北师大版必修一基础知识
高一北师大版第一课时知识点
高一北师大版第一课时知识点高一北师大版第一课时是学习语文的内容。
本课时主要涉及到以下几个知识点：古汉语文化、古文辞章、文言虚词等。
一、古汉语文化
古汉语是中国古代人民所使用的语言，也是文学创作的基础。
通过学习古汉语文化，我们可以更好地理解古代文学作品，并且提高我们的文学素养。
在高一北师大版第一课时中，我们将学习一些古汉语的基本概念和用法。
二、古文辞章
古文辞章是古代文学作品的表现形式之一。
在高一北师大版第一课时中，我们将学习一些古文辞章的特点和常见写作技巧。
例如：典故引用、修辞手法等。
通过学习古文辞章，我们可以更好地理解和欣赏经典文学作品，同时也可以提高我们的阅读能力和写作水平。
三、文言虚词
文言虚词是古代文言文中的一类词语，常用于表示语气、程度、结构等。
在高一北师大版第一课时中，我们将学习一些常见的文言虚词及其用法。
例如：乎、者、之等。
通过学习文言虚词，我们可以更准确地理解古文的意思，提高我们对古代文学作品的理解能力。
总结：
高一北师大版第一课时的内容主要包括古汉语文化、古文辞章和文言虚词等知识点。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和欣赏古代文学作品，提高我们的阅读和写作能力。
希望大家在学习语文的过程中能够善于应用所学知识，培养对古代文化的兴趣和热爱。
祝大家学习进步！。
北师大版高中数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆A B B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇⑷⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==时，二者才能称为同一函数。
北师大版高中生物必修一复习提纲定稿版
北师大版高中生物必修一复习提纲定稿版第一章细胞的分子基础1.1细胞的基本概念与分类1.1.1细胞的基本特征1.1.2细胞的分类1.2细胞的组成1.2.1细胞膜1.2.2细胞质1.2.3细胞核1.3细胞的代谢1.3.1细胞呼吸1.3.2光合作用1.3.3发酵作用1.4细胞的生命活动1.4.1细胞的分裂1.4.2细胞的凋亡1.4.3细胞的再生与再生医学第二章遗传与变异2.1遗传的基本概念2.1.1遗传现象与遗传基础2.1.2遗传规律2.2生物的性别与生殖2.2.1性别的决定与遗传2.2.2生殖系统与生殖方式2.3变异与进化2.3.2进化论的基本概念2.3.3进化的证据与机制第三章有机体的多样性3.1植物的无性繁殖与有性繁殖3.1.1植物的无性繁殖3.1.2植物的有性繁殖3.2动物的无性繁殖与有性繁殖3.2.1动物的无性繁殖3.2.2动物的有性繁殖第四章动物的体内环境4.1基本组织与器官4.1.1组织的结构与功能4.1.2器官的构造与功能4.2动物组织器官的调节4.2.1神经系统与神经调节4.2.2内分泌系统与内分泌调节第五章生物能量与物质的转换5.1生命活动的能量基础5.1.1ATP的合成与分解5.1.2葡萄糖的分解与氧化5.2光能的转换与作用5.2.1光合作用的基本过程5.2.2光合作用产物的利用与分配5.3能量与物质的转换5.3.1蛋白质的合成与降解5.3.2脂肪的合成与降解第六章生物的生殖与发育6.1有丝分裂与生殖细胞的形成6.1.1有丝分裂的基本过程6.1.2生殖细胞的形成6.2生殖细胞的结合与配子形成6.2.1有性生殖的基本过程6.2.2配子的形成与结合方式6.3受精与胚胎发育6.3.1受精的形式及其机制6.3.2胚胎发育的基本过程第七章生物体与环境的相互关系7.1生物体与环境的适应7.1.1生物体对环境的适应方式7.1.2生物体在不同环境中的适应特征7.2生态系统的基本概念与分类7.2.1生态系统的定义与特征7.2.2生态系统的分类与层次结构7.3物质循环与能量流动7.3.1生态系统中的无机物循环7.3.2生态系统中的能量流动以上是北师大版高中生物必修一复习提纲的定稿版，共计1200字。
(完整版),高中数学北师大版必修1全册知识点总结,推荐文档
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数N N *N +Z Q 集，表示实数集.R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂（或B A ）≠⊃，且B A ⊆B 中至少有一元素不属于A（1）（A 为非空子A ≠∅⊂集）(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A 集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它A (1)n n ≥2n 21n -有个非空子集，它有非空真子集.21n -22n -【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集3∁u (∁uA )=A,4∁u (A ∩B )=(∁uA )∪(∁uB ),5∁u(A ∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U ∁uA =∅CuA ∁uU =∅∁u∅=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)∁u ∁u ∁u ∁u ∁u ∁u 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
北师大版高中数学必修知识点总结
北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。
下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。
一、函数与方程1.函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.函数的图像与性质：函数图像的平移、翻折和缩放等。
4.方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。
二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示：等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。
2.数列的通项公式：求通项公式、求和公式等。
3.数列的前n项和与无限项和：有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。
4.数学归纳法的基本思想与应用。
三、平面向量1.向量的概念与运算：向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。
2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算：向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。
3.平面向量的应用：向量的共线性、向量的法则等。
四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制：角度与弧度的转化、正角和负角等。
