2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)数学(文)
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(二)(解析版)
【答案】 5000
【解析】设每天安排生产 x 个遥控小车模型， y 个遥控飞机模型，则生产 (30 x y) 个遥控火车模型，依 10x 12 y 8(30 x y) 320, 30 x y 0,
题得，实数 x, y 满足线性约束条件 x 0, y 0,
4
4…
4
.故答案为
4.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 A，， B C 是 ABC 的内角， a，， b c 分别是角 A，， B C 的对边.若 cos2 B sin2 A sin Asin B cos2 C ,
（1）求角 C 的大小；
【答案】B
【解析】因为 f (x) [b, 2a b] ，又依题意知 f (x) 的值域为[5,3] ，所以 2a b 3 得 a 4 ，
b
5 ，所以 g(x) 5 cos 4x ，令 4x
k
2
(k Z) x
，得
k 4
8
(k Z) ，则 g(x) 的图象的
k 对称中心为 4
)
3, 1
A．
2, 0
B．
5, 1
C．
2,1
D．
【答案】B
【解析】由
f
x 1
f
1 x 可知函数
f
x 的对称轴为 x=1.因为
f
x
在
[5,
5]
上是增函数,所以
f
x 在 [5,
5]
上是减函数,因为
x
1 2
,1
,所以
1 2
x 1 0
,又因为不等式
2020年全国高考数学临考押题试卷(文科)-含答案与解析
2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。
2020年高考数学冲刺压轴卷文
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！2020年高考数学冲刺压轴卷 文注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{x ∈N|x ≤6}，集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则U ð(A ∩B)＝A.{2，3，4}B.{0，1}C.{2，3，4，5，6}D.{3，4，5，6}2.已知i 为虚数单位，则复数3i i＝ A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i3.已知函数f(x －1)＝x 2＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A.1B.2C.4D.54.已知向量|a|＝1，|b|，且b ·(2a ＋b)＝3，则向量a ，b 的夹角的余弦值为A.4B.－4C.4D.45.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“AD>4a ”发生的概率为 A.34 B.23 C.13 D.126.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于A.4B.5C.6D.7 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.如果两个函数的图象可以经过一系列变换最终重合，那么称这两个函数为“同志函数”，有函数f(x)＝sin(2x ＋6π)，为了得到其“同志函数”g(x)＝sin2x 的图象，则只需将函数f(x)的图象 A.沿x 轴向右平移12π个单位长度 B.沿x 轴向左平移12π个单位长度 C.沿x 轴向左平移6π个单位长度 D.沿x 轴向右平移6π个单位长度 9.已知定义在R 上的奇函数y ＝f(x)满足f(x ＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2019)＋f(2024)＝A.－5B.5C.0D.404310.已知双曲线C ：x 2－23y ＝1的离心率为e.直线y ＝1e x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(－111，n)，则n ＝A.－311B.－511C.－411D.－61111.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的正方形，点A 1在底面ABCD 内的射影为正方形ABCD 的中心，B 1C 与底面ABCD 所成的角为45°，则侧棱AA 1的长度为23212.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，∠ACD ＝30°，且CD ＝2，则a 3b 的最小值为A.4B.4＋3＋3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学(文科)冲刺卷 全国卷(二)
绝密★启用前2020年高考数学(文科)终极冲刺卷全国卷（二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.复数21i z =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合2{|280},{|}P x x x Q x x a =-->=…，若P Q ⋃=R ，则实数a 的取值范围是()A.(,2]-∞-B.(4,)+∞C.(,2)-∞-D.[4,)+∞ 3.已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m =()A.1-B.1C.2D.2-4.在等差数列{}n a 中，232,4a a ==，则10a =( )A.12B.14C.16D.185.某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，种植了两种中药材甲和乙，现分别抽取6户的收入（单位：万元），制成下表：中药材甲种植户收入1x 2x 3x 4x 5x 6x 中药材乙种植户收入 1y 2y 3y 4y 5y 6y 已知12,x x 的平均数为1.35，3456,,,x x x x 的平均数为1.125，123,,y y y 的平均数为1.2，456,,y y y 的平均数为1.22，则种植中药材甲和乙收入的平均数分别为()A.1.2375，1.21B.1.2，1.21C.0.4125，0.403D.2.475，2.426.函数2()ln 1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象大致是() A. B.C. D.7.设l 表示直线,,αβγ，表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若//l α且αβ⊥，则l β⊥B.若//γα且//γβ，则//αβC.若//l α且//l β，则//αβD.若γα⊥且γβ⊥，则//αβ8.如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是()A.6k ≥B.5k ≥C.>6kD.>7k 9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（） A ．23nn a = B ．13n n a -= C ．312n n S -= D ．213n n S -= 10.关于函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有下列四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的最小正周期为π2③()f x 在3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的一条对称轴方程为3π8x =其中所有正确结论的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.②③④11.