2018九江考研数学线性代数核心考点降价法计算行列式
考研数学《线性代数》复习重点
考研数学《线性代数》复习重点本章的重点是行列式的计算，主要有两种类型的题目：数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式的计算不会以单独题目的形式考查，但是在解决线性方程组求解问题以及特征值与特征向量的问题时均涉及到数值型行列式的计算;而抽象型行列式的计算问题会以填空题的形式展现，在历年考研真题中可以找到有关抽象型行列式的计算问题。
因此，在复习期间行列式这块要做到利用行列式的性质及展开定理熟练的、准确的计算出数值型行列式的值，不管是高阶的还是低阶的都要会计算。
另外还要会综合后面的知识会计算简单的抽象行列式的值。
本章需要重点掌握的根本概念有可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵和初等矩阵，可逆阵与伴随矩阵的相关性质也很重要，也是需要掌握的。
除了这些就是矩阵的根本运算，可以将矩阵的运算分为两个层次：1、矩阵的符号运算。
2、具体矩阵的数值运算。
矩阵的符号运算就是利用相关矩阵的性质对给出的矩阵等式进行化简，而具体矩阵的数值运算主要指矩阵的乘法运算、求逆运算等。
本章的重点有：1、向量组的线性相关性证明、线性表出等问题，解决此类问题的关键在于深刻理解向量组的线性相关性概念，掌握线性相关性的几个相关定理，另外还要注意推证过程中逻辑的正确性，还要善于使用反证法。
2、向量组的极大无关组、等价向量组、向量组及矩阵秩的概念，以及它们之间的相互关系。
要求会用矩阵的初等变换求向量组的极大线性无关组以及向量组或者矩阵的秩。
第四章线性方程组本章的重点是利用向量这个工具解决线性方程组解的判定及解的结构问题。
题目根本没有难度，但是大家在复习的时候要注意将向量与线性方程组两章的知识内容联系起来，学会融会贯穿。
本章的根本要求有三点：1、要会求特征值、特征向量。
对于具体给定的数值型矩阵，一般方法是通过特征方程∣λE-A∣=0求出特征值，然后通过求解齐次线性方程组(λE-A)ξ=0的非零解得出对应特征值的特征向量，而对于抽象的矩阵来说，在求特征值时主要考虑利用定义Aξ=λξ，另外还要注意特征值与特征向量的性质及其应用。
行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换） （3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。
考研《线性代数》考点与考研真题详解
考研《线性代数》考点与考研真题详解线性代数作为考研数学中的重要组成部分，对于许多考生来说是一个具有挑战性的科目。
为了帮助考生更好地掌握线性代数的考点，提高解题能力，本文将详细梳理线性代数的主要考点，并结合考研真题进行深入分析。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，其计算方法和性质是考试的重点。
1、行列式的定义n 阶行列式是一个数，它是由 n 行 n 列的元素按照一定的规则计算得到的。
2、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中某行（列）的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
3、行列式的计算常见的计算方法有：上三角法、按行（列）展开法、利用行列式的性质化简等。
考研真题示例：计算行列式＼＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼解：将行列式按第一行展开，得到＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）－1\times(1\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix}0 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）＼＼＝＆2\times(2\times(4 1) 1\times(2 0)） 1\times(4 1 0)＼＼＝＆2\times(6 2) 1\times 3\＼＝＆8 3\＼＝＆5＼end{align}＼二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等。
行列式的降价处理-按行列展开
副对角线上的元素是行列式中与主元所在的行和列垂直相交 的元素。
02
展开副对角线上的元素时，应将主元与其所在行和列的其他 元素进行运算，得到一个数值。
03
展开副对角线上的元素后，行列式的值会发生变化，但不会 改变其符号。
04 行列式按行列展开的应用
在线性方程组中的应用
求解线性方程组
通过行列式按行列展开，可以将 线性方程组转化为更易于求解的 形式，如三角形方程组或三对角 线方程组。
计算的准确性。
理解行列式与矩阵的关系
1
行列式是一个数值，表示一个n阶方阵的线性变 换下的面积或体积的变化率。
2
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，表示线性变 换中的系数。
3
行列式与矩阵的关系在于，行列式是矩阵的一种 特殊表现形式，用于描述线性变换的性质。
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n阶行列式的展开
n阶行列式可以按照二阶或三阶行列 式的展开方式进行递归展开，直到化 为最简形式。
在展开过程中，需要注意代数余子式 的计算和利用，以便进行简化。
03 行列式按行列展开的步骤
选取主元
主元是行列式中绝对值最大的元 素。
主元的选取是行列式展开的关键， 因为它决定了后续计算的复杂度
和正确性。
行列式的降价处理-按行列展开
目录
• 行列式的定义与性质 • 行列式按行列展开的原理 • 行列式按行列展开的步骤 • 行列式按行列展开的应用 • 行列式按行列展开的注意事项
01 行列式的定义与性质
行列式的定义
1 2
二阶行列式