2.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
3.三角函数的诱导公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。
4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。
5.解三角形：海伦公式、正弦定理、余弦定理等。
6.三角函数的应用：三角函数的模型求解等。
五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念：点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。
2.平面几何的证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。
3.圆的性质与判定：圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。
4.圆锥曲线：椭圆、双曲线的定义与性质。
5.空间几何基本概念：点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。
6.空间几何的投影：点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的教育资料，如幼儿教案、音乐教案、语文教案、知识梳理、英语教案、物理教案、化学教案、政治教案、历史教案、其他范文等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, this store provides various types of educational materials for everyone, such as preschool lesson plans, music lesson plans, Chinese lesson plans, knowledge review, English lesson plans, physics lesson plans, chemistry lesson plans, political lesson plans, history lesson plans, and other sample texts. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
北师大版高中数学必修1-知识点总结
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅B A ⊆A B B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇⊇B B⑼集合的运算律：交换律：.A=B=BBBAA;A结合律:)ACB=A=B()()((C);BCABAC分配律:)ABABAC=C=);(())(()A(CBAB(CA)0-1律：,,,Φ=ΦΦ===A A A U A A U A U等幂律：.A=A=,AAAA求补律：A∩ A∪=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
北师大版高中英语 知识概要与语法总结
知识概要与语法总结北师大版高中英语必修一各单元知识点 2.共有三个单元 1.第二单元：一般过去时，过去进行时，现be going to第一单元：一般现在时，现在进行时， 44 个词组数量为：204全书单词数量为：3.在完成时第三单元：被动语态，情态动词单元1北师大版高一英语必修一第.一重点句法词法。
Lesson 1 。
构成的形容词，意思是“轻松的，令人放松的”relax+ing是由及物动词3.relaxing. Relaxing “放松的”Relaxed。
的构词法相同，意思是“令人厌烦的，单调乏味的”relaxing和Boring ，常修饰物。
” 均表示“令人boring和relaxing“无聊的”常用来修饰人；而bored 和老师对他说了一些让人放松的事情使他The teacher said something relaxing to get him relaxed. 放松（认为，猜想）的用法。
4.suppose 。
从句，表示“猜测，假定”(1)suppose+that 我想你是对的。
I suppose that you are right.. ” 是…表示“认为+to be代词/名词(2)supose+许多人认为他已经Many people suppose him to be over 50. 多岁了。
50 if. 作“假定，设想”讲，相当于连词(3)suppose/supposing 假如你错了，你将会怎样做呢？Suppose you are wrong,what will you do then? ”表示劝告、建议、义务、责任等，相当于情态动，应该做“被期望做be supposed to (4) should. 词 They were supposed to be here an hour ago. (5) 用于简略答语中。
(5)’-Do you think we 你认为周末天气会好吗？ll have good weather this weekend? 我想不会。
新教材北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识 知识点重点难点归纳总结汇总
第一章预备知识1 集合 (1)1、集合的含义 (1)2、集合的表示 (4)3、集合的基本关系 (9)4、交集与并集 (12)5、全集与补集 (16)2 常用逻辑用语 (19)1、必要条件与充分条件 (19)2、全称量词与存在量词 (23)3不等式 (27)1、不等式的性质 (27)2、基本不等式 (32)4一元二次函数与一元二次不等式 (36)1、一元二次函数 (36)2、一元二次不等式及其解法 (43)3、一元二次不等式的应用 (47)1 集合1、集合的含义知识点1 元素与集合的相关概念1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．知识点2 元素与集合的关系1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A.元素与集合之间有第三种关系吗？[提示]没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．知识点3 常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋N与N＋(N*)有何区别？[提示]N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.疑难解惑类型1 集合的概念【例1】下列给出的对象中，能构成集合的是( )①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校A．①③B．②④C．①④D．③④C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．类型2 元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)π是实数，2是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是正整数，则①②正确，故选B.