专题2 函数及性质
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
总复习专题二：函数及其性质(第二部分：函数的单调性与奇函数偶函数)
镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题二：函数及其性质(含抽象函数的性质）编辑，整理：冉春第一部分：讲义部分：第一节、函数的单调性与奇偶性1、函数的单调性函数的单调性①定义及判定方法 函数的性 质定义图象判定方法 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数的单调性（同增异减） 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数例1： 函数12+=x y 在区间），（∞∞+-是增函数；函数 22+-=x y 在区间），（∞∞+-是减函数。
例：证明函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。
证明：设2121),,(,x x x x <+∞-∞∈且，那么12)(,12)(2211-=-=x x f x x f )12()12()()(2121---=-x x x f x f ·)(221x x -=· 21x x <∵，021<-∴x x0)(2)()(2121<-=-∴x x x f x f ，即)()(21x f x f < ∴函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。
高考数学： 函数专题2
第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1 答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x－e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一 识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-2sin cos ++x xx x的图象大致是（ ）A. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二 图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（ ）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)0a >()y x x a =-答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2） 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三 零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1， 所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5） （提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令 函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即的图象如图，结合图象可得的根方程有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高） 定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。
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高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习
专题2.1 函数的概念【考试要求】1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】(1)错误.函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数. (2)错误.值域C ⊆B ，不一定有C ＝B. (3)错误.f(x)＝x －3＋2－x 中x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 【教材衍化】2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. 3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A.y ＝(x ＋1)2B.y ＝3x 3＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋1【答案】 B【解析】 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019·北京海淀区期中)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【答案】 A【解析】 令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为________. 【答案】 (－4，1]【解析】 f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.6.(2019·济南检测)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 【答案】 －2【解析】 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域为________； (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【答案】 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1 (2)[0，1) 【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1. (2)因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1).【规律方法】 1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1](2)(2019·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞)D.[－9，1)【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，ln x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，x >0且x ≠1.∴函数的定义域是(0，1).(2)易知f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg （1－x ）>0，解得－9<x <1.故f [f (x )]的定义域为(－9，1). 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【答案】 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【训练2】 (1)(2019·杭州检测)已知函数f (x )＝ax －b (a >0)，且f [f (x )]＝4x －3，则f (2)＝________； (2)若f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 【答案】 (1)3 (2)3x【解析】 (1)易知f [f (x )]＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ， ∴a 2x －ab －b ＝4x －3(a >0)，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －1，则f (2)＝3. (2)因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x . 考点三 分段函数 角度1 分段函数求值【例3－1】 (2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.【答案】22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (15)＝f (－1)＝12，因此f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 角度2 分段函数与方程、不等式问题【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.【答案】 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞【解析】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b＝4，解得b ＝12. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立， 综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.11(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 【解析】 (1)由题意知f (1)＝12＋2＝3， 因此f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12.【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. 【易错防范】1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞)【答案】 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠2，所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞). 2.(2019·郑州调研)如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意. 3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x【答案】 D 【解析】 函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ；D 中y ＝1x 的定义域、值域均为(0，＋∞).4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12【答案】 C【解析】 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212)－1＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.5.(2019·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－1，2]C.[－1，2]D.[2，5]【答案】 C【解析】 f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4. 当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，得x ＝5或x ＝－1.∴要使f (x )在[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以10的余数大于6，即大于等于7时要增加一名，故y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.7.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8【答案】 C【解析】 由已知得0<a <1，则f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， 所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2(4－1)＝6. 8.(2019·上饶质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】 D【解析】 当a ＝0时，显然不成立.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2－2a >0，解得a >2. 当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0等价于a 2＋2a >0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 二、填空题9.