数学建模——投篮命中率的数学模型
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
投篮问题--数学建模论文
摘 要本文针对投篮问题进行研究，根据物理运动学原理分析投篮方式的关键因素及特点，建立层次模型对增加观赏度和个人表现力进行分析。
问题一要求分析罚球、两分球及三分球投篮方式的特点及各自提高命中率的关键因素，并为投篮训练和竞赛策略提供建议。
在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析三种投篮方式。
投射罚球和两分球时距离较近，则忽略空气阻力的影响，得到运动轨迹方程如下：222tan 2cos gy x x v αα=⋅- 对于关键因素和特点可用篮球飞行过程中的运行区域的面积表示命中率，在选手最小速度运球的情况下对几个变量求偏导数，根据系数大小找出前两个关键因素，其中对于三分球采用入射角度限制的方法进行分析，得出以下结论：二分球的特点是定点投篮，关键因素有出手高度、出手速度、出手角度度；罚球的特点是投射距离固定，关键因素有出手速度和出手角度；三分球的特点是选择跳投的方式，关键因素有出手速度、出手角度和投篮距离。
综合对三种投篮方式的分析，建议队员投射前应适当的调整投射距离的位置和出手角度这主要跟平时的训练有关，在训练时尽可能的控制手腕力量，加强对力量控制方面的练习。
问题二要求分析新规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。
分析规则修改前后的数据找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善，得知助攻、失误和个人能力是决定增加观赏度和提高个人表现力的关键因素。
关键词 命中率 控制变量 运动学 AHP -模糊综合评价模型一、问题背景与重述1.1问题背景投篮是在比赛中，队员运用各种专门、合理的动作将球投进对方球篮的方法。
投篮是篮球运动中一项关键性技术，是唯一的得分手段。
进攻队运用各种技术、战术的目的，都是为了创造更多更好的投篮机会并力求投中得分；防守队积极防御都是为了阻挠对方投篮得分。
随着篮球运动的发展，运动员身高、身体素质及技术水平的提高，促使投篮技术不断发展：出手部位由低到高，出手速度由慢到快，投篮方式越来越多，命中率不断提高。
篮球投射的数学模型
篮球投射的数学模型数学系20021112班苏之品指导教师铁勇摘要：数学模型是数学中的重要内容之一，建立数学模型有着很强的实用性。
该文从出手角度和出手速度等关系入手，对篮球投射问题深入分析，建立其数学模型，并给出详细的求解过程和结果。
意在对篮球投射问题做一点研究，体现数学模型的实用性。
关键词：篮球投射；出手角度；数学模型The Mathematical Model of Basketball ThrowingAbstract：Mathematical models are such an important part of the content of mathematics that establishing mathematical models is very practical. Starting with the relationship between throwing angle and throwing speed and so on, this paper thoroughly analyzes the issue of basketball throwing, establishes a mathematical model for it, and also gives its detailed solution procedure and its results. It aims at making a research into the problem of basketball throwing so as to illustrate the practicality of mathematical models.Key words：basketball throwing; throwing angle; mathematical model1 引言目前，国外研究篮球问题的角度主要从组合、技术、营养、技巧等方面入手，全方位、多侧面考虑多种因素对投篮效果的影响，建立数学模型进行研究，并打造出了类似NBA的国际知名球赛．国外研究考虑的因素虽比较全面,有利于球员的充分发挥,但由于中国球员的身高、体力等与国外球员相比有较大差别, 因此, 此类数学模型不能全部照搬．而国内著作在该方面的研究相对较少．郭鼎文在文献[2]中对篮球投射如何使命中率提高作了很好阐述,但没有针对这个问题给出实际有效的模型，以便更好地分析问题；文献[3]、[4]、[15]分别从球员的攻防能力、得分能力、若干技术指标与队员比赛能力方面运用统计学的方法建立模型，并且主要针对CBA等职业球赛的球员的身高、体能等方面的因素作分析，虽然具有一定的实用性，但是缺乏普遍应用性，还有待于更深入地研究．本文就是在这样的背景下,对篮球投射的问题作一点讨论．