西工大飞行器结构力学电子教案5-1

关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、 关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、 结点力，应变能等）用结点位移表示。 结点力，应变能等）用结点位移表示。 （1）元素内位移 ） 元素内各点的位移叫做内位移。 元素内各点的位移叫做内位移。杆元素的内位移可用结点位 内位移 移通过线性插值得到： 移通过线性插值得到： ui x x x x ui ] = [ N i ( x ) N j ( x )] u ( x ) = (1 − )ui + u j = [1 − Lij Lij Lij Lij u j u j
e
= [ S ]{δ }e = S ⋅ δ e
式中， 称为元素的应力矩阵 式中，[ S ]称为元素的应力矩阵。 称为元素的应力矩阵。 （4）杆元素轴力 ）杆元素轴力N 的杆元素， 对于等面积 A 的杆元素，其轴力用节点位移表示为
EA N = σA = [− 1 L ij
1]{ δ } e
（5）平衡条件与刚度矩阵 ） 作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件： 作用在杆元素上的结点力与杆轴力，满足平衡条件：
5.2 杆元素与桁架位移法求解
本节将由最简单的杆元素 和桁架开始， 和桁架开始，逐步介绍矩 阵位移法的基本原理和计 算过程 。
5.2 杆元素与桁架位移法求解
对于图示桁架， 对于图示桁架，编号为 1、2、3、4、5、6的铰结 、 、 、 、 、 的铰结 点称为结点 结点， 点称为结点，两结点之间 的链杆称为杆元素 杆元素， 的链杆称为杆元素，如杆 元素12、杆元素23等 元素 、杆元素 等。 位移法中， 位移法中，将以每个结 点处的位移（结点位移）作为基本未知量， 点处的位移（结点位移）作为基本未知量，建立关于未知结点 位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移， 位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移， 再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。 再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。 在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同， 在图示坐标系中，由于每一杆元素的方位不尽相同，为具普 遍性，任取其中一杆元素i ，首先来研究杆元素的平衡关系。 遍性，任取其中一杆元素 j，首先来研究杆元素的平衡关系。
（2）根据元素平衡条件，必定有 ）根据元素平衡条件，必定有：
应注意以下几点： 应注意以下几点：
kij → Fi k jj → F j ↓ uj
kii + k ji = 0 kij + k jj = 0
由此可以看出， 都可以有值， 由此可以看出，由于结点位移 都可以有值，所以元素是可移 动的，结点位移列阵中包含有刚体运动， 动的，结点位移列阵中包含有刚体运动，用结点位移表示的平 衡方程是奇异的， 的行列式等于零。 衡方程是奇异的，刚度矩阵 [ K ]e 的行列式等于零。这就意味着 在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。 在去除刚体运动自由度之前，平衡方程不能直接用来求解位移。
矩阵位移法主要内容包括两个部分： 矩阵位移法主要内容包括两个部分： 主要内容包括两个部分 单元分析， (1)单元分析，即将结构分解为有限个较小的单元， 单元分析 即将结构分解为有限个较小的单元， 进行所谓离散化。对于杆系结构， 进行所谓离散化。对于杆系结构，一般以一根杆件 或杆件的一段作为一个单元， 或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位 移之间的关系，建立单元刚度矩阵。 移之间的关系，建立单元刚度矩阵。 (2)整体分析，即将各单元又集合成原来的结构，要 整体分析，即将各单元又集合成原来的结构， 整体分析 求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件， 求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件， 从而建立整个结构的刚度方程， 从而建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的位 移和内力。 移和内力。
5.2 杆元素与桁架位移法求解
一、杆元素的平衡方程及刚度矩阵 如图所示的杆元素 i j ，建 立元素局部坐标系 ， 轴 沿杆元素的轴线由 i 结点指向 j 结点，杆长为 ij 。 结点，杆长为L 杆元素 结点上的结点位移分别记 为 u i 和 u j ，与结点位移相对应的结点力分别记为 U i 和 U j ，结 点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。 点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。
飞行器结构力学基础
——电子教学教案 电子教学教案
西北工业大学航空学院 航空结构工程系
第五章
位移法
Displacement Method of Structure Analysis 第一讲 位移法概述 杆元素与桁架的位移法求解
5.1 位移法概述
结点位移(广义位移)作为基本未知量， 以结点位移(广义位移)作为基本未知量，写出由未 知位移表示的应变， 知位移表示的应变，由物理方程写出仍由未知位移表示 的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移， 的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移， 位移法的基本思路 这就是位移法的基本思路。 这就是位移法的基本思路。 在计算机科学飞速发展的今天， 在计算机科学飞速发展的今天，适合于计算机应用 有限元素法” 的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成为飞行器 结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。 结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。 本章所讨论的位移法， 本章所讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处 理结构位移计算的，故也称为矩阵位移法 矩阵位移法， 理结构位移计算的，故也称为矩阵位移法，它是有限元 素法的基础。 素法的基础。
总体坐标系

