数学2.2不等式的解法同步测试1沪教版高中一级第一学期

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2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 2

2.2 基本不等式(精练)【题组三基本不等式求最值】1．(2021·浙江高一期末)已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为( ) A ．8B ．10C ．9D ．62．(2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考)若0x >，则___________.3．(2021·广东珠海市·高一期末)已知x 、y R +∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.4．(2021·广东惠州市·高一期末)若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 5．(2021·广东湛江市·高一期末)已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 6．(2021·吉林长春市)已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____．7．(2021·全国高一课时练习)若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____．8．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)已知,x y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为__________． 9．(2021·上海高一期末)若a ､b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值是_________. 10．(2021·云南丽江市·高一期末)若1x >-，则31x x ++的最小值是___________. 11．(2021·江苏盐城市·盐城中学高一期末)若0,0,x y x y xy >>+=，则2x y +的最小值为___________.12．(2021·浙江高一期末)设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为_____． 13．(2021·上海交大附中高一开学考试)函数9424y x x=--，12x >的最小值为__________．14．(2021·吴县中学高一月考)已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.15．(2021·安徽滁州市·高一期末)已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________. 16．(2021·合肥一六八中学高一期末)若0mn >，143m n+=，则m n +的最小值为 17．(2021·江苏南通市·高一期末)已知正数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为 18．(2021·重庆市清华中学校高一期末)已知0x >，0y >，26x y +=，则21x y+的最小值为__________．19．(2021·全国高一课时练习)若1x >-，则22441x x x +++的最小值为20．(2021·浙江高一期末)已知正数,a b 满足2a b +=，则411a b a b +++的最大值是 21．(2020·泰州市第二中学高一月考)已知1a >，则23111-+-a a a 的最小值为___________.22．(2021·全国高一课时练习)函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______．【题组二利用基本不等式求参数】1．(2021·浙江高一期末)已知x 、y 为两个正实数，且11m x y x y≤++恒成立，则实数m 的取值范围是________．2．(2021·四川雅安市·雅安中学高一期中)已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 3．(2021·天津)若不等式11014m x x +-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为________. 4．(2021·上海市)已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______. 5．(2020·天津一中高一期中)若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是__.6．(2020·全国高一单元测试)若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____． 7．(2020·湖南高一月考)已知对任意(),0,x y ∈+∞，且23x y +=，11221t x y ≤+++恒成立，则t 的取值范围8．(2021·安徽宿州市)若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x++≥+-成立，则实数x 的取值范围是【题组三利用基本不等式比较大小】1．(2021·全国高二单元测试)若a >0，b >0与 2a b +的大小关系是_____.2．(2021·全国高一课时练习)已知a ，b 是不相等的正数，x =，y =x ，y 的大小关系是__________.3(2020·上海高一专题练习)若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,x y xy x y ++个是_______.4．(2020·福建省泰宁第一中学高一月考)若0a b <<，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例. (1)11a b b a +<+； (2)2211a a a a+≥+； (3)22a b a b b a+>+.5．(2021·全国高一课时练习)已知,a b ∈R ，求证：(1)2()4a b ab +；(2)()2222()a b a b ++．【题组四基本不等式的综合运用】1．(2021·滨海县八滩中学高一期末)(多选)设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为22．(2021·重庆市杨家坪中学高一月考)(多选)下列说法正确的是( ) A ．若2x >，则函数11y x x =+-的最小值为3 B ．若310,05x y x y>>+=，，则34x y +的最小值为5 C ．若0x >，则21x x +的最大值为12D ．若0,0,3x y x y xy >>++=，则xy 的最小值为13．(2021·东莞市光明中学高一开学考试)(多选)下列结论正确的是( ) A ．当0x >2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是924．(2021·福建龙岩市·高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且111a b+=，则( ) A ．114a b ≥+ B ．14411a b +≥-- C ．298b a b +<+ D ．114b a ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭>5．(2021·江苏宿迁市·高二期末)(多选)已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有( ) A ．14ab C ．2212a b +≥D1<6．(2021·全国高三专题练习)(多选)设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是( ) A ．221a b a b ++>+BC．211a b≤+D ．114a b a b+≤+ 7．(2021·江苏南通市·高一开学考试)(多选)若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式成立的是( )A 2≤B ．228a b +≥C ．111a b+≥ D ．1104ab <≤ 8．(2021·江苏高一)(多选)下列不等式正确的是( )A ．若0x <，则12xx+≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R ，则2111x <+ D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 9．(2021·福建省福州格致中学高一期末)(多选)已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是( ) A ．4ab ≤B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≥10．(2020·江苏南京市·南京一中高一月考)(多选)已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是( )A ．114a b+≥ B ．11()()4a b a b++≥C 22a b≥+ D ．2≥+aba b11．(2021·广州市)(多选)若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．112a b +≥ 12．(2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考)(多选)下列不等式中恒成立的是( ) A ．222(1)a ba b +--B ．111a b ab + C 4(5)x >-D ．2ab ab a b+13．(2021·浙江高一期末)(多选)已知0a >，0b >.若41a b +=，则( ) A ．114a b+的最小值为9 B ．11a b+的最小值为9 C ．()()411a b ++的最大值为94D ．()()11a b ++的最大值为94【题组五实际生活中的基本不等式】1．(2021·全国单元测试)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2．2．(2021·浙江高一期末)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则x 的值是_________，y 的最小值是________．3．(2021·全国高一课时练习)工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.4(2021·浙江高一期末)某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10km 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.5．(2021·全国高一单元测试)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________km 处6．(2021·江苏南通市·高一开学考试)某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设AB x =米，种花区域 EFGH 的面积为 S 平方米.(1)将S 表示为x 的函数； (2)求 S 的最大值.7．(2020·江苏省江浦高级中学高一月考)某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可近似地表示为2130400010y x x =-+.求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.。

上海市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（） A ．14B ．12C ．1D ．22．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定3．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ5．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（） A ．5B ．6C ．4D ．86．已知不等式222ax y xy +≥，若对于任意[1,2],[2,3]x y ∈∈，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（）.A ．3a ≥-B ．1a ≥-C ．18a ≥D ．118a -≤≤7．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A ．0B ．3C ．94D ．18．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁C ．乙和丙D ．甲和丙9．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460xy x y +---=，则21a b+的最小值是（）.A ．1B ．5C ．D ．3+10．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（） A ．ac ＞bdB ．a +d ＞b +cC ．a d ＜b cD ．a 2＜b 211．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．1112．若任意取[]1,1x ∈-，关于x 的不等式()2220x mx m ++-≤成立，则实数m 的取值范围为（）A ．11,22⎡-+⎢⎣⎦B ．1122⎡-⎢⎣⎦C ．11,22⎡⎢⎣⎦D ．1122⎡---+⎢⎣⎦二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..14．若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为__________. 15．已知函数2()34(0)f x ax x a =-+>，若存在32m n a<≤，使得()f x 在区间[,]m n 上的值域为[,]m n ，则a 的取值范围________．16．设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当3b a 取最小值时，双曲线的离心率为__________. 17．若对于(0,)2x π∈，不等式2219sin cos m x x+≥恒成立，则正实数m 的取值范围为__________18．已知0a >，0b >，若不等式212m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 19．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为____ 20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.三、解答题21．已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-，命题:q 方程221213x y m +=+表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．22．（Ⅰ）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，求12121x x x x ++的最小值．（Ⅱ）若正数a b c 、、满足2a b c ++=，求证：2222b c a a b c++≥．23．解下列不等式：（1）2340x x -->；（2）122x x -≤+．24．已知函数()22f x x ax =-.（1）若函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()[]()12,5g x f x x =+∈-的最大值为13，求实数a 的最小值.25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．设0x >，0y >，4xy x y a =++，其中a 为参数. （1）当0a =时，求x y +的最小值；（2）当5a =时，求xy 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和22x y +的最小值.【详解】设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，由基本不等式可得222x y xy +≥，所以，()()22222221x yx y xy x y +≥++=+=，所以，2212x y +≥，当且仅当12x y ==时，等号成立，因此，两个正方形的面积之和22x y +的最小值为12. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +，平均价格为121222p x p x p p x ++=；对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +，平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商3．C解析：C 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值. 【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立，故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立，故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.4．C解析：C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案；【详解】设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-，对A ，1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-；对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥，对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ=<， ∴|tan tan |αβ-最大，故选：C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.5．B解析：B 【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】 ∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．B解析：B 【分析】将a 分离出来得22()y ya x x ≥-，然后根据[1x ∈，2]，[2y ∈，3]求出y x的范围，令yt x=，则22a t t ≥-在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出22t t -的最大值，即可求出a 的范围．【详解】解：由题意可知：不等式222ax y xy +≥对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，即：22()y ya x x≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，即：x 2ma 2()yy a xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，令y t x =，结合图形可知yx的取值范围是(1,3)，则13t ≤≤， 22a t t ∴≥-在[1，3]上恒成立，221122()48y t t t =-+=--+，13t ≤≤，∴当1t =时，1max y =-，1a ∴≥-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键，还需要注意换元时新元的范围，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号，即212x y z+-的最大值是1．故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.8．B解析：B 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证9．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.10．C解析：C 【分析】取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误；对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误；对C 项，0c d >>，11d c ∴>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c-⋅>-⋅，即a d ＜bc，则C 正确；对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由题意，得到121222()(2)5b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数a ，b 满足21a b +=，则121222()(2)55549b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+=，当且仅当22b a a b =，即13a b ==等号成立，所以12a b +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.12．A解析：A 【分析】由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解【详解】解：令()22()2,[1,1]f x x mx m x =++-∈-，由题意得22(1)120(1)120f m m f m m ⎧-=-+-≤⎪⎨=++-≤⎪⎩，m ≤≤故选：A 【点睛】此题考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解，二次函数性质的应用，属于中档题二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题. 【详解】不等式()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x xm m +-<,化简为2211()22x x m m -<+，令12x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞，当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案为：()2,3- 【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时原不等式变为显然成立；（2）当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；（3）当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解：（1）当时得到所以不等式的解集解析：[]4,0-【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为10-<，显然成立；（2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；（3）当0a <时，二次函数开口向下，需0∆≤时，由此可得结论．【详解】解：（1）当0a =时，得到10-<，所以不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数21y ax ax =+-开口向上，函数值y 不是恒小于等于0，所以解集为R 不可能．（3）当0a <时，二次函数21y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得240a a ∆=+≤，即(4)0a a +≤，解得40a -≤≤，所以40a -≤<；综上，a 的取值范围为[]4,0-．故答案为：[]4,0-．【点睛】易错点点睛：对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题，注意需讨论二次项系数为零的情况，当系数不为零时，再从根的判别式的符号上考虑．15．【分析】由二次函数的性质可得化简得进而可得是方程两个不相等的实数根即可得解【详解】因为函数的图象开口朝上且对称轴为所以函数在区间上单调递减所以两式相减化简得将代入可得同理所以是方程两个不相等的实数根解析：113164a ≤< 【分析】由二次函数的性质可得()()223434f m am m nf n an n m⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，化简得2m n a +=，进而可得,m n 是方程22240ax x a-+-=两个不相等的实数根，即可得解. 【详解】因为函数2()34(0)f x ax x a =-+>的图象开口朝上且对称轴为32x a =，32m n a<≤，所以函数2()34(0)f x ax x a =-+>在区间[,]m n 上单调递减，所以()()223434f m am m nf n an n m ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，两式相减化简得2m n a +=，将2m n a =-代入234an n m -+=可得22240an n a-+-=，同理22240am m a-+-=，所以,m n 是方程22240ax x a-+-=两个不相等的实数根，又函数2224y ax x a =-+-的图象开口朝上，对称轴为132x a a=<，所以24440a a ⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭且当32x a =时，22240ax x a -+-≥，所以22444033224022a a a a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅-⋅+-≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得113164a ≤<，所以a 的取值范围为113164a ≤<.故答案为：113164a ≤<. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二次函数的性质转化条件为2m n a+=，再结合一元二次方程根的分布即可得解.16．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单解析：3【分析】先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率. 【详解】设11(,)P x y ，则 22111222111y y y b mn x a x a x a a =⋅==+--，因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.17．【分析】由不等式恒成立转化为的最小值大于9构造利用基本不等式求的最小值【详解】当时等号成立若不等式恒成立则即即故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围重点考查利用1的变形利用基本不等式解析：[)4,+∞【分析】由不等式恒成立，转化为221sin cos mx x+的最小值大于9，构造()22222211sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求 221sin cos mx x +的最小值. 【详解】22sin cos 1x x += ，0m >()222222221cos sin sin cos 1sin cos sin cos m x m x x x m x x x x ⎛⎫∴++=+++ ⎪⎝⎭11m m ≥++=++ 当2222cos sin sin cos x m x x x=时，等号成立，若不等式2219sin cos mx x+≥恒成立，则19m ++≥，即)219≥134m ≥⇒≥.故答案为：[)4,+∞ 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查利用”1”的变形，利用基本不等式求最小值，属于中档题型，本题的关键是根据22sin cos 1x x +=，已知变形为()22222211sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭. 18．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于解析：9. 【分析】将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值. 【详解】由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，而()212225a b a b a b b a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】先求得函数的图象恒过定点代入直线的方程得到再结合基本不等式即可求解【详解】由题意函数可得函数的图象恒过定点又由点在直线上可得则又因为则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】本解析：8【分析】先求得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，代入直线的方程，得到21m n +=，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数()21(2)1f x ax a a x =+-=+-，可得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，又由点(2,1)A --在直线10mx ny ++=上，可得210m n --+=，则21m n +=，又因为0m n ⋅>，则0mn>，所以12124()(2)448n m m n m n m n m n +=++=++≥=，当且仅当122n m ==时，等号成立，因此，12m n+的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题主要利用基本不等式求最值问题，同时考查函数的图象过定点问题的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关解析：6 13【分析】首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】1a b +=，()21a b ∴+=所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a+++++===++，44a b b a +≥=，当4a b b a =时，等号成立，即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12,33a b ==，所以231426a ab+≥+=，即231a ab+的最小值为6，此时13a =.故答案为：6；13【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()21a b =+变形，化简.三、解答题21．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．【分析】（1）求出1242xx +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围；（2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一假，由此可求得m 的范围．【详解】（1）若p 为真，则1242xm x +-，而1121121224224224x x x x x -+=++=---，当且仅当12242x x -=-，即3x =时等号成立；故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；（2）若q 为真，则213m +>，故1m ；若p 真q 假，则21m m ⎧⎨⎩，，则1m ，若p假q真，则21mm>⎧⎨>⎩，，则2m>，综上所述，实数m的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：22．无23．无24．无25．无26．无。

