《图论》第4章 最优路径问题(1)
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
图论第四章答案
推论 4.1
解： (1.)对于K 2 n , 用归纳法 : n 1时完美匹配数为 1, n 2时不同完美匹配数为 3, 满足(2n 1)!! 设当n k时, 不同的完美匹配数为 (2k 1)!!, 则当n k 1时, 即向K 2 n中加入两点u , v, 则多出4k 1条边( K 2 n中有u1 , u 2 , , u 2 k 个点， u , v间有边uv, 而u , v和u1 , u 2 , , u 2 k 都存在边). a. 取K 2 n的一个完美匹配 M 1 , 则只加入边uv有M 1' 为K 2 k 2的一个完美匹配，无妨 设u1u 2 , u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k 为M 1中的边; b. 则去掉u1u 2 边添加u1u , u 2 v有另一个K 2 k 2 完美匹配M 1'' 或添加u1v, u 2 u有完美匹配M 1''' ; c. 对u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k同样的操作...(去掉u 3 u 4 , 添加u 3 u和 u 4 v; 去掉u 3 u 4 , 添加u 3 v和u 4 u )则共有2k种设法, 算上M 1' (将原来M中的匹配组合顺次与 uv进行变换重组)共有2k 1种; d . K 2 n的不同完美匹配有 (2k 1)!!每一种(指u1u 2 , u 3 u 4 , 做上述变换)均可增加为2k 1，所以K的不同的完美匹配共有 (2k 1)(2k 1)!! (2k 1)!! 种，得证. (2.)对于K n ,n , 记G ( X , Y , E )中x1 , x 2 , , x n X , y1 , y 2 , , y n Y 对x1 , 选取Y中点共有n种选法使x1与y1的边为完美匹配的一边 ，选定之后，去掉选 中的点和x1 ; 对x 2 有n 1种选法...,一直到x n只有一种，故而不同的 完美匹配有n!种.
最佳路径格罗培斯的思维过程
最佳路径格罗培斯的思维过程格罗培斯的思维是指数学家格罗培斯在解决图论中的最佳路径问题中所采用的思考过程。
这个问题是指如何在给定的图中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
格罗培斯的解决方法被称为“最佳路径格罗培斯的思维过程（Dijkstra's algorithm）”。
下面将详细介绍最佳路径格罗培斯的思维过程。
格罗培斯的思维过程可以分为以下几个步骤：1.初始化：首先，格罗培斯将图中的所有顶点分为两个集合：已知最短路径的集合和未知最短路径的集合。
对于起始顶点，将其标记为已知最短路径集合，其他顶点标记为未知最短路径集合。
然后，格罗培斯将起始顶点到其余各顶点的距离初始化为无穷大，表示这些顶点距离起始顶点的距离是未知的。
2.遍历邻居顶点：选择起始顶点的邻居顶点中距离最短的一个，将其加入已知最短路径集合中，并更新与该顶点相邻的未知最短路径顶点的距离。
具体而言，对于与已知最短路径顶点相邻的未知最短路径顶点，格罗培斯会计算通过已知最短路径顶点到达该未知顶点的距离，并与之前设置的距离进行比较。
如果通过已知最短路径顶点到达该未知顶点的距离更短，则更新该未知顶点的距离。
3.重复步骤2：重复执行步骤2，直到所有顶点都被加入已知最短路径集合中。
4.最短路径计算：最后，根据格罗培斯的思维过程，可以得到从起始顶点到其他各顶点的最短路径。
其中，通过每个顶点所经过的那些已知最短路径顶点，可以构建出最短路径。
格罗培斯的思维过程的关键是通过逐步遍历邻居顶点来不断更新顶点的最短路径。
格罗培斯的思维过程保证了每个节点都能以最短路径加入已知最短路径集合中，并且每个节点的最短路径在加入已知最短路径集合之后都会得到更新。
最终，通过这样的迭代和更新，可以确定每个节点的最短路径。
最优路径问题的启发式搜索算法
最优路径问题的启发式搜索算法启发式搜索算法是一种常用的优化算法，广泛应用于求解最优路径问题。
最优路径问题是指在给定的图中，寻找两个节点之间的最短路径或最优路径。
启发式搜索算法通过引入启发函数，对搜索过程进行优化，以提高搜索效率。
一、问题描述最优路径问题可以用图表示，图由节点和边组成。
节点表示位置或状态，边表示两个节点之间的关系或连接。
给定一个起始节点和目标节点，最优路径问题的目标是找到从起始节点到目标节点的最短路径或最优路径。
二、传统的搜索算法传统的搜索算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
DFS从起始节点开始，沿着每条可能的路径一直搜索到目标节点或无法继续搜索为止。
BFS则按层次遍历的方式，先搜索起始节点所有邻接节点，然后依次搜索这些邻接节点的邻接节点，直到找到目标节点。
传统的搜索算法存在效率低下的问题。
DFS通常能够找到一条路径，但该路径未必是最短路径或最优路径。
而BFS虽然能够找到最短路径，但在搜索过程中需要存储和遍历大量的节点，导致计算成本高。
三、启发式搜索算法启发式搜索算法引入了启发函数，用于评估搜索过程中每个节点的价值或成本。
启发函数通常根据问题的特定性质和经验进行设计，可以根据启发函数的值对节点进行评估和排序。
基于启发函数的评估，启发式搜索算法能够优先考虑具有更高潜在价值的节点，提高搜索效率。
最著名的启发式搜索算法之一是A*算法。
A*算法综合考虑了两个因素：从起始节点到当前节点的实际路径成本（表示为g值），以及从当前节点到目标节点的预估路径成本（表示为h值）。
A*算法通过计算启发函数值f = g + h，来评估节点的价值，从而选择具有最小f值的节点进行搜索。
A*算法在搜索过程中通过维护一个优先队列，不断扩展距离起始节点较好的节点，直到找到目标节点或搜索完成。
四、应用实例启发式搜索算法在许多领域都有应用，其中最著名的例子之一就是在计算机游戏中的路径规划。
在游戏中，启发式搜索算法能够帮助角色或NPC找到最短路径或最优路径，以避开障碍物或敌人。
最佳路径问题
