高中北师版数学a版必修1(单元测试卷):第三章 章末检测 含解析
(常考题)北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .211x y x -=-与1y x =+B .y x =与log xa y a =(0a >且1a ≠)C .21y x =-与1y x =-D .lg y x =与21lg 2y x =2.函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是( ). A . B .C .D .3.若lg 2a =,lg3b =,则5log 12等于( )A .21a b a++B .21a b a+C .21a b aD .21a b a-4.形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数,记为F n 数学家费马根据F 0,F 1,F 2,F 3,F 4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F 5不是质数,请你估算F 5是( )位数(参考数据:lg2≈0.3010). A .8B .9C .10D .115.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t (单位:天)与病情爆发系数()f t 之间,满足函数模型:0.22(50)11()t f t e --=+,当()0.1f t =时,标志着疫情将要大面积爆发,则此时t 约为( )(参考数据: 1.13e ≈) A .38B .40C .45D .476.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=,且当[)1,1x ∈-时,()2f x x =,若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点,则实数a 的取值范围为( )A .()4,+∞B .()6,+∞C .()1,4D .()4,67.已知函数3()22x f x =+,则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( ) A .212B .214C .7D .1528.若13log 2a =,131()2b =,2log 3c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .b a c << B .b c a << C .a b c << D .c b a <<9.在数学史上,一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔(Napier ,1550-1617年).在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子:这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的和来实现. 比如,计算64×256的值,就可以先查第一行的对应数字:64对应6,256对应8,然后再把第一行中的对应数字加和起来:6+8=14;第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有:64×256=16384,按照这样的方法计算:16384×32768=( ) A .134217728B .268435356C .536870912D .51376580210.若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增,则实数m 的取值范围为( ) A .4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.已知1()44x f x x -=+-e ,若正实数a 满足3(log )14a f <,则a 的取值范围为( )A .34a >B .304a <<或43a >C .304a <<或1a > D .1a >12.设()lg (21)f xx a =-+是奇函数,则使f(x)<0的x 的取值范围是( ). A .(-1,0) B .(0, 1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)二、填空题13.下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ; ②函数(1)f x -的定义域是(1,3),则函数()f x 的定义域为(2,4);③若1log 12a >,则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭,; ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <),则0x y +<. 14.已知0a >,函数()y f x =,其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1,则a 的取值范围为_______.15.定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩,设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.16.函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 17.方程()()22log 972log 31xx+=++的解为______. 18.有以下结论:①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象; ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠),一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19.已知奇函数()()y f x x R =∈满足:对一切x ∈R ,()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时,()1xf x e =-,则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.20.如果()231log 2log 9log 64x x x f x =-+-,则使()0f x <的x 的取值范围是______.三、解答题21.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅,其中常数,a b 满足0ab ≠.(1)若0ab >,判断函数()f x 的单调性; (2)若0ab <,求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.22.计算11213321(4()40.1()ab a b ----⋅(其中0a >,0b >)23.已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.(1)求实数m ,n 的值;(2)若对任意实数x ,都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围.24.设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. (1)解不等式(26)(5)f a f a +; (2)已知对任意的实数()23,14m f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立,是否存在实数k ,使得对任意的[1,0]x ∈-,不等式()()142240x x xf f k ++--⋅>恒成立,若存在,求出k 的范围;若不存在,请说明理由.25.已知222log ()log log x y x y +=+,则x y +的取值范围是__________. 26.已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. (1)先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值,再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值; (2)求()f x 的定义域,并证明()f x 在定义域上恒正.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系,若定义域和对应关系均相同则为同一个函数,由此判断出正确选项.【详解】A .211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠,1y x =+的定义域为R ,所以不是同一个函数;B .y x =与log xa y a =的定义域均为R ,且log xa y a =即为y x =,所以是同一个函数; C.y =(][),11,-∞-+∞,1y x =-的定义域为R ,所以不是同一个函数;D .lg y x =的定义域为()0,∞+,21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠,所以不是同一个函数, 故选:B. 【点睛】思路点睛:同一函数的判断步骤:(1)先判断函数定义域,若定义域不相同,则不是同一函数;若定义域相同,再判断对应关系;(2)若对应关系不相同,则不是同一函数;若对应关系相同,则是同一函数.2.A解析:A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断. 【详解】由函数解析式可得:1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为:01y <≤, 由指数函数的性质知:在(),0-∞上单调递增;在()0,∞+上单调递减. 故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.3.C解析:C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得,5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关对数的运算,解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质,利用运算性质化简、运算,其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.4.C解析:C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯,进而即可判断出其位数. 【详解】 根据题意,53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯,因为0.63211010<<,所以5F 的位数是10. 故选:C 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是转化成对数运算,即3232lg 2210=.5.B解析:B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解:因为()0.1f t =,0.22(50)11()t f t e --=+,所以0.22(50)()0.111t f t e--==+,即0.22(50)011t e --=+,所以0.22(50)9t e --=,由于 1.13e ≈,故()21.12.29e e =≈,所以0.222().250t e e --=,所以()0.2250 2.2t --=,解得40t =. 故选:B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=,再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈,进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案,是基础题.6.D解析:D【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数,且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称,由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点,画出图象后,数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=,所以函数()f x 是周期为2的周期函数, 又函数()log 1a g x x=+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得, 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-,当[)1,1x ∈-时,()2f x x =,所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称,在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象,数形结合可得,若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点, 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点,则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩,解得()4,6a ∈. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.7.B解析:B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=,再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22xf x =+,所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+,()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=,再配对求和即解决问题. 8.C解析:C 【分析】由题容易看出,0a <, 01b <<,2log 31c =>,便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=,310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22log 3log 21c =>=,因此a b c <<. 故选:C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小,常与中间值0-1,1,来比较,再结合函数的单调性即可求解,属于中档题.9.C解析:C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字,进行相加运算,再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知,要计算16384×32768,先查第一行的对应数字: 16384对应14,32768对应15,然后再把第一行中的对应数字加起来:14+15=29,对应第二行中的536870912, 所以有:16384×32768=536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法,关键是认真审题,理解题意,属于简单题.10.C解析:C 【分析】求得函数()y f x =的定义域,利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间,根据题意可得出区间的包含关系,由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解不等式2450x x -++>,即2450x x --<,解得15x -<<,内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增,在区间()2,5上单调递减, 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数,由复合函数法可知,函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5,由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增,所以,32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩,解得423m ≤<. 因此,实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数,考查计算能力,属于中等题.11.C解析:C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,原不等式等价于3log 14a <,分类讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <, 由1log a a =,知3log log 4a a a <,当01a <<时,log a y x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<; 当1a >时,log ay x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >, 综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数,则a b <;若函数()f x 为减函数,则a b >.12.A解析:A 【解析】 试题分析:由()lg (21)fxx a =-+为奇函数,则()()f xf x -=-,可得1a =-,即()lg11f xxx =+-,又()0f x <,即lg110xx+-<,可变为0111x x <+-<,解得10x -<<.考点:函数的奇偶性,对数函数性质,分式不等式.二、填空题13.①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确;②则解析:①③④ 【分析】由指数函数的图象,函数的定义域,对数函数的性质判断各命题.①,令1x =代入判断,②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断,③由对数函数的单调性判断,④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,由它的单调性判断.【详解】①令1x =,则(1)4f =,即()f x 图象过点(1,4),①正确; ②13x <<,则012x <-<,∴()f x 的定义域是(0,2),②错;③1log 1log 2a a a ,∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩,∴112a <<.③正确; ④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <),得ln 2ln()2x y x y --<--,又1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数, ∴由ln 2ln()2x y x y --<--,得x y <-,即0x y +<,④正确. 故答案为:①③④【点睛】关键点点睛:本题考查指数函数的图象,对数函数的单调性,函数的定义域问题,定点问题:(1)指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1);(2)对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0),解题时注意整体思想的应用.14.【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上 解析:23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ,+上的最大值()f t ,最小值(1)f t +,则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为()f x 在区间[1]t t ,+内单调递减, 所以函数()f x 在区间[1]t t ,+上的最大值与最小值分别为()f t ,(1)f t +, 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭, 得1121a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭,整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 令2()(1)1h t at a t =++-,则()h t 的图象是开口向上,对称轴为11022t a=--<的抛物线,所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数,2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭,解得23a ≥, 所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. 故答案为:23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.关键点睛:由单调性判断出最大值和最小值,从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,根据二次函数性质求解. 15.【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解:在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为:【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析:21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解:()log log x xa a a a x a a x ---=-+, 1a >,()log x a g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数, 又1(1)log 10a g a a =-+=,当()0,1x ∈时,log 0x a a a x -+<, 当()1,x ∈+∞时,log 0xa a a x -+>, ,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥,21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩, 解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤, 故答案为:21(0,][log (2),)a a a++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查转化思想以及计算能力. 16.【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为:【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题 解析:[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式,再根据正弦函数性质得结果.()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >, 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈, 故答案为:[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题. 17.或【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程求得的值进一步求得值得答案【详解】由得即化为解得:或或故答案为:或【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解将对数方程转化为指数方程是解决本题的关 解析:0x =或1x =.【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x 的一元二次方程,求得3x 的值,进一步求得x 值得答案.【详解】由()()22log 972log 31x x +=++,得 ()()22log 97log 431x x +=+, 即()97431x x +=+,化为()234330x x -⋅+=, 解得:31x =或33x =,0x ∴=或1x =.故答案为:0x =或1x =.【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解,将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键,考查学生的计算能力,是基础题.18.②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项;②根据指对函数的对称性直接判断;③根据指数函数的图象特点判断选项;④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析:②③④【分析】①根据图象的平移规律,直接判断选项;②根据指对函数的对称性,直接判断;③根据指数函数的图象特点,判断选项;④先求22x x -+的范围,再和0比较大小.①根据平移规律可知x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象,所以①不正确;②根据两个函数的对称性可知函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称,正确;③如下图,设1a >,122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标,()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标,由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,同理,当01a <<时,结论一样,故③正确;④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=,所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方,故④正确.故答案为:②③④【点睛】思路点睛:1.图象平移规律是“左+右-”,相对于自变量x 来说,2.本题不易判断的就是③,首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义,再结合图象判断正误. 19.【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知:因为对一切故关于对称;又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为:【点睛】本题考查利用函数周期 解析:31e e --【分析】根据题意,求得()f x 的周期性,则()2019f 可求,再结合函数解析式,求得函数值即可.【详解】由题可知:因为对一切x R ∈,()()11f x f x +=-,故()f x 关于1x =对称;又因为()f x 是奇函数,则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-,故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=,故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-,又当[]0,1x ∈,()1x f x e =-,故()()201911f f e =-=-, 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为:31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值,属综合中档题;难点在于求得函数的周期. 20.【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故;当时无解综上所述故答案为:【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题 解析:81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可结合对数化简式将()f x 化简为()1log 2log 3log 4x x x f x =-+-,再解对数不等式即可【详解】由()2323231log 2log 9log 641log 2log 3log 4x x x x x x f x =-+-=-+- 31log 2log 3log 41log 8x x x x =-+-=+,由()0f x <得81log 03x -<, 即8log log 3x x x >, 当1x >时,83x <,故81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;当()0,1x ∈时,83x >,无解 综上所述,81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为:81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数化简公式的应用,分类讨论求解对数型不等式,属于中档题 三、解答题21.(1)当0,0a b >>时,函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时,函数()f x 在R 上是减函数;(2)当0,0a b <>时,则 1.5log ()2a x b>-;当0,0a b ><时,则1.5log ()2a x b<-. 【详解】 (1)当0,0a b >>时,任意1212,,x x R x x ∈<,则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+- ∵121222,0(22)0x x x x a a ⇒-<,121233,0(33)0x x x xb b ⇒-<,∴12())0(f x f x -<,函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时,同理,函数()f x 在R 上是减函数;(2)(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅> 当0,0a b <>时,3()22x a b >-,则 1.5log ()2a x b >-; 当0,0a b ><时,3()22x a b <-,则 1.5log ()2a x b<-. 22.85【分析】将小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,利用指数幂的运算性质化简求值.【详解】1113132211133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式131********()()(4)()410ab a b ----= 原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查指数幂的运算,要熟练掌握基本的运算法则和运算性质,小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,更有利于运算.23.(1)22m n =⎧⎨=⎩;(2)1λ≥-. 【分析】(1)根据()f x 是奇函数,即()()f x f x -=-即可求解实数m ,n 的值;(2)利用换元法,转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围.【详解】(1)当0x >时,()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦, 因为()f x 为奇函数,()()f x f x ∴-=-,()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦, 即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩,22m n =⎧∴⎨=⎩, 又当0x <时,同理可得22m n =⎧⎨=⎩, 综上:22m n =⎧∴⎨=⎩. (2)40x >,20x >, 原不等式化为11242222042x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令122x xt =+,则2t ≥, 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--,[)2,t ∈+∞ ①当22λ-≤时,即4λ≥-时,()()min 210g t g λ==+≥, 1λ∴≥-合理;②当22λ->时,即4<-λ时,()n 2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=,显然不成立. 综上实数λ的取值范围为:1λ≥-.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的单调性,奇函数的性质,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.24.(1)(0,1)[2,)a ∈⋃+∞(2)实数k 不存在,详见解析【分析】(1)分类讨论,利用对数函数的单调性,将不等式具体化,解不等式即可;(2)判断函数()f x 为增函数,将不等式具体化,再分离参数求最值,即可得出结论.【详解】解:(1)当01a <<时,有2650a a +>,解得02a <≤,即(0,1)∈a ;当1a >时,有0265a a <+,解得2a ,即[2,)a ∈+∞.综上可知,(0,1)[2,)a ∈⋃+∞.(2)由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭, 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>,即()()14224x x x f f k ++>-⋅,则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立, 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立,令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 则min 17()24g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,即74k <. 又由于[1,0]x ∈-时,240x k -⋅>恒成立,解得2k >,故符合题意的实数k 不存在.【点睛】本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.25.[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形,去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式,求解后即可得到x +y 的取值范围.【详解】222log ()log log x y x y +=+,x y xy ∴+=,0,0x y >>,2()2x y x y xy +∴+=≤,当且仅当2x y ==时,等号成立。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1.函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是( ). A . B .C .D .2.形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数,记为F n 数学家费马根据F 0,F 1,F 2,F 3,F 4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F 5不是质数,请你估算F 5是( )位数(参考数据:lg2≈0.3010). A .8B .9C .10D .113.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t (单位:天)与病情爆发系数()f t 之间,满足函数模型:0.22(50)11()t f t e --=+,当()0.1f t =时,标志着疫情将要大面积爆发,则此时t 约为( )(参考数据: 1.13e ≈) A .38 B .40C .45D .474.若x ,y ,z 是正实数,满足2x =3y =5z ,试比较3x ,4y ,6z 大小( )A .3x >4y >6zB .3x >6z >4yC .4y >6z >3xD .6z >4y >3x5.已知函数3()22x f x =+,则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( ) A .212B .214C .7D .1526.已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log 3b =,4log 7c =,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .a c b <<7.函数1()1x f x a +=-恒过定点( )A .(1,1)B .(1,1)-C .(1,0)-D .(1,1)--8.已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A .52a -B .2a -C .23(1)a a -+D .231a a --9.已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-,则()f x 是( ) A .偶函数,且在(0,10)是增函数 B .奇函数,且在(0,10)是增函数 C .偶函数,且在(0,10)是减函数D .奇函数,且在(0,10)是减函数10.若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .1m ≤-B .10m -≤<C .m 1≥D .01m <≤11.设()lg (21)fx x a =-+是奇函数,则使f(x)<0的x 的取值范围是( ).A .(-1,0)B .(0, 1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)12.函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()1+∞, B .()01,C .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .()3+∞, 二、填空题13.已知函数()2log f x x =,正实数m ,n 满足m n <,且()()f m f n =,若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2,则m n +=________.14.若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数,则a 的取值范围是____________.15.若()2lg 2lg lg x y x y -=+,则2x y=______.16.已知1122x x-+=22165x x x x --+-=+-______.17.关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.18.设函数()f x =,则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.19.已知2336m n ==,则11m n+=______. 20.已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ,若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上,则()2log 3f =________. 三、解答题21.已知函数21()log 1x f x x +=-. (1)求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数;(2)若当(1,)x ∈+∞时,2()()log (1)g x f x x =+-,求函数()g x 的值域. 22.计算:(1)1ln 224()9e-+; (2)()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.23.已知函数()log (1)a f x x =+,()log (1)(0a g x x a =->,且1)a ≠. (1)求函数()()f x g x -的定义域;(2)判断函数()()f x g x -的奇偶性,并说明理由;(3)当2a =时,判断函数()()f x g x -的单调性,并给出证明.24.已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,函数()2log g x x =. (1)若()22g mx x m ++的定义域为R ,求实数m 的取值范围;(2)当[]1,1x ∈-时,函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1,求实数a 的值. 25.已知函数()21log 1x f x x +=-, (1)求函数()y f x =的定义域; (2)证明:()y f x =是奇函数; (3)设()()()14h x f x f x =+,求函数()y h x =在[]3,7内的值域; 26.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x 时,()121xaf x =++. (1)求实数a 的值及()f x 的解析式; (2)求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A 解析:A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断. 【详解】由函数解析式可得:1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为:01y <≤, 由指数函数的性质知:在(),0-∞上单调递增;在()0,∞+上单调递减. 故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2.C解析:C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯,进而即可判断出其位数. 【详解】 根据题意,53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯,因为0.63211010<<,所以5F 的位数是10. 故选:C 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是转化成对数运算,即3232lg 2210=.3.B解析:B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解:因为()0.1f t =,0.22(50)11()t f t e --=+,所以0.22(50)()0.111t f t e--==+,即0.22(50)011t e --=+,所以0.22(50)9t e --=,由于 1.13e ≈,故()21.12.29e e =≈,所以0.222().250t e e --=,所以()0.2250 2.2t --=,解得40t =. 故选:B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=,再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈,进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案,是基础题.4.B解析:B 【分析】令235x y z t ===,则1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数,且235x y z ==, 令235x y z t ===,则1t >, 故2lg log lg 2t x t ==,3lg log lg 3t y t ==,5lg log lg 5tz t ==, ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=>⎪⋅⎝⎭,即36x z >; ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即64z y >, 即364x z y >>成立,故选:B. 【点睛】 关键点点睛:(1)将指数式转化为对数式; (2)利用作差法比较大小.5.B解析:B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=,再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+, 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+,()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++.故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=,再配对求和即解决问题. 6.D解析:D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >,然后根据1a <以及1c >得出c a >,即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =,42log 7log 7c ,函数2log y x =在()0,∞+上是增函数,所以b c >,因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,44log 7log 41c , 所以c a >, 综上所述,a c b <<, 故选:D. 【点睛】指数、对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,考查计算能力,是中档题.7.C解析:C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题,考查基本分析求解能力,属于基础题.8.B解析:B 【解析】试题分析:33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点:指数对数的计算9.C解析:C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称,再由奇偶性的定义判断奇偶性,根据复合函数的单调判断其单调性,从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩,得(10,10)x ∈-,故函数()f x 的定义域为()10,10-,关于原点对称,又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=,故函数()f x 为偶函数, 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-,因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减,lg y x =在()0,∞+上单调递增, 故函数()f x 在()0,10上单调递减,故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1)直接法, ()()f x f x -=±(正为偶函数,负为减函数);(2)和差法,()()0f x f x -±=(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,()()1f x f x -=±(1 为偶函数,1- 为奇函数) .10.B解析:B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点,转化为11()2xy -=与y m =-有公共点,结合函数图象,可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点,即11()2x y -=与y m =-有公共点,11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选:B 【点睛】本题考查了函数的交点问题,考查了运算求解能力和数形结合思想,属于基础题目.11.A解析:A 【解析】 试题分析:由()lg (21)fxx a =-+为奇函数,则()()f xf x -=-,可得1a =-,即()lg 11f x xx =+-,又()0f x<,即lg110xx+-<,可变为0111x x <+-<,解得10x -<<.考点:函数的奇偶性,对数函数性质,分式不等式.12.D解析:D 【分析】由题意可得可得1a >,且30a ->,由此求得a 的范围. 【详解】 解:函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,而函数()3t x ax =-在[]13,上单调递增,根据复合函数的单调性可得1a >,且30a ->,解得3a >,即()3a ∈+∞,故选:D . 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性,复合函数的单调性,属于基础题.二、填空题13.【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示:根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为:【点睛】本题解析:52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<,再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值,最后计算得到答案. 【详解】如图所示:根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<,所以201m m <<<.结合函数图象,易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值,所以()222log2f m m== 又01m <<,所以12m =, 再结合()()f m f n =,可得2n =,所以21522m n +=+=. 故答案为:52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法,是中档题.14.【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知:在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析:(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得,设2()3g x x ax a =-+,根据对数函数及复合函数单调性可知:()g x 在[)2,+∞上是单调增函数,且(2)0g >,所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩,所以44a -<≤. 故答案为: (4,4]-【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.15.16【分析】由通过对数运算得出由此再求的值要注意定义域【详解】∵∴解得∴故答案为:16【点睛】本题主要考查对数的运算还考查了运算求解能力属于基础题解析:16 【分析】由()2lg 2lg lg x y x y -=+,通过对数运算得出4x y =,由此再求2x y的值.要注意定义域. 【详解】∵()2lg 2lg lg x y x y -=+,∴2(2)2000x y xy x y x y ⎧-=⎪->⎪⎨>⎪⎪>⎩, 解得4x y =,∴42216x y==.故答案为:16 【点睛】本题主要考查对数的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.16.【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得:所以对两边同时平方得:则故答案为:【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析:12-【分析】对1122x x -+=13x x -+=,再平方可得227x x -+=,即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=,所以13x x -+=对13x x -+=两边同时平方得:2229x x -++=,227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为:12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值,进行整体变形处理,利用平方关系得出等量关系.17.【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为:【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析:(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-,得21220x xx ⎧->-⎨->⎩,解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为:(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法,考查了对数函数的性质,是基础题.18.【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析:【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值,由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====, ()()12x x x f x f x ∴+-=+===,因此,()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=.故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算,解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值,考查计算能力,属于中等题.19.【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析:12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解. 【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =,361log 3n=, 所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==, 故答案为:12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用,考查了学生的计算能力,属于中档题.20.2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为:【点睛】该题考查的是有关函解析:2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点,再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ,最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ,得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1), 将1,1x y ==代入()2xf x b =+,得121b +=,所以1b =-,所以()21xf x =-, 则2log 32(log 3)21312f =-=-=,故答案为:2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题,点在函数图象上的条件,已知函数解析式求函数值,属于简单题目.三、解答题21.(1){1x x <-或}1x >,证明见解析;(2)()1,+∞. 【分析】(1)本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域,然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数;(2)本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+,然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】(1)因为函数21()log 1x f x x +=-, 所以101xx +>-,解得1x <-或1x >, 则函数的定义域为{1x x <-或}1x >,且定义域关于原点对称, 因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-, 所以函数()f x 为奇函数.(2)22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+, 当1x >时,22log (1)log 21x +>=,函数2()log (1)g x x =+是增函数, 故当(1,)x ∈+∞时,()1g x >,函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛:判断或证明函数奇偶性,首先要判断函数的定义域是否关于原点对称,然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 22.(1)32;(2)3. 【分析】(1)利用指对数运算对数恒等式直接得解 (2)利用对数运算及换底公式得解. 【详解】(1)1ln 22433()22922e -++=+-=, (2)223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=【点睛】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=23.(1)(1,1)-;(2)是奇函数,理由见解析;(3)单调递增,证明见解析. 【分析】(1)由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩,解之即可;(2)由(1)知,函数()()f x g x -的定义域关于原点对称,再根据函数奇偶性的概念进行判断即可;(3)当2a =时,函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”:任取、作差、变形、定号、下结论,即可得证. 【详解】 (1)10x +>,10x ->,11x ∴-<<,∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.(2)由(1)知,函数()()f x g x -的定义域关于原点对称,()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--,∴函数()()f x g x -是奇函数.(3)当2a =时,函数()()f x g x -单调递增.理由如下: 当(1,1)x ∈-时,1()()log 1a x f x g x x+-=-, 设1211x x -<<<, 则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-,1211x x -<<<,2121x x x x ∴->-+,21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->, ∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-,即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-, 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-,故当2a =时,函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断、对数的运算法则,熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题. 24.(1)()1,+∞;(2)a =【分析】(1)由220mx x m ++>恒成立,得关于m 的不等式组,求解得答案;(2)令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得()223y t a a =-+-,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值,进一步求得实数a 的值. 【详解】(1)()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++, ∵()22g mx x m ++的定义域为R ,∴220mx x m ++>恒成立,当0m =时,不符合, 当0m ≠时,满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩,解得1m , ∴实数m 的取值范围为()1,+∞;(2)令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,当[]1,1x ∈-时,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时,可得当2t =时y 取最小值,且min 741y a =-=,解得32a =(舍去); ②当122a ≤≤时,可得当t a =时y 取最小值,且2min 31y a =-=,解得a =a =③12a <时, 可得当12t =时y 取最小值,且min 1314y a =-=,解得94a =(舍去),综上,a =【点睛】本题考查对数函数的定义域,考查不等式的恒成立问题,考查二次函数的最值,属于中档题.25.(1)见解析;(2)见解析;(3)[]4,5 【分析】 (1)由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域; (2)证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数;(3)先求出()f x 在[]3,7上的值域,令()t f x =,求()14h t t t=+的值域.【详解】 (1)由101x x +>-得:1x >或1x <-, ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞;(2)()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-, ()f x ∴为奇函数;(3)()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减,令()t f x =,则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 而()14h t t t =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域,奇偶性,考查了复合函数的单调性,值域求解,属于中档题.26.(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =-【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121xaf x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121xx x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x x x f x f x -----=--=-=-=+++. 故()2121x x f x -=+(2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+.当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==.因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-.故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1.设a ,b ,c 为正数,且3a =4b =6c ,则有( ) A .111c a b=+ B .221c a b=+ C .122c a b=+ D .212c a b=+ 2.已知函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 ( ) A .{}|0m m =B .{}0|m m ≤C .{}|0m m ≥D .{}|1m m =3.已知函数)()lnf x x =,则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()2021log 2020c f =的大小关系为( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .b c a >>4.设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根,则log a bm 的值为( )ABC.D.±5.已知:23log 2a =,42log 3b =,232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .b c a <<B .b a c <<C .c b a <<D .c a b <<6.已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log 3b =,4log 7c =,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .a c b <<7.已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ,则,,a b c 的大小顺序为( )A .a b c >>B .c a b >>C .b c a >>D .b a c >>8.已知2log 0.8a =,0.7log 0.6b =,0.60.7c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .b a c <<C .a c b <<D .b c a <<9.已知函数()sin 2f x x x =-,且()0.3231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则以下结论正确的是A .c a b >>B .a c b >>C .a b c >>D .b a c >>10.函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是( )A .32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,B .3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11.已知1()44x f x x -=+-e ,若正实数a 满足3(log )14a f <,则a 的取值范围为( )A .34a >B .304a <<或43a >C .304a <<或1a > D .1a >12.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是A .B .C .D .二、填空题13.已知函数()f x 的定义域是[1,1]-,则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.14.函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______.15.关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.16.设函数()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈,使得00(1)()(1)f x f x f +=+,则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”,则正实数a 的取值范围为____________.17.已知函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(m ,n ),且函数g (x )=mx 2﹣2bx +n 在[1,+∞)上单调递减,则实数b 的取值范围是________. 18.已知2336m n ==,则11m n+=______. 19.函数()212log 2y x x =-的定义域是______,单调递减区间是______.20.设函数()f x 满足()22221xf xax a =-+-,且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-,则实数a 的取值范围为______.三、解答题21.计算下列各式的值: (1)3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; (2)()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+.22.已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠),满足(2)(1)6f f +=; (1)求()f x 的解析式;(2)若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解,求m 的取值范围;(3)已知()g x 为奇函数,()h x 为偶函数,函数()()()f x g x h x =+;若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤,求a 的取值范围.23.计算:(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭; (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 24.已知函数()442xx f x =+;(1)若01a <<,求()()1f a f a +-的值; (2)求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 25.已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. (1)先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值,再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值; (2)求()f x 的定义域,并证明()f x 在定义域上恒正.26.已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <,命题:q 函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ,如果“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ,再根据换底公式表示111,,a b c,最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k , 则a =log 3k , b =log 4k , c =log 6k , ∴311log 3log k a k ==, 同理1log 4k b =,1log 6k c=, 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+, ∴1112c a b =+,即221c a b =+. 故选:B 【点睛】本题考查指对数运算,换底公式,以及对数运算的性质,关键是灵活应用对数运算公式,公式1log log a b b a=是关键. 2.A解析:A 【分析】若定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,可得0m ≥,若值域为实数集R ,令2x t m =+,则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+,可得0m ≤,再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,即2x m >-对于x ∈R 恒成立, 因为20x >,所以20x -<,所以0m ≥, 令2x t m =+,则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ,则2x t m =+的值域包括()0,∞+, 因为t m >,所以0m ≤, 所以0m =, 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立,分离参数m 求其范围,值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数,由t m >,所以0m ≤,再求交集.3.D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减,再利用指数对数函数的单调性求出120212020,20201log 2021, 2021log 2020的范围,即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立,()f x ∴定义域为R ,))()lnlnf x x x ===-,其中y x 单调递增,则()f x 单调递减,102021202020120>=,202020201log log 102021<=,2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=,b c a ∴>>.故选:D. 【点睛】关键点睛:本题考查利用函数的单调性比较大小,解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减,进而可利用单调性比较.4.D解析:D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果,然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-,根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果,则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a ba b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩,所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ,所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,又因为11log log log log a m m bmm a a b b==-,且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-,所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±,故选:D. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是在于换底公式的运用,将log a bm 变形为1log log m m a b-,再根据方程根之间的关系求解出结果.5.A解析:A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<,再由指数函数的性质可得102c <<,即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>,4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<, a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝,b c a ∴<<,故选:A 【点睛】方法点睛:本题考查了对数式、指数式的大小比较,比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较,也可以借助于中间值0和1进行比较,考查了运算求解能力与逻辑推理能力,属于常考题.6.D解析:D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >,然后根据1a <以及1c >得出c a >,即可得出结果.【详解】因为2log 3b =,42log 7log 7c ,函数2log y x =在()0,∞+上是增函数,所以b c >,因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,44log 7log 41c , 所以c a >, 综上所述,a c b <<, 故选:D. 【点睛】指数、对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,考查计算能力,是中档题.7.B解析:B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点,转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标,利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点, 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标, 如图所示:由图象可得:c a b >>, 故选:B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数,对数函数和幂函数的图象的应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.8.C解析:C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=,0.70.7log 0.6log 0.71b =>=,0.6000.70.71c <=<=,所以a c b <<,故选C.9.D解析:D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<,所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数,又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<,即0.3213log ln 232<<,所以由函数的单调性可得:0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>,应选答案D .10.B解析:B 【分析】先求函数的定义域,再利用复合函数的单调性同增异减,即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<,解得:14x -<<,2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成,ln y t =在定义域内单调递增,234t x x =-++对称轴为32x =,开口向下, 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增,在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减, 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选:B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间,注意先求定义域,属于中档题11.C解析:C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,原不等式等价于3log 14a <,分类讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <, 由1log a a =,知3log log 4aa a <, 当01a <<时,log a y x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<; 当1a >时,log ay x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >, 综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数,则a b <;若函数()f x 为减函数,则a b >.12.B解析:B【分析】利用对数函数的图象,以及函数的奇偶性和图象的变换,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,由函数()log a f x x =是增函数知,1a >, 当0x ≥时,函数(1)log (1)a y f x x =+=+,将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位,得到函数log (1)a y x =+的图象, 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+,所以函数(1)y f x =+为偶函数, 且图象关于y 轴对称, 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质,以及函数的图象变换的应用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.二、填空题13.【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为:【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析:(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-,即11x -≤≤,结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-,列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩,即可求解. 【详解】由题意,函数()f x 的定义域是[1,1]-,即11x -≤≤,则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义,则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ,解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩,解得01x <<,即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为:(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解,以及对数函数的性质的应用,其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法,以及对数函数的性质是解答的关键,着重考查推理与运算能力.14.【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解:则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减;在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析:()1,1-【分析】首先求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解:()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++,()3,1x ∈-,则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增,在()1,1-上单调递减;12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为:()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算,属于基础题.15.【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为:【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析:(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-,得21220x xx ⎧->-⎨->⎩,解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为:(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法,考查了对数函数的性质,是基础题.16.【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为:【点睛】思路点睛:本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析:[3【分析】首先根据定义,列出()()()0011f x f x f +=+的等式,转化为()()20202111x a x +=++,再根据分离常数和换元法,求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”,∴存在实数00x >,使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >,()()222002111a a x x ∴=+++,()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++, 设0422x t +=>,024t x -∴=, 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ,20444t t ++≥=,当t =即32a ≤<. 故答案为:)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛:本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型,首先正确利用新定义,并正确表示()()20202111x a x +=++,利用01x >,转化为求函数的值域,即求a 的取值范围.17.【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f (x )=loga (x+2)+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g (x )=-x2﹣2bx+3因为g (x )=-x2﹣2 解析:[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(1,3)-, 所以m =-1,n =3,所以g (x )=-x 2﹣2bx +3,因为g (x )=-x 2﹣2bx +3在[1,+∞)上单调递减, 所以对称轴1x b =-≤, 解得1b ≥-, 故答案为:[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛:本题考查了对数型函数过定点,可求出,m n 的值,利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18.【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析:12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解. 【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =,361log 3n=, 所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==, 故答案为:12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用,考查了学生的计算能力,属于中档题.19.【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析:()(),02,-∞+∞ ()2,+∞【分析】由表达式可知220x x ->,解出对应x ,即可求解定义域,再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间 【详解】由题可知,()()220,02,x x x ->⇒∈-∞+∞,()212log 2y x x =-可看作12log y t =,22t x x =-,12log y t =在定义域内为减函数,根据复合函数增减性,当()2,x ∈+∞,内层函数为增函数,则()212log 2y x x =-在对应区间为减函数,故函数()212log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞,单调递减区间是()2,+∞故答案为:()(),02,-∞+∞;()2,+∞【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间,属于基础题20.【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数解析:332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法,可得()2221g x x ax a =-+-,然后采用等价转换的方法,可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-,最后根据二次函数的性质,可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==,所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =,且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+可得312a ≤≤或322a +≤≤所以332,22a ⎡⎤⎡∈⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为:332,22⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用,难点在于使用等价转换思想,使问题化繁为简,属中档题.三、解答题21.(1)1927-;(2)116. 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求解; (2)利用对数的运算法则化简求解. 【详解】 (1)()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦8194412727=-+-=-. (2)()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛:指数对数的运算化简,一般先观察指数对数的形式,再利用合适的运算法则化简求解.22.(1)()2x f x =;(2)[2,0]-;(3)17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【分析】(1)根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值,即可求解出()f x 的解析式;(2)采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈,将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起,由此求解出结果;(3)先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式,然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦,采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值,从而求解出a 的取值范围.【详解】(1)因为(2)(1)6f f +=,所以260,2a a a +-==或3a =-(舍去),所以()2x f x =;(2)由(1)知,()2x f x =,所以()222222x x x xm =-=-,令2,[1,2]xt t =∈,令2(),[1,2]F t t t t =-∈,所以()F t 的对称轴为12t =,且()F t 为开口向下的二次函数,所以()F t 在[]1,2上单调递减,所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====,所以m 的取值范围为[2,0]-; (3)因为()g x 为奇函数,()h x 为偶函数,所以()(),()()g x g x h x h x -=--=.由题()()()f x g x h x =+知,2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩,即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤,得()()221222202x xxx a ---++≤,易知()22222212211222222222222xx xxx x x x x x x x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦. 令12,[1,2]2x xt x =-∈,则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭, 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤,所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛:不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法: (1)分类讨论法:根据参数的临界值作分类讨论;(2)分离参数法:将自变量和参数分离开来,自变量部分构造新函数,分析新函数的最值与参数的关系. 23.(1)10;(2)3. 【分析】(1)根据根式定义化根式为分数指数幂,再由幂的运算法则计算; (2)由对数运算法则计算. 【详解】 (1)解:原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解:原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化,考查幂和对数的运算法则,掌握幂与对数运算法则是解题关键.24.(1)1;(2)1010. 【分析】(1)根据4()42xx f x =+的表达式,求出()(),1f a f a -的表达式,再进行分式通分运算,可得()()11f a f a +-=. (2)设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值.【详解】 (1)4()42xxf x =+,x ∈R . ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++,(2)设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两式相加得:12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由(1)得:20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算,分式运算,利用函数的性质进行式子求值,考查运算求解能力.25.(1)0;0,(2)定义域是(0,1)(1,)⋃+∞,见解析 【分析】(1)先求出1(2)02f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭,再证明1()0f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即得解;(2)先求出函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞,再分类讨论证明()f x 在定义域上恒正.【详解】 (1)1(2)02f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 对任意(0,1)(1,)x ∈+∞,111111()ln ln 11221f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭1111111ln ln ln 1ln 121212121x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=.所以[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111(11)(12)(29)(66)011122966f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (2)由题得0x >且1x ≠,所以函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞,1()ln 2(1)x f x x x +=-.当(0,1)x ∈时,10x -<,ln 0x <,10x +>,所以()0f x >; 当(1,)x ∈+∞时,10x ->,ln 0x >,10x +>,所以()0f x >. 综上,()f x 在定义域上恒正. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法,考查函数值的求法,考查函数值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26.[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围,再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假,然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论,进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >(0a >且1a ≠)的解集是{}0x x <,所以:01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ,等价于x R ∀∈,210ax +>.(i )当0a =时,不等式10+>在R 上不恒成立;(ii )当0a ≠时,0240a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得12a >.即1:2q a >.如果p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,则p 真q 假,或p 假q 真,若p 真q 假,则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩,可得102a <≤;若p 假q 真,则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或,可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以,实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数,考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题,考查运算求解能力,属于中等题.。
2019-2020学年高中北师版数学A版必修1(45分钟课时作业与单元测试卷):单元测试三 Word版含解析
令t=3x>0,问题等价于t2-(1+k)t+2>0对任意的t>0恒成立.