+第二章等式与不等式本章测试卷A-2023-2024学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册

沪科版上海数学高一必修一第二章等式与不等式本章测试卷A （满分：150分考试时间：120分钟）一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1.不等式x−12x+1≤0的解集为________2.若a 为正实数且a 2-a＜0，a,a 2，-a,-a 2从小到大的排列顺序为________________3.若方程mx 2+x+1=0的解集为单元素集，则m 的值为__________4.若{2x ＞63x ≤a有解，则a 的取值范围为____________ 5.若0＜a＜1，则不等式x 2-（a+1a）x+1＜0的解集是____________ 6.不等式组{6−x −x 2≤0x 2+3x −4＜0的解集为______________ 7.实数a≤2√2是关于x 的不等式2x 2+ax+1≥0解集为R 的__________条件8.若关于x 的不等式ax 2+bx+1的解集为（-2,1），则ab 的最大值为_______9.某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天多卖出5件，如果某日获利1600元，则每件降价了________元10.若a,b,c∈R，a＞b，则下列不等式中成立的是___________(填正确的序号)A.1a ＞1bB.a 2＞b 2C.a c 2+1＞b c 2+1D.a|c|＞b|c| 11.已知实数a=-2x 2+2x-10,b=-x 2+3x-9,a,b 分别对应实数轴上A,B，则点A 在点B 的_____（选填“左边”或“右边”）12.已知不等式ax 2+bx+1＞0的解集为{x|1−2＜x＜13}，则此时ab 的最大值_____不等式ax+3x−b ≤0的解集中（选填 “在”或“不在”）二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13.已知不等式ax 2+bx+c＜0（a≠0）的解集是R，则（）A.a＜0，△＞0B.a＜0，△＜0C.a＞0，△＜0D.a＞0，△＞014.设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B{x|x≥a-1}，若AUB=R，则a 的取值范围为（）A.（-∞，2）B.（-∞，2]C.（2，+∞）D.[2,+∞）15.司机甲乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（）A.甲便宜B.乙便宜C.油价先高后低甲便宜D.油价先低后高甲便宜16.有如下几个命题：①若方程ax 2+bx+c=0的两个实根满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x＜x 2}②当△=b 2-4ac＜0,时，二次不等式ax 2+bx+c＞0的解集为∅③x−a x−b ≤0与不等式（x-a）（x-b）≤0的解集相同④x 2−2x x−1＜3与x 2-2x＜3（x-1）的解集相同其中正确命题的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个三.解答题（共5题，78分）17.已知a＞0，b＞0，且a≠b，求证：（a+b）（a3+b3）＞（a2+b2）2，求:关于x的不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0的解18.已知关于x的不等式（a+b）x+（2a-3b）＜0的解是x＜−1319.设f（x）和g（x）是整式多项式，f(x)=0，g（x）=0都有解已知集合A={x|f2(x)+g2（x）=0},B{x||f（x）|+|g（x）|=0}，C={x|f（x）g（x）=0}（1）判别A与B关系并证明（2）判别A与C关系并证明20.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少m2（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果有何改变，请说明理由21.法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）已知实数x,y满足xy+（x+y）=13，x2y+xy2=42，求：x2+y2的值（4）已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值.。

高一上册数学同步测试2.2不等式的解法1沪教版

不等式的解法2指数、对数不等式的解法一、选择： 1、1．不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为（ B ） A ．10B ．11C ．12D ．132．不等式2|2|log 3<-x 的整数解的个数为（ B ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．183．若a a则,132log <的取值范围是（ D ） A ．)32,0( B ．),32(+∞C ．)1,32( D ．)32,0(∪)1(∞+4、不等式(x －1)02≥+x 的解为（ C ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 5、当)()(,1x g x f a a a >>与时等价的不等式是（ C ）（A ）0)()(>>x g x f （B ）)()(0x g x f <<（C ）)()(x g x f > （D ）)()(x g x f < 6、不等式1log21<x 的解集为（ C ）A ．}41|{>x x B ．}1,41|{≠>x x x 且 C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x7、不等式)1(1)12(1log log ---->x a x a 成立的充要条件（ A ） A ．1,2>>x aB ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x8、已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322（ C ）A ．)23,0(B ． )2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)9、若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（D ） A ．10<<aB ．10≤≤aC ．10><a a 或D ．10≥≤a a 或 10、对于22322)21(,a x axx R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围（ B ） A ．(0,1)B ．),43(+∞ C ．)43,0(D ．)43,(-∞二、填空：11、不等式0log log 221>x 的解集为_____()1,2________12、不等式3331>--x的解集为_____3,14⎛⎤⎥⎝⎦_______ 13、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ()4,2- 14、不等式lg x ＋lg(x －3)<1的解集为 ()3,5 . 15、不等式)1(4)1(2log 5log 2++->x x 的解集是______()3,+∞______________16、设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是____(),log 3a -∞___________ 三、解答： 17、解不等式：1）66522252.0++-+-≥x xx x 2）2)1lg()910lg()910lg(2+--<-++x x x x3）0825421≥+⋅-+x x 4）2log )532()1(2>-++x xx答案：无解,无解,15,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,()2,+∞18、]1)12(2[log }0|{1,102+++-<>≠>a x a x x x a x a a a x 求不等式的解集是的不等式已知关于且< 0的解集.答案：{}()()1,2,2,,,a x x x R a a a a =≠∈⎛⎫∞+∞ ⎪⎝⎭⎛⎫∞+∞ ⎪⎝⎭U U 11＜＜1,-,22110＜＜-,2219、解不等式1)11(log >-xa答案：,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭1＞1,1-a 10＜a ＜1,1,1-a。