若一条弧段(vi，vj)的权值表示结点vi和vj间的长度，那么道路u＝{e1，e2，…，ek}的长度即为u上所有边的长度之和。所谓最短路径问题就是在vi和vj之间的所有路径中，寻求长度最小的路径，这样的路径称为从vi到vj的最短路径。
点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的点。
找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i的点j*，作为前一点，记为
i=j*
标记点i。如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i，重复步骤 。
图5.37为某一带权有向图，若对其施行Dijkstra算法，则所得从V0到其余各顶点的最短路径以及运算过程中距离的变化情况如表5.5所示。
①已知图的邻接矩阵A；
②求出A,A[2],A[3],…,A［n-2］；
③D=AA[2]A[3]…A［n-2］=(di,j)n×n。
最终得到的D为图的最短距离矩阵。求出矩阵中的每个值需要进行n次计算，求出矩阵中的所有元素值需要进行n2次计算，最后又需要进行n次比较，所以该算法的时间复杂度是O(n4)。
以上三种算法各有优缺点，下面仅就适用范围、功能、时间复杂度、求解次短路径能力等方面进行比较，以便在使用中选择更利于问题解决的方法。
Dijkstra算法、弗洛伊德算法都可适用于无向图或有向图，而矩阵算法本身仅适用于无向图，但经改进后也可用于有向图；Dijkstra算法每次只能求出一个起源点到其余各点的路径，弗洛伊德算法和矩阵算法都能够求得所有顶点间的最短路径；这三种算法的时间复杂度依次为O(n2)、O(n3)、O(n4)；另外，矩阵算法还能求出次短路径，其他两种算法则不能。
最优路径经典算法
最优路径经典算法最优路径问题是在图论中一个经典的问题，其目标是找到两个节点之间的最短路径或最小权值路径。
在解决最优路径问题的过程中，有多种算法可以使用。
下面将列举十个经典的最优路径算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它通过不断更新起点到各个节点的最短路径，最终得到起点到终点的最短路径。
2. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法可以解决带有负权边的最短路径问题。
它通过迭代的方式不断更新起点到各个节点的最短路径，直到收敛为止。
3. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法可以解决所有节点对之间的最短路径问题。
它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径。
4. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，常用于解决图上的最短路径问题。
它通过综合考虑节点的实际距离和估计距离，选择下一个最有可能到达终点的节点进行搜索。
5. 最小生成树算法：最小生成树算法用于解决无向图的最小生成树问题。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法，它们都可以用于寻找最优路径。
6. Johnson算法：Johnson算法是一种解决带有负权边的最短路径问题的算法。
它通过引入一个新的节点，并利用Bellman-Ford算法来计算每个节点到新节点的最短路径，然后再利用Dijkstra算法求解最短路径。
7. SPFA算法：SPFA算法是一种解决单源最短路径问题的算法，它是对Bellman-Ford算法的一种优化。
SPFA算法使用了队列来存储需要更新的节点，减少了不必要的更新操作。
8. Yen算法：Yen算法是一种解决最短路径问题的算法，它可以找到第k短的路径。
Yen算法通过删除已经找到的路径上的一条边，并重新计算最短路径来寻找第k短的路径。
9. Bidirectional Search算法：Bidirectional Search算法是一种解决最短路径问题的算法，它同时从起点和终点开始搜索，直到两个搜索路径相交。
利用图论解决优化问题
利用图论解决优化问题
图论是一种数学领域，研究的对象是图。
图是由节点和边构成的一种数学结构，可以用来描述不同事物之间的关系。
在实际应用中，图论被广泛应用于解决各种优化问题。
一、最短路径问题
最短路径问题是图论中的经典问题之一。
通过图论的方法，可以很容易地找到两个节点之间最短路径的长度。
这在现实生活中经常用于规划交通路线、通讯网络等方面。
二、最小生成树问题
最小生成树问题是指在一个连通加权图中找到一个权值最小的生成树。
利用图论的方法，可以高效解决这个问题，从而在一些应用中节省资源和成本。
三、网络流问题
网络流问题是指在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
通过图论中流网络的模型，可以有效地解决网络流问题，这在交通调度、物流运输等领域有着重要的应用。
四、最大匹配问题
最大匹配问题是指在一个二分图中找到最大的匹配数。
图论提供了有效的算法来解决最大匹配问题，这在稳定婚姻问题、任务分配等方面有着广泛应用。
五、旅行商问题
旅行商问题是一个著名的优化问题，即求解访问所有节点一次并回到起点的最短路径。
通过图论的技术，可以找到最优解，帮助旅行商节省时间和成本。
总的来说，图论在解决优化问题方面有着重要的作用。
通过构建合适的图模型，并应用相关算法，可以高效地解决各种优化问题，为现实生活中的决策提供科学依据。
希望未来能有更多的研究和应用将图论与优化问题相结合，为人类社会的发展贡献力量。
图论 第4章
(1) G的每条边在W中最多重复一次；
13
§ 4.3中国邮路问题
问题：邮递员从邮局出发，递送邮件，然后返回 邮局，要求辖区每条街至少走一遍且走过的总路 程最短，应如何选择路线？(1962年管梅谷)
图论模型：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找 一条包含每条边（允许重复）且边权之和最小的闭途径.
