2017_2018学年高中数学课时跟踪训练(含答案)二排列与排列数公式北师大版选修2_3
2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一命题北师大版选修2_1
其中真命题的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3．(湖南高考)命题“假设α＝ ，那么tanα＝1”的逆否命题是( )
A．假设α≠ ，那么tanα≠1B．假设α＝ ，那么tanα≠1
C．假设tanα≠1，那么α≠ D．假设tanα≠1，那么α＝
4．已知命题“假设ab≤0，那么a≤0或b≤0”，那么以下结论正确的选项是( )
A．真命题，否命题：“假设ab＞0，那么a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“假设ab＞0，那么a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“假设ab＞0，那么a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“假设ab＞0，那么a＞0且b＞0”
逆命题：假设直线l1与l2不相交，那么l1与l2平行；
否命题：假设直线l1与l2不平行， 那么l1与l2相交；
逆否命题：假设直线l1与l2相交，那么l1与l2不平行．
8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
5．已知命题：弦的垂直平分线通过圆心，并平分弦所对的弧．假设把上述命题改成“假设p，那么q”的形式，那么p是____________________________，q是__________________________．
6．命题“假设x2<4，那么－2<x<2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．
高中数学课时跟踪训练二排列与排列数公式北师大版选修2
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320 D ．3482.A 345！等于( ) A.120B.125C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－a C ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号) 7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．选CA345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．5．解析：A79＝9！－！＝362 8802＝181 440.答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3A x8＝4A x－19，得3×8！－x！＝4×9！－x！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
精选2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一归纳与类比北师大版选修2_2
课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2×10n B．2×10n－1C．2×10n＋1D．2×10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中， 由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(七)二项式定理 北师大版选修2-3
课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k(－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n . ∴n ＝17. ∴T r ＋1＝C r17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29.8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.。
2017-2018学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十七) 两条直线的位置关系 Word版含答案
课时跟踪检测（十七） 两条直线的位置关系层级一 学业水平达标1．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.故两条直线垂直．2．已知过点A (－1，m )和B (m,5)的直线与3x －y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B.12 C ．2 D ．10解析：选B 由题意k AB ＝5－m m ＋1＝3，得m ＝12. 3．下列说法中，正确的是( )A ．若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1与l 2互相平行，则它们的斜率相等C ．直线l 1与l 2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2一定相交D ．若直线l 1与l 2的斜率都不存在，则l 1∥l 2解析：选C 若l 1与l 2中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2不平行，故l 1与l 2一定相交．4．过点(－1,3)，且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A 由点斜式y －3＝12(x ＋1)，得x －2y ＋7＝0，故选A. 5．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：选B 平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .答案：①④7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b 2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.答案：3x －2y ＋18＝08．已知A (3,1)，B (－1，－1)，C (2,1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．解析：k BC ＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC 边上的高所在直线的斜率k ＝－32，∴所求直线方程为y －1＝－32(x －3)，即3x ＋2y －11＝0. 答案：3x ＋2y －11＝09．已知点A (－1,3)，B (4,2)，以AB 为直径的圆与x 轴交于点M ，求点M 的坐标． 解：设M (x,0)，∵M 是以AB 为直径的圆与x 轴的交点，∴AM ⊥BM ，∴k AM ·k BM ＝－1，即3－0－1－x ×2－04－x ＝－1， ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2，∴M (1,0)或M (2,0)．10．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解：由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得，k AB ＝5－32－(－4)＝13， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1， 所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．层级二 应试能力达标1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．平行或重合 解析：选D ∵l 1的倾斜角为45°，∴k 1＝tan 45°＝1，又∵l 2过点A (1,2)，B (－5，－4)，∴k 2＝2－(－4)1－(－5)＝1， ∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合，故选D.2．已知直线－6x ＋2y ＋3＝0与直线3x －y －2＝0，则两直线的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交 解析：选B 设两直线的斜率分别为k 1，k 2，在y 轴上的截距分别是b 1，b 2，则k 1＝3，k 2＝3，b 1＝－32，b 2＝－2，因为k 1＝k 2，b 1≠b 2，所以两直线平行． 3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C ∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC .故选C. 4．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．0或－1解析：选D 两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或－1或3，经检验知a ＝3时两直线重合．5．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．解析：l 1，l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5.答案：－56．若三条直线2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0和2mx －3y ＋12＝0围成直角三角形，则m ＝________.解析：设l 1：2x －y ＋4＝0，l 2：x －y ＋5＝0，l 3：2mx －3y ＋12＝0，l 1不垂直于l 2，要使围成的三角形为直角三角形，则l 3⊥l 1或l 3⊥l 2.由l 3⊥l 1得2×23m ＝－1，∴m ＝－34； 由l 3⊥l 2得1×23m ＝－1，∴m ＝－32. 故m ＝－34或－32. 答案：－34或－327．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 为坐标原点)；(2)∠MPN 是直角．解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k O M ＝k NP ，又k O M ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5. ∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6. ∴P (1,0)或(6,0)．8．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点．(1)求点D ，使直线CD ⊥AB ，且BC ∥AD ；(2)判断此时四边形ACBD 的形状． 解：(1)设D (x ，y )，即D 点坐标为(0,1)．(2)∵k AC ＝0－(－1)3－1＝12，k BD ＝2－12－0＝12， ∴k AC ＝k BD .∴AC ∥BD .∴四边形ACBD 为平行四边形．而k BC＝2－02－3＝－2，∴k BC·k AC＝－1.∴AC⊥BC.∴四边形ACBD是矩形．又DC⊥AB，∴四边形ACBD是正方形．。
2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十二二项散布北师大版选修2_3
8．(四川高考)某居民小区有两个彼此独立的平安防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率别离为 和p.