上海市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（）A ．xy的最大值为3+B ．xy 的最大值为6 C ．2x y +的最小值为3+ D ．2x y +的最小值为72．现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．33．已知,,a b c ∈R ，0a b c ++=，若2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ，则12112121x x +--的最小值是（） ABCD．4．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=5．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定6．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值147．已知函数()24x x af x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-8．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2463450x x -+<成立的x 的取值范围是（） A ．[)1,15B ．[]2,8C ．[)2,8D ．[)2,15 9．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-10．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447 B ．275 C ．143D ．9211．不等式28610x x -+<的解集为（） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞ 12．设a 为正实数，数列{}n a 满足1a a =，()142n n na a n N a *+=+-∈，则（） A ．任意0a >，存在2n >，使得2n a ，存在2n >，使得1n n a a +< C ．任意0a >，存在*m N ∈，使得mn a a <D ．存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=二、填空题13．为了调查盘龙江的水流量情况，需要在江边平整出一块斜边长为13m 的直角三角形空地建水文观测站，该空地的最大面积是______2m .14．已知函数()221f x ax x =+-，若对任意x ∈R ，()0f f x ≤⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是_______________． 15．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 16．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.17．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.18．已知关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]，则实数a =__． 19．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是．20．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______.三、解答题21．选用恰当的证明方法，证明下列不等式. （1）已知实数x ，y 均为正数，求证：)(4925x y xy ⎛⎫++≥ ⎪⎭⎝. （2）已知a ，b 都是正数，并且ab ，求证：552332a b a b a b +>+.22．设29()2()8f x x mx m m R ⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭．（1）解不等式()0f x <；（2）已知存在1212,,x x R x x ∈<，满足()()120f x f x ==，证明：当211x x -时，()f x 的图象与x 轴围成封闭区域的面积大于14． 23．设0,0,0a b c >>>，证明：（1）114a b a b+≥+；（2）111111222a b c a b b c a c++≥+++++.24．已知关于x 的不等式250ax x c ++<的解集为114x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（1）求a ，c 的值；（2）解关于x 的不等式()20ax ac b x bc +++≥.25．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠=︒．（1）求y 关于x 的函数；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少？26．已知a ，b 为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10x y xy +=->1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是3+AB 不正确；10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()11222222121111x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.2．B解析：B 【分析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误；对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；对于③，2y =≥=，=231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x >，所以43x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】根据12112121x x +--≥. 【详解】因为2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ，所以1223bx x a +=-，123c x x a=，所以12112121x x +--≥====，因为0a b c ++=，所以=.即12112121x x +--≥122121x x -=-时，等号成立.所以12112121x x +--的最小值是故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立. 【详解】001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立；2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D5．B解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +，平均价格为121222p x p x p p x ++=；对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +，平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商6．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果.【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==，所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误；又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==，所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误，故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．B解析：B 【分析】根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()2max4a x x>--求解出a 的范围. 【详解】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立，所以()2max4a x x>--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以()()2max4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.8．A解析：A 【分析】先由不等式[][]2463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】不等式[][]2463450x x -+<即为[]()[]()43150x x --<，解得[]3154x <<，则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]x 的取值，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】采用分离参数将问题转化为“1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立”，再利用基本不等式求解出1x x+的最小值，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭，又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-，故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.10．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．A解析：A 【分析】运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集．【详解】解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<，即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩，可得x ∈∅或1142x <<，即解集为1(4，1)2，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】对于选项A ，2n ≥时，2n a ≥，所以该选项不正确；对于选项B ，证明+1n n a a ≥，所以该选项不正确；对于选项C ，令2,a =所以2n a =，所以该选项不正确；对于选项D ，令2a =.所以2n a =，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，因为0,a >所以24222a a a =+-≥=，依次类推得到0n a >，所以2n ≥时，114222n n n a a a --=+-≥=，所以不存在2n ≥，使得2n a <，所以该选项错误；对于选项B ,由已知得+142n n n a a a =+-，所以+1n na a =2421n n a a +-，设11(0)2n t t a =<≤，所以+1n n a a =22134214()144t t t -+=-+≤，所以+1n n a a ≤，所以不存在2n ≥，使得+1n n a a <，所以该选项错误；对于选项C ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以任意0a >，存在*m N ∈，总有mn a a <不正确，所以该选项不正确；对于选项D ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=，所以该选项正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查数列单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】设直角三角形的两条直角边分别为则进而根据基本不等式得【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为则所以当且仅当等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：1694【分析】设直角三角形的两条直角边分别为,a b ，则22169a b +=，进而根据基本不等式得22111692224a b S ab +=≤⨯=. 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为,a b ，则22169a b +=所以22111692224a b S ab +=≤⨯=，当且仅当2a b ==. 故答案为：1694【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】根据二次函数的图象和性质分三种情况讨论结合已知条件可得出关于实数的不等式进而可求得实数的取值范围【详解】当时则令解得不满足对任意的恒成立；当时由于二次函数的图象开口向上不满足对任意恒成立；当解析：1,2⎛--∞ ⎝⎦【分析】根据二次函数的图象和性质，分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】当0a =时， ()21f x x =-，则()()221143f f x x x =--=-⎡⎤⎣⎦，令()0f f x ≤⎡⎤⎣⎦，解得34x ≤，不满足对任意的x ∈R ，()0f f x ≤⎡⎤⎣⎦恒成立；当0a >时，()111f x f a a ⎛⎫≥-=-- ⎪⎝⎭，由于二次函数()f x 的图象开口向上，不满足对任意x ∈R ，()0f f x ≤⎡⎤⎣⎦恒成立；当0a <时，()1111f x f a a a ⎛⎫≤-=--<- ⎪⎝⎭，由于二次函数()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增，则()221111112110a a f f x f a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤--=⋅---+-=≤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0a <，可得210a a --≥，解得152a.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛-∞ ⎝⎦.故答案为：⎛-∞ ⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用复合型二次不等式在实数集R 上恒成立求参数，要注意对实数a 的取值进行分类讨论，解题时要确定内层函数的值域结合二次函数的单调性求出()f f x ⎡⎤⎣⎦的最大值来求解.15．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三解析：4748【分析】先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩，所以11113139393862164216438432x y z x y z x y za b c b c c a a b x y z-++-++-++=+++++ 1339338621642164y z x z x y x x y y z z =-+++-+++-6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61474848≥-+=，当且仅当823629164yx x y z xx zy z z y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立.故答案为：4748. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为：解析：(,1)-∞-【分析】由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】函数4()f x x x=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立，即有440a ax ax ax x-+-<，即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立，当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件18．【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系利用根与系数的关系求出的值【详解】关于的不等式它的解集是所有关于的方程的两根为1和3由根与系数的关系知实数故答案为：【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程解析：4-【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a 的值．【详解】关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]，所有关于x 的方程2x ax 30++=的两根为1和3，由根与系数的关系知，实数(13)4a =-+=-．故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．19．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题解析：(-2,4) 【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围. 【详解】因为21b -<<，所以12b -<-< 而1a 2-<< 所以24a b -<-< 故答案为()2,4-. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.20．【分析】根据平行四边形性质可得再结合基本不等式即可求出的最小值【详解】由平行四边形性质可得：由基本不等式可得：当且仅当时等号成立所以即所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的【分析】根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b ++-=+，再结合基本不等式即可求出b的最小值. 【详解】由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立，所以()()22222a b a ba b++-+≥，即()224212b+≥，所以3b ≥，所以b 的最小值为. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）化简后利用基本不等式证明即可；（2）利用作差法，()()552332a b a ba b +-+变形为()()()222a b a b a ab b +-++，然后判断符号可得结果【详解】（1）)(4949494913y xy x xy xy x y xy ⎛⎛⎫⎫++=+++=++⎪⎪⎭⎭⎝⎝，又因为0x >，0y >，所以40yx>，90x y >，由基本不等式得，4912y x x y +≥=，当且仅当49y x x y =时，取等号，即23y x =时取等号，所以)(4925x y xy ⎛⎫++≥⎪⎭⎝.（2）()()552332a ba b a b +-+()()532523a ab b a b =-+-()()322322a ab b b a =-+-()()2233a b a b =--()()()222a b a b aab b =+-++因为a ，b 都是正数，所以0a b +>，220a ab b ++> 又a b ≠，所以()20a b ->，所以()()()2220a b a b a ab b +-++>，所以()()5523320a b a ba b +-+>，即552332a b a b a b +>+.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）讨论0∆≤和0∆>两种情况求解；（2）可得2112x x -=≥，即4∆≥，设()f x 的图象与x 轴分别交于,,()A B f x 图象的顶点为C ，则ABCS S >，可得3232ABCS∆=，即可证明. 【详解】（1）令2298898m m m m ⎛⎫∆=+-=+- ⎪⎝⎭，当且仅当2890m m ∆=+-，即91m -时，不等式()0f x <解集为空集；当且仅当2890m m ∆=+->，即9m <-或1m 时，不等式()0f x <的解集为x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（2）因为存在1212,,x x R x x ∈<，满足()()120f x f x ==，且211x x -≥，所以211x x -==≥，所以4∆≥，设()f x 的图象与x 轴围成封闭区域的面积为S ，设()f x 的图象与x 轴分别交于,,()A B f x 图象的顶点为C ，则ABCS S > ，所以()33222111412822832324S x x ∆∆∆>⋅-⋅=⋅=≥=，即14S >．【点睛】本题考查二次函数相关问题，解题的关键是表示出ABC的面积，进而证明. 23．无24．无25．无26．无。

沪教版高一一元二次不等式的解法三份 (答案))

§2.2 一元二次不等式的解法（1）A 组一、填空题1、不等式0652<--x x 的解集是.2、不等式4432+<x x 的解集是.3、不等式142+≤x x 的解集是.4、不等式237x x >的解集是.5、不等式()82≤-x x 的解集是.6、不等式()()132+-<+x x x x 的解集是.B 组一．填空题1、已知(),31,31+-=P 写出解集为P 的一个一元二次不等式. 2、不等式05432<++x x 的解集是.3、已知(),31,31+-=P 写出解集为P 的一个一元二次不等式。

4、不等式()()117173--<-x x x x 的解集是。

5、不等式0122≤--x x 的非负整数解集是。

6、设}|{,}032|{2a x x B x x x A >=≤--=，已知Φ≠B A ，则实数a 的取值范围是3<a 。

二．选择题7、不等式02<--b ax x 的解集是()3,2,则不等式012>--ax bx 的解集是 ( ))(A )21,31()(B )31,21(--)(C )3,2()(D )2,3(--8、{}032|2>--=x x x A ，{}02≤++=b ax x B ，若(]4,3,==B A R B A ,则有( ))(A 4,3==b a )(B 4,3-==b a )(C 4,3=-=b a )(D 4,3-=-=b a三．解答题9、已知　,R U =且{}016|2<-=x x A ，{}034|2≥+-=x x x B ，求：（1）B A ；（2）B A ；（3）()()B C A C U U .10、解关于x 的不等式：()()R a x ax a ∈->-11。

一元二次不等式的解法（2）A 组一．填空题1、不等式04322>+-x x 的解集是。

高一数学上册(一元二次不等式的解法)练习沪教版试题

上海理工大学附属中学高一数学上册《一元二次不等式的解法》练习沪教版2.2一元二次不等式1.学习一元二次不等式的解法，理清一元二次不等式20ax bx c ++>，二次函数2y ax bx c =++，一元二次方程20ax bx c ++=这三者之间的关系。

（0a ≠） 2.懂得一元二次不等式的解法流程及最终解的结论。

3.掌握区间的概念，善于用区间表示不等式的解集。

什么是一元二次不等式？含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式，其一般形式是：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<≠怎样解一元二次不等式？一元二次不等式问题均可划归为20(0)ax bx c a ++>>的形式通俗方法可用配方法来求解，较好理念是利用二次函数图像来解决例1.求不等式的解集：（1）23520x x -+<；（2）23x x -+<；（3）24450x x +-≥；（4）23240x x -+≤；（5）2440x x ---≥；（6）2210x x ++≤例2.设0a >，解不等式21()10x a x a-++<；例3.解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->，并写出解集。

例4.设关于x 的不等式2231(0)x x k R and k k k+->+∈≠ （1）解此不等式；（2）若此不等式的解集为(3,)+∞，求k 的值；（3）若3x =是不等式的解，求实数k 的范围。

例5.已知一个一元二次不等式的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（1）若关于x 的一元二次不等式为230ax bx ++>，求,a b 的值；（2）若关于x 的一元二次不等式为20ax bx c ++>，求关于x 的一元二次不等式为20cx bx a ++<的解集。

