2016年广西单招数学模拟试题：导数的四则运算法则
5.2.2导数的四则运算法则
→0
而 ′ () = ( 2 )′ = 2, ′ () = ′ = 1, ∴ [() + ()]′ = ′ () + ′ ()
′
′
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
思
′()＝______
′()＝______
1
′()＝______
1
′()＝______
求切线方程的步骤：
(1)求函数 = ()的导数 ′ ()
(2)求切点坐标(0 , 0 )
(3)求切线的斜率 = ′ (0 )
(4)根据直线方程的点斜式写出切线方程即，y − 0 = ( − 0 )
( 2 )2
2 2 cos − 4 sin 2 cos − 4 sin
=
=
4
3
归
纳
总
结
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再
根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
1、求下列函数的导数：
预习课本第76～78页，思考并完成以下问题
问题1
导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
高斯
1．条件：()，()是可导的．
1777－1855
2．结论：
(1)[() ± ()]′＝
(3)
() ′
＝
()
； (2)[()()]′＝
．
；
设 = 2 , = ,如何计算 + () ′ 与[() − ()]′ ,
2.导数的四则运算与复合函数求导
(2 x 1)e x2 x1 cos e x2 x1
14、令 y eu ,u ex
y eex
y eu ex eex e x eex x
答案
1、y 10(2x 1)4 2、y 2cos 2x
1 (1 x ) (1 x ) 1
2x
2x
(1 x )2
1
x (1 x )2
f (4) 1 18
8
例7 设 f (x) = tan x，求 f (x).
解 f ( x) (tan x) sin x cos x
cos
解
1
3
y x x2 x2
y
3
1
x2
2
例5
设y
x 1 x2 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x1 x2 1
(x2 1)(x 1) (x2 1)(x 1) ( x2 1)2
(
x2
1) 2x( x ( x2 1)2
3、y 2
4、y 2x cos x2
4 x2
5、y ln33sin x cos x
7、y cot x 9、y 2xex2 11、y 1
x ln x ln ln x
6、y 8、y
sec2 x(x2
xetan x
a
2
)
1 2
10、y x(x2 a2
解 f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
(精)导数的四则运算法则精编练习及解析
导数的四则运算法则得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 1.函数y =x 2co sx的导数为…………………………………………………………………【 】A . y ′=2x co sx －x 2s i nxB . y ′=2x co sx +x 2s i nxC. y ′=x 2co sx －2xs i nxD. y ′=x co sx －x 2s i nx 2.下列结论中正确的是……………………………………………………………………【 】 A.导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【 】 B. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是…………………………………【 】A.4B.52C.3D.2 4.函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是…………………………………………【 】A.1B.12C.0D.-1 5. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【 】A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴若()0ba f x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为…【 】A. 1B. 2C. 3D. 0 7. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是………【 】A. 1(,)3+∞B. 1(,)3-∞C. 1[,)3+∞D. 1(,]3-∞ 8.设0<a <b ，且f (x )＝xx++11，则下列大小关系式成立的是…………………………【 】.A.f (a )< f (2b a +)<f (ab ) B . f (2ba +)<f (b )< f (ab ) C . f (ab )< f (2b a +)<f (a ) D . f (b )< f (2ba +)<f (ab )9. 函数2()f x ax b =-在区间(,0)-∞内是减函数，则,a b 应满足………………………【 】 Ａ．0a <且0b = Ｂ．0a >且b R ∈Ｃ．0a <且0b ≠ Ｄ．0a <且b R ∈10. ()f x 与()g x 是R 定义在上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足…………………………………………………………………………………………【 】Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x - 为常数函数 Ｃ．()()0f x g x ==Ｄ．()()f x g x +为常数函数11. (2020江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为…………………………………………………………………【 】 Ａ．3 Ｂ．52Ｃ．2Ｄ．3212. (2020江西理)设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分) 13．10.曲线y =2x 3－3x 2共有____个极值.14．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =_______.. 15. 若xe xf 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--= ___________. 16. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 ____m 2.三、解答题（共74分）17．（本小题满分10分）一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.19. （本小题满分12分）已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称, 试判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性,并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠'⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;⑶在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.21．（本小题满分12分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ．答案一、选择题（60分）1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题（16分）13. 2 14.()1f x x =- 15. e2-（或12--e ） 16、68)(23+-+=x x x x f 三、解答题（共74分）17.解:∵当302≤≤t 时,()230≤v t t =-; 当352≤≤t 时,()230≥v t t =-. ∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程352302(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929(10)442++=(米)18.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=.19. 