函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.【答案】 (0，1]【解析】 要使函数f (x )有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1].10.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.【答案】 72【解析】 令x ＝2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1② 联立①②解得f (－2)＝72.11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.【答案】 ②③【解析】 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域和对应关系均分别对应相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 【解析】 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1； 若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12. 故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝ln 1－x 1＋x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1. 其中满足“倒负”变换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【答案】 B【解析】 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ). 所以满足“倒负”变换的函数是①③.14.(2019·河南八市联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1（λ∈R ），2x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]＝2f (a )成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，2]B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(－∞，2) 【答案】 C【解析】 当a ≥1时，2a ≥2.∴f [f (a )]＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立.当a <1时，f [f (a )]＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).15.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________. 【答案】 f (x )＝－log 2 x【解析】 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 16.(2019·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________.【答案】 1 (1，2)∪(10，＋∞)【解析】 f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即ex －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10.【新高考创新预测】17.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足：f (f (x ))－x >0恒成立，则f (x )的解析式不可能是( )A.f (x )＝2 019xB.f (x )＝e xC.f (x )＝x 2D.f (x )＝lg 1＋x 2 【答案】 ACD【解析】A 中，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 109x ＝x (x ≠0)恒成立， 所以f (f (x ))－x >0不恒成立，A 正确；B 中，因为e x >x ，所以ee x >e x >x ，所以f (f (x ))＝ee x>x 恒成立，B 错误；C 中，f (f (x ))＝x 4＝x ，此方程有x ＝0或x ＝1两个根，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，C 正确；D 中，x ＝0时，f (f (x ))＝x 成立，所以f (f (x ))－x >0不恒成立，D 正确.。
专题二 函数概念及其基本性质(必修1)
log2（2－x），2x－1，x≥的定义域为( ）2，x≤0，若f(0)是f(＋a，x>0.)考向1 求函数的定义域(1)(2014·(1)(2012·(1)(2014·(2015·(1)(2014·(2015·1．(2015·安徽宣城三模，3)函数f(x)＝上的函数f(x)＝2|x－m|－“f(x＋y)＝f(x)考向1 确定函数的单调性自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(1)(2014·(1)(2011·]＋1(1)(2015·(2014· 1．(2015·四川泸州三模，3)下列函数中，在上单调递增．故选B.－cos x，则f(0.6) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是的定义域都为1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(是奇函数，f(1)＝1，得f(1)＋12＋f考向1 函数奇偶性的判断及其应用(1)(2013·可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)(2011·(1)(2012·(2012·(1)(2012·(2012· 1．(2015·山东烟台模拟，3)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是3]上的解集为x∈(－1，f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间的方程f(x)－log a(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根可转化为函数的图象有且只有三个不同的交点，时间：90分钟__分数：120分。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
专题检测-函数概念与基本初等函数
专题二 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其性质一、选择题1.(2022届广西玉林育才中学10月月考,8)函数g(x)=2x-√x +1的最小值为( ) A.-178 B.-2 C.-198 D.-94答案 A 设t=√x +1(t ≥0),则x=t 2-1,则原函数可化为y=2(t 2-1)-t=2t2-t-2=2(t -14)2-178(t ≥0),当t=14时,有最小值-178.故选A.2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x -1|)的定义域为( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案 A ∵y=f(x)的定义域为(-1,1),∴-1<|2x -1|<1,即-1<2x -1<1,∴0<2x <2,解得x<1,∴F(x)=f(|2x -1|)的定义域为(-∞,1).3.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172)C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f '(x)=-1x 2+4=(2x+1)(2x -1)x 2,所以当x ∈[1,2)时, f '(x)>0, f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A. 4.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )A.2B.12 C.-12 D.-32 答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.5.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,f(x -10),x >0,则f(2 018)=( )A.12 B.-12 C.-1 D.1答案A∵f(x)={log9(1-x),x≤0,f(x-10),x>0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log93=1 2 .故选A.6.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)()A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案A∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x2,x≥0,-x2,x<0,∴函数f(x)为增函数,故选A.7.(2022届广东深圳六校联考,3)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数,则下列命题正确的是()A.∀x∈R,f(x)+f(-x)=0B.∃x∈R,f(x)+f(-x)=0C.∃x∈R,f(x)≠f(-x)D.∀x∈R,f(x)≠f(-x)答案C∵定义在R上的函数f(x)不是偶函数,∴∃x∈R,f(x)≠f(-x).故选C.8.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R的是()A.y=1x B.y=1+1xC.y=x+1x D.y=x-1x答案D对于函数y=1x,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A不满足题意;对于函数y=1+1x,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C不满足题意;对于函数y=x-1x =x2-1x,可得关于x的方程x2-yx-1=0有解,∵Δ=y2+4>0,∴y可以取任意实数,即y∈R,故D满足条件.故选D.9.(2022届北京大峪中学10月月考,2)设函数f(x)={log2(2-x),x<1,2x,x≥1,则f(-2)+f(log26)=()A.2B.6C.8D.14答案C f(-2)+f(log26)=log2(2+2)+2log26=log24+6=2+6=8.故选C.10.(2022届北京一六一中学10月月考,4)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1)+ax,且f(-3)=a,则a=()A.12 B.-12C.log23D.2答案B∵函数f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3)=a.从而f(3)=log24+3a=-a,解得a=-12.故选B.11.(2022届北京九中10月月考,7)已知函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(1)等于()A.-2B.0C.2D.1答案A∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且周期为2,∴f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),∴f(1)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,∴f(-52)+f(1)=-2.故选A.12.(2022届人大附中10月月考,9)已知函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+4,x>2,若实数a,b,c满足a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),则2a+b+2b+c的取值范围为()A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)答案D作出函数f(x)的图象,如图所示.当x<0时,f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0,1),由图可知,f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),所以a<0<b<1,3<c<4,则8<2c<16,由f(a)=f(b),得|2a-1|=|2b-1|,即1-2a=2b-1,可得2a+2b=2,因此,2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16,32).