例6.（1）若关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围。

高一数学同步练习：《一元二次不等式的解法》沪教版

1.不等式2x2-x-1<0的解集是()A. B.∪(1,+∞)C. (1,+∞)D. (-∞,1)∪(2,+∞)2.不等式x(x-a+1)>a的解集是{x|x<-1或x>a},则()A.a≥1B.a<-1C.a>-1D.a∈R3.“x2-2x-3>0成立”是“x>3成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2013安徽高考)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为()A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C. {x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}5.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值集合是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}6.不等式≤x-2的解集是()A.(-∞,0]∪(2,4]B.∪(4,+∞)7.若不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,则=.8.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.9.不等式<1的解集记为p,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q,已知p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.10.已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求不等式f(x)>1的解集.11.当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数?12.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x, f(0)=1 .(1)求二次函数f(x)的解析式;(2)若不等式f(x)>2x+m在上恒成立,求实数m的取值范围.1．答案:A解析:由不等式2x2-x-1<0得(2x+1)(x-1)<0,所以-<x<1,故选A.2．答案:C解析:∵不等式的解集为{x|x<-1或x>a},∴a>-1.3．答案:B解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,所以x2-2x-3>0是x>3成立的必要不充分条件.4．答案:D解析:由题意知-1<10x<,所以x<lg=-lg2,故选D.5．答案:D解析:由题意知,a=0时,满足条件;a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4,所以0≤a≤4,故选D.6．答案:B解析:①当x-2>0,即x>2时,不等式可化为(x-2)2≥4,∴x≥4;②当x-2<0,即x<2时,不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2.7．答案:解析:由-4<2x-3<4,得-<x<.由题意得=-p,=q,∴.8．答案:(0,8)解析:∵x2-ax+2a>0在R上恒成立,∴Δ=(-a)2-4·2a<0,即a2-8a<0,0<a<8.故a的取值范围是(0,8).9．答案:(-2,-1]解析:不等式<1等价于-1<0,即>0,解得x>2或x<1,∴p={x|x>2或x<1}.不等式x2+(a-1)x-a>0可以化为(x-1)·(x+a)>0,要使p是q的充分不必要条件,需满足p⫋q.当-a<1时,q={x|x>1或x<-a},此时不满足p⫋q;当a=-1时,q={x|x≠1},p⫋q,满足题意;当-a>1时,q={x|x<1或x>-a},由p⫋q得-a<2,即-2<a<-1.综上可知,-2<a≤-1.10．解:∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点.因此f(-2)f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0.∴-<a<-.又a∈Z,∴a=-1,不等式f(x)>1即为-x2-x>0,解得-1<x<0.11．解:(1)当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;若a=-1,原不等式为2x-1<0,即x<,不符合题目要求,舍去.(2)当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集是全体实数的条件是解得-<a<1.综上所述,当-<a≤1时,原不等式的解集是全体实数.12．解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1,得c=1,故f(x)=ax2+bx+1(a≠0).∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.(2)由(1)知x2-x+1>2x+m在上恒成立,即m<x2-3x+1在上恒成立.令g(x)=x2-3x+1=,则g(x)在上单调递减.∴g(x)在上的最小值为g(1)=-1.∴m的取值范围是(-∞,-1).。

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.2不等式的解集》同步测试题及答案

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.2不等式的解集》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.不等式组{-2x -4>0,x -3≤0的解集是( )A .(-2，3]B .(-2，3)C .(-∞，-2]D .(-∞，-2)2.“|x|>2”的一个充分不必要条件是 ( ) A .-2<x<2 B .-4<x ≤-2 C .x>-2D .x>23.不等式1|x -1|<12的解集为 ( ) A .(-1，3)B .(-∞，-3)∪(1，+∞)C .(-∞，1)∪(3，+∞)D .(-∞，-1)∪(3，+∞)4.已知a ，b ∈R ，解关于x 的不等式ax>b ，下列说法正确的是 ( )A .该不等式的解集为(ba ,+∞) B .该不等式的解集为(-∞,b a ) C .该不等式的解集可能为∅ D .该不等式的解集不可能为∅ 5.不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集为 ( )A .(-∞，-1]∪[4，+∞)B .(-∞，1]∪[2，+∞)C .(-∞，1]D .[2，+∞)6.已知关于x 的不等式组{x +2>0,x -a ≤0的整数解共有4个，则a 的最小值为 ( )A .1B .2C .2.1D .37.已知不等式|2mx-1|<1成立的一个必要不充分条件是-13≤x<12，则实数m 的取值范围是( ) A .(-3，2] B .[-3，2)C .(-∞，-3]∪[2，+∞)D .(-∞，-3)∪(2，+∞)★8.(多选题)若不等式|x-a|<1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数a 的值可以是( )A .-43 B .12 C .43 D .09.(多选题)当a>0时，不等式组{0≤x -a ≤1,0≤x +a ≤1的解集可能为 ( )A .∅B .{12} C .[a ，1-a ] D .[-a ，1+a ]二、填空题10.已知数轴上A (2)与C (x )关于B (-1)对称，则x= .11.[2024·山东青岛莱西一中高一期中] 李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案.方案一:一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付x 元.方案二:每笔订单按八折销售.在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额，则x 的最大值为 . 12.若存在x ∈[1，2]，使得|x+a|+|x-a|=|2x|成立(其中a>0)，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题13.解下列不等式(组): (1){2x ≤3-x ,x >2x -4;(2)|2x-1|>2; (3)|x-1|+|x-2|>x+3.14.若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集为空集，求a 的取值范围.15.已知数轴上三点P (-8)，Q (m )，R (2).(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m 的值;(2)若PQ 的中点到线段PR 的中点的距离大于1，求实数m 的取值范围.16.为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和不超过1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中型图书角x 个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案.参考答案1.D [解析] 由{-2x -4>0,x -3≤0可得{x <-2,x ≤3,即x<-2，所以原不等式组的解集为(-∞，-2).故选D .2.D [解析] 由|x|>2，解得x>2或x<-2，故“|x|>2”的一个充分不必要条件是“x>2”.故选D .3.D [解析] 因为1|x -1|<12，所以|x-1|>2，所以x-1>2或x-1<-2，即x>3或x<-1，所以原不等式的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞).故选D .4.C [解析] 当a>0时，x>ba ，该不等式的解集为(ba ,+∞);当a<0时，x<ba ，该不等式的解集为(-∞,ba );当a=0，b<0时，该不等式的解集为R;当a=0，b ≥0时，该不等式的解集为∅.故选C .5.A [解析] 当x=-1或x=4时，有|x-1|+|x-2|=5.画数轴如图，由绝对值的几何意义可得，当x ≤-1或x ≥4时，|x-1|+|x-2|≥5.故选A .6.B [解析] 由{x +2>0,x -a ≤0,解得-2<x ≤a ，因为不等式组有4个整数解，所以整数解是-1，0，1，2，所以2≤a<3，所以a 的最小值为2.故选B .7.C [解析] 由|2mx-1|<1，得-1<2mx-1<1，即0<mx<1.当m=0时，不等式为0<0<1，显然不成立;当m<0时，不等式的解为1m<x<0;当m>0时，不等式的解为0<x<1m.因为不等式|2mx-1|<1成立的一个必要不充分条件是-13≤x<12，所以{x |1m <x <0,m <0}或{x |0<x <1m,m >0}是{x |-13≤x <12}的真子集，所以1m ≥-13(m<0)或1m ≤12(m>0)，解得m ≤-3或m ≥2，即实数m 的取值范围是(-∞，-3]∪[2，+∞).故选C .8.BCD [解析] 由|x-a|<1可得a-1<x<a+1，由题知集合{x |13<x <12}是{x|a-1<x<a+1}的真子集，则{a -1≤13,a +1≥12且等号不同时成立，解得-12≤a ≤43.故选BCD .[技巧点拨] 与充分必要条件有关的绝对值不等式的参数问题，可以转化为集合间的包含关系求解.9.ABC [解析] 原不等式组{0≤x -a ≤1,0≤x +a ≤1可化为{a ≤x ≤a +1,-a ≤x ≤-a +1.当0<a<12时，-a<a<-a+1<a+1，此时原不等式组的解集为[a ，1-a ];当a=12时，-a<a=12=-a+1<a+1，此时原不等式组的解集为{12};当a>12时，-a<-a+1<a<a+1，此时原不等式组的解集为∅.故选ABC .10.-4 [解析] 由数轴上的中点坐标公式得2+x 2=-1，所以x=-4.11.24 [解析] 由题意可得120-x ≥120×80%，解得x ≤24，所以x 的最大值为24.12.(0，2] [解析] 当x ≥a 时，|x+a|+|x-a|=|2x|，即2x=2x ，恒成立，故0<a ≤2;当-a<x<a 时，|x+a|+|x-a|=|2x|，即2a=2x ，即x=a ，不成立;当x ≤-a 时，|x+a|+|x-a|=|2x|，即-2x=2x ，解得x=0，不成立.综上，实数a 的取值范围为(0，2].13.解:(1)原不等式组可化为{x ≤1,x <4,所以原不等式组的解集为(-∞，1].(2)原不等式可化为2x-1>2或2x-1<-2，解得x>32或x<-12，所以原不等式的解集为(-∞,-12)∪(32,+∞).(3)当x<1时，原不等式可化为1-x+2-x>x+3，解得x<0，此时x<0;当1≤x ≤2时，原不等式可化为x-1+2-x>x+3，解得x<-2，此时无解;当x>2时，原不等式可化为x-1+x-2>x+3，解得x>6，此时x>6.综上，原不等式的解集为(-∞，0)∪(6，+∞). 14.解:方法一:(1)当a ≤0时，不等式的解集是空集.(2)当a>0时，先求不等式|x-4|+|3-x|<a 有解时a 的取值范围.令x-4=0得x=4，令3-x=0得x=3.①当x ≥4时，原不等式可化为x-4+x-3<a ，即2x-7<a ，解不等式组{x ≥4,2x -7<a ,得4≤x<7+a2，故a>1;②当3<x<4时，原不等式可化为4-x+x-3<a ，得a>1;③当x ≤3时，原不等式可化为4-x+3-x<a ，即7-2x<a ，解不等式组{x ≤3,7-2x <a ,得7-a2<x ≤3，故a>1.综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式的解集为空集.由(1)(2)知，a 的取值范围是(-∞，1].方法二:由|x-4|+|3-x|的最小值为1，得当a>1时，|x-4|+|3-x|<a 有解，从而当a ≤1时，原不等式的解集为空集.故a 的取值范围是(-∞，1]. 15.解:(1)若P 是线段QR 的中点，则-8=m+22，解得m=-18;若Q 是线段PR 的中点，则m=-8+22=-3;若R 是线段PQ 的中点，则2=-8+m 2，解得m=12.(2)由题意知|m -82--8+22|>1，即|m2-1|>1，即m 2-1>1或m 2-1<-1，解得m>4或m<0所以实数m 的取值范围是(-∞，0)∪(4，+∞).16.解:由题意得{0<x <30,80x +30(30-x )≤1900,50x +60(30-x )≤1620,x ∈N *,解得18≤x ≤20，x ∈N *，故x=18，19，20，所以有三组组建方案:方案一:组建中型图书角18个，小型图书角12个;方案二:组建中型图书角19个，小型图书角11个;方案三:组建中型图书角20个，小型图书角10个.。

高一数学上册《集合与命题、不等式》单元测试题沪教版

每= .x x为 .是 .的条是集))是 .合A_____________.集合有个： .x的集xz14. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（（））A ．c b c a b a -+-£-B ．a a a a 1122+³+C ．a a a a -+<+-+213D ．21³-+-ba b a三、解答题：（8+10++10+12=40分）１5. 若集合{}{}2230,,0,A x x mx x R B x x x n x R =+-=Î=-+=Î，且{}3,0,1A B =- ，求实数,m n 的值。

16.已知集合},03{},,032{22R x x ax x B R x x x x A Î>+-=Î<--=1）当a =2时，求B A Ç2）若A B A =Ç，求实数a 的取值范围 .17.求满足2x y k x y +£+对任意,x y R +Î恒成立的实数k 的最小值，并说明理由18.已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =£<<³ 具有性质P ；对任意的(),1i j i j n £££，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++ ；（Ⅲ）当5n =时若 a 2=2,求集合A.一、1.{2} 2.1.{2} 2.【【2,32,3））3. 若实数b a ,满足,7³+b a 则2¹a 或 3¹b ” 4.既不充分也不必要 5.x>4或 x<-3 6.)31,21(-- 7.)1,1()1,(-È--¥ 8.2± 9.{3,4,5,6,7,8} 9.{3,4,5,6,7,8} 10.7 10.7 {},,3,2,1n S Í若S a Î，则必有S a n Î-+1，则这样的S 有*212),12(12),2(12N k k n k n n n Î-=-=-+二、11.D 12.D 13.C 14.D 三、 15.}1,3{23}0,1{000},1,0,3{0-=Þ=ÞÎ-Þ=Þ=ÞÎÞÏ-=ÈÎA m A B n B A B A16.（1）A=(-1,3),a=2时B=R, B A Ç=A=(-1,3) (2) B A A B A ÍÛ=Ç①B=R 1210121>Þ<-=D Þa a ②{}B A x x B a a ÍÞ¹=Þ=Þ=-Þ=D 612101210③61009321<<Þïîïíì³>a a a④ÆÞïîïíì³-<09121a a ⑤a=0B={x|x<3} 综上可知：a ≥017. （Ⅰ）由于34´与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236´´´´都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵（Ⅱ）∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ，∴n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ，由于121n a a a £<<< ，∴n n n a a a >，故n n a a A Ï. 从而1n na A a =Î，∴11a =.∵121n a a a =<<< ， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n Ï= .由由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a Î= .∴12111na a a a a a ---+++=+++ . 时，有55,a a ==可知4a Î，得34a a =Î3a <=，∴34a a ==∴5342a a a a a a a a ====5是首项为。