(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求p的值；
(2)设系统A在3次彼此独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率散布列．
课时跟踪训练(十二) 二项散布
1．假设X～B ，那么P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
2．在4次独立重复实验中，事件A发生的概率相同，假设事件A至少发生1次的概率为 ，那么事件A在1次实验中发生的概率为( )
AHale Waihona Puke B.C. D.3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，通过3次射击，这人至少有2次击中目标的概率为( )
答案
1．选D∵X～B ，
∴P(X＝2)＝C 2 4＝ .
2．选A 事件A在一次实验中发生的概率为p，由题意得1－C p0(1－p)4＝ .因此1－p＝ ，p＝ .
3．选A 至少有2次击中目标包括以下情形：
只有2次击中目标，现在概率为
C ×0.62×(1－0.6)＝ ，
3次都击中目标，现在的概率为C ×0.63＝ ，
答案：
7．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确信的情形下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，因此只有一种情形，又各次射击的结果互不阻碍，故所求其概率为
P1＝ × × × × ＝ ；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5， )，故所求其概率为
5．解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝C pk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
2017-2018学年高中数学选修2-3课时跟踪检测二 排列与排列数公式 含答案 精品
课时跟踪检测(二) 排列与排列数公式一、选择题1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．2．计算：A 67－A 56A 45等于( ) A ．12B ．24C ．30D ．36 解析：选D A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 3．已知A 32n ＝2A 4n ＋1，则log n 25的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．不确定 解析：选B 因为A 32n ＝2A 4n ＋1，所以2n ·(2n －1)·(2n －2)＝2(n ＋1)·n ·(n －1)·(n－2)，由题意知n ≥3，整理方程，解得n ＝5，所以log n 25＝2.4．若n ∈N *，n <20，则(20－n )·(21－n )·(22－n )·…·(29－n )·(30－n )等于( )A ．A 1020－nB ．A 1120－n C ．A 1030－n D ．A 1130－n 解析：选D 从(20－n )到(30－n )共有11个数，其中最大的数为30－n .5．要从a ，b ，c ，d ，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a 不能当副组长，则不同的选法种数是( )A ．20B ．16C ．10D ．6 解析：选B 不考虑限制条件有A 25种选法，若a 当副组长，有A 14种选法，故a 不当副组长，有A 25－A 14＝16种不同的选法．二、填空题6．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成______________个以b 为首的不同的排列，它们分别是__________________________________________________．解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed7．集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素．解析：因为m ∈N *，且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．答案：38．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A 26＝30条．答案：30三、解答题9．解不等式：A 42x ＋1<140A 3x .解：根据原方程，x ∈N *，且应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥4，x ≥3.解得x ≥3.根据排列数公式，原不等式可化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)<140x ·(x －1)·(x －2)．∵x ≥3，∴两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)·(2x －1)<35(x －2)，即4x 2－35x ＋69<0，解得3<x <534.∵x∈N*，∴x＝4或x＝5.10．求证：(1)A n n＝A m n·A n－mn－m；(2)k·A k k＝(k＋1)！－k！.证明：(1)A m n·A n－mn－m＝n！n －m！(n－m)！＝n！＝A n n，∴等式成立．(2)左边＝k·A k k＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边，∴等式成立．11．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.。
2017-2018学年北师大版高中数学选修2-1同步配套课时跟踪训练含解析
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 命题 (1)课时跟踪训练(二)充分条件与必要条件 (4)课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词 (8)课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非” (11)课时跟踪训练(五)从平面向量到空间向量 (15)课时跟踪训练(六)空间向量的运算 (18)课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 (22)课时跟踪训练(八)空间向量运算的坐标表示 (26)课时跟踪训练(九)空间向量与平行关系 (29)课时跟踪训练(十)空间向量与垂直关系 (33)课时跟踪训练(十一)直线间的夹角、平面间的夹角 (38)课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角 (43)课时跟踪训练(十三)距离的计算 (48)课时跟踪训练(十四)椭圆及其标准方程 (54)课时跟踪训练(十五)椭圆的简单性质 (58)课时跟踪训练(十六)抛物线及其标准方程 (62)课时跟踪训练(十七)抛物线的简单性质 (65)课时跟踪训练(十八)双曲线及其标准方程 (68)课时跟踪训练(十九)双曲线的简单性质 (71)课时跟踪训练(二十)曲线与方程 (75)课时跟踪训练(二十一)圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 (78)课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤－1 B ．若x ≤1，则x ＞－1 C ．若x ≤1，则x ≤－1 D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________________，q 是__________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 6．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交； 逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行； 否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交； 逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝13．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋cb ＝2”，则命题p 是命题q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是_________ _______________．6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的________．7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．答 案1．选A 当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．2．选A 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.3．选A 若a b ＋cb ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋cb ＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.4．选A 当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.5．解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件． 答案：(1)③ (2)①7．解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2. ∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立3．下列命题为真命题的是()A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立C．对任意x＞0，都有3x＞3成立D．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个假命题5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________________ ______________________________．7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)有的四边形没有外接圆；(2)某些梯形的对角线互相平分；(3)被8整除的数能被4整除．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．答 案1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x ，y ”，改成全称命题为：对任意实数x ，y ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．2．