(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a ＝4，综上知，a＝2,4.故选B.]1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．类型3 集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．a≠0且a≠1[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴a＝－1.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤0或1 [∵3∈A ，∴⎩⎨⎧a ＋3＝32a ＋1≠3或⎩⎨⎧a ＋3≠3，2a ＋1＝3，解得：a ＝0或a ＝1.]2、集合的表示知识点1 列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a ，b ，c ，…}．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a ，b }与{b ，a }表示同一个集合．知识点2 描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x 及x 的范围|x 满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合吗？ [提示] A ＝{x |x －1＝0}＝{1}与集合B 表示同一个集合． 知识点3 集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合． 2．无限集：含有无限个元素的集合． 3．空集：不含任何元素的集合，记作∅.{0}与∅相同吗？[提示] 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．知识点4 区间及相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b闭区间[a，b]}{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？[提示](1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．疑难解惑类型1 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．[解](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．类型2 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．[解](1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．描述法表示集合的2个步骤注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．类型3 用区间表示集合【例3】将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．[解](1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．类型4 集合表示法的应用【例4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．1．(变条件)若集合A 中有2个元素，求k 的取值范围． [解] 由题意得⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16>0，解得k <1，且k ≠0.2．(变条件)若集合A 中至多有一个元素，求k 的取值范围． [解] ①当集合A 中含有1个元素时，由例4知，k ＝0或k ＝1； ②当集合A 中没有元素时，方程kx 2－8x ＋16＝0无解，即⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16<0，解得k >1.综上，实数k 的取值集合为{k |k ＝0或k ≥1}．集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．3、集合的基本关系1．Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示结论(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C若A＝B且B＝C，则A＝C(1)若A B且B C，则A C(2)若A⊆B且A≠B，则A B(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．疑难解惑类型1 集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z .[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B .(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，①若由p (x )可推出q (x )，则A ⊆B ；②若由q (x )可推出p (x )，则B ⊆A ；③若p (x )，q (x )可互相推出，则A ＝B ；④若由p (x )推不出q (x )，由q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．类型2 子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M .[解] 集合M 含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．求集合子集、真子集个数的3个步骤类型3 集合间的关系的应用【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B? [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m ＋1<－22m －1>7，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x | x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2， 当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7，解得m ≥6，综上得m ≤2或m ≥6.由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．注意：(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．