高一数学上册(不等式的证明)练习沪教版试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校理工大学附属高一数学
上册<不等式的证明>练习沪教
不等式的证明
1．掌握比较法证明不等式的方法：作差，变形，判断符号，结论。

2．掌握分析法证明不等式的思想方法：
用分析法证题是不断追寻使结论成立的充分条件〔既可充分必要又可充分而非必要〕，直至条件成立，即可断定原结论成立。

3．掌握综合法证明的思想方法：
从条件出发，利用公理、定理作依据，推导出所要求证的结论的方法一般称综合法。

4．反证法。

例1．0,0a b >>，求证：4(2)(2)a b a b ++<++
例2．设0,0a b >>，求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
方法一：比较法
方法二：分析法
例3．设a b c >>，求证：222222bc ca ab b c c a a b ++<++〔作差法〕
例4．1,1a b <<，求证：11a b ab
+<+ 例5．求证：a b a b a b -≤-≤+
例6．求证：ac bd +≤,a b R ∈〕。

上海上海第中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（）A ．xy 的最大值为3+B ．xy 的最大值为6C ．2x y +的最小值为3+D ．2x y +的最小值为72．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为6 3．已知12x >，则2321x x +-的最小值是（）A ．32 B 32C 2D ．324．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（） A ．9B ．8C ．7D ．65．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-6．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b+的最小值是（）.A ．1B ．5C ．D ．3+7．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（）A ．112B ．5C ．2+D ．3+8．下列结论不正确的是（） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-9．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．下列命题正确的是（） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若2211a b>，则a b < D ．若a b <，则a b <11．下列命题中正确的是（） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 12．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为__________. 14．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．15．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1k k+的最小值是______． 16．一批救灾物资随51辆汽车从某市以/vkm h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2800v km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______.h17．已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_____________. 18．函数()10y x x x=->的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为________． 19．若关于x 的方程的两根都大于2，则m 的取值范围是________20．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________.三、解答题21．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[1,2]-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[,1]x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．22．已知0,0x y >>，且2223x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求23．若0,0x y >>，且满足280x y xy +-=. （1）求xy 的最小值及相应x ，y 的值；（2）求x y +的最小值及相应x ，y 的值.24．已知函数()24ax ax b f x =-+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值；（2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．25．（1）已知01x <<，求函数()(33)f x x x =-的最大值：（2）已知关于x 的不等式210ax bx a +-<的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a ，b 的值.26．已知函数22(),(1,)x x af x x x++=∈+∞.（1）当4a =时，求函数()f x 的最小值及对应的实数x 的值；（2）若对任意(1,),()x f x a ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10 x y xy+=->1>1t=>，即2210t t--≥，解得：1t≥或1 t≤1≥，(213xy≥=+，所以xy的最小值是3+AB不正确；10,0,1011xx y x y xy y xx+>>+=-⇒=>⇒>-()11222222121111x xx y x x xx x x+-++=+=+=-+++---()2213371xx=-++≥=-，当()2211xx-=-时，即2x=时等号成立，所以2x y+的最小值是7，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x>>等条件.2．C解析：C【分析】当2t=时，121x y+=，()1222x y x yx y⎛⎫+=++⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A；当当8t=时，181x y+=，()2812x y x yx y⎛⎫+=++⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B；()1221212122x y x y t t tx y xt y txy⎛⎫+=++=+++≥++=++⎪⎝⎭分别令129t++=和1225t++=即可求出t的值，可判断选项C、D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：当2t=时，121x y+=，()122225259xx y x yx y xyy⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当12122x yy xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y==时等号成立，所以3x y==时，2x y+有最小值，故选项A不正确；对于选项B ：当8t =时，181x y+=， ()188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++129t ++=即0==即2t =，当且仅当12122x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++⎪⎝⎭12t =++1225t ++=即0==，即8t =，当且仅当12128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎝⎭--，利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即132x =+ 时，取得等号. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.4．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解.【详解】1a b +=，0a >，0b > ()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C解析：C 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值. 【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立，故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立，故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.6．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.7．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭)()222222222a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当a =时取等号，即2a =1b =时等号成立，故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.8．B【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 9．A解析：A 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．10．D【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.11．A解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误；故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．D解析：D 【分析】由3x >，得到30x ->，化简113333y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为3x >，所以30x ->，则11333533y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号，故选：D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时原不等式变为显然成立；（2）当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；（3）当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解：（1）当时得到所以不等式的解集解析：[]4,0-【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为10-<，显然成立；（2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能；（3）当0a <时，二次函数开口向下，需0∆≤时，由此可得结论．【详解】解：（1）当0a =时，得到10-<，所以不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数21y ax ax =+-开口向上，函数值y 不是恒小于等于0，所以解集为R 不可能．（3）当0a <时，二次函数21y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得240a a ∆=+≤，即(4)0a a +≤，解得40a -≤≤，所以40a -≤<；综上，a 的取值范围为[]4,0-．故答案为：[]4,0-．【点睛】易错点点睛：对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题，注意需讨论二次项系数为零的情况，当系数不为零时，再从根的判别式的符号上考虑． 14．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >）整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=，当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损故答案为：130.【点睛】本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.15．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函解析：52【分析】先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k=+的单调性求解即可. 【详解】解：方程210(0)x kx k ++=>有实根， 240k ∴-≥，解得2k ≥，又1y k k=+在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222+=，故答案为：52．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．16．10【分析】用速度v 表示时间结合基本不等式计算最小值即可【详解】当最后一辆车子出发第一辆车子走了小时最后一辆车走完全程共需要小时所以一共需要小时结合基本不等式计算最值可得故最小值为10小时【点睛】考解析：10【分析】用速度v 表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了25080016v v v ⋅=小时，最后一辆车走完全程共需要400v 小时，所以一共需要40016v v +小时，结合基本不等式，计算最值，可得4001016v v +≥=，故最小值为10小时【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用a b +≥中等．17．【分析】分和两种情况讨论结合题可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】当时可得或①当时可得合乎题意；②当时可得解得不合乎题意；当时由题意可得解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点解析：1,19【分析】分2450m m +-=和2450m m +-≠两种情况讨论，结合题可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当2450m m +-=时，可得1m =或5m =-.①当1m =时，可得30>，合乎题意；②当5m =-时，可得2430x +>，解得18x >-，不合乎题意；当2450m m +-≠时，由题意可得()()22245016112450m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩，解得119m <<.综上所述，实数m 的取值范围是1,19.故答案为：1,19.【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 18．【分析】设曲线上任一点坐标为求出它是原点距离的平方用基本不等式求得最小值【详解】设曲线上作一点的坐标为则当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值属于基础题解析：2【分析】设曲线上任一点坐标为1,x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，求出它是原点距离的平方，用基本不等式求得最小值．【详解】设曲线上作一点P 的坐标为1,(0)x x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则2222211222OP x x x x x ⎛⎫=+-=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2212x x =，即142x -=时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．19．；【详解】令由条件可得：解得：解析：(5,4]--；【详解】令2()(2)5f x x m x m =+-+-，由条件可得：22(2)042(2)5022222(2)4(5)040f m m b m a m m b ac >+-+->⎧⎧⎪⎪-⎪⎪->⇒->⎨⎨⎪⎪---≥-≥⎪⎪⎩⎩ 解得：(5,4]--20．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算解析：5+【分析】函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，,a b 为正实数，则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b+=++=+++≥+=+当且仅当3a b =，即2,3a b ==5+.故答案为：5+【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。

高一数学上册(基本不等式及其应用)练习沪教版试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校理工大学附属高一数学上册<根本不等式及其应用>练习沪教根本不等式及其应用1.通晓两种根本不等式的形式：○1根本不等式1：对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立。

○2根本不等式2：对任意正数,a b ，有2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立。

2.全面理解根本不等式：○1对于根本不等式2，,a b R +∈条件可减弱为0,0a b ≥≥，所以上述条件只是充分不必要条件；○2根本不等式的主体是2a b +≥〔,a b R +∈〕，即两正数的算术平均值不小于其几何平均值； ○3根本不等式等号成立的充要条件是a b =〔0,0a b >>〕； ○4掌握不等式2的变形：(,)2a b a b R ++≥∈，变形得：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭〔,a b R +∈〕，由此可知，当积为定值，和有最小值；当和为定值，积有最大值。

3.知道根本不等式还有其推广形式：○1对任意,,a b c R +∈，有a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等号成立； ○2对任意12,,,n a a a R +∈，有1212n n n a a a n a a a ++≥，当且仅当12n a a a === 例1.〔1〕当0x >，1x x+的取值范围，并指出取的最小值时的x 的值；〔2〕当0x <，求42x x+的最值，并指出取最值时x 的值；〔3〕假设1x >，求11x x +-的取值范围；〔4〕如果3x >，求2313x x x -+-的取值范围；例2.〔1〕,x y R +∈，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件；〔2〕01x <<，求当x 取何值时，(1)x x -值最大；〔3〕102x <<，那么当_________x =时，3(12)x x -有最大值_________；〔4〕当________x=时，___________；例3.,a b R +∈且1a b +=，求11a b+的最小值；变式一：,a b R +∈且321a b +=，求11a b+的最小值；变式二：,a b R +∈且231a b +=，求21a b+的最小值；变式三：,a b R +∈且211a b+=，求a b +的最小值；例4.对于问题“正数,x y 满足21x y +=，求11x y+的最小值〞有如下做法： 21x y +=且,0x y >，1111(2)x y x y x y ⎛⎫∴+=++≥= ⎪⎝⎭，min11x y ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭判断以上解法是否正确？说明理由；假设不正确，请给出正确的解法。

高中数学沪教版(上海)高一第一学期一元二次不等式的解法(无答案)

一元二次不等式的解法一、填空题1.不等式x 2＋5x －6＞0的解集为__________．2.不等式x 2≤3x －2解集为__________．3.不等式25x 2＋4≤20x 的解集为__________．4.关于x 的不等式()()20x a x a -->的解集为()()2,,a a -??,那么实数a 的取值范围是_______．5.不等式202m x mx ++>对任意实数x 恒成立 ,则实数m 的取值范围是_______． 6.已知区间()1,2中的所有元素都是不等式220x mx -+<的解,则实数m 的取值范围是_____．二、选择题7．已知0a <,那么关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是( )A ．()(),5,a a -?+?B ．()(),5,a a -?+?C ．(),5a a -D ．()5,a a -8．x 2＞a 2等价于( )A ．x ≥|a |B ．－a ＜x ＜aC ．x ＜－a 或x ＞aD ．x ＞|a |或x ＜－|a |9．关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0解集为(－1，13)，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．－5 C ．6 D ．510．设121212,,,,,a a b b c c 均为非零实数,不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++> 的解集分别是,M N .那么“111222a b c a b c ==”是“M =N ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题11.若ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，解不等式cx 2＋bx ＋a ＜0.12．已知不等式2220x ax a --<（a R Î）.若1x =不是该不等式的解，求a 的取值范围.13.已知集合A ={}2280x x x --<，集合B ={|0}x x a -<. (1)若A B =?时，求a 的取值范围. （2若AB B =时，求a 的取值范围.14．若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．。