运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论．2 问题提出篮球是一种跳跃运动，而投射是一种常见的投篮动作[1]，但是运动员如何在投篮的过程中把握好投射，并准确有效地投篮呢？下面针对问题进行详细的分析,并建立数学模型.3 问题分析投射的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出[2]．投球的过程是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线．过去的实验表明，投篮的抛物线过高，球飞行的时间过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响则大，不宜控制球的飞行方向，从而影响投篮的命中率[3]. 篮球飞行的抛物线太低，球的入射角较小，也难于将篮球投中．考虑合理的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键[4]，此时,篮球在飞行过程中受空气阻力、风力的影响等许多次要因素，则可以忽略(不影响投篮的实际效果)．4 模型假设（1）据物理学知识，假设投篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞[5]，没有能量损失;（2）运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮圈圈心的水平距离;（3）运动员有良好的心理素质[6],防守队员的防守不影响投篮的命中率;（4）投篮的运动曲线和篮圈圈心在同一平面内;（5）忽略空气阻力，篮球在空中的旋转不影响投篮效果;（6）篮球是一个质点，且这个质点的位置位于球的重心（球心）．5 符号说明s：出手点到篮圈圈心的水平距离；R：篮圈的半径（0.2m）；H：篮圈高度（3.05m）；h:出手高度；q：出手角度；q：最佳出手角度；A q：阴影部分面积；()v：球出手时线速度；t：球的飞行时间（以出手时为零时刻）；g：重力加速度；x ：水平方向上的横坐标（以篮球的出手点为坐标原点）； y ：竖直方向上的纵坐标（以篮球的出手点为坐标原点）；00(,)x y ：篮圈的圈心坐标（以篮球的出手点为坐标原点）； a ：球的入射角度；6 模型建立及求解6．1 投空心篮时的情况分析以篮球出手时篮球球心为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图1：由动力学知弧、 2op 的方程为一般性运动轨道方程，可用参数方程（1）描述t 时刻球的所在位置[7], 即:221sin cos gt vt y vt x -==θθ， (1)消去参数t 得到222cos 2tan x v gx y θθ-=， (2)若篮球球心恰好通过篮圈圈心，将),(00y x 代入（2）整理得到)tan (cos 2002202y x gx v -=θθ. (3)用mathematica 软件画出(3)式的图像为（程序如附录1），如下图2：图1图 2由抛物线的性质得知，出手角度q 增大，入射角度a 也增大，q 减小，a 也减小．当q 减小到30︒以下时, 篮球就会与篮圈相碰而很难进入圈中[8], 故若要考虑篮球投中的情况, 则只需考虑q 大于30°的情况即可．由图二可以分析出，当q 大于30︒时,q 大增大,v 增大，这就说明要使篮球运动时通过篮圈圈心，且当篮球的出手角度增大时,球的出手速度也相应增大，由数学知识，结合运动学知识分析（如图3）发现，当球垂直（a 为90︒时）进入圈中时，篮球可以通过的范围是整个篮圈,即直径为45cm 的圆圈. 如图3中的甲图所示，a 小于90︒时篮球可以通过篮圈的范围变成了一个椭圆（长轴等于篮圈的直径，如图3中的乙、丙），从上面可以看出，v 增大，q 增大，a 也增大，篮球可以通过的范围（椭圆面积）也增大，从一定程度上说提高了投篮命中率，反之，则使篮球可以通过的范围变小．但是否v 、q 越大越好呢？我们将作进一步讨论．为20米/秒，这个速度远远超过了任何运动员用任何投球方式所能达到的速度．说明、并不是可以无限地增大，那么考虑v 、q 为多大时，才能使投球效果最佳，而又切合实际呢？根据(2)式设 1op 的方程为22201tan 2cos g y x x v q q=-, (4)由曲线 1op 过点1000(,)p s R H h --,有 000222010()tan ()2cos ()s R H h gv s R q q ---=-, (5) 故 1op 的方程为 200020()tan ()tan ()s R H h y x xs R q q ---=--， (6)同理， 2op 过点2000(,)p s R H h +-,且 2op 的方程为 200020()tan ()tan ()s R H h y x x s R q q +--=-+， (7)写出直线1op ，2op 的方程 直线1op 的方程为000H h y x s R-=-， (8)直线2op 的方程为000H h y x s R-=+， (9)求阴影面积，()A q 有dx x R s h H x R s h H R s x A A Rs o op ])()(tan )(tan [0002200000101--------=≡⎰-∆θθ []200000000111()tan ()tan ()()()()232s R s R H h s R s R H h q q =---------，(10)dx x R s h H x R s h H R s x A A Rs o op ])()(tan )(tan [0002200000202+--+--+-=≡⎰+∆θθ[]200000000111()tan ()tan ()()()()232s R s R H h s R s R H h q q =+-+--+-+-， (11))()](2[210000321h H R h H R A A p op -=-=≡∆， (12) 故21300024()tan ()33A A A A s R R H h q q =--=--. (13) 由()A q 的表达式可以看出，tan q 越大（即q 越大，q ﹤90︒），()A q 越大，但事实上,投篮初速度只能在某一范围内变化[10]，由（3）式知，相应的出手角度也只能在某一范围内变化，所以tan q 只可能在某一范围变化．为求tan q 在所给定的范围内使()A q 达到最大时的值，我们把()A q 化为关于初速度v 的函数来求极大值[11]． 回到运动方程222tan 2cos g y x x v q q=-， (14) 设它过点00(,)s H h -,00[,]s s R s R ?+,将此坐标代入(14)式有20022tan 2cos gH h s s v q q-=-， (15) 从而20022tan ()(1tan )2s H h g v sq q --+=， (16) 这是关于tan q 的一元二次方程，取其较小的根21tan (v gsq =-， (17)其中，2v 应满足0)(2220024≥---s g g h H v v ． (18) 解上述不等式，得到20(v g H h ?+． (19)又因为2tan 0()d d v q =<, (20)所以，θtan 是2v 的严格单调减函数[12]，当 2v 达到最小值时，θtan 达到最大值，由于)()((22200002s v s h H h H g v m =+-+-≥, (21)故有20001max tan ()tan ()m H h v s s gs s q q -==+, (22)(23)从（23）式可以看出，)(0s θ是关于s 的单调减函数，所以,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≤1)(arctan )(20000000R s h H R s h H s q ， (24)另一方面⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≥1)(arctan )(20000000R s h H R s h H s q , (25)综上所述，一般投射角应控制在以下范围内，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-++-1)(arctan 1)(arctan 20000002000000R s h H R s h H q R s h H R s h H ．(26)相应地，由（3）式，出手速度v 应控制在[][]20200002020000)()(2)()(2R s h H h H g v R s h H h H g ++-+-≤≤-+-+-． (27)范围之内．6．2 投碰板篮时的情况分析现在假设与篮球板背面的那边也有一个“篮圈”，这时根据假设（1），补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮圈[13]．但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮圈圈心的水平距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原0s 变为0s +0.575，计算机程序如附录3），如图4:7 模型应用篮球运动员在投球的瞬间，需要大概估计出手点的所在高度和出手点与篮圈圈心的水平距离，这将影响投篮的效果[14],下面根据投空心篮和碰板篮的不同情况给出结论．h=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的⑴以出手点高落球点的相应出手角度范围如下（用Mathematica程序求解，程序如附录2）:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表h=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出以出手点高为手角度范围如下:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表h=2.5m投碰板篮,运动员投碰板篮时,可以利用公式(26)在不同的落⑵当出手高度为球点的相应出手角度范围如下(程序如附录3):投碰板篮时落球点与出手角度范围的情况统计表h=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是49︒，从表中可以看出，当投篮的出手点高在三分线投球的最佳出手角度是47.5︒．