4、交集与并集知识点1 交集 文字语言一般地，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 与B 的交集，记作A ∩B 读作“A 交B ”符号语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } 图形语言运算性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ，A ⊆B ⇔A ∩B ＝A(1)当集合A ，B 无公共元素时，A 与B 有交集吗？ (2)若A ∩B ＝A ，则A 与B 有什么关系？ [提示] (1)有，交集为空集．(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B . 知识点2 并集 文字语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫作集合A 与B 的并集，记作A ∪B 读作“A 并B ”符号语言 A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } 图形语言运算性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，A ⊆(A ∪B )，B ⊆(A ∪B )，A ⊆B ⇔A ∪B ＝B(1)集合A ∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数和？ (2)在什么条件下，集合A ∪B 的元素个数等于集合A 与B 的元素个数之和？ [提示] (1)不一定，A ∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数和．(2)A ∩B ＝∅.疑难解惑类型1 交集运算【例1】 (1){} |x x 是等腰三角形∩{x |x 是等边三角形}＝________. (2){} |x －1≤x ≤2∩{} |x 0≤x ≤4＝( ) A.{} |x 0≤x ≤2 B ．{} |x 1≤x ≤2 C.{} |x 0≤x ≤4D ．{} |x 1≤x ≤4(3)已知集合A ＝{}x | x ＝3n ＋2，n ∈Z ，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(1){x |x 是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为{} |x x 是等边三角形⊆{x |x 是等腰三角形}，所以{} |x x 是等腰三角形∩{} |x x 是等边三角形＝{x |x 是等边三角形}．(2)如图，所以{x |－1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4}＝{}x | 0≤x ≤2. (3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2， 所以A ∩B ＝{}8，14.]1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn 图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程． 类型2 并集运算【例2】 (1)设集合A ＝{}x | x 2＋2x ＝0，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则A ∪B ＝( )A.{}0 B ．{}0，2 C.{}－2，0D ．{}－2，0，2(2)已知集合M ＝{} |x －3<x ≤5，N ＝{}x | x <－5，或x >5，则M ∪N ＝( )A.{}x | x <－5，或x >－3 B ．{} |x －5<x <5 C.{} |x －3<x <5D ．{}x | x <－3，或x >5(3)已知集合A ＝{}1，4，x ，B ＝{}1，x 2，且A ∪B ＝{1,4，x 2}，则满足条件的实数x 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)D (2)A (3)A [(1)因为A ＝{}0，－2，B ＝{0,2}，所以A ∪B ＝{－2,0,2}．(2)如图，在数轴上表示两集合，所以M ∪N ＝{}x | x <－5，或x >－3.(3)由A ∪B ＝{}1，4，x 2，得x ＝x 2，又x ≠1，所以x ＝0.]在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．类型3 由集合的并集、交集求参数【例3】 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[解] ①当B ＝∅时，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A . ②当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合①②可知k ≤52.1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． [解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B . 所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎨⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．5、全集与补集1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U 表示．全集包含所要研究的这些集合．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？[提示] 全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．2．补集：(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集，记作∁U A .(2)符号：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }． (3)Venn 图(4)补集的性质①A∪(∁U A)＝U.②A∩(∁U A)＝∅.③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)．⑤(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．A，A，U三者之间有什么关系？∁U[提示]A⊆U，∁U A⊆U，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.疑难解惑类型1 补集运算【例1】已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁U B.[解]因为A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，如数轴：所以U＝A∪(∁U A)＝{x|x>2}，所以∁U B＝{x|2<x<4或x≥6}．求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．