沪教版(2020)必修第一册《第二章等式与不等式》2021年单元测试卷(1)(附答案详解)

沪教版（2020）必修第一册《第二章等式与不等式》2021年单元测试卷（1）一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1.已知α, b, c ∈ R,给出下列条件：①小> b2；②3< j （5）αc2 > be2,则使得Q > b成立的充分而不必要条件是（）A.①B.②C.③D.①②③2.已知集合/ = {x∖x2 -2x-3<0},非空集合B = {x∣2 -α<x< l + α}, F ⊂λ,则实数Q的取值范围为（）A. （-∞,2]B.弓,2]C. （-8,2）D. （1,2）3.若不等式/ + αx + 1 ≥ 0对于一切％∈ （0,三恒成立，则α的最小值是（）A. 0B. -2C. 一：D. —324.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为y = :∕ - 300%+ 80000,为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（）A. 300吨B. 400吨C. 500吨D. 600吨二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）5.设α =b+逐，b = √5 + V5，则α, b的大小关系为.6.己知a > 0, b > 0,则p =当—α与q = b —系的大小关系是 ________ .7.不等式/一5∣x∣-6< 0的解集是.8.若对任意实数χ∈[—1,1],不等式巾2一1>式巾+ 1）恒成立，则实数血的取值范围是_____ .9.己知关于欠的不等式巴色>0的解集为M,且2 0M,则α的取值范围是_________ .x+a10.关于x的不等式αx-b>O的解集为（l,+∞）,则关于％的不等式三¥>0的解集为X—211.已知正实数α, b满足。

炉（。

+ 28）=4,则α + b的最小值为 .12.存在正实数%,使得不等式x ÷ - < m2 +∣m + 1成立，则实数τn的取值范围是_____X /1 ft13.已知x>0, y >0,且―+7=2,则2x+ y的最小值为.14.设a、b、c是三个正实数，且a + b + 2c =些，则翟•的最大值为_______ .a 3b+c15.若正数a, b, c满足空+唱=”+1,则竺与勺最小值是 _____________ .a b c c三、解答题(本大题共6小题，共5L0分)16.关于不等式组仆的整数解的集合为{一2}，则实数k的取值{∆X+ (2∕c + 5)X + 5/c < U范围是 ____ .17. (1)比较/与/一χ + ι的大小；(2)证明：己知a > b > c,且a + b + c = O,求证：£ > £.18.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(a,b), (c,d)作如下定义：那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”，同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)设a、b、c、d均为正数，且点(a,b)是点(c,d)的上位点，请判断点P(Q+ c,b + d)是否既是点(a,b)的“下位点”又是点(c,d)的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；(3)设正整数九满足以下条件：对任意实数m∈{t∣0 V t< 2020,t∈Z},总存在k∈N*,使得点(τι,k)既是点(2020,τn)的“下位点”，又是点(2021,τn + 1)的“上位点”，求正整数兀的最小值.19.已知/(%) = -3X2 + a(6 —a)x + 12.(1)若不等式f(x)>b的解集为(0,3),求实数a、b的值；(2)若a = 3时，对于任意的实数％∈都有f(x) ≥-3/+ (zn + 9)x + 10,求zn的取值范围.20.解关于％的不等式.(2)ax2 + ax + 1 < 0某公司有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-a)万元Q > 0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求α的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键. 根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：①由Q2 >炉，得α , b关系不确定，无法得a>b成立，②当αVθ, b>0时，满足-< ,但Q > b不成立；a b③若加2 > be?,得c ≠ 0 ,贝∣J α > b ,反之不成立，即③是α > b成立的充分不必要条件，故选：C .2.【答案】B'2 —Q< 1 + α【解析】解：A = {x∖x2 - 2x - 3 < 0] = (-1,3)，B QA,当B ≠。

2023学年上海高一上学期数学教材同步练习(沪教新版)2-1不等式的性质(第4课时)(解析版)