故选D.13.(2022届华中师大琼中附中月考,8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为()A.(0,12)∪(2,+∞) B.(12,1)∪(2,+∞)C.(0,12) D.(2,+∞)答案 A 因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数,所以不等式f(log 2x)>0等价于f(|log 2x|)>0,因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,所以f(|log 2x|)>f(1),即|log 2x|>1,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选A.二、填空题14.(2022届江西新余第一中学二模,13)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f (x2)+f(x-1)的定义域是 . 答案 (0,2)解析 由题意得{-1<x2<1,-1<x -1<1,解得0<x<2,∴函数g(x)的定义域为(0,2).15.(2022届北京四中10月月考,12)函数f(x)=√2-x +ln(x+3)的定义域是 . 答案 (-3,2]解析 ∵f(x)=√2-x +ln(x+3), ∴{2-x ≥0,x +3>0,解得-3<x ≤2, ∴函数f(x)的定义域为(-3,2].16.(2022届河南重点中学调研一,14)已知f(x)={x 2-ax,x >0,-x +a +1,x ≤0,若方程f(x)=-x 有实根,则a 的取值范围是 . 答案 {a|a=-1或a>1}解析 当x>0时,由f(x)=-x 得x 2=(a-1)x,所以x=a-1>0,即a>1;当x ≤0时,由f(x)=-x 得a+1=0,所以a=-1,所以a 的取值范围是{a|a=-1或a>1}. 17.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,alnx,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x ≥1时, f(x)=aln x ≥f(1),当0≤x<1时, f(x)=13x 3-ax+1, f '(x)=x 2-a. (1)若a ≥1,则f '(x)<0, f(x)单调递减, f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a ≤43,∴1≤a ≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√a<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√a时,f(x)min=f(√a)=13(√a)3-(√a)3+1=-23a32+1,所以-23a32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a的取值范围是(0,43].18.(2022届北京一六一中学10月月考,12)已知函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.答案[1,+∞)解析将函数y=e|x|的图象向右平移1个单位长度,可得函数f(x)=e|x-1|的图象,因为y=e|x|在[0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).19.(2022届北京师大附中10月月考,14)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x≤0时,f(x)=ae x-1,则a=,f(x)的值域是.答案1;(-1,1)解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=ae0-1=a-1=0,所以a=1.当x≤0时,f(x)=e x-1,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)∈(-1,0],因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以当x>0时,f(x)∈(0,1),综上,f(x)的值域是(-1,1).20.(2022届广东汕头金山中学期中,13)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=.答案-3解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+m=0,m=-1,所以x≥0时,f(x)=2x-1.则f(-2)= -f(2)=-(22-1)=-3.21.(2022届华中师范大学琼中附中月考,15)已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2010)+f(2011)的值为.答案1解析∵当x≥0时,都有f(x+2)=f(x),∴函数的周期T=2,又f(x)是R上的偶函数,且当x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),∴f(-2010)+f(2011)=f(2010)+f(2011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.三、解答题22.(2022届北京师大附中10月月考,16)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a、b为实数,a≠0,x∈R),函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点(-1,0).(1)求f(x)的表达式;(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.解析(1)由题意可知f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a.又f(x)=ax2+bx+1,所以{b=2a,a=1,可得{a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1(-2≤x≤2),其图象开口向上,对称轴为直线x=k-22.若函数g(x)在[-2,2]上为增函数,则k-22≤-2,解得k≤-2;若函数g(x)在[-2,2]上为减函数,则k-22≥2,解得k≥6.综上所述,实数k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).思路分析(1)分析可知f(x)=a(x+1)2,对比f(x)=ax2+bx+1可求得a、b的值,即可得出函数f(x)的表达式;(2)分两种情况讨论:函数g(x)在[-2,2]上为增函数或函数g(x)在[-2,2]上为减函数.根据g(x)的图象特征可得出关于实数k的不等式,由此可解得实数k的取值范围.23.(2022届北京九中10月月考,16)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1).(1)求f(3)+f(-1)的值;(2)求函数f(x)的解析式;(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1),∴f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1)=lo g124+lo g122=-2-1=-3.(2)当x>0时,-x<0,f(-x)=lo g12(x+1).∴x>0时,f(x)=f(-x)=lo g12(x+1),则f(x)={log12(-x+1),x≤0, log12(x+1),x>0.(3)∵f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)=lo g12(x+1)在(0,+∞)上单调递减,f(1)=-1,∴f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).24.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R且a>0,函数f(x)=4x+b4x-a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f(x2)>0恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x+4-x)=0恒成立,∴{b-a=0,2-2ab=0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f(x2)>0⇔m(1+24x-1)-(1+24x2-1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>t+1t-1t2+1t2-1=(t+1)2t2+1=t2+1+2tt2+1=1+2tt2+1=1+2t+1t对t>1恒成立,∵y=2t+1t在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2t+1t<2,∴m≥2,∴m的取值范围为[2,+∞).。
函数的图像和性质
用到数形结合、函数与方程、转化与 化归等数学思想，用好这些思想方法 解题就会事半功倍。
函数的图象和性质专题复习
课堂练习
1. 设函数 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f ( x) 是 （ A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
函数的图象和性质
专题复习
董波
重庆市江津第八中学校
函数的图象和性质专题复习
学过的初等函数
一次函数 二次函数 指数函数 对数函数
反比例函数
三角函数
幂函数
……….
函数的图象和性质专题复习
函数的主要性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性
最 值
单调性
对称性
………
函数的图象和性质专题复习
考向分析
函 数 的 图 象 和 性 质
y 的取值范围是 x 1
3 0， 4
作图分析
函数的图象和性质专题复习
考点突破
y
-1
3 k= 4
.
o
1 2
k=0
x
函数的图象和性质专题复习
考点二：函数的性质
考点突破
2
例 2.已知函数 f ( x) x sin x( x R) ，且 f ( x 3x) f ( x 8) 0 ，
有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为
1 由方程t bt 1 0得b t ， t 典型错误！！！ 且t 0,4 ，则b 2, .
2
函数的图象和性质专题复习
考点突破
分析： 方程t bt 1 0有两不同根t 、t , 1, 且t t b,t t 1, 对于b t 1 中的 t 和 t t 就应视为t ,t ,
2020年高考数学(理)函数与导数 专题02 函数的基本性质(解析版)
函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最 大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论： 对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<， 【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。
高考数学 25个必考点 专题02 指对幂函数图像及性质
o
x
o x=1 x 0ba1d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
0<a<b<1<c<d
图象从左到右,底数逐渐变大.
例1 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( D ) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
解析 a＝log36＝1＋log32
log32>log52>log72
且在(0，＋∞)上是单调增函数； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，
在(0，＋∞)上是单调减函数．
y=x3
y
y=x2
y=x
y=x－1
O
x
解思析路：∵先函根数据在已(知0，条＋件∞求)出上m递的减值，，再由函数的单调性求a的范围 ∴m2－2m－3<0， 解得－1<m<3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 原不式等价于a＋1>3－2a>0； 又∵函数的图或象3关－于2ay<轴a＋对1称<0，；∴或ma2＋－12<m0<－3－3是2a偶. 数， 而22－2×2－3解＝得－a3<为－奇1 或数23，<a<(32舍. 去). 12－2×1－3故＝a－的4取为值偶范数围，为∴am|a<＝－11. 或23<a<32.
解后 （1）熟悉幂函数的图像和性质. 反思 （2）分类讨论要全面.