由两个元素构成的方阵，计算方式为左上角元素 乘以下右角元素减去右下角元素乘以上左下角元 素。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)(一）行列式的定义及相关公式 (2)（二）n级行列式的性质： (4)二、行列式的计算 (6)（一）行列式的基本计算方法 (6)1、定义法： (6)2、三角形法： (7)3、降阶法： (12)4、换元法： (14)5、递推法： (15)6、数学归纳法: (16)7、目标行列式法： (18)(二）行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念.行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。
辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first，moreover all has the widespread application in other discipline branches，we can say that it is an important study tool which in mathematics，the physics as well as the engineering course many curricula。
2018九江考研线性代数核心考点方阵的行列式
2018考研线性代数核心考点:方阵的行
列式
2018考研数学冲刺已经来临，下面给大家分享2018考研线性代数核心考点:方阵的行列式，帮助大家更好的复习!
考研冲刺复习阶段，带大家来梳理数学各科核心考点，把重要知识点进行巩固，熟练把握相关题型和技巧。
下面是线性代数核心考点：方阵的行列式。
【小结】：本题用到了分块矩阵行列式的计算公式，也即拉普拉斯展开式。
它在行列式计算中的作用与行列式的展开定理类似，都是将行列式降阶，进而降低计算难度。
而通常情况下，它降阶的速度往往比展开定理更快。
一般来说，当行列式中有较多的零时，就可以考虑利用行列式的性质将零集中起来，组成分块矩阵再进行计算。
以上是中公考研为大家准备整理的“2018考研线性代数核心考点:方阵的行列式”的相关内容。
行列式的降价处理及拉普拉斯定理
02
在三角化过程中，通常需要消去或减少行列式中的二阶子式，
以便更容易地计算行列式的值。
三角化方法在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题中也
03
有广泛应用。
递推法
递推法是通过将行列式表示为一系列低阶行列式 的线性组合，从而降低计算复杂度的方法。
递推法通常适用于具有特定结构（如三角形、对 角线元素占优等）的行列式。
通过数学归纳法，可以证明一系列与行列式有 关的命题，如二阶行列式的性质、三阶行列式 的展开公式等。
03
拉普拉斯定理及其应用
拉普拉斯定理的表述
拉普拉斯定理（Laplace's Theorem）
在一定条件下，一个二阶行列式中所有的代数余子式都相等，且等于主对角线上元素的 乘积减去副对角线上元素的乘积。
在递推过程中，可以利用已知的低阶行列式值来 计算高阶行列式的值，从而减少计算量。
数学归纳法
数学归纳法是一种证明与自然数n有关的命题的 方法，通过归纳法可以证明行列式的性质和计 算公式。
在数学归纳法中，首先证明基础步骤（n=1或 n=2），然后假设当n=k时命题成立，再证明 当n=k+1时命题也成立。
代数余子式
在n阶行列式中去掉某一元素所在的行和列后所剩下的n-1阶行列式，再乘以-1的适当 次幂，所得的行列式称为该元素所在位置的代数余子式。
拉普拉斯定理的证明
利用二阶行列式的展开法则，将行列式展开为若干个二阶子 式之和，每个子式都可以利用二阶行列式的性质进行化简， 最终得到拉普拉斯定理的结论。
证明过程中需要用到行列式的性质，如代数余子式的性质、 转置行列式的性质等。
详细描述
直接计算法是通过展开行列式，按照定义逐步计算出结果；递推法则是利用递推公式，将高阶行列式转化为低阶 行列式进行计算；化简法则是利用行列式的性质，将行列式化简为易于计算的形式，再进行计算。在实际应用中， 根据具体情况选择合适的计算方法可以提高计算效率。
考研数学线性代数知识点精讲
考研数学线性代数知识点精讲线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，它可能具有一定的挑战性。
但只要我们掌握了关键的知识点和方法，就能轻松应对。
接下来，让我们深入地探讨一下线性代数中的重要知识点。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。
行列式的计算方法有很多，比如按照某一行（列）展开、利用行列式的性质化简等。
对于二阶和三阶行列式，我们可以直接使用公式计算。
二阶行列式的值为“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”；三阶行列式的计算相对复杂一些，但我们可以通过按某一行（列）展开，将其转化为二阶行列式的计算。
行列式的性质是我们化简计算的重要工具。
比如，行列式某一行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等等。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
矩阵的逆也是一个重要的概念。
若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B 使得 AB ＝ BA ＝ I，其中 I 是单位矩阵。
求矩阵的逆可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
矩阵的秩反映了矩阵中线性无关的行（列）向量的个数。
通过初等变换可以将矩阵化为阶梯形，从而求出矩阵的秩。
三、向量向量是既有大小又有方向的量。
线性相关和线性无关是向量组的重要性质。
如果存在一组不全为零的数使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则，称其线性无关。