称之为最优环游。 对该问题 v 5 v 3 2 1 2 (1) 若图G是一个欧拉图，则找出 G的欧拉回路即可。 2
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
回忆： 定义 给定图G = (V, E)，w = v0e1v1e2…ekvk 是G 中点边 交替组成的序列，其中 vi∈V，ei∈E，若w满足 ei 的端点 为 vi-1 与 vi，i = 0,1,…, k，则称w为一条从起点 v0 到终点 vk 的长为 k 的途径（或通道或通路), 简称（v0, vk）途径。 边不重复的途径称为迹 （简单通路）；任意两点都不同 的途径称为路（基本通路）。显然路必为迹。 闭途径: 起点和终点相同的长为正的途径。 闭迹也称为回路。 圈: 起点和内部顶点（非起点和终点的点）两两不相同 的闭迹。 k（奇，偶）圈：长为k （奇，偶）的圈。 3圈常称为三角形。
e12 e6
v6
e11 e5
v7
v5
解 从v1出发的一条欧拉回路为：
P12 = v1e1v2e2v3e3v4e4v5e5v6e6v7e7v8e9v2e10v4e11v6e12v8e8v1
有向图最优路径算法设计
有向图最优路径算法设计在图论中，有向图是一种由顶点和有向边组成的数据结构。
有向图最优路径算法是一种用于求解有向图中最优路径问题的算法。
最优路径即满足某种优化条件的路径，可以是最短路径、最长路径、最小费用路径等。
有向图最优路径算法设计需要考虑以下几个关键点：图的表示方法、路径的定义、路径权值的计算、算法的复杂度等。
下面将详细介绍有向图最优路径算法设计的相关内容。
1. 图的表示方法有向图可以使用邻接矩阵或邻接表进行表示。
邻接矩阵适合表示稠密图，其将图的顶点和边用矩阵的形式呈现；邻接表适合表示稀疏图，其使用链表的形式存储每个顶点的邻接节点。
2. 路径的定义路径是有向图中连接两个顶点的一系列有向边。
在最优路径算法设计中，路径可以通过一组顶点的顺序来表示，例如A->B->C表示从顶点A到顶点C的路径。
3. 路径权值的计算路径的权值是根据权重函数计算得出的。
权重函数可以根据问题的不同而不同，例如在求解最短路径问题时，权重函数可以表示为边的长度或距离；在求解最小费用路径问题时，权重函数可以表示为边的费用或权值。
根据具体问题的需求，选择合适的权重函数进行路径权值的计算。
4. 算法的选择和设计根据问题的具体要求，可以选择不同的算法进行有向图最优路径的求解。
常用的算法包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法、弗洛伊德算法等。
这些算法具有不同的时间复杂度和空间复杂度，根据问题规模和计算资源的限制，选择合适的算法进行设计。
在设计有向图最优路径算法时，需要考虑算法的正确性和效率。
算法的正确性保证了求解结果的准确性，可以通过数学证明或实例验证来验证算法的正确性。
算法的效率保证了算法在合理的时间和空间复杂度下完成计算，可以通过算法复杂度分析来评估算法的效率。
总结起来，有向图最优路径算法设计包括图的表示方法、路径的定义、路径权值的计算、算法的选择和设计等关键点。
通过合理选择算法和设计路径权值函数，可以解决不同类型的最优路径问题。
最优路径问题的常用公式与符号三线表
最优路径问题的常用公式与符号三线表最优路径问题是一种常见的图论问题，通常涉及到在给定无向图中找到一条路径，使得路径上的边权值之和最小。
下面介绍了最优路径问题的常用公式和符号:1. 无向图的边权表示为向量，其中每个元素表示边的强度或权值。
2. 有向图的边权表示为向量，其中每个元素表示边的方向或权值。
3. 最优路径问题的求解通常采用贪心算法，其中贪心策略是选择当前状态下看起来最好的路径，并持续按照这个路径走下去，直到到达目标点。
4. 常用符号包括:- $G=(V,E)$:无向图 $G=(V,E)$ 表示，其中 $V$ 表示节点集，$E$ 表示边集。
- $E_i$:第 $i$ 条边- $s,t$:起点和终点- $gamma(i)$:从 $s$ 到第 $i$ 条边的最优路径长度- $beta(i)$:从 $t$ 到第 $i$ 条边的最优路径长度- $sum_{i=1}^n gamma(i)$:从 $s$ 到终点的最短路径长度- $sum_{i=1}^n beta(i)$:从 $t$ 到终点的最短路径长度三线表是最优路径问题中的一种数据结构，它用于表示无向图的最短路径问题。
三线表的数据结构主要包括三个部分：节点表、边表和距离表。
1. 节点表表示节点的信息，包括节点的编号和自身的距离信息。
2. 边表表示边的信息，包括边的编号和强度信息。
3. 距离表表示节点到终点的距离信息，其中每个节点对应着距离表中的一行，每个边对应着距离表中的一列。
使用三线表求解最优路径问题的步骤如下:1. 初始化：将起点 $s$ 的距离设置为 0，将终点 $t$ 的距离设置为 $infty$。
2. 对于每条边 $(i,j)$,计算从 $s$ 到 $(i,j)$ 的最短距离$gamma(i,j)$,并将 $gamma(i,j)$ 添加到距离表中的对应行和列中。
3. 对于每条边 $(i,j)$,计算从 $t$ 到 $(i,j)$ 的最短距离$beta(i,j)$,并将 $beta(i,j)$ 添加到距离表中的对应行和列中。
最优路径经典算法
最优路径经典算法最优路径经典算法，是指在给定的图中，找到一条从起点到终点的路径，使得该路径上的权值之和最小。