解: 答f (x )在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称, 则f (x )是奇函数,所以a =1,b =0,于是f (x )=348.x x -2()348,f x x '∴=-∴当(4,4)()0x f x '∈-∴<又∵函数()f x 在[]4,4-上连续所以f (x )在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =- ∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x==+. ⑵∵由⑴知当0x >时,()a g x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()2≥g x a 当且仅当x a =时取等号.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a ,∴依题意得22a =∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=7ln 324-21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：x (02)， 2 (2)+，∞ ()F x ' -+()F x极小值(2)F故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：x(0ln )k ， ln k (ln )k +∞， ()f x ' -+()f x 单调递减 极小值 单调递增由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．数学科学段测试（导数部分）一、选择题（12小题，共36分）1、设曲线22y x x =+-在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为 ( ) A 、（0，－2） B 、（1，0） C 、（0，0） D 、（1，1）2、抛物线y=x 2在点M （2141）的切线的倾斜角是 （ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球体积的平均变化率为（ ） A 、()()2324443R R R R R πππ⋅∆+⋅∆+∆ B 、()224443R R R R πππ+⋅∆+∆ C 、24R R π⋅∆ D 、24R π 4、函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ ） A 、2 B 、－2 C 、0 D 、－45、设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、26、已知曲线331x y =在点)38,2(P ，则过P 点的切线方程为 （ ） A 、016123=--y xB 、016312=--y xC 、016123=+-y xD 、016312=+-y x7、已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>6 8、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 （ ）A 、13k <B 、103k <≤C 、103k ≤≤ D 、13k ≤10、函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A 、（1-e ，+∞）B 、（－∞，1-e ）C 、（0，1-e ）D 、（e ，+∞） 11、方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有 （ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B 、f （0）＋f （2）≥2f （1） C 、f （0）＋f （2）>2f （1） D 、f （0）＋f （2）≥2f （1）x y O A x y O Bx y O C yOD x yO二、填空题（4小题，共16分） 13、【文】已知函数x x y 33-=，则它的单调递增区间是 。
导数四则运算
§1.2导数的四则运算法则学习目标 ：1、理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2、理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.自学指导：1、复习常见函数的导数公式：'C = ；()'n x = ；()'x a = ；()'xe = ； (log )'a x = ；(l n )'x = ；(s i n )'x= ；(c o s )'x = ； 2、导数的四则运算法则法则1 ：(()())'f x g x ±= 。
推广： 。
法则2: (()())'f x g x = 。
特别地,(())'Cf x = ,法则3:'()()f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
(()()()0)f x x x ≠、g 是可导的且g .特别地，当()1f x =时,有'1()g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= . 自学检测：1、下列运算正确的是（ ）A 、2'2''()()()ax bx c a x b x -+=+-B 、2'''2'(sin 2)(sin )(2)()x x x x -=-C 、'''(cos sin )(sin )cos (cos )cos x x x x x ⋅=+ D 、23'322[(3)(2)]2(2)3(3)x x x x x x +-=-++2、函数323y x x =-+的导数()f x '=3、已知3()3ln 3x f x x =++,则()f x '=4、求下列函数的导数： （1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.（5）32log y x x =+； （6）n x y x e =； （7）23(21)x y x =+小结：1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.合作探究1、求下列函数的导数． (1)y ＝tan x ； (2)y ＝32x ＋x ·cos x ；练习：求下列函数的导数：（1）32log y x x =+； （2）n x y x e =； （3）31sin x y x-=2、求(sin 2)x '=练习、求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中π，ϕ均为常数）（4）cos 3x y =； （5）y =3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx y 的导数练习：()22cos 1x y -= 1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．(3)y ＝(x －2)2－sin x 2·cos x 2.当堂检测：1. 函数1y x x =+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4. 曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为课后作业：1. 设2sin y x =，则y '=（ ）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x2. 已知()ln(f x x =，则()f x '是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =4.2(log (23))x '-+=5. (lg tan )x '=6．已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于7．'''⋅2已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)=3x +2x f (2)，则f (2)=8．已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.9.求函数()r V =.10. 求下列函数的导数；（1）99(1)y x =+； （2）2xy e -=；（3）2sin(25)y x x =+11. 求下列函数的导数；（1）2tan y x x =； （2）32(2)(31)y x x =-+；（3）2ln x y x =； （4）x e y x 3cos 2=。
高等数学导数的四则运算
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
《导数的四则运算法则练习题一