向量组的秩等于其极大线性无关组中向量的个数。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的常见问题。
对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。
对于非齐次线性方程组，如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且小于未知数的个数，则方程组有无穷多解；如果增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，则方程组无解。
2018线性代数基础讲义
a13 a23 a33．来自a23 1 ，则 4a21
a31
三、行列式的计算 （一）降阶 1.余子式 M ij ，代数余子式 Aij 的概念． 记 n 阶行列式
a11 D a 21 a n1
a12 a22
a1 n a2 n
，
an 2 ann
将 D 中划去元素 aij 所在的第 i 行第 j 列后剩下的 n 1 行、 n 1 列元素不改变相互位
排列. 例如:2143 是一个 4 阶排列,3124 也是一个 4 阶排列,25134 是一个 5 阶排列. 定义 2 一个排列中如果一个大的数排列在一个小的数之前,就称这两个数构成一个逆 序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用 ( j1 j2 jn ) 表示排列 j1 j2 ... jn 的逆序数. 如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列. 例如：在 5 阶排列 25134 中,共有逆序 21,51,53,54,即 (25134) =4,所以 25134 是偶排列. 在 6 阶排列 365412 中,共有逆序 31,32,65,64,61,62,54,51,52,41,42 即 (365412) =11,所以 365412 是奇排列. 2. n 阶行列式的定义
a11 a21 a11
a12 a22 a12 a22 a32
a11a22 a12 a21 ； （对角线法则） a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33
1
三阶行列式： a21
a31
２０１８考研备考ＱＱ群４９８９２３４７３免费分享 仔细对照群号 防止有人倒卖
a11
定义 3 称
a12 a22
2018考研数学一线性代数行列式复习内容介绍
2018考研数学一线性代数行列式复习内容介绍
来源：智阅网
线性代数在考研数学一中，也占有很重要的位置。
需要我们认真复习，才能取得不错的成绩。
那么，我们就来了解一下在强化阶段，线性代数中行列式的主要内容有哪些，以方便我们的复习。
行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。
行列式计算的主要方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算;第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算;第三，利用特殊行列式来进行计算，如范德蒙行列式，行(列)和相等行列式，广义对角行列式等等，第四，利用特征值来计算行列式。
行列式的应用主要体现在利用克莱姆法则判断方程组解的情况以及如何求解整个方程组，在判断方程组解的情况时只要方程组满足是方形的也就是方程组的个数和未知数的个数相等时往往利用克莱姆法则来判断解的情况来的更快，更简捷。
总之，行列式这个章节整体的落脚点还是在行列式的计算上，在后面章节中求解特征值时都要用到行列式的相关计算。
我们还可以做做汤家凤老师的2018《考研数学15真题解析与方法指导》（数学一），书中对于真题常考题型解析详尽，有助于我们掌握常考题型和方法技巧。
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考研数学线性代数知识点总结
考研数学线性代数知识点总结线性代数是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，它既是重点也是难点。
以下将对线性代数的主要知识点进行详细总结。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。
行列式的计算方法有很多，比如按行（列）展开、化为上三角（下三角）行列式等。
行列式的性质包括：行列式与它的转置行列式相等；行列式中某行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变等。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
矩阵乘法需要注意其运算规则，一般不满足交换律。
矩阵的逆是一个重要概念，如果矩阵 A 可逆，则存在 A 的逆矩阵 A⁻¹，使得AA⁻¹＝A⁻¹A ＝E（单位矩阵）。
矩阵的秩也是一个关键概念，它表示矩阵中线性无关的行（列）向量的最大个数。
三、向量向量是线性代数中的重要概念，包括行向量和列向量。
向量组的线性相关性是重点，判断向量组线性相关或线性无关的方法有定义法、秩法等。
向量组的极大线性无关组和向量组的秩也是常考内容。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的核心问题之一。
齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法不同。
对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一零解；当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。
对于非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解；否则无解。
当有解时，如果秩等于未知数的个数，有唯一解；否则有无穷多解。