这与现实中的投篮结果差异很小[15]．8 总结本文对现实中的篮球投射问题作了一点点探讨.针对篮球运动员投空心篮与碰板篮的不同投篮情况，假设在保持合理有效的出手角度情况下,忽略空气阻力和风力对投篮效果的影响（这样的假设并不会影响投篮的实际效果,有利于问题解析的简化）, 根据各个运动员不同的身高、不同的位置和不同的出手点，建立数学模型,充分考虑影响投篮效果的出手速度和出手角度等主要因素，逐步分析导出投篮的出手点与所在位置的最佳出手角度（利用附录2、3，可以有效改变出手高度,进而影响出手角度和出手速度），并利用数学软件Mathematica的作图功能处理数据、绘出图形促进了问题的有效分析．此外，现实篮球运动中还有很多情况可以通过建立数学模型进行有效分析,数学模型的作用表现出越来越广泛的作用,建立模型需要的知识也越来越复杂.鉴于本人知识水平有限，还有很多不足的地方，有待于日后进一步学习和研究．附录1In[1]：x0=6.25;y0=0.55;g=9.8;Plot[（gx0^2/(2cos[θ]^2(x0tan[θ]- y0))）^(1/2)，{ θ，0，pi/2}]附录2运行Mathematica源程序In[1]：=s0=6.25;R=0.2;high1=3.05; high2=2.5;In[5]：=temp1=(high1-high2)/(S0+R);temp2=(high1-high2)/(S0-R);In[7]：=thetal=ArcTan[temp1+sqrt[temp1^2+1]ж180/N[pi] ]out[7]：=47.44In[8]：= theta2=ArcTan[temp2+sqrt[temp2^2+1]ж180/N[pi] ]out[8]：=47.60In[9]：=tempH=high1-high2;In[10]：v1=sqrt[2ж(tempH+sqrt[tempH^2+(S0-R)^2] ) ]out[10]：=3.4502In[11]：v2=sqrt[2ж(tempH+sqrt[tempH^2+(S0+R)^2] ) ]out[11]：=3.56421附录3只须将附录2中的S0分别加上0.575即可求出相应出手角度与出手速度．参考文献[1] 郭洪宝．篮球竞赛规则问答[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：76~78．[2] 郭鼎文．投篮的技巧[M]．北京：北京体育大学出版社，2003：10~23．[3] 杨远波．第六届中国大学生篮球联赛男子８强攻防能力研究[J]．成都体育学院学报，2006，(1)：72~74．[4] 何惠民．对CUBA男篮得分能力的研究与分析[J]．杭州师范学院学报，2003，（10）：16~18．[5] 程守洙，江之永．普通物理学[M]．北京：高等教育出版社，2001：103~104．[6] 张新仪，寇振声．篮球运动理论与方法[M]．山东：石油大学出版社，2001：374~376．[7] 赵凯华，罗蔚茵．力学[M]．北京：高等教育出版社，2004：26~27．[8] 汤小康，张怀钊．街头篮球实战技巧[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：90~92．[9] 张宏杰，陈钓．篮球运动[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：11~15．[10] 李尚志，陈发来，吴耀华．数学实验[M]．北京：高等教育出版社，2003：8~10．[11] 孙薇荣，谢国瑞，郭镜明．高等数学[M]．北京：科学出版社，2004：189~190．[12] 欧阳光中，姚允龙，周渊．数学分析[M]．上海：复旦大学出版社，2004：145~147．[13] 胡运权，郭耀煌．运筹学教程[M]．北京：高等教育出版社，2003：449~451．[14] 斐博儒．篮球策应技术与训练[M]．北京：人民体育大学出版社，2003：133~136．[15] 翁荔．CUBA若干技术指标与队员比赛能力的分析和探究[J]．上海体育学院学报，2003，(1)：37~38．指导教师评语：苏之品同学的论文从数学模型的方面对篮球投射问题作了很好的理论探索。
数学建模实例-投篮
问题的提出
• 篮球运动员在中距离投篮训练时
被告之: 为提高投篮命中率, 应
以 投球 . 试从数学的角度分
析其合理性.
模型假设
• 1) 忽略空气阻力; • 2) 只考虑不接触篮板投篮的情况; • 3) 防守队员的防守不影响投篮的命中率; • 4) 运动员投篮的水平距离S<10m; • 5) 投篮的运动曲线和篮圈中心在同一个平面内.
设运动方程
过点
,则 :
模型应用
THE END
谢 谢 !
• 于是, 曲线OP1方程为:
曲线OP2方程为:
2) 直线OP1, OP2的方程分别为:
3) 达式可以看出, 当 越大,
越大. 但事实上由于投篮初速度v只可能在某
一范围内变化, 所以
内变化. 为求 达到最大, 把
也只能在某一范围
在所给定的范围内使 化为初速度v的函数求解.