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），1π3F MO ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．2y x =± 12.设函数π()3cosx f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足[]22200()x f x m +<，则m 的取值范围是() A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．(,3)(3,)-∞-+∞UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U13.已知,a b 为实数，直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，则a b +=__________. 14.如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒了300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为__________.15.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点.P 为椭圆C 上的一点，Q 是线段1PF 上靠近点1F 的三等分点，2PQF △为正三角形，则椭圆C 的离心率为________. 16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC =，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3其外接球的体积为________. 17.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知π2A C =+，2sin sin 2sin 3sin B A A C =.（1）求角B 的大小；（2）若4c =，D 是线段BC 上一点，且4BC BD =，求线段AD 的长.18.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[)50,60内的频数为3.（1）求n 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n 名参赛人员中，成绩在[)80,90和[]90,100女士人数都为2人，现从成绩在[)80,90和[]90,100的抽取的人员中各随机抽取1人，求这两人恰好都为女士的概率.19.在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，π3DCB ∠=，BCE △为正三角形.。
2020年高考数学(文)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（六）文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．若集合A={x|x ﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（ ） A ．{x|x ＜6} B ．{x|x ＞2}C ．{x|2＜x ＜6}D ．∅【答案】C【解析集合A={x|x ﹣1＜5}={x|x ＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x ＞2}， 所以A∩B={x|2＜x ＜6}2．若复数23201934134i z i i i i i-=+++++++L ，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i + ＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．已知非零向量,a b r r ,满足||4||,a b =r r ||[1b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r 记θ是向量a r 与b r 的夹角，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．13D ．3π 【答案】D【解析】由题意知非零向量a r ，b r 满足4||||b a =r r，b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r ，可得21a b b -=r r r g ，即2cos 1a b b θ=+r r r g ，所以22221111cos 444b b a b bb θ++===+r r r r r r g因为b ⎡∈⎣r ，所以[]21,3b ∈r ，所以21111cos ,4324b θ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦r 因为[]0,θπ∈，且余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减， 所以min 3πθ=4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】B【解析】因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A ．a ab c << B ．ac b c << C ．ab a c << D ．c ac b <<【答案】C【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ； 当0x >时，()ln sin f x x x =+， 可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=， 作出1y x=与cos y x =-图像如图：可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A7．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A ．225B ．310C ．110D ．325【答案】C【解析】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =.10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y+==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =， 得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()33331313lg 210,lg lg lg100,202222822h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Q ，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=. 故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A【解析】由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 12．已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞【答案】B【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 二、填空题13． 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--， 当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=． 14．