2.1不等式的性质（第4课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2020·上海市第三女子中学高一期中）若x y >，m n >，则下列不等式中正确的是（） A ．x m y n +>+ B ．x m y n ->-C ．x y n m> D ．xm yn >【答案】A【分析】根据同向不等式可以加，不等号方向不变，可判断A ； BCD 可通过举反例判断.【详解】解：因为x y >，m n >，则x m y n +>+，故A 正确；当2,1,2,1x y m n ====-时，x m y n -<-，故B 错误；当2,1,2,1x y m n ====-时，x yn m<，故C 错误；当1,1,2,4x y m n ==-==-时，xm yn <，故D 错误. 故选：A.2．（2021·上海·高一专题练习）下列命题为真命题的是（） A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，则a 2>b 2 C ．若a 【答案】D【分析】举反例说明ABC 不正确，依据不等式的性质可知D 正确，从而得出选项. 【详解】对于A ，当c =0时，ac 2=bc 2，所以A 不是真命题；对于B ，当a =0，b =-2时，a >b ，但a 2ab >b 2，所以C 不是真命题；对于D ，若a ，所以D 是真命题．故选:D ．3．（2020·上海·高一专题练习）已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有（） A ．|a |＞|b |＞|c | B ．|ab |＞|bc | C ．|a ＋b |＞|b ＋c | D ．|a －c |＞|a －b | 【答案】D【分析】举特殊值，利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】当a ，b ，c 均为负数时，则A ，B ，C 均不成立，如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，有|a |＜|b |＜|c |，故A 错； |ab |＝2，而|bc |＝6，此时|ab |＜|bc |，故B 错；|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，与C 中|a ＋b |＞|b ＋c |矛盾，故C 错；只有D 正确. 故选：D4．（2020·上海·）A ．22，故只要证明：22>，故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，注意对于不等式两边平方时，要关注不等号两侧代数式的符号，以确定能否平方及平方后不等号是否变向，本题属于基础题．5．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0【答案】A【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解. 【详解】由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确；因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误；若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误；因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误. 故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.6．（2020·上海·高一单元测试）以下结论正确的是A ．若a b <且c d <，则ac bd ，则22ac bc >C ．若a b >且c d <，则a c b d ->-D ．若0a b <<，集合11,A x x B x x a b ⎧⎫⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⊇ 【答案】C【分析】A.举反例即得解；B. 0c 时显然错误；C.利用不等式的性质可以证明正确；D.利用集合的关系分析判断得解.【详解】A. 设1,2,2,1a b c d ===-=-，12<且21-<-，则=ac bd ，所以该选项错误； B. 若a b >，0c 则22ac bc >不成立，所以该选项错误；C. 若a b >且c d <，则c d ->-，所以a c b d ->-，所以该选项正确；D. 若0a b <<，集合11,A x x B x x a b ⎧⎫⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⊆，所以该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．（2016·上海市金山中学高一期中）若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是A ．22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．2ba a b+C ．11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．||2a b +≥【答案】A【分析】A,作差法比较即得该选项正确；B, 如果0ab <，不等式显然不成立；11()=2+a b a b a b b a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，如果0ab <，不等式显然不成立；D, 如果1,1a b ==-，不等式显然不成立.【详解】A. 2222()0422a b a b a b ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭≥-，所以22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以该选项正确； B.2b aa b+，如果0ab <，不等式显然不成立，所以该选项不正确；C. 11()=2+a b a b a b b a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，如果0ab <，不等式11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭显然不成立，所以该选项不正确；D.||2a b +如果1,1a b ==-，不等式显然不成立，所以该选项不正确.故选A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．（2020·上海·高一单元测试）若实数,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是（） A ．a b > B ．33a b > C ．11a b< D ．22ab b >【答案】B【分析】对于选项A 、C,可以举反例判断，对于选项B,可以利用函数的单调性判断，对于选项D,可以利用作差法判断.【详解】对于选项A,可以举反例，如：1,3,a b a b ==->，但是|1||3|<-，所以该选项错误；对于选项B,由于函数3()=f x x 是R 上的单调增函数，所以33a b >，所以该选项正确；对于选项C, 可以举反例，如：1,3,a b a b ==->，但是1113>-，所以该选项错误；对于选项D,222(1)ab b a b -=-不一定大于零，所以该选项错误. 故选B【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．（2017·上海师大附属第二外国语学校高一阶段练习）如果0a b <<，那么下列不等式中错误的是A ．a c b c +<+BC ．22ac bc <D ．11a b> 【答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解.【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B,因为0a b << 对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D, 110,b aa b ab --=>所以11a b>，所以该选项正确. 故选C【点睛】本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）如果0x y +<，且0y >，那么下列不等式成立的是 A ．22y x xy >>B ．22x y xy >>-C ．22x xy y <-<D ．22x xy y >->【答案】D 【分析】由0x y +<，且0y >，可得0x y <-<．再利用不等式的基本性质即可得出2x xy >-，2xy y <-．【详解】0x y +<，且0y >，0x y ∴<-<．2x xy ∴>-，2xy y <-，因此22x xy y >->．故选D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．二、填空题11．（2019·上海虹口·高一期末）已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围为_____．【答案】[]9,0-.【分析】先分别计算3a 和2b -的取值范围，再根据不等式的性质求32a b -的取值范围. 【详解】因为12a ≤≤，36b ≤≤，所以336a ≤≤，1226b -≤-≤-，由不等式运算的性质得：9320a b -≤-≤，故答案为：[]9,0-.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于简单题.12．（2020·上海·高一课时练习）给出下列命题：①a b >，22ac bc >；②a b >，22a b >；③a b >，33a b >；④a b >，22a b >.其中正确的命题序号是________．【答案】②③【分析】利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可. 【详解】①当2c =0时不成立；②一定成立；③当a b >时，()()3322a b a b a ab b -=-++()223024b a b a b ⎡⎤⎛⎫=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦成立；④当0b <时，不一定成立，如：23>-，但()2223<-.故答案为：②③.【点睛】本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.13．（2019·上海市青浦高级中学高一阶段练习）已知0,0,0a b c d e >><<<，则e a c-__________eb d -．【答案】>【分析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11a c b d<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果. 【详解】0c d << 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->-> 11a c b d∴<-- 0e <e e a c b d∴>--故答案为> 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.14．（2021·上海·高一单元测试）“a c b d +<+”是“a b <且c d <”的______条件．【答案】必要非充分【分析】根据不等式的性质可知若“a b <且c d <”，则必有“a c b d +<+”成立，通过反例可以说明前者的逆命题不成立.【详解】若“a b <且c d <”，则a c b c b d +<+<+，故“a c b d +<+”成立；若10,100,20,60a c b d ==-=-=-，则9080a c b d +=-<+=-，但,a b c d ><，所以“a c b d +<+”是“a b <且c d <”成立的必要不充分条件. 故填必要非充分.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.15．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）设2()f x ax bx =+，且)12(1f -≤≤，2(1)4f ≤≤，则(2)f 的最大值为_________. 【答案】14【分析】分别得出()()1,1f a b f a b -=-=+的范围，进而将()242f a b =+由,a b a b -+来表示，然后求得答案.【详解】由题意，1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，而()242f a b =+，设()()()()42a b x a b y a b x y a y x b +=-++=++-，所以4123x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，即()()()23f a b a b =-++，所以()2214314f ≤⨯+⨯=. 即(2)f 的最大值为14.故答案为：14.16．（2020·上海市新川中学高一期中）已知三个不等式（1）0ab >；（2）bc ad >；（3）c da b>，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为_______个．【答案】3【分析】可以组成3个命题，分别利用不等式的性质判断三个命题的真假即可求解. 【详解】命题：若（1）0ab >；（2）bc ad >，则c d a b>，因为0ab >，bc ad >，不等式bc ad >两边同时除以ab 可得：bc ad ab ab>，即c d a b >，所以由（1）0ab >；（2）bc ad >可得（3）c da b>成立；命题：若（1）0ab >，（3）c da b>，则bc ad >；因为c d a b>，0ab >，所以c dab ab a b ⨯>⨯，即bc ad >，所以由（1）0ab >，（3）c da b>，可得（2）bc ad >成立，命题：若（2）bc ad >；（3）c da b>，则0ab > 因为c d a b >，所以0c d bc ad a b ab--=>，因为bc ad >，所以0bc ad ->，所以0ab >，所以由（2）bc ad >；（3）c da b>，可得出（1）0ab >成立，所以组成的3个命题都是真命题，故答案为：3 三、解答题17．（2020·上海·高一课时练习）若0a b >>，0d c <<，求证：a bc d<．【解析】要证a bc d <，只要证0b a d c->即可，所以利用作差法证明即可【详解】解：因为0d c <<，所以0d c ->->，0dc > 因为0a b >>，所以0ad bc ->->，所以0bc ad ->，所以0b a bc add c dc --=>，所以a b c d< 【点睛】此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题18．（2020·上海·高一单元测试）设1a 21111a a =++．（11a 与2a 之间；（2）判断1a ，2a【答案】（1）证明见解析；（2）2a，理由见解析【分析】（1）只要证明)120a a <即可；（2）用a 来刻画a1的大小即可．【详解】（1）证：∵)12a a)11111a a ⎫=-⎪+⎭()211101a a =<+，1a ，2a 之间；（2）解：1=>，12a a ∴>2a ∴【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．19．（2020·上海·高一课时练习）已知b 克的糖水中有a 克的糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水就变甜了．试根据这个事实提炼一个不等式并加以证明．【分析】根据题干知道本题需要证明a a mb b m+<+，0b a >>，0m >，直接利用作差法证明即可．【详解】不等式a a mb b m+<+，其中0b a >>，0m >，证明：()()0m b a a m a a a m b m b b b m b b m -++-=>⇒<+++ 【点睛】本题考查两个代数式的大小的比较，解决本类题的常用方法是作差法，作差法比较大小四步曲：作差-化简-比较-得出结论，本题的结论可以适当加以记忆：糖水加糖甜更甜；属于基础题．20．（2020·上海市嘉定区中光高级中学高一阶段练习）（1）解关于x 的不等式242mx m x +<+，其中2m >；（2）设0x y >>，试比较1xx +和1y y+的大小. 【答案】（1）(,2)m -∞+；（2）11yx x y >++. 【分析】（1）化简不等式为(2)(2)(2)x m m m -<-+，结合2m >和不等式的解法，即可求解；（2）利用作差比较法，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式242mx m x +<+，可化为(2)(2)(2)x m m m -<-+，因为2m >，可得20m ->，即不等式等价于2x m <+，即不等式242mx m x +<+的解集为(,2)m -∞+. （2）由()()()()111111x x xy y xy y y y x y x y x x =+++----=++++，因为0x y >>，可得()()0,101y x y x ->+>+，所以()()011x yx y ++->，所以11yx x y >++. 21．（2018·上海·华师大二附中高一期中）若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+. 【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b aba b a b ab ⎛⎫+-++-+=⎪⎝⎭ ()222()()()a b a ab b ab a b a b abab+-+-+-==.0a >，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.22．（2020·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）已知0a >，比较4(1)(1)a a ++与23(1)(1)a a ++的大小.【答案】当1a =时，423(1)(1)(1)(1)a a a a ++=++；当01a <<或1a >时423(1)(1)(1)(1)a a a a ++>++ 【分析】利用作差法，相减后因式分解再比较即可【详解】由题，()()42354532(1)(1)(1)(1)11a a a a a a a a a a ++-++=+++-+++()()()()()()()()432432321111a a a a a a a a a a a a a a a =+-+=---=---=--()()211a a a =+-，因为0a >，故当1a =时，()()2110a a a +-=，当01a <<或1a >时()()2110a a a +->. 综上，当1a =时，423(1)(1)(1)(1)a a a a ++=++；当01a <<或1a >时423(1)(1)(1)(1)a a a a ++>++【点睛】本题主要考查了作差法比较两式大小的问题，同时也考查了因式分解化简的方法，属于基础题 23．（2021·上海·高一专题练习）已知a ，b 都是正数，并且a ≠b ，求证：a 5+b 5>a 2b 3+a 3b 2．【分析】作差处理并因式分解a 5+b 5-a 2b 3+a 3b 2=(a 5-a 3b 2)+(b 5-a 2b 3) =(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)即可得证. 【详解】证明:a 5+b 5-a 2b 3+a 3b 2=(a 5-a 3b 2)+(b 5-a 2b 3) =a 3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b 2)=(a 3-b 3)(a 2-b 2) =(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)．因为a ，b 都是正数，所以a +b >0，a 2+ab +b 2>0，又因为a ≠b ，所以(a -b )2>0，所以(a +b )(a -b )2(a 2+ab +b 2)>0，即a 5+a 5>a 2b 3+a 3b 2．【能力提升】一、单选题1．（2019·上海市进才中学高一阶段练习）已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，有以下4个命题：（1 （2）以2a 、2b 、2c 为边长的三角形一定存在；（3）以2a b +、2b c +、2c a+为边长的三角形一定存在；（4）以ab 、bc 、ca 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案. 【详解】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，对于（1）：220b c a -=+-+三角形一定存在；故（1）正确；对于（2）：()2222220b c a b c bc a +-=+-->不一定成立，因此以2a 、2b 、2c 为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；对于（3）：0222b c c a a b c ++++-=>，因此以2a b +、2b c +、2c a +为边长的三角形一定存在；故（3）正确；对于（4）：取5,4,2a b c ===，b c a +>，因此a 、b 、c ，能构成一个三角形的三边，而ac bc ab +<，因此以ab 、bc 、ca 为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，所以正确的命题有2个，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.二、填空题2．（2019·上海市进才中学高一阶段练习）已知函数2()f x ax bx c =++，,,a b c ∈R ，且0a ≠．记(,,)M a b c 为()f x 在[]0,1上的最大值，则2(,,)a b c M a b c ++的最大值是_______．【答案】2 试题分析：由题意知(,,)(1)M a b c f ≥，(,,)(0)M a b c f ≥，所以2(,,)(1)(0)M a b c f f ≥+≥(1)(0)22f f a b c a b c +=++≥++，所以22(,,)a b c M a b c ++≤．考点：1、绝对值不等式的性质；2、函数的最值．三、解答题3．（2018·上海外国语大学闵行外国语中学高一期中）若实数x ，y ，m 满足|x -m |＞|y -m |，则称x 比y 远离m ．（1）若2比3x -4远离1，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的实数a ，b 证明222a b +比（2a b +）2远离ab ；（3）设函数f （x ）的定义域为D ，值域为E ，任取x ∈D ，f （x ）是g （x ）=x 2-2x -3和h （x ）=2x +2中远离0的那个值，写出f （x ）的解析式，并写出其定义域与值域．【答案】（1）43＜x ＜2（2）详见解析（3）f （x ）=2223;12215235x x x x x x x x ；＜＜；⎧--≤-⎪+-⎨⎪--≥⎩，定义域为R ，值域[-4，+∞）．【分析】（1）根据定义利用运用绝对值不等式的解法可解决；（2）根据定义可解决此问题；（3）令x 2-2x -3=2x +2得x =-1或x =5，根据定义可求函数的解析式．进而得到定义域与值域．【详解】解：根据题意得：（1）21-＞341x -- ∴35x -＜1解得43＜x ＜2；（2）证明：222a b ab +-=2222a b ab +-=2()2a b -； 2()2a b ab +-=2()4a b - ∵a ≠b ∴2()2a b -＞2()4a b - ∴222a b +比2()2a b +远离ab ；（3）令x 2-2x -3=2x +2=0得x =-1令x 2-2x -3=2x +2得x =-1或x =5∴f （x ）=2223;12215235x x x x x x x x ⎧--≤-⎪+-⎨⎪--≥⎩；＜＜；由解析式可得定义域为R当1x ≤-时，()2f x 23x x =--单调递减，值域为[)0,+∞15x -＜＜时，()f x 22x =+单调递增，值域为（0,12）5x ≥时，()2f x 23x x =--单调递增，值域为[)12,+∞值域[0，+∞）．【点睛】本题考查新定义概念的理解和应用，考查不等式的知识和绝对值不等式的解法．属中档题.。

2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)2-2一元二次不等式的求解(第2课时)(解析版)