《导数的四则运算法则练习题一篇一：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x ＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(x－2)2；xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－2＝1－2x2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b ＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3)6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y ＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共2 页篇二：《导数的四则运算法则练习题一导数练习题一一、基础过关 1．下列结论不正确的是 ( ) A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 1 C．若yx＋x，则y′＝－＋1 2D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sin x x 2．函数y＝的导数是 1－cos x1－cos x－xsin x1－cos x－xsin x1－cos x＋sin xA. B.C. 1－cos x?1－cos x??1－cos x?3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 b 12．设函数f(x)＝ax－y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x ( ) (1)求f(x)的解析式； 1－cos x＋xsin xD.?1－cos x? ( ) A．－1 B．－2 C．2D．0 x＋1 4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于 ( ) x－1 11 A．2B.C．－ D．－2 225．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________. 6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2； xx (3)y＝x－sin . 22 8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 A．4 1 10．若函数f(x)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 3 11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．第 1 页共 2 页 ( ) 1D．－ 2 1B．－ 4 C．2练习题一答案 1．D 2．B 3．B 4．D5.1 2 6．0.4 m/s 7．解 (1)方法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1) ＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3 －2x2 ＋9x－3)′ ＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－x)′＋4′＝1－111 2x－21－2x－2 (3)∵y＝x－sin x2cos x2 ＝x－1 2sin x，∴y′＝x′－(11 2sin x)′＝12x. 8．A 10．6 11．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1. 12．(1)解由7x－4y－12＝0得y7 4 －3. 当x＝2时，y＝11 2∴f(2)2① 又f′(x)＝a＋bx，∴f′(2)7 4② ?2a－b1由①②得?22??a＝1 ? ab7 解之得???b＝3. 44 故f(x)＝x－3 x 练习题二答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5.??－13，1??∪[2,3) 6.?π?3，5π3 7．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息： x －2或x 2时，f′(x) 0，－2 x 2时，f′(x) 0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0. 故原函数y＝f(x)的图象大致如下： 8．A 9．C10．a≤0 11．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－1 x y′ 0，得x 1；由y′ 0，得0 x 1. ∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′11 2x，∵当x≠0时，y′＝－2x 恒成立．∴函数y＝1 2x 的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－ 1)＝6.∴???3－2b＋c＝6???－1＋b－c＋2＝1 ，即??2b－c＝－3 ?? b－c＝0 解得b＝c＝－3. 故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2. (2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x) 0，得x 1－2或x 1＋2；令f′(x) 0，得12 x 1＋2. 故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(12，＋∞)内是增函数，在(12，12)内是减函数． 13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x) 0，即3mx2－6mx 0，当m 0时，解得x 0或x 2，则函数f(x)的单调增区间是 (－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，解得0 x 2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第 2 页共 2 页篇三：导数公式以及四则运算法则练习导数的计算一、选择题 cosx的导数是（）C x sinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y? 2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）A A （0，-1） B（1，0）C （0，1）D（-1，0） 3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C 2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx 4、曲线y?x?3x 上切线平行于x轴的点的坐标是（）D A（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2) 5、设y??a??x，则y/等于（）D A31 2?a?1 2?x B 1 2?xC 1 2?a?1 2?xD?1 2?x 6、若f(x)?2sin(3x??)，则f/()等于（）B 44? A 6 B -6 C 2 D -2 37、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（）D A y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-4 2f(x)-8x的值是（）B x?1x-1 A 5B2 C 4D 不存在 8、已知f(1)=4,f (1)=5 则lim 二、填空题 9、函数y?xtanx的导数是_______________________.sinxcosx?x 2cosx 5210、设f(x)?x?4x?5,则f[f/(=___________________.2 2 211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是__________.412、函数y=log2的导数是_________________________________.三、解答题 13、求函数y?sin(x? 14、求函数y? 3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。
导数的四则运算法则课件
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的四则运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
小
结
追问： 你有哪些收获？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函
数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研
究更多函数的性质.