在三角形ABC 中，若(AC)0,(cos18,cos 72)CB AB AB ⋅+==︒︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，1||2CB =u u ur 米，则三角形ABC 内切圆的面积__________ （平方米） 【答案】380π【解析】因为()0CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，所以()()AB AC AB AC -+=u u ur u u u r u u u r u u u r g ， 所以AB AC =u u u r u u u r 又因为(cos18,cos 72)AB =︒︒u u ur ，所以1AB ====u u ur由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅即222111211cos 2A ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以7cos8A=，因为22sin cos1A A+=，所以15sin8A=，设三角形的内切圆的半径为R，则()11sin22ABCS bc A a b c R==++V，即1151111112822R⎛⎫⨯⨯⨯=⨯++⎪⎝⎭，解得15R=，所以221532080S Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭，15．如图，在平面直角坐标系xOy，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D四点，且它们具有相同的焦点12,F F，点12,F F分别在,AD BC上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e⋅=______________.【答案】1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x ya ba b+=>>，()222222221,,0x ya ba b-=>设点()0,B c y，由点B既在椭圆上也在双曲线上，则有222211222111yca ba c b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac cy aa a a-===-222222222221yca bc a b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a cy aa a a-===-则()22212121212c a ac ca aa a a a++=+=，即2121211c c ca a a a⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪⎪⎝⎭⎝⎭121e e∴=16．如图，四棱锥P ABCD-中，底面为四边形ABCD.其中ACDV为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.设三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的体积分别是12,V V，三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的外接球的表面积分别是12,S S.对于以下结论：①12V V<；②12V V=；③12V V >；④12S S <；⑤12S S =；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤【解析】不妨设2AD =,又ACD V 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又DB DC DB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.化简可以得433DB =,∴90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD V 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S =.故⑤正确. 三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （3）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=.因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.（2）因为()2224nnna ==，所以2124n na a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232n n S T =. （3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 则()2333nm kn m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．如图，四棱锥P 一ABCD 中，AB =AD =2BC =2，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，△PBD 为正三角形．且P A =23． （1）证明：平面P AB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A -CDE 的体积．【解析】（1）AB AD ⊥Q ，且2AB AD ==，22BD ∴=，又PBD ∆为正三角形，22PB PD BD ∴===，又2AB =Q ，3PA =∴2PBA π∠=，AB PB ∴⊥，又AB AD ⊥Q ，//BC AD ，AB BC ∴⊥，PB BC B =I ，AB ∴⊥平面PBC ，又AB ⊆Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，设BD ，AC 交于点O ，//BC AD Q ，且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ，//PB Q 平面ACE ，//PB OE ∴，则2DE PE =，又点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 111482233239A CDE E CDA ACD V V S h --∆∴===⨯⨯⨯⨯=g ，即四面体A CDE -的体积为89． 19．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份x （年） 1 2 3 45维护费y （万元） 1.1 1.6 2m2.8已知2y =.（I ）求表格中m 的值；（II ）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率； （Ⅲ）求y 关于x 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式： ()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【解析】（Ⅰ）由 1.1 1.62 2.82 2.55m y m ++++==⇒=．（Ⅱ）5年中平均每台设备每年的维护费用不超过2万元的有3年，分别编号为,,a b c ；超过2万元的有2年，编号为,D E ．随机抽取两年，基本事件为()()()(),,,,,,,a b a c a D a E ，()()(),,,,,b c b D b E ，()(),,,c D c E ，(),D E 共10个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则A 包含的基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a D a E b D b E c D c E D E 共7个，故()710P A =． （Ⅲ）3x =，2y =，29,6x xy ==511.1 3.26101434.3i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑∴51522134.3300.43554ˆ5i i i i i x y nxy bx nx ==--===--∑∑，20.43ˆ30.71ˆa y bx=-=-⨯= 所以回归方程为0.4301ˆ.7yx =+． 