解析
x＝－2x
x＝－lnx
B
y
4
y＝x
3
2
1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具，有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习，可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，从集合与对应出发，进一步学习和研究函数的概念，深刻理解函数的本质；通过对函数图像与性质的研究，提升直观想象素养；利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题，体会函数的实际背景和实际应用，提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一：函数的概念（.约需3分钟）.内容包括：对应与映射的概念，函数的概念，定义域，函数值的求法. 学习水平一级水平：了解对应与映射的概念，会判断一些简单的对应是否为映射；理解函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则的概念；能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数？解：只要一个x对应唯一的一个y ，就是函数．所以第二个不是，其余两个都是函数．练习：下列三个图象中，能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解：第一个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数图象． 综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个． 故选C ．2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ，求)1(-f ，)2(f ，)1(+a f .解：513)1(21)1(-=--=-f ；13221)2(=-⨯=f ；1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习：已知函数32)(-=x x f ，求)1(+a f ，)2(a f 。
二级水平：理解函数的三要素，会求函数的定义域，会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域：（1）. 51)(-=x x f ;（2）12)(-=x x g ；（3）12)(-+=x x x h解：（１）．X ≠5；（2）. 21≥x ；（3）.012≥-+x x ；x ≥－2或x>1 . 练习：求下列函数的定义域：（１）．132)(2+-=x x x f （2）．x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中，哪个与函数y = x 是同一个函数？（1）xx y 2=; （2）2x y =; （3）s =t .解：函数y = x 中：R y R x ∈∈,；s =t 与y=x 是同一个函数. 练习：上例中，哪个与函数y = |x| 是同一个函数？三级水平：会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是（a ，b ）,求函数)1(+x f 的定义域. 解：∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习：知识点二：函数的表示法.约需3学时. 内容包括：函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平：能判断点与图像的关系，会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数，反比例函数，一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P （1，1），Q （-1，-3）是否在 f (x) =3x 2 ＋ x －5 的图像上. 解：３＋１－５＝－１，３－１－５＝－３．所以点Ｑ（－１，－３）在f(x)图像上 例3.2.2点A （a ，3）在函数352+-=x x y 上，求a. 解： 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点（4，81-），求解析式. 解：481k =-；k=21-;x y 21-=二级水平：掌握二次函数的图像及性质，能用待定系数法求二次函数的解析式；结合实例理解分段函数的意义，能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为（6，-12），与x 轴的一个交点为（8，0），求这个函数的解析式. 解：y=a(x －6)2－12；a(8-6)2-12=0；例3.2.5函数 y ＝ax ＋ a 和y ＝ax 2 的图像只可能是（ ）.练习：在图中，函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是（ ）A.B. C. D.根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；A 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＞0，不相符；B 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；C 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；D 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，相符． 故选D ．4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ，则(1).=)2(f ；(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔，每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克而不超过40克付邮资160分，试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，作出函数的图象.知识点三：函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括：函数单调性、奇偶性的定义，判断函数的单调性和奇偶性；函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平：结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义，能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像，判断函数的单调性： （1）函数y =2x+3在R 上是 函数；（2）函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ； （3）函数xy 1-=在（0，+∞）上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像，判断函数的奇偶性： （1） f (x)= x 3 ; （2） f(x)=2x2;（3） f (x)= x+1.二级水平：能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，能利用函数奇偶性求 函数值；能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10，那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1，5)上单调递减，比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平：能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性；能解决含有参数的实际问题，能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1，且 f (4) =3，求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2－1)x2＋(m －1)x ＋ (n ＋ 2) 为奇函数，则m ＝，n ＝.例 3.3.7 已知函数 f (x)＝ x 2 ＋2(a －1)x ＋2 在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在（1，＋∞）上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数，在［－1，0］上是增函数，且最大值为5，那么 f (x)在［0，1）］是 函数，最大值是 .知识点四：函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括：选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平：学会将实际问题转化为数学问题，选择适当的函数模型（分段函数、二次函数）刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足，供电部门规定，每户每月用电不超过 200kW .h ，收费标准为 0.51 元/（kW . h ），当用电超过 200kW . h ，但不超过400kW . h 时，超过的部分按 0.8 元/（kW .h ）收费，当用电超过 400kW . h 时，就停止用电.（1）写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式，并求函数的定义域； （2）求出 f(150)，f(300)的值； （3）作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律，有一下函数的关系式 （1）比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小； （2）求在什么时候该物体温度最高？最高温度是多少？例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元，根据市场调查，如果售价为每件50 元时，每天可卖出 400 件；商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元（x ≥50，x ∈N ）.（1）求每天销售量与自变量x 的函数关系式； （2）求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数，在科技领域内应用广泛.本单元学习，可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念，利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质，提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养；在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法，认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用，提升数学抽象和数学应用素养.