下面将介绍十个常见的最优路径经典算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过维护一个距离数组和一个标记数组，逐步更新距离数组中的值，直到找到起点到终点的最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过对所有边进行松弛操作，逐步更新距离数组中的值，直到找到起点到终点的最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于计算带权有向图中所有点对之间的最短路径的算法。
它通过维护一个距离矩阵，逐步更新矩阵中的值，得到任意两点之间的最短路径。
四、A*算法A*算法是一种用于计算带权有向图中起点到终点的最短路径的启发式搜索算法。
它通过维护一个优先队列，选择距离起点最近的节点进行扩展，直到找到终点。
五、Branch and Bound算法Branch and Bound算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的分支定界算法。
它通过将问题划分为子问题，并使用界限函数剪枝，逐步搜索最短路径。
六、Johnson算法Johnson算法是一种用于计算带权有向图中所有点对之间的最短路径的算法。
它通过对图进行变换，使得图中不存在负权回路，然后使用Dijkstra算法计算最短路径。
七、SPFA算法SPFA算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过维护一个队列，选择队列中的节点进行松弛操作，直到找到起点到终点的最短路径。
八、Kruskal算法Kruskal算法是一种用于计算带权无向图中最小生成树的算法。
它通过选择边的方式逐步构建最小生成树，直到所有节点都连接在一起。
九、Prim算法Prim算法是一种用于计算带权无向图中最小生成树的算法。
它通过选择节点的方式逐步构建最小生成树，直到所有节点都连接在一起。
《最佳路径》课件
04
最佳路径的应用场景
交通路网规划
交通拥堵优化
通过分析路网流量和路况信息 ，寻找最佳路径，减少拥堵和
延误。
公共交通规划
根据乘客需求和路况，优化公交 线路、班次等，提高公共交通效 率。
物流配送路线规划
在考虑货物、运输工具和时间等因 素下，选择最佳路径，提高配送效 率。
通信网络优化010203网络流量均衡
城市交通管理部门采用了基于大数据 和人工智能的公交路线规划系统。该 系统能够根据实时交通信息、乘客出 行需求和公交车运行状况等因素，为 公交车提供最佳的行驶路径。同时， 该系统还能够根据实际情况及时调整 公交路线，以满足乘客的需求。
通过实施最佳路径规划系统，城市公 交车的运行效率提高了20%，乘客的 等待时间和乘车时间也大幅减少。同 时，公交车准点率也有了显著提升。
课程目标
明确课程的目标，包括知识目标和能力目标，并说明这些 目标如何帮助学生达到他们的学习目标。
强调课程中的重点和难点，并说明如何帮助学生掌握这些 内容。
课程大纲
列出课程的主要章节和每个章节的主题，并简要说明每个章节的重要性。 提供课程的时间安排和学习计划，包括每周的学习内容和需要完成的任务。
02
06
总结与展望
总结
本次课程涵盖了多种最佳路径 的概念、应用场景和优化方法 ，包括动态规划、贪心算法、
分治法等。
通过案例分析和问题建模，展 示了如何运用最佳路径算法解 决实际问题，如资源分配、路
径规划等。
分析了不同算法的优缺点和适 用场景，并强调了最优解的必
要性和重要性。
展望未来发展
随着大数据和人工智能技术的 不断发展，最佳路径算法的应 用前景将更加广泛。
最优路径问题的分支定界法
最优路径问题的分支定界法最优路径问题是指在给定图中找出两个定点之间的最短路径或最优路径的问题。
分支定界法是一种常用的求解最优路径问题的方法，通过将问题分解为若干个子问题，并通过限界函数来剪枝，找出最优解。
在使用分支定界法求解最优路径问题时，首先需要建立图的数据结构，可以使用邻接矩阵或邻接表表示图的连接关系。
然后确定起点和终点，以及各个节点之间的权重。
接下来，可以使用深度优先搜索或广度优先搜索遍历图，找出从起点到终点所有可能的路径。
在搜索的过程中，可以使用一个优先队列来管理待搜索的路径，每次从优先队列中取出权重最小的路径进行扩展。
为了减少搜索的空间和时间复杂度，可以使用限界函数来进行剪枝。
限界函数的计算方式可以根据具体问题进行设计，其目的是通过计算当前路径的权重和预计剩余路径权重的上界，判断是否继续搜索。
具体来说，可以设计一个二维数组或优先队列来保存已经生成的路径，并根据权重进行排序。
每次选择路径权重最小的节点进行扩展，生成新的路径，并计算新路径的权重。
如果新路径的权重已经超过了当前已经找到的最短路径权重，则可以剪枝，不再继续搜索当前路径。
否则，将新路径加入到已生成路径的集合中，并更新当前最短路径权重。
通过不断扩展路径并剪枝，最终可以找到从起点到终点的最优路径。
在实际应用中，可以根据问题的具体情况对分支定界法进行进一步的优化，比如使用启发式搜索来提高搜索效率。
总之，分支定界法是一种求解最优路径问题的有效方法。
通过将问题分解为若干个子问题，并使用限界函数进行剪枝，可以找到从起点到终点的最优路径。
在实际应用中，可以根据具体问题进行取舍和优化，以达到更好的效果。
最优路径问题的学习算法
最优路径问题的学习算法最优路径问题是指在给定的有向图中，从一个起始点出发寻找到达目标点的最短路径或最优路径的问题。
在实际生活和工程应用中，最优路径问题具有广泛的应用，例如导航系统中的最短路线规划、物流配送的路径优化等等。
为了解决最优路径问题，人们提出了各种学习算法，本文将介绍其中的几种常见算法。
1. 迪克斯特拉算法：迪克斯特拉算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