由题意有 4.290.430.7159.980.43x x +>⇒>≈， 故第10年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元20．已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【解析】方法一：（1）如图设BOE α∠=,则()22Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 21．已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x bg x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为,l ρθ=被圆C 截得的.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C=解得33m m ==-或.（Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==23．已知()2121f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()(1)f x f >； （Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->. （1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >.(2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-.综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤.因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43m n +≥≥.。
2020年高考数学(文科)押题冲刺卷 全国卷(五)
绝密★启用前2020年高考数学（文科）终极冲刺卷 全国卷（五）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设全集{}12|0,|log 0U x x M x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，则U M =C ( )A.(,1]-∞B.(1,)+∞C.(0,1]D.[1,)+∞1.答案：D解析：由题意知12|log 0{|01}M x x x x ⎧⎫=>=<<⎨⎬⎩⎭，又{}|0{|1}U U x x M x x =>∴=≥C .2.复数2i12i+-的实部为 ( ) A.0 B.1 C.1- D.22.答案：A 解析：2i (2i)(12i)2i 4i 2i 12i (12i)(12i)5+++++-===--+Q,所以实部为0 3.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,共17卷,是中国古代数学名著,明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目:"一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大,小和尚各几丁?"现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图,则图中①②可分别填入( )A.3;100?3ns m n =+=B.3;100?3ms n n =+= C.3;100?3ms n s =+= D.3;100?3ns m s =+=3.答案：D解析：由程序框图可知,n 表示小僧人数,m 表示大僧人数,根据"大僧三个更无争,小僧三人分一个",设馒头数为s ,则33n s m =+所以①中填人33ns m =+当100s =时结束程序,输出n ,故选D.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为（ ） A ．65 B ．62 C ．59 D ．564.答案：A解析：∵61538a a =+⨯= ∴17a =- ∴()101091073652S +=⨯-+⨯= 5.《孙子算经》中有如下问题：“今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升.问：上、中、下口，共食几何？”翻译为：“今有6万人，其中，大胃口的有3万人，每人每天要吃9升粮食；中胃口的有2万人，每人每天要吃7升粮食；小胃口的有1万人，每人每天要吃5升粮食.问：大胃口、中胃口、小胃口的人，一天一共要吃多少粮食？”基于上述问题，现有如下命题：①中胃口的人每日吃的粮食总量比小胃口的人每日吃的粮食总量多9万升； ②小胃口的人每日吃的粮食总量占每日被吃粮食总量的546； ③大胃口的人每日吃的粮食总量不足每日被吃粮食总量的一半. 则上述说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.35.答案：C解析：依题意，中胃口的人每日吃的粮食总量为14万升，小胃口的人每日吃的粮食总量为5万升，故中胃口的人每日吃的粮食总量比小胃口的人每日吃的粮食总量多9万升，故①正确；小胃口的人每日吃的粮食总量为5万升，所有人每日吃的粮食总量为46万升，故小胃口的人每日吃的粮食占每日被吃粮食总量的546，故②正确；大胃口的人每日吃的粮食总量超过每日被吃粮食总量的一半，故③错误.故选C.6.已知函数()()cos 2f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向右平移π3个单位后与函数()πsin 23g x x =-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象重合，则φ的值可以是( ) A.π6B.π4C.π3D.π126.答案：A解析:依题意，()2πcos 23g x x ϕ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-ππcos 262x ϕ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 26x ϕ⎛=--⎫ ⎪⎝⎭，故ππ26()π3k k ϕ+=+∈Z ，则π)π6(2k k ϕ=+∈Z .观察可知，选A.7.向量,a b r r 满足()()1,2a b a b a b =+⊥-u u r u u r r r r r ，则向量a r 与b r的夹角为( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒7.答案：C解析：设向量a r 与b r的夹角为θ.∵()()2a b a b +⊥-r r r r ，∴()()222222211cos 0a b a b a b a b θ+⋅-=-+⋅=⨯-+=r r r r r r r r，化为cos 0θ=，∵[]0,πθ∈,∴90θ=︒. 故选：C.8.已知函数243,1()ln 2,1x x x f x x x ⎧+-=⎨+>⎩…，则函数()()26g x f x x =-+的零点个数为( )A.0B.1C.2D.38.答案：B解析：令()0g x =，解得()26f x x =-，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，26y x =-的图象如下所示，观察可知，它们有1个交点，即函数()g x 有1个零点，故选B.9.若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =( )A ．12B C ．1 D ．29.