最新高一数列通项公式常见求法
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.分析：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+54111d a d a 解得⎩⎨⎧-==231d a∴ ()5211+-=-+=n d n a a n二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()32321----n n=12-n而111-==s a 不适合上式，()()⎩⎨⎧≥=-=∴-22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a即 341=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式∴ 数列{}n a 从第2项起是以34为公比的等比数列 ∴ 222343134--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a ()2≥n ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛==-23431112n n a n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a┅ 321-=--n a a n n ()2≥n以上各式相加得()()211327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n又01=a ，所以()21-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()21-=n a n ()*∈Nn五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：11n n n a a n -=- ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N *≥∈故3241123123411231n n n a a a a na a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以()n a n n N *=∈ 六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：121n n a a -=+ ∴()1112221n n n a a a --+=+=+∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴()111122n n n a a -+=+⋅= 故21n n a =- ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a1122n n n a a a --=+ ∴111211122n n n n a a a a ---+==+ 即11112n n a a --= ()2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列∴()1111222n n n a =+-⋅= ∴2n a n= ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a aa --==即1lg 2lg nn a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -=七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a . 解：n n n s a 31+=+ 113--+=∴n n n s a ()2≥n两式相减得 1132-+⋅+=-n n n n a a a 即 11322-+⋅+=n n n a a上式两边同除以13+n 得92332311+⋅=++n n n n a a （这一步是关键） 令nnn a c 3=得 92321+=+n n c c ⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴+3232321n n c c ()2≥n （想想这步是怎么得来的） ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n c 从第2项起，是以93322-=-a c 为首项，以32为公比的等比数列故 ()n n n n n a a c c 32332933232322222----=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-()323232+-=∴-n n n a c 又n n n a c 3=，所以()123223--⋅+⋅-=n n n a a a a =1 不适合上式 ()()()⎩⎨⎧≥⋅+⋅-==∴--23223112n a n a a n n n 注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
高一数列通项公式常见求法
数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。
解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。
一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时由于1a 不适合于此等式。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1+n a 的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：1、累加法一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+类型的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
数列通项公式常见9种求法
解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设⑥将代入⑥式，得整理得。
令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
求数列通项公式的13种方法
求数列通项公式的13种方法在数学中，数列是一组按照一定规律依次排列的数字集合。
求数列的通项公式是对该数列的每一项都能找到一个通用的公式来描述。
这篇文档将介绍13种求解数列通项公式的方法。
1. 模式观察法通过观察数列中数字的变化模式，尝试找出递推关系，并通过推测整理出数列的通项公式。
2. 公式转化法通过对数列进行一系列数学运算，如加减乘除、取幂次等，将数列转化成已知的常见数列，再推导出通项公式。
3. 递推法通过已知的前几项数值，推导出当前项和下一项之间的关系，进而获得数列的通项公式。
4. 二项展开法借助二项展开公式，将数列展开成多项式形式，从而得到数列的通项公式。
5. 求解差分方程法将数列转化为差分方程，通过求解差分方程得到数列的通项公式。
6. 系数法利用多项式系数之间的关系，通过观察系数之间的规律，推导出数列的通项公式。
7. 利用等差数列和等比数列性质对于满足等差数列或等比数列性质的部分数列，可以直接应用等差数列或等比数列的通项公式。
8. 利用级数展开对于部分数列，可以将其展开成级数形式，从而得到数列的通项公式。
9. 奇偶性分析法通过分析数列中数字的奇偶性规律，推导出数列的通项公式。
10. 利用生成函数通过构造数列的生成函数，将数列转化成幂级数形式，再求解得到数列的通项公式。
11. 递归关系法对于一些特殊的数列，可以通过递归关系推导出数列的通项公式。
12. 利用数学归纳法利用数学归纳法证明数列的通项公式的正确性。
13. 利用数值计算方法拟合通过计算机软件等数值计算方法，根据数列的前几项数值进行拟合，得到数列的通项公式。
以上是13种常用的求解数列通项公式的方法。
根据具体的数列情况和求解需要，选择合适的方法进行计算和推导。
> 注意：此文档中的内容仅供参考。
在确定数列的通项公式时，请务必进行独立决策，不要直接引用未经验证的内容。
---以上是对「求数列通项公式的13种方法」的介绍文档。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。
在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。
常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。
方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。
常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。
方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。
常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。
方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。
通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。
常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。
方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。
常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。
通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。
方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。
常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。
2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。
二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。
2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。
三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。
2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。
四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。
五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。
六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。
2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。
方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。
方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。
例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。
方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。
首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。
方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。
方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。
线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。
方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。
例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。
方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。
方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。
数列通项公式方法大全很经典