令g(t)=t2-(1+k)t+2,其图象的对称轴为直线t= .
当 ≤0,即k≤-1时,g(t)在(0,+∞)上单调递增,g(0)=2>0,符合题意;
当 >0,即k>-,需满足 ,
④当 ,即1<x< 时,logx <0,即f(x)<g(x);
⑤当 时,无解.
综上所述:当x∈(0,1)∪ 时,f(x)>g(x);当x= 时,f(x)=g(x);当x∈ 时,f(x)<g(x).
18.定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)= ,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
A.[-2,+∞)B.R
C.[0,+∞)D.(0,4]
答案:A
解析:令t=4x-x2,则t=-(x-2)2+4,
∴0<t≤4,而y=log t在(0,4]上为减函数,
∴t=4时,ymin=log 4=log ( )-2=-2,
∴y≥-2,即值域为[-2,+∞),故选A.
10.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图像只可能是图中的()
解得-1<k<-1+2 .
综上所述,实数k的取值范围是(-∞,-1+2 ).
∴f(x)的定义域为(-1,1).
任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=lg -lg .
∵-1<x1<x2<1,∴0<x1+1<x2+1,
∴-1+ >-1+ ,
∴lg >lg ,
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1.设a ,b ,c 为正数,且3a =4b =6c ,则有( ) A .111c a b=+ B .221c a b=+ C .122c a b=+ D .212c a b=+ 2.函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是( ). A . B .C .D .3.若lg 2a =,lg3b =,则5log 12等于( )A .21a b a++B .21a b a+C .21a b aD .21a b a-4.定义:若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ,且,A B 两点关于原点对称,则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”,点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”,已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,则该函数的“镜像点对”有( )对.A .1B .2C .3D .45.已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ). A .()0,1B .10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.设()|lg |f x x =,且0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,则( ) A .(1)(1)0a c --> B .1ac >C .1ac =D .01ac <<7.设52a -=,5log 2b =,8log 5c =,则( ) A .a b c <<B .b c a <<C .c b a <<D .c a b <<8.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,131(())4a f =,37(log )2b f =,13(log 5)c f =,则a ,b,c 的大小关系为( )A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>9.函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()1+∞, B .()01,C .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .()3+∞, 10.若1a b >>,lg lg P a b =⋅,1(lg lg )2Q a b =+,lg()2a bR +=,则( ) A .R P Q <<B .P Q R <<C .Q P R <<D .P R Q <<11.如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数,那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是( )A .B .C .D .12.对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知a b c 、、是不为1的正数,且0lga lgb lgc ++=,则 111111lgb lgclgc lgalgalgbabc+++⨯⨯的值为_____14.已知函数f (x )=3x +x ,g(x )=log 3x +2,h (x )=log 3x +x 的零点依次为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系是________.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x 时,2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 16.已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数,则m 的取值范围是__.17.已知0x >且1x ≠,0y >且1y ≠,方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩,则()1212lg x x y y =________. 18.已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是_______.19.已知函数2()log x f x =,实数,a b 满足0a b <<,且()()f a f b =,若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2,则1b a+=________. 20.设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+,则x y +的取值范围是_____.三、解答题21.如图,过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ,B 作x 轴的垂线,垂足分别为M (,0)a ,(,0)N b (1)b a >>,线段BN 与函数()log m g x x =,(1)m c >>的图像交于点C ,且AC 与x 轴平行.(1)当2,4,3a b c ===时,求实数m 的值;(2)当2b a =时,求2m cb a-的最小值; (3)已知()x h x a =,()xx b ϕ=,若1x ,2x 为区间(),a b 内任意两个变量,且12x x <,求证:[][]21()()h f x f x ϕ<.22.已知函数()2log f x x =,()241g x ax x =-+.(1)若函数()()y f g x =的值域为R ,求实数a 的取值范围;(2)函数22()()()h x f x f x =-,若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22t h x k >⋅-成立,求实数k 的取值范围. 23.已知函数()11x af x e =++为奇函数. (1)求a 的值,并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数; (2)求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.24.已知函数()3lg3xf x x+=-. (1)求函数()f x 的定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.25.设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠,且(1)2f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域; (2)求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值. 26.设函数()log (1)a f x ax =-,其中01a << (1)证明()f x 是1(,)a-∞上的增函数; (2)解不等式()1f x >.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ,再根据换底公式表示111,,a b c,最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k , 则a =log 3k , b =log 4k , c =log 6k , ∴311log 3log k a k ==, 同理1log 4k b =,1log 6k c=, 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+, ∴1112c a b =+,即221c a b =+. 故选:B 【点睛】本题考查指对数运算,换底公式,以及对数运算的性质,关键是灵活应用对数运算公式,公式1log log a b b a=是关键. 2.A解析:A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断. 【详解】由函数解析式可得:1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为:01y <≤,由指数函数的性质知:在(),0-∞上单调递增;在()0,∞+上单调递减. 故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.3.C解析:C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得,5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---, 故选:C .【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关对数的运算,解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质,利用运算性质化简、运算,其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.4.C解析:C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知,函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ,且,A B 两点关于原点对称,则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”,因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-,即3xy -=,()0x >,作函数3xy -=,()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下:由图像可知两图象有三个公共点,即该函数有3对“镜像点对”. 故选:C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义,寻找对称点对,探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数,通过数形结合,即突破难点.5.C解析:C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数,所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩,解得1195a ≤<.故选:C 【点睛】易错点点睛:容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.6.D解析:D 【分析】作出()f x 的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】∵函数()|lg |f x x =,作出()f x 的图象如图所示,∵0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,∴0<a <1,c >1,即f (a )=|lga |=﹣lga ,f (c )=|lgc |=lgc ,∵f (a )>f (c ), ∴﹣lga >lgc ,则lga +lgc =lgac <0,则01ac <<. 故选:D .【点睛】关键点点睛:利用对数函数的图象和性质,根据条件确定a ,c 的取值范围.7.A解析:A 【分析】由551112,2332log -<<<,8152log >,即可得出a ,b ,c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<,11325551152532log log log =<<=,12881582log log >=,a b c ∴<<. 故选:A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性,对数的运算性质,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.8.C解析:C 【分析】偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=,利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=,∵1333170()1log log 542<<<<,133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选:C 【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较,属于基础题.9.D解析:D 【分析】由题意可得可得1a >,且30a ->,由此求得a 的范围. 【详解】 解:函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,而函数()3t x ax =-在[]13,上单调递增,根据复合函数的单调性可得1a >,且30a ->,解得3a >,即()3a ∈+∞,故选:D . 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性,复合函数的单调性,属于基础题.10.B解析:B 【分析】利用对数函数lg y x =,结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>,则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此,P Q R <<故选:B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小,应用函数思想构造对数函数,并利用其单调性和基本不等式比较大小11.C解析:C 【分析】由题意求得1a >,再结合对数函数的图象与性质,合理排除,即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数,可得函数xy a =为增函数,所以1a >, 所以函数log (1)a y x =-+为减函数,可排除B 、D ; 又由当0x =时,log (01)0a y =-+=,排除A. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质,以及指数函数与对数的关系是解答的关键,着重考查推理与运算能力.12.A解析:A 【分析】由对数函数,对a 分类,01a <<和1a >,在对数函数图象确定的情况下,研究二次函数的图象是否相符.方法是排除法. 【详解】由题意,若01a <<,则log a y x =在()0+∞,上单调递减, 又由函数()21y a x x =--开口向下,其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧,排除C ,D.若1a >,则log a y x =在()0+∞,上是增函数, 函数()21y a x x =--图象开口向上,且对称轴()121x a =-在y 轴右侧,因此B 项不正确,只有选项A 满足. 故选:A .【点睛】本题考查由解析式先把函数图象,解题方法是排除法,可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象,排除错误选项即可得.二、填空题13.【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为:【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析:11000【分析】根据对数运算公式,可以将0lga lgb lgc ++=转化,得到a ,b ,c 的等量关系,将此等量关系代入所求式子即可解决. 【详解】由0lga lgb lgc ++=, 可得1bc a =,1ab c=,1ac b =,111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=.11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为:11000【点睛】本题考查对数的运算,对数恒等式,属于基础题.14.【解析】画出函数的图象如图所示:观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛:函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析:a b c << 【解析】画出函数3xy =,3log y x =,y x =-,2y =-的图象,如图所示:观察图象可知,函数()3xf x x =+,3()log 2g x x =+,3()logh x x x =+的零点依次是点A ,B ,C 的横坐标,由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛:函数的零点与方程根的分布问题,解题时常用数形结合思想,对于方程()()0f x g x -=的根,可分别画出()f x 与()g x 的图象,则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15.【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下:由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析:21-【分析】画出分段函数的图像,根据图像,结合解析式,进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式,以及函数为奇函数,作图如下:由图容易知,因为31y x =--在区间[)1,+∞上,关于3x =对称, 且31y x =---+在区间(],1-∞上,关于3x =-对称, 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和,即为当()0,1x ∈时的根, 此时()21log 12x +=,解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点,涉及函数图像的绘制,函数奇偶性的应用,属函数综合题.16.【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析:[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围.【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.17.【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为:【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析:6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,分别消去5log x 和8log y ,可得出二次方程,利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值,进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②, 由①得58log 4log x y =-,代入②并整理得()288log 2log 40y y --=,由韦达定理得8182log log 2y y +=,即()812log 2y y =,则261282y y ==,()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=,6125x x ∴=,因此,()61212lg lg106x x y y ==.故答案为:6. 【点睛】本题考查了对数的换底公式,对数的运算性质,韦达定理,考查了计算能力,属于中档题.18.【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足(1)当时函数单调递增;则(2)当时函数单调递增;则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析:23a <≤【分析】根据分段函数单调性,列出各段为增函数的条件,并注意两段分界处的关系,即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增 则需满足(1)当2x <时,函数()f x 单调递增;则2a > (2)当2x ≥时,函数()f x 单调递增;则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =,满足()21221a a --⨯+≤,即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为:23a <≤ 【点睛】关键点睛:本题考查由函数的单调性求参数范围,解答本题的关键是分段函数在上单调递增,从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势,即函数()f x 在[)2+∞,上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤,这是容易忽略的地方,属于中档题.19.4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示:根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为:4【点睛】解析:4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<,再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值,最后计算得到答案. 【详解】如图所示:根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<,所以201a a <<<.结合函数图象,易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值,所以()222log2f aa ==又01a <<,所以12a =, 再结合()()f a f b =,可得2b =,所以2241b a+=+=. 故答案为:4 【点睛】关键点睛:解题关键在于,作出对数函数2()log x f x =的图象,得到01a b <<<,进而求解,属于中档题20.【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解:正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析:[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=,再由2220x xy y -+,得到2224x xy y xy ++,所以2()4x y xy +,设x y a +=,由此可求出x y +的取值范围.【详解】 解:正数x ,y 满足222log (3)log log x y x y ++=+,22log (3)log x y xy ∴++=,3x y xy ∴++=,又2220x xy y -+,所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++,所以2()4x y xy +,由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++,设x y a +=即2412a a +,解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞.根据定义域x ,y 均大于零,所以x y +取值范围是[)6,+∞. 故答案为:[)6,+∞. 【点睛】本题考查对数的运算法则,基本不等式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用,属于中档题.三、解答题21.(1)9;(2)1-;(3)证明见解析. 【分析】(1)将2a =,4b =,3c =代入,然后分别得出点A ,C 的坐标,使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值;(2)用含a ,b 的式子表示出点A ,B ,C 的坐标,再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ,b ,c 的关系式,代入2m cb a-中,运用函数知识处理最值即可; (3)当12a x x b <<<,且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<,则有2log log c c x b a a <,1log logcc a x b b <成立,又log log log log c c c c b a a b =即log log log log c c b a c c a b =,则可证明出log log c c b a a b =,则可证明出21log log c c x x a b <,即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.【详解】解:(1)由题意得A 3(2,log 2),B 3(4,log 4) ,C (4,log 4)m , 因为AC 与x 轴平行,所以3log 4log 2m = 所以9m =.(2)由题意得A (,log )c a a ,B (,log )c b b ,C (,log )m b b 因为AC 与x 轴平行,所以log log m c b a =, 因为2b a =,所以2m c =.所以22222(1)1m c c c cb a a a a-=-=--,所以1c a =时,达到最小值1-,(3)证明:因为12a x x b <<<,且1c >, 所以12log log log log c c c c a x x b <<<, 又因为1a >,1b >, 所以2log log c c x b a a <,1log logcc a x b b <,又因为log log log log c c c c b a a b =, 所以log log log log c c ba c c ab =,所以log logc c b a a b =,所以21log log c c x x a b <,即21[()][()]h f x f x ϕ<. 22.(1)[]0,4a ∈;(2)2k <. 【分析】(1)由()2log f x x =,()()y f g x =的值域为R ,知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷,分类讨论参数a 的正负,再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解; (2)对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解,求得()min h x ,再结合函数单调性即可求解【详解】(1)0a <时,内函数有最大值,故函数值不可能取到全体正数,不符合题意; 当0a =时,内函数是一次函数,内层函数值可以取遍全体正数,值域是R ,符合题意; 当0a >时,要使内函数的函数值可以取遍全体正数,只需要函数最小值小于等于0, 故只需0≥,解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈;2()由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立, 则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解,即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解, 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭,综上,实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛:本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围,由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围,解题关在在于: (1)()()()log a f x g x =值域为R ,()g x 值域范围的判断; (2)全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化. 23.(1)2a =-;证明见解析;(2)[]3,1-. 【分析】(1)根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数; (2)利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤,结合一元二次不等式的解法,求得不等式的解集. 【详解】(1)由已知()()f x f x -=-, ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭, ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++, 解得2a =-. ∴2()11xf x e -=++. 证明:12,x x R ∀∈,且12x x <,则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++,∵12x x <,∴12x x e e <,∴210x x e e ->,又110x e +>,210x e +>, ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++,∴()()12f x f x <, 故函数()f x 在R 上是增函数. (2)∵()2(23)0f t f t +-≤,∴()2(23)f tf t ≤--,而()f x 为奇函数, ∴()2(32)f tf t ≤-,∵()f x 为R 上单调递增函数, ∴223t t ≤-+, ∴2230t t +-≤, ∴31t -≤≤,∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛:根据奇函数的定义求出a ,利用定义证明函数为增函数,可将()2(23)0f t f t +-≤转化,脱去“f ”,建立不等式求解,考查了转化思想,属于中档题.24.(1)()3,3-;(2)()f x 为奇函数,证明见解析. 【分析】(1)利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域;(2)先判断定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,分析()(),f x f x -之间的关系,由此判断出()f x 的奇偶性. 【详解】 (1)因为303xx+>-,所以()()330x x -+<, 所以{}33x x -<<,所以()f x 的定义域为()3,3-; (2)()f x 为奇函数,证明:因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称,且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭, 所以()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛:判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下:(1)先分析()f x 的定义域,若()f x 定义域不关于原点对称,则()f x 为非奇非偶函数,若()f x 的定义域关于原点对称,则转至(2);(2)若()()f x f x =-,则()f x 为偶函数;若()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数. 25.(1)2a =;(1,3)-;(2)2. 【分析】(1)由函数值求得a ,由对数的真数大于0可得定义域;(2)函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦,由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值. 【详解】 解:(1)(1)2f =,log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==,解得2(0,1)a a a =>≠,由1030x x +>⎧⎨->⎩,得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-,.(2)22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时,()f x 是增函数;当3[1,]2x ∈时,()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质,掌握复合函数的单调性解题关键:(前提条件:在函数定义域内)26.(1)见解析;(2)11{|}a x x a a-<< 【分析】(1)根据函数单调性的定义及对数函数的性质,即可证出结果;(2)根据函数()f x 的单调性,可将不等式()1f x >转化为一元一次不等式,即可得到原不等式的解集. 【详解】(1)由10ax ->,01a <<得1x a<,所以()f x 的定义域为1(,)a -∞,设1x ,2x 为区间1(,)a -∞的任意两个值,且211x x a<<,则 211ax ax ->->-,所以21110ax ax ->->,又01a <<,所以21log (1)log (1)a a ax ax -<-,即21()()f x f x <, 所以()f x 是1(,)a-∞上的增函数.(2)由()1f x >得log (1)1log a a ax a ->=,又01a <<, 所以01ax a <-<,所以11ax a -<-<-,所以11a x a a-<<, 所以不等式()1f x >的解集为11{|}a x x a a-<<. 【点睛】本题主要考查对数型复合函数单调性的证明及对数不等式的解法,属于中档题.。
【创新设计】高中数学(北师大版必修一)配套练习:第三章章末检测A(含答案解析)
第三章章末检测 (A)(时间: 120 分钟满分:150分)一、选择题 (本大题共 12 小题,每题 5 分,共60 分)142)1.若 a< ,则化简(2a- 1) 的结果是 (2A.2a- 1 B .- 2a- 1C.1- 2a D .- 1- 2a2.函数 y= lg x + lg(5 - 3x) 的定义域是 ()55A. [0,3)B.[0,3]55C.[1,3) D .[1 ,3]3.函数 y= 2+ log 2(x2+ 3)(x ≥1)的值域为 ()A. (2,+∞ )B. (-∞, 2)C.[4,+∞ )D. [3,+∞)x2y11)4.已知 2 =7=A,且+=2,则 A 的值是 (x yA. 7 B . 72C.±7 2D. 985.若 a>1,则函数y=a x与 y= (1- a)x2的图像可能是以下四个选项中的 ()6.以下函数中值域是(1,+∞)的是 ()1 |x-1|A. y= (3)3B. y=x41 x+ 3(1 x+ 1C. y= ( ))42D. y= log 3(x2- 2x+ 4)7.若 0<a<1,在区间 (- 1,0)上函数 f(x) =log a(x+ 1)是 () A.增函数且f(x)>0B.增函数且 f(x)<0C.减函数且 f(x)>0D.减函数且 f(x)<0log3x, x>0,则 f(f(18.已知函数 f(x) =x, x≤0))等于 ()291A. 4 B. 41C.- 4D.-49.如图为函数y= m+ log n x 的图像,此中m, n 为常数,则以下结论正确的选项是() A. m<0, n>1B. m>0 , n>1C. m>0,0<n<1D. m<0,0<n<110.以下式子中建立的是 ()A. log0.44<log 0.46 B . 1.013.4>1.01 3.5C. 3.50.3<3.40.3 D . log 76<log 6711.方程 log 2x+ log2(x- 1)= 1 的解集为M,方程 22x+1x+4=0的解集为 N,那么- 9·2M与N的关系是()A.M=N B.M NC.M N D.M∩N= ?12.设偶函数f(x) =log a|x+ b|在 (0,+∞)上拥有单一性,则 f(b- 2)与 f(a+ 1)的大小关系为 ()A. f(b- 2)= f(a+ 1) C. f(b - 2)<f(a + 1)B . f(b- 2)>f(a + 1) D .不可以确立题号 1 2 3 4 567 89 1011 12答案二、填空题 (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)log34= ______________.13.log 98x -1P ,则 P 点的坐标是 ________.14.函数 f(x) =a + 3 的图像必定过定点315.设 log a 4<1,则实数 a 的取值范围是 ________________ .16.假如函数 y = log a x 在区间 [2,+ ∞)上恒有 y>1,那么实数 a 的取值范围是 ________.三、解答题 (本大题共6 小题,共 70 分)1- 2117. (10 分 )(1) 计算: 0- 0 2 4;(- 3) +(-2) - 161,b = 312(2)已知 a =1,求 [ a 2b ab 22 ·a13 ]2 的值.2 3218. (12 分 )(1) 设 log a 2= m , log a 3=n ,求 a 2m +n 的值;lg 5(2)计算: log 49- log 212+ 102.xa19. (12 分 )设函数 f(x) = 2 + 2x - 1(a 为实数 ).(1)当 a = 0 时,若函数 y = g(x) 为奇函数, 且在 x>0 时 g(x) = f(x) ,求函数 y =g(x) 的分析式;(2)当 a<0 时,求对于 x 的方程 f(x) = 0 在实数集 R 上的解.x+ 120. (12 分 )已知函数f(x) = log a x-1(a>0 且 a≠ 1),(1)求 f(x) 的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单一性.21. (12 分 )已知- 3≤log1x≤-3,求函数f(x) = log 2x·log2x的最大值和最小值.224222. (12 分 )已知常数a、 b 知足 a>1>b>0 ,若 f(x) = lg(a x- b x).(1)求 y=f(x) 的定义域;(2)证明 y= f(x) 在定义域内是增函数;(3)若 f(x) 恰在 (1,+∞)内取正当,且f(2) = lg 2 ,求 a、 b 的值.第三章章末检测 (A)1. C 1,∴ 2a - 1<0.[ ∵ a<2于是,原式=42(1- 2a) = 1- 2a.]lg x ≥0,x ≥1,x>0 ,2. C [ 由函数的分析式得:x>0,即55- 3x>0 ,x< 3.5所以 1≤x<3.]3. C [ ∵ x ≥ 1,∴ x 2+ 3≥4,∴ log 2(x 2+3)≥ 2,则有 y ≥ 4.]4. B [ 由 2x = 72y = A 得 x =log 2A , y =12log 7 A ,则 1+1=1 +2 = log A 2+ 2log A 7= log A 98= 2, x ylog 2A log 7AA 2 =98.又 A>0 ,故 A = 98= 72.]5. C [ ∵ a>1,∴ y = a x 在 R 上是增函数,又 1-a<0,所以 y = (1- a)x 2 的图像为张口向下的抛物线. ]6. C [A 选项中,∵ |x - 1| ≥0,∴ 0<y ≤1;B 选项中, y = 13 = 1 ,∴ y>0 ;x 44 x 3C 选项中 y = [(1 x 23(1 x1 x>0,∴ y>1 ;) ] + 2 )+1,∵( ) 22D 选项中 y = log 3[(x -1) 2+ 3] ≥1.]7.C[ 当- 1<x<0 ,即 0<x + 1<1 ,且 0<a<1 时,有 f(x)>0 ,清除 B 、D. 设 u = x + 1,则u 在 (- 1,0)上是增函数,且 y = log a u 在 (0,+∞ ) 上是减函数,故 f(x) 在 (- 1,0)上是减函 数. ]8. B [ 依据分段函数可得1 1f( ) = log 3=- 2,99则 f(f(1 -2=1)) = f( - 2)= 2.]949.D [ 当 x =1 时, y = m ,由图形易知 m<0,又函数是减函数,所以 0<n<1.]10.D[A 选项中因为 y =log 0.4x 在 (0,+ ∞)上单一递减,所以 log 0.44>log 0.46;B 选项中函数 y = 1.01x 在 R 上是增函数,所以 1.013.4<1.01 3.5;C 选项中因为函数 y = x 0.3 在 (0,+ ∞)上单一递加,所以 3.50.3>3.40.3;D 选项中 log 76<1, log 67>1.]11. B [由 log 2x + log 2(x - 1)= 1,得 x(x -1)= 2,解得 x =- 1(舍 )或 x =2,故 M ={2} ;由 22x +1- 9·2x + 4= 0,得 2·(2x )2- 9·2x + 4= 0,解得 2x = 4 或 2x=12,即 x =2 或 x =- 1,故 N = {2 ,- 1} ,所以有 MN.]12.C[∵函数 f(x) 是偶函数,∴ b = 0,此时 f(x) = log a |x|.当 a>1 时,函数 f(x) = log a |x|在 (0,+ ∞)上是增函数, ∴ f(a + 1)>f(2) =f(b -2) ;当 0<a<1 时,函数 f(x) = log a |x|在 (0,+ ∞)上是减函数, ∴ f(a + 1)>f(2) =f(b -2) .综上可知 f(b - 2)<f(a + 1). ]4 13.3lg 4 分析 lg 3 = lg 4 lg 9 = 2lg 2 2lg × 3 4.原式= lg 3 × lg 3 3lg × 2 =lg 8 lg 8 3 lg 914. (1,4)分析因为函数 xx -1的图像可看作由x的图像向右平移y =a 恒过 (0,1),而 y = a + 3 y = a 1 个单位,再向上平移 3 个单位获得的,则 P 点坐标为 (1,4) .315. (0, 4)∪ (1,+ ∞)分析3 ,知足条件;当 a>1 时, log a <0<143 3 当 0<a<1 时, log a <1= log a a ,得 0<a< .4 43故 a>1 或 0<a< .416. (1,2)分析当 x ∈ [2,+ ∞)时, y>1>0 ,所以 a>1,所以函数 y = log a x 在区间 [2,+ ∞)上是增函数,最小值为 log a 2,所以 log a 2>1 = log a a ,所以 1<a<2.17.解(1)原式= 1-0+1 2-241 1 4=1+1- 2-(- 2)4= 1+1- 1=3.424(2)因为 a =1,b =1,所以23 23 1 28原式= ( a 2 2 3b 1 1 )2= a 3 b 418 144 43= 2 22 3 = 23 3 =20=1.18.解(1)∵ log a 2= m , log a 3= n ,∴ a m =2, a n = 3.∴ a 2m +n = a 2m ·a n = (a m )2 ·a n = 22·3= 12.lg 2(2)原式= log 23- (log 23+ log 24)+ 10 528= log 23- log 23- 2+ 5=- 5.x19.解 (1)当 a = 0 时, f(x) = 2 - 1,则当 x<0 时, g(x) =- g(- x)=- f( - x)=- (2-x - 1)=- (1)x+ 1,2因为 g(x) 为奇函数,故知 x = 0 时, g(x) = 0,2x - 1,x ≥0∴ g(x) =1 x + 1,.- ( )x<02(2)f(x) = 0,即 2x+ax- 1=0,整理,2得: (2x )2- 2x + a = 0,所以 2x = 1± 1- 4a ,2又 a<0,所以 1- 4a>1,所以 2x=1+1-4a, 2进而 x = log 21+ 1- 4a2.x + 1>0 x + 1<0 20.解 (1)要使此函数存心义,则有或,x - 1>0x - 1<0【创新设计】高中数学(北师大版必修一)配套练习:第三章章末检测A(含答案分析)解得 x>1 或 x<- 1,此函数的定义域为(- ∞,- 1)∪ (1,+ ∞),对于原点对称.- x + 1(2)f( -x) =log a=log ax - 1- x - 1 x + 1=- log a x + 1=- f(x) .x - 1∴ f(x) 为奇函数.x + 1 2 ),f(x) = log a= log a (1+x - 1x - 1函数 u = 1+2在区间 (-∞,- 1)和区间 (1,+ ∞)上单一递减.x - 1所以当 a>1 时, f(x) = log ax + 1在 (- ∞,- 1), (1,+ ∞)上递减;x - 1 x +1当 0<a<1 时, f(x) = log a在 (- ∞,- 1), (1,+ ∞)上递加.xx21.解∵ f(x) = log 22·log 24= (log 2x - 1)(log 2x - 2)= (log 2x)2-3log 2x + 23 2 1= (log 2x - 2) - 4,3∵-3≤log 1 x ≤- 2.2∴ 3≤l og 2 x ≤ 3. 2∴当 log 2x =3,即 x = 2 2时, f(x) 有最小值- 1;24当 log 2x = 3,即 x = 8 时, f(x) 有最大值 2.22. (1)解x x xxa x >1.∵ a - b >0,∴ a >b,∴ ()b∵ a>1>b>0,∴ a>1.b a x在 R 上递加.∴ y = ( )b∵ (a )x >( a )0,∴ x>0. b b∴ f(x) 的定义域为 (0,+ ∞).(2)证明设 x 1>x 2>0 ,∵ a>1>b>0,∴ a x 1 > a x 2 >1,0< b x 1 < b x 2 <1.【创新设计】高中数学(北师大版必修一)配套练习:第三章章末检测A(含答案分析)∴- b x 1 >- b x 2 >-1.∴ a x 1 - b x 1 > a x 2 - b x 2 >0.又∵ y = lg x 在 (0,+ ∞)上是增函数,∴ lg( a x 1 - b x 1 )>lg( a x 2 - b x 2 ),即 f(x 1)>f(x 2).∴ f(x) 在定义域内是增函数.(3)解由 (2) 得, f(x) 在定义域内为增函数,又恰在 (1,+ ∞)内取正当,∴ f(1)= 0.又 f(2) = lg 2 ,3lg(a - b)= 0, a - b =1,a = 2,∴2- b 2)= lg 2.∴解得lg(a a 2- b 2= 2.1b = 2.。
北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1.下列等式成立的是( ) A .222log (35)log 3log 5+=+ B .2221log 3log 32-=C .222log 3log 5log (35)⋅=+D .231log 3log 2=2.若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数),则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为( ) A .6B .13C .22D .333.已知()f x ,()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足()()2xf xg x +=,若对于任意的[]1,2x ∈,都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减,且lg 0.3=b ,0.32c =,则A .b a c <<B .b c a <<C .a b c <<D .c b a <<5.如图是指数函数①y =x a ;②y =x b ;③y =c x ;④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c6.已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A .52a -B .2a -C .23(1)a a -+D .231a a --7.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+,则实数a 的取值范围是( )A .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .102⎛⎤ ⎥⎝⎦,C .[]1,2D .(]0,2 8.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,那么a 的取值范围是( )A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .1m ≤-B .10m -≤<C .m 1≥D .01m <≤10.函数()22x xxf x -=+的大致图象为( )A .B .C .D .11.函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()1+∞, B .()01,C .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .()3+∞, 12.函数2ln 8x y x =-的图象大致为( )A .B .C .D .二、填空题13.已知0a >,函数()y f x =,其中21()log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()y f x =在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1,则a 的取值范围为_______.14.已知a b c 、、是不为1的正数,且0lga lgb lgc ++=,则 111111lgb lgclgc lgalga lgba b c+++⨯⨯的值为_____ 15.已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ,那么实数a 的取值范围是_________.16.函数21x x +)是_________(奇、偶)函数. 17.设函数2()ln(1)f x x x =+,若()23(21)0f a f a +-<,则实数a 的取值范围为_____.18.给定函数y =f (x ),设集合A ={x |y =f (x )},B ={y |y =f (x )}.若对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数:①1y x =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③y =lgx .其中,具有性质P 的函数的序号是_____.19.对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠,有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=⋅;②()()()1212f x x f x f x ⋅=+;③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 当()2xf x =时;上述结论正确的是__________.(写出所有正确的序号)20.给出下列四个命题:①函数f (x )=log a (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1,0);②已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ≤0时,f (x )=x (x +1),则f (x )的解析式为f (x )=x 2﹣|x |;③若log a12<1,则a 的取值范围是(0,12)∪(2,+∞);④若2﹣x ﹣2y >ln x ﹣ln (﹣y )(x >0,y <0),则x +y <0.其中所有正确命题的序号是_____.三、解答题21.已知函数()11xaf x e =++为奇函数. (1)求a 的值,并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数;(2)求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.22.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.(1)求()f x 的定义域; (2)判断()f x 的奇偶性并予以证明; (3)求不等式()1f x >的解集.23.函数()f x 对任意的实数m ,n ,有()()()f m n f m f n +=+,当0x >时,有()0f x >.(1)求证:()00=f .(2)求证:()f x 在(),-∞+∞上为增函数. (3)若()11f =,解不等式()422xxf -<.24.已知函数121()log 21axf x x -=-,a 常数.(1)若2a =-,求证()f x 为奇函数,并指出()f x 的单调区间;(2)若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立,求实数m 的取值范围.25.已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <,命题:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ,如果“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.26.已知函数214()log (238)f x mx x m =-+.(Ⅰ)当1m =时,求函数()f x 在1[,2]2上的值域;(Ⅱ)若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断. 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+,A 错误;22221log 32log 3log 32-=-≠,B 错误;222log 3log 5log (35)⋅≠+,C 错误; 3233log 31log 3log 2log 2==,D 正确. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查对数的运算法则.log log log ()a a a M N MN +=,log log n a a b n b =,一般log ()log log a a a M N M N +≠+.log ()log log a a a MN M N ≠⋅, 1log log n a a b b n≠. 2.B解析:B 【分析】先依题意求函数定义域,再化简函数,进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤,故定义域为[]1,e ,又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈,则266y t t =++,易见y 在[]0,1t ∈上单调递增, 故当1t =时,即x e =时,max 16613y =++=. 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用换元法求函数最值时,要注意函数的定义域,否则求得的易出错.3.B解析:B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=,()222x x g x --=,讨论()22x x h x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立,则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=,()()2x f x g x --+-=∴,()f x 是偶函数,()g x 分是奇函数,()()2x f x g x -=∴-,可得()222x xf x -+=,()222x xg x --=,则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦,令()22xxh x -=+,令2x t =,由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增, 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增,则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====, 对于()222x x g x --=,因为2xy =单调递增,2x y -=-单调递增,()g x ∴在[]1,2单调递增,()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====, ()()h x g x ∴>恒成立,则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得()()g x a h x ≤≤,()()max min g x a h x ∴≤≤,即15582a ≤≤. 