五、特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数λ和非零向量 x，使得 Ax ＝λx，则称λ是 A 的特征值，x 是 A 的对应于特征值λ的特征向量。
求特征值和特征向量的方法是通过求解特征方程|λE A| ＝ 0 得到特征值，然后代入（λE A)x ＝ 0 求解特征向量。
六、相似矩阵相似矩阵具有相同的特征值。
考研线性代数行列式与矩阵部分重点解析
考研线性代数行列式与矩阵部分重点解析考研线性代数行列式与矩阵部分重点解析考生们在进行考研线性代数行列式与矩阵部分的复习时，需要把重点知识掌握好。
店铺为大家精心准备了考研线性代数行列式与矩阵部分知识点解读，欢迎大家前来阅读。
考研线性代数行列式与矩阵部分难点分析一、行列式行列式是线性代数中的基本运算。
该部分单独出题情况不多，很多时候，考试将其与其它知识点(矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等)结合起来考查。
行列式的重点是计算，包括数值型行列式、抽象型行列式和含参数行列式的计算。
结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。
具体如下：1. 行列式自身知识考生应在理解定义、掌握性质及展开定理的基础上，熟练掌握各种形式的行列式的计算。
行列式计算的基本思路是利用性质化简，利用展开定理降阶。
常见的计算方法有：“三角化”法，直接利用展开定理，利用范德蒙行列式结论，逆向运用展开定理。
2. 行列式与其它知识的联系行列式与其它知识(线性方程组的克拉默法则、由伴随矩阵求逆矩阵、证明矩阵可逆、判定n个n维向量线性相关(无关)、计算矩阵特征值、判断二次型的正定性)有较多联系。
考生应准确把握这些联系，并灵活运用。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心，也是考研数学的重点考查内容。
考试单独考查本部分以小题为主，平均每年1至2题。
但是矩阵是线性代数的“活动基地”，线性代数的考题绝大部分是以矩阵为载体出题的，因此矩阵复习的成败基本决定了整个线性代数复习的成败。
该部分的常考题型有：矩阵的运算，逆矩阵，初等变换，矩阵方程，矩阵的秩，矩阵的分块。
其中逆矩阵考得最多。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：矩阵运算中矩阵乘法是核心，要特别注意乘法不满足交换律和消去律。
逆矩阵需注意三方面——定义、与伴随矩阵的关系、利用初等变换求逆矩阵。
伴随矩阵是难点，需熟记最基本的公式，并灵活运用。
对于矩阵的秩，着重理解其定义，及其与行列式及矩阵可逆性的关系。
考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法考生们在复习考研数学的线性代数行列式时，需要把计算的方法掌握好。
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考研数学线性代数行列式的计算技巧一、基本内容及历年大纲要求。
本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。
从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。
不过要想达到大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。
二、行列式在线性代数中的地位。
行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。
三、行列式的计算。
由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。
虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。
1.数值型行列式的计算主要方法有：(1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算;(3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算;(4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算;(5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。
2.抽象型行列式的计算主要计算方法有：(1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的;(2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算;(3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算;(4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算;(5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。
盘点考研数学线性代数历年真题考点分布
盘点考研数学线性代数历年真题考点分布线性代数是考研数学的一个重要的考试科目，近年来在考研中的比重越来越大，几乎占据数学科目的一半以上。
同时，线性代数的难度也相对较高，考察的知识点也比较多。
在备考中，了解历年真题考点分布是非常重要的，可以帮助考生更加有目的地学习和复习。
本文将盘点考研数学线性代数历年真题考点分布。
第一章行列式行列式是线性代数的基础和核心概念之一，也是其中重要的考试知识点之一。
近年来，考研数学中对于行列式的考察也非常频繁。
下面是历年真题行列式的考点分布：•行列式性质及展开定理：每年都有考察，占据行列式考试题目的大部分。
•克拉默法则：每年至少考察一次。
•求行列式的值：每年都有考察，但难度较大。
•行列式的变形：近几年考察的次数有所减少。
第二章线性方程组线性方程组是线性代数又一个重要的概念和考试知识点，其较为基础的概念包括了矩阵的增广矩阵，矩阵的秩，线性方程组的解法等。