模型建立
• 如图, 设P1P2为篮圈横截面, 篮圈高为H0, 半径为
R, 投篮出手点到篮圈中心水平距离为S0, 与地
面距离为h0. 则投篮角度问题就转化为求一个角
度(范围), 使阴影部分面积最大, 即:
1) 确定曲线OP1, OP2的运动方程. 由动力学知识可
知其方程为一般性运动轨道方程, 方程式为:
投篮问题的数学模型
关于积分的数学模型实例用现代数学方法研究体育运动是20世纪70年代开始的，1973年，美国的应用数学家凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。
几乎同时，美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术，从而提出自己的理论，据此改正投掷技术的训练措施，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。
这些例子说明，数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用，所用到的数学知识也越来越深入，借助的科学工具也越来越先进。
我们选择一个较简单的例子来作说明。
篮球运动员在中距离投篮训练时被告知：为提高投篮命中率，应以450投射角投球。
请从数学理论的方法阐述其原因。
其中典型数据：投篮距离6米，篮圈半径0.2米，篮圈高度3.05米，篮球出手高度2.9米。
模型假设：（1） 忽略空气阻力；（2） 只考虑不接触篮板投篮的情况； （3） 防守队员的防守不影响投篮命中率；（4） 运动员投球的水平距离s<10（米） h（5） 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。
如图，设P 1P 2为篮圈横截面，篮圈高为H 0，半径为R ，H 0=3.05（米），R=0.2（米）投篮出手点到篮圈中心水平距离为s 0，出手高度为h 0，s 0=6（米） h 0=2.9（米）投篮出手角度为θ，速度为v ，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(θ)建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s 0、出手角度θ、出手速度v 、篮圈高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。
于是，该问题转化为求一个角度θ0(h 0, s 0)，能使运行区域面积A(θ)最大，即000(,)()max ()h s A A θθθ= 第一步：由运动学知弧1OP 、2OP的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为： 222tan 2cos g y x x v θθ=- 由于1OP 过点1000(,)P s R H h --，则有： 0002220tan ()()2cos ()s R H h g v s R θθ---=- 则1OP 的方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ---=-- 同理，2OP 得方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ+--=-+ 另外，直线P 1P 2的方程为00y H h =-第二步，求运动区域面积A(θ)运用定积分求面积，得022********000tan ()()tan ()()(){[tan ][tan ]}()()s Rs R H h s R H h A x x x x dx s R s R θθθθθ-+-----=---+-⎰ 0020000020tan ()()[tan ()]()s Rs R s R H h x x H h dx s R θθ+-+--=---+⎰ 00024tan ()33s R R H h θ=-- 第三步，求A(θ)得极值点：由A(θ)的表达式可以看出，当tan θ越大（即θ越大，θ<900），A(θ)越大。
投篮问题建模
数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。
本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。
我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。
首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。
在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s, 这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz 之间。
并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。
其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。
我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。
因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。
接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。
最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。
最后，运用我们所建立的模型分析得出2012 年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差．问题的重述1.图2.篮球场地示意图规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图二．问题分析1) 在研究罚篮时， 由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决 定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需， 分别给 定一个出手速度 v 和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和 速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
投篮问题的数学建模
投篮问题的数学建模摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1o。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
数学建模——投篮命中率的数学模型
投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。
根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。
本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。
首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。
其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。
在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。
本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。
最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。
出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。
在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。
投篮问题（数学建模）
投篮问题（数学建模）
投篮问题
激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球
我们建立数学模型研究以下数学问题：
1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮框的入射角度β；
2) 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；
3）为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。
讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；。
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1 模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点,排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v,加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义,求出所需高度,速度等变量的最值,得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小,但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8～2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小,而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格；出手速度一定时,出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度,出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中,提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式-—罚球.我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小,把它们的中心看成质点,只是简单的讨论球心命中框心的条件.对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差,和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下,讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板;③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24。
数学建模-投篮问题
8.0 8.5 9.0
-0.7100 -0.5411 -0.4463
0.0601 0.0734 0.0832
1.1140 0.7918 0.6244
0.7511 0.8640 0.9243
总的看来,允许偏差都相当小.进一步分 析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而 速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对 速度的 要求严格;出手速度一定时,高度越 大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允 许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都 相对较低.