知识点一：有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括：n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念，根式、分数指数幂的互化，实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平：能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化，能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.（1）13= （2）431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）412= （2）324=例 5.1.3 计算：（1）3227= （2）31256.0=例 5.1.4 化简：（1）33231a a a ∙∙ （2）))((212212b a b a -+ .二级水平：能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简，并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算： 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算：543812793⨯⨯⨯三级水平：能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简：(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二：指数函数.约需 3 学时.内容包括：指数函数定义，指数函数图像及性质，指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平：理解指数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作指数函数图像，能理解 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的指数函数图像的总体特征，能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质（单调性、值域、定点）.例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性：y= 0.7x ; （2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是（ ）.二级水平：能作出指数函数简图，能判断指数函数的单调性，并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域，能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系，能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域：（1）121-=xy ; （2） 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性：（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 （2） 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ，求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小：(1). 313 1；(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平：能从实际情境中建立指数函数模型，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币，整存整取一年期的年利率为 3.20%，他按照一年期存入，如果每过一年连本带息转存，那么三年后连本带息共有多少元（结果保留两位小数）？例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后，每经过 1 小时，药物在体内的剩余量为32，问 4 小时后的剩余量为多少？知识点三：对数.约需 4 学时.内容包括：对数的概念（含常用对数、自然对数）及性质，对数与指数的关系，指数式与对数式的互化，积、商、幂的对数.学习水平一级水平：能熟练完成指数式与对数式的互化，能运用对数性质求值，初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式：（1）8134= ; (2)10x ＝ y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式：（1）log 10 1000 ＝ 3 ;（2）log 5 625＝4 .例 5.3.3 求下列对数的值：（1）log 5 5;（2）log 8 1 .例 5.3.4 用lgx ， lgy ，lgz 表示下列各式：（1）zxylg ; (2)x lg .二级水平：理解并熟记积商幂的对数公式，能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0，y >0，下列各式中正确的是（ ）.A. ln(x ＋ y) ＝lnx ＋lnyB. ln(xy) ＝lnxlnyC. ln(xy)＝lnx ＋lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值：（1）21lg 5lg - ; （2）lg125＋lg8.三级水平：能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算：（1）（lg 2）2＋ lg 20×lg5 ; （2）5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ，log 2 5＝b ，则59log 2＝（ ）. A. a 2－b B. 2a － b C.ba 2D. b a 2知识点四：对数函数.约需 3 学时.内容包括：对数函数定义，对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平：理解对数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作对数函数图像，能理解记忆 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的对数函数图像的总体特征，能结合图像分析基本型对数函数的有关性质（单调性、值域、定点），会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y ＝log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.（1）y ＝ log 2(x ＋1) ；（2）xy ln 1=.例 5.4.3 函数y ＝ log 3 x 的大致图像是（ ）.10 / 10例 5.4.4 若函数y ＝ log a x 的图像经过点（），则底数a ＝.二级水平：能结合对数函数简图，比较同底对数的大小关系，能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小：（1）log 2 7与log 2 9; （2）4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域：（1）x y ln =; （2）xy 3log 11-=三级水平：应用对数函数解决实际问题，体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨，计划每年比上一年增产5%，设经过 x 年后产量番一翻，则 x 的值是（ ）. A.(1＋5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%，要增长到原来的x 倍，需要经过y 年，则函数y ＝ f(x)的图像大致为（ ）.。
专题2 第2讲 三角函数的图象与性质(学生版)
第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。
高考数学(理)二轮专题练习【专题2】(1)函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为_________．答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)(2014·烟台质检)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是( )(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)C (2)D解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．可排除A ，D.又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以，B 不正确，选C.(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .选D.思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系中的图象大致是( )(2)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 答案 (1)C (2)D解析 (1)f (x )＝1＋log 2x 的图象过定点(1,1)，g (x )＝21－x 的图象过定点(0,2)．f (x )＝1＋log 2x 的图象由y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，且f (x )＝1＋log 2x 为单调增函数，g (x )＝21－x ＝2×(12)x 的图象由y ＝(12)x 的图象伸缩变换得到，且g (x )＝21－x 为单调减函数．A中，f (x )的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B 中，g (x )的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D 中，两个函数都是单调增函数，也不满足．选C.(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性． 答案 (1)C (2)D解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C. 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故选C.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a b <a a <b aC ．a a <b a <a bD ．a b <b a <a a(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)B (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a ， 答案选B.(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12.又∵f (x )是奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B. 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )答案 A解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e －ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1，无最大值．