故选:B. 【点睛】关键点睛:本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式,根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.4.A解析:A 【分析】求出原函数的定义域,再求出内函数二次函数的增区间,由题意列关于a 的不等式组,求得a 的范围,结合b=1g0.3<0,c=20.3>1得答案. 【详解】由5+4x-x 2>0,可得-1<x <5, 函数t=5+4x-x 2的增区间为(-1,2),要使f(x)=log 0.3(5+4x−x 2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩,即0≤a≤1. 而b=1g0.3<0,c=20.3>1, ∴b <a <c . 故选A . 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.5.B解析:B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ;②y =x b 为减函数,且1x =时,②y =1b <①y =1a , 所以1b a <<,根据函数图象可知函数③y =c x ;④y =d x 为增函数,且1x =时,③y =c 1>④y =d 1, 所以1c d >> 故选:B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,指数函数的图象,数形结合的思想,属于中档题.6.B解析:B 【解析】试题分析:33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点:指数对数的计算7.A解析:A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性,把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时,0x ->,则2()2()f x x x f x -=-=, 当0x >时,0x -<,则2()2()-=+=f x x x f x , ∴函数()f x 为偶函数,∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时,函数()f x 单调递增,∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤,则2log 1a ≤, ∴21log 1a -≤≤,解得122a ≤≤. 故选:A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质,考查函数的单调性与奇偶性,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.解析:C【分析】判断函数的单调性.利用分段函数解析式,结合单调性列出不等式组求解即可.【详解】解:243,1log2,1ax ax xf xx a x⎧-+<=⎨+≥⎩()满足对任意12x x≠,都有()()1212f x f xx x--<成立,所以分段函数是减函数,所以:0121442aaa a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩,解得12,23a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用,函数的单调性的定义的理解,考查转化思想以及计算能力.9.B解析:B【分析】11()+2xy m-=与x有公共点,转化为11()2xy-=与y m=-有公共点,结合函数图象,可得结果.【详解】11()+2xy m-=与x有公共点,即11()2xy-=与y m=-有公共点,11()2xy-=图象如图可知0110m m<-≤⇒-≤<故选:B【点睛】本题考查了函数的交点问题,考查了运算求解能力和数形结合思想,属于基础题目.解析:B 【分析】根据函数为奇函数排除C ,取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+,()()22x x xf x f x ---==-+,函数为奇函数,排除C ; 2221(2)22242f -=<=+,排除A ; 3324(3)22536f -==+,4464(4)224257f -==+,故()()34f f >,排除D. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别,意在考查学生的计算能力和识图能力,取特殊值排除是解题的关键.11.D解析:D 【分析】由题意可得可得1a >,且30a ->,由此求得a 的范围. 【详解】 解:函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,而函数()3t x ax =-在[]13,上单调递增,根据复合函数的单调性可得1a >,且30a ->,解得3a >,即()3a ∈+∞,故选:D . 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性,复合函数的单调性,属于基础题.12.D解析:D 【分析】先根据偶函数性质排除B ,再考虑当0x >且0x →时,y →+∞,排除A.再用特殊值法排除C ,即可得答案. 【详解】解:令()2ln 8x f x y x ==-,则函数定义域为{}0x x ≠ ,且满足()()f x f x -=,故函数()f x f (x )为偶函数,排除选项B ; 当0x >且0x →时,y →+∞,排除选项A ;取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=,排除选项C. 故选:D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题,考查函数的基本性质,是中档题.二、填空题13.【分析】由函数单调性可得在区间上的最大值最小值则可得对任意恒成立利用二次函数的性质即可求出【详解】因为在区间内单调递减所以函数在区间上的最大值与最小值分别为则得整理得对任意恒成立令则的图象是开口向上解析:23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, 【分析】由函数单调性可得()f x 在区间[1]t t ,+上的最大值()f t ,最小值(1)f t +,则可得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为()f x 在区间[1]t t ,+内单调递减, 所以函数()f x 在区间[1]t t ,+上的最大值与最小值分别为()f t ,(1)f t +, 则2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 得1121a a tt ⎛⎫+≤+⎪+⎝⎭,整理得2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.令2()(1)1h t at a t =++-,则()h t 的图象是开口向上,对称轴为11022t a=--<的抛物线,所以()h t 在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是增函数,2(1)10at a t ++-≥等价于102h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 即211(1)1022a a ⎛⎫⨯++⨯-≥ ⎪⎝⎭,解得23a ≥,所以a 的取值范围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. 故答案为:23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】关键点睛:由单调性判断出最大值和最小值,从而转化为2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,根据二次函数性质求解. 14.【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为:【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析:11000【分析】根据对数运算公式,可以将0lga lgb lgc ++=转化,得到a ,b ,c 的等量关系,将此等量关系代入所求式子即可解决. 【详解】由0lga lgb lgc ++=, 可得1bc a =,1ab c=,1ac b =,111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=.11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯= 故答案为:11000【点睛】本题考查对数的运算,对数恒等式,属于基础题.15.【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解:若当时当时此时的值域不为R 不符合题意;若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为:【点睛】本题考查分解析:31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >,结合已知和对数函数及一次函数的单调性,得a 的不等式组求解即可. 【详解】 解:若01a <<, 当1≥x 时,log 0a x ≤,当1x <时,()3332a x a a a a --<--=-,此时f x ()的值域不为R ,不符合题意;若1a >,当1≥x 时,log 0a x ≥,当1x <时,要使函数f x ()的值域为R ,需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩,解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩,312a ∴<≤, 综上所述,312a <≤, 故答案为:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质,考查分类讨论思想与数学运算能力,是中档题.16.奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等解析:奇 【解析】210x x x x x x R +->=-≥∴∈又()()))lglglg10f x f x x x -+=+==所以函数f(x) 是奇函数.点睛: 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数)是否成立.17.【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析:1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增,不等式化为()23(12)f a fa <-,转化为关于自变量的不等式,即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ,()()))ln10f x f x x x +-=+==,()f x ∴是奇函数,设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数,()f x 在[0,)+∞为增函数,()f x 在(,0)-∞为增函数, ()f x 在0x =处连续的,所以()f x 在R 上单调递增,()23(21)0f a f a +-<,化为()23(12)f a f a <-,等价于2312a a <-,即213210,13a a a +-<-<<, 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,熟练掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.18.①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A =(﹣∞0)∪(0+∞)B =(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y =0成立即具有性解析:①③ 【分析】A 即为函数的定义域,B 即为函数的值域,求出每个函数的定义域及值域,直接判断即可. 【详解】对①,A = (﹣∞,0)∪ (0,+∞),B = (﹣∞,0)∪ (0,+∞),显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ;对②,A =R ,B = (0,+∞),当x >0时,不存在y ∈B ,使得x +y =0成立,即不具有性质P ;对③,A = (0,+∞),B =R ,显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ; 故答案为:①③. 【点睛】本题以新定义为载体,旨在考查函数的定义域及值域,属于基础题.19.①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①;采用举例子的方法判断②;根据指数函数的单调性判断③;利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①:因为所以故①正确;对于②:取所以所以不恒成立故②错误;对解析:①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①;采用举例子的方法判断②;根据指数函数的单调性判断③;利用指数幂的运算并采用作差法判断④.【详解】对于①:因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=,所以()()()1212f x x f x f x +=⋅,故①正确;对于②:取121,2x x ==,所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=,所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立,故②错误;对于③:因为()2xf x =是R 上的增函数,所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦,故③错误;对于④:因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭,且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭,故④正确, 所以正确的有:①④, 故答案为:①④. 【点睛】结论点睛:可直接判断函数单调性的几种变形形式: (1)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立,则()f x 为单调递增函数;(2)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立,则()f x 为单调递增函数. 20.②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1=1得x =1∴函数f (x )=loga (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1﹣1)故①错误;对于②函数解析:②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质,以及函数的单调性和奇偶性,逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①,由2x ﹣1=1,得x =1,∴函数f (x )=log a (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1,﹣1),故①错误;对于②,函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 当x ≤0时,f (x )=x (x +1),设x >0,则﹣x <0, ∴f (x )=f (﹣x )=﹣x (﹣x +1)=x (x ﹣1),则f (x )的解析式为f (x )=x 2﹣|x |,故②正确; 对于③,由log a12<1,得log a 12<log a a ,当a >1时,不等式成立, 当0<a <1时,解得012a <<. 则a 的取值范围是(0,12)∪(1,+∞),故③错误; 对于④,由2﹣x ﹣2y >ln x ﹣ln (﹣y )(x >0,y <0), 得2﹣x ﹣lnx >2y ﹣ln (﹣y ),∵函数f (x )=2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数, ∴x <﹣y ,即x +y <0,故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质,考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了转化思想,属于中档题.本题涉及的方法有一下几个: (1)根据奇偶性求解析式,注意范围的设定; (2)构造函数,利用函数的单调性,确定大小关系.三、解答题21.(1)2a =-;证明见解析;(2)[]3,1-. 【分析】(1)根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数; (2)利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤,结合一元二次不等式的解法,求得不等式的解集. 【详解】(1)由已知()()f x f x -=-, ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭, ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++, 解得2a =-. ∴2()11x f x e -=++. 证明:12,x x R ∀∈,且12x x <,则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++,∵12x x <,∴12x x e e <,∴210x x e e ->,又110x e +>,210x e +>, ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++,∴()()12f x f x <, 故函数()f x 在R 上是增函数. (2)∵()2(23)0f t f t +-≤,∴()2(23)f tf t ≤--,而()f x 为奇函数, ∴()2(32)f tf t ≤-,∵()f x 为R 上单调递增函数, ∴223t t ≤-+, ∴2230t t +-≤, ∴31t -≤≤,∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛:根据奇函数的定义求出a ,利用定义证明函数为增函数,可将()2(23)0f t f t +-≤转化,脱去“f ”,建立不等式求解,考查了转化思想,属于中档题.22.(1)()2,2-.(2)见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】试题分析:(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题(1)要使函数()f x 有意义.则20{20x x +>->,解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-.(2)由(1)知()f x 的定义域为()2,2-,设()2,2x ∀∈-,则()2,2x -∈-. 且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-, 故()f x 为奇函数. (3)因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数, 因为()1f x >,所以2102x x+>-,解得1811x >.所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭. 23.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3){}|1x x < 【分析】(1)令0m n ==,代入等式,可求得()00=f ;(2)令n m =-,代入等式,结合()00=f ,可得到()()f m f m -=-,从而可知()y f x =是奇函数,然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数;(3)原不等式可化为()()422x xf f -<,结合函数()f x 的单调性,可得出422x x -<,解不等式即可.【详解】(1)证明:令0m n ==,则()()()()000020f f f f +=+=,∴()00=f . (2)证明:令n m =-,则()()()f m m f m f m -=+-, ∴()()()00f f m f m =+-=,∴()()f m f m -=-, ∴对任意的m ,都有()()f m f m -=-,即()y f x =是奇函数. 在(),-∞+∞上任取1x ,2x ,且12x x <,则210x x ->,∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->,即()()12f x f x <, ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.(3)原不等式可化为()()()()4211112xxf f f f -<+=+=,由(2)知()f x 在(),-∞+∞上为增函数,可得422x x-<,即()()12022x x+<-,∵210x +>,∴220x -<,解得1x <, 故原不等式的解集为{}|1x x <. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性,考查不等式的解法,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.24.(1)证明见解析;单调增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(2)98m <-. 【分析】(1)2a =-时,1221()log 21x f x x +=-,求其定义域,计算()()0f x f x 即可.(2)将不等式整理为21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭,12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,只需要min ()g x m >.利用()g x 单调性即可求出min 39()28g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,进而可得98m <-.【详解】(1)证明:当2a =-时,1221()log 21x f x x +=-. ()f x 的定义域为11,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当11,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时, 11222121()()log log 2121x x f x f x x x -++-+=+---11222121log log 102121x x x x -++⎛⎫=⋅== ⎪---⎝⎭.∴()()0f x f x +-=, ∴()f x 是奇函数,1221()log 21x f x x +=-是由2121x t x +=-和12log y t=复合而成,12log y t =单调递减,2121221212121x x t x x x +-+===+---在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减,所以1221()log 21x f x x +=-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增, 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)由1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭,得21211log 214xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭,令12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,若使题中不等式恒成立,只需要min ()g x m >.由(1)知()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减,所以12211()log 214xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,所以min 39()28g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 所以m 的取值范围是98m <-. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,利用函数的单调性求最值,考查了恒成立问题,属于中档题.25.[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围,再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假,然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论,进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >(0a >且1a ≠)的解集是{}0x x <,所以:01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ,等价于x R ∀∈,210ax +>.(i )当0a =时,不等式10+>在R 上不恒成立; (ii )当0a ≠时,0240a a >⎧⎨∆=-<⎩,解得12a >.即1:2q a >. 如果p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,则p 真q 假,或p 假q 真,若p 真q 假,则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩,可得102a <≤; 若p 假q 真,则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或,可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以,实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数,考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题,考查运算求解能力,属于中等题.26.(Ⅰ)114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(Ⅰ)把1m =代入,可得()122()log 238f x x x =-+,令2238y x x =-+,求出其在1[,2]2上的值域,利用对数函数的单调性即可求解. (Ⅱ)根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增,再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】(Ⅰ)当1m =时,()122()log 238f x x x =-+,此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=,故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (Ⅱ)因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减,故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增,则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥,综上所述,实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质,属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1.设a ,b ,c 为正数,且3a =4b =6c ,则有( ) A .111c a b=+ B .221c a b=+ C .122c a b=+ D .212c a b=+ 2.下列等式成立的是( ) A .222log (35)log 3log 5+=+ B .2221log 3log 32-=C .222log 3log 5log (35)⋅=+D .231log 3log 2=3.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t (单位:天)与病情爆发系数()f t 之间,满足函数模型:0.22(50)11()t f t e --=+,当()0.1f t =时,标志着疫情将要大面积爆发,则此时t 约为( )(参考数据: 1.13e ≈) A .38 B .40C .45D .474.若x ,y ,z 是正实数,满足2x =3y =5z ,试比较3x ,4y ,6z 大小( )A .3x >4y >6zB .3x >6z >4yC .4y >6z >3xD .6z >4y >3x5.已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ).A .()0,1B .10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微:数形结合百般好,隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征,如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是( )A .B .C .D .7.已知()f x ,()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足()()2xf xg x +=,若对于任意的[]1,2x ∈,都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.设0.34()5a =,0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,125log 4c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b a c >> B .c a b >> C .c b a >> D .b c a >>9.函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是( ) A .32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,B .3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10.若a >b >0,0<c <1,则 A .log a c <log b cB .log c a <log c bC .a c <b cD .c a >c b11.函数213()log 4f x x =-的单调减区间是( )A .(]()2,02,-+∞B .(]2,0-和(2,)+∞ C .(),20,2[)-∞-D .(,2)-∞-和[0,2)12.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB ),对于一个强度为I 的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间,则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的( )A .32倍B .3210倍C .100倍D .3lg2倍 二、填空题13.若函数()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()0,1a a >≠没有最小值,则实数a 的取值范围是______.14.给出下列四个命题:①函数f (x )=log a (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1,0);②已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ≤0时,f (x )=x (x +1),则f (x )的解析式为f (x )=x 2﹣|x |;③若log a12<1,则a 的取值范围是(0,12)∪(2,+∞);④若2﹣x ﹣2y >ln x ﹣ln (﹣y )(x >0,y <0),则x +y <0.其中所有正确命题的序号是_____. 15.已知12512.51000x y ==,则11x y=_____.16.已知1a b >>,若10log log 3a b b a +=,b a a b =,则ab =___________. 17.已知函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(m ,n ),且函数g (x )=mx 2﹣2bx +n 在[1,+∞)上单调递减,则实数b 的取值范围是________.18.设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+,则x y +的取值范围是_____. 19.7log 31lg 25lg 272++=________. 20.设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-,且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-,则实数a 的取值范围为______.三、解答题21.已知函数2()46f x ax x =-+.(1)若函数2log ()y f x =的值域为R ,求实数a 的取值范围;(2)若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围. 22.设函数()()1xxf x a k a -=--,(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数,且()312f =. (1)求k ,a 的值;(2)求函数()f x 在[)1,+∞上的值域; (3)设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅,若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值;(4)对于(3)中函数()g x ,如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立,求m 的取值范围. 23.设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠,且(1)2f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域; (2)求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值.24.已知12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,121log ,264B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭. (1)求AB ;(2)若{}11C x m x m =-≤≤+,若C A ⊆,求m 的取值范围.25.已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 其中实数0a >且1a ≠. (1)当3a =时,求不等式()0f x >的解集;(2)若()f x 在区间[1,3]上单调递增,求a 的取值范围;26.已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. (Ⅰ)当1m =时,求函数()f x 在1[,2]2上的值域;(Ⅱ)若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ,再根据换底公式表示111,,a b c,最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k , 则a =log 3k , b =log 4k , c =log 6k , ∴311log 3log k a k ==, 同理1log 4k b =,1log 6k c=, 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+, ∴1112c a b =+,即221c a b=+. 故选:B 【点睛】本题考查指对数运算,换底公式,以及对数运算的性质,关键是灵活应用对数运算公式,公式1log log a b b a=是关键. 2.D解析:D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断. 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+,A 错误;22221log 32log 3log 32-=-≠,B 错误; 222log 3log 5log (35)⋅≠+,C 错误;3233log 31log 3log 2log 2==,D 正确. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查对数的运算法则.log log log ()a a a M N MN +=,log log n a a b n b =,一般log ()log log a a a M N M N +≠+.log ()log log a a a MN M N ≠⋅, 1log log n a a b b n≠. 3.B解析:B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解:因为()0.1f t =,0.22(50)11()t f t e --=+,所以0.22(50)()0.111t f t e--==+,即0.22(50)011t e --=+,所以0.22(50)9t e --=,由于 1.13e ≈,故()21.12.29e e =≈,所以0.222().250t e e --=,所以()0.2250 2.2t --=,解得40t =. 故选:B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=,再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈,进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案,是基础题.4.B解析:B 【分析】令235x y z t ===,则1t >,lg lg 2t x =,lg lg3t y =,lg lg5tz =,利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数,且235x y z ==, 令235x y z t ===,则1t >,故2lg log lg 2t x t ==,3lg log lg 3t y t ==,5lg log lg 5tz t ==, ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即36x z >; ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即64z y >, 即364x z y >>成立,故选:B. 【点睛】 关键点点睛:(1)将指数式转化为对数式; (2)利用作差法比较大小.5.C解析:C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】 因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数,所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩,解得1195a ≤<.故选:C 【点睛】易错点点睛:容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.6.A解析:A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性,结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ,该函数的定义域为R ,()()()2222xxf x x x f x --=--=-=,函数()22=-xf x x 为偶函数,排除B 、D 选项;又()010f =>,排除C 选项.故选:A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; (2)从函数的值域,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.7.B解析:B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=,()222x x g x --=,讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立,则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=,()()2x f x g x --+-=∴,()f x 是偶函数,()g x 分是奇函数,()()2x f x g x -=∴-,可得()222x xf x -+=,()222x xg x --=,则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦,令()22xxh x -=+,令2x t =,由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增, 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增,则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====, 对于()222x xg x --=,因为2x y =单调递增,2x y -=-单调递增,()g x ∴在[]1,2单调递增,()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====, ()()h x g x ∴>恒成立,则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得()()g x a h x ≤≤,()()max min g x a h x ∴≤≤,即15582a ≤≤. 故选:B. 【点睛】关键点睛:本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式,根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.8.A解析:A 【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较. 【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭,0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭,由对数函数性质得125log 04<, ∴b a c >>. 故选:A . 【点睛】本题考查比较幂与对数的,掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键.解题方法是借助中间值比较大小.9.B解析:B 【分析】先求函数的定义域,再利用复合函数的单调性同增异减,即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<,解得:14x -<<,2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成,ln y t =在定义域内单调递增,234t x x =-++对称轴为32x =,开口向下, 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增,在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减, 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 故选:B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间,注意先求定义域,属于中档题10.B解析:B 【解析】试题分析:对于选项A ,a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==,01c <<,10gc ∴<,而0a b >>,所以lg lg a b >,但不能确定lg lg a b 、的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B ,c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >,两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向,所以选项B 正确;对于选项C ,利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >,所以C 错误;对于选项D ,利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <,所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11.B解析:B 【分析】先分析函数的定义域,然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->,所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞,令()24u x x =-,13log y u =在()0,∞+上单调递减, 当(),2x ∈-∞-时,()u x 单调递减,所以()f x 单调递增; 当(]2,0x ∈-时,()u x 单调递增,所以()f x 单调递减; 当()0,2x ∈时,()u x 单调递减,所以()f x 单调递增; 当()2,x ∈+∞时,()u x 单调递增,所以()f x 单调递减; 综上可知:()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选:B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解,难度一般.分析复合函数的单调性,注意利用判断的口诀“同增异减”,当内外层函数单调性相同时,整个函数为增函数,当内外层函数单调性相反时,整个函数为减函数.12.C解析:C 【分析】 先根据010lg II η=得10010I I η=,再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案.【详解】解:因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lgII η=,所以10010I I η=,所以606101001010I I I ==,404102001010I I I ==,所以6014201010010I I I I ==, 故选:C. 【点睛】本题以物理知识为背景,考查指对数的互化,运算等,是中档题.二、填空题13.【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意;当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为:【点睛】关键点睛:结合对数 解析:(0,1)[4,)∞⋃+【分析】讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】当01a <<时,log ay x =在(0,)+∞单调递减,212a y x x =-+没有最大值,()2log 12a a f x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭没有最小值,符合题意;当1a >时,log ay x =在(0,)+∞单调递增,则可得当2102ax x -+≤有解时,()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭没有最小值,2402a ⎛⎫∴∆=--≥ ⎪⎝⎭,解得4a ≥,综上,a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+.故答案为:(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】关键点睛:结合对数函数的单调性进行讨论求解,将题目转化为2102ax x -+≤有解进行求解.14.②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1=1得x =1∴函数f (x )=loga (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1﹣1)故①错误;对于②函数解析:②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质,以及函数的单调性和奇偶性,逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①,由2x ﹣1=1,得x =1,∴函数f (x )=log a (2x ﹣1)﹣1的图象过定点(1,﹣1),故①错误;对于②,函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 当x ≤0时,f (x )=x (x +1),设x >0,则﹣x <0, ∴f (x )=f (﹣x )=﹣x (﹣x +1)=x (x ﹣1), 则f (x )的解析式为f (x )=x 2﹣|x |,故②正确; 对于③,由log a12<1,得log a 12<log a a ,当a >1时,不等式成立, 当0<a <1时,解得012a <<. 则a 的取值范围是(0,12)∪(1,+∞),故③错误; 对于④,由2﹣x ﹣2y >ln x ﹣ln (﹣y )(x >0,y <0),得2﹣x ﹣lnx >2y ﹣ln (﹣y ),∵函数f (x )=2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数, ∴x <﹣y ,即x +y <0,故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质,考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了转化思想,属于中档题.本题涉及的方法有一下几个: (1)根据奇偶性求解析式,注意范围的设定; (2)构造函数,利用函数的单调性,确定大小关系.15.【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为:【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析:13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案. 【详解】∵12512.51000x y ==, ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====,∴1000100011log 125,log 12.5x y==,∴1000111log 103x y -==. 故答案为:13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c bb a=是解本题的关键.属于基础题.16.9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解:整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为:9【点睛】关键点睛:本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再解析:9 【分析】由对数的运算性质解10log log 3a b b a +=并整理得3a b =,由b a a b =可求出,a b 的值. 【详解】解:110log log log log 3a b b b b a a a +=+=,整理得()23log 10log 30b b a a -+=, 解得log 3b a =或13,因为1a b >>,所以log 1b a >,则log 3b a =,即3a b =, 因为b a a b =,所以33b b b b =,所以33b b =,解得b =0,因为1b >,所以b =所以3a ==,所以9ab ==. 故答案为:9. 【点睛】关键点睛:本题主要考查对数运算和指数运算,解题的关键是由10log log 3a b b a +=得出3a b =,再根据指数运算求解.17.【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f (x )=loga (x+2)+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g (x )=-x2﹣2bx+3因为g (x )=-x2﹣2 解析:[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(1,3)-, 所以m =-1,n =3,所以g (x )=-x 2﹣2bx +3,因为g (x )=-x 2﹣2bx +3在[1,+∞)上单调递减, 所以对称轴1x b =-≤, 解得1b ≥-, 故答案为:[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛:本题考查了对数型函数过定点,可求出,m n 的值,利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18.【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解:正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析:[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=,再由2220x xy y -+,得到2224x xy y xy ++,所以2()4x y xy+,设x y a +=,由此可求出x y +的取值范围. 【详解】 解:正数x ,y 满足222log (3)log log x y x y ++=+,22log (3)log x y xy ∴++=,3x y xy ∴++=,又2220x xy y -+,所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++,所以2()4x y xy +,由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++,设x y a +=即2412a a +,解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞.根据定义域x ,y 均大于零,所以x y +取值范围是[)6,+∞. 故答案为:[)6,+∞. 【点睛】本题考查对数的运算法则,基本不等式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用,属于中档题.19.4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解:故答案为:4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析:4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】 解:7log 3211lg 25lg 27lg 5lg 23lg 5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为:4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质,熟记公式,熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求,属于基础题型.20.【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数解析:⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法,可得()2221g x x ax a =-+-,然后采用等价转换的方法,可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-,最后根据二次函数的性质,可得结果.【详解】由()22221x f x ax a =-+-令22,log xt x t ==,所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+-则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0- 等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =,且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+1a ≤≤或2a ≤≤所以a ⎤⎡∈⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为:⎤⎡⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用,难点在于使用等价转换思想,使问题化繁为简,属中档题.