得113222n n n na a++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}na 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n aa+=+´转化为113222n n n naa ++-=，说明数列{}2n n a1123221122()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++´++´++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2na n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+´，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：1232n n n aa +=+´两边除以12n +，以23为公差的为公差的等差数列等差数列，由等差数列的通项公式，是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}na 的通项公式。
的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n na a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则+，即得数列{}n a 的通项公式。
求数列的通项公式常用的几种方法
求数列的通项公式问题常常采用选择题、填空题或解答题的命题形式，具有较强的综合性，对于高中生来说具有一定的难度.本文将结合实例，介绍求数列通项公式的几种常用方法.一、累加（乘）法当数列的递推关系可以转化为a n+1-a n=f(n)的形式时，可利用累加法求数列的通项公式，即f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a n-an-1)=a n(n≥2,n∈N*).当递推关系可以转化为an+1an=f(n)的形式时，可利用累乘法求数列的通项公式.即f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1)=a1∙a2a1∙a3a2·…·anan-1=an(n≥2,n∈N*).例1.若数列{a n}满足a n+1-a n=n2,a1=1,求数列{a n}的通项公式.解：由an+1-an=n2可得a n-a n-1=(n-1)2,an-1-an-2=(n-2)2,⋯,a3-a2=22,a2-a1=12.将上述各式等号两边的式子相加，得a n=1+12+22+…+(n-1)2=1+n(n-1)(2n-1)6.有时，题目中的条件a n+1-a n=f(n)会呈现为an+1=an+f(n)的形式，同学们要注意辨别，并将其进行合理的变形.例2.若数列{a n}满足a n+1a n=n+1n,a1=1，求数列{a n}的通项公式.解：由an+1an=n+1n可得anan-1=nn-1，an-1an-2=n-1n-2，⋯，a3a2=32，a2a1=21；将上述各式等号两边的式子相乘，得a n=1×21×32×…×n-1n-2×n n-1=n.有时题目中的条件an+1an=f(n)会呈现为an+1=an·f(n)的形式，同学们要将其进行合理的变形，灵活运用累乘法进行解题.二、倒数变换法当题目所给的递推关系形如a n+1=ankan+b时，可用采用倒数变换法来求数列的通项公式.先对等式两边的式子取倒数，可得1a n+1=ka n+b a n=k+b·1a n.当b=1时，{}1a n是等差数列；当b≠1时，可以利用待定系数法构造出一个新的等比数列，进而求得数列{a n}的通项公式.例3.若数列{a n}满足a n+1=a n a n+1,且a1=1，求数列{a n}的通项公式.解：将a n+1=anan+1变形，可得1a n+1=a n+1a n=1a n+1，即1an+1-1a n=1；所以数列{}1a n是一个公差为1、首项为1a1=1的等差数列，从而可得1a n=1+n-1=n，所以a n=1n.我们在已知递推关系式的左右同时取倒数，即可将其变形为两项之差为定值的形式.根据等差数列的定义判定该数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可.三、利用a n与前n项和S n的关系当题目中的递推关系式同时含有S n与a n时，可先令n=1，求出首项a1（若题目已知告知a1的值，则可忽略此步）；然后作差，根据a n与前n项和S n的关系，可得a n=S n-S n-1；最后化简，即可求得数列{a n}的通项公式.例4.已知数列{a n}的前n项和为S n=23a n+13，求数列{a n}的通项公式.解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，得a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1=(23a n+13)-(23a n-1+13)=23a n-23a n-1，整理可得13a n=-23a n-1，即a nan-1=-2，故数列{a n}是首项为1、公比为-2的等比数列，所以an=(-2)n-1.我们利用a n与前n项和S n的关系，通过作差并化简可发现，数列{a n}为等比数列.求得其首项和公比的值后，根据等比数列的通项公式求解，即可求得a n.总之，求数列通项公式的方法有很多，本文仅探讨了三种常用的解题方法.不同的方法有不同的使用条件，同学们在解题过程中，一定要灵活变通，善于归纳总结，这样才能提高解题的效率.项目基金：国家科技支撑计划课题（2013BAK12B0803）；黑龙江省自然基金（B2015019）；黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研项目（135509122）（作者单位：齐齐哈尔大学理学院）杜韩考点透视38。
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
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数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。
解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n ΛΛΛΛΛ 求解。
一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1+n a 的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：1、累加法一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+类型的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥。
例4、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由累加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==L例5、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---……312n=- 2、累乘法一般地对于形如“已知a 1，且)(1n f a a nn =+（)(n f 为可求积的数列）”的形式可通过累乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n na a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a=n n n 11433221=-⋅⋅Λ 所以n a n 1=3、构造法当数列前一项和后一项即n a 和1-n a 的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
具体有以下几种常见方法。
（1）待定系数法：形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 例7、已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
解：121(2),n n a a n -=+≥Q 112(1)n n a a -∴+=+ 又{}112,1n a a +=∴+Q 是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21nn a =-.练习、已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。
答案：1)21(1+=-n n a（2）倒数法一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例8、已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+，求{}n a 的通项公式。
解：原式两边取倒数得：11113113n n n n a a a a ---+==+1,1na n n n-11设b =则b -b =3,且b ={}13n b ∴1是b =为首项，公差d=2的等差数列1(1)332bn n n ∴=+-⋅=-，即132n a n =-例9、在数列{n a }中，311=a ，并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn ,求数列{n b }的通项公式 .解：当n=1时，3111==a b , 当2≥n 时，由n n n n a a a a -=⋅--11 ，等式两边取倒数得：,1111=--n n a a 所以11=--n n b b ，所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n（3）对数法当数列n a 和a n-1的递推关系涉及到高次时，形如：a n p = ma n-1q（其中m 、p 、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例10、若数列{n a }中，1a =3且21n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁。
解：由题意知n a ＞0，将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即2lg lg 1=+nn a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即123-=n n a 。
三 、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有n S ，又有n a （当题中给出的是n S 和n a 的关系时，我们一般通过作差法结合1--=n n n S S a 这个通用公式对原等式进行变形，消掉n S 得到n a 和1+n a 的递推关系，或消掉n a 得到n S 和1+n S 的递推关系，然后重新构造数列求通项公式）。
分析：把已知关系通过11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例11、已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=，求{n a }的通项公式；解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。
又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(61)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ，得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。
因此a n +1- a n -3＝0。
从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。
例12、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+，设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列解：由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．练习、已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(21+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.答案： 12-=n a n2、对无穷递推数列——逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减,进而求得通项公式.例13、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ②用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ ，故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=L L ③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=L 。