2122-=-⨯=⨯-=⨯-⨯=∆a a a a b c a S DEF ， 故42=a ，即a=2，所以b=1，c=3，故椭圆C 的标准方程为1422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ，不妨令)21,3(),21,3(---B A ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(),21,23(---Q P .而021≠=⋅. 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y ，消去y 得：041238)14(2222=-+++k x k x k设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y xQ y x P ，由根与系数的关系可得：14382221+-=+k k x x ，144122221+-=k k x x 若使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP ⊥OQ ， 而),2(),,2(2211y xOQ y x OP ==，因此0=⋅， 即042221212121=+=+⨯y y x x y y x x 即141222+-k k =0，解得22±=k所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y 19. 解：（1）证明：当p=0时，x x f ln )(-=.令)0(1ln )(>+-=x x x x m ，则xxx x m -=-='111)( 若10<<x ，则0)(>'x m ，)(x m 在区间)1,0(上单调递增； 若1>x ，则0)(<'x m ，)(x m 在区间),1(+∞上单调递减. 易知，当x=1时，)(x m 取得极大值，也是最大值.于是0)1()(=≤m x m ，即01ln ≤+-x x ，即x x -≥-1ln 故若p=0，有x x f -≥1)(（2）2221)(xp x px x x p p x f +-=-+='，令)0()(2>+-=x p x px x h ①当p=0，01)(<-='xx f ，则)(x f 在),0(+∞上单调递减，故当p=0时符合题意； ②若p>0，pp p p p x p p x px x h 4141)21()(22-≥-+-=+-= 则当041≥-p p ，即21≥p 时，0)(≥'x f 在x>0上恒成立，故当21≥p 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；③若p<0，p p p x p p x px x h 41)21()(22-+-=+-=的图像的对称轴为021<=px ，0)0(<=p h ，则0)(<'x f 在x>0上恒成立，故当p<0时，)(x f 在),0(+∞上单调递减.综上所述，),21[]0,(+∞-∞∈U p（3）令pxee x px x g xf x F 2ln 2)()()(2-+-=-=，则原问题等价于是否存在x 0>0使得0)(0≤x F 成立，故只需满足0)]([min ≤x F 即可.因为)2)(()2)((22)(2222p ex p e x xp px e px e px px e e x p x F ---=+--=---=' 而21,0<<>p x ，故02,0<->pep e ， 故当p e x <<0时，0)(<'x F ，则)(x F 在),0(p e 上单调递减；当pex >时，0)(>'x F ，则)(x F 在),(+∞pe上单调递增. 易知04ln 222ln 22)()(min >-+=-++-==p e e p e pe F x F 与上述要求的0)]([min ≤x F 相矛盾，故不存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立.20. 解：（1）在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=a 当2≥n 时，2)21(211+--=---n n n a S ，∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ， ∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴nn n a 2=. （2）由（1）得n n n n a n n c )21)(1(1+=+=，所以 n n n T )21)(1()21(4)21(321232++⋯+⨯+⨯+⨯= ①1432)21)(1()21(4)21(3)21(221+++⋯+⨯+⨯+⨯=n n n T ② 由①－②得132)21)(1()21()21()21(121++-+⋯+++=n n n n T1112323)21)(1(211])21(1[411++-+-=+---+=n n n n n∴nn n T 233+-= )12(2)122)(3(125233125+--+=+-+-=+-n n n n n n n n T n n n n 于是确定T n 与125+n n 的大小关系等价于比较n2与2n+1的大小 由⋯⨯<+⨯<+⨯<+⨯<+⨯<;522;1422;1322;1222;11225432可猜想当3≥n 时，122+>n n .证明如下： 证法1：①当n=3时，由上验算显示成立. ②假设n=k+1时1)1(2)12(1)1(224)12(22221++>-+++=+=+>=+k k k k k g k k所以当n=k+1时猜想也成立综合①②可知，对一切3≥n 的正整数，都有122+>n n . 证法2：当3≥n 时1222)11(21101210+>+=+++≥++⋯+++=+=--n n C C C C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n 综上所述，当n=1,2时125+<n n T n ，当3≥n 时125+>n nT n（3）∵n n nnn nn a n c 2)1(3)1(311⋅-+⋅-+=--λλ∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①当n=2k －1，k=1,2,3,……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴1<λ当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k=1,2,3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.数学发展性试题1. D2. 232nn - 3. Q R P >>。
2021届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题
(2)用 表示甲队的总得分，求随机变量 的分布列和数学期望;
(3)求两队得分之和大于4的概率.
17．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小；
B．横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度
6．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设 ， ， ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．C
【分析】
将 化为 根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解.
【详解】
将函数 的图象横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),
得到函数 的图像，再向左平移 个长度单位，
得到函数 .
故选:C.
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：函数 是偶函数，在上是增函数，所以在 上是减函数，
本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.
3．D
【分析】
根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出 ，即可求出结论.
【详解】
； ； ；
； ，输出6.
故选:D
【点睛】
本题考查循环结构运行结果，属于基础题.
4．C
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．