三、解答题21.(1)20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)[)2,+∞. 【分析】(1)根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+,由此根据a 与0的关系分类讨论,求解出结果;(2)根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论,然后求解出a 的取值范围. 【详解】(1)因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ,所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+,当0a =时,246y ax x =-+即46y x =-+,此时46y x =-+的值域为R ,满足; 当0a ≠时,则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩,所以203a <≤,综上可知:20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(2)当1a >时,log a y x =在()0+∞,上单调递增,所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增,所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩,所以2a ≥,当01a <<时,log a y x =在()0+∞,上单调递减,所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减,所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩,此时a 无解,综上可知:[)2,a ∈+∞.【点睛】思路点睛:形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数,若函数的定义域为R ,则有00a >⎧⎨∆<⎩;若函数的值域为R ,则有00a >⎧⎨∆≥⎩. 22.(1)2a =,2k =;(2)3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(3)2m =;(4)17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)由奇函数性质求得k ,由3(1)2f =可求得a ; (2)利用函数的单调性得值域;(3)换元,设22x x t -=-,则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,()g x 转化为()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,由二次函数的性质求得最小值,再由最小值为2-可得m , (4)在(3)基础上,由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围.【详解】解:(1)∵函数()()1xxf x a k a -=--,(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数,∴()00f =,即()110k --=,2k =, ∵()312f =.∴132a a -=,2a =, ∴2a =,2k =,(2)1()2222x x xx f x -=-=-是增函数,∴1≥x 时,13()222f x ≥-=,即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭; (3)()()2222222xx x x g x m --=+--,设22x x t -=-,[)1,x ∈+∞,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,∴()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭, ∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-,∴()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-,∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =,或2512m =(舍去), 故2m =;(4)()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立,∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立, ∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩, 解不等式得出x ∈∅或1712m <, ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查指数函数的性质,考查奇偶性,由奇偶性同函数解析式,由单调性是函数的值域,在求函数()g x 的最值问题,不等式恒成立问题时,解题方法是换元法,即设22x x t -=-,把指数函数转化为二次函数,然后利用二次函数性质求解. 23.(1)2a =;(1,3)-;(2)2.【分析】(1)由函数值求得a ,由对数的真数大于0可得定义域;(2)函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦,由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值. 【详解】 解:(1)(1)2f =,log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==,解得2(0,1)a a a =>≠,由1030x x +>⎧⎨->⎩,得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-,.(2)22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时,()f x 是增函数;当3[1,]2x ∈时,()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质,掌握复合函数的单调性解题关键:(前提条件:在函数定义域内)24.(1)[1,5]A B ⋂=-;(2)(],3-∞. 【分析】(1)根据指数运算解不等式求出集合A ,利用对数的运算求出集合B ,由此能求出A B ;(2)由{}11C x m x m =-≤≤+和C A ⊆,对C 是否为空集分类讨论,列出不等式组,由此能求出m 的取值范围. 【详解】 解:(1)1{|232}{|25}4xA x x x ==-, 12{|log B y y x==,12}{|16}64x x x =-, [1,5]A B ∴=-.(2){}11C x m x m =-≤≤+且C A ⊆,若,11,0C m m m =∅->+<若C ≠∅,则111512m m m m -≤+⎧⎪+⎨⎪--⎩,解得03m ≤≤,m ∴的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查交集的运算以及根据集合间的包含关系求参数的取值范围,还涉及指对数的运算,属于基础题.25.(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a << 【分析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,10a x->,即1a x >在区间[1,3]上恒成立,故103a <<,所以log a y x =为减函数.又1y a x =-在区间[1,3]上为减函数,故1()log a f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故103a << 【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.26.(Ⅰ)114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(Ⅰ)把1m =代入,可得()122()log 238f x x x =-+,令2238y x x =-+,求出其在1[,2]2上的值域,利用对数函数的单调性即可求解. (Ⅱ)根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增,再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】(Ⅰ)当1m =时,()122()log 238f x x x =-+, 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=,故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (Ⅱ)因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减, 故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增,则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥,综上所述,实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质,属于中档题.。
(北师大版)高中数学必修第一册 第三章综合测试试卷03及答案
第三章综合测试一、选择题(本大题共10小题,共50分)1.不等式124x ->的解集是( )A .{}2x x >B .{}2x x <C .{}3x x >D .{}3x x <2.已知234a =,2516b =,322c =,则( )A .c a b<<B .a c b<<C .c b a <<D .a b c <<3.当[]11x ∈-,时,函数()32x f x =-的值域是()A .513éùêúëû,B .[]11-,C .513éù-êúëûD .[]01,4.函数x y a b =+与函数()01y ax b a a =+¹>且且的图象可能是()A .B .C .D .5.若3x <6x --的值是( )A .3-B .3C .9-D .96.下列各式正确的是( )A 3=-B a=C .32=-D 2=7.若1a >,10b -<<,则函数x y a b =+的图象一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.若函数()()201x m f x a n a a +=-¹g >,且的图象恒过点()14-,,则m n +=( )A .3B .1C .1-D .2-9.设a b >,则下列不等式一定成立的是( )A .22a b >B .11a bC .22a b >D .a b>10.函数()01xy aa -=<<的图象是()A .B .C .D .二、填空题(本大题共6小题,共30分)11.不等式142x ->的解集是________.12.三个数0.232a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0.71.3b =,1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 按由小到大顺序为________.13.不等式223112x x --⎛⎫⎪⎝⎭>的解集是________.14.已知函数()2201x y a a a -=+¹>且且恒过定点()m n ,,则m n +=________.15.1037188-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.16.若函数12x y m -+=+的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.已知函数()()1x f x a a =>在区间[]12,上的最大值比最小值大2,求实数a 的值.18.已知函数()xf x a =,()()101xg x a a a ⎛⎫=¹ ⎪⎝⎭>且,()112f -=.(1)求函数()f x 和()g x 的解析式;(2)在同一坐标系中画出函数()f x 和()g x 的图象;(3)如果()()f x g x <,请直接写出x 的取值范围.19.已知()22401xxx a a a a -+¹>>且,求x 的取值范围.20.已知函数()44x x f x k -=-g ,且()03f =.(1)求不等式()47x f x -->的解集;(2)若()48x f x m -+g ≥对x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.21.a ∈R ,函数()22x xaf x a-=+(1)a 的值,使得()f x 为奇函数;(2)若0a ≥且()23a f x -<对任意x ∈R 都成立,求a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解:不等式124x ->可化为:1222x ->,又函数2x y =为R 上的增函数,则有12x ->,解得3x >,故不等式124x ->的解集是{}3x x >.故选C.2.【答案】B【解析】解:234a =∵,2455164b ==,332424c ==,且4x y =是增函数,又234345<<,a c b ∴<<.故选B.3.【答案】C【解析】解:∵函数()32x f x =-在R 上为单调增函数,()()()11f f x f -∴≤≤,即()12323f x --≤≤.即()513f x éù∈-êúëû,.故选:C.4.【答案】D【解析】解:因为0a >,y ax b =+的图象从左到右上升,所以A 错误,对于B ,假设y ax b =+的图象正确,则0b >,0x a b +>,与x y a b =+的图象矛盾,所以B 错误;对于C ,假设y ax b =+的图象正确,则0b >,当0x =时,0a b b +>,与x y a b =+的图象矛盾,所以C 错误,故选D.5.【答案】A【解析】解:若3x <,则3x -<0,60x -<,636363x x x x x --=---=-+-=-,故选:A.6.【答案】C【解析】解:A 3==,B a =,D 2=-,故正确的是:C ,故选:C.7.【答案】D【解析】解:由1a >可得函数x y a =单调递增,且过第一、二象限,10b -∵<<,01b ∴<<,x y a =的图象向下平移b 个单位即可得到x y a b =+的图象,x y a b =+∴的图象一定在第一、二、三象限,一定不经过第四象限,故选:D.8.【答案】C【解析】解:∵函数()()201x m f x a n a a +=⨯-¹>,且的图象恒过点()14-,,10m -=∴,且124m a n --=g ,解得1m =,2n =-,1m n +=-∴,故选:C.9.【答案】A【解析】解:对B ,C ,D 选项,当1a =,2b =-时,不等式a b >,11a b,22a b >不成立,则B ,C ,D错误;对A 选项,因为函数2x y =在R 上单调递增,a b >,所以22a b >,则A 正确.故选A.10.【答案】A【解析】解:1xxy aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭,易知函数为偶函数,01a ∵<<,1a1∴>,故当0x >时,函数为增函数,当0x <时,函数为减函数,当0x =时,函数有最小值,最小值为1,且指数函数为凹函数,故选A.二、11.【答案】1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,【解析】解:由142x ->得112112x x ⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩><,解得32x >或12x <,因此不等式142x ->的解集是1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.故答案为1322⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.12.【答案】10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<【解析】解:0.20.23223-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵,因为指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,10.23230132-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴<<<,0.701.3 1.31=∵>,10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴<<,故答案为:10.230.723 1.332-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.13.【答案】()13-,14.【答案】515.【答案】π【解析】解:原式()133123123πππ--=++-=++-=.故答案为π.16.【答案】2m -≤三、17.【答案】解:当1a >时,函数()x f x a =在区间[]12,上是增函数,()()min 1f x f a ==∴,()()2max 2f x f a ==,由题意知22a a -=,解得2a =,1a -<(舍弃),故a 的值为:2.18.【答案】(1)解:()112f -=∵.1112a a -==∴.2a =∴,所以()2xf x =,()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)两个函数在同一坐标系的图象如图:(3)由图象知当0x =时,()()f x g x =,若()()f x g x <,则x <0,即不等式的解集为()0-∞,.19.【答案】解:当01a <<时,x y a =为减函数,则不等式224xxx a a -+>可化为:224x x x -+<,即2340x x --<,解得:()14x ∈-,,当1a >时,x y a =为增函数,则不等式224xxx a a -+>可化为:224x x x -+>,即2340x x -->,解得:()()14x ∈-∞-+∞ ,,20.【答案】(1)解:由()013f k =-=,得4k =.所以()444x x f x -=-g ,()7x f x -->4即44447x x x ----g >,即442470x x --+g g >,令()40x t t =>,得24720t t +->,即()()4120t t -+>,因为20t +>,所以14t >,即144x ->,所以x >-1,所以原不等式的解集为()1-+∞,.(2)()48x f x m -+g ≥即44448x x x m ---+g g ≥,所以()()22448414415x x x m --=--g ≤,当0x =时,()24415x --取得最小值5-.因为()48x f x m -+g ≥对x ∈R 恒成立,所以5m -≤,即实数m 的取值范围是(]5-∞-,.21.【答案】(1)解:函数()22x x af x a-=+为奇函数,即()1001af a -==+,解得1a =,()2121x x f x -=+∴,定义域为R ,且满足()()21122112x xx xf x f x -----===-++,()f x ∴是定义域R 上的奇函数;即1a =时,()f x 定义域R 上的奇函数;(2)不等式()23a f x -<化为2223x x a a a --+,0a ≥时,20x a +>,所以不等式化为()()()3222x x a a a --+<,即()252x a a a +-g >;要使该不等式对任意x ∈R 都成立,由0a ≥且20x >,所以50a -≤,即5a ≥即可;所以a 的取值范围是5a ≥.。
(北师大版)高中数学必修第一册 第三章综合测试试卷02及答案
第三章综合测试第I 卷(选择题)一、单选题1.下列各函数中,是指数函数的是( ).A .()3xy =-B .3xy =-C .13x y -=D .13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是().A .1y x=B .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .y x=D .3y x =-3.函数132x y -=+的反函数的图像必过点().A .()13,B .()25,C .()14,D .()41,4.已知函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ( ).A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数5.设2323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2325c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是().A .a b c>>B .b a c>>C .b c a>>D .c b a >>6.已知集合{}220A x x x =--<,{}128x B x =<<,则( ).A .(23)A B = ,B .(03)A B =,I C .(3)A B =-∞,U D .(13)A B =- ,7.函数1x y a -=(0a >且1a ≠)恒过定点().A .()01,B .()11,C .()10,D .()21,8.若函数()2222xa x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤>,,,在R 上单调递增,则正实数a 的取值范围是( ).A .()01,B.(C.(D.)+∞9.设函数()e e 2x x f x --=,()2x xe e g x -+=.则下列结论不正确的是().A .()()221g x f x ⎡⎤-⎡⎤=⎣⎦⎣⎦B .()()()22f x f x g x =gC .()()()222g x f x g x =⎡⎤+⎡⎤⎣⎦⎣⎦D .函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦分别为偶函数和奇函数10.已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如图所示,则函数()x g x a b =+的图象大致是().A .B .C .D .11.函数()01x xa y a x=<<的图像的大致形状是( ).A .B .C .D .12.函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为( ).A .B .C .D .第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13.()32430.00881-+-=________.14.已知102α=,103β=,则32100αβ-=________;15.奇函数()f x 满足当0x >时,()31x f x =+,则()2f -=________.16.中国古代十进位制的算筹记数法,在世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的方法是:个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如138可用算筹表示为.1~9这9个数字的纵式与横式表示数码如上图所示,则23341627⨯的运算结果可用算筹表示为________.三、解答题17.已知指数函数()x f x a =(0a >,且1a ≠),且()3f π=,求()0f ,()1f ,()3f -的值.18.已知函数()3x f x =,求证:(1)()()()f a f b f a b =+;(2)()()()f a f a b f b =-.19.22122123235x x x x+++=g g 20.求下列各式的值:(1+(2;(3+.21.已知函数()11x x e f x e -=+.(1)判断()f x 的奇偶性,并证明;(2)利用定义证明()f x 在区间()0∞+,上是增函数.22.函数()1423x x f x +=-+的定义域为1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,.(1)设2x t =,求t 的取值范围;(2)求函数()f x 的值域.第三章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】利用指数函数的定义,形如:()01x y a a a =≠>,即可求解.根据指数函数的定义知,()01xy aa a =≠>,,A 选项底数错误,B 选项系数错误,C 选项指数错误;D 正确.故选:D.本题考查了指数函数的定义,需掌握住指数函数的定义,即可求解.2.【答案】D【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.解:A .1y x=在()0-∞,上单调递减,在()0∞+,上单调递减,但是在定义域内不是减函数.B .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数,但不是奇函数.C .y x =是偶函数,也不单调递减.D .3y x =-是奇函数,且在定义域内单调递减,复合题意.故选:D.本题考查函数的奇偶性和单调性,解题的关键是熟练掌握初等函数的性质,属于基础题.3.【答案】D【解析】根据原函数与其反函数的图象关于y x =对称可知,所以它们所过定点也关于y x =对称.令10x -=得,1x =,所以4y =,所以函数132x y -=+的图象经过定点()14,,所以函数132x y -=+的反函数的图像必过定点()41,.故选D.本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性以及指数型函数过定点,属于基础题.4.【答案】C【解析】利用函数的单调性、奇偶性定义等方法判断函数的性质.解:函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ,因为()()114444xxxxf x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数;因为14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,4x y =-在R 上的减函数,所以()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上的减函数,综上:函数()144xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数,在R 上是减函数.故选:C.本题考查了函数的单调性与奇偶性的研究,解决问题的关键是熟练运用函数性质的定义.5.【答案】B【解析】根据指数函数23x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数与23y x =为增函数即可得.因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,故21332233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<,又23y x =故22332523⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>,即122333222335⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>,即b a c >>.故选B.本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题,属于基础题型.6.【答案】D【解析】先通过解二次不等式和指数不等式,求出集合A ,B ,再对选项进行判断.因为{}()22012A x x x =--=-<,,{}()12803x B x ==<<,,所以()02A B = ,,()13A B =- ,,故选:D.本题考查集合的表示方法及交、并运算,一元二次不等式和指数不等式的求解,考查考生对基础知识的掌握情况,属于基础题.7.【答案】B【解析】根据01a =即可求得指数型函数的定点.令10x -=,解得:1x =,此时1y =,故函数恒过()11,.故选:B.本题考查指数函数过定点问题,属于基础题.8.【答案】B【解析】先分析每一段单调递增情况,再综合整个递增即可求出结果.解:∵函数()2222xa x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪⎩,≤,>,在R 上单调递增,22122a a ⎧⎪⎨+⎪⎩>∴≤,解得1a <.故选:B.本题考查分段函数的单调性,考查运算能力,属于基础题.9.【答案】D【解析】根据选项逐一计算判断.解:A .()()222222222242124x x x x x x x x e e e e e e g x f x e e ----⎛⎫⎛⎫-++-+⎡⎤-⎡⎤=-=-= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭+,正确;B .()()()22222222x x x x x x e e f x g e x f e x e e ---+-==-=g g g ,正确;C .()()()2222222224x x x xx x e e e e e g x f x g x e ---⎛⎫⎛⎫-+⎡⎤+⎡⎤=+== +⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭,正确;D .()()2x x e e f x f x ---==-,()()2x x e e g x g x -+-==,故()()f g x f g x ⎡-⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()()()g f x g f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以函数()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦均为偶函数,错误.故选:D.本题考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算,是基础题.10.【答案】D【解析】根据()f x 的图像,判断a ,b 的初步范围,再结合指数函数的图像,即可进行选择.因为函数()()()f x x a x b =--对应方程的两根为a ,b ,数形结合可知1a >,10b -<<.故函数()g x 是单调增函数,且在y 轴的截距范围是()01,,故选:D.本题考查指数型函数的单调性,以及图像的辨识,属基础题.11.【答案】D【解析】化简函数解析式,利用指数函数的性质判断函数的单调性,即可得出答案.根据01a <<()01xxa y a x=∵<<00x xa x y a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩,>∴,<01a ∵<<,x y a =∴是减函数,x y a =-是增函数.()01xxa y a x=<<在()0+∞,上单调递减,在()0-∞,上单调递增.故选:D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象,解题关键是掌握指数函数图象的特征,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.【答案】A【解析】确定函数的奇偶性,()()21x xe ef x f x x ---==--,()f x 是奇函数,排除C ,D ,0x >时,x x e e ->,即0x x e e -->,当1x >时,又有210x ->,因此()0f x >,排除B ,故选:A.本题考查由函数解析式选取函数图象,可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除某些选项,再通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势等排除某些选项,从而得出正确答案.二、13.【答案】51【解析】直接利用分数指数幂的运算法则进行求值.原式230.2312527151-=+-=+-=.故答案为:51.本题考查分数指数幂的运算,考查运算求解能力,属于基础题.14.【答案】89【解析】由指数幂运算法则化简即可得出结果.()()33322210810010910ααβαββ-===.故答案为:89.本题考查了指数运算,考查了运算能力,属于一般题目.15.【答案】10-【解析】由函数奇偶性,结合函数解析式,即可容易求得.因为()f x 奇函数,且当0x >时,()31x f x =+,故可得()()()2223110f f -=-=-+=-.故答案为:10-.本题考查利用函数奇偶性求函数值,涉及指数运算,属基础题.16.【答案】【解析】先算出2334162772⨯=,再根据表示数码写出相应结果.解:2334162772⨯=∵,∴从题中所给表示数码知72可用算筹表示.故答案为:.本题主要考查指数运算,考查运算能力,属于基础题.三、17.【答案】因为()xf x a =,且()3f π=,则3a π=,解得13a π=,于是()3x f x π=.所以,()001f π==,()131f π==,()113f ππ--==.【解析】由()3f π=求出a ,可确定()f x 的解析式,从而计算函数值.本题考查指数函数的解析式.属于基础题.18.【答案】证明:(1)()3x f x =∵,()()333a b a b f a f b +==g ∴,()3a b f a b ++=,()()()f a f b f a b =+∴;(2)()3x f x =∵,()()333aa b b f a f b -==∴,()3a bf a b --=()()f a f a b fb =-∴.【解析】直接根据指数的运算性质进行证明.本题主要考查指数的运算性质,属于基础题.19.【答案】解:因为22122123235x x x x +++=g g 22222233235x x x x ⨯+⨯=∴g g ()2222233235x x x x ⨯+⨯=∴g g 令223x x t =g ,则23250t t +-=,解得1t =或53t =-(舍去)2231x x =∴g 即()123xx ⨯=∴则0x =或213x ⨯=解得31log 2x =或0x =.【解析】将方程变形为()2222233235x x x x ⨯+⨯=g g ,令223x x t =g ,则23250t t +-=解出t ,再计算出x ;本题考查指数方程的计算,指数的运算,属于中档题.20.【答案】(1)原式53112222=+=--=;(2)原式()()y x x y y x =+-=-+-.当x y ≥时,原式0x y y x =-+-=;当x y <时,原式()2y x y x y x =-+-=-.因此,原式()02x y y x x y ⎧=⎨-⎩,≥,<;(3)原式1=+-=)12211=++-+=【解析】(1)将带分数化为假分数,小数化为分数,利用根式的运算性质化简计算即可;(2)分x y ≥和x y <两种情况讨论,利用根式的运算性质化简计算即可;(3)将二次根式中被开方数化为完全平方的形式,利用根式的性质化简计算即可.本题考查根式的化简计算,熟练利用根式的性质是关键,考查计算能力,属于中等题.21.【答案】解:(1)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,任取一个x ∈R ,则x -∈R ,因为()11x x e f x e -=+,所以,()()11111111xxx x x x e e e f x f x e ee ------====-+++,即()f x 是奇函数.(2)任取1x ,2x ,使得210x x >>,()()()()()21212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++,因为21x x e e >,所以()()()21122011x x x x e e e e -++,即()()21f x f x >,所以()f x 在区间()0∞+,上是增函数.【解析】(1)求出()f x -,判断()f x 与()f x -的关系即可.(2)根据单调性的定义证明步骤,可证明结论.本题考查函数奇偶性的判断,用定义法证明函数的单调性,属于基础题.22.【答案】(1)2x t =∵在1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,上单调递增t ∈∴.(2)函数()y f x =可化为:()223g t t t =-+,t ∈()y g t =∵在1⎤⎥⎦上单调递减,在1⎡⎣上单调递增比较得g g<,()()12min f x g ==∴,()5max f x g==-所以函数的值域为25⎡-⎣,.【解析】(1)由题意,可先判断函数2x t =,1122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,单调性,再由单调性求出函数值的取值范围,易得;(2)由于函数()1423x x f x +=-+是一个复合函数,可由2x t =,将此复合函数转化为二次函数()223g t t t =-+,此时定义域为t ∈,求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()f x 的值域.本题考查了对数函数的值域的求法,对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质,本题的重点在第二小题,将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域,先求内层函数的值域再求外层函数的值域,即可得到复合函数的值域,求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.。
2024-2025年北师大版数学必修第一册第三章单元质量评估卷(带答案)
第三章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ={-1,1},N ={x|12<2x +1<4,x∈Z },则M ∩N =( )A .{-1,1}B .{-1}C .{0}D .{-1,0} 2.在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是( )A .(-x )0.5=-x (x ≠0)B .6y 2=y 13(y <0)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -34=4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy ≠0)D .x-13=-3x 3.已知关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -4>3-2x ,则该不等式的解集为( )A .[4,+∞) B.(-4,+∞) C .(-∞,-4) D .(-4,1]4.函数f (x )=a x -1-2(a >0且a ≠1)的图象过定点( ) A .(0,-2) B .(0,-1) C .(1,-2) D .(1,-1)5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x,x ≥0,2-x ,x <0, 若f (f (-1))=1,则a =( )A .14B .12C .1D .2 6.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征,函数y =2x -2-x x 3-x的图象大致是( )7.已知函数f (x )=x (e x+a e -x)(x ∈R ),若f (x )是偶函数,记a =m ,若f (x )是奇函数,记a =n ,则m +2n 的值为( )A .0B .1C .2D .-18.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为:y =[x ](x ∈R ),[x ]表示不超过x 的最大整数,如[-1.6]=-2,[1.6]=1,[2]=2,已知f (x )=e x-1e x +1 +12,则函数y =[f (x )]的值域为( )A .{0}B .{-1,0}C .{-1,0,1}D .{-2,-1,0}二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.以下化简结果正确的是(字母均为正数)( )A .-x =(-x )12B .6y 2=y 13C .x -12y 23=3y 2xD .x -13=-3x10.已知函数f (x )=3x-⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x,则f (x )( ) A .是奇函数 B .是偶函数C .在R 上是增函数D .在R 上是减函数11.设指数函数f (x )=a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A .f (x +y )=f (x )f (y )B .f (x -y )=f (x )f (y )C .f (nx )=[f (x )]n(n ∈Q )D .[f (xy )]n =[f (x )]n [f (y )]n(n ∈N +)12.已知3a =5b=15,则a ,b 可能满足的关系是( ) A .a +b >4 B .ab >4C .(a -1)2+(b -1)2>2D .a 2+b 2<8第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.若函数f (x )满足:(1)对于任意实数x 1,x 2,当0<x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2);(2)f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2),则f (x )=________.(写出满足这些条件的一个函数即可)14.已知函数f (x )=b -2x2x +1为定义在区间[-2a ,3a -1]上的奇函数,则a =________,b =________.15.已知函数f (x )=3x3x +1 +x 3,且f (m )+f (m +1)>1,则实数m 的取值范围是________.16.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x ,x ≥1, 则满足f [f (a )]=2f (a )的a 的取值范围是________.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)化简求值:(179 )12 +(32)-1- (3-2)2;(2)已知a +a -1=3,求a 12+a -12的值.18.(本小题满分12分)函数y =F (x )的图象如图所示,该图象由指数函数f (x )=a x 与幂函数g (x )=x b“拼接”而成.(1)求F (x )的解析式;(2)比较a b 与b a的大小;(3)若(m +4)-b <(3-2m )-b,求m 的取值范围.19.(本小题满分12分)某城市现有人口总数为100万,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出x 年后该城市的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万);(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万(精确到1年).[(1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21]20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2a x-4+a2a x+a(a >0,a ≠1)是定义在R 上的奇函数 (1)求f (x )的解析式;(2)若x ∈(1,2)时,2+mf (x )-2x>0恒成立,求实数m 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常数,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)试确定f (x );(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x -m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )=3xa +a3x +1(a >0)是偶函数.(1)求实数a 的值并用定义证明函数f (x )在(0,+∞)上的单调性; (2)解不等式f (2t -1)<f (-t ).第三章 单元质量评估卷1.答案:B解析:∵12 <2x +1<4,∴-1<x +1<2,∴-2<x <1.又x ∈Z ,∴N ={-1,0},∴M ∩N ={-1}.2.答案:C解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -34 =⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 34=4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3 (xy ≠0).故选C. 3.答案:B解析:依题意可知,原不等式可转化为3-x +4>3-2x,由于指数函数y =3x为增函数,故-x +4>-2x ,x >-4,故选B.4.答案:D解析:依题意,因为f (x )=ax -1-2(a >0且a ≠1),所以令x -1=0,解得:x =1, 所以f (1)=a1-1-2=a 0-2=1-2=-1,所以函数f (x )=a x -1-2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,-1).故选D.5.答案:A解析:根据题意可得f (-1)=21=2,∴f (f (-1))=f (2)=a ·22=1,解得a =14 ,故选A.6.答案:A解析:函数f (x )=2x-2-xx 3-x =2x -2-xx (x -1)(x +1),由x 3-x ≠0,即x ≠0且x ≠-1且x ≠1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞), 由f (-x )=2-x-2x -x 3+x =2x -2-xx 3-x=f (x ),所以函数f (x )=2x -2-xx 3-x 为偶函数,其图象关于y 轴对称,可排除D ;当0<x <1时,2x >2-x ,x 3<x ,所以f (x )<0,可排除C ;由f (2)=58 ,f (3)=2164 ,f (8)=21 84543 008 ,即f (2)>f (3)<f (8),可排除B.故选A.7.答案:B解析:当f (x )是偶函数时,f (x )=f (-x ),即x (e x+a e -x)=-x ·(e -x+a e x),即(1+a )(e x +e -x )x =0①.因为①式对任意实数x 都成立,所以a =-1,即m =-1.当f (x )是奇函数时,f (x )=-f (-x ),即x (e x +a e -x )=x (e -x +a e x ),即 (1-a )(e x-e-x)x =0②.因为②式对任意实数x 都成立,所以a =1,即n =1,所以m +2n =1. 8.答案:C解析:因为f (x )=e x-1e x +1 +12 =32 -21+e x ,又e x+1>1,所以0<21+e x <2,所以-2<-21+ex <0, 所以f (x )=32 -21+e x ∈(-12 ,32 ),则g (x )=[f (x )]的值域为{-1,0,1}.故选C. 9.答案:BC解析:对于A ,-x =-x 12(x >0),故A 错误;对于B ,6y 2=(y 2)16 =y 13(y >0),故B 正确;对于C ,x -12y 23=()y 213x12=3y 2x (x >0,y >0),故C 正确;对于D ,x -13=1x 13=13x(x >0),故D 错误.故选BC.10.答案:AC解析:f (-x )=3-x-⎝ ⎛⎭⎪⎫13 -x =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x -⎝ ⎛⎭⎪⎫13x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,A 正确;又y =3x为增函数,g =⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 为减函数,所以f (x )=3x-⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x为增函数,C 正确,故选AC.11.答案:ABC 解析:因为f (x +y )=ax +y,f (x )f (y )=a x ·a y =ax +y,所以A 正确;f (x -y )=ax -y=f (x )f (y ),所以B 正确;f (nx )=a nx=(a x )n =[f (x )]n,所以C 正确;[f (xy )]n=(a xy )n=[f (x )]n·[f (y )]n=(a x )n·(a y )n=(ax +y )n≠(a xy )n,所以D 错误,故选ABC.12.答案:ABC解析:由3a=5b=15,得(3a )b=15b,(5b )a=15a,∴3ab=15b,5ab=15a,∴3ab·5ab=15b·15a,即15ab=15a +b,∴a +b =ab ,又a ,b 为不相等的正数,∴a +b >2ab ,∴ab >2ab ,即ab >4,故A ,B 正确;(a -1)2+(b -1)2>2等价于a 2+b 2>2(a +b ),又a +b =ab ,则a 2+b 2>2ab ,故C 正确;因为a 2+b 2>2ab ,ab >4,∴a 2+b 2>8,故D 错误.故选ABC.13.答案:2x(答案不唯一)解析:由条件(1)对于任意实数x 1,x 2,当0<x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),可得函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,条件(2)符合指数幂的运算性质:ax 1+x 2=ax 1·ax 2,(a >0且a ≠1), 故可选一个单调递增的指数函数:f (x )=2x. 14.答案:1 1解析:奇函数的定义域关于原点对称,所以-2a +3a -1=0,解得:a =1,并且f (0)=b -11+1=0,解得:b =1,所以f (x )=1-2x2x +1 ,经验证f (-x )=-f (x ),所以a =1,b =1.15.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ 解析:由3x 3x +1 联想到构造3x-13x +1 ,因为f (0)=12 ,所以考虑f (x )-12 =12 ·3x-13x +1 +x 3,令g (x )=f (x )-12,由g (-x )=12 ·3-x-13-x +1 -x 3=-12 ·3x-13x +1 -x 3=-g (x ),可知函数g (x )为奇函数,又g (x )=12 (1-23x +1)+x 3,所以函数g (x )在R 上单调递增.由f (m )+f (m +1)>1,得f (m )-12 +f (m +1)-12>0,即g (m )+g (m +1)>0,由奇函数性质可得g (m )>g (-1-m ),因为g (x )在R 上单调递增,所以m >-1-m ,解得m >-12.16.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ 解析:因y =2x与y =3x -1在(-∞,1)上没有公共点,故由f [f (a )]=2f (a )可得f (a )≥1,故有⎩⎪⎨⎪⎧a <1,3a -1≥1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,2a ≥1,解得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ .17.解析:(1)(179 )12+(32 )-1-(3-2)2 =(169 )12 +(32 )-1-|3 -2|=43 +23-(2-3 )=3 .(2)因为a +a -1=3,所以a >0,所以a 12>0. 因为(a 12+a -12)2=a +2+a -1=3+2=5, 所以a 12+a -12 =5 .18.解析:(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 14=12,⎝ ⎛⎭⎪⎫14b=12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =116,b =12,所以F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫116x,x ≤14,x 12,x >14.(2)因为a b=⎝ ⎛⎭⎪⎫116 12 =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 ,b a=⎝ ⎛⎭⎪⎫12 116 ,指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x单调递减, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 116 ,即a b <b a.(3)由(m +4)-12<(3-2m )-12,得⎩⎪⎨⎪⎧m +4>0,3-2m >0,m +4>3-2m ,解得-13 <m <32 ,所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,32 . 19.解析:(1)1年后该城市人口总数为y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%);2年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2;3年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)3;…;x 年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N +.(2)10年后该城市人口总数为y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万).(3)令y =120,则有100×(1+1.2%)x=120, 解方程可得15<x <16.故大约16年后该城市人口总数将达到120万.20.解析:(1)由题意,f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (0)=2-4+a2+a =0⇒a =2,经检验,满足题意;故f (x )=2x-12x +1.(2)由2+mf (x )-2x>0得mf (x )>2x-2即m ·2x-12x +1>2x-2,又x ∈(1,2),故2x -12x +1 >0,则m >(2x -2)(2x+1)2x-1 ; 令2x-1=t ,∵x ∈(1,2),∴t ∈(1,3),由题意,t ∈(1,3)时,m >(t -1)(t +2)t =t -2t+1恒成立,又y =t ,y =-2t 都在(1,3)上单调递增,故g (t )=t -2t+1在(1,3)上递增,∴g (t )<g (3)=103 ,故m ≥103 ,即实数m 的取值范围为[103,+∞).21.解析:(1)因为f (x )=b ·a x的图象过点A (1,6),B (3,24),所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a =6, ①b ·a 3=24, ② ②÷①得a 2=4,又a >0且a ≠1,所以a =2,b =3, 所以f (x )=3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x -m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x在x ∈(-∞,1]时恒成立.令g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x,则g (x )在(-∞,1]上单调递减, 所以m ≤g (x )min =g (1)=12 +13 =56 ,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,56 .22.解析:(1)因为定义域为R 的函数f (x )=3xa +a3x +1(a >0)是偶函数,所以f (-x )=f (x ),即3-xa +a 3-x +1=3xa +a3x +1,整理得(a -1a )(3x-13x )=0,所以a -1a=0,解得a =±1,又a >0,所以a =1, 故f (x )=3x+13x +1,令0<x 1<x 2, 则f (x 2)-f (x 1)=3x 2+13x 2-3x 1-13x 1=3x 2-3x 1-3x 2−3x 13x 1·3x 2=(3x 2−3x 1)(3x 1·3x 2−1)3x 1·3x 2,因为0<x 1<x 2,所以1<3x 1<3x 2, 所以3x 2-3x 1>0,3x 1·3x 2-1>0, 所以f (x 2)>f (x 1),所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)因为函数f (x )是偶函数且在(0,+∞)上单调递增, 又f (2t -1)<f (-t ),所以|2t -1|<|-t |,即(2t -1)2<(-t )2,解得13 <t <1,故不等式f (2t -1)<f (-t )的解集为(13 ,1).。
高一数学北师大版必修1练习第三章 章末检测 Word版含解析
解法二:-+-=-+-
===.