选A “关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.3．选A A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非”1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则()A．p是真命题，q是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q 且p D．q5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．选C由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.2．选D由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.3．选A命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.4．选C很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p且綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．8．解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，∴a≥4或a≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．课时跟踪训练(五) 从平面向量到空间向量1．空间向量中，下列说法正确的是( )A ．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B ．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C ．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若a 是b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两个向量平行，则这两向量相等D ．在四边形ABCD 中，AB ＝DC3．在四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，且|AC |＝|BD|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A ．BDB ．1BCC ．1BD D ．1A B5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC垂直的向量有________．6.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF ，GH〉＝________.7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB相等的向量；(2)写出与BA相反的向量；(3)写出与BA平行的向量．8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，11A B＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求〈PQ ，EF 〉，〈PQ ，GH〉，〈GH ，FE 〉．答 案1．选D 只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D 正确． 2．选B 模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB ＝DC，则四边形ABCD 是平行四边形．3．选B 若AB ＝DC，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC |＝|BD|，即AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形． 4．选A ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD为平面ACC 1A 1的法向量．5．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴11A B ⊥1BC；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC.答案：11A B 1A D6．解析：连接DB ，BC 1，DC 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.∴〈EF ，GH 〉＝〈BD ，1BC〉＝60°.答案：60°7．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA . (2)DC ，11D C ，11A B ，AB .(3)AB ，CD，DC ，11D C ，11C D ，11A B ，11B A .8．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以〈PQ ，EF 〉＝∠HPQ ＝2π3；〈PQ ，GH 〉＝∠FGH ＝2π3；〈GH ，FE 〉等于∠QEF 的补角，即〈GH ，FE 〉＝π3.课时跟踪训练(六) 空间向量的运算1．如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设AB ＝a ， AD＝b ，1AA ＝c ，则下列与向量A C相等的表达式是( )A ．－a ＋b ＋cB ．－a －b ＋cC ．a －b －cD ．a ＋b －c2．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．±1D ．23.如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC)＝( )A ．ANB ．CNC ．BCD.12BC 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝AC ·AD ＝AB ·AD＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5.如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，P 为空间任意一点，若PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝x PE，则x ＝________.6．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________.7．在四面体O －ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且|OA |＝1，|OB |＝2，|OC|＝3，G 为△ABC 的重心，求OG ·(OA ＋OB ＋OC)的值．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使〈BA ，CD〉＝60°，求B ，D 间的距离．答 案1．选D A C ' ＝A A ' ＋AB ＋BC＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c .2．选A a·b ＝(2i －j ＋k )(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.3．选A AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋BN ＝AN .4．选B BD ＝BA ＋AD ，BC ＝BA ＋AC ，CD ＝CA ＋AD，∴cos 〈BD ，BC 〉＝(BA ＋AD )·(BA ＋AC)|BA＋AD |·|BA ＋AC |＝2BA | BA ＋AD ||BA ＋AC |＞0，∴〈BD ，BC 〉为锐角，同理cos 〈CB ，CD〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB ，DC〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．5．解析：过E 作MN ∥AB 分别交BC ，AD 于点M ，N .∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝(PA ＋PD )＋(PB ＋PC )＝2PN ＋2PM ＝2(PN＋PM )＝4PE .答案：46．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . ∴|c |＝(－a －b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5. 答案： 57．解：∵OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋13(AC ＋AB)＝13(OA＋OB ＋OC )． ∴OG ·(OA ＋OB ＋OC )＝13(OA ＋OB ＋OC )2＝13(|OA |2＋|OB |2＋|OC |2＋2OA ·OB ＋2OA ·OC ＋2OB ·OC )＝13(1＋4＋9)＝143.8．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0.同理，BA ·AC＝0.∵BD ＝BA ＋AC＋CD ，∴BD 2＝BA 2＋2AC ＋CD 2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋2AC ·CD ＝2BA ＋2AC ＋2CD ＋2BA ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD〉＝4.∴|BD|＝2，即B ，D 间的距离为2.课时跟踪训练(七) 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ，b ＝12AB ，c ＝13AD ，AE＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝323．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB 在1CB上的投影为( )A ．－22B.22C ．－ 2 D. 24.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA＝a ，AB＝b ，1AC ＝c ，则1A B ＝( )A.12a ＋12b ＋12c B.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c5.如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA上的投影是________．6．在三棱锥O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE＝________(用a ，b ，c 表示)．7.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA，1DB 的坐标表示．8.如右图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG ，BG .答 案1．选C ③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．