课后作业
1. 求下列函数的导数：
（1） = 3cos + 2 ；
（2） = e ln；
（3） = tan.
2
2. 求曲线 = +
3
在点(1,4)处的切线方程.
′ 98 = 25 ′ 90
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净
度为90%时净化费用变化快慢的25倍.
小
结
问题5 我们学习了哪些知识内容？
函数的和、差、积、商的导数运算法则.
小
结
1. 函数的和、差的导数运算法则
2sin
′
（2） () =
2
′
2sin ′ 2 − 2sin( 2 )′
=
4
2cos ⋅ 2 − 2sin ⋅ 2
=
4
2cos − 4sin
=
.
3
3
ℎ′ () = [ 2 + 2
= 2 + 2
′
]′
导数的四则运算
因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当 Δ x→0时, v(x+Δ x)→ v(x).从而:
y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) l i m u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x
五、课堂小结：
1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；
2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法; 是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；
3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合 函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理 论来求解．解决问题时，关键在与理解题意， 转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起 来.
2 即( x 1) ( x 2)(3 x 2) 0, x 1,2, . 3 4 3 2 代 入y 3 x 2 x 9 x 4求 得y 4， 32 ， 0， 即公共点为 : (1,4)切 点, ( 2,32), ( 2 ,0). 3 故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).
例5 用求导的方法求和: (1) Pn ( x ) 1 2 x 3 x 2 nx n1 ( x 1);
x(1 x ) 解： (1) x x x x ( x 1), 1 x n 1
2 3 n
2 3 n
( 2) S n 1 2 2 3 x ( n 1)nx n 2 ( x 1). n n1 ( x ) nx , 可联想到它是另一个和式 对(1)由求导公式 x+x2+x3+…+xn的导数. n
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
导数的四则运算2
由法则又可推出(Cu)'=Cu'即常数 与函数的积的导数，等于常数乘以函 数的导数.
**[法则3]** 两个函数的商的导数，等于分子的
导数与分母的积，减去分母的导数与分 子的积，再除以分母的平方.即
u u'v uv'
( )' v
v2
(v 0)
如何证明，请同学们思考.
**[法则1]** 两个函数的和(或差)的导数，等于这
两个函数的导数的和(或差)即 (uv)'=u'v'
**[法则1]** 两个函数的和(或差)的导数，等于这
两个函数的导数的和(或差)即 (uv)'=u'v'
**[法则2]** 两个函数的积的导数，等于第一个函
数的导数乘第二函数，加上第一个函数 乘第二函数的导数，即
[例1] 求y x2 的导数. sin x
[例2]
求y
x3 x2 3
在点x
3处的导数.
[例3]
求曲线y
x
2
2
x
1
在点(1,
1)处
的切
高等数学导数的四则运算法则
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
t0 t
t
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
2.作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从 时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
0
x
f ( x) 3 x 1,
y y 3 x 1
在 x 1处不可导.
0
1
x
例9
讨论函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性 .
解 sin 1 是有界函数 ,
h0
h
而 f ( x0 ) f ( x) x x0 . f ( x0 ) f ( x0 )
4) 单侧导数
左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
【优质文档】【导数的四则运算法则】
)
x＋cos x)
19
16
13
10
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
4
7. 已知点 P在曲线
y＝
x
e
＋
1上，α
为曲线在点
P 处的切线的倾斜角，
则 α 的取值范围是 (
)
π
ππ
π 3π
3π
A． [0 ， 4 ) B ． [ 4 ， 2 ) C ． ( 2 ， 4 ] D ．[ 4 ， π)
二、填空题 8. 曲线 C： f ( x) ＝ sin x＋ ex＋2 在 x＝ 0 处的切线方程为 ________． 9．已知函数 f ( x) ＝x2· f ′(2) ＋ 5x，则 f ′(2) ＝ ______.