二、元素刚度矩阵的坐标变换 考察图示平面杆元素的情况， 考察图示平面杆元素的情况， 将 x、y 坐标系定义为总体坐标 、 系，而将 x 、y 坐标系定义为局 部坐标系， 部坐标系，总体坐标系与局部 坐标系之间的夹角为θ（ 坐标系之间的夹角为 （以逆时 针方向为正）。 针方向为正）。 元素在局部坐标下的结点 位移列阵、结点力列阵： 位移列阵、结点力列阵： 元素刚度矩阵扩阶后，变为： 元素刚度矩阵扩阶后，变为：
i 点的位移在 j 点上引起的 结点力。 结点力。
+ +
k ij u j k jj u j

j 点的位移在 j 点上引起的 结点力。 结点力。
kii （1）刚度矩阵 [ K ]e 的列对应于结点位移， k ji ） 的列对应于结点位移， 行则对应于结点力； 行则对应于结点力； ↓ ui
Ui + N = 0 Uj −N =0
U i 1 {F } = = N U j − 1
e
或，
− 1 EA EA 1 − 1 e e e e {F } = [− 1 1]{δ } = − 1 1 {δ } = [ K ] {δ } Lij 1 Lij
ui = [ N ( x )] = N ⋅ δ e u j
式中， 称为位移形状函数 位移形状函数； 式中， Ni (x)、Nj (x) 称为位移形状函数； 、 位移形状函数矩阵。 [N(x)] 称为元素的位移形状函数矩阵。 称为元素的位移形状函数矩阵
对于杆元素， 对于杆元素，其位移形状函 数具有如图所示的形状： 数具有如图所示的形状： （2）变形协调条件与几何矩阵 ） 利用变形协调条件， 利用变形协调条件，求元素 应变，并用节点位移表示： 应变，并用节点位移表示：
可见，刚度系数的物理意义为： 可见，刚度系数的物理意义为
( i≠j ) 因此， 因此，元素刚度矩阵 为一对称方阵 。
kij = kji
平衡方程的物理意义： 平衡方程的物理意义： i 点的位移在 i 点上引起的 结点力。 结点力。 j 点的位移在 i 点上引起的 结点力。 结点力。
Ui U
j
= =
k ii u i k ji u i
e
上式就是位移法中杆元素的平衡方程，也称为刚度方程。 上式就是位移法中杆元素的平衡方程，也称为刚度方程。它表 平衡方程 刚度方程 元素结点力与结点位移之间的关系式。 示元素结点力与结点位移之间的关系式。
（5）平衡条件与刚度矩阵 ）
EA 1 − 1 e {F } = {δ } = [ K ]e {δ }e Lij − 1 1
e
或，
F = K ⋅δ
e e
e
式中的
EA K = [K ] = Lij
e e
1 − 1
− 1 k ii = k 1 ji
k ij k jj
称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。 称为杆元素在局部坐标系中的刚度矩阵。刚度矩阵将元素的结 刚度矩阵 点位移列阵和结点力列阵联系了起来。 点位移列阵和结点力列阵联系了起来。
元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。 元素刚度方程也可以通过虚功原理导出。
二、元素刚度矩阵的坐标变换 由于结构是由许多不同元素组成的， 由于结构是由许多不同元素组成的，而各个元素的局部坐标 系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时， 系又是不全相同的，用位移法求解结点位移时，必须规定统一的 坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义， 坐标系，各结点位移的矢量必须按统一的坐标系来定义，便于建 立全结构的平衡方程。因此， 立全结构的平衡方程。因此，由各个元素局部坐标系定义的元素 结点位移和元素刚度矩阵必须向一个统一的坐标系转换， 结点位移和元素刚度矩阵必须向一个统一的坐标系转换，统一的 坐标系称之为“总体坐标系” 结构坐标系” 坐标系称之为“总体坐标系”或“结构坐标系”。
在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆 在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为杆 元素，如桁架；若单元不仅受轴力， 元素，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯 矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。 矩作用，则称为梁元素，如梁、刚架等。 梁元素
由于杆元素和梁元素是最简单的元素，对这两个 由于杆元素和梁元素是最简单的元素， 杆元素 是最简单的元素 元素的分析，既有鲜明的物理意义， 元素的分析，既有鲜明的物理意义，又能反映位移 法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行 杆元素 法的实质。所以，本章主要对杆元素和梁元素进行 分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。 分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。