(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x答案 C解析 函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”等价于x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的值的符号相同，即可化为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，表示函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由此可得只有函数f (x )＝2x 符合．故选C.2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( )A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 答案 D解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3b C ．1122a b > D.3a >3b答案 D解析 因为a >b ，而对数的真数为正数，所以ln a >ln b 不一定成立； 因为y ＝0.3x 是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b ，故B 错；因为y ＝12x 在(0，＋∞)是增函数，又a >b ，则1122a b >不一定成立，故C 错； y ＝13x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则1133a b >，即3a >3b 成立，选D. 5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0， 即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}，故选B. 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0) D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x ＋1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x答案 B解析 因为函数f (x )＝2x －1－12x ＋1＝12(2x －12x )，可知函数f (x )在定义域上是奇函数，且单调递增，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝x 2为偶函数，y ＝tan x 在定义域上是奇函数，但不单调递增，只有y ＝ln(x ＋x 2＋1)在定义域上是奇函数，且单调递增，故选B.8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]答案 C解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C. 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x (x ≥2)f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________.答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a －x (x －a )，x <a，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________． 答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)， f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x②f (x )＝ln5－x5＋x③f (x )＝tan x2④f (x )＝4x 3＋x答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
高2020级微专题2——关于耐克函数与双刀函数的图象、性质
【数学微专题2】函数()0b y ax ab x =+>与()0by axab x=->的图象与性质梳理（一）函数()0by ax ab x=+>的图象与性质要点梳理——1．当0a >且0b >时，它就是我们熟知的“耐克函数”，比如()1f x x x=+．（1）定义域为()(),00,-∞+∞ ，值域为(),22,ab ab ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣；（2）函数的增区间为,b a ⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭和,ba ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为,0b a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭和0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（3）“耐克函数”是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，并以y 轴和直线y ax =为渐近线；（能试着解释一下吗？）（4）探讨此类函数的单调区间与极值（点），用导数方法比较方便；（请过手求之，形成第一手经验！）（5）函数有一个极大值（点）和一个极小值（点），但函数没有最大值和最小值；（6）而当0x >时，也可利用均值不等式来探求其对应的极小值．（“一正二定三相等”）2．请思考：当0a <且0b <时，这个函数的图象与性质会有怎样的变化呢？（与前者有怎样的联系呢？）（二）函数()0by ax ab x=->的图象与性质要点梳理——1．当0a >且0b >时，它就是我们所说的“双刀函数”，比如()1f x x x=-．（1）定义域为()(),00,-∞+∞ ，值域为R ；（2）函数的增区间为(),0-∞和()0,+∞，没有减区间；（3）“双刀函数”是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，以y 轴和直线y ax =为渐近线；（能试着解释一下吗？）（4）函数只有增区间，可以用导数法来证明，而用“增函数-减函数”来理解单调性其实也很自然；（5）函数没有极值与最值，但函数有两个零点．2．请思考：当0a <且0b <时，这个函数的图象与性质会有怎样的变化呢？（与前者有怎样的联系呢？）（三）函数()0,0b y ax a b x =+<<的图象（左图）与函数()0,0by ax a b x=-<<图象（右图）——y ax=ba2ab()0,0by ax a b x=+>>y ax=b a()0,0by ax a b x=->>（四）函数22ax bx cy px qx r ++=++与“耐克函数”、“双刀函数”也有着很密切的联系，以下举例分析之——1．由211x y x x x +=+=和211x y x x x -=-=，可发现“耐克函数”与“双刀函数”就是22ax bx cy px qx r++=++的两个特例．（分式结构，分子分母均为最高次为二次的一元多项式）2．对于函数211x x y x ++=+，把分母的一次式视为“整体”，将分子中的二次式进行“配凑”，可得（1）()()()221111111111x x x x y x x x x +-++++===++-+++（有没有发现“耐克函数”的影子？）（2）我们也可以直接应用“换元法”，令1t x =+，则1x t =-，那么就有()()22211111111t t x x t t y t x t t t-+-+++-+====+-+（本质上与（1）是完全一致的）（3）由于10t x =+≠，则易知11y t t=+-的值域为(][),31,-∞-+∞ ，这也正是原函数的值域！（4）同理，研究原函数在某区间上的值域（最值）问题，就可以通过研究1y t t=+在相应区间上的值域（最值）来转化出我们所需要的结果了．3．对于函数211x y x x +=++，注意到它与上一个函数的“倒数”关系，可以如下进行相应的研究：（1）当10x +=时，易知0y =；（特殊情况单独讨论，也为后面的变形做好铺垫）（2）当10x +≠时，则2111y x x x =+++，令10t x =+≠，则同上例变形可得111y t t =+-，由于11t t +-∈(][),31,-∞-+∞ ，可得此时(]1,00,13y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭（“倒数法则”，或反比例函数性质）；（3）综上，原函数的值域即为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．4．对于函数22231x x y x x --=--，综合采用“分离变量法”与“配凑法”（也可以用“换元法”），可得（1）由()()()()222222211231122111111x x x x x x x y x x x x x x x x --+-----===+=--------+--；（2）当1x =时，可得2y =；（特殊情况单独讨论，也为后面的变形做好铺垫）（3）当1x ≠时，可得()121111y x x =---+-（令1t x =-，将其分母与函数1y t t=-比较一番呢？）（4）假设我们将原函数定义域限制为{}23x x ≤≤，则此时[]11,2t x =-∈，则由1y t t=-在[]1,2上为增函数，可得130,2t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，那么1511,2t t ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，进而就可以求得，此时原函数值域为81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．要点小结——22ax bx cy px qx r++=++型函数，可以通过适当的变形转化，联系“耐克函数”或“双刀函数”研究其值域（最值）等性质问题．6．下面再给出两个函数特例，请你仿照上面的例题示范，探讨研究一下它们的主要性质特征：（1）()21xf x x =+；（2）()21xg x x =-．（建议先不要看下面给出的研究过程，尝试自主探究一番，再与下面的结论相互对照！！！）（1）对于函数()21x f x x =+，（它其实是1y x x=+的“倒数形式”，！）①当0x =时，()00f =；②当0x ≠时，()11f x x x=+，结合(][)1,22,x x +∈-∞+∞ 可得，()11,00,22f x ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦；③综合可得，函数()21x f x x =+的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（另外，该函数显然是奇函数！）④由()()()222222212111x x x f x x x +--'==++，可得()21xf x x =+在(),1-∞- ，在()1,1- ，在()1,+∞ ，⑤x →-∞时，()0f x <且()0f x →；x →+∞时，()0f x >且()0f x →；以及()00f =，()112f -=-，()112f =，可以得到函数的大致图象如上图所示．（关注“渐近线”）（2）对于函数()21x g x x =-，（它其实是1y x x=-的“倒数形式”！）①当0x =时，()00f =；②当0x ≠时，()11f x x x=-，结合()()1,00x x-∈-∞+∞ 可得，()0f x ≠；③综合可得，函数()21xf x x =+的值域为R ；（它也是奇函数！）④由()()()2222222121011x x x f x x x ----'==<-+，可得()f x 只有减区间：(),1-∞-，()1,1-，()1,+∞；⑤当x →-∞时，()0f x <且()0f x →；当x →+∞时，()0f x >且()0f x →；当1x <-且1x →-时，()0f x <且()f x →-∞；当1x >-且1x →-时，()0f x >且()f x →+∞；当1x <且1x →时，()0f x <且()f x →-∞；当1x >且1x →时，()0f x >且()f x →+∞；以及()00f =可以得到函数的大致图象如图所示．（关注“渐近线”）。