类型2 交、并、补的综合运算【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁A)∩B.R[解]把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∴∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∵∁R∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．类型3 补集及补集思想的应用【例3】 设全集U ＝R ，A ＝{}x | x ＋m ≥0，B ＝{x |－2<x <4}，若()∁U A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解] 法一：∁U A ＝{}x | x ＋m <0＝{}x | x <－m ， ∵()∁U A ∩B ＝∅，∴－m ≤－2，∴m ≥2.法二：A ＝{}x | x ≥－m ，由()∁U A ∩B ＝∅，得A ⊇B ，∴－m ≤－2，∴m ≥2.1．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ＝B ”，求实数m 的值． [解] 由已知得∁U A ＝{}x | x <－m ，∁U A ⊇B ，所以－m ≥4，解得m ≤－4. 2．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U B ∪A ＝R ”，求实数m 的值． [解] 由已知得，A ＝{}x | x ≥－m ，A ⊇B ，所以－m ≤－2，解得m ≥2. 3．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ≠∅”，求实数m 的值． [解] 由例3知，当()∁U A ∩B ＝∅时，m ≥2，所以当()∁U A ∩B ≠∅时，m <2.1．要注意下面五个关系式A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩()∁U B ＝∅、()∁U A∪B＝U都与A⊆B等价．2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求∁U A，再∁U A＝A求A.由∁U()2 常用逻辑用语1、必要条件与充分条件知识点1 必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．知识点2 充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)这五种表述形式是等价的．知识点3 充要条件(1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p 是q的充要条件，记作p⇔q.(2)p 是q 的充要条件也常常说成“p 成立当且仅当q 成立”，或“p 与q 等价”．(3)当p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件．(1)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？ [提示] (1)正确．若p 是q 的充要条件，则p ⇔q ，即p 等价于q . (2)①p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是q 说明q 是条件，p 是结论．疑难解惑类型1 充分、必要、充要条件的判断【例1】 下列各题中，p 是q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1；(2)p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p ：xy >0，q ：x >0，y >0；(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．[解] (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p ⇒q .反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p .所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0. 故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件； 若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件． 类型2 必要条件、充分条件的应用【例2】 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的充分不必要条件，得集合{x |－2≤x ≤10}是集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集，所以⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m <－21＋m ≥10，或⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m ≤－21＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.1．把本例中的“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的必要不充分条件，得集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }是集合{x |－2≤x ≤10}的真子集，当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝∅，即m <0时，符合题意； 当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ≠∅，即m ≥0时，可得⎩⎨⎧ m ≥01－m >－21＋m ≤10 ，或⎩⎨⎧m ≥01－m ≥－21＋m <10，解得0≤m ≤3.综上得，实数m 的取值范围是m ≤3.2．本例中，是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] 若p 是q 的充要条件，则{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝{} |x －2≤x ≤10， 即⎩⎨⎧1－m ＝－21＋m ＝10，由于该方程组无解，所以实数m 不存在．利用必要条件与充分条件求参数的取值范围 (1)化简p 与q ；(2)把p 与q 之间的关系转化为相应集合之间的关系； (3)利用集合之间的关系建立不等式； (4)解不等式求参数的取值范围．类型3 充要条件的探求与证明【例3】 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.[证明] ①必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即c a<0.②充分性：由ca<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝ca<0，所以两根异号．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．