选A AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋12(A B '' ＋A D '' )＝2a ＋b ＋32c .3．选B ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C|＝ 2.∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22.4．选D 1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B)＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .5．解析：1AC 在BA 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，BA〉，在△ABC 1中，cos ∠BAC 1 ＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC|＝ 6.∴|1AC |cos 〈1AC ·BA 〉＝6×⎝⎛⎭⎫－63＝－2. 答案：－26．解析：如图，OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋14(AB ＋AC)＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA)．＝12OA＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴DA ＝(1,0,0)，DB ＝(1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC＝(0,1,1)，1DD ＝(0,0,1)，1DA ＝(1,0,1)，1DB＝(1,1,1)．8．解：∵G 是△PDC 的重心，∴PG ＝23PN ＝13(PD ＋PC )＝13(PA＋AD ＋PA ＋AB ＋BC ) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ， BG ＝BA ＋AP ＋PG＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k＝－23i ＋23j ＋13k .课时跟踪训练(八) 空间向量运算的坐标表示1．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－63．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94B.102C.32D. 64.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，E 为PD 的中点，则|BE|＝( )A ．2 B. 5 C. 6 D ．2 25．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 6．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线， 则p ＝________，q ＝________.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，问是否存在实数x ，y ，使得AC ＝x AB＋y BC 成立？若存在，求x ，y 的值．8.如图，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB|＝3，|1AA|＝2，E 为BC 的中点．(1)求1AO 与1B E所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求O 1D 的长．答 案1．选D 对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．2．选B ∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ， ∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4.3．选C 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝132＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 4．选C 由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE ＝(－2,1,1)，|BE|＝ 6.5．解析：因为(k a －b )⊥b ， 所以(k a －b )·b ＝0， 所以k a·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0， 解得k ＝7. 答案：76．解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB 与AC 共线，即AB＝λAC .又AB＝(1，－1,3)，AC ＝(p －1，－2，q ＋4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ(p －1)，－1＝－2λ，3＝λ(q ＋4).所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 27．解：∵AB＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,2)，BC ＝(0，－1,2)．假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x (－1,1,0)＋y (0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y,2y )＝(－x ，x －y,2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，0＝x －y ，2＝2y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即存在实数x ＝1，y ＝1使结论成立． 8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，所以1AO ＝(－2,0,2)，1B E＝(－1,0，－2)，所以cos 〈1AO ，1B E 〉＝1AO ·1B E|1AO ||1B E |＝－2210＝－1010.(2)因为1O D ⊥AC，AD ∥AC ，而C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则1O D＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3⇒⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213.所以D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，所以O 1D ＝|1O D |＝228613.课时跟踪训练(九) 空间向量与平行关系1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．83．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，则( ) A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D.1035．已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，则l 1与l 2的位置关系是________．6．若平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，则y ＋z ＝________.7.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD .8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．答 案1．选D ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.2．选A ∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.3．选A ∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.4．选B ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 5．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 答案：平行或重合6．解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z.∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37．证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0. MN ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP ＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP ＝0，n ·OD ＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n .又MN ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12， 1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·1BA＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F·n＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .课时跟踪训练(十) 空间向量与垂直关系1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( ) A ．l ∥π B ．l ⊥π C ．l πD ．l 与π斜交3.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶14．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP＝(x －1，y ，－3)，且BP⊥平面ABC ，则向量BP＝( )A.⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 B.⎝⎛⎭⎫407，－157，－3 C.⎝⎛⎭⎫407，－2，－3D.⎝⎛⎭⎫4，407，－3 5．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，若c ⊥d ，则m ＝________. 6．在直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：P A ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.答 案1．选B ∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．