二级结论专题2 函数的性质
专题2函数的性质二级结论1：奇函数的最值性质【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0．【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值．【典例指引1】1．函数3()8af x x x x=++-()a R ∈在区间[],m n 上的最大值为10，则函数()f x 在区间[],n m --上的最小值为（）A ．-10B ．-8C ．-26D ．与a 有关【典例指引2】2．已知函数2(1)(4)22()4x xx x f x x -+-+-=-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____【针对训练】3．若对任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=+，则函数()()2231xg x f x x =+++在[]2019,2019-上的最大值M 与最小值m 的和+=M m （）A ．6-B ．6C ．3-D ．54．已知()392f x ax bx =++在区间()0,∞+上有最大值5，那么()f x 在(),0∞-上的最小值为（）A ．-5B ．-1C ．-3D ．55．已知函数()f x 和()g x 均为奇函数，()()()()32 h x a f x b g x =⋅-⋅-在区间()0,∞+上有最大值5，那么()h x 在(),0∞-上的最小值为（）A ．5-B ．9-C ．7-D ．1-6．定义：函数()f x 满足()()f x f x C +-=（x ∈R ，C 为常数），则称()f x 为中心对称函数，已知中心对称函数232(1)()1x x f x x ++=+在[2020,2020]-上的最大值和最小值分别为M ，m ，则+=M m （）A ．2-B ．1-C ．3-D ．27．设函数22(1)sin(2)()(2)1x x f x x -+-=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________.二级结论2：函数周期性问题【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0．已知定义在R 上的函数f(x)，若对任意x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T 为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x +a )=-f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(2)如果f (x +a )=()1f x (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(3)如果f (x +a )+f (x )=c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ．(4)如果f (x )=f (x +a )+f (x -a )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =6a ．【应用场景】这个结论通过周期函数的定义得到，用x a +代换等式中的x 构造出来()()f x f x T =+的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论．解题时，要注意观察给定的抽象等式和函数的奇偶性，对称性等性质，结合图象明确函数的周期性．【典例指引1】8．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<【典例指引2】9．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；③()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c<<D ．c b a<<【针对训练】10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=+，当01x <<时，()2-=x f x ，则21log 257f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．8-B ．1256-C ．256257D ．256257-11．设()f x 是R 上的奇函数且满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，则()2020.6f -=（）A ．2125B ．710C ．85-D ．65-12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且(1)f x +是偶函数，若当(0,1]x ∈时，2()log (23)f x x =+，则20212f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A ．3-B ．2-C ．2D ．313．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+当[]3,4x ∈时,()2f x x =-,则A ．11(sin )(cos )22f f <B ．(sin1)(cos1)f f <C ．(sin (cos )33f f ππ>D ．33(sin )(cos 22f f >14．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（）A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,9参考答案：1．C【解析】先设3()ag x x x x=++，利用关系()()8f x g x =-，求()g x 在区间[],m n 上的最大值18，再利用()g x 是奇函数，判断()g x 在区间[],n m --上的最小值-18，再利用关系()()8f x g x =-，得到()f x 在区间[],n m --上的最小值即可.【详解】设3()ag x x x x=++，则()()8f x g x =-，即()()8g x f x =+，故()g x 在区间[],m n 上的最大值为max max ()()818g x f x =+=，又易见()()g x g x -=-，即()g x 是奇函数，图象关于原点中心对称，故()g x 在区间[],n m --上的最小值为min min ()18()8g x f x =-=+，故()f x 在区间[],n m --上的最小值为min ()=26f x -.故选：C.【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法：（1）奇函数关于原点中心对称，因此在对称区间上最大值与最小值互为相反数；（2）一个函数()f x 有部分是奇函数，可以先令这部分为()g x ，有()()f x g x c =+，利用()g x 是奇函数，其在对称区间上最值的特征，推出()f x 在对称区间上的最值的关系()()min max 2f x f x c +=.2．2【分析】对函数进行化简可得()222314x x x f x x ---=+-，构造函数()22234x x x g x x ---=-，可判断()g x 为奇函数，则()()1f x g x =+，由奇函数的对称性即可求解.【详解】2222(1)(4)224322223()1444x x x x x x x x x x xf x x x x ---+-+---+---===+---Q ，令()22234x x xg x x ---=-，则()()()()()2222322344x xx x x x g x g x x x ---------===----，即()g x 为奇函数，图象关于原点对称，()()1g x f x =- ，max ()1g x M ∴=-，min ()1g x m =-，且max min ()()0g x g x +=，110M m ∴-+-=，则2M m +=．故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数()g x 并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题．3．B【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值()0f ，再判断()f x 的奇偶性，由此判断出22()()+1xh x f x x =+为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.【详解】在()()()f x y f x f y +=+中，令==0x y 得()()0020f f +=，即()0=0f ，令y x =-得()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数，令22()()+1xh x f x x =+，则22-22()()()()+1+1x xh x f x f x h x x x =+-=--=-，()h x 是奇函数，∴在对称区间上max min ()()0h x h x +=，当[]2019,2019x ∈-时，()max max ()3g x M h x ==+，()min min ()3g x M h x ==+，∴max min ()()+6=6+=M m h x h x +．故选:B 4．B【分析】()392f x ax bx =++中39ax bx +为奇函数,故分析()f x 的对称点,再根据对称性判断即可.【详解】因为()392f x ax bx =++中39ax bx +为奇函数关于(0,0)对称,故()392f x ax bx =++关于(0,2)对称,又()f x 在区间()0,∞+上有最大值5,故()f x 在(),0∞-上的最小值为2251⨯-=-故选B【点睛】本题主要考查奇函数的对称性与运用,属于基础题型.5．B【分析】根据条件构造函数()()2x h x ϕ=+，判断函数()x ϕ的奇偶性，结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可．【详解】由()()()()32h x a f x bg x =--得()()()()32h x a f x bg x +=-，令()()()()()32x h x a f x bg x ϕ=+=-，则()()()()()()()()33x a f x bg x a f x bg x x ϕϕ⎡⎤-=---=--=-⎢⎥⎣⎦，∴函数()x ϕ为奇函数．∵()()()()32h x a f x b g x =⋅-⋅-在区间()0,∞+上有最大值5，∴()max 5h x =，∴()max 27h x +=，即()max 7x ϕ=．∵()()2x h x ϕ=+是奇函数，∴()()min min 72x h x ϕ=-=+，∴()min 9h x =-．