它通过维护一个距离表，不断更新起始点到每个节点的最短距离，并选择距离最短、但尚未被访问的节点作为下一次的起始点。
迪克斯特拉算法适用于有向图和无向图，但不能处理带有负权边的图。
2. 贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种解决单源最短路径问题的动态规划算法。
它通过对每条边进行多次松弛操作，逐步更新起始点到每个节点的最短距离。
贝尔曼-福特算法适用于有向图，可以处理包含负权边的图。
但如果图中存在负权环路，则该算法会进入无限循环。
3. 弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种解决所有节点对之间最短路径问题的动态规划算法。
它通过维护一个距离矩阵，不断更新任意两个节点之间的最短距离。
弗洛伊德算法适用于有向图和无向图，可以处理包含负权边的图。
4. A*算法：A*算法是一种解决带有启发式函数的最短路径问题的启发式搜索算法。
它综合考虑了节点之间的实际距离和启发式函数的估计值，并通过优先级队列选择下一步要访问的节点。
A*算法在实践中通常具有较高的效率和准确性，广泛应用于导航系统等领域。
5. 维特比算法：维特比算法是一种解决最短路径问题的动态规划算法，主要应用于隐马尔可夫模型等概率图模型中。
它通过递推和回溯的方式，寻找到概率最大的路径。
维特比算法在自然语言处理、语音识别等领域有着重要的应用。
除了以上提到的几种算法，还有一些其他的学习算法也可以用于解决最优路径问题，例如遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法各自有着不同的适用场景和特点，选择适当的算法可以提高问题求解的效率和准确性。
有向无环图的最优路径
有向无环图的最优路径有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）是一种图的数据结构，它定义了一组有向边，并且不存在任何环路。
在此基础上，我们将讨论有向无环图的最优路径问题。
一、什么是最优路径在有向无环图中，最优路径指的是从图中的某一起点到终点的最短路径或者最长路径，其长度可根据具体情况来决定。
这里我们将重点讨论求解最短路径的问题。
二、最优路径的应用最优路径在许多领域都有广泛的应用。
例如，在交通规划中，我们希望找到最短路径以减少行程时间和交通拥堵。
在电信网络中，最短路径算法使得数据能够高效地传输。
另外，最优路径还可以应用于任务调度、路径规划等领域。
三、有向无环图的最优路径算法有向无环图的最优路径可以通过动态规划算法来求解。
下面介绍两种较为常用的算法：迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种典型的单源最短路径算法，适用于有向无环图。
它的基本思想是从起点开始，逐步确定到达各个顶点的最短路径。
算法步骤如下：（1）初始化：将起点的最短路径设置为0，其他顶点的最短路径设置为无穷大。
（2）选择：选择一个未被访问过的顶点，使得当前被访问的顶点到该顶点的路径长度最短。
（3）更新：通过比较当前路径长度和新路径长度的大小，更新到达其他未被访问过的顶点的最短路径。
（4）重复：重复选择和更新步骤，直到所有顶点都被访问过。
2. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种通用的最短路径算法，适用于一般的有向图，包括带有负权边的图。
算法步骤如下：（1）初始化：将起点的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
（2）迭代：重复对所有边进行松弛操作，即通过比较当前路径和新路径的长度，更新距离数组中的值。
（3）判断负权环：若经过上述迭代，距离数组仍然在更新，则存在负权环，无法求解最短路径。
四、最优路径的应用举例以城市之间的交通规划为例，假设我们已经构建了一个有向无环图，其中城市之间的道路表示为有向边，而道路的长度表示为边的权重。
有向无环图的最优路径
有向无环图的最优路径有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）是一种图论中常见的数据结构，其中的有向边没有闭环。
在计算机科学和应用程序设计中，有向无环图的最优路径是一个重要的问题，它在许多领域都有广泛的应用，例如优化问题、动态规划和调度算法等。
在有向无环图中，最优路径是指从起始节点到目标节点的路径，使得路径上的权重之和最小或最大。
最优路径的选择取决于具体的应用场景和问题要求。
在本文中，我们将讨论求解有向无环图最优路径的算法和技巧。
一、拓扑排序拓扑排序是解决有向无环图最优路径问题的一种重要算法。
它通过对图的节点进行排序，使得任何一条边的起始节点都排在终止节点之前。
拓扑排序可以用来处理依赖关系，例如任务调度和编译器优化等问题。
在实现拓扑排序算法时，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法。
具体步骤如下：1. 初始化一个栈，用于存储已经访问过的节点。
2. 选择一个未访问的节点作为起始节点，将其标记为已访问。
3. 对于起始节点的每个未访问的邻接节点，递归调用拓扑排序算法。
4. 将当前节点入栈。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被访问。
6. 从栈顶到栈底的顺序即为拓扑排序的结果。
拓扑排序算法可以求解有向无环图的最优路径，例如，最长路径和最短路径等问题。
在实际应用中，我们可以根据具体需求选择不同的路径计算方法。
二、动态规划动态规划是解决有向无环图最优路径问题的另一种常用方法。