答案：D解析：拋物线216x y =上一点()00,x y ，到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍， 可得0032p y y +=，所以08244p y === 故选：D.10.已知函数()y f x =满足对任意的x R ∈，总有()()2f x f x +=，且当[]0,2x ∈时，()11f x x =--.若关于x 的方程()log a f x x =恰有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围为( )A.[]3,5B.()3,5C.[]4,5D. ()3,610.答案：B解析：解：函数()y f x =满足对任意的x R ∈，总有()()2f x f x +=， 可知函数的周期为：2，当[]0,2x ∈时，()11f x x =--，所以函数()y f x =的图象如图： 关于x 的方程()log a f x x =恰有三个不相等的实根， 可知1a >，log a y x =必须夹在A 点的下方，B 点的上方， 所以：log 31log 51a a<⎧⎨>⎩，可得()3,5a ∈．故选：B ．11.以O 为圆心，2a 为半径的圆与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一、四象限内分别交于,A B两点，若||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率是( )D.211.答案：C解析：||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u rQ ， OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，又2,OA OB a OAB ==∴△为等腰直角三角形， )A ∴，代入双曲线方程可得2222221a a a b-=，即222,b a =∴双曲线的离心率c e a ===故选C.12.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -内接于圆锥SO ，其中点1111,,,A B C D 在圆锥SO 的侧面上，点,,,A B C D 在底面圆O 上.若圆锥SO 的底面积为π,2SO =，则当多面体1111ABCD A B C D -的体积最大时，AB =( )A.3B.312.答案：A解析：依题意，作圆锥的轴截面，设1,AA h AB a ==，则1,O O 分别是11,AC AC的中点，所以1111,2,A C EF SA C SEF ==:△△，所以111AC SO EF SO=22h -=，故)(02)a h h -<<.故多面体1111ABCD A B C D -的体积()22321)442V a h h h h h h ⎤==-=-+⎥⎣⎦，故()211384(2)(32)22V h h h h '=-+=--.令0V '=，解得23h =或2h =（舍去），当203h <<时，0V '>，当223h <<时，0V '<，故当23h =时，V有最大值，此时a = A.二、填空题13.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x y +=______.13.答案：5解析：甲班学生成绩的中位数是8081x +=,解得1x =.由茎叶图可知乙班学生的总分为76808280919396598y y +++++++=+.∵乙班学生成绩的平均数是86,∴867598y ⨯=+,∴4y =.∴145x y +=+=.14.若,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„……，则2z x y =-+的最大值为________.14.答案：3解析：作出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示，作直线:2l y x =，平移直线l ，当直线l 过点A 时，z 取得最大值，由201x y y +-=⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以z 取得最大值为2(1)13-⨯-+=.15.在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是1CC 的中点，点F 是侧面1BBC C 内的动点，且1//A F 平面1D AQ ，则1A F 与平面11BCB C 所成角的正切值的取值范围是 .15.答案：⎡⎣解析:设111BC BB B C ，，的中点分别为,P N M ,.因为11////PQ BC AD ，所以点P 在平面1D AQ 上. 又因为11////A N D Q MN PQ ，，所以平面1//A MN 平面1APQD ，所以F 在线段MN 上运动. 因为11tan AB FB ∈111N FB B N ≤≤，所以tan θ⎡∈⎣.16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n …时，11221n nn n S S S +-+=+，且121,3a a ==，若对任意*n ∈N ，()172n n S n a n λλ++++…恒成立，则实数λ的取值范围为________.16.答案：3,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：依题意，()112n n n n n S S S S +----=，即当2n …时，12n n n a a +-=，故112n n n a a ---=，L ，2322a a -=，且1212a a -=，故()1112122212n n n a a ++--==--，故1121,21(3)n n n n a a n ++=-=-…，而12,a a 均符合上式，故21n n a =-，则122n n S n +=--.则()()12217212n n n n n λλ+--+++-+…，即。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ卷)压轴卷 数学(文) 含解析
20．（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 C : x2 = 4 y 的焦点关于直线 y = x 对
称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 (2, 0) .
（I）求椭圆 E 的标准方程；
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形
D．等边三角形
7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱
﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰
平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人 数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀， 在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启 蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹
何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a, b 分别为 3 ，1，则输出的 n =
（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
{ } 8.已知等比数列 an 中，公比为 q， a2 = 3 ，且 −1， q， 7 成等差数列，又 bn = log3 an ，
数列{bn} 的前 n 项和为 Tn ，则T9 = （ ）
log3
25
=
_________．
x
≥
0，
14．已知 x，y 满足 x + y ≥ 4，若 x + 2 y 的最小值为_________．
x − 2 y ≤1.