.(分)现有命题和如下.
:函数=在上单调递减.
:函数()=(++)的值域为.
如果和中有且只有一个命题是真命题,求非负实数的取值范围.
解:函数=在上单调递减⇔<<.
函数()=(++)的值域为⇔Δ=-×·≥,所以≤,又>,所以≥.
根据题设可知,命题和有且仅有一个正确.
其定义域为(-∞,)∪(,+∞).
所以,(,)⊆(-∞,)或(,)⊆(,+∞).
①若(,)⊆(,+∞),则≤<.
为研究∈(,)时()的值域,
可考虑()=在(,+∞)上的单调性.
下证()在(,+∞)上单调递减.
任取,∈(,+∞),且<,则
-=>.
又>,所以>,
即()>().
所以当(,)⊆(,+∞)时,()在(,+∞)上单调递减.
所以,在这种情况下,,无解.
综上,符合题意的实数,的值为=+,=.
.若函数()=,则[(-)]=()
..
..
答案:
解析:(-)=(-)-=,所以[(-)]=()==.
.不等式>-的解集是()
.(-,+∞)
.(-∞,-).(-∞,-)
答案:
解析:<-,<-.
.已知=,=,=,则()
.<<.<<
.<<.<<
答案:
解析:∵=<,=>,==,∴<<.
.函数()=的定义域是()
..
..
答案:
.已知函数()满足当≥时,()=.当<时,()=(+),则(+)=()
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(包含答案解析)
一、选择题1.已知函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 ( ) A .{}|0m m =B .{}0|m m ≤C .{}|0m m ≥D .{}|1m m =2.设0.60.6a =, 1.20.6b =,0.61.2c =中,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A . a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .b c a <<3.已知1311531log ,log ,363a b c π-===,则,,a b c 的大小关系是( )A .b a c <<B .a c b <<C .c b a <<D .b c a <<4.函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为( ).A .(0,+∞)B .(-,0)C .(2,+∞)D .(-,-2)5.已知2log 0.8a =,0.7log 0.6b =,0.60.7c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c << B .b a c <<C .a c b <<D .b c a <<6.如图是指数函数①y =x a ;②y =x b ;③y =c x ;④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c7.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+,则实数a 的取值范围是( ) A .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .102⎛⎤ ⎥⎝⎦,C .[]1,2D .(]0,2 8.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,那么a 的取值范围是( )A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.函数213()log 4f x x =-的单调减区间是( )A .(]()2,02,-+∞B .(]2,0-和(2,)+∞ C .(),20,2[)-∞-D .(,2)-∞-和[0,2)10.设()lg (21)fxx a =-+是奇函数,则使f(x)<0的x 的取值范围是( ).A .(-1,0)B .(0, 1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)11.函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()1+∞, B .()01,C .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .()3+∞, 12.实数,a b 满足2510a b ==,则下列关系正确的是( ) A .212a b+= B .111a b+= C .122a b+= D .1212a b += 二、填空题13.已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ,那么实数a 的取值范围是_________.14.若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数,则a 的取值范围是____________.15.函数()22log 617y x x =-+的值域是__.16.若函数11x y a +=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ,则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.17.已知2312a b ==,则21a b+=_______. 18.已知奇函数()()y f x x R =∈满足:对一切x ∈R ,()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时,()1xf x e =-,则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.19.已知3(1)4,1()1,1aa x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是__________.20.设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩,若()()04f f x =则0x ______.三、解答题21.(1)设0,0,m n x >>=化简A = (2)求值:1log log mm baab⋅;(3)设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()22()()g x f x f x =+的最大值与最小值.22.已知函数()ln(32)f x x =+,()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. (1)求函数()F x 的定义域; (2)判断()F x 奇偶性并证明; (3)若()0F x >成立,求x 的取值范围. 23.(1)已知12x y +=,9xy =,且x y <,求11221122x y x y-+值;(2)求值:2(lg 2)lg5lg 20+⋅.24.已知函数35()log 5xf x x-=+. (1)求函数()f x 的定义域;(2)判断函数()f x 奇偶性,并证明你的结论. 25.若函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数(1)求k ,b 的值;(2)求解不等式()()2743f x f x ->- 26.设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. (1)解不等式(26)(5)f a f a +; (2)已知对任意的实数()23,14m f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立,是否存在实数k ,使得对任意的[1,0]x ∈-,不等式()()142240x x xf f k ++--⋅>恒成立,若存在,求出k 的范围;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】若定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,可得0m ≥,若值域为实数集R ,令2x t m =+,则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+,可得0m ≤,再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,即2x m >-对于x ∈R 恒成立, 因为20x >,所以20x -<,所以0m ≥, 令2x t m =+,则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ,则2x t m =+的值域包括()0,∞+, 因为t m >,所以0m ≤, 所以0m =, 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立,分离参数m 求其范围,值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数,由t m >,所以0m ≤,再求交集.2.C解析:C 【分析】根据指数函数,幂函数的单调性即可判断. 【详解】因为指数函数0.6xy =是单调减函数,0.6 1.2<,所以0.6 1.20.60.6>,即a b >; 因为幂函数0.6y x=在()0,∞+上是增函数,0.6 1.2<,所以0.60.61.20.6>,即c a >.综上,b a c <<. 故选:C . 【点睛】熟练掌握指数函数,幂函数的单调性是解题关键.3.D解析:D 【分析】根据指数函数和对数函数性质,借助0和1进行比较. 【详解】由对数函数性质知151log 16>,13log 03π<,由指数函数性质知13031-<<,∴b c a <<. 故选:D .方法点睛:本题考查指数式、对数式的大小比较,比较指数式大小时,常常化为同底数的幂,利用指数函数性质比较,或化为同指数的幂,利用幂函数性质比较,比较对数式大小,常常化为同底数的对数,利用对数函数性质比较,如果不能化为同底数或同指数,或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小.4.D解析:D 【分析】求出函数的定义域,根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞,因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成,而12log y u =在定义域内单调递减,24u x =-在(),2-∞-内单调递减,所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-, 故选:D. 【点睛】易错点点睛:对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5.C解析:C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=,0.70.7log 0.6log 0.71b =>=,0.6000.70.71c <=<=,所以a c b <<,故选C.6.B解析:B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ;②y =x b 为减函数,且1x =时,②y =1b <①y =1a , 所以1b a <<,根据函数图象可知函数③y =c x ;④y =d x 为增函数,且1x =时,③y =c 1>④y =d 1, 所以1c d >> 故选:B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,指数函数的图象,数形结合的思想,属于中档题.7.A【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性,把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时,0x ->,则2()2()f x x x f x -=-=, 当0x >时,0x -<,则2()2()-=+=f x x x f x , ∴函数()f x 为偶函数,∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时,函数()f x 单调递增,∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤,则2log 1a ≤, ∴21log 1a -≤≤,解得122a ≤≤. 故选:A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质,考查函数的单调性与奇偶性,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.8.C解析:C 【分析】判断函数的单调性.利用分段函数解析式,结合单调性列出不等式组求解即可. 【详解】解:243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩()满足对任意12x x ≠,都有()()12120f x f x x x --<成立, 所以分段函数是减函数,所以:0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩,解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选C . 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用,函数的单调性的定义的理解,考查转化思想以及计算能力.9.B解析:B 【分析】先分析函数的定义域,然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->,所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞,令()24u x x =-,13log y u =在()0,∞+上单调递减, 当(),2x ∈-∞-时,()u x 单调递减,所以()f x 单调递增; 当(]2,0x ∈-时,()u x 单调递增,所以()f x 单调递减; 当()0,2x ∈时,()u x 单调递减,所以()f x 单调递增; 当()2,x ∈+∞时,()u x 单调递增,所以()f x 单调递减; 综上可知:()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选:B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解,难度一般.分析复合函数的单调性,注意利用判断的口诀“同增异减”,当内外层函数单调性相同时,整个函数为增函数,当内外层函数单调性相反时,整个函数为减函数.10.A解析:A 【解析】 试题分析:由()lg (21)fxx a=-+为奇函数,则()()f xf x -=-,可得1a =-,即()lg 11f x xx =+-,又()0f x<,即lg110xx+-<,可变为0111x x <+-<,解得10x -<<.考点:函数的奇偶性,对数函数性质,分式不等式.11.D解析:D 【分析】由题意可得可得1a >,且30a ->,由此求得a 的范围. 【详解】 解:函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,而函数()3t x ax =-在[]13,上单调递增,根据复合函数的单调性可得1a >,且30a ->,解得3a >,即()3a ∈+∞,故选:D . 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性,复合函数的单调性,属于基础题.12.B解析:B 【分析】根据指数式与对数的互化公式,求得11lg2,lg5a b==,再结合对数的运算公式,即可求解. 【详解】因为2510a b ==,可得25log 10,log 10a b ==,所以11lg2,lg5a b==, 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选:B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化,以及对数的运算公式的化简、求值,其中解答中熟记指数式与对数的互化公式,以及对数的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查运算与求解能力.二、填空题13.【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解:若当时当时此时的值域不为R 不符合题意;若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为:【点睛】本题考查分解析:31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >,结合已知和对数函数及一次函数的单调性,得a 的不等式组求解即可. 【详解】 解:若01a <<, 当1≥x 时,log 0a x ≤,当1x <时,()3332a x a a a a --<--=-,此时f x ()的值域不为R ,不符合题意;若1a >,当1≥x 时,log 0a x ≥,当1x <时,要使函数f x ()的值域为R ,需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩,解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩,312a ∴<≤, 综上所述,312a <≤, 故答案为:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质,考查分类讨论思想与数学运算能力,是中档题.14.【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知:在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析:(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得,设2()3g x x ax a =-+,根据对数函数及复合函数单调性可知:()g x 在[)2,+∞上是单调增函数,且(2)0g >,所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩,所以44a -<≤. 故答案为: (4,4]- 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.15.【分析】设转化为函数根据在上单调递增可求解【详解】设函数则函数∵在上单调递增∴当时最小值为故答案为:【点睛】本题考察了二次函数对数函数性质综合解决问题 解析:[)3,+∞【分析】设()2261738t x x x =-+=-+,转化为函数2log y t =,[)8,t ∈+∞,根据2log y t =在[)8,t ∈+∞上单调递增,可求解.【详解】设()2261738t x x x =-+=-+函数()22log 617y x x =-+,则函数2log y t =,[)8,t ∈+∞, ∵2log y t =,在[)8,t ∈+∞上单调递增, ∴当8t =时,最小值为2log 83=, 故答案为:[)3,+∞. 【点睛】本题考察了二次函数,对数函数性质,综合解决问题.16.【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为:【点睛】关键点睛:把指数型解析:34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点,得到1,2m n =-=,换元,令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,利用二次函数的单调性,即可求解. 【详解】函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-,则1,2m n =-=,区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-,由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭, 则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭, 利用二次函数的单调性, 当12t =时,()min 34f t =,则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34.故答案为:34. 【点睛】关键点睛:把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.17.【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算 解析:1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果,然后计算11,a b 的结果,由此即可计算出21a b +的结果. 【详解】因为2312a b ==,所以23log 12,log 12a b ==,所以121211log 2,log 3a b ==, 所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b+=+=+==, 故答案为:1.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式,然后根据对数运算法则完成计算.18.【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知:因为对一切故关于对称;又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为:【点睛】本题考查利用函数周期 解析:31e e --【分析】根据题意,求得()f x 的周期性,则()2019f 可求,再结合函数解析式,求得函数值即可.【详解】由题可知:因为对一切x R ∈,()()11f x f x +=-,故()f x 关于1x =对称;又因为()f x 是奇函数,则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-,故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=,故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-,又当[]0,1x ∈,()1x f x e =-,故()()201911f f e =-=-, 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为:31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值,属综合中档题;难点在于求得函数的周期.19.【分析】由在R 上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为:【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段 解析:3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由()f x 在R 上单调减,确定a , 3a -1的范围,再根据单调减确定在分界点x =1处两个值的大小,从而解决问题.【详解】因为3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数, 所以10013(1)4log 10a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥=⎩, 解得317a ≤<, 故答案为:3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查分段函数单调性问题,关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小,属于中档题.20.或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当(舍去)故答案为:或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算 解析:1-或2【分析】已知复合函数值求自变量,从外层求出里层,设0()t f x =,求出()4f t =对应的t 的值,再由0()t f x =求出0x 即可.【详解】令0()t f x =,则()4f t =,当11,24,1t t t +≤==,若010001,()21,1x x f x x +≤===-,若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===, 当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=(舍去) 故答案为:1-或2.【点睛】本题考查由函数值求自变量,涉及到简单指数和对数方程,考查分类讨论思想和数学计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)答案见解析;(2)1;(3)最大值222log 36log 36++(),最小值6. 【分析】(1)先求24x -,对m ,n 讨论,求出A ;(2)利用log =m a a m ,分别对1log log m m b a a b 、化简、求值;(3)把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++,换元后利用()233y t =+-在()20log 3,2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】(1)因为22244x -=-=,所以2,m n A m n m n -==+--故,当0m n ≥>时,m n A n -=, 当0m n <<时,n m A m -=(2)()g log log log lo log log =,m m m m m m b b b a a a a m m a m •==∴,同理()l l og og m m b a b m -•= ∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m m m m m m m b a b b aa m a m m mb -••⎡⎤-••⎢⎥⎣⎦⋅⨯ 即1log log m m b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log 6log 6g x x x x x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤ 令2log t x =,213,0log 3x t ≤≤∴≤≤∴()233y t =+-在()20log 3,上单增, ∴当t =0时,min 6,y =当2log 3t =时,2max 22log 36log 36y ++=() ∴()g x 的最大值222log 36log 36++(),最小值6.【点睛】指对数混合运算技巧:(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构,利用幂的运算性质;(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构,利用对数的运算性质.22.(1)33,22⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)奇函数,证明见解析;(3)302x << 【分析】(1)由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果; (2)()F x 是奇函数,根据奇函数的定义可证结论正确;(3)根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】(1)由320320x x +>⎧⎨->⎩,解得3322x -<<,所以函数()F x 的定义域为33(,)22-. (2)()F x 是奇函数. 证明如下:x ∀∈33(,)22-,都有x -∈33(,)22-,因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-, ∴()F x 是奇函数.(3)由()0F x >可得()()0f x g x ->,得ln(32)ln(32)0x x +-->,即ln(32)ln(32)x x +>-,由对数函数的单调性得32320x x ,解得302x <<. 【点睛】易错点点睛:利用对数函数的单调性解对数不等式时,容易忽视函数的定义域. 23.(1)2)1. 【分析】(1)求出x y -的值,再化简11221122x y x y -+即得解;(2)利用对数的运算法则化简求解.【详解】(1)因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=,又x y <,所以x y -=-所以1111222221122()3x yx y x y x y --====--+.(2)原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛:解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点,再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.24.(1)(5,5)- (2)奇函数,见解析【分析】(1)若()f x 有意义,则需满足505x x->+,进而求解即可; (2)由(1),先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.【详解】(1)由题,则505x x->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5- (2)奇函数,证明:由(1),()f x 的定义域关于原点对称,因为()()33355log log log 1055x x f x f x x x +--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.25.(1)2,3k b =-=;(2){}2x x <-.【分析】(1)根据指数函数的定义列出方程,求解即可;(2)根据指数函数的单调性解不等式即可;【详解】解:(1)∵函数()()()331x f x k a b a =++->是指数函数 ∴31,30k b +=-=∴2,3k b =-=(2)由(1)得()()1x f x a a =>,则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-,解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-;【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式,属于中档题.26.(1)(0,1)[2,)a ∈⋃+∞(2)实数k 不存在,详见解析【分析】(1)分类讨论,利用对数函数的单调性,将不等式具体化,解不等式即可;(2)判断函数()f x 为增函数,将不等式具体化,再分离参数求最值,即可得出结论.【详解】解:(1)当01a <<时,有2650a a +>,解得02a <≤,即(0,1)∈a ;当1a >时,有0265a a <+,解得2a ,即[2,)a ∈+∞.综上可知,(0,1)[2,)a ∈⋃+∞.(2)由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭, 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>,即()()14224x x x f f k ++>-⋅,则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立, 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立,令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 则min 17()24g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,即74k <. 又由于[1,0]x ∈-时,240x k -⋅>恒成立,解得2k >,故符合题意的实数k 不存在.【点睛】本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.。
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1.设a ,b ,c 为正数,且3a =4b =6c ,则有( ) A .111c a b=+ B .221c a b=+ C .122c a b=+ D .212c a b=+ 2.函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是( ). A . B .C .D .3.若lg 2a =,lg3b =,则5log 12等于( )A .21a b a++B .21a b a+C .21a b aD .21a b a-4.已知函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 ( ) A .{}|0m m =B .{}0|m m ≤C .{}|0m m ≥D .{}|1m m =5.若实数a ,b ,c 满足232log log ab c k ===,其中()1,2k ∈,则下列结论正确的是( ) A .b c a b >B .log log a b b c >C .log b a c >D .b a c b >6.已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<7.函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为( ). A .(0,+∞)B .(-,0)C .(2,+∞)D .(-,-2)8.设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--,则()f x ( ) A .是偶函数,且在11(,)33-单调递增B .是偶函数,且在1(,)3-∞-单调递增 C .是奇函数,且在11(,)33-单调递减 D .是奇函数,且在1(,)3-∞-单调递减9.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,它表示:在受高斯白噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中SN叫做信噪比.按照香农公式,在不改变W 的情况下,将信噪比SN从1999提升至λ,使得C 大约增加了20%,则λ的值约为(参考数据:lg 20.3≈, 3.96109120≈)( ) A .7596B .9119C .11584D .1446910.已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示,则a b c -+的值是( )A .1-B .1C .5-D .511.函数2y 34x x =--+的定义域为( )A .(41)--,B .(41)-,C .(11)-,D .(11]-, 12.已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是A .B .C .D .二、填空题13.现有下列四个结论:①若25a b m ==且a b =时,则1m =; ②若236log log log a b c ==,则c ab =;③对函数()3xf x =定义域内任意的1x ,都存在唯一的2x ,使得()()121f x f x ⋅=成立;④存在实数a ,使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .其中所有正确结论的序号是_________.14.函数f (x )=lg (x 2-3x -10)的单调递增区间是______.15.设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.16.72log 2338log2lg 5lg 47-+++=______.17.已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是_______.18.若函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ,则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.19.已知12512.51000x y ==,则11x y=_____.20.已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ,若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上,则()2log 3f =________. 三、解答题21.已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++-(1)记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域; (2)若对任意()0,2m ∈,[]0,1x ∈,都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,求实数a的取值范围.22.已知函数()2221log 2m x f x x-=-(0m >且1m ≠) (1)求()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由;(3)若关于x 的方程()1log m f x x =+有解,求m 的取值范围. 23.已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-,0k ≠. (1)当()f x 分别为奇函数和偶函数时,求k 的值;(2)若()f x 为奇函数,证明:对任意的m 、()1,1n ∈-,()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.(1)求()f x 的定义域; (2)判断()f x 的奇偶性并予以证明; (3)求不等式()1f x >的解集. 25.计算下列各式的值:(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)3ln 2145log 2lg 4lg82e +++ 26.计算1132113321(4()40.1()ab a b ----⋅(其中0a >,0b >)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ,再根据换底公式表示111,,a b c,最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k , 则a =log 3k , b =log 4k , c =log 6k , ∴311log 3log k a k ==, 同理1log 4k b =,1log 6k c=, 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+, ∴1112c a b =+,即221c a b =+. 故选:B 【点睛】本题考查指对数运算,换底公式,以及对数运算的性质,关键是灵活应用对数运算公式,公式1log log a b b a=是关键. 2.A解析:A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断. 【详解】由函数解析式可得:1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为:01y <≤, 由指数函数的性质知:在(),0-∞上单调递增;在()0,∞+上单调递减. 故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.3.C解析:C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得,5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:该题考查的是有关对数的运算,解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质,利用运算性质化简、运算,其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.4.A解析:A 【分析】若定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,可得0m ≥,若值域为实数集R ,令2x t m =+,则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+,可得0m ≤,再求交集即可.【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ,则20x m +>对于x ∈R 恒成立,即2x m >-对于x ∈R 恒成立, 因为20x >,所以20x -<,所以0m ≥, 令2x t m =+,则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ,则2x t m =+的值域包括()0,∞+, 因为t m >,所以0m ≤, 所以0m =, 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立,分离参数m 求其范围,值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数,由t m >,所以0m ≤,再求交集.5.D解析:D 【分析】首先确定a ,b ,c 的取值范围,再根据指对互化得到2k b =,3k c =,再代入选项,比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0,1),b ∈(2,4),c ∈(3,9),且23k k b c ==,,对于A 选项,01b a <<,1c b >可得到b c a b <,故选项A 错误;对于B 选项,log log 2log 20k a a a b k ==<,log log 3log 30k b b b c k ==>,所以log log a b b c <,故B 选项错误;对于C 选项,22log log 3log 31k kb c a ==>>,故C 选项错误;对于D 选项,1a b b b <=,1b c c c >=,而c >b ,所以b a c b >,故D 选项正确. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查指对数比较大小,本题的关键是首先确定,,a b c 的大小,并结合指对数运算化简选项中的对数式,再和中间值0或1比较大小,本题属于中档题型.6.B解析:B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果 【详解】因为33log 0.2log 10<=,0.20331>=,...030002021<<=,a cb ∴<<. 故选:B . 【点睛】比较大小问题,常见思路有两个:一是利用中间变量;二是利用函数的单调性直接解答7.D解析:D【分析】求出函数的定义域,根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞,因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成,而12log y u =在定义域内单调递减,24u x =-在(),2-∞-内单调递减,所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-, 故选:D. 【点睛】易错点点睛:对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.8.D解析:D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性,然后判断单调性,排除错误选项得正确结论. 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±,()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,()f x 是奇函数,排除AB ,312()lnln 13131x f x x x +==+--,11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,2310x -<-<,2231x <--,即21031x +<-,而131u x =-是减函数,∴2131v x =+-是增函数,∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,排除C .只有D 可选. 故选:D . 【点睛】结论点睛:本题考查函数的单调性与奇偶性,判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项,掌握复合函数的单调性是解题关键.()y f x =与()y f x =-的单调性相反, 在()f x 恒为正或恒为负时,()y f x =与1()y f x =的单调性相反,若()0f x <,则()y f x =与()y f x =的单调性相反.0a >时,()y af x =与()y f x =的单调性相同.9.B解析:B 【分析】根据题设条件列出方程,计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+,即()221.2log 2000log 1λ⨯=+,所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=,即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈,所以 3.961109120λ+≈≈,所以9119λ≈. 故选:B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数,考查学生的运算能力.10.D解析:D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4,利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值,则答案可求.【详解】解:由图可知,函数()f x 的减区间为(,2)-∞,增区间为(4,)+∞, ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞,增区间为(4,)+∞, ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4, 又(1)0f =,68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩,解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选:D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换,考查复合函数的单调性,考查数学转化思想方法,是中档题.11.C解析:C 【解析】要使函数有意义,需使210{340x x x +>--+>,即1{41x x >--<<,所以1 1.x -<<故选C12.B解析:B 【分析】利用对数函数的图象,以及函数的奇偶性和图象的变换,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,由函数()log a f x x =是增函数知,1a >, 当0x ≥时,函数(1)log (1)a y f x x =+=+,将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位,得到函数log (1)a y x =+的图象, 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+,所以函数(1)y f x =+为偶函数, 且图象关于y 轴对称, 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质,以及函数的图象变换的应用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.二、填空题13.①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误;设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误;由求得可判断③的正误;求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详解析:①②③ 【分析】利用换底公式结合a b =,求得m 的值,可判断①的正误;设236log log log a b c t ===,利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误;由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-,可判断③的正误;求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时,对应的实数a 的取值范围,可判断④的正误. 【详解】对于①,由于250abm ==>,可得2lg log lg 2m a m ==,5lg log lg 5mb m ==, 由于a b =可得lg lg lg 2lg 5m m=,则lg 0m =,解得1m =,①正确; 对于②,设236log log log a b c t ===,可得2t a =,3t b =,6t c =,则236t t t ab c =⋅==,②正确;对于③,对任意的1x R ∈,则()()1212123331xxx x f x f x +⋅=⋅==,120x x ∴+=,可得21x x =-,③正确;对于④,若函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R ,对于函数2y x ax a =++,240a a ∆=-<,解得01a <<;若函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R ,则函数2y x ax a =++的值域包含()0,∞+,则240a a ∆=-≥,解得0a ≤或1a ≥.所以,不存在实数a ,使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ,④错误.故答案为:①②③. 【点睛】关键点点睛:解本题第④问的关键点在于找到函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R的等价条件∆<0;函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.14.(5+∞)【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10>0可得x <-2或x >5∵u=x2-3x-10在(5+∞)单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析:(5,+∞) 【分析】确定函数的定义域,考虑复合函数的单调性,即可得出结论. 【详解】由x 2-3x-10>0可得x <-2或x >5,∵u=x 2-3x-10在(5,+∞)单调递增,而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得,函数f (x )=lg (x 2-3x-10)的单调递增区间是(5,+∞)故答案为(5,+∞). 【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用,考查学生的计算能力,属于中档题15.【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为:【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析:[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞,10210x x a ⋅+⋯++>恒成立,分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围,即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞,123910010x x x x x a+++++>恒成立,即10210xxa ⋅+⋯++>恒成立,则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为函数981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数,所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域,指数函数的单调性,不等式恒成立问题,属于基础题.16.【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为:【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析:32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32= 故答案为:32【点睛】此题考查指数对数的综合运算,关键在于熟练掌握运算法则和相关公式,准确化简求值.17.【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足(1)当时函数单调递增;则(2)当时函数单调递增;则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析:23a <≤【分析】根据分段函数单调性,列出各段为增函数的条件,并注意两段分界处的关系,即可求解.【详解】 函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增 则需满足(1)当2x <时,函数()f x 单调递增;则2a > (2)当2x ≥时,函数()f x 单调递增;则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =,满足()21221a a --⨯+≤,即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为:23a <≤ 【点睛】关键点睛:本题考查由函数的单调性求参数范围,解答本题的关键是分段函数在上单调递增,从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势,即函数()f x 在[)2+∞,上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤,这是容易忽略的地方,属于中档题.18.【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为:【点睛】关键点睛:把指数型解析:34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点,得到1,2m n =-=,换元,令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,利用二次函数的单调性,即可求解. 【详解】函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-,则1,2m n =-=,区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-,由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭, 则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭, 利用二次函数的单调性, 当12t =时,()min 34f t =,则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34. 故答案为:34. 【点睛】关键点睛:把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.19.【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为:【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析:13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案. 【详解】∵12512.51000x y ==, ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====,∴1000100011log 125,log 12.5x y==, ∴1000111log 103x y -==. 故答案为:13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c bb a=是解本题的关键.属于基础题.20.2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为:【点睛】该题考查的是有关函解析:2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点,再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ,最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ,得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1),将1,1x y ==代入()2x f x b =+,得121b +=,所以1b =-, 所以()21x f x =-, 则2log 32(log 3)21312f =-=-=,故答案为:2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题,点在函数图象上的条件,已知函数解析式求函数值,属于简单题目.三、解答题21.(1)256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦;94a > 【分析】(1)由()()103f x g x x =+化简得()234g x x x =-++,再结合函数定义域和二次函数增减性即可求解;(2)2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,即2max ()lg 25f x m m a <--+,求得max()f x 再分离参数a ,得22a m m >-++,即()2max 2a m m >-++恒成立,求得()2max 2m m -++即可求解a 的取值范围. 【详解】(1)()()()()2()lg 2lg 2lg 4,2,2f x x x x x =++-=-∈-,则()()2()10343,2,2f x g x x x x x =+=-+∈-,()g x 对称轴为32x =,当32,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时,()g x 单增,当3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()g x 单减,故()max 32524g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,当2x =-时,代入243x x -+得4466--=-,故()g x 的值域为256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦; (2)对任意()0,2m ∈,[]0,1x ∈,都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立,即2max ()lg 25f x m m a <--+恒成立,当[]0,1x ∈时,()2()lg 4f x x=-单调递减,()()max02lg 2f x f ==,即22lg 2lg 25m m a <--+,化简得22a m m >-++恒成立,即()2max 2a m m >-++恒成立,当12m =时,()2max 11922424m m -++=-++=,即94a >【点睛】关键点睛:本题考查求复合函数的值域,由函数在定区间恒成立求参数取值范围,解题关键在于:(1)求复合函数值域除了正确化简表达式之外,还必须在定义域的基础之上求解对应最值;(2)恒成立问题求参数取值范围常采用分离参数法求解,关键在于能正确理解全称命题与存在命题的等价转化. 22.(1)()1log 1m x f x x+=-;(2)()f x 为奇函数,理由见解析;(3)3m ≥+. 【分析】(1)令21t x =-,采用换元法求解函数解析式;(2)先确定函数的定义域,再由函数奇偶性的定义判断即可; (3)由条件可转化为()11x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.【详解】(1)令21t x =-,则21x t =+,则()()11log log 211m mt t f t t t++==-+-, 所以()1log 1m x f x x+=-; (2)由101xx+>-得11x -<<, 又()()()11log log 11mm x xf x f x x x---===---+,所以()f x 为定义域上的奇函数;(3)由11x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<,又1log 1log log 1mm m x x mx x +=+=-,11x mx x+=-在()0,1x ∈上有解, ()11x m x x +=-,令()11,2u x =+∈,2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,当且仅当u =,所以3m ≥+.【点睛】 易错点睛:(1)判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称; (2)利用基本不等式求解范围,一定要注意满足“一正二定三相等”的条件.23.(1)()f x 为奇函数时,1k =-,()f x 为偶函数时,1k =;(2)证明见解析. 【分析】(1)求出函数的定义域,利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值;(2)根据函数解析式分别求得()()+f m f n ,1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭,即可证明结论. 【详解】 (1)由1010x x +>⎧⎨->⎩,解得11x -<<,得函数()f x 的定义域为()1,1-,当()f x 为奇函数时,()()0f x f x +-=,即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=, 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦, 因为上式恒成立,所以10k +=,所以1k =-; 当()f x 为偶函数时,()()0f x f x --=,即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=, 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦, 因为上式恒成立,所以10k -=,所以1k =.综上,当()f x 为奇函数时,1k =-,当()f x 为偶函数时,1k =; (2)由(1)知,1k =-,()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-, ()()()()()()1111lnln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----, ()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+, 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数值一般思路是:(1)利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=(偶函数)或()()f x f x -=-(奇函数),从而建立方程,使问题获得解决;(2)取一对互为相反数的自变量的函数值,建立等式求出参数的值,但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.24.(1)()2,2-.(2)见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】试题分析:(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题(1)要使函数()f x 有意义.则20{20x x +>->,解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-.(2)由(1)知()f x 的定义域为()2,2-,设()2,2x ∀∈-,则()2,2x -∈-. 且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-, 故()f x 为奇函数. (3)因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数, 因为()1f x >,所以2102x x+>-,解得1811x >. 所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭. 25.(1)53-;(2)172. 【分析】(1)直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误;(2)直接利用对数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】(1)原式()()1134340.321-⎡⎤=-+⎣⎦150.32143-=-+-=-.(2)原式32ln 2322log 2515lg 4lg lg 1621828log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭ 172=. 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算,属于中档题. 指数幂运算的四个原则:(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算;(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数;(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数;(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答(化简过程中一定要注意等价性,特别注意开偶次方根时函数的定义域)26.85【分析】将小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,利用指数幂的运算性质化简求值.【详解】11131322133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式13113322211()()(4)()410ab a b ----=原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查指数幂的运算,要熟练掌握基本的运算法则和运算性质,小数转化为分数,根式转化为分数幂的形式,更有利于运算.。