故选：B ．6．D【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答.【详解】函数23322(1)2()111x x x x f x x x +++==+++，令322()1x x g x x +=+，则322()()1x x g x g x x ---==-+，函数()g x 是R 上的奇函数，而()()1g x f x =-，依题意，max min ()1,()1g x M g x m =-=-，又max min ()()0g x g x +=，所以2M m +=.故选：D 7．2【解析】可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.【详解】22(1)sin(2)()(2)1x x f x x -+-=-+Q 222(1)sin 2sin (2)111x x x xf x x x +++∴+=+++，令22sin ()1x xg x x +=+，则定义域为R ，且()()g x g x -=-，故()g x 是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，所以函数(2)y f x =+的最大值与最小值的和为2，故在函数()f x 中，2M m +=.8．B【解析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.【详解】()()22f x f x -=-+ ，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=，()f x \的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=，()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<，即()()()192119782021f f f <<.故选：B【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +.9．C【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8；由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．10．D【解析】由周期性和奇偶性进行计算．【详解】∵(3)(1)f x f x +=+，∴()f x 是周期函数，周期为2T =，又()f x 是奇函数，221log log 257(9,8)257=-∈--，∴2257log 2562222211256256257256log log 8log log log 2257257257257256257f f f ff-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．11．D【解析】由题意可知，()f x 是以2为周期的周期函数，进而可得出()()2020.60.6f f -=-，再利用奇函数的性质可求得结果.【详解】对任意的x R ∈，()()11f x f x -=+，即()()2f x f x =+，所以，函数()f x 是以2为周期的周期函数，()()2020.60.6f f ∴-=-，由于函数()f x 为R 的奇函数，且当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，因此，()()()()62020.60.60.650.610.65f f f -=-=-=-⨯⨯-=-.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.12．B【分析】根据奇偶性证明函数()f x 的周期为4，再结合周期性得出20212f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】因为(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)-+=+f x f x 又函数()f x 是奇函数，所以()()(1)1(1)f x f x f x -+=--=--所以(1)(1)f x f x +=--所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为4所以2021554252222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为(2)()f x f x +=-，所以2511log 232222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故202122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用奇偶性的定义证明函数()f x 的周期为4，再结合周期的性质得出202122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.13．B【详解】分析：先根据()()2f x f x =+得周期为2，由[]3,4x ∈时单调性得[]1,0x ∈-单调性，再根据偶函数得[]0,1x ∈单调性，最后根据单调性判断选项正误.详解：因为()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时,()2f x x =-单调递增，所以[]()1,0,x f x 时∈-单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时单调递减，因为110sincos 122<<<，1sin1cos10,>>>1>sin cos 033ππ>>,331sin cos 022>>>所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()sin1cos1f f <,sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选B.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.14．D【解析】根据题意可知()f x 是在R 上的奇函数且关于x=1对称，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，等价于()f x 和log a x 有3个交点，当[]0,1x ∈时，函数()f x 的解析式已知，用数形结合的方法可求得a 的取值范围。
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专题2 函数及性质
一.【小题训练】
1．函数y=2
x
x e e --的反函数 ( ) A. 是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数。
B 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数。
C 是奇函数，它在（0，+)∞上是增函数。
D 是偶函数，它在（0，+)∞上是增函数。
2．若定义在R 上的偶函数f （x ）在（-∞，0）上是减函数，且)3
1(f =2。
那么不等式2)(log 81>x f 的解
集为 ( )
（A ）（0.5，1）),2(+∞⋃ （B ）（0，0.5）),2(+∞⋃。
（C ）（0，0.5） （D ）（2，+∞）
3．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有f （x+4）=f （x ），若f （63）=2，则f
（5）与f （7）的大小关系是 -------------------
4．已知f （x ）=8+2x-x 2，如果g （x ）=f （2-x 2），那么g （x ）( ）
（A ）在区间（-2，0）上是增函数。
（B ）在区间（0，2）上是增函数。
（C ）在区间（-1，0）上是减函数。
（D ）在区间（0，1）上是减函数。
二. 【例题解析】
例1．设函数12(1)()lg x x x n n a f x n
+++-+= ，其中a 是实数，n 是自然数，且n 2≥，若f （x ）当x ]1,(-∞∈时有意义，求a 的取值范围。
例2．设函数2()log (1)f x x =+，当点（x ，y ）在y=f （x ）的反函数图象上运动时，对应的点（
3,2y x ）在y=g （x ）的图象上。
(1).求()g x 的表达式。
(2).当1()()0g x f x --≤时，求1()()()u x g x f x -=-的最小值。
例3．定义在R 上的单调函数f(x)满足2(3)log 3f =且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
例4 函数()f x 是()21101x y x R =-∈+的反函数，()g x 的图象与函数
431x y x -=-的图象关于直线1-=x y 成轴对称图形，记()()()
F x f x g x =+。
（1）求()F x 的解析式及其定义域；（2）试问()F x 的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，
使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由。
四、【方法点拨】
1.函数不等式的求解要注意结合函数的单调性,特别要重视定义域的作用
2.不等式恒成立问题要注意等价转化.
强化训练
1.函数)(x f y =与x
x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(的图象关于直线x y =对称，则)4(2x f -的单调递增区间是（ ） ()+∞,0.A ()0,.∞-B ()2,0.C ()0,2.-D
2．方程3log 3=+x x 的解所在区间是（ ）
A ．（0，2）
B 。
（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
3．设函数x
x x f +-=121)(的反函数为)(x h ，又函数)1(),(+x h x g 的图象关于直线x y =对称，，那么)2(g 的值为 ( ）
A ．-1 B.-2 C.54- D.5
2- 4.设偶函数)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)( 则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式是（ ）
x x f A =)(. x x f B -=2)(. 13)(.+-=x x f C 1
2)(.++=x x f D
5.函数=y )14(log 221+-x x 的单调递增区间是:
6．设定义在R 上的函数)(x f 的最小正周期为2，且在区间(]5,3内单调递减，则
)(),4(),2log (2
1πf f f --的大小关系是：________________________.
7.已知函数2
1),(12)(≠-≠++=a a x a x x x f （1） 求函数)(x f 的反函数。
（2） 如果)()(1x f
x f -=，求a 的值，并画出)(1x f y -=的图象。
8．给出函数)1(,4log log )(2>+=x x x f x
（1）对任意的实数1>x 都有a x f >)(，求实数a 的范围。
（2）试判断)(x f 在[)+∞,4上的增减性，并给予证明
9 .设函数1
22()log (0).2x b f x b x b
+=<- (1) 求函数()f x 的定义域；
(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
(3) 指出()f x 在区间(,)b -+∞上的单调性，并予以证明.。