选B a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π.3.选B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.4．选A AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 5．解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ＝0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2. ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心． 故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a2. ∴PA＝2EG ，则P A ∥EG .又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB＝(a ，a ，－a )， DE ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2， 故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8．证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)， BC ＝(－2,2,0)，1CC＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·1AA ＝0，n 1·AD＝0， 得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 2·1CC ＝0， 得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测二
课时跟踪检测（二） 数列的函数特性层级一 学业水平达标1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21解析：选C A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大． 3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是( ) A.1214 B ．30 C ．31D ．32解析：选B a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或6时，a n 取最大值30，故选B.4．数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116D.3115解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2·a 3＝9，a 1·a 2＝4，∴a 3＝94. 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.5．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 1 B ．a 9 C ．a 10D ．不存在解析：选A ∵a 1>0且a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n＝nn ＋1<1，∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1.6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n (k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列．解析：a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 答案：递减7．数列{－2n 2＋9n ＋3}中最大项的值为________．解析：由已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.由于n 为正整数，故当n 取2时，a n 取到最大值13.∴数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为a 2＝13. 答案：138．数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1，则数列{a n }的最小项的值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)>0. ∴a n <a n ＋1，∴数列{a n }是递增数列， ∴数列{a n }的最小项为a 1＝12.答案：129．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来， (1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n. 解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图像如图1. (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图像如图2.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．层级二 应试能力达标1．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 017＝( )A ．1 C ．4D ．5解析：选B 根据定义可得出：x 1＝f (x 0)＝2，x 2＝f (x 1)＝1，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝2，…，所以周期为3，故x 2 017＝x 1＝2.2．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选A 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图像上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图像，只有A 满足，故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：选B 由a 1＝0，可求a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，可知周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.4．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析：选C ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1，∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知，当x ∈(0，99)时，函数单调递减． ∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.5．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c (a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是_______．解析：∵a ，b ，c 均为实数，f (x )＝ax bx ＋c ＝a b ＋c x 在(0，＋∞)上是增函数，故数列a n ＝anbn ＋c在n ∈N ＋时为递增数列，∴a n <a n ＋1.答案：a n ＋1>a n6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，则a 2 015＋a 2 016＝________.解析：a 2＝f ⎝⎛⎭⎫73＝73－1＝43； a 3＝f ⎝⎛⎭⎫43＝43－1＝13； a 4＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋12＝56； a 5＝f ⎝⎛⎭⎫56＝2×56－1＝23； a 6＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23－1＝13. 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 015＋a 2 016＝a 5＋a 3＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n <1. (2)数列{a n }是递增数列，理由如下： ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－1n ＋1－n －1n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1－⎝⎛⎭⎫1－1n ＝1n (n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．8．数列{b n }的通项公式为b n ＝na n (a >0)，问：{b n }是否存在最大项？并说明理由． 解：b n ＋1－b n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＝a n [(n ＋1)a －n ]＝a n [(a －1)n ＋a ]．当a >1时，b n ＋1－b n >0，故{b n }为递增数列，无最大项； 当a ＝1时，b n ＋1－b n ＝1，故{b n }不存在最大项； 当0<a <1时，b n ＋1－b n ＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n ＋a a －1＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n －a1－a .∵0<a <1，∴a n (a －1)<0， 即b n ＋1－b n 与n －a1－a有相反的符号． 由于n 为变量，而a 1－a 为常数，设k 为不大于a 1－a的最大整数， 则当n ≤k 时，b n ＋1－b n ≥0； 当n >k 时，b n ＋1－b n <0，即有b 1<b 2<b 3<…<b k －1≤b k ，且b k >b k ＋1>…， 故对任意的自然数n ，b n ≤b k ， ∴0<a <1时，{b n }存在最大项．。
高中数学北师大版选修2-3课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式 Word版含解析