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .211x y x -=-与1y x =+B .y x =与log xa y a =(0a >且1a ≠)C.y =1y x =-D .lg y x =与21lg 2y x =2.若x ,y ,z 是正实数,满足2x =3y =5z ,试比较3x ,4y ,6z 大小( ) A .3x >4y >6z B .3x >6z >4y C .4y >6z >3x D .6z >4y >3x3.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=,且当[)1,1x ∈-时,()2f x x =,若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点,则实数a 的取值范围为( ) A .()4,+∞ B .()6,+∞ C .()1,4D .()4,64.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=,且当(1x ∈,3]时,4()log f x x =,则(2021)f =( )A .12B .0C .4log 3D .15.已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ,则,,a b c 的大小顺序为( )A .a b c >>B .c a b >>C .b c a >>D .b a c >>6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数,且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=,则()()f x f x +-的最小值等于( ).A .2B .4C .8D .127.若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减,且lg 0.3=b ,0.32c =,则A .b a c <<B .b c a <<C .a b c <<D .c b a <<8.如图是指数函数①y =x a ;②y =x b ;③y =c x ;④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c9.已知235log log log 0x y z ==<,则2x 、3y 、5z的大小排序为 A .235x y z<<B .325y x z<<C .523z x y<<D .532z y x<<10.已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A .52a -B .2a -C .23(1)a a -+D .231a a --11.设()21,xf x c b a =-,且()()()f a f c f b >>,则下列说法正确的是( ) A .0,0,0a b c <<< B .0,0,0a b c ≥ C .22a c -<D .222c a +<12.函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为( )A .B .C .D .二、填空题13.已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数,满足(1)()f x f x +=-,当[0,1)x ∈时,()3x f x =,则3(log 30)f =________.14.已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是_______.15.下列五个命题中:①函数log (21)2015(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象过定点()1,2015; ②若定义域为R 函数()f x 满足:对任意互不相等的1x 、2x 都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,则()f x 是减函数;③2(1)1f x x +=-,则2()2f x x x =-;④若函数22()21x xa a f x ⋅+-=+是奇函数,则实数1a =-; ⑤若log 8(0,1)log 2c c a c c =>≠,则实数3a =. 其中正确的命题是________.(填上相应的序号).16.设函数()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈,使得00(1)()(1)f x f x f +=+,则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”,则正实数a 的取值范围为____________.17.已知函数2()log x f x =,实数,a b 满足0a b <<,且()()f a f b =,若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2,则1b a+=________. 18.已知奇函数()()y f x x R =∈满足:对一切x ∈R ,()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时,()1xf x e =-,则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.19.已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围是________. 20.已知27abm ==,1112a b +=,则m =_______. 三、解答题21.已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-,()()2()23x g x f a x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . (1)求函数()f x 的解析式;(2)若3a ≥时,求函数()g x 的最小值()h a 的表达式;(3)是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件:①3m n >>;②当()h a 的定义域为[],n m 时,值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦;若存在,求出m 、n 的值;若不存在,说明理由.22.(1)已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图像恒过定点A ,且点A 又在函数()()f x x a =+的图像上,求不等式()3g x >的解集;(2)已知121log 1x -≤≤,求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 23.求下列各式的值.(1)7log 23log lg 25lg 473+++. (2)()146230.2516248201249-⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭.24.已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-(其中0a >且1a ≠) (1)求函数()f x 的定义域,并判断它的奇偶性;(2)若2a =,当122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域. 25.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x 时,()121xaf x =++. (1)求实数a 的值及()f x 的解析式; (2)求方程4|(1)|5f x -=的解. 26.(1)160.25371.586-⨯-+-⎫⎛ ⎪⎝⎭(2)1324lg lg82493-+【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系,若定义域和对应关系均相同则为同一个函数,由此判断出正确选项. 【详解】A .211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠,1y x =+的定义域为R ,所以不是同一个函数;B .y x =与log xa y a =的定义域均为R ,且log xa y a =即为y x =,所以是同一个函数;C .y =(][),11,-∞-+∞,1y x =-的定义域为R ,所以不是同一个函数;D .lg y x =的定义域为()0,∞+,21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠,所以不是同一个函数, 故选:B. 【点睛】思路点睛:同一函数的判断步骤:(1)先判断函数定义域,若定义域不相同,则不是同一函数;若定义域相同,再判断对应关系;(2)若对应关系不相同,则不是同一函数;若对应关系相同,则是同一函数.2.B解析:B 【分析】令235xyzt ===,则1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,利用作差法能求出结果.【详解】∵x 、y 、z 均为正数,且235x y z ==, 令235x y z t ===,则1t >, 故2lg log lg 2t x t ==,3lg log lg 3t y t ==,5lg log lg 5tz t ==, ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即36x z >; ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即64z y >, 即364x z y >>成立,故选:B. 【点睛】 关键点点睛:(1)将指数式转化为对数式; (2)利用作差法比较大小.3.D解析:D 【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数,且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称,由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点,画出图象后,数形结合即可得解.因为函数()f x 满足()()2f x f x +=,所以函数()f x 是周期为2的周期函数, 又函数()log 1a g xx =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得, 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-,当[)1,1x ∈-时,()2f x x =,所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称,在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象,数形结合可得,若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点, 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点,则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩,解得()4,6a ∈. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.4.A解析:A 【分析】根据题意,由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数,则有(2021)f f =(2),结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意,定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=,则()f x 是周期为3的周期函数,则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=,又由当(1x ∈,3]时,4()log f x x =,则f (2)41log 22==, 故1(2021)2f =,【点睛】关键点点睛:根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ,再利用函数解析式求值是解题关键.5.B解析:B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点,转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标,利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点,即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标, 如图所示:由图象可得:c a b >>, 故选:B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数,对数函数和幂函数的图象的应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.6.B解析:B 【分析】根据()3x f x -为定值,可假设()3x f x m =+,然后计算()()f x f x +-,并计算m 的值,然后使用基本不等式,可得结果. 【详解】由题可知:()3xf x -为定值故设()3xf x m -=,即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=,所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时,取等号 所以()()f x f x +-的最小值为:4故选:B 【点睛】本题考查基本不等式的应用,还考查镶嵌函数的应用,难点在于()3xf x -为定值,审清题意,细心计算,属中档题.7.A解析:A 【分析】求出原函数的定义域,再求出内函数二次函数的增区间,由题意列关于a 的不等式组,求得a 的范围,结合b=1g0.3<0,c=20.3>1得答案. 【详解】由5+4x-x 2>0,可得-1<x <5, 函数t=5+4x-x 2的增区间为(-1,2),要使f(x)=log 0.3(5+4x−x 2)在区间(a-1,a+1)上单调递减, 则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩,即0≤a≤1.而b=1g0.3<0,c=20.3>1, ∴b <a <c . 故选A . 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.8.B解析:B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ;②y =x b 为减函数,且1x =时,②y =1b <①y =1a , 所以1b a <<,根据函数图象可知函数③y =c x ;④y =d x 为增函数,且1x =时,③y =c 1>④y =d 1, 所以1c d >> 故选:B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,指数函数的图象,数形结合的思想,属于中档题.9.A解析:A 【解析】x y z ,, 为正实数,且235log log log 0x y z ==<,111235235k k k x y z ---∴===,,,可得:1112352131,51k k k x y z---=>=>=>,. 即10k -> 因为函数1kf x x -=() 单调递增,∴235x y z<<. 故选A.10.B解析:B 【解析】试题分析:33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点:指数对数的计算11.D解析:D 【详解】分析:先画出函数()21xf x =-的图像,根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a <0,b >0,c >0,再找正确的选项. 详解:作出函数()21xf x =-的图像,因为c b a >>且()()()f a f c f b >>, 所以a <0, c >0,因为()()f a f c >,所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛:(1)本题主要考查图像的作法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a <0,b >0,c >0.12.A解析:A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项,再确定函数值的变化趋势排除一个,得出正确选项. 【详解】解:函数的定义域为{0}xx ≠∣, 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-,所以()f x 为偶函数,所以排除C ,D,又因为当0x >时,322ln ln ()x x xf x x x x-==-, 当x →+∞时,()f x →+∞,所以排除B故选:A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题方法是排除法,即通过判断函数的性质,特殊的函数值或函数值的变化趋势等,排除错误选项,得出正确答案.二、填空题13.【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为:【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题解析:109-【分析】利用对数的运算性质得出3310log 303log 9=+,结合周期性,即可得出3(log 30)f 的值. 【详解】33333101010log 30log 27log 27log 3log 999⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭,且333100log log log 9131=<<= (1)()f x f x +=-,(11)(1)()f x f x f x ∴++=-+=,则(2)()f x f x +=,则函数()f x 的周期为2310log 3333310101010(log 30)21log 1log log 39999f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为:109- 【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值,涉及了对数的运算,属于中档题.14.【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足(1)当时函数单调递增;则(2)当时函数单调递增;则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析:23a <≤【分析】根据分段函数单调性,列出各段为增函数的条件,并注意两段分界处的关系,即可求解. 【详解】 函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩,在R 上单调递增 则需满足(1)当2x <时,函数()f x 单调递增;则2a > (2)当2x ≥时,函数()f x 单调递增;则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =,满足()21221a a --⨯+≤,即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为:23a <≤ 【点睛】关键点睛:本题考查由函数的单调性求参数范围,解答本题的关键是分段函数在上单调递增,从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势,即函数()f x 在[)2+∞,上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a--⨯+≤,这是容易忽略的地方,属于中档题.15.①③⑤【分析】对①由对数函数恒过即可判断;对②由函数单调性的定义即可判断函数的单调性;对③利用换元法即可求得函数的解析式;对④由奇函数的定义即可判断;对⑤由换底公式即可求得的值【详解】解:对①令解得解析:①③⑤ 【分析】对①,由对数函数恒过(1,0),即可判断; 对②,由函数单调性的定义即可判断函数的单调性; 对③,利用换元法即可求得函数()f x 的解析式; 对④,由奇函数的定义即可判断; 对⑤,由换底公式即可求得a 的值. 【详解】解:对①,令211x -=, 解得:1x =,则(1)2015f =,()f x ∴的图象过定点()1,2015,故①正确;对②,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦,当12x x <时,()()12f x f x <; 当12x x >时,()()12f x f x >;()f x ∴是R 上的增函数,故②错误;对③,令1t x =+,则1x t =-;2()2f t t t ∴=-,即2()2f x x x =-,故③正确; 对④,由题意知()f x 的定义域为R , 又()f x 为奇函数,(0)0f ∴=,解得:1a =,故④不正确; 对⑤,log 8lg83lg 2=3log 2lg 2lg 2c c a ===,故⑤正确. 故答案为:①③⑤. 【点睛】方法点睛:求函数解析式常用方法:(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数(())f g x 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)方程法:已知关于()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).16.【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为:【点睛】思路点睛:本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析:[3【分析】首先根据定义,列出()()()0011f x f x f +=+的等式,转化为()()20202111x a x +=++,再根据分离常数和换元法,求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”,∴存在实数00x >,使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >,()()222002111a a x x ∴=+++,()()()2220000002222000000021222422242222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++, 设0422x t +=>,024t x -∴=, 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ,20444t t ++≥=,当t =即32a ≤<. 故答案为:)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛:本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型,首先正确利用新定义,并正确表示()()20202111x a x +=++,利用01x >,转化为求函数的值域,即求a 的取值范围.17.4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示:根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为:4【点睛】解析:4【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<,再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值,最后计算得到答案. 【详解】如图所示:根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<,所以201a a <<<.结合函数图象,易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值,所以()222log2f aa ==又01a <<,所以12a =, 再结合()()f a f b =,可得2b =,所以2241b a+=+=. 故答案为:4 【点睛】关键点睛:解题关键在于,作出对数函数2()log x f x =的图象,得到01a b <<<,进而求解,属于中档题18.【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知:因为对一切故关于对称;又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为:【点睛】本题考查利用函数周期 解析:31e e --【分析】根据题意,求得()f x 的周期性,则()2019f 可求,再结合函数解析式,求得函数值即可. 【详解】由题可知:因为对一切x R ∈,()()11f x f x +=-, 故()f x 关于1x =对称; 又因为()f x 是奇函数,则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-, 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=, 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-,又当[]0,1x ∈,()1xf x e =-,故()()201911f f e =-=-,则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为:31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值,属综合中档题;难点在于求得函数的周期.19.【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为:【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析:112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞,可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可. 【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞,故要使()f x 的值域为R , 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数,且1230a a -+≥, 所以120a ->,且1a ≥-,解得112a -≤<. 故答案为:112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭, 【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围,属于中档题.20.196【分析】将指数式化成对数式再根据对数的运算及对数的性质计算可得;【详解】解:∵∴∵∴∴解得故答案为:【点睛】本题考查指数与对数的关系对数的运算及对数的性质的应用属于中档题解析:196 【分析】将指数式化成对数式,再根据对数的运算及对数的性质计算可得; 【详解】 解:∵27a bm ==,∴2log a m =,7log b m =,1log 2m a ∴=,1log 7m b= ∵1112a b +=,∴1log 2log 7log 142m m m +==,∴14=,解得196m =故答案为:196 【点睛】本题考查指数与对数的关系,对数的运算及对数的性质的应用,属于中档题.三、解答题21.(1)1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)()126h a a =-;(3)不存在,理由见解析. 【分析】(1)设()xf x c =(0c >且1c ≠),由题意可得()13f -=,可求得c 的值,进而可求得函数()f x 的解析式;(2)令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,设()223k t t at =-+,分析当3a ≥时,函数()k t 的单调性,进而可得出()()min h a k t =,即可得解;(3)分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减,可得出22126126n m m n⎧-=⎨-=⎩,将两个等式作差可得出6m n +=,结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】(1)设()xf x c =(0c >且1c ≠),因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-,()113f c-∴-==,即13c =,因此,()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (2)令()13xt f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,[]1,1x ∈-,1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 所以,设()223k t t at =-+,对称轴为t a =.3a ≥,可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,当3t =时,()k t 取最小值,即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-; (3)由(2)知3m n >>时,()126h a a =-在[],n m 上单调递减,若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦,则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩,即()()()6m n m n m n -=-+,m n ≠,则0m n -≠,6m n ∴+=,又3m n >>,则6m n +>,故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】方法点睛:(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定,不论哪种类型,解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.22.(1)()3,+∞;(2)min 1y =,max 54y =. 【分析】(1)结合指数函数性质首先求a 的值,再解指数不等式;(2)通过换元,设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且求变量的取值范围,转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【详解】(1)由题意知定点A 的坐标为()2,2, ∴)22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+.∴由()3g x >得,2213x -+>. ∴222x ->. ∴21x ->. ∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞.(2)由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则14t ≤≤, 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =,即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭,1x =时,min 1y =, 当14t =,即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭,2x =时,max 54y =. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质,考查求对数型函数的值域,求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数,然后求解. 23.(1)154;(2)210 【分析】(1)根据对数的运算法则运算求值即可(2)根据指数的运算法则化简求值. 【详解】(1)7log 23log lg 25lg 47++ 143log 3lg1002-=++1224=-++154= (2)()146230.2516248201249-⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭43132334447223(2)42214=⨯⨯+-⨯-⨯+2162721=+--+210=【点睛】本题主要考查了对数的运算,指数的运算,属于中档题. 24.(1)(1,1)-,()f x 在(1,1)-内为偶函数;(2)[2,0]-. 【分析】(1)由对数真数大于0可得定义域,由奇偶性定义判断奇偶性;(2)确定函数在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性可得最大值和最小值,从而得值域. 【详解】(1)由题意知:(1)(1)0x x +->,解得11x -<<, 所以函数()f x 的定义域为(1,1)-由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=,所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数. (2)由2a =,有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x =-+=-又因为12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x在⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,所以min21()log 224f x f ⎛=-==- ⎝⎭,max 2()(0)log 10f x f ===, 所以函数()f x在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内值域为[2,0]-. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域,奇偶性,单调性,值域.掌握对数函数的性质是解题关键.本题还需掌握复合函数的单调性的判断:同增异减.25.(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =-【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121xaf x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121xx x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x xxf x f x -----=--=-=-=+++. 故()2121x x f x -=+(2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+.当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-.故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题. 26.(1)110;(2)13lg5lg 222- 【分析】(1)利用指数幂的运算法则即得解; (2)利用对数的运算法则即得解. 【详解】(1)原式1111323334422()12223()33⨯=⨯+⨯+⨯-2108110=+=(2)原式153222124lg lg 2lg(57)273=-+⨯11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+ 11(5lg 22lg 7)4lg 2(lg5+2lg7)22=--+31lg2lg5=-+22【点睛】本题考查了指数与对数运算,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.。
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1.定义:若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ,且,A B 两点关于原点对称,则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”,点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”,已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,则该函数的“镜像点对”有( )对.A .1B .2C .3D .4 2.设()|lg |f x x =,且0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,则( ) A .(1)(1)0a c --> B .1ac >C .1ac =D .01ac <<3.已知()f x ,()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足()()2xf xg x +=,若对于任意的[]1,2x ∈,都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<5.函数()213log 23y x x =-++的单调递增区间是( )A .(]1,1-B .(1)∞-,C .[) 1,3D .(1)∞,+ 6.已知函数()()()2331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值,则实数a 的取值范围是( ) A.13a <<B.a >C.13a <<D.a >7.已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log 3b =,4log 7c =,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .a c b <<8.已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数,且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=,则()()f x f x +-的最小值等于( ).A .2B .4C .8D .129.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,那么a 的取值范围是( )A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .1m ≤-B .10m -≤<C .m 1≥D .01m <≤11.已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭,都满足不等式()()21210f x f x x x ->-,则实数a 的取值范围是( )A .[)1,-+∞B .(],1-∞-C .11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12.如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数,那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是( )A .B .C .D .二、填空题13.已知函数()2log f x x =,正实数m ,n 满足m n <,且()()f m f n =,若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2,则m n +=________.14.已知函数f (x )=3x +x ,g(x )=log 3x +2,h (x )=log 3x +x 的零点依次为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系是________.15.已知函数()()212log 23f x x ax =-+,若函数的增区间是(),1-∞,则实数a =______.16.方程()()122log 44log 23xx x ++=+-的解为____;17.给出下列命题:①函数2x y =与2log y x =互为反函数,其图象关于直线y x =对称; ②已知函数2(1)21f x x x -=-+,则(5)26f =;③当0a >且1a ≠时,函数()log (2)3a f x x =--的图像必过定点(3,3)-; ④用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过3次二分后精确度达到0.1;⑤函数2()2x f x x =-的零点有2个. 其中所有正确命题....的序号是______ 18.函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区...间是__________. 19.有以下结论:①将函数x y e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象; ②函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠),一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________. 20.设函数()f x =,则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.三、解答题21.化简下列各式 (1)()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭(2))11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭22.已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,函数()13log g x x =.(1)若函数()22y g mx mx =++的定义域为R ,求实数m 的取值范围;(2)是否存在非负实数,m n ,使得函数()2y g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为[],m n ,值域为[]2,2m n ,若存在,求出,m n 的值;若不存在,则说明理由;(3)当[]1,1x ∈-时,求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a . 23.计算: (1)1ln 224()9e-+; (2)()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.24.已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数,当0x >时,()232f x ax ax =-+,(a R ∈).(1)求()f x 的函数解析式:(2)当1a =时,求满足不等式()21log f x >的实数x 的取值范围. 25.计算:(1)()210.2513110.02781369-︒--⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;. (2)()2lg32lg25lg8lg5lg20lg2103+++- 26.已知函数()21log 1x f x x +=-,(1)求函数()y f x =的定义域; (2)证明:()y f x =是奇函数; (3)设()()()14h x f x f x =+,求函数()y h x =在[]3,7内的值域;【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知,函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ,且,A B 两点关于原点对称,则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”,因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-,即3xy -=,()0x >,作函数3xy -=,()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下:由图像可知两图象有三个公共点,即该函数有3对“镜像点对”. 故选:C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义,寻找对称点对,探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数,通过数形结合,即突破难点.2.D解析:D 【分析】作出()f x 的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】∵函数()|lg |f x x =,作出()f x 的图象如图所示,∵0a b c <<<时,有()()()f a f c f b >>,∴0<a <1,c >1,即f (a )=|lga |=﹣lga ,f (c )=|lgc |=lgc ,∵f (a )>f (c ), ∴﹣lga >lgc ,则lga +lgc =lgac <0,则01ac <<. 故选:D .【点睛】关键点点睛:利用对数函数的图象和性质,根据条件确定a ,c 的取值范围.3.B解析:B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=,()222x x g x --=,讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立,则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=,()()2x f x g x --+-=∴,()f x 是偶函数,()g x 分是奇函数,()()2x f x g x -=∴-,可得()222x xf x -+=,()222x xg x --=,则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦,令()22xxh x -=+,令2x t =,由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增, 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增,则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====, 对于()222x x g x --=,因为2xy =单调递增,2x y -=-单调递增,()g x ∴在[]1,2单调递增,()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====, ()()h x g x ∴>恒成立,则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得()()g x a h x ≤≤,()()max min g x a h x ∴≤≤,即15582a ≤≤. 故选:B. 【点睛】关键点睛:本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式,根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.4.B解析:B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果 【详解】因为33log 0.2log 10<=,0.20331>=,...030002021<<=,a cb ∴<<.故选:B . 【点睛】比较大小问题,常见思路有两个:一是利用中间变量;二是利用函数的单调性直接解答5.C解析:C 【分析】由不等式2230x x -++>,求得函数的定义域()1,3-,令()223g x x x =-++,得到()g x 在区间(]1,1-上单调递增,在区间[1,3)上单调递减,结合复数函数的单调性的判定方法,即可求解. 【详解】由题意,函数213()log 23y x x =-++有意义,则满足2230x x -++>, 即223(3)(1)0x x x x --=-+<,解得13x,即函数的定义域为()1,3-,令()223g x x x =-++,则函数()g x 表示开口向下,对称轴方程为1x =的抛物线, 所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增,在区间[1,3)上单调递减, 又由函数13log y x =在定义上是递减函数,结合复数函数的单调性的判定方法,可得函数213()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选:C. 【点睛】函数单调性的判定方法与策略:定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论;图象法:如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间;导数法:先求出函数的导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间;复合函数法:先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =,再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.6.C解析:C 【分析】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦,由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩,可得出关于实数a 的不等式组,由此可解得实数a 的取值范围.【详解】令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦,由题意可得()()()()23301log 0126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩,可得311log 3a -<<,解得13a <<故选:C. 【点睛】思路点睛:求解一次函数不等式在区间上恒成立,一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可,即可得出关于参数的不等式,求解即可.7.D解析:D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >,然后根据1a <以及1c >得出c a >,即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =,42log 7log 7c ,函数2log y x =在()0,∞+上是增函数,所以b c >,因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,44log 7log 41c , 所以c a >, 综上所述,a c b <<, 故选:D. 【点睛】指数、对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,考查计算能力,是中档题.8.B解析:B 【分析】根据()3x f x -为定值,可假设()3xf x m =+,然后计算()()f x f x +-,并计算m 的值,然后使用基本不等式,可得结果. 【详解】由题可知:()3xf x -为定值故设()3xf x m -=,即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=,所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时,取等号 所以()()f x f x +-的最小值为:4故选:B 【点睛】本题考查基本不等式的应用,还考查镶嵌函数的应用,难点在于()3xf x -为定值,审清题意,细心计算,属中档题.9.C解析:C 【分析】判断函数的单调性.利用分段函数解析式,结合单调性列出不等式组求解即可. 【详解】解:243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩()满足对任意12x x ≠,都有()()12120f x f x x x --<成立, 所以分段函数是减函数,所以:0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩,解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选C . 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用,函数的单调性的定义的理解,考查转化思想以及计算能力.10.B解析:B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点,转化为11()2xy -=与y m =-有公共点,结合函数图象,可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点,即11()2x y -=与y m =-有公共点,11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选:B 【点睛】本题考查了函数的交点问题,考查了运算求解能力和数形结合思想,属于基础题目.11.C解析:C 【分析】由题意可知,函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增,利用复合函数的单调性可知,内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减,且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立,进而可得出关于实数a 的不等式组,由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 因为()()21210f x f x x x ->-,所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数,令2u x ax a =--,而13log y u =是减函数,所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立,所以212211022aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得112a -≤≤. 故选:C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数,解题时还应注意真数要恒为正数,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.12.C解析:C 【分析】由题意求得1a >,再结合对数函数的图象与性质,合理排除,即可求解. 【详解】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数,可得函数x y a =为增函数,所以1a >, 所以函数log (1)a y x =-+为减函数,可排除B 、D ; 又由当0x =时,log (01)0a y =-+=,排除A. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质,以及指数函数与对数的关系是解答的关键,着重考查推理与运算能力.二、填空题13.【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示:根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为:【点睛】本题解析:52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<,再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值,最后计算得到答案. 【详解】如图所示:根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<,所以201m m <<<.结合函数图象,易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值,所以()222log 2f m m == 又01m <<,所以12m =, 再结合()()f m f n =,可得2n =,所以21522m n +=+=.故答案为:52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法,是中档题.14.【解析】画出函数的图象如图所示:观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛:函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析:a b c << 【解析】画出函数3x y =,3log y x =,y x =-,2y =-的图象,如图所示:观察图象可知,函数()3xf x x =+,3()log 2g x x =+,3()logh x x x =+的零点依次是点A ,B ,C 的横坐标,由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛:函数的零点与方程根的分布问题,解题时常用数形结合思想,对于方程()()0f x g x -=的根,可分别画出()f x 与()g x 的图象,则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15.1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得;【详解】解:因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析:1或2 【分析】因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减,要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞,分两种情况讨论,对称轴1x =和对称轴1x a =>,分别计算可得; 【详解】解:因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减,要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞,①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时,因为()22430∆=--⨯<,所以2230x ax -+>恒成立,满足条件,②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时,需满足()10g =,即21230a -+=解得2a =;综上可得1a =或2 故答案为:1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断,已知函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.16.