处的切线方程为
y
＝ 1，确定 b、 c 的值．
12 ．已知抛物线
y＝
ax
2
＋
bx＋
c
过点
(1,1)
，且在点 (2 ，－ 1) 处与直线 y＝ x－ 3 相切，求 a、 b、
c 的值．
13．求抛物线 y＝ x2 上的点到直线 x－y－ 2＝ 0 的最短距离．
)ห้องสมุดไป่ตู้
A．±
π 3
B
．±
π 6
C
．±
π 4
2π D 。± 3
x
5．设 y＝－ 2e sin x，则 y′等于 ( )
A ．－ 2excos x B ．－ 2ex sin x C． 2exsin x
D．－ 2ex(sin
6．已知 f ( x) ＝ ax3＋ 3x2＋ 2，若 f ′ ( － 1) ＝4，则 a 的值是 (
C． x－y－ 1＝ 0 D ． x－ 2y＋2＝ 0
高等数学导数的四则运算
高等数学导数的四则运算课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ?，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则：（1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='，推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）；推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形．例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3）)0(2≠'-'='v v v u v u v u ，三、例题分析例：求的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例：解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2?+?= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'??? ??+'??? ??-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='?+?'+'+'='?+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5）（6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出：，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=?==课题3复合函数的导数一、复习导数公式导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ?=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ?=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ?= 或 )()(]))(([x u f x f ??''='，简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 给自变量x 一增量x ?，相应函数有增量y u ??,因为0y 0x )()(→?→?==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ?'?'==?=??→?→?→?→?即 )()(]))(([x u f x f ??''=' 或 dxdudu dy dx dy ?= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
导数的四则运算
授课课题：导数的四则运算法则授课者： 授课学科：xx 数学教学论学号 授课课时：xx 10 分钟1. 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式； 2．熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能 知识与技能目标 运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
掌握 导数的物理意义。
1、 通过用定义法求函数 f（x）=x+x2 的导数，观察结果。
发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证 明； 教学目标 过程与方法目标 2、 由定义法求 f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导 数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
1、培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养 情感态度价值观目 标 2、培养学生有旧的知识点引出新问题的思维模式，进而 培养学生的创新理念。
函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用。
掌握关于乘法法则的证明，并延 教学重点 教学难点 教学方式 和媒介 教 学 过 伸其他的证明。
掌握关于乘法法则的证明，并延伸其他的证明。
熟练操作多媒体课件，提问式探索，回答问题引申式。
程 学生实验——观察——归纳——抽象的。
1， 感知间隔含义，引入新课 上节课的内容。
引入新的内容。
（内容）：导数的概念，引出导数的应用。
提问数的运算是什么？引出导数的四则运算的内容。
2， 探究新知，揭示规律 引出导数的价值，由特殊到一般：引出四则运算的公式。
板书：导数的四则运算公式。
请预习的学生上台板书。
3， 巩固知识，实际应用 •（习题） y=x3 +sinx；y=x4 +lnx+3；y=2ex；y=tanx；4， 小结延伸： 关于乘法法则的证明过程。
关于导数的其他法则的证明问题。
（课后思考） 5， 布置作业： 例题： 设 f（ x） x x-1） x-2 ）... x-10) ，求 =（ （ (' f (0) 的值。
体会与交流 1、数学知识： 课题的介绍，在下方写关于导数的四则运算的公式，（注意提问）。
导数四则运算法则