它通过将问题分解为子问题，并用一个表格来存储子问题的解，从而逐步构建出最优解。
在使用动态规划算法求解有向无环图最优路径时，可以使用以下步骤：1. 定义状态：将问题表示为一个状态集合，其中每个状态和图中的一个节点对应。
2. 定义状态转移方程：通过递推关系式来定义状态之间的转移关系，以得到最优路径。
3. 计算最优解：根据状态转移方程，从起始节点开始计算每个节点的最优路径值，并记录路径信息。
《图论》第4章 最优路径问题
[网络(赋权图)] 有向图 G=(V, A) 中，给每条边 a=<vi, vj> 赋予 一个实数权 w(vi, vj) ，得到一个有向网络。通常情况下 w(vi, vj) 0。（为简化问题的讨论，无特别声明情况下， 我们都假定 w(vi, vj) > 0。） [距离矩阵] 对上述网络，定义其距离矩阵 D=(dij)nn，n=|V|
i =1
40 25 10
40 25 5 20 20 10 20 80 20 65 50 25 50 35 55
10
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[续1]
40 25 10
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[表上作业法] 第 i 次外循环时，将第 i 行(基本行)分别“叠加”
到第 i 列的非元 dji(关键元素)对应的那些行 i， “叠加”
运算是一个比较运算： djk min{djk , dji + dik}，k=1 ... n
55 40 25 5 20 40 20 10 20 25 20 10 25 55
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
12
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[续3]
100 45 40 25 10
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 i =4 25 30 40 35
4
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
mod 4 最优路径问题
mod 4 最优路径问题在上图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。
分析：这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。
虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态程序设计方法来做。
因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。
但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。
设f k (s k )——从第1点到第k 点的长度mod 4为s k 的路径是否存在的标志。
显然⎩⎨⎧===)3,2,1()0()(1111s false s true s f （边界条件） ()()(4mod )(()4mod )(()4mod )(()(3,12,11,1k k k k k k k k k k k len s f or len s f or lens f s f ---=--- （这里len k ，i 表示从第k-1点到第k 点之间的第i 条边的长度）最后的结果就是可以使f 4(s 4)值为真的最小的s 4值。
fillchar(f ，sizeof(f)，false)； f[1，0]←true ； {边界条件}for k ←2 to n do {阶段：逐条边延伸}for s ←0 to 3 do {状态：枚举当前路径长度对4的每一个余数}for u ←1 to k-1点出发的边数 do {决策：枚举k-1点出发的每一条边}f[k ，s]←f[k ，s] or f[k-1] mod 4]；for i ←0 to 3 do if f[n ，i] then break ；输出i ；总结：本题意在说明，不具有最优子策略（即不满足最优化原理）的阶段性问题，不能用动态规划解决。
《最佳路径》课件
《最佳路径》课件一、引言在日常生活和工作中，我们经常需要从一个地方出发，到达另一个地方。
如何选择一条最佳路径，既能够节省时间，又能够减少能源消耗，是摆在我们面前的一个实际问题。
本课件旨在介绍最佳路径的相关概念、算法以及实际应用，帮助大家更好地理解和应用最佳路径知识。
二、最佳路径的概念1.路径：路径是指从一个地点到另一个地点所经过的路线。
在数学中，路径通常用图来表示，图由节点和边组成，节点代表地点，边代表路径。
2.距离：距离是指从一个地点到另一个地点所经过的实际路程。
在图论中，边上的权值通常表示距离。
3.最佳路径：最佳路径是指在所有可能的路径中，距离最短或者代价最小的路径。
在现实生活中，最佳路径可能还需要考虑其他因素，如时间、费用、路况等。
三、最佳路径的算法1.暴力法：暴力法是最简单的最佳路径算法，它尝试所有可能的路径组合，然后找出其中距离最短或代价最小的路径。
但是，当节点数量较多时，暴力法的计算量会急剧增加，不适用于大规模问题。
2.Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求解单源最短路径问题。
它从起点开始，逐步向外扩展，直到找到目标点的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，适用于稠密图。