【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解:可得即:解得(舍去)可得经检验是方程的解故答案为:【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析:2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可. 【详解】 解:()()122log 44log 23x x x ++=+-()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-可得()()122log 44log 232x x x++=-⎡⎤⎣⎦, 即:()144232x x x++=-,()223240xx -⋅-=,解得21x =-(舍去)24x =,可得2x =.经检验2x =是方程的解. 故答案为:2. 【点睛】本题考查方程的解的求法,对数的运算法则的应用,考查计算能力.17.①③【分析】①求解出的反函数再根据反函数的特点进行判断;②采用换元法求解出的解析式由此计算出的值并进行判断;③分析当对数式的真数为时此时的值由此确定出函数所过定点并进行判断;④根据每经过一次操作区间解析:①③ 【分析】①求解出2x y =的反函数,再根据反函数的特点进行判断;②采用换元法求解出()f x 的解析式,由此计算出()5f 的值并进行判断;③分析当对数式的真数为1时,此时,x y 的值,由此确定出函数所过定点并进行判断; ④根据每经过一次操作区间长度变为原来的一半,由此列出关于次数的不等式,求解出次数的范围并进行判断;⑤根据()()2,4f f 的值以及零点的存在性定理进行判断. 【详解】①令2y x =,所以2log y x =,所以函数2x y =与2log y x =互为反函数,则图象关于y x =对称,故正确;②令1x t -=,则1x t =+,所以()()()221211f t t t t =+-++=,所以()2f x x =,所以()525f =,故错误;③令21x -=,所以3x =,所以()3log 133a f =-=-,所以()f x 过定点()3,3-,故正确;④因为区间()2,3的长度为1,经过n 次操作过后区间长度变为12n ,所以10.12n≤,所以4n ≥,故错误;⑤因为()()22422220,4240f f =-==-=,且()()()21011210,020102f f --=--=-<=-=>,所以()f x 在()1,0-上有零点,所以()f x 的零点至少有3个,故错误; 故答案为:①③. 【点睛】 结论点睛:(1)同底数的指数函数和对数函数互为反函数,图象关于y x =对称;(2)形如()()()log 0,1a f x g x b a a =+>≠的图象过定点问题,可考虑令()1g x =,由此求解出x 的值,从而对应的()f x 的值可求,则定点坐标可求;(3)利用二分法求解函数零点的近似值时,每进行一次操作,区间长度会变为原来的一半.18.【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为:【点 解析:(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域,利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+,有2560x x -+>,解得2x <或3x >. 所以,函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞,内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减,在区间()3,+∞上单调递增, 外层函数12log y u =为减函数,所以,函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为:(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增,异则减”,即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性,则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数,若具有不同的单调性,则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数.19.②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项;②根据指对函数的对称性直接判断;③根据指数函数的图象特点判断选项;④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析:②③④ 【分析】①根据图象的平移规律,直接判断选项;②根据指对函数的对称性,直接判断;③根据指数函数的图象特点,判断选项;④先求22x x -+的范围,再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象,所以①不正确;②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称,正确;③如下图,设1a >,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标,()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标,由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,同理,当01a <<时,结论一样,故③正确;④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=,所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方,故④正确. 故答案为:②③④ 【点睛】思路点睛:1.图象平移规律是“左+右-”,相对于自变量x 来说,2.本题不易判断的就是③,首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义,再结合图象判断正误. 20.【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析:【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值,由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====, ()()12x x x f x f x ∴+-=+===,因此,()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=.故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算,解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值,考查计算能力,属于中等题.三、解答题21.(1)98;(2)a b. 【分析】(1)首先将根式化为分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的运算法则化简求值;(2)将根式化简为分数指数幂,再按照分数指数幂的运算公式化简. 【详解】(1)原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281=⨯--⨯-10872198=---=;(2)原式()1110812232233354331127272333333a b a b ab a b a b ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅ 【点睛】关键点点睛:本题的关键是第二问,理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 22.(1)08m ≤<;(2)存在,0,2m n ==;(3)答案不唯一,见解析. 【分析】(1)根据函数定义域为R ,转化为220mx mx ++>恒成立,分类讨论求解;(2)根据二次函数单调性可得2222m mn n⎧=⎨=⎩,求解即可;(3)换元,令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,分类讨论求二次函数的最小值即可. 【详解】(1)∵定义域为R ,即220mx mx ++>恒成立 ∴0m =, 或0m >⎧⎨∆<⎩得08m << 综上得08m ≤< (2)2yx 的定义域为[],m n ,值域为[]2,2m n∴222(0)2m mm n n n ⎧=≤<⎨=⎩ ,解得0,2m n ==. (3)令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则223y t at =-+ 若13a ≤,则228()39a h a =-+; 若133a <<,则2()3h a a =-; 若3a ≥,则()612h a a =-+;【点睛】关键点点睛:涉及指数型复合函数的单调性最值问题,多采用换元法,能够使问题简捷,突出问题本质,大多转化为二次函数,利用二次函数的图象和性质,体现转化思想,属于中档题. 23.(1)32;(2)3. 【分析】(1)利用指对数运算对数恒等式直接得解 (2)利用对数运算及换底公式得解.(1)1ln 22433()22922e -++=+-=, (2)223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=【点睛】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=24.(1)()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩;(2)()()()()3,21,00,12,3---.【分析】(1)根据已知和函数的奇偶性可得0x <的解析式从而求得()f x ; (2)当1a =时,分别解每一段小于1的不等式,最后求两段的并集可得答案. 【详解】(1)设0x <,0x ->,()232f x ax ax -=++,又∵()f x 为偶函数,()()f x f x -=,∴()232f x ax ax =++. 综上:()2232,032,0ax ax x f x ax ax x ⎧-+>=⎨++<⎩. (2)当1a =时,可知:0x >,()2232log 1x x -<+,原不等式等价于22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩,解得()()0,12,3x ∈,同理可知:0x <,()2232log 1x x +<+,原不等式等价于22320322x x x x ⎧++>⎨++<⎩,解得()()1,03,2x ∈---,综上:实数x 的取值范围为()()()()3,21,00,12,3---.【点睛】求分段函数的解析式,要根据函数的奇偶性、对称性、周期性等结合已知条件进行求解,要注意定义域. 25.(1)29-;(2)0(1)由幂的运算法则计算; (2)根据对数运算法则计算. 【详解】(1)原式1240.253271101()6(3)13631291000333-=-++-=-++-=-(2)原式2lg32lg52lg 2lg5(1lg 2)(lg 2)10=++++-2lg5lg 2(lg 2lg5)3330=+++-=-= 【点睛】本题考查幂的运算和对数的运算,掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础. 26.(1)见解析;(2)见解析;(3)[]4,5 【分析】 (1)由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域; (2)证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数;(3)先求出()f x 在[]3,7上的值域,令()t f x =,求()14h t t t=+的值域. 【详解】 (1)由101x x +>-得:1x >或1x <-, ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞;(2)()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-, ()f x ∴为奇函数;(3)()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减,令()t f x =,则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 而()14h t t t=+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域,奇偶性,考查了复合函数的单调性,值域求解,属于中档题.。
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1.函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是( ). A . B .C .D .2.下列等式成立的是( ) A .222log (35)log 3log 5+=+ B .2221log 3log 32-= C .222log 3log 5log (35)⋅=+D .231log 3log 2=3.若函数()()23log 5f x x ax a =+++,()f x 在区间(),1-∞上是递减函数,则实数a的取值范围为( ) A .[]3,2--B .[)3,2--C .(],2-∞-D .(),2-∞-4.已知()f x ,()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足()()2xf xg x +=,若对于任意的[]1,2x ∈,都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<6.已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ,则,,a b c 的大小顺序为( )A .a b c >>B .c a b >>C .b c a >>D .b a c >>7.函数()log (2)a f x ax =-(0a >且1a ≠)在[]0,3上为增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .(0,1)C .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .[)3,+∞ 8.设()21,xf x c b a =-,且()()()f a f c f b >>,则下列说法正确的是( ) A .0,0,0a b c <<< B .0,0,0a b c ≥ C .22a c -<D .222c a +<9.已知1()44x f x x -=+-e ,若正实数a 满足3(log )14a f <,则a 的取值范围为( )A .34a >B .304a <<或43a >C .304a <<或1a > D .1a >10.设()lg (21)f xx a =-+是奇函数,则使f(x)<0的x 的取值范围是( ). A .(-1,0) B .(0, 1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)11.计算log 916·log 881的值为( ) A .18B .118C .83D .3812.已知函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称,若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<,()()()123g x g x g x ==,则123x x x 的取值范围为( ) A .()0,2B .()0,4C .()4,6D .(]4,6二、填空题13.下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ; ②函数(1)f x -的定义域是(1,3),则函数()f x 的定义域为(2,4); ③若1log 12a>,则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭,; ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <),则0x y +<. 14.已知正实数a 满足8(9)a a a a =,则log 3a =____________. 15.已知18log 2a =,试用a 的式子表示2log 3=________. 16.72log 2338log2lg 5lg 47-+++=______.17.若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则1log2log2lg5lg4mmm+-=_____.18.给出下列四个命题:(1)函数()log(21)1af x x=--的图象过定点(1,0);(2)函数2logy x=与函数2xy=互为反函数;(3)若1log12a>,则a的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭或(2,)+∞;(4)函数log(5)ay ax=-在区间[1-,3)上单调递减,则a的范围是5(1,]3;其中所有正确命题的序号是___________.19.已知函数(12)3,1()ln,1a x a xf xx x-+<⎧=⎨≥⎩的值域为R,则实数a的取值范围是________.20.已知函数()()log21101ay x a a=-+>≠,的图象过定点A,若点A也在函数()2xf x b=+的图象上,则()2log3f=________.三、解答题21.已知()11,04ln1,?4xf x a xx x⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩(1)若函数()f x在21,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2,求a的值;(2)若25a=,求不等式()1f x<的解集.22.已知函数()ln(32)f x x=+,()ln(32)g x x=-.设函数()()()F x f x g x=-.(1)求函数()F x的定义域;(2)判断()F x奇偶性并证明;(3)若()0F x>成立,求x的取值范围.23.分别计算下列数值:(1)1lg3lg94lg81lg27+--;(2)已知()1401x x x-+=<<,求221122x xx x---+.24.若函数()()()331xf x k a b a=++->是指数函数(1)求k,b的值;(2)求解不等式()()2743f x f x->-25.已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称,其中0a <. (1)当(1,)x ∈+∞时,12()log (1)f x x m +-<恒成立,求实数m 的取值范围;(2)若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解,求k的取值范围.26.已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,函数()2log g x x =. (1)若()22g mx x m ++的定义域为R ,求实数m 的取值范围;(2)当[]1,1x ∈-时,函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1,求实数a 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断. 【详解】由函数解析式可得:1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为:01y <≤,由指数函数的性质知:在(),0-∞上单调递增;在()0,∞+上单调递减. 故选:A. 【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2.D解析:D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断. 【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+,A 错误;22221log 32log 3log 32-=-≠,B 错误;222log 3log 5log (35)⋅≠+,C 错误; 3233log 31log 3log 2log 2==,D 正确. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查对数的运算法则.log log log ()a a a M N MN +=,log log n a a b n b =,一般log ()log log a a a M N M N +≠+.log ()log log a a a MN M N ≠⋅, 1log log n a a b b n≠. 3.A解析:A 【分析】判断复合函数的单调性,首先要分清楚内外层函数,根据复合函数“同增异减”原则,同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知,()f x 在区间(),1-∞上是递减函数, 由()()23log 5f x x ax a =+++可知,此复合函数外层函数为:()3log f x x =,在定义域上为增函数, 内层函数为()25h x x ax a =+++,要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数, 根据复合函数“同增异减”原则,内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数, 同时须保证最大值()10h ≥,所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩,解得32a --≤≤. 故选:A. 【点睛】易错点睛:判断复合函数的单调性,根据复合函数“同增异减”原则,同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.4.B【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=,()222x x g x --=,讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立,则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=,()()2x f x g x --+-=∴,()f x 是偶函数,()g x 分是奇函数,()()2x f x g x -=∴-,可得()222x xf x -+=,()222x xg x --=,则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦, 令()22xxh x -=+,令2x t =,由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增,则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增,则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====, 对于()222x x g x --=,因为2xy =单调递增,2x y -=-单调递增,()g x ∴在[]1,2单调递增,()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====, ()()h x g x ∴>恒成立,则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得()()g x a h x ≤≤,()()max min g x a h x ∴≤≤,即15582a ≤≤. 故选:B. 【点睛】关键点睛:本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式,根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.5.B解析:B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果 【详解】因为33log 0.2log 10<=,0.20331>=,...030002021<<=,a cb ∴<<.【点睛】比较大小问题,常见思路有两个:一是利用中间变量;二是利用函数的单调性直接解答6.B解析:B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点,转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标,利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点, 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标, 如图所示:由图象可得:c a b >>, 故选:B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数,对数函数和幂函数的图象的应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.7.C【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解. 【详解】因为0a >且1a ≠,令2t ax =-,所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数, 所以函数log a y t =应是减函数,()f x 才可能是增函数, ∴01a <<,因为函数()f x 在[]0,3上为增函数, 由对数函数性质知230a ->,即23<a , 综上023a <<. 故选:C . 【点睛】本题考查复合函数的单调性,掌握对数函数性质是解题关键,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.8.D解析:D 【详解】分析:先画出函数()21xf x =-的图像,根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a <0,b >0,c >0,再找正确的选项. 详解:作出函数()21xf x =-的图像,因为c b a >>且()()()f a f c f b >>, 所以a <0, c >0,因为()()f a f c >,所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛:(1)本题主要考查图像的作法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a <0,b >0,c >0.9.C解析:C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,原不等式等价于3log 14a <,分类讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <, 由1log a a =,知3log log 4a a a <,当01a <<时,log a y x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<; 当1a >时,log ay x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >, 综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数,则a b <;若函数()f x 为减函数,则a b >.10.A解析:A 【解析】 试题分析:由()lg (21)fxx a=-+为奇函数,则()()f xf x -=-,可得1a =-,即()lg 11f x xx =+-,又()0f x<,即lg110xx+-<,可变为0111x x <+-<,解得10x -<<.考点:函数的奇偶性,对数函数性质,分式不等式.11.C解析:C 【分析】根据对数的运算性质,换底公式以及其推论即可求出. 【详解】原式=23443232448log 2log3log 2log 3233⋅=⋅=. 故选:C . 【点睛】本题主要考查对数的运算性质,换底公式以及其推论的应用,属于基础题.12.C解析:C 【分析】根据函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称,求得a ,进而求得 ()g x ,利用数形结合法求解. 【详解】 因为()()()2222a a x a xa x x f a x f x -----=+=+=,所以函数关于直线2ax =对称, 因为函数()22xn xf x -=+的图象关于直线1x =对称,所以12a=, 解得2a =, 所以()2log ,04,6,46,x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩,其图象如下图所示:因为123x x x <<,()()()123g x g x g x ==, 所以2122log log x x =,2122log log x x -=, 22211log log x x =,所以121=x x ,所以()12334,6x x x x =∈. 故选:C . 【点睛】本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.二、填空题13.①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确;②则解析:①③④ 【分析】由指数函数的图象,函数的定义域,对数函数的性质判断各命题.①,令1x =代入判断,②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断,③由对数函数的单调性判断,④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,由它的单调性判断.【详解】①令1x =,则(1)4f =,即()f x 图象过点(1,4),①正确; ②13x <<,则012x <-<,∴()f x 的定义域是(0,2),②错;③1log 1log 2a a a ,∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩,∴112a <<.③正确; ④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <),得ln 2ln()2x y x y --<--,又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数,∴由ln 2ln()2x y x y --<--,得x y <-,即0x y +<,④正确.故答案为:①③④ 【点睛】关键点点睛:本题考查指数函数的图象,对数函数的单调性,函数的定义域问题,定点问题:(1)指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1); (2)对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0), 解题时注意整体思想的应用.14.【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为:【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析:716-【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数,化简计算ln a ,再利用换底公式ln 3log 3ln a a=代入计算即可. 【详解】正实数a 满足8(9)aaa a =,两边取对数得8ln ln(9)aaa a =,即ln 8ln(9)a a a a =,故()ln 8ln9ln a a =+,解得16ln ln 37a =-,故ln 3ln 37log 316ln 16ln 37a a ===--.故答案为:716-. 【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数,化简计算得到ln a 的值,再结合换底公式即突破难点.15.【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解:根据换底公式和对数的运算性质得:故答案为:【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案 解析:12aa- 【分析】根据换底公式和对数运算性质得18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯运算化简即可得答案.【详解】解:根据换底公式和对数的运算性质得:18181818182181818181818log log 32log 3log 91log 211111112log 3log 22log 22log 22log 22log 222a a a a---==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.故答案为:12aa-. 【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得182182log 31log 32log 2=⨯,再结合对数运算性质化简18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯即可得答案. 16.【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为:【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析:32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32= 故答案为:32【点睛】此题考查指数对数的综合运算,关键在于熟练掌握运算法则和相关公式,准确化简求值.17.3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去)故答案为:3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析:3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =,将3m =代入,利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数,25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩,解得3,2m m ==(舍去),1log 2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为:3. 【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.18.(2)(4)【分析】(1)函数的图象过定点所以该命题错误;(2)函数与函数互为反函数所以该命题正确;(3)若所以的取值范围是所以该命题错误;(4)由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】(1)当时(解析:(2)(4) 【分析】(1)函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-,所以该命题错误;(2)函数2log y x =与函数2x y =互为反函数,所以该命题正确;(3)若1log 12a>,所以a 的取值范围是1(,1)2,所以该命题错误;(4)由题得1530a a >⎧⎨-⎩,解得a 的范围是5(1,]3,所以该命题正确. 【详解】(1)当1x =时,f (1)1=-恒成立,故函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-,所以该命题错误;(2)函数2log y x =与函数2xy =互为反函数,所以该命题正确;(3)若1log 12a >,所以112a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0112a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩,则a 的取值范围是1(,1)2,所以该命题错误;(4)函数log (5)a y ax =-在区间[1-,3)上单调递减,则1530a a >⎧⎨-⎩,解得a 的范围是5(1,]3,所以该命题正确. 故答案为:(2)(4) 【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题和反函数,考查对数函数的单调性和解对数不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为:【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析:112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞,可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可. 【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞,故要使()f x 的值域为R , 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数,且1230a a -+≥, 所以120a ->,且1a ≥-,解得112a -≤<. 故答案为:112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭, 【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围,属于中档题.20.2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为:【点睛】该题考查的是有关函解析:2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点,再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ,最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ,得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1), 将1,1x y ==代入()2xf x b =+,得121b +=,所以1b =-,所以()21xf x =-, 则2log 32(log 3)21312f =-=-=,故答案为:2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题,涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题,点在函数图象上的条件,已知函数解析式求函数值,属于简单题目.三、解答题21.(1)49a =;(2)()220,4,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(1)由函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =,故根据题意得函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2,再根据函数单调性即可得1124a -=,解得49a =. (2)根据题意得()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩,进而分045112x x<≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩两种情况求解即可得答案. 【详解】解:(1)因为函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数, 所以2max ln 11y e =-=,因为函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2,所以函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2, 由于函数111,42y x a x =-<≤是增函数, 所以1124a -=,解得:49a =. (2)当25a =时,()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩,所以045112x x <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩,解得203x <<或24x e <<.故若25a =,求不等式()1f x <的解集为()220,4,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质,考查分类讨论思想与运算求解能力,是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =,进而将问题转化为函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2求解,第二问的解题核心是分类讨论. 22.(1)33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)奇函数,证明见解析;(3)302x <<【分析】(1)由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果;(2)()F x 是奇函数,根据奇函数的定义可证结论正确; (3)根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】(1)由320320x x +>⎧⎨->⎩,解得3322x -<<,所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.(2)()F x 是奇函数. 证明如下:x ∀∈33(,)22-,都有x -∈33(,)22-,因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-, ∴()F x 是奇函数.(3)由()0F x >可得()()0f x g x ->,得ln(32)ln(32)0x x +-->, 即ln(32)ln(32)x x +>-,由对数函数的单调性得32320x x ,解得302x <<.【点睛】易错点点睛:利用对数函数的单调性解对数不等式时,容易忽视函数的定义域. 23.(1)32;(2)-. 【分析】(1)利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值;(2)由已知条件可求得1x x --的值,可求得22x x -+,并求得1122x x -+的值,代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】(1)原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=; (2)因为()()()221114x x x x x x x x -----=+-=-,所以()()2211412x xx x ---=+-=,因为01x <<,则1x x -<,所以1x x --=-22x x --=-,又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭,所以1122x x -+=所以221122x x x x ---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算,考查了平方关系以及对数运算性质的应用,考查计算能力,属于基础题.24.(1)2,3k b =-=;(2){}2x x <-. 【分析】(1)根据指数函数的定义列出方程,求解即可; (2)根据指数函数的单调性解不等式即可; 【详解】解:(1)∵函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数∴31,30k b +=-= ∴2,3k b =-= (2)由(1)得()()1xf x aa =>,则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-,解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-; 【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式,属于中档题.25.(1)[)1,-+∞;(2)[]1,1-. 【分析】(1)根据函数的奇偶性,求出a 的值,求出1122()log (1)log (1)f x x x +-=+,根据函数的单调性求出m 的范围即可; (2)问题转化为211k x x =-+-在[]2,3上有解,即2()11g x x x =-+-在[]2,3上递减,根据函数的单调性求出()g x 的值域,从而求出k 的范围即可. 【详解】(1)∵函数()f x 的图象关于原点对称,∴函数()f x 为奇函数, ∴()()f x f x -=-, 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----,解得1a =-或1a =(舍),()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+-, 当1x >时,()12log 11x +<-,∵当()1,x ∈+∞时,()()12log 1f x x m +-<恒成立,∴1m ≥-,即m 的取值范围为[)1,-+∞;(2)由(1)知,()()12log f x x k =+即()()11221log log 1x f x x k x +==+-, 即11x x k x +=+-,即211k x x =-+-在[]2,3上有解, ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减,minmax ()(3)1,()(2)1g x g g x g ,∴()g x 的值域为[]1,1-,∴[]1,1k ∈-. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质;对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式,如果是直接解不等式非常麻烦的问题,可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等,以及函数零点等,直接根据这些性质得到不等式的解集.26.(1)()1,+∞;(2)a =【分析】(1)由220mx x m ++>恒成立,得关于m 的不等式组,求解得答案;(2)令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得()223y t a a =-+-,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值,进一步求得实数a 的值. 【详解】(1)()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++, ∵()22g mx x m ++的定义域为R ,∴220mx x m ++>恒成立,当0m =时,不符合,当0m ≠时,满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩,解得1m , ∴实数m 的取值范围为()1,+∞;(2)令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭,当[]1,1x ∈-时,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时,可得当2t =时y 取最小值,且min 741y a =-=,解得32a =(舍去); ②当122a ≤≤时,可得当t a =时y 取最小值,且2min 31y a =-=,解得a =a =③12a <时,可得当12t=时y取最小值,且min1314y a=-=,解得94a=(舍去),综上,a=【点睛】本题考查对数函数的定义域,考查不等式的恒成立问题,考查二次函数的最值,属于中档题.。
北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(答案解析)(1)
一、选择题1.若关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈⎥⎝⎦恒成立,则实数a的取值范围是()A.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,4⎛⎤⎥⎝⎦C.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.30,4⎛⎤⎥⎝⎦2.设0.60.6a=, 1.20.6b=,0.61.2c=中,则a,b,c的大小关系是()A.a b c<<B.a c b<<C.b a c<<D.b c a<<3.函数()()221lg21xxxf x-=+的部分图象大致为()A.B.C.D.4.设log a m和log b m是方程2420x x-+=的两个根,则log abm的值为()A2B.22C . 2±D .22±5.若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减,且lg 0.3=b ,0.32c =,则A .b a c <<B .b c a <<C .a b c <<D .c b a <<6.已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示,则a b c -+的值是( )A .1-B .1C .5-D .57.如图是指数函数①y =x a ;②y =x b ;③y =c x ;④y =d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系是( )A .a <b <1<c <dB .b <a <1<d <cC .1<a <b <c <dD .a <b <1<d <c8.已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-,则()f x 是( ) A .偶函数,且在(0,10)是增函数 B .奇函数,且在(0,10)是增函数 C .偶函数,且在(0,10)是减函数D .奇函数,且在(0,10)是减函数9.函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是( )A .32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,B .3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10.已知1()44x f x x -=+-e ,若正实数a 满足3(log )14a f <,则a 的取值范围为( )A .34a >B .304a <<或43a >C .304a <<或1a > D .1a >11.函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()1+∞, B .()01,C .103⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .()3+∞, 12.已知函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称,若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<,()()()123g x g x g x ==,则123x x x 的取值范围为( ) A .()0,2B .()0,4C .()4,6D .(]4,6二、填空题13.已知正实数a 满足8(9)a a a a =,则log 3a =____________.14.设函数())f x x =,若()23(21)0f a f a +-<,则实数a 的取值范围为_____.15.若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ,则实数k 的取值范围是______.16.对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠,有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=⋅;②()()()1212f x x f x f x ⋅=+;③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 当()2xf x =时;上述结论正确的是__________.(写出所有正确的序号)17.已知函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(m ,n ),且函数g (x )=mx 2﹣2bx +n 在[1,+∞)上单调递减,则实数b 的取值范围是________. 18.设函数()f x =,则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.19.已知奇函数()()y f x x R =∈满足:对一切x ∈R ,()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时,()1xf x e =-,则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.20.关于下列命题:①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤,则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.(注:把你认为不正确的命题的序号都填上)三、解答题21.已知函数2()46f x ax x =-+.(1)若函数2log ()y f x =的值域为R ,求实数a 的取值范围;(2)若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围. 22.设函数()()1xxf x a k a -=--,(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数,且()312f =. (1)求k ,a 的值;(2)求函数()f x 在[)1,+∞上的值域; (3)设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅,若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值;(4)对于(3)中函数()g x ,如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立,求m 的取值范围. 23.(1)若223a a -+=,求1a a --和33a a --的值;(2)计算33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+的值.24.已知集合(){}2log 33A x x =+≤,{}213B x m x m =-<≤+. (1)若2m =-,求AB ;(2)若A B A ⋃=,求实数m 的取值范围.25.已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+,函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B . (1)当2m =时,求A B 、()R A B ⋂;(2)若AB A =,求实数m 的取值范围.26.函数()2lg 34y x x=-+的定义域为M ,x M ∈,求()2234x x f x +=-⨯的最值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方,根据图象列式可解得结果. 【详解】由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立,所以当1 0,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方,由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩,解得114a≤<.故选:A【点睛】关键点点睛:利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键. 2.C解析:C【分析】根据指数函数,幂函数的单调性即可判断.【详解】因为指数函数0.6xy=是单调减函数,0.6 1.2<,所以0.6 1.20.60.6>,即a b>;因为幂函数0.6y x=在()0,∞+上是增函数,0.6 1.2<,所以0.60.61.20.6>,即c a>.综上,b a c<<.故选:C.【点睛】熟练掌握指数函数,幂函数的单调性是解题关键.3.B解析:B【分析】求出函数()f x的定义域,分析函数()f x的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号,进而可得出合适的选项.【详解】函数()()221lg21xxxf x-=+的定义域为{}0x x≠,()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221x x x xxxxxx x x f x f x ---------====-+++,函数()f x 为奇函数,当01x <<时,201x <<,则2lg 0x <,210x ->,210x +>,()0f x ∴<.因此,函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选:B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; (2)从函数的值域,判断图象的上下位置. (3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.4.D解析:D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果,然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-,根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果,则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a b a b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩,所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ,所以log +log 4log log 1log log 2m m m mm m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩, 又因为11log log log log a m m bmm aa b b==-,且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-,所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±,故选:D. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是在于换底公式的运用,将log a bm 变形为1log log m m a b-,再根据方程根之间的关系求解出结果.5.A解析:A 【分析】求出原函数的定义域,再求出内函数二次函数的增区间,由题意列关于a 的不等式组,求得a 的范围,结合b=1g0.3<0,c=20.3>1得答案. 【详解】由5+4x-x 2>0,可得-1<x <5, 函数t=5+4x-x 2的增区间为(-1,2),要使f(x)=log 0.3(5+4x−x 2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩ ,即0≤a≤1. 而b=1g0.3<0,c=20.3>1, ∴b <a <c . 故选A . 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性,一要注意先确定函数的定义域,二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断,判断的依据是“同增异减”,是中档题.6.D解析:D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4,利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值,则答案可求.