导数的四则运算（2）问题 1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫____________．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为_____________． 问题2.探索求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：方法二：提示：将函数2(32)y x =-看作是函数________和函数____________复合函数，并分别求对应变量的导数：求下列函数的导数（1）2)53(+=x y （2）8)75(-=x y例1试说明下列函数是怎样复合而成的并求导？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．（5）u y cos =，21x u +=； （6）u y ln =，x u ln =．例2：求下列函数的导数。
（1）x y 2sin = （2）)32sin(π+=x y（3）)53cos(+=x y （4）)45ln(+=x y（5）123-=x y （6）21x x y +=2 求下列函数的导数：（1）32)32()12(x x y --= （2）x x y 5sin )23(+=（3）x e y x 3cos 2= （4）x x e y 2=3.求c bx ax y ++=23的导数。
1求下列函数的导数（1）x x y 2sin 3cos = （2）x x y sin )cos 1(+=（3）)3)(2)(1(+++=x x x y （4）)2)(1(2-+=x x x y（5）2)45(2-=x y （6）43)53(-=x y（7）12+=x e y （8）x y 311+=（9）5)75ln(+=x y2求正弦型曲线)32sin(π+=x y 在点（0,6π）的切线方程。
3设l 是x y 1=图像的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关。
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2016年广西单招数学模拟试题:导数的四则运算法则
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1：已知，则的值为（）
A、
B、
C、
D、0
2：设则
A、
B、
C、
D、
3：设，若，则（）
A、
B、
C、
D、
4：若函数，则（）
A、
B、
C、
D、
5：一个球的体积、表面积分别为V，S，若函数V＝f( S)，f′(S)是f( S)的导函数，则f′(π)＝() A、
B、
C、1
D、π
6：已知函数则的值为.
7：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_____ 。
8：曲线在点处的切线方程为 .
9：计算___________.
10：若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
11：求证：当是负整数时，公式仍成立。
12：求下列各函数的导数：
（1）y= ；
（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）；
（3）y=-sin (1-2cos 2)；
（4）y= + .
13：已知，，，求。
14：
求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
15：
已知函数（a>0）)的图像在x=1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值。
答案部分
1、C
本题考查导数求法的四则运算。
，所以= 。
2、D
.
3、A
试题分析：因为，所以当时，解得
，所以。
故A正确。
考点：导数的计算。
4、B
试题分析：因为，所以则.故选B.
考点：导数的基本运算.
5、A
设球的半径为r，则S＝4πr2，V＝πr3，由S＝4πr2，得r＝，所以f( S)＝V＝＝，所以f′(S)＝，所以f′(π)＝.
6、-1
试题分析：由函数再求导可得，所以，所以
.所以.所以.
考点：1.函数的导数的概念.2.解方程的思想.3.三角函数知识.
7、1
解：因为，因为斜率为，故切点的横坐标为1
8、x＋y－2＝0
试题分析：∵，∴，∴，∴所求切线方程为x＋y－2＝0
考点：本题考查了导数的几何意义
点评：函数在的导数值即是过点所作该函数所表示的曲线切线的斜率
9、
略
10、
试题分析：的斜率为。
设切点为（x,y），则4，所以x=1，y=1,直线l的方程为。
考点：本题主要考查导数的几何意义，直线垂直的条件。
点评：简单题，思路明确，切线的斜率是函数在切点的导数值。
两直线垂直，直线的斜率之积为-1，或一直线斜率为0，另一直线斜率不存在。
11、证明略
证明：设（为正整数），则。
即当是负整数时，公式仍成立。
12、（1）- x +3x 2-2x -3sinx+x -2cosx. （2）3x 2+12x+11
（3）cosx （4）
（1）∵y= =x +x 3+ ，
∴y′=（x ）′+(x3)′+(x-2sinx)′
=- x +3x 2-2x -3sinx+x -2cosx.
(2)方法一y=（x 2+3x+2）（x+3）
=x 3+6x 2+11x+6，
∴y′=3x2+12x+11.
方法二
y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′
=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）
=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）
=3x 2+12x+11.
（3）∵y=-sin (-cos )= sinx，
∴y′=(sinx) ′=（sinx）′=cosx.
（4）y= + = = ，
∴y′=()′== .
13、
，∴。
14、（1）（2）（3）（4）
（1）∵，∴。
（2）。
（3）。
（4）。
15、1
∵，∴。
又，
∴在x= 1处的切线l的方程是，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积为。
当且仅当即a = 1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1。