2、全称量词与存在量词知识点1 全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？[提示]该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．知识点2 存在量词命题与存在量词1．存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．[提示]是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”．知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∃x∈M，x不具有性质p(x)．2．存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∀x∈M，x不具有性质p(x)．如何对省略量词的命题进行否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．疑难解惑类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x －2y ＝10有整数解．[解] (1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题． (3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改表述为“存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立”．故为存在量词命题．1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．2．存在量词命题真假的判断要判断存在量词命题“存在x ∈M ，p ()x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得p ()x 0成立即可；如果在集合M 中，使得p ()x 成立的x 不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假： (1)∃x ∈Z ，x 3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (4)∀x ∈N ，x 2>0.[解] (1)因为－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题．。
数学高一必修一知识点北师大版
数学高一必修一知识点北师大版数学高一必修一知识点高一数学必修一是北师大版的教材，主要包含了代数、函数、数列和立体几何等内容。
这些知识点是学习高中数学的基础，并为以后更深入的学习奠定了坚实的基础。
下面将对其中的几个重要知识点进行介绍。
一、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数的运算规则和数关系。
在高一必修一的代数部分主要包含多项式的运算和因式分解。
1. 多项式的运算多项式是由若干项通过加法和减法连接而成的算式。
多项式的运算包括加法、减法和乘法，其中乘法也涉及到多项式与多项式的乘法和多项式与常数的乘法。
2. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个因子的乘积。
因式分解有基本公式法、公因式法和提取公因式法等方法。
二、函数函数是数学中一个重要的概念，函数是一种特殊的关系，它将自变量与因变量建立起一一对应的关系。
1. 函数的概念函数的概念包括定义域、值域、图像和性质等内容。
了解函数的概念是后续学习函数的基础。
2. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是高中数学中最基本的函数类型。
一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，形如y=kx+b；二次函数是指函数的最高次幂为2的函数，形如y=ax^2+bx+c。
三、数列数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列，在高一必修一的数列部分主要包括等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中每两项之间的差等于一个常数，这个常数称为公差。
等差数列有通项公式和求和公式。
2. 等比数列等比数列是指数列中每两项之间的比等于一个固定的常数，这个常数称为公比。
等比数列也有通项公式和求和公式。
四、立体几何立体几何是研究物体形状和空间关系的分支学科，在高一必修一的立体几何部分主要包括了点、线、面的性质和空间直角坐标系等内容。
1. 点、线、面的性质点、线、面是几何中最基本的几何元素，了解它们的性质对于后续学习立体几何很重要。
2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中引入直角坐标系，通过三个坐标轴确定一个点的位置。
高一北师大版历史必修一知识点总结
高一北师大版历史必修一知识点总结
高一北师大版历史必修一主要包括以下几个知识点：
1. 人类社会的起源和原始社会：介绍人类社会的起源，原始社会的特征和特点，以及
原始社会的文化和生活形态。
2. 文明的发展与都市的出现：介绍文明的发展历程，包括农业文明、手工业文明和城
市文明的形成过程，以及这些文明对人类社会的影响。
3. 奴隶社会的兴起和两河流域文明：讲述奴隶社会的兴起及其特点，重点介绍两河流
域文明的兴起和发展，包括苏美尔、巴比伦和亚述等古代文明。
4. 古代中国文明的形成和发展：讲述古代中国文明的形成过程，包括中华文明的起源、黄河流域的文明、中原王朝的兴起和秦汉时期的巩固发展。
5. 美索不达米亚文明：介绍古代美索不达米亚地区的文明，包括苏美尔、巴比伦和亚
述等文明的兴起和发展。
6. 古埃及文明：讲述古埃及文明的兴起和发展，包括法老王朝的建立和巩固，以及古
埃及文化的特点和影响。
7. 古印度文明：介绍古印度文明的兴起和发展，包括雅利安人的迁徙和吠陀时期的印
度文化，以及孔雀王朝的兴起和佛教的兴起。
8. 古希腊文明：讲述古希腊文明的兴起和发展，包括希腊城邦的兴起和希腊城邦的文
化和政治影响。
9. 古罗马文明：介绍古罗马文明的兴起和发展，包括罗马共和国和罗马帝国的兴起和发展，以及古罗马的文化和法律制度。
以上是高一北师大版历史必修一的主要知识点总结，希望对你有帮助。
北师大版高中一年级数学必修1全套复习资料(识点总结)
第一讲 集合1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 个.2．设集合{}062=+-=mx x x M ，则满足{}M M =⋂6,3,2,1的m 的取值范围是 3．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x A ,6sin π，则A 的非空真子集个数有 个 4．设集合}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合{A x x ∈|且B A x ∉}= 。