h(m)
a(度)
62.4099 67.6975 71.0697
-0.7562 -0.5603 -0.4570
v
v v
1.2261 0.8276 0.6431
1.8
8.0 8.5 9.0
0.0528 0.0694 0.0803
0.6597 0.8167 0.8925
2.0
63.7281 68.3367 71.4700
2
42.7925 40.9188 39.1300 37.4019 37.5049 36.0075 34.5214 33.0444 34.1327 32.7614 31.3881 30.0127
1
53.8763 55.8206 57.4941 58.9615 62.1726 63.1884 64.1179 64.9729 67.1426 67.7974 68.4098 68.9840
v g H h L (H h)
2 2
2
球入篮筐时的入射角 度 可从下式得到
tan dy dx
xL
(6)
这里的导数由(2)式计算代入后可得
有关投篮命中率的理论与应用模型
有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式，从最简单的罚篮模型出发，且先在理想情况下进行讨论，将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。
考虑到其中较容易训练的是出射角度，球员的出手高度由身体情况也可基本确定，出手力度却在不同状态下变化较大，模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。
再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角，并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算，找出最佳投篮角度范围，并与实际比赛统计数据比较加以验证。
最后根据模型中投篮方案，考虑场地变化对队员得分的影响，并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。
关键词投篮命中率多因素规划场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术，是比赛中得分的重要手段。
投篮的方式主要分为三种，即“罚篮”、“两分球”和“三分球”，为了能够提高投篮的命中率，我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析，以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。
题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更，问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议，并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个人表现力的影响。
二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说，罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定，而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进，故首先选择罚篮为基本模型进行分析。
构建模型之前有以下假设：①运动员在投篮时发挥稳定，不受偶然因素的影响；②球的飞行过程暂时不计空气阻力，不考虑球的旋转，即将其视为理想的抛体运动；③假设球心的轨迹与篮框中心共面。
符号规定：L1——罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2——罚球点与篮框右边缘B的水平距离d——篮框的直径H——篮框的竖直高度v0——球的初速度θ——v0与水平方向的夹角h——球的出手高度r——篮球的半径R——三分线的半径根据题意及相关数据，如图1所示，可知L与H为常量（均以改变后的规则为标准）：L1=4.375m，L2=4.825m，d=0.450m，H=3.050m，r=0.123m，球心轨迹方程由v0、θ和h确定。
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投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。
根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。
本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。
首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。
其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。
在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。
本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。
最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。
出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。
在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。
关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、MathType 数学软件一、问题重述在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定性作用。
而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
第一问，在各种投篮方式中，罚球投篮是最简单也是很重要的投篮方式。
这一问只考虑罚球投篮这一简化模型，根据题目已给出的假设条件，假设罚球投篮不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即只考虑空心球，在此情况下，站在罚球线上怎样罚球才能使命中率高；第二问，考虑篮球擦板后进篮的情况，即篮球与篮板弹性碰撞的情况下，讨论在限制区边线上分别距篮框中心30度、45度、90度这三种不同（罚球线）位置上出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
二、问题分析篮球是一项技术综合性较强的运动项目，需要队员们的共同努力与协作。
但是，个人的投篮得分也十分重要。
就罚球投篮而言，这是最简单但也很重要的投篮方式。
投篮的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出⑴。
投球的过程可以认为是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线。
据科学和实践证明，球的出手角度影响着球的飞行路线，球的飞行路线一般有低弧线、中弧线和高弧线三种，一般以中弧线为最佳⑵。
过去的种种实验表明，若投篮的抛物线过高，那么球飞行的时间会过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响就大，这样不宜控制球的飞行方向，从而影响到投篮的命中率⑶。
若篮球飞行的抛物线太低，那么球的入射角较小，在这种情况下也难将篮球投中。
为了在比赛中更好地取胜，就必须有效地提高投篮命中率，而影响投篮命中率的两个最为关键的因素就是投球时的出手角度和出手速度。
因此，考虑合适的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键⑷。