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式．＋等于( )．．．．等于( )．设∈＋，且<，则(－)(－)·…·(－)等于( )．．．．．若从名志愿者中选出人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )．种．种．种．种．已知！＝，那么＝.．给出下列问题：①从这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？②从这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是．(填序号)．()计算；()解方程＝.．从语文、数学、英语、物理本书中任意取出本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案．选原式＝×××＋××＝.．选＝＝.．选个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选.．选名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有＝种方案．．解析：＝＝)＝ .答案：．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③．解：()原式＝＝＝＝.()由＝，得＝，化简，得－＋＝，解得＝，＝.又∵≤，且－≤，∴原方程的解是＝.．解：从语文、数学、英语、物理本书中任意取出本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从个不同的元素中任意取出个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有＝××＝种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测二
课时跟踪检测（二十） 简单线性规划层级一 学业水平达标1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0解析：选B 画出可行域如图，作l 0∶2x ＋y ＝0，所以当直线z ＝2x ＋y 过A (2,0)时z 最大，过B (1,0)时z 最小，z max ＝4，z min ＝2.2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝x －z 经过点A 时，－z 最小从而z 最大，∴z max ＝1.3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3， 则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7 B.8 C ．10D ．11解析：选C 作出可行域如图所示，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大．于是，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x ＋2y ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，则z max ＝2×4＋2＝10，故选C. 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥1，x －2y ≤2.则目标函数z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值解析：选A 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥1，x －2y ≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ， 画出y ＝－x 的图像．当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －1≥0，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x 2＋(y ＋2)2的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由约束条件作出可行域如图所示．又x 2＋(y ＋2)2表示区域内的点到点B (0，－2)的距离，当点(x ，y )在点A (1,0)处时，(x 2＋(y ＋2)2)min ＝5，∴z ＝x 2＋(y ＋2)2的最小值为5.6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，y ≥3x －3，则z ＝y －1x ＋1的最大值为________．解析：作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点B (－1,1)的连线的斜率，由图知易知点(x ，y )在点A (2,3)处，z 取得最大值．所以z max ＝3－12＋1＝23. 答案：237．(全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.∴A ⎝⎛⎭⎫1，12. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线l 0：x ＋y ＝0， 当直线过点A 时，z 最大，z max ＝1＋12＝32.答案：328．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1，则(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．解析：可行域如图所示，(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图像可得(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，29．已知z ＝2y －2x ＋4，其中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出可行域如图所示．作直线l ：2y －2x ＝0，即y ＝x ，平移直线l ， 当l 经过点A (0,2)时， z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当l 经过点B (1,1)时， z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ≥1，x ＋y －7≤0，求yx 的最大值和最小值．解：由约束条件作出可行域(如图所示)，A 点坐标为(1,3)，目标函数z ＝yx 表示坐标是(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A与O 连线斜率最大为3；当直线与x 轴重合时，斜率最小为0.故yx 的最大值为3，最小值为0.层级二 应试能力达标1．已知集合M ＝{(x ，y )|y ≤x }，P ＝{(x ，y )|x ＋y ≤2}，S ＝{(x ，y )|y ≥0}，若T ＝M ∩P ∩S ，点A (x ，y )∈T ，则x ＋3y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选D 如图，依题意得点A 在图中阴影部分，设x ＋3y＝b ，则y ＝－13x ＋b 3，即b 3表示直线在y 轴上的截距，当直线x ＋3y＝b 过点A (1,1)时，b max ＝1＋3×1＝4.2．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14 B.15 C.16D.17解析：选A 根据题中所给约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m所得的可行域如图．根据y ＝－2x ＋z 可知z 的几何含义为直线在y 轴上的截距．显然y ＝－2x ＋z 在点(1,1)和(m ，m )处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m ，故3＝4·3m ，解得m ＝14.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5)D.⎣⎡⎭⎫53，5解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u ＝－53，则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2解析：选B 作出可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，得A (2,1)， z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即2a ＋b ＝2 5.a 2＋b 2可看作两点(0,0)，(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b ＝25的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令S ＝xy ，不妨设在点M (x 0，y 0)处S 取得最大值，且由图象知点M (x 0，y 0)只可能在线段AD ，AB ，BC 上．(1)当M (x 0，y 0)在线段AD 上时，x 0∈[－2,0]，此时S ＝xy ≤0；(2)当M (x 0，y 0)在线段AB 上时，x 0∈[0,2]，S ＝xy ＝x ·14－x 2＝x ⎝⎛⎫7－x 2＝－x 22＋7x ＝－12(x －7)2＋492，当x 0＝2时，S max ＝－12(2－7)2＋492＝－252＋492＝12；(3)当M (x 0，y 0)在线段BC 上时，x 0∈[2,4]，S ＝xy ＝x ·(10－2x )＝－2x 2＋10x ＝ －2⎝⎛⎭⎫x －522＋252， 当x 0＝52时，S max ＝252.综上所述，xy 的最大值为252.答案：2526．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R)．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >9－7a ，3－a >1－3a .所以a >1.答案：(1，＋∞)7．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域．如图，(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0,0)时u 最小．又C (3,8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3,8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.8．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)画出点(x ，y )所在的平面区域，并在区域中标出边界所在直线的方程； (2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数y －ax 的最大值和最小值． 解：(1)已知的不等式组等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，2x －3＜0.解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)设f (x ，y )＝y －ax .f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点．因为a >－1，所以当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大． 因为C 点的坐标为(－3,7)， 所以f (x ，y )的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时， f (x ，y )最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时， f (x ，y )最小，最小值为1－3a .。
2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测十