【详解】解:由图可知,函数()f x 的减区间为(,2)-∞,增区间为(4,)+∞, ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞,增区间为(4,)+∞, ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4, 又(1)0f =,68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩,解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选:D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换,考查复合函数的单调性,考查数学转化思想方法,是中档题.7.B解析:B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ;②y =x b 为减函数,且1x =时,②y =1b <①y =1a , 所以1b a <<,根据函数图象可知函数③y =c x ;④y =d x 为增函数,且1x =时,③y =c 1>④y =d 1, 所以1c d >> 故选:B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,指数函数的图象,数形结合的思想,属于中档题.8.C解析:C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称,再由奇偶性的定义判断奇偶性,根据复合函数的单调判断其单调性,从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩,得(10,10)x ∈-,故函数()f x 的定义域为()10,10-,关于原点对称,又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=,故函数()f x 为偶函数, 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-,因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减,lg y x =在()0,∞+上单调递增, 故函数()f x 在()0,10上单调递减,故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1)直接法, ()()f x f x -=±(正为偶函数,负为减函数);(2)和差法,()()0f x f x -±=(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,()()1f x f x -=±(1 为偶函数,1- 为奇函数) .9.B解析:B 【分析】先求函数的定义域,再利用复合函数的单调性同增异减,即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<,解得:14x -<<,2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成,ln y t =在定义域内单调递增,234t x x =-++对称轴为32x =,开口向下, 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增,在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减, 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选:B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间,注意先求定义域,属于中档题10.C解析:C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,原不等式等价于3log 14a <,分类讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <,由1log a a =,知3log log 4aa a <, 当01a <<时,log a y x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<; 当1a >时,log ay x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >, 综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数()f x 的单调性.若函数()f x 为增函数,则a b <;若函数()f x 为减函数,则a b >.11.D解析:D 【分析】由题意可得可得1a >,且30a ->,由此求得a 的范围. 【详解】 解:函数()log (3)a f x ax =-在[]13,上单调递增,而函数()3t x ax =-在[]13,上单调递增,根据复合函数的单调性可得1a >,且30a ->,解得3a >,即()3a ∈+∞,故选:D . 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性,复合函数的单调性,属于基础题.12.C解析:C 【分析】根据函数()22xa xf x -=+的图象关于直线1x =对称,求得a ,进而求得 ()g x ,利用数形结合法求解. 【详解】 因为()()()2222a a x a xa x x f a x f x -----=+=+=,所以函数关于直线2ax =对称, 因为函数()22xn xf x -=+的图象关于直线1x =对称,所以12a=, 解得2a =,所以()2log ,04,6,46,x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩,其图象如下图所示:因为123x x x <<,()()()123g x g x g x ==, 所以2122log log x x =,2122log log x x -=, 22211log log x x =, 所以121=x x ,所以()12334,6x x x x =∈. 故选:C . 【点睛】本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为:【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析:716-【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数,化简计算ln a ,再利用换底公式ln 3log 3ln a a=代入计算即可. 【详解】正实数a 满足8(9)aaa a =,两边取对数得8ln ln(9)aaa a =,即ln 8ln(9)a a a a =,故()ln 8ln9ln a a =+,解得16ln ln 37a =-,故ln 3ln 37log 316ln 16ln 37a a ===--.故答案为:716-.【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数,化简计算得到ln a 的值,再结合换底公式即突破难点.14.【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析:1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增,不等式化为()23(12)f a f a <-,转化为关于自变量的不等式,即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ,()()))ln10f x f x x x +-=+==,()f x ∴是奇函数,设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数,()f x 在[0,)+∞为增函数,()f x 在(,0)-∞为增函数, ()f x 在0x =处连续的,所以()f x 在R 上单调递增,()23(21)0f a f a +-<,化为()23(12)f a f a <-,等价于2312a a <-,即213210,13a a a +-<-<<, 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,熟练掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.15.【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析:[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<.当k 0<时,不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为:[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.16.①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①;采用举例子的方法判断②;根据指数函数的单调性判断③;利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①:因为所以故①正确;对于②:取所以所以不恒成立故②错误;对解析:①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①;采用举例子的方法判断②;根据指数函数的单调性判断③;利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①:因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=,所以()()()1212f x x f x f x +=⋅,故①正确;对于②:取121,2x x ==,所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=,所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立,故②错误;对于③:因为()2xf x =是R 上的增函数,所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦,故③错误;对于④:因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭,且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭,故④正确, 所以正确的有:①④, 故答案为:①④. 【点睛】结论点睛:可直接判断函数单调性的几种变形形式: (1)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立,则()f x 为单调递增函数;(2)已知12,x x D ∀∈(D 为函数定义域),且12x x ≠,都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立,则()f x 为单调递增函数.17.【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f (x )=loga (x+2)+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g (x )=-x2﹣2bx+3因为g (x )=-x2﹣2 解析:[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f (x )=[log a (x +2)]+3的图象恒过定点(1,3)-, 所以m =-1,n =3,所以g (x )=-x 2﹣2bx +3,因为g (x )=-x 2﹣2bx +3在[1,+∞)上单调递减, 所以对称轴1x b =-≤, 解得1b ≥-, 故答案为:[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛:本题考查了对数型函数过定点,可求出,m n 的值,利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18.【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析:【分析】根据指数的运算律计算出()()12f x f x +-=的值,由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====, ()()12x x x f x f x ∴+-=+===,因此,()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=.故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算,解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值,考查计算能力,属于中等题.19.【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知:因为对一切故关于对称;又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为:【点睛】本题考查利用函数周期 解析:31e e --【分析】根据题意,求得()f x 的周期性,则()2019f 可求,再结合函数解析式,求得函数值即可. 【详解】由题可知:因为对一切x R ∈,()()11f x f x +=-, 故()f x 关于1x =对称; 又因为()f x 是奇函数,则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-, 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=, 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-,又当[]0,1x ∈,()1xf x e =-,故()()201911f f e =-=-,则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为:31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值,属综合中档题;难点在于求得函数的周期.20.①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析:①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.三、解答题21.(1)20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)[)2,+∞.【分析】(1)根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+,由此根据a 与0的关系分类讨论,求解出结果;(2)根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论,然后求解出a 的取值范围. 【详解】(1)因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ,所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+,当0a =时,246y ax x =-+即46y x =-+,此时46y x =-+的值域为R ,满足;当0a ≠时,则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩,所以203a <≤,综上可知:20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(2)当1a >时,log a y x =在()0+∞,上单调递增,所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增,所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩,所以2a ≥,当01a <<时,log a y x =在()0+∞,上单调递减,所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减,所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩,此时a 无解,综上可知:[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛:形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数,若函数的定义域为R ,则有0a >⎧⎨∆<⎩; 若函数的值域为R ,则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 22.(1)2a =,2k =;(2)3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(3)2m =;(4)17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)由奇函数性质求得k ,由3(1)2f =可求得a ; (2)利用函数的单调性得值域;(3)换元,设22x x t -=-,则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,()g x 转化为()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,由二次函数的性质求得最小值,再由最小值为2-可得m , (4)在(3)基础上,由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围.【详解】解:(1)∵函数()()1xxf x a k a -=--,(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数,∴()00f =,即()110k --=,2k =, ∵()312f =.∴132a a -=,2a =, ∴2a =,2k =, (2)1()2222xxx x f x -=-=-是增函数,∴1≥x 时,13()222f x ≥-=,即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭; (3)()()2222222xx x x g x m --=+--,设22x x t -=-,[)1,x ∈+∞,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,∴()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-,∴()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-,∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =,或2512m =(舍去), 故2m =;(4)()222k t t mt =-+,3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立,∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立, ∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩, 解不等式得出x ∈∅或1712m <, ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛:本题考查指数函数的性质,考查奇偶性,由奇偶性同函数解析式,由单调性是函数的值域,在求函数()g x 的最值问题,不等式恒成立问题时,解题方法是换元法,即设22x x t -=-,把指数函数转化为二次函数,然后利用二次函数性质求解. 23.(1)1,4±±;(2)1.【分析】(1)利用完全平方公式和立方差公式计算. (2)由对数的运算法则计算. 【详解】(1)1222()2321a a a a ---=-+=-=,所以11a a --=±,33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=±⨯+=±;(2)lg 2lg5lg(25)1+=⨯=.3322(lg 2)3lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)(lg 2lg 2lg5lg 5)3lg 2lg5+⋅+=+-++ 2222lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5lg 22lg 2lg5lg 5=-++=++2(lg 2lg 5)1=+=.【点睛】本题考查幂的运算法则和对数的运算法则,掌握幂与对数运算法则是解题基础.24.(1){}31A B x x ⋂=-<≤;(2)[][)1,24,m ∈-+∞【分析】(1)计算{}35A x x =-<≤,{}51B x x =-<≤,再计算交集得到答案. (2)A B A ⋃=,故B A ⊆,讨论B =∅和B ≠∅,计算得到答案. 【详解】(1)(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤,{}51B x x =-<≤,故{}31A B x x ⋂=-<≤.(2){}35A x x =-<≤,A B A ⋃=,故B A ⊆,当B =∅时,213m m -≥+,解得4m ≥; 当B ≠∅时,4m <,故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩,解得12m -≤≤.综上所述:[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算,根据集合的包含关系求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.25.(1) {|27}B x x A -<≤⋃=,(){|21}RA B x x =-<<;(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据题意,由2m =可得{|17}x A x =≤≤,由并集定义可得A B 的值,由补集定义可得{|1RA x x =<或7}x >,进而由交集的定义计算可得()R AB ⋂,即可得答案;(2)根据题意,分析可得A B ⊆,进而分2种情况讨论:①、当A =∅时,有123m m ->+,②当A ≠∅时,有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩,分别求出m 的取值范围,进而对其求并集可得答案. 【详解】根据题意,当2m =时,{|17}x A x =≤≤,()2()lg 28f x x x =-++有意义,则2280x x -++>,得{|24}B x x =-<<,则{|27}B x x A -<≤⋃=, 又{|1RA x x =<或7}x >,则(){|21}R AB x x =-<<;(2)根据题意,若A B A =,则A B ⊆,分2种情况讨论:①当A =∅时,有123m m ->+,解可得4m <-, ②当A ≠∅时,若有A B ⊆,必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩,解可得112m -<<,综上可得:m 的取值范围是:()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查集合间关系的判定,涉及集合间的混合运算,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力. 26.最大值为43,无最小值. 【分析】首先根据对数真数大于0,解不等式2340x x -+>求出定义域M ,然后利用换元法,即可求出函数()f x 的最值. 【详解】由2340x x -+>,解得1x <或3x >,所以(,1)(3,)M =-∞+∞,22()234423(2)x x x x f x +=-⨯=⨯-⨯,令2x t =,由x M ∈得02t <<或8t >,则原函数可化为2224()433()33g t t t t =-=--+,其对称轴为23t =,所以当02t <<时,4()(4,]3g t ∈-;当8t >时,()(,160)g t ∈-∞-.所以当23t =,即223log x =时,()g t 取得最大值43,即函数()f x 取得最大值43,函数()g t 无最小值,故函数()f x 无最小值.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法及换元法求函数最值.。
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(答案解析)
一、选择题1.形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数,记为F n 数学家费马根据F 0,F 1,F 2,F 3,F 4都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出F 5不是质数,请你估算F 5是( )位数(参考数据:lg2≈0.3010). A .8B .9C .10D .112.已知函数2()log x f x =,在[116,m ]上的值域为[0,4],2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( ) A .[1,2] B .[0,2]C .[1,3]D .[0,3]3.若x ,y ,z 是正实数,满足2x =3y =5z ,试比较3x ,4y ,6z 大小( )A .3x >4y >6zB .3x >6z >4yC .4y >6z >3xD .6z >4y >3x4.已知函数)()lnf x x =,则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()2021log 2020c f =的大小关系为( )A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .b c a >>5.已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R .则实数a 的取值范围是( ) A .5[1,]3B .5(1,]3C .(]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D .()5,1[1,)3-∞-6.已知函数3()22x f x =+,则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭( ) A .212B .214C .7D .1527.函数()213log 23y x x =-++的单调递增区间是( ) A .(]1,1- B .(1)∞-,C .[) 1,3D .(1)∞,+ 8.设0.34()5a =,0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,125log 4c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b a c >> B .c a b >> C .c b a >> D .b c a >>9.若函数y a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( ) A .1B .2C .3D .410.已知2log 0.8a =,0.7log 0.6b =,0.60.7c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .b a c <<C .a c b <<D .b c a <<11.已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-,则()f x 是( ) A .偶函数,且在(0,10)是增函数 B .奇函数,且在(0,10)是增函数 C .偶函数,且在(0,10)是减函数D .奇函数,且在(0,10)是减函数12.已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+,且()g b a =,则()2f 的值为( )A .2aB .2C .154D .174二、填空题13.若函数()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()0,1a a >≠没有最小值,则实数a 的取值范围是______.14.方程()()122log 44log 23xx x ++=+-的解为____;15.函数()22log 617y x x =-+的值域是__.16.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈,若()f x 的值域为(],1-∞,则a 的值为______.17.给定函数y =f (x ),设集合A ={x |y =f (x )},B ={y |y =f (x )}.若对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,则称函数f (x )具有性质P .给出下列三个函数:①1y x =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③y =lgx .其中,具有性质P 的函数的序号是_____. 18.已知2312a b ==,则21a b+=_______. 19.给出下列四个命题:(1)函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0);(2)函数2log y x =与函数2xy =互为反函数;(3)若1log 12a>,则a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭或(2,)+∞;(4)函数log (5)a y ax =-在区间[1-,3)上单调递减,则a 的范围是5(1,]3; 其中所有正确命题的序号是___________.20.设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩,若()()04f f x =则0x ______.三、解答题21.设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠. (1)求函数()f x 的定义域(2)若(1)2f =,求函数()f x 在区间3[0,]2上的最大值. (3)解不等式:log (1)log (3)a a x x +>-.22.已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠),满足(2)(1)6f f +=; (1)求()f x 的解析式;(2)若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解,求m 的取值范围;(3)已知()g x 为奇函数,()h x 为偶函数,函数()()()f x g x h x =+;若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤,求a 的取值范围.23.计算下列各式的值: (1)1100.753270.064()160.258---++;(2)53log 425log lg lg 452++-.24.已知函数()442xx f x =+;(1)若01a <<,求()()1f a f a +-的值; (2)求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 25.分别计算下列数值:(1)1lg3lg94lg81lg 27+--; (2)已知()1401x xx -+=<<,求221122x x x x---+.26.化简计算: (1)160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭(2)lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C 解析:C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯,进而即可判断出其位数. 【详解】 根据题意,53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯,因为0.63211010<<,所以5F 的位数是10. 故选:C 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是转化成对数运算,即3232lg 2210=.2.D解析:D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈,再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意,函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减,在[)1,+∞上单调递增, 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭,()10f =, 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈,所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选:D. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈,即可得解.3.B解析:B 【分析】令235xyzt ===,则1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,利用作差法能求出结果.【详解】∵x 、y 、z 均为正数,且235x y z ==, 令235x y z t ===,则1t >,故2lg log lg 2t x t ==,3lg log lg 3t y t ==,5lg log lg 5tz t ==, ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即36x z >; ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭,即64z y >, 即364x z y >>成立,故选:B. 【点睛】 关键点点睛:(1)将指数式转化为对数式; (2)利用作差法比较大小.4.D解析:D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减,再利用指数对数函数的单调性求出120212020,20201log 2021, 2021log 2020的范围,即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立,()f x ∴定义域为R ,))()lnlnf x x x ===-,其中y x 单调递增,则()f x 单调递减,102021202020120>=,202020201log log 102021<=,2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=,b c a ∴>>. 故选:D. 【点睛】关键点睛:本题考查利用函数的单调性比较大小,解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减,进而可利用单调性比较.5.A解析:A 【分析】当函数的值域为R 时,命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞,得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++,则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞,当210a -=时,则1a =± 当1a =时,21y x =+符合题意; 当1a =-时,1y =不符合题意;当1a ≠±时,()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩,解得513a <≤ 513a ∴≤≤,即实数a 的取值范围是5[1,]3故选:A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.6.B解析:B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=,再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+, 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+,()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=,再配对求和即解决问题. 7.C解析:C 【分析】由不等式2230x x -++>,求得函数的定义域()1,3-,令()223g x x x =-++,得到()g x 在区间(]1,1-上单调递增,在区间[1,3)上单调递减,结合复数函数的单调性的判定方法,即可求解. 【详解】由题意,函数213()log 23y x x =-++有意义,则满足2230x x -++>, 即223(3)(1)0x x x x --=-+<,解得13x,即函数的定义域为()1,3-,令()223g x x x =-++,则函数()g x 表示开口向下,对称轴方程为1x =的抛物线, 所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增,在区间[1,3)上单调递减, 又由函数13log y x =在定义上是递减函数,结合复数函数的单调性的判定方法,可得函数213()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3).故选:C. 【点睛】函数单调性的判定方法与策略:定义法:一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论;图象法:如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出,结合图象可求得函数的单调区间;导数法:先求出函数的导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间;复合函数法:先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =,再讨论这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.8.A解析:A 【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较. 【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭,0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭,由对数函数性质得125log 04<, ∴b a c >>. 故选:A . 【点睛】本题考查比较幂与对数的,掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键.解题方法是借助中间值比较大小.9.C解析:C 【分析】先分析得到a >1,再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a -a x ≥0,a x ≤a ,定义域为[0,1], 所以a >1,y [0,1]上单调递减,值域是[0,1],所以f (0)1,f (1)=0, 所以a =2, 所log a 56+log a 485=log 256+log 2485=log 28=3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算,考查函数的单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.C解析:C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=,0.70.7log 0.6log 0.71b =>=,0.6000.70.71c <=<=,所以a c b <<,故选C.11.C解析:C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称,再由奇偶性的定义判断奇偶性,根据复合函数的单调判断其单调性,从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩,得(10,10)x ∈-, 故函数()f x 的定义域为()10,10-,关于原点对称,又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=,故函数()f x 为偶函数, 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-,因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减,lg y x =在()0,∞+上单调递增, 故函数()f x 在()0,10上单调递减,故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:(1)直接法, ()()f x f x -=±(正为偶函数,负为减函数);(2)和差法,()()0f x f x -±=(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,()()1f x f x -=±(1 为偶函数,1- 为奇函数) .12.C解析:C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ,由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ,两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ,()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ,①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ,()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②,得()24g x =,()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】讨论和两种情况结合对数函数的单调性可判断求解【详解】当时在单调递减没有最大值没有最小值符合题意;当时在单调递增则可得当有解时没有最小值解得综上的取值范围为故答案为:【点睛】关键点睛:结合对数 解析:(0,1)[4,)∞⋃+【分析】讨论01a <<和1a >两种情况结合对数函数的单调性可判断求解. 【详解】当01a <<时,log ay x =在(0,)+∞单调递减,212a y x x =-+没有最大值,()2log 12a a f x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭没有最小值,符合题意;当1a >时,log ay x =在(0,)+∞单调递增,则可得当2102ax x -+≤有解时,()2log 12a a f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭没有最小值,2402a ⎛⎫∴∆=--≥ ⎪⎝⎭,解得4a ≥,综上,a 的取值范围为(0,1)[4,)∞⋃+.故答案为:(0,1)[4,)∞⋃+. 【点睛】关键点睛:结合对数函数的单调性进行讨论求解,将题目转化为2102ax x -+≤有解进行求解.14.【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解:可得即:解得(舍去)可得经检验是方程的解故答案为:【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力 解析:2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可. 【详解】 解:()()122log 44log 23x x x ++=+-()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-可得()()122log 44log 232x x x++=-⎡⎤⎣⎦, 即:()144232x x x++=-,()223240xx -⋅-=,解得21x =-(舍去)24x =,可得2x =.经检验2x =是方程的解. 故答案为:2. 【点睛】本题考查方程的解的求法,对数的运算法则的应用,考查计算能力.15.【分析】设转化为函数根据在上单调递增可求解【详解】设函数则函数∵在上单调递增∴当时最小值为故答案为:【点睛】本题考察了二次函数对数函数性质综合解决问题 解析:[)3,+∞【分析】设()2261738t x x x =-+=-+,转化为函数2log y t =,[)8,t ∈+∞,根据2log y t =在[)8,t ∈+∞上单调递增,可求解.【详解】设()2261738t x x x =-+=-+函数()22log 617y x x =-+,则函数2log y t =,[)8,t ∈+∞, ∵2log y t =,在[)8,t ∈+∞上单调递增, ∴当8t =时,最小值为2log 83=, 故答案为:[)3,+∞. 【点睛】本题考察了二次函数,对数函数性质,综合解决问题.16.【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为:【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析:27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>,且最小值为1,即可求得a 的值.【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞,所以2240ax x -+>, 函数224y ax x =-+的最小值为12,即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩,解得27a =,故答案为:27【点睛】本题考查对数函数的值域,考查对数的性质,合理转化是解题的关键,考查了运算能力,属于中档题.17.①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A =(﹣∞0)∪(0+∞)B =(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y =0成立即具有性解析:①③ 【分析】A 即为函数的定义域,B 即为函数的值域,求出每个函数的定义域及值域,直接判断即可. 【详解】对①,A = (﹣∞,0)∪ (0,+∞),B = (﹣∞,0)∪ (0,+∞),显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ;对②,A =R ,B = (0,+∞),当x >0时,不存在y ∈B ,使得x +y =0成立,即不具有性质P ;对③,A = (0,+∞),B =R ,显然对于∀x ∈A ,∃y ∈B ,使得x +y =0成立,即具有性质P ; 故答案为:①③. 【点睛】本题以新定义为载体,旨在考查函数的定义域及值域,属于基础题.18.【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算 解析:1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果,然后计算11,a b 的结果,由此即可计算出21a b+的结果. 【详解】因为2312a b ==,所以23log 12,log 12a b ==,所以121211log 2,log 3a b==, 所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b +=+=+==, 故答案为:1. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式,然后根据对数运算法则完成计算.19.(2)(4)【分析】(1)函数的图象过定点所以该命题错误;(2)函数与函数互为反函数所以该命题正确;(3)若所以的取值范围是所以该命题错误;(4)由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】(1)当时(解析:(2)(4) 【分析】(1)函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-,所以该命题错误;(2)函数2log y x =与函数2x y =互为反函数,所以该命题正确;(3)若1log 12a>,所以a 的取值范围是1(,1)2,所以该命题错误;(4)由题得1530a a >⎧⎨-⎩,解得a 的范围是5(1,]3,所以该命题正确. 【详解】(1)当1x =时,f (1)1=-恒成立,故函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-,所以该命题错误;(2)函数2log y x =与函数2xy =互为反函数,所以该命题正确;(3)若1log 12a >,所以112a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0112a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩,则a 的取值范围是1(,1)2,所以该命题错误;(4)函数log (5)a y ax =-在区间[1-,3)上单调递减,则1530a a >⎧⎨-⎩,解得a 的范围是5(1,]3,所以该命题正确. 故答案为:(2)(4) 【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题和反函数,考查对数函数的单调性和解对数不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当(舍去)故答案为:或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算解析:1-或2 【分析】已知复合函数值求自变量,从外层求出里层,设0()t f x =,求出()4f t =对应的t 的值,再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】令0()t f x =,则()4f t =,当11,24,1tt t +≤==,若010001,()21,1x x f x x +≤===-,若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===, 当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=(舍去) 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查由函数值求自变量,涉及到简单指数和对数方程,考查分类讨论思想和数学计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)(1,3)-;(2)2;(3)答案见解析. 【分析】(1)由1030x x +>⎧⎨->⎩得解定义域(2)由(1)2f =求得2a =.化简 22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦,求得函数单调性得解(3)分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】(1)由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x ,所以函数()f x 的定义域为(1,3)-.(2)因为(1)2f =,所以log 42(0,1)a a a =>≠,所以2a =.22222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦,所以当(1,1]x ∈-时,()f x 是增函数;当(1,3)x ∈时,()f x 是减函数, 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==. (3)当1a >时1330x x x +>-⎧⎨->⎩解得13x x >⎧⎨<⎩不等式解集为:{|13}x x <<当01a <<时1310x xx +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为:{|11}x x -<<【点睛】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按1a >和01a <<进行分类讨论.22.(1)()2x f x =;(2)[2,0]-;(3)17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【分析】(1)根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值,即可求解出()f x 的解析式;(2)采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈,将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起,由此求解出结果;(3)先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式,然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦,采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值,从而求解出a 的取值范围.【详解】(1)因为(2)(1)6f f +=,所以260,2a a a +-==或3a =-(舍去),所以()2x f x =;(2)由(1)知,()2x f x =,所以()222222x x x xm =-=-,令2,[1,2]xt t =∈,令2(),[1,2]F t t t t =-∈,所以()F t 的对称轴为12t =,且()F t 为开口向下的二次函数,所以()F t 在[]1,2上单调递减,所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====,所以m 的取值范围为[2,0]-; (3)因为()g x 为奇函数,()h x 为偶函数,所以()(),()()g x g x h x h x -=--=.由题()()()f x g x h x =+知,2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩,即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤,得()()221222202x xxx a ---++≤, 易知()22222212211222222222222x xx xx x xx x x x x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦. 令12,[1,2]2x xt x =-∈,则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭, 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤,所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛:不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法: (1)分类讨论法:根据参数的临界值作分类讨论;(2)分离参数法:将自变量和参数分离开来,自变量部分构造新函数,分析新函数的最值与参数的关系. 23.(1)10 (2)0 【分析】(1)利用指数幂的运算性质求解即可; (2)利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:(1)1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=(2)53log 425log lg lg 4522++-34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算. 24.(1)1;(2)1010. 【分析】(1)根据4()42xx f x =+的表达式,求出()(),1f a f a -的表达式,再进行分式通分运算,可得()()11f a f a +-=. (2)设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值. 【详解】 (1)4()42xxf x =+,x ∈R . ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a --=+=+++++4214224a a a =+=++, (2)设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相加得:12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由(1)得:20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算,分式运算,利用函数的性质进行式子求值,考查运算求解能力. 25.(1)32;(2)-. 【分析】(1)利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值;(2)由已知条件可求得1x x --的值,可求得22x x -+,并求得1122x x -+的值,代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】(1)原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=; (2)因为()()()221114x x x x x x x x -----=+-=-,所以()()2211412x xx x ---=+-=,因为01x <<,则1x x -<,所以1x x --=-22x x --=-,又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭,所以1122x x -+=所以221122x x x x---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算,考查了平方关系以及对数运算性质的应用,考查计算能力,属于基础题. 26.(1)110;(2)-1 【分析】(1)原式化简为分数指数幂,计算结果;(2)根据对数运算公式化简求值. 【详解】 (1)原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=(2)原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算,重点考查计算能力,转化与变形,属于基础题型.。
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答案:6
解析:a+a-1=(a -a )2+2=6.
14.函数y=ax-2+4(a>0,且a≠1)的图像恒过点________.
答案:(2,5)
解析:借助于指数函数的零次幂为1解题.
15.若函数f(x)=loga(x+ )是定义域为R的奇函数,则a=________.
A.1 B.0
C.-1 D.任意实数
答案:A
解析:f(0)= (1-a)=0,∴a=1.
8.函数y=e|lnx|-|x-1|的图像大致是()
A B
C D答案:D
解析:y=e|lnx|-|x-1|=
找分段函数图像即可.
9.函数y=2x+1的图像关于直线y=x对称的图像大致是()
A B C D答案:B
解析:函数y=2x+1的反函数为y=log2(x-1),其图像为B.
解法二:lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg 14-lg 2+lg 7-lg 18
=lg =lg 1=0.
18.(12分)现有命题P和Q如下.
P:函数y=cx在R上单调递减.
Q:函数f(x)=ln(2x2+4x+ )的值域为R.
如果P和Q中有且只有一个命题是真命题,求非负实数c的取值范围.
答案:
解析:∵函数f(x)=loga(x+ )是奇函数,∴f(0)=0.
∴f(0)=loga( |a|)=0=loga1,∴ |a|=1,|a|= .又∵底数a>0,∴a= .
16.
如右图,开始时,桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶2中水就是y2=a-ae-nt,假设过5 min时,桶1和桶2的水相等,则再过________ min桶1中的水只有 L.
解:函数y=cx在R上单调递减⇔0<c<1.
函数f(x)=ln(2x2+4x+ )的值域为R⇔Δ=42-4×2· ≥0,所以 ≤2,又c>0,所以c≥ .
根据题设可知,命题P和Q有且仅有一个正确.
(1)如果P正确,Q不正确,则0<c< ;
(2)如果Q正确,P不正确,则c≥1.
1.函数y= 的值域是()
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
答案:A
解析:由题意得0< ≤ 0=1.
2.已知函数f(x)=ln |x-1|,则f(x)()
A.在区间(-∞,1)和(1,+∞)上都是增函数
B.在区间(-∞,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数
C.在区间(-∞,1)和(1,+∞)上都是减函数
10.若[a]表示不超过a的最大整数.我们定义lgx的首数为[lgx],lgx的尾数为lgx-[lgx].现有x,y>10,若lgx,lgy的首数分别为a,c,lgx,lgy的尾数分别为b,d,而|a-1|+ =0,b+d=1,则xy的值为()
A.10 000 000 B.1 000 000
C.100 000 000 D.100 000
A.0 B.1
C.10 D.11
答案:D
解析:由x2-2013x+2012<0⇒1<x<2012∴A=(1、2012),log <m∴0<x<2m∴B=(0,2m)A⊆B∴2m≥2012m≥log22012∵211=2048∴m最小值为11.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.a<c<b
答案:D
解析:∵a=log20.6<0,b=20.2>1,c=log2 = ,Байду номын сангаасa<c<b.
6.函数f(x)= 的定义域是()
A. B.
C. D.
答案:A
解析:log0.5(3-4x)≥0,0<3-4x≤1, ≤x< .
7.函数y= 是奇函数,则实数a=()
A.2 B.3
C.4 D.5
答案:B
解析:f(-3)=(-3)2-1=8,所以f[f(-3)]=f(8)=log28=3.
4.不等式 x> x-1的解集是()
A.(-1,+∞) B.
C.(-∞,-1) D.(-∞,-2)
答案:C
解析:2x<x-1,x<-1.
5.已知a=log20.6,b=20.2,c=log2 ,则()
(2)lg 14-2lg +lg 7-lg 18.
解:(1)原式=-6+( -1)+(23) ×2 +5 =-6+ -1+2+5= .
(2)解法一:lg 14-2lg +lg 7-lg 18
=lg (2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg (32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
答案:10
解析:由题意,5 min后,y1=ae-5n,y2=a-ae-5n,y1=y2,∴n= ln2.设再过t min桶1中的水只有 L,
则y1=ae-n(5+t)= ,解得t=10.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算: + +80.25× + ÷ .
答案:B
11.已知函数f(x)满足当x≥4时,f(x)= x.当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log )=()
A. B.
C. D.
答案:A
解析:f(2+log )=f(3+log )= = 3· = × =
12.已知集合A={x|x2-2013x+2012<0},B={x|log <m,m∈z}若A⊆B,则整数m的最小值是()
第三章章末检测
班级__________姓名__________考号__________分数__________
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
D.在区间(-∞,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数
答案:D
解析:∵|x-1|在区间(-∞,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数,y=ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以f(x)在区间(-∞,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数.
3.若函数f(x)= ,则f[f(-3)]=()