历年真题考察的线性方程组的考点分布如下：•线性方程组的基本概念：每年都有考察。
•线性方程组的解法及相关定理：高斯-若尔当消元法每年都会出现，齐次线性方程组许多年都有考察，而解的存在性和唯一性则在近年来变得更加重要。
•线性方程组复习题型：此类题型主要是对于线性方程组概念的考察，伴随一些计算策略的理解。
第三章矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数的另一要点，也是重要的考试知识点之一，在高等数学、工程技术等方面都有广泛的应用。
历年考研真题的矩阵与矩阵运算的考点分布如下：•矩阵的基本概念：每年都有考察，占比比较低。
•矩阵的运算：和、积的概念和计算是考试的重点，每年都会出现计算题，而转置、逆矩阵则是近年来的热点考察内容。
•特殊矩阵：对角矩阵、下三角矩阵、上三角矩阵等其它特殊矩阵也有一定的考试范围。
第四章线性空间线性空间是线性代数较为高级的要点，在考研线性代数的试卷中会相对较多地涉及。
其中最重要的概念就是线性变换、基和维数、内积和正交等。
历年考研真题的线性空间考点分布如下：•线性空间的基本概念：其中向量组、基、维数是考试重点。
考研线性代数如何复习行列式的计算
考研线性代数如何复习行列式的计算考研线性代数知识体系复杂，各个知识点之间都是相通的，这就导致考题的灵活性、综合性强。
为大家精心准备了考研线性代数复习行列式的计算的指南，欢送大家前来阅读。
一、根本内容及历年大纲要求。
本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。
从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质及展开定理计算行列式。
不过要想到达大纲中的要求还需要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中的相关推论是如何得到的。
二、行列式在线性代数中的地位。
行列式是线性代数中最根本的运算之一,也是考生复习考研线性代数必须掌握的根本技能之一(另一项根本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不管是后续章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着密切的联系。
三、行列式的计算。
由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比拟多变，这也是广阔考生在复习线性代数时面临的第一道关卡。
虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。
1.数值型行列式的计算主要方法有：(1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算;(3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算;(4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算;(5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。
2.抽象型行列式的计算主要计算方法有：(1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的;(2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算;(3)利用矩阵的特征值，主要适用于或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算;(4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算;(5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。
考研数学线性代数重要考点总结
考研数学线性代数重要考点总结考研数学线性代数的六大考点线性代数主要包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型六章内容。
按照章节，我们总结出线性代数必须掌握的六大考点。
一是行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法。
在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。
另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。
二是矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。
通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。
涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。
三是向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。
向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。
如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。
基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的'线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
四是线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路。
线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。
考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。