第02章-正弦交流电路(2)

设 u U m sinω t
u U m sinω t i R R
2U sinω t R
i
+ u _ R
① 频率相同 ②大小关系： I U R ③相位关系 ： u、i 同相

相量式：
I

I I 0o


相量图

U
U U 0 IR 0 I R
相量模型
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
U jX L I



I


U
di jX L jω L u L dt
1 jX C j ωC
U

I
C
du i C U jX C I dt

I

U
正误判断
问在电阻电路中：
瞬时值 有效值
U I R
？
U i R
？
u ？ i R
在电感电路中：
正误判断

i
+
u
L
可得相量式： I I 0

-
U U 90 Iω L 90
I j L I (jX L )
电感电路相量形式的欧姆定律


U


相量模型
相量图
I
2. 功率关系 (1) 瞬时功率
i 2 I sinω t u 2 I ω L sin ( ω t 90 )
2.3 单一参数的交流电路 2.3.1 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u iR 设 u U m sinω t
+ u _
i
R
u U m sinω t 2U i sinω t R R R I msin ω t 2 I sin ω t
U I ③相位关系 ：u、i 同相 ① 频率相同 ②大小关系： R
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
u i
i u ωt p
p ui
O
p
U m I m sin ω t
2
1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2 结论: p 0 （耗能元件）
O
ωt
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
UI sin2 ω t (2) 平均功率
p i u U m I m sinω t sin( ω t 90) Um Im U m I m sinω t cos ω t sin2 ω t 2 L是非耗
能元件
1 T P p dt T o 1 T UI sin (2ω t ) dt 0 T o
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角） 为 u、i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
Z Z R j X L X C
U Z R 2 ( X L X C )2 阻抗模： I X L XC ω L 1 / C arctan 阻抗角： ψu ψi arctan R R
i
+ u _ p R
1 P T


T
0
1 p dt T

T
0
u i dt
p
1 T1 U m I m (1 cos 2 ω t ) dt T 0 2
1 T
T 0
P
ωt
UI (1 cos2ω t )dt UI O
2
P UI I R
U R
2
单位:瓦（W）
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
定义：
I U ω C
或
1 U I ωC
1 1 XC 容抗（Ω ） U I X C ωC 2 π f C
直流： C X 交流：f
，电容C视为开路
XC
容抗XC是频率的函数
所以电容C具有隔直通交的作用
由： u
i
2Usinω t 2Uω C sin( ω t 90)

P Q
2
2
S PQ
P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。
阻抗三角形、电压三角形、功率三角形
将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 S
U U R (U L U C )
2 2

U R U cos U X U sin
Z R 2 ( X L X C )2
2.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i
+
C 设： 2 U sin ω t u du 则： i C 2 UC ω cos ω t ① 频率相同 dt 2 U ω C sin(ω t 90) ② I =UC
u _
I
u i u i
ωt
③电流超前电压90
90
有效值
求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
解： X L L 6.28
U m I m jX L (5 2 30) j 6.28 31.4 260(V ) u 31.4 2 sin(314 t 60)V PL 0W QL UI 5 31.4 157Var
p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u,i o i u
i u p + +
i u -
u
+
i
u
+
i
结论： 纯电容不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。 所以电容C是储 能元件。
+ p <0
o
+ p <0
p >0
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
Z
U


R
S P 2 Q2 P S cos Q S sin
X L XC U L U C

Q
R Z cos X Z sin
UR
P
例2.5
R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L= 127mH、C=40F，电源电压u=220 2 sin(314 t+45）V 求：1. 感抗、容抗及复阻抗;
i 2 I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 )
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q UI I X C
2
U XC
2
单位：var
单一参数电路中的基本关系
参数
阻抗
基本关系
相量式
相量图

R L
R
u iR

U IR
u i L
u i XL
？
U I L
？
？

U jL I
？
U

XL
？
I
2.4 电阻、电感与电容串联的交流电路
1.电压电流关系 根据KVL (1) 瞬时值表达式 i
+
uR – + uL u – + uc – –
+
R
设 i= I msin t
u= uR + uL + uC =Ri + L di + 1∫ idt dt C
可得相量式 则：

U U 0 I I 90 jUω C


1 U j I I ( j X C ) ωC

相量模型

I
电容电路中复数形式的欧姆定律 相量图

U
2.功率关系 由
i
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
+
u _ C
根据电压三角形可得：
Q UI sin
单位：var
电感和电容与电源 之间的能量互换
(4) 视在功率 S 电路中总电压与总电流有效值的乘积。
S UI Z I
2
单位：V· A
注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量， 可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。
S
所以:
P UI cos
因数，用来衡 量对电源的利 用程度。
根据电压三角形可得： Ucos =UR=RI

U

P UI cos U R I I R
2

UX

(3) 无功功率Q
电阻消耗的电能
2
UR
Q U L I U C I (U L U C ) I I ( X L X C )
UR
U U R (U L U C )
2
2
阻抗三角形
Z
由阻抗三角形：

R
X X L XC
R Z cos X Z sin
X L XC R ( X L X C ) , arctan R
2 2
Z
2.功率关系
(1) 瞬时功率 设：i I m sinω t
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即
p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
Q U I I XL U
2 2
XL
单位：var
练习题： 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 i 5 2sin(314 30)A的电流 t