课时跟踪检测（十七） 基本不等式层级一 学业水平达标1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t解析：选A ∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1.2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：选C A 中x ＝12时，不等式不成立；B 中sin x 不总大于0；D 中，x ＝0时，不等式不成立．故选C.4．已知x >0，若x ＋81x 的值最小，则x 为( )A ．81B ．9C ．3D ．16解析：选B 因为x >0，所以x ＋81x ≥2x ·81x ＝18，当且仅当x ＝81x ，即x ＝9时等号 成立．5．已知x ，y ∈R ，下列不等关系中正确的是( )A ．x 2＋y 2≥2|xy |B ．x 2＋y 2≤2|xy |C ．x 2＋y 2>2|xy |D ．x 2＋y 2<2|xy |解析：选A x 2＋y 2＝|x |2＋|y |2≥2|x ||y |＝2|xy |. 当且仅当|x |＝|y |时等号成立．6．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②x 2＋3x 2≥23；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确命题的序号是________．解析：由基本不等式可知②④正确．答案：②④7．已知a >1，b >1，则log a b ＋log b a ________2(填“≥”“＝”或“≤”)． 解析：∵a >1，b >1，∴log a b >0，log b a >0，∴log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2. 答案： ≥8．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________． 解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c ). 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 29．已知x <0，求证：x ＋4x≤－4. 证明：由x <0，得－x >0，∴(－x )＋4(－x )≥2(－x )×4(－x )＝4， ∴x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋4(－x )≤－4. 10．已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c≥3. 证明：∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a 2b≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)，3c 2b ＋2b 3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)， 将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)， 即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．层级二 应试能力达标1．下列命题：①x ＋1x ≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ①错误，x <0时，x ＋1x 是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．2．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bc B.a ＋d 2<bc C.a ＋d 2＝bc D.a ＋d 2≤bc 解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2>bc . 3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A 解析：选A ∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时等号成立， 又∵函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴A ≤G ≤H .4．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( )A.1ab ≥12B. 1a ＋1b ≥1C.ab ≥2D. 1a 2＋b 2≥14 解析：选B 由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab≥1. 又由1a 2＋b 2≤1⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．5．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2， ∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2＝4， 即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案：m ＞n6．若a ，b 是两个实数且a ＋2b ＝4，则2a ＋4b ________8.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式，得2a ＋22b ≥22a ×22b ＝8.答案：≥7．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·a b ＝9.当且仅当b a ＝a b， 即a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab .∵a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋2ab. 又∵a ，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9.8．若0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0. 求证：a 2x ＋b 21－x≥(a ＋b )2. 证明：左边＝[x ＋(1－x )]⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 21－x ＝a 2＋b 2＋x 1－xb 2＋1－x x a 2 ≥a 2＋b 2＋2x 1－x b 2·1－x x a 2 ＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝右边， 当且仅当x 1－xb 2＝1－x x a 2， 即x ＝a a ＋b 时等号成立， ∴a 2x ＋b 21－x≥(a ＋b )2.。
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(八)二项式系数的性质 北师大版选修2-3
课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 0242．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝53．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．1204．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．－1或35．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．6．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．7．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．答案1．选C 令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f＋f －2＝－112＝－1 024.2．选C 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．3．选B 由2n＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．选D 由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2， 解得a ＝－1或a ＝3.5．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121， ∴1＋n ＋n n －2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7，T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5.(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010 ＝210＝1 024.(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。
2017-2018学年高中数学北师大1：课时跟踪检测(二)集合的基本关系含解析
课时跟踪检测（二）集合的基本关系层级一学业水平达标1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅。
其中正确的有( ）A．0个B．1个C．2个D．3个解析:选B ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此,①②③错，④正确．2．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日在里约举行，若集合A＝｛参加里约奥运会比赛的运动员｝，集合B＝{参加里约奥运会比赛的男运动员｝,集合C＝{参加里约奥运会比赛的女运动员｝，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．B⊆CC．C A D．B A解析：选D 易知集合B，C是集合A的子集，且是真子集，而B，C间没有关系，因此只有D选项正确．3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示不正确的是（）A．1∈A B．{－1}∈AC．∅⊆A D．｛1，－1}⊆A解析:选B “∈”表示元素与集合之间的关系,而B中两个集合之间的关系用∈表示，故选B.4．满足｛a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有( ）A．6个B．7个C．8个D．15个解析：选B 依题意a∈M，且M{a,b，c,d}，因此M的个数即{b，c，d｝的真子集个数，有23－1＝7(个)．5．设集合A＝{x，y｝，B＝｛0，x2｝，若A＝B,则2x＋y等于（）A．0 B．1C．2 D．－1解析:选C 由A＝B,得x＝0或y＝0.当x＝0时,x2＝0,此时B＝{0,0｝,不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x ＝0或x＝1.由上知x＝0不合适,故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2。
