上海华东师大三附中2015学年第二学期期中考试高三数学试题

11. （理）已知点()4,4-P ，曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 8y x （θ为参数），若Q 是曲线C 上的动点，则线段PQ 的中点M 到直线l ：⎩⎨⎧+-=+=ty tx 223（t 为参数）距离的最小值为________．（文）若圆锥的主视图(正视图)是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积为___． 12. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ． 13. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,...,a a a a 的方差为1λ，数据3201512,,,...,1232015S S S S 的方差为2λ，则12λλ= ． 14. 已知t n m ,,均为实数，[]u 表示不超过实数u 的最大整数，若[]022≤-+-++x x tnx mx 对任意实数x 恒成立，且()()()0011>>=+++-m n t P n P m ，则实数P 的最大值为_____． 二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 不等式62<<m 是方程16222=-+-my m x 表示椭圆的 （ ）A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充分必要条件； D ．既不充分又不必要条件．16. 已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是 （ ）A ．)](sin[x f ；B ．)(sin x f x ⋅；C ．)(sin )(x f x f ⋅；D ．2)](sin [x f ．17. 已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若存在R k ∈，使得M N =∅ 成立，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．[]3,3-；B ．(,3)(3,)-∞-+∞ ；C ．[]2,2-；D ．(,2)(2,)-∞-+∞ ．18. 若等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则关于x 、y 的二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A ． 对任意q R ∈(0)q ≠，方程组都有唯一解；B ． 对任意q R ∈(0)q ≠，方程组都无解；C ． 当且仅当23q =-时，方程组有无穷多解；D ． 当且仅当23q =-时，方程组无解． 三、解答题：（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第二小题6分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠ACB ，030=∠BAC ，1=BC ，61=AA ，点D E 、分别是ABC ∆边AB AC 、的中点，求：（1）该直三棱柱的侧面积；（2）（理）异面直线1DB 与1EA 所成的角的大小(用反三角函数值表示)(文)异面直线DE 与11A B 所成的角的大小.20. （本题满分14分，第1小题6分，第二小题8分）已知函数22()(sin cos )f x x x x =++． （1）求函数()x f 的最小正周期并求出单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2cos 2a C c b +=，求()B f 的取值范围．ABCDEA 1B 1C 121. （本题满分14分，第1小题6分，第二小题8分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1,n S =，()122,1++-=n n a ，⊥ （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； （2）若n n a n n b 12011+-=,问是否存在0n , 对于任意k （k N *∈），不等式0n k b b ≤成立.22. （本题满分16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于B A ,两点，另一直线L 经过M ()0,2-及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围；（3）若Q 是双曲线C 上的任一点，21,F F 为双曲线C 的左、右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．23. （本题满分18分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题8分） 设()x m x x h +=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈5,41x ，其中m 是不等于零的常数， （1）1=m 时，直接写出()x h 的值域； （2）求()x h 的单调递增区间；（3）已知函数()[]()b a x x f ,∈，定义：()(){}[]()b a x x t a t f x f ,min 1∈≤≤=，()(){}[]()b a x x t a t f x f ,max 2∈≤≤=．其中，(){}D x x f ∈min 表示函数()x f 在D 上的最小值，(){}D x x f ∈max 表示函数()x f 在D 上的最大值．例如：()[]π,0,cos ∈=x x x f ，则()[]π,0,cos 1∈=x x x f ，()[]π,0,12∈=x x f ，（理）当1=m 时，设()()()()()2424x h x h x h x h x M -++=，不等式()()n x M x M t ≤-≤21恒成立，求n t ,的取值范围；（文）当1=m 时，()()n x h x h ≤-21恒成立，求n 的取值范围．华东师大三附中2015学年第二学期期中考试高三数学试题参考答案 一、填空题：1. ()0,2；2. 3；3. 107-； 4. (]1,-∞-； 5. 132-=n a n ； 6. 10； 7. （理）32 （文） 8 ； 8. 34-； 9. 8；10. （理） 2.1 （文）3518； 11. （理）558（文）π3； 12. 825；13. 4； 14. 3-二、选择题：15. B ； 16. B ； 17. B ； 18. C三、解答题：19. (1) S 侧=(2)(理)； (文)O 6020. （1）()f x 的最小正周期为π；递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （Z k ∈）21. 解（1） a b →→⊥ ∴0221=++-+n n n a S022211=++-+++n n n a S1122++-=∴n n n a a12211-=∴++n nn n a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列 （2）)1()1(22+-=---=n n a nn()()()20102009200922011220102201102009201011或的最大值为令=∴=≤-≥-≥-=∴++n b b b n n n b b n b n n n nn n n22. （1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0∵该直线与圆 1)2(22=-+y x 相切， ∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴1,2222==a a ，∴双曲线C 的方程为122=-y x （2）由022)1(112222=---⎩⎨⎧=-+=mx x m y x mx y 得 令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根.因此21012012022<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆m mm m解得 又AB 中点为)11,1(22mm m -- ∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b∵)2,1(∈m ∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞（3）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1| 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1|根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ①由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,）则⎩⎨⎧=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x y y x x TT T T 222,222即代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )22(122≠=+x y x23. （1） ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈526,2x h ； （2）0<m 时，()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,41递增 ；1610≤<m 时，()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,41递增25161≤<m 时，()x h 在[]5,m 递增 （3）（理）由题知：()()()x x x h x h 441342-=-所以，()()x h x h 4> ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,41x()()x h x h 4= ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈21x()()x h x h 4< ⎥⎦⎤⎝⎛∈45,21x()()()()()()()⎩⎨⎧<≥=x h x h x h x h x h x h x M 4,44, ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=45,21,41421,41,1x x x x x x x M()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=45,21,2521,41,11x x x x x M()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=45,1,4141,41,4172x x x x x M⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=-45,1,414251,21,4721,41,417121x x x x x x x M M()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-0,102121x M x M1021,0-≤≥∴t n（3）（文）()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=5,1,21,41,11x x x x x h()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=5,4,14,41,4172x x x x x h()()[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=-5,4124,1,491,41,417121x x x x x x x x h x h ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-516,021x h x h所以516≥n。