5．设集合}2|||{<-=a x x A ，}1212|{<+-=x x x B ，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 。
6．函数n y x =的x 、n 都属地集合{1,2,3,4,9}且x n ≠，若以所有的函数值为元素作为集合M ，则M中元素的个数为 。
7.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是 。
8.若{U n n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是3的倍数}，则C u (AUB)= ．9.若{}3A x R x =∈<，{}21x B x R =∈>，则A B = ．10. 已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围11.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12．已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x a x x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A B ；⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．13.}019|{22=-+-=a ax x x A }065|{2=+-=x x x B ,}082|{2=-+=x x x C（1）B A B A =，求a 的值；（2）φ≠B A ，且φ=C A ，求a 的值； （3）φ==C A B A ，求a 的值；14.}034|{2=+-=x x x A ,}01|{2=-+-=a ax x x B ,}01|{2=+-=mx x x C ，且A B A = ，C C A = ，求a ，m 的值.第二讲 求值域十二法⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
北师大版高一必修一知识点
北师大版高一必修一知识点北师大版高一必修一是指北京师范大学出版社出版的高中一年级必修一课程教材，包含了多个知识点，下面将逐一介绍其中的几个重要知识点。
第一章：地球与地图地球是人类赖以生存的家园，了解地球的基本特征是地理学的基础。
地图则是地理学研究中重要的工具。
1. 地球的形状与结构地球是一个近似于椭球的球体，由内核、地幔和地壳组成。
地球的自转和公转是造成昼夜交替和季节变化的原因。
2. 地球的坐标与经纬度经度和纬度是地球表面位置的测量单位。
经度表示东西方向的位置，以本初子午线为基准；纬度表示南北方向的位置，以赤道为基准。
3. 地图投影和地图符号地球的曲面无法完全展示在平面地图上，所以需要进行地图投影。
地图符号是用来表示地理要素的符号，例如山、河、道路等。
第二章：生物圈的多样性生物圈是地球上所有生物体的总和，包含了丰富多样的生物种类，了解生物圈的多样性对环境保护和生物学研究至关重要。
1. 生物的分类生物分类是按照生物的形态、结构、生活习性等特征，将生物划分为不同的类群。
常见的生物分类包括动物界、植物界、菌物界等。
2. 物种与生态位生物圈中的每一个生物种类都占据着特定的生态位，即其在生物圈中的特定角色。
物种的形成与进化是生物多样性的重要表现。
3. 生物资源与保护生物资源是人类利用的各类生物制品和生态服务。
由于人类活动的不合理开发和利用，生物资源正面临着严重的破坏和减少。
因此，生物保护显得尤为重要。
第三章：地球运动的基本形式地球运动是指地球自转和公转的规律，对地球上的气候、季节变化等有很大影响。
1. 地球的自转地球自转是指地球绕着自身的轴线旋转一周，完成一天的变化。
自转导致了地球的昼夜交替。
2. 地球的公转地球公转是指地球绕太阳运动，完成一年。
地球公转的轨道是近似于椭圆的，这也是季节变化的原因之一。
3. 地球运动对气候的影响地球运动带来了不同纬度地区的日照时间和太阳辐射强度的差异，从而影响了气候形成。
以上是北师大版高一必修一的几个重要知识点的简要介绍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修一基础知识一、语法填空1、 One morning, I was waiting at the bus stop, worried about①(be) late for school. There were many people waiting at the bus stop, ②some of them looked very anxious and③(disappoint). When the bus finally came, we all hurried on board.I got a place next ④the window, so I had a good view of the sidewalk.A boy on a bike ⑤my attention. He was riding beside the bus and waving his arms. I heard a passenger behind me shouting to the driver, but he refused⑥(stop) until we reached the next stop. Still, the boy kept⑦(ride). He was carrying something over his shoulder and shouting. Finally, when we came to the next stop, the boy ran up to the door of the bus. I heard an excited conversation. Then the driver stoop up and asked, “ Did anyone lose a suitcase at the last stop?”A woman on the bus shouted, “Oh dear!It is ⑧(I)”. She pushed her way to the driver and to the little boy. Everyone on the bus began talking about what the boy ⑨(do). And the passengers ⑩(sudden)became friendly to one another.答案：being ; and ; disappointed ; to ; caught ; to stop ; riding ; me/mine ; had done ; suddenly解析：1.考查非谓语动词。
介词about后使用v.-ing形式,因此用being。
2.考查连词。
根据语境可知上下句之间是顺承关系,故填and。
3.考查形容词。
本句的主语是some of them,所以使用形容词作表语。
4.考查介词。
next to...在旁边。
5.考查时态。
根据文章第一句“One morning, I was waiting at the bus stop...”可知本文叙述的是一件过去发生的事情,所以使用一般过去时。
6.考查非谓语动词。
refuse to do sth.拒绝做某事。
不定式作动词refused的宾语。