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)语文 含答案
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)语文注意事项：1.本卷满分150分，考试时间150分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
让文化热情涵养更多经典石羚近几年我国话剧市场爆款频频，但“爆点”不一。
去年《窝头会馆》的抢票热潮，热在明星大腕齐聚一堂；《哈姆雷特》因文学名著的号召力而票房飘红；而今年《荼馆》开票的场景又火爆异常，则归功于北京人艺这块金字招牌。
“排队”现象是观察公众文化生活的有趣切面，而那些被争相抢购的文化产品，最能折射时代的需求。
1956年在南京，观众为了一睹梅兰芳的风采，带着铺盖卷买票；1986年在北京，歌迷排队花半个月工资只为听一场搖滚演唱会。
而今天，文化消费方式更加多元，资源获取更为便利，但人们对髙质量文化产品的热情始终如一。
从“故宫跑”到“通宵等”，从“大英博物馆百物展”开启夜场到“妇好墓展”预约全满，为文化排队日益成为常态。
化解“一票难求”的尴尬，一味增加场次并不现实。
毕竟，观看者数不胜数，而老戏骨精力有限，经典数目也有限。
长远来看，戏台上不能只有《茶馆》和《雷雨》，音乐会不能只听莫扎特和贝多芬，用匠心浇灌更多的重量级作品，是文艺工作者的使命。
与工业品不同，文化产品的供给不能毕其功于一朝一夕。
经典化的过程、演员的成长，与喝茶一样得慢慢“泡”。
这就需要观众多一份耐心，多一份理解，不放过佳作的成熟老到，也不妨看看新作的崭露头角，说不定你我当下相遇的，就是未来的经典。
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴密卷文科数学试卷
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2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)
数学(文科)
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{x ∈N|x ≤6}，集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则U ð(A ∩B)＝
A.{2，3，4}
B.{0，1}
C.{2，3，4，5，6}
D.{3，4，5，6}
2.已知i 为虚数单位，则复数3i i
＝ A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i
3.已知函数f(x －1)＝x 2＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
A.1
B.2
C.4
D.5
4.已知向量|a|＝1，|b|b ·(2a ＋b)＝3，则向量a ，b 的夹角的余弦值为
A.4
B.－4
C.4
D.4
5.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“AD>
4a ”发生的概率为 A.34 B.23 C.13 D.12
6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于
A.4
B.5
C.6
D.7
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A.2
B.3
C.4
D.5
8.如果两个函数的图象可以经过一系列变换最终重合，那么称这两个函数为“同志函数”，有函数f(x)＝sin(2x ＋
6
π)，为了得到其“同志函数”g(x)＝sin2x 的图象，则只需将函数f(x)的图象 A.沿x 轴向右平移12π个单位长度 B.沿x 轴向左平移12
π个单位长度 C.沿x 轴向左平移6π个单位长度 D.沿x 轴向右平移6π个单位长度 9.已知定义在R 上的奇函数y ＝f(x)满足f(x ＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2019)＋f(2024)＝
A.－5
B.5
C.0
D.4043
10.已知双曲线C ：x 2－23y ＝1的离心率为e.直线y ＝1e
x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(－
111
，n)，则n ＝ A.－311 B.－511 C.－411 D.－611 11.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的正方形，点A 1在底面ABCD 内的射影为正方形ABCD 的中心，B 1C 与底面ABCD 所成的角为45°，则侧棱AA 1的长度为
A.2
B.3
C.2
D.22
12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ACB ＝90°，D 为AB 边上的一点，∠ACD ＝30°，且CD ＝2，则a ＋3b 的最小值为
A.4
B.4＋23
C.8
D.8＋23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)＝sin(2x －3π)＋cos(2x －6
π)的单调增区间为 。
14.已知正数x ，y 满足3x ＋2y ＝4。
则xy 的最大值为 。
15.过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为23，则符合条件的点M 的个数为 。
16.已知抛物线y 2＝9x 的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N 为抛物线上的一点，且满足6|NF|＝2|MN|，则点F 到直线MN 的距离为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3－4a 2＝－8。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求使得16S n ≤31a n 的正整数n 的所有取值。
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝4。
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求三棱锥P－ABC的体积。
19.(本小题满分12分)
某重点中学高三的一名学生在高考前对他在高三近一年中的所有数学考试(含模拟考试、月考平时训练等各种类型的试卷)分数进行统计，以此来估计自己在高考中的大致分数。
为此，随机抽取了若干份试卷作为样本，根据此样本数据作出如下频率分布统计表和频率分布直方图。
(1)求表中c，d，e的值和频率分布直方图中g的值；
(2)若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试根据频率分布直方图求该学生高三年级数学考试分数的中位数和平均数，并对该学生自己在高考中的数学成绩进行预测。
20.(本小题满分12分)
如图，椭圆C短轴的两个端点分别为B1(0，－1)，B2(0，1)。
离心率为
3
2
，线段B1B2为圆O的直径。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与圆O相切于第一象限内的点P，直线l与椭圆C交于A，B两点。
△OAB的面积为1。
求直线l的方程。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e x－e－x＋2ax(a∈R)，g(x)＝f(x)＋e－x。
(1)讨论函数g(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，使得“对任意x∈[0，＋∞)，f(x)≥0恒成立”?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程是
2
4
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(t为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为
极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为2cos()60
4
π
ρθ
--+=。
(1)求直线l和圆C的直角坐标方程；
(2)若由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋1|(x∈R)。
(1)解不等式f(x)≥7x；
(2)若f(x)≥t2－3t对∀x∈R恒成立，求实数t的取值范围。