3.A算法：A算法是一种启发式搜索算法，用于求解单源最短路径问题。
它结合了Dijkstra算法和最佳优先搜索算法的优点，通过启发式函数评估每个节点的潜在代价，从而更快地找到最佳路径。
A 算法的时间复杂度取决于启发式函数的质量，适用于稀疏图。
4.Floyd算法：Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解多源最短路径问题。
它通过迭代更新任意两点之间的最短路径，最终得到所有节点之间的最短路径。
Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于中等规模的问题。
四、最佳路径的应用1.路径规划：在地图导航、自动驾驶等领域，最佳路径算法被用于计算从起点到终点的最佳行驶路线。
这有助于提高出行效率，减少能源消耗。
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2
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[Dijkstra算法 求有向网络 G=(V, A) 中结点 u 到其它结点的最 算法] 算法 短距离。 输入：有向网络 G=(V, A) 的距离矩阵 D。 思想：维护一个顶点集合S，对任何 z∈S，d(u, z) 已获得确认。 目标是扩充 S，直到 S 包含了G的所有顶点。为此对每个 z∉S，需要维持对 d(u,z) 的一个试探值 t(z)，即当前找到的 （局部）最小的 π(u,z)。 初始化：设 S={u}，t(u)=0；对 z≠u，设 t(z) = w(u,z) 。 迭代：取 v∉S 使得 t(v)=min{t(z)|z∉S}；S=S∪{v}；对 z∉S 且 <v, z>∈A，令 t(z)= min{t(z), t(v)+w(v,z)}。 结束：S=V 或 对所有 z∉S，t(z)=∞。 此时对所有 v∈V，d(u, v)=t(v) 3
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[表上作业法 第 i 次外循环时，将第 i 行(基本行)分别“叠加” 表上作业法] 表上作业法 到第 i 列的非∞元 dji(关键元素)对应的那些行 i， “叠加” 运算是一个比较运算： djk ← min{60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 i =4 25 30 40 35
65 40 35 25 10
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
13
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[续4] 续
65 40 35 25 10
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
i =5
35 35 30 25 10
∞ 55 ∞ 40 25 ∞ ∞ 5 20 ∞ 40 20 ∞ 10 20 25 ∞ 20 ∞ ∞ 10 25 ∞ 55 ∞
i =1
∞ ∞ 40 25 10
40 25 ∞ 5 20 ∞ 20 ∞ 10 20 80 20 65 50 25 ∞ 50 35 55
di j =
{∞
w(vi , v j ) 当 < vi , v j >∈ A 其它
[带权路径长度 设路径 v1, v2 , … ,vk 为上述网络的路径，其带 带权路径长度] 带权路径长度 权路径长度定义为
π (v1 , vk ) = ∑ w(vi , vi +1 )
i =1
k −1
1
4.1 最短路径
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[证明续 证明续2] 证明续 (2) 向 S0中添加 v 后，对 z∉S=S0∪{v} 且 <v, z>∈A，从 u 经 S 直接到达 z 的路径包括了从 u 经 S0 直接到达 z 的和从 u 经 v 直接到达 z 的两部分。由归纳假设的(2)，前者的最短距 离由迭代前的 t(z) 描述；而后者的最短距离由 t(v)+w(v,z) 描述。故 t(z)= min{t(z), t(v)+ w(v,z)} 描述了u 经 S 直接到达 z 的最短距离。 综上，由归纳原理，证毕。 [计算复杂度 O(n2) 计算复杂度] 计算复杂度 8
[两点间的最短距离 对上述网络，结点vi 到 vj 可达时， vi 到 vj 两点间的最短距离] 两点间的最短距离 的所有路径中具有最小带权路径长度者称为 vi 到 vj 的一条 最短路，其带权路径长度称为 vi 到 vj 的最短距离，记为 d(vi,vj)。 [最优化原理 对上述网络，若路径 v1, v2 , … ,vk−1 ,vk 是一条 v1 到 最优化原理] 最优化原理 vk 的最短路，则路径 v1, v2 , … ,vk−1 是 一 条 v1 到 vk−1 的最短 路。 实际上，对最短路 v1, v2 , … ,vk−1 ,vk，路径 vi, vi+1 , … ,vj (1≤i < j ≤ k) 是一条 vi 到 vj 的最短路。
4.1 最短路径
[网络 赋权图 有向图 G=(V, A) 中，给每条边 a=<vi, vj> 赋予 网络(赋权图 网络 赋权图)] 一个实数权 w(vi, vj) ，得到一个有向网络。通常情况下 w(vi, vj) ≥ 0。（为简化问题的讨论，无特别声明情况下， 我们都假定 w(vi, vj) > 0。） [距离矩阵 对上述网络，定义其距离矩阵 D=(dij)n×n，n=|V| 距离矩阵] 距离矩阵