6．已知A＝｛1，3，m＋2}，B＝｛3，m2},若B⊆A,则m＝________.解析:由B⊆A知，m2＝1或m2＝m＋2.当m2＝1时,m＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m2＝m＋2时,m＝－1或m＝2，当m＝－1时，不满足集合元素的互异性,验证知m＝2时成立．答案:27．设集合A＝｛x｜1＜x＜2}，B＝｛x｜x＜a｝，若A B，则实数a的取值范围为________．解析：画出数轴可知a≥2。
2017-2018学年高中数学(北师大版)5：课时达标训练(二)含答案
课时达标训练（二）一、选择题1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝错误!，那么这个数列是( )A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列2．（福建师大附中高二检测)若数列{a n｝为递减数列，则它的通项公式可以为( ）A．a n＝2n＋3 B．a n＝－n2＋3n＋1C．a n＝错误!D．a n＝（－1)n3．已知数列｛a n｝满足a1>0，且a n＋1＝错误!a n，则数列｛a n}最大项是（)A．a1B．a9C．a10D．不存在4．一给定函数y＝f（x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈（0，1)，由关系式a n＋1＝f（a n)得到的数列{a n}满足a n＋1〉a n，则该函数的图像是( )二、填空题5．数列｛－n2＋12n－7｝的最大项为第________项．6．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝错误!(n∈N＋)，则错误!是该数列的第______项,且最大项为第________项．7．已知正项数列{a n｝，满足a n＋1＝2a n2＋a n，则a n与a n＋1的大小关系是________．8．如果数列｛a n｝为递增数列,且a n＝n2＋λn（n∈N＋），则实数λ的取值范围为________．三、解答题9．已知函数f（x）＝错误!(x≥1），构造数列a n＝f(n)（n∈N＋)．(1）求证：a n〉－2；(2)数列{a n｝是递增数列，还是递减数列？为什么？10．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝错误!。
(1）求证：数列{a n｝是递增数列；(2)若存在一个正实数M使得|a n|≤M对一切n∈N＋都成立，则称数列{a n}为有界数列．试判断此数列是否为有界数列,并说明理由．．[挑战高分］11．设f（x）＝log2x－log x4(0〈x<1），又知数列{a n｝的通项a n 满足f(2a n）＝2n。
（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）试判断数列{a n｝的增减性．答案1．解析：选A 法一：∵a n＋1＝错误!，∴a n＋1－a n＝错误!－错误!＝错误!＝2n＋1n＋2〉0，∴{a n｝是递增数列．法二：∵数列｛a n}各项均为正，又a n＋1＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!〉1，∴｛a n｝是递增数列．2．答案：C3．解析：选A ∵a1〉0，且a n＋1＝错误!a n，∴a n>0.又错误!＝错误!〈1，∴a n＋1<a n。
2017-2018学年高中数学(北师大版)5：课时跟踪检测(二)数列的函数特性含答案
课时跟踪检测(二) 数列的函数特性层级一学业水平达标1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A．1，错误!，错误!,错误!，… B．sin错误!，sin错误!，sin错误!，…C．－1，－错误!，－错误!，－错误!，… D．1，错误!,错误!，…,错误!解析：选C A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.2．已知数列{a n｝的通项公式是a n＝错误!，那么这个数列是( ) A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选A a n＝错误!＝1－错误!，随着n的增大而增大．3．数列｛a n}中,a n＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是( ）A。
错误!B．30C．31 D．32解析：选B a n＝－n2＋11n＝－错误!2＋错误!，∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，a n取最大值30,故选B.4．数列｛a n}中，a1＝1,以后各项由公式a1·a2·a3·…·a n＝n2给出，则a3＋a5等于（）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析：选C ∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，∴a1·a2·a3＝9,a1·a2＝4，∴a3＝错误!。
同理a5＝错误!,∴a3＋a5＝错误!＋错误!＝错误!.5．已知数列｛a n}满足a1〉0，且a n＋1＝错误!a n，则数列{a n}的最大项是( )A．a1B．a9C．a10D．不存在解析：选A ∵a1>0且a n＋1＝错误!a n，∴a n〉0，错误!＝错误!〈1,∴a n＋1〈a n，∴此数列为递减数列，故最大项为a1.6．若数列｛a n}的通项公式为a n＝错误!(k>0，且k为常数），则该数列是________（填“递增”“递减”）数列．解析：错误!＝错误!·错误!＝错误!<1.∵k>0，∴a n〉0，∴a n＋1<a n，∴｛a n}是递减数列．答案：递减7．数列{－2n2＋9n＋3｝中最大项的值为________．解析：由已知a n＝－2n2＋9n＋3＝－2错误!2＋错误!。
高中数学北师大版 2.2 排列数公式 课后练习、课时练习
一、单选题1. 由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（）A．48个B．60个C．96个D．120个2. 为推动校园体育建设，落实青少年体育发展促进工程，哈三中举行了春季趣味运动会，某班派出甲、乙等8名学生参加8×200米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第8棒，乙只能跑第7棒或第8棒，那么不同棒次安排方案总数为（）A．720 B．1440 C．2160 D．28803. （）A．B．C．D．4. 某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（）种不同的方法.A．120 B．360 C．420 D．4805. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插人原节目单中，且3个新节目互不相邻，那么不同插法的种数为（）A．105 B．210 C．420 D．8406. 已知，则（）A．11 B．12 C．13 D．14二、多选题7. (多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法8. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成三位数，则（）A．若允许重复，则可组成为125个B．若不允许重复，则可组成为60个C．可组成无重复数字的偶数为24个D．可组成无重复数字的奇数为24个三、填空题9. 由2个0、3个1和3个2构成的八位数有_____________个．10. 已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有__种．11. 2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有____________种不同的排法．12. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种.四、解答题13. 某晩会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？14. 计算：(1)；(2)；(3)；(4)若，求x值．15. 从5位同学中选3位排成一列，共有多少种不同的排法？16. 已知，求x的值．。
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课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式
1．5A 3
5＋4A 2
4等于( ) A ．107 B ．323 C ．320 D ．348
2.A 34
5！等于( ) A.120
B.125
C.15
D.110
3．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 8
27－a B ．A 27－a
34－a C ．A 734－a
D ．A 8
34－a
4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种
D ．12种
5．已知9！＝362 880，那么A 7
9＝________. 6．给出下列问题：
①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？
④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？
上述问题中，是排列问题的是________．(填序号) 7．(1)计算4A 4
8＋2A 5
8
A 88－A 59；
(2)解方程3A x
8＝4A x －1
9.
8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
答案
1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 2．选C A 3
45！＝4×3×25×4×3×2×1＝1
5
.
3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A 2
4＝12种方案．
5．解析：A 7
9＝9！ 9－7 ！＝362 8802＝181 440.
答案：181 440
6．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．
答案：②③
7．解：(1)原式＝4A 4
8＋2×4A 4
84×3×2A 48－9A 48＝
4＋824－9＝1215＝4
5. (2)由3A x 8＝4A x －1
9，得
3×8！ 8－x ！＝4×9！
10－x ！
，化简，
得x 2
－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.
8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A 3
4＝4×3×2＝24种不同的分法．
不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：
由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：
语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数
物语数物语英物数语物数英物英语物英数。