2.2一元二次不等式的求解（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·高一专题练习）不等式2230x x -++<的解集是（）A ．{x |x <－1}B ．{}| 1.5x x >C ．{}|1 1.5x x -<<D ．{1x x <-或}1.5x > 【答案】D【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】22230230(23)(1)0 1.5x x x x x x x -++<⇒-->⇒-+>⇒>或1x <-，故选：D二、填空题2．（2020·上海·高一单元测试）不等式2016x <<的解集为____________【答案】()()4,00,4-【分析】根据一元二次不等式的解法，可直接得出结果.【详解】由2016x <<得2160x x ⎧<⎨≠⎩，解得40x -<<或04x <<，即原不等式的解集为()()4,00,4-. 故答案为：()()4,00,4-.3．（2020·上海·高一单元测试）不等式2(2)4x -≤的解集为________【答案】{|04}x x ≤≤【解析】直接由222x -≤-≤可得解集.【详解】由2(2)4x -≤，得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤，所以解集为{|04}x x ≤≤.故答案为：{|04}x x ≤≤.4．（2020·上海·高一单元测试）不等式2560x x -+>的解集．．为__________．【答案】{2|x x <或3x >}【分析】十字相乘法因式分解可解得结果.【详解】由2560x x -+>得(2)(3)0x x -->，得2x <或3x >，所以不等式2560x x -+>的解集为{2|x x <或3x >}.故答案为：{2|x x <或3x >}5．（2020·上海嘉定·高一期末）不等式²40x -≤的解集是______________．【答案】[]22-,【解析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式²40x -≤化为()()220x x +-≤，解得22x -≤≤，故不等式的解集为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 6．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）不等式(3)0x x -≤的解集为_________________. 【答案】{0x x ≤或}3x ≥.【分析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.【详解】因为(3)0x x -≤，所以(3)0x x -≥，所以3x ≥或0x ≤，所以不等式(3)0x x -≤的解集为{0x x ≤或}3x ≥. 故答案为：{0x x ≤或}3x ≥.7．（2021·上海·高一单元测试）不等式()2227x x -<-+的解集为__________.【答案】(1,3)-【分析】根据一元二次不等式的解法求解．【详解】2(2)27x x -<-+2230x x ⇒--<(1)(3)013x x x ⇒+-<⇒-<<．故答案为：(1,3)-．8．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.4]=1，[-1.4]=-2，则不等式24[]20[]210x x -+<的解集是________;【答案】[)2,4 【分析】首先根据二次不等式可得[]3722x <<，可得[]2,3x =，由[]x 的定义即可得解.【详解】由24[]20[]210x x -+<可得[]3722x <<，由[]x 表示整数，则[]2,3x =，所以24x ≤<，即解集为[)2,4.故答案为：[)2,49．（2021·上海·复旦附中青浦分校高一阶段练习）不等式2450x x -->的解集为________．【答案】(,1)(5,)-∞-+∞【分析】应用一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】由题设，(1)(5)0x x +->，解得1x <-或5x >，∴原不等式的解集为(,1)(5,)-∞-+∞.故答案为：(,1)(5,)-∞-+∞10．（2021·上海·南洋中学高一期中）已知p ：24320x x --≤，q ：()()()1100x m x m m ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦<⎣，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为______【答案】(],7-∞-【分析】解出一元二次不等式，利用p 是q 的充分条件，得到两个集合的包含关系，从而利用端点值的大小，求出m 的取值范围【详解】24320x x --≤，解得：{}48x x -≤≤∵0m <∴11m m +<-∴()()()1100x m x m m ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦<⎣的解集为：{}11x m x m +≤≤-∵p 是q 的充分条件 ∴{}48x x -≤≤⊆{}11x m x m +≤≤-∴1418m m +≤-⎧⎨-≥⎩解得：{}7m m ≤-故答案为：(],7-∞-三、解答题11．（2020·上海·高一专题练习）解下列不等式或不等式组.（1）2440x x ++≤（2）2111032x x --≥ （3）284x x +≤（4）21573x x <-+<【答案】（1）{-2}；（2）357([)4+-∞+∞；（3）∅ （4）(1,2)(3,4)⋃；（5）123(,][,1)234. 【分析】（1）不等式转化为()220x +≤求解；（2）不等式转化为22360x x --≥，再求对应方程的两个实数根，再解不等式；（3）由不等式可知∆<0，再解不等式；（4）分别解2573x x -+<和2571x x -+>，再求交集；（5）分别解22103x x -+<和2121760x x -+≥，再求交集.【详解】（1）()2244020x x x ++≤⇔+≤，不等式的解集为{}2-；（2）221110236032x x x x --≥⇔--≥，()()23426570∆=--⨯⨯-=>，方程22360x x --=对应的两个实数根是x =，所以不等式的解集是3574⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）2284480x x x x +≤⇔-+≤，()24418160∆=--⨯⨯=-<，所以不等式的解集是∅；（4）21573x x <-+<，22573540x x x x -+<⇔-+<，解得：14x <<，22571560x x x x -+>⇔-+>，解得：3x >或2x <，两个不等式的解集求交集，即()()1,23,4；12．（2020·上海·高一专题练习）解下列不等式：（1）234x x <+（2）2210x x -+≤（3）220x x +-≥（4）2440x x +-<（5）22(45)(22)0x x x x +--+>（6）4260x x --≥（7）2666x x -<--<【答案】（1）{14}x x -<<；（2）{}1x x =；（3）{}12x x -≤≤；（4）{22x x --<-+；（5）{1x x >或5}x <-；（6）{x x ≥x ≤；（7）{30x x -<<或14}x <<.【分析】（1）不等式可化为(4)(1)0x x -+<，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2）不等式2221(1)0x x x -+=-≤，即可求得答案.（3）不等式可化为(2)(1)0x x -+≤，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（4）令2440x x +-=，可求得两根，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（5）因为2220y x x =-+>恒成立，所以原不等式可等价为2450x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（6）不等式可化为22(3)(2)0x x -+≥，解得23x ≥，即可求得答案.（7）不等式可化为226666x x x x ⎧--<⎨-->-⎩，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）不等式234x x <+，可化为2340x x --<，即(4)(1)0x x -+<，解得14x -<<，故解集为{14}x x -<<.（2）不等式2221(1)0x x x -+=-≤，解得x =1，故解集为{}1x x =.（3）不等式220x x +-≥，可化为220x x --≤，即(2)(1)0x x -+≤解得12x -≤≤，故解集为{}12x x -≤≤.（4）令2440x x +-=，解得2x =-±所以不等式2440x x +-<的解集为{22x x --<<-+.（5）令222y x x -=+，2(2)4240∆=--⨯=-<，所以2220y x x =-+>恒成立，所以22(45)(22)0x x x x +--+>等价为2450x x +->，即(1)(5)0x x -+>，解得1x >或5x <-，故解集为{1x x >或5}x <-.（6）不等式4260x x --≥，可化为22(3)(2)0x x -+≥，因为220x +>恒成立，所以23x ≥，解得x ≥x ≤{x x ≥x ≤.（7）不等式2666x x -<--<，可化为226666x x x x ⎧--<⎨-->-⎩，即221200x x x x ⎧--<⎨->⎩，所以3410x x x -<<⎧⎨><⎩或，解得30x -<<或14x <<，故解集为{30x x -<<或14}x << 【能力提升】一、单选题1．（2020·上海南汇中学高一阶段练习）已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（） A ．34a <≤B ．14a <≤C ．1a >D ．4a ≤【答案】A【分析】由已知可得判别式0∆≥，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得. 【详解】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-≥⎧⎪+=⎨⎪=⎩，因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>成立，由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-≥解得：4a ≤，于是得34a <≤，所以a 的取值范围是34a <≤.故选：A二、填空题2．（2021·上海交大附中高一开学考试）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【分析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简()()2211a b --即可求解．【详解】解：a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥ ，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++ ()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+， 24t =- ，又12t ≤≤，2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．3．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__．【答案】3443(,][,)2332--．【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ，其解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不满足题意； ②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，不满足题意； ③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12?1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<； ④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．4．（2020·上海·高一单元测试）设函数()2f x x ax b =++(),a b R ∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-的解集为[]{}2,36⋃，则a b +=______【答案】9【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解.【详解】由6x =满足不等式知0(6)0f ≤≤，即3660a b ++=，所以366b a =--，所以()22636(6)(6)0f x x ax b x ax a x x a =++=+--=-++≥，所以()0f x =的两根为6,6a --，而()6f x x ≤-可化为2(1)6(7)0x a x a ++-+≤，即(6)(7)0x x a -++≤，所以方程(6)(7)0x x a -++=的两根为6，7a --且76a a --<--，不等式()06f x x ≤≤-的解集为[]{}2,36⋃，可知7263a a --=⎧⎨--=⎩，解得9a =-，所以36618b a =--=，所以1899a b +=-=，故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理解2,3,6分别是(6)(6)0x x a -++=与(6)(7)0x x a -++=的根，而方程含有公共根6，所以必然2,3两根分别是7,6a a ----，即可求解,本题属于难题.三、解答题5．（2021·上海市第二中学高一期中）1.已知集合{}20(1,3)A x x mx n =-++>=-，集合{}2220B x x ax a =--<． (1)求常数m 、n 的值；(2)设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2m =，3n =(2)(]3,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B ，注意对a 进行分类讨论，利用p 是q 的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a 的取值范围(1)因为{}20(1,3)A x x mx n =-++>=-，所以-1和3是方程20x mx n -++=的两个根，由韦达定理得：13m -+=，13n -⨯=-，解得：2m =，3n =(2)2220x ax a --<，解得：当0a >时，集合(),2B a a =-，当0a <时，集合()2,B a a =-，当0a =时，解集为∅因为p 是q 的充分不必要条件，:p x A ∈，:q x B ∈当0a =时，B =∅，此时p 是q 的必要不充分条件，不满足题意，舍去当0a >时，需要满足()(1,3),2a a -⊆-，此时123a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得：32a ≥ 当0a <时，需要满足()(1,3)2,a a -⊆-，此时213a a ≤-⎧⎨-≥⎩，解得：3a ≤- 综上：实数a 的取值范围为(]3,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭6．（2021·上海浦东新·高一期中）已知221t mx x m =--+.(1)是否存在实数m ，使得0t <对x ∈R 恒成立？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设0t <对于所有的22m -≤≤恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(1)不存在，理由见解析．(2)⎝⎭【分析】（1）0m =时不满足题意，0m ≠时，结合二次函数性质可得；（2）整理成关于m 的函数，相当于一次不等式在[2,2]-上恒成立问题，然后可求解．(1)解：0m =时，不等式为210x -+<，x ∈R 不恒成立，若存在m ，使得0t <对x ∈R 恒成立．则0m <，44(1)0m m ∆=--+<，210m m -+<，但22131()024m m m -+=-+>，因此不存在m ，使得0t <对x ∈R 恒成立．(2)问题转化为不等式2(1)210x m x --+<在[2,2]m ∈-上恒成立，所以222(1)2102(1)210x x x x ⎧---+<⎨--+<⎩x <实数x 的取值范围是⎝⎭。

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不等式的解法2指数、对数不等式的解法
一、选择：
1、1．不等式
16)21(1281≤<x 的整数解的个数为（ B ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
2．不等式2|2|log 3<-x 的整数解的个数为（ B ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
3．若a a
则,132log <的取值范围是（ D ） A ．)32,0( B ．),32(+∞ C ．)1,32( D ．)3
2,0(∪)1(∞+ 4、不等式(x －1)02≥+x 的解为（ C ）
(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1
5、当)()(,1x g x f a a a >>与时等价的不等式是（ C ）
（A ）0)()(>>x g x f （B ）)()(0x g x f <<（C ）)()(x g x f > （D ）)()(x g x f <
6、不等式1log
21<x 的解集为（ C ） A ．}41
|{>x x B ．}1,41|{≠>
x x x 且 C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x 7、不等式)1(1)12(1log log ---->x a x a 成立的充要条件（ A ）
A ．1,2>>x a
B ．1,1>>x a
C ．0,2>>x a
D ．0>x 8、已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{2
1322（ C ）
A ．)23
,0( B ．)2,23
( C ．)23
,1( D ．(0,1)
9、若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（D ）
A ．10<<a
B ．10≤≤a
C ．10><a a 或
D ．10≥≤a a 或 10、对于22322)21
(,a x ax x
R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围（ B ） A ．(0,1) B ．),43
(+∞ C ．)43
,0( D ．)4
3
,(-∞ 二、填空：
11、不等式0log log 22
1>x 的解集为_____()1,2________
12、不等式3331>--x 的解集为_____3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
_______ 13、不等式1)22lg(2
<++x x 的解集为 ()4,2- 14、不等式lg x ＋lg(x －3)<1的解集为 ()3,5 .
15、不等式)1(4)1(2log 5log 2
++->x x 的解集是______()3,+∞______________ 16、设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是
____(),log 3a -∞___________
三、解答：
17、解不等式：
1）66522252.0++-+-≥x x x x 2）2)1lg()910lg()910lg(2+--<-++x x x x
3）0825421
≥+⋅-+x x 4）2log )532()1(2>-++x x x
答案：无解,无解,15,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
,()2,+∞ 18、]1)12(2[log }0|{1,102+++-<>≠>a x a x x x a x a a a x 求不等式的解集是的不等式已知关于且 < 0的解集.
答案：{}()()1,2,2
,,,a x x x R a a a a =≠∈⎛⎫∞+∞ ⎪⎝
⎭⎛⎫∞+∞ ⎪⎝⎭
11＜＜1,-,22110＜＜-,22 19、解不等式1)1
1(log >-x
a 答案：,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭1＞1,1-a 10＜a ＜1,1,1-a。