在这里，本文根据题目要求依次研究如下问题：第一问:在不考虑球出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，根据以下分类具体研究如何提高罚球命中率1.只考虑篮框的大小，忽略空气阻力的影响；2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响；3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差；4.考虑有空气阻力影响的情况。
第二问:考虑篮球擦板后进篮的情况,此时忽略碰撞时的能量损耗，分别讨论以下三种情况时出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系1.在限制区边线上距篮框中心30度位置；2.在限制区边线上距篮框中心45度位置；3.在限制区边线上距篮框中心90度位置。
三、模型假设假设一：运动员有良好的心理素质⑸，防守队员的防守不影响投篮的命中率；假设二：运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮框中心的水平距离；假设三: 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内；假设四：在考虑篮球擦板进篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞⑹，没有能量损失；假设五：出手后，篮球在空中的旋转不影响投篮效果；假设六：在第一问中不考虑球碰篮板或篮框的情况；假设七：在第二问中忽略空气阻力的影响。
四、符号说明s0:投篮出手点到篮框中心水平距离,单位为米（m），这里s0=4.600mH0:篮框的高度, 单位为米（m），这里H0=3.050mR:篮框半径, 单位为米（m），这里R=0.225mD:篮框直径,单位为米（m），这里D=0.450md:篮球直径,单位为米（m）h0:篮球运动员出手的高度, 单位为米（m）v:投篮出手速度, 单位为米/秒（m/s）g：重力加速度，单位为米/秒2，这里取g=9.8m/s2θ:投篮出手角度,单位为度(°)β:篮球入框时的入射角,单位为度(°)∆x：球入篮框时球心可以偏离（前后）的最大距离，单位为米（m）A(θ)：入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，单位为平方米（㎡）L：限制区底边边长的一半，单位为米（m），这里L=3.000m五、模型建立与求解对问题一的模型求解：1.只考虑篮框的大小,忽略空气阻力的影响如图，设P 1P 2为篮框横截面，篮框高为H 0，半径为R 投篮出手点到篮框中心水平距离为s 0，出手高度为h 0投篮出手角度为θ，速度为v ，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为A(θ)建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s 0、出手角度θ、出手速度v 、篮框高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素，我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。
于是，该问题转化为求一个角度θ0(h 0, s 0)，能使运行区域面积A(θ)最大，即000(,)()max ()h s A A θθθ=h第一步：由运动学知弧1OP 、2OP 的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为：222tan 2cos g y x x v θθ=-由于1OP 过点1000(,)P s R H h --，则有： 0002220tan ()()2cos ()s R H h gv s R θθ---=-则1OP 的方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ---=--同理，2OP 得方程为200020tan ()()tan ()s R H h y x x s R θθ+--=-+另外，直线P 1P 2的方程为00y H h =-第二步，求运动区域面积A(θ) 运用定积分求面积，得0220000002200tan ()()tan ()()(){[tan ][tan ]}()()s R s R H h s R H h A x x x x dx s R s R θθθθθ-+-----=---+-⎰0020000020tan ()()[tan ()]()s Rs Rs R H h x x H h dx s R θθ+-+--=---+⎰00024tan ()33s R R H h θ=--第三步，求A(θ)得极值点：由A(θ)的表达式可以看出，当tan θ越大（即θ越大，θ<900），A(θ)越大。
但事实上由于投篮出速度只可能在某一范围内变化，所以tan θ只可能在某一范围内变化。
为求tan θ在所给定的范围内使A(θ)达到最大，我们把A 化为初速度v 的函数来求极大值。
回到运动方程 222tan 2cos g y x x v θθ=-设曲线过点0000(,),[,]s H h s s R s R -∈-+，代入方程得：20022tan 2cos g H h s s v θθ-=-从而有20022tan ()(1tan )2s H h g v s θθ--+=这是关于tan θ的一元二次方程，取其最小的根：21tan (v gsθ=-其中，2v 满足 4222002()0v v H h g g s ---≥又因为2tan 0()d d v θ=<所以，tan θ是2v 的减函数，当2v 达到极小时，tan θ达到极大，由于4222002()0v v H h g g s ---≥解得2200(()m v g H h v s ≥-+=则有20001max tan ()tan ()m vH h v s s gs s θθ-===其中000()arctan[H h s s θ-=从上式可以看出，0()s θ是s 的减函数，由于00[,]s s R s R ∈-+所以0000000arctan[()arctan[H h H h s s R s R θ--≤≤+-[][]20200002020000)()(2)()(2R s h H h H g v R s h H h H g ++-+-≤≤-+-+-由题已知H 0=3.050（米）， R=0.225（米）， s 0=4.600（米）， 假定h 0=2.100(米)把H 0、s 0、R 的数据代入计算，得角度、速度的范围：2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响由于考虑了篮球的大小，则篮球入射角β受到篮球直径d 大小的影响，如果入射角β太小，则球会碰到篮框导致球不能入框（见图2）。
利用三角函数关系容易得出球心命中框心且球入框的条件为Dd >βsin 即在本题给定的篮球直径d 和篮框直径D 数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角β>33.1︒ 。
此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离∆x 满足βsin 22d D x -=∆由已知篮框直径D=0.450（米），得A D BβO图23.考虑出手角度和出手速度的最大偏差记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为∆α和∆v ，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到篮框的水平方向距离L 变为L ±∆x 引起的偏差，此时篮框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程（*）代替。