7.考查非谓语动词。
keep doing sth.不停地做某事。
8.考查时态。
本句是直接引语,是一个一般疑问句。
因为询问的是过去发生的事情,所以使用助动词did。
9.该句既可以用宾格me表示“是我(丢/手提箱)”,也可以用名词性物主代词mine表示“那是我的手提箱”。
10.考查副词。
此处应该使用副词来修饰句子的谓语动词,在句中作状语。
2、阅读下面材料,在空白处填入适当的内容(1个单词)或括号内单词的正确形式。
Stress is difficult to break away from. Some people enjoy a busy lifestyle and ①(be) able to deal well with problems in life. Some people feel tensed or stressed by ②slightest change from their set daily lives. Many people fall somewhere in between, ③may have periods when levels of stress increase.You may have many signs if y our stress builds up. For example, you won’t be able to sleep ④( proper) with worries goingthrough your mind. You can not be ⑤(patience) or you can beangry at small problems. You may not be able to concentrate because ⑥ many things going through your mind. Some may lose ⑦(they ) appetite (胃口) anddon’t feel like⑧(eat). Inaddition,you will be unable to relax,and always feel that something needs be done.Ongoing stress is thought to be bad for ⑨(healthy), although this is difficult to prove. Stress may also cause other physical illnesses in ways little understood. For example, it is thought that many physical problems ⑩(make) worse by an increased level of stress.答案：are; the; but; properly; patient; of; their; eating; health; are made解析：【语篇导读】压力难以逃避。
有些人过着忙碌的生活,却能够处理好生活中的种种危机。
有些人因为常规生活的一点改变,就变得紧张或感到压力。
人们应该尽力消除压力,避免其对健康的不良影响,1. are.考查时态句意:冇些人过着忙碌的生活,却能够处理好生活中的种种危机主语为some people,谓语动词用复数形式,且此处陈述客观事实,填are2. the.考查冠词.句意:有些人因为常规生活的一点点最为轻微的变化,就变得紧张或感到压力。
形容词最高级前用the.3, but.考查连词。
句意:许多人在这两者之间,但当压力的程度增加时,也会有一段时间(会感到压力)。
所填词前后句之间是转折关系,故填but。
由下句也可确认填but.4.properly.考查副词。
句意:例如,当你心中充满忧虑时,你可能不能正常人睡休息=修饰动词sleep,故填副间。
5. patient.考查形容词。
句意:你不可能会变得有耐心,或者对于细小的问题感到烦闷发怒。
所填词做表语,故填其形容词形式,根据语境可知此处表示“有耐心的'故填patient。
6. of.考查固定搭配。
because of因为……,是固定搭配.7. their.考查代词。
句意:一些人会没有胃口,不想吃饭.所填词做定语,修饰appetite,表示“他们的”,故填形容词性物主代词their。
8. eating.考查非谓语动词。
feel like doing sth.喜欢做某事,动名词做宾语。
9. health.考查名词。
句意:持续的压力被认为对健康有害,虽然这难以证明。
所填词做for 的宾语,故填名词形式。
10. are made.考查被动语态。
句意:例如,人们认为增加的压力使许多身体问题变得更糟糕。
make同pmblems之间存在被动关系。
3、阅读下面材料,在空白处填入适当的内容(1个单词)或括号内单词的正确形式。
When I was 18 ,one morning,my father told me to drive him into a town,about 18 miles away. I Had just learned to drive,so I ①(agree) with pleasure. First we came to the town. Then I took the car to a nearby garage to have it ②(wash) and promised to pickDad up at 4:00pm. ③I had a few hours to spend, I decided to go to the cinema. However, I became so interested in the ④(film) that I forgot the time. When the last film finished,it was 6:00 pm. I drove back quickly to meet Dad and made an excuse ⑤my being late.“I’m disappointed that you lied to me,Jack. I’m angry,notwith ⑥but with myself. I have failed because Pve brought up a son w ho can’t even tell the⑦(true) to his own father. Tm going towalk home now and think ⑧(serious) about where I have gonewrong all these years."Dad began walking along the road. I begged all theway, ⑨(tell) him how sorry I was. I drove behind him for 18 miles,at a speed of 5 miles ⑩hour. It was the most unforgettable lesson.I have never lied to him ever since.答案：agreed; washed; Because/Since/As; films; for; you; truth; seriously; telling; an解析：【语篇导读】本文介绍了作者在18岁时父亲给他上的一课。