输出： |T|<n−1时G不连通，否则输出T。
4.4 最短树
[例] （耿书） 例
17
4.4 最短树
Kruskal 算法是一种寻求局部优化的便宜算法（或称贪心算 法），但得到了一个全局最优解。 [定理 定理4-4-1] 对无向连通网络G=(V, E)使用Kruskal算法1得到的T 定理 是G的一棵最小生成树。 [引理 对无向连通网络G=(V, E)使用Kruskal算法1得到的T是G 引理1] 引理 的一棵生成树。 [证明 由算法得到的T中无回路，且|T|=n−1，故为G的一棵生成 证明] 证明 树。 [引理 设有无向连通网络G=(V, E)，T是G的一棵生成树。则T 引理2] 引理 是一棵最短树当且仅当对T和其任意余树枝 e∈E−T构成的 回路C⊆T+{e}上所有的 a∈C−{e}有 w(e)≥w(a)。 18
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[例] 例
∞ 55 ∞ 40 25 v1 ∞ ∞ 5 20 ∞ v 2 D = 40 20 ∞ 10 20 v3 25 ∞ 20 ∞ ∞ v4 10 25 ∞ 55 ∞ v5
[解 [解 ] v 1 5 4 2 3 T=( t(1), t(2), t(3), t(4), t(5) ) ( 0, 55 , ∞ , 40 , 25 ) ( 0, 50 , ∞ , 40 , 25 ) // t(2): t(5)+w(5,2)=25+25=50<55 ( 0, 50 , 60 , 40 , 25 ) // t(3): t(4)+w(4,3)=40+20=60<∞ ( 0, 50 , 55 , 40 , 25 ) // t(3): t(2)+w(2,3)=50+5=55<60 4
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[证明续 证明续1] 证明续 归纳过程：从归纳假设出发，证明对 z∈V，t(z)具有特性(1) 和(2)。为描述方便起见，将迭代前的 S 集合记为 S0。即 S=S0∪{v}。 (1) 对z∈S，考虑到 S0 中的顶点已符合归纳假设的(1)，只需证 明 t(v)=d(u, v)。由于 v∉ S0，符合归纳假设的(2)，即 t(v) 是 u 经 S0 直接到达 v 的最短距离。从 u 到达 v 的最短路径 只能是从 u 经 S0 直接到达 v 实现，否则，假设另有 v 的负 邻接点 v′∉ S0可以实现u → … → v′ →v 的一条最短路，由 于 w(v′,v )>0，故 t(v′ ) < t(v)，与 v 的选择矛盾。因此有 t(v)=d(u,v)。 7
100 45 40 25 10
55 60 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
12
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[续3] 续
100 45 40 25 10
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[Warshall算法 有向网络G=(V, A)中任两点间最短距离。 算法] 算法 设 D 为 G 的距离矩阵，n=|V|。 1. 输入 D 矩阵 2. i ← 1 3. j ← 1 4. djk ← min{djk , dik + dkj}，k=1 ... n 5. j ← j+1，若 j≤n，转 4 6. i ← i+1 ，若 i≤n，转 3 7. Stop [证略 证略] 证略 [计算复杂度 O(n3) 计算复杂度] 计算复杂度 9
50 55 40 25 25 5 15 25 20 25 10 20 40 20 30 40 25 30 40 35
14
4.3 求两点间最短距离的Warshall算法
[讨论 任意两点间的最短路的实现。（列出任意两点间的最 讨论] 讨论 短路的例）
15
4.4 最短树
[最短树 无向连通网络 G=(V, E) 的所有生成树中，树枝的权值 最短树] 最短树 总和最小者称为关于 G 的最小生成树，或最短树。 [Kruskal算法 G =(V, E)为无向网络, n=|V|, T为G的生成子图. 算法1] 算法 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 排序：将E中所有边按权值按非递减次序构成排列L； T ← ∅； While L≠ ∅ and |T|<n−1 Begin e = getfirst(L)；L=L−{e}； if T∪{e}中不存在回路 then T=T∪{e}； End 16
4.2 求最短距离的Dijkstra算法
[定理 定理4-2-1] Dijkstra 算法结束时对所有 v∈V 得到的 d(u, v)是结 定理 点 u 到其它结点 v 的最短距离。 [证明 对|S|作归纳，证明在迭代过程中，对于 z∈V，t(z)具有下 证明] 证明 列特性：(1) 对z∈S，有 t(z)=d(u, z)；(2) 对z∉S，t(z)是 u 经 S 直接到达 z 的最短距离。 归纳基始：|S|=1时，由初始化知，S={u}， t(u)=d(u,u)=0， 且对于 z≠u，t(z)=w(u, z) 是 u 直接到达 z 的最短距离。 归纳假设：|S|=k 时，对 z∈V，t(z)具有特性(1)和(2)。设有 v∉S，使得 t(v)=min{t(z)|z∉S}。按照算法令 S=S∪{v}，此 时 |S|=k+1。对 z∉S 且 <v, z>∈A，令 t(z)= min{t(z), t(v)+w(v,z)}。 6