高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案

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高中数学人教B版必修二教案1.2.3直线与平面垂直的判定

人教B版数学必修2：直线与平面垂直的判定
[适用章节]
数学②中空间中的垂直关系之1直线与平面垂直
[使用目的]
使学生通过操作理解直线与平面垂直的判定定理，并结合图形理解直线和平面两条或多条直线垂直时，也不一定和平面垂直，从而深刻理解判定定理的条件。

[操作说明]
拖动绿色标尺可以选择研究的问题。

研究直线PO和平面内直线垂直时，图中可以显示它们所成的角度。

研究问题的方法可以通过拖动图中的标尺看到。

当点P为之不易准确拖动时，可以用按钮“手控”显示出M、N两点。

拖动这两点可以准确地在两个方向上拖动点P。

按钮“多条”、“擦去”可以显示或擦去和PO垂直的一组直线（当PO不垂直平面时也是一样的——如图21251），帮助理解判定定理中的条件——“和平面内两条相交直线垂直”。

“目标”按钮可以准确的达到∠POA、∠POC都为900的位置，如图21252。

“还原”按钮可以回到初始界面。

∠POA=90.0?度
图21251
∠POA=90.0?度∠POC=90.0?度
图21252。

高中数学必修二教案-1.2.3 空间中的垂直关系2-人教B版

《直线与平面垂直的判定》教学设计使用教材：人教社B版教材必修2【教学目标】1.学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；2.学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；3.在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；【教学重点】1.直线与平面垂直的定义；2.直线与平面垂直的判定定理．【教学难点】1.直线与平面垂直的判定定理的探究;2.定义和定理中转化思想的挖掘．【教学方式】启发探究式【教学手段】计算机、自制课件、实物模型【教学过程】一、创设情境，引出新知1.复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．2.给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。

然后引出：问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．3.线面垂直定义的辨析（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。

（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。

（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”.设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识.二、群策群力，探知循规任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：2.2.3直线与平面垂直的判定.试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.图形语言：符号语言：，，，，．设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．三、迁移拓展，学以致用1.基础练习，规范格式(1)正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？(2)变式：已知：，, 求证：．分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言. （2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，根据直线与平面垂直的定义知．又因为，所以，．又因为，，，是两条相交直线，所以．方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路.设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化.此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．2.深化认识，提升能力如图，在直四棱柱ABCD—A?B?C?D?中，已知底面ABCD为正方形，(1)试判断直线BD与平面A?AC是否垂直？(2)试判断直线BD与A?C是否垂直？解析：（2）由（1）的结论知：BD与A?C垂直.变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，(1)底面四边形ABCD满足什么条件时，(2)底面四边形ABCD满足什么条件时，分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想.设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。

人教B版高中数学必修二1.2.3空间中的垂直关系.doc

1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.以上都有可能A BCD D 1 O A 1 B 1C 1G图1.2.3-17.下列说法中正确的个数是（） ①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是（）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 9.下面各选项中，不正确是（）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么（）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A GA OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R14. 证明：,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。

二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。

三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。

四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。

举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。

那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。

3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。

4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。

举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。

五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。

六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。

人教B版高中数学必修二最新资料空间中的垂直关系教案

第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生将能够：1.掌握空间直线和平面的基本概念和相关性质；2.理解垂直关系的定义和特性；3.熟练掌握垂直关系的判定方法，并能在实际问题中运用；4.培养学生的空间想象和几何证明能力。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下三个部分：1. 空间直线和平面的基本概念和相关性质1.直线的定义及其特点；2.平面的定义及其特点；3.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定方法；4.直线和平面的交、垂足、投影等概念。

2. 垂直关系的定义和特性1.垂直关系的定义；2.垂直关系的性质；3.正交坐标系的建立及其应用。

3. 垂直关系的判定方法和实际应用1.垂直关系的判定方法；2.垂线的性质；3.垂直关系在直线、平面交角和空间角中的应用；4.垂足、投影的实际应用。

三、教学过程1. 导入（15分钟）介绍本课程的教学目标和内容，并通过展示直线、平面和正交坐标系等教具，激发学生的学习兴趣和想象力。

2. 知识点讲解（80分钟）根据教学大纲，系统地讲解课程中的相关知识点，包括各种概念、定理、性质、判定方法和应用等，同时通过具体的几何图形和实际问题进行讲解和解题指导。

3. 课堂练习（50分钟）组织学生进行课堂练习，加强对知识点的理解和掌握，同时培养学生的几何想象和证明能力。

4. 课后作业（15分钟）布置课后作业，要求学生巩固和扩展课堂所学知识点，同时要求学生归纳总结本课程的学习内容。

四、教学方法本课程采用多种教学方法相结合，包括讲授法、演示法、问答式教学、小组讨论和课堂练习等，旨在提高学生的学习兴趣和参与度，加强知识点的记忆和理解，培养学生的科学思维和解决问题的能力。

五、教学评估本课程采用多项评估方法，包括课堂表现评估、课堂练习成绩评估和课后作业评估等，旨在全面评估学生对本课程所学内容的掌握和应用能力。

同时，也为调整和优化教学过程提供参考和依据。

人教B版数学高一必修2学案1.2.3空间中的垂直关系第一课时

数学人教B 必修2第一章1.2.3 空间中的垂直关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边________.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 2．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．【做一做2－1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )． A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB【做一做2－2】已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直1．对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．题型一线面垂直的判定定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．题型二线面垂直性质的应用【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD ．分析：线线垂直通常由线面垂直来证．反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：线面垂直――→定义线线垂直――→判定定理线面垂直――→定义线线垂直题型三有关平行、垂直的综合问题【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．题型四易错辨析【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．错因分析：一是忽略了AB⊂α的情况说明，二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O，A1共线才行．1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．A．m⊂α，m∩n＝B，l⊥n，l⊥m⇒l⊥αB．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n⇒l⊥αC．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B⇒l⊥n，l⊥m，l⊥αD．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()．A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定3下列命题：①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．其中正确的有()．A．②和④B．①②和④C．③和④D．②③和④4如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为__________．5如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．求证：AB⊥平面PCD．答案：基础知识·梳理1．任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】D2．(1)两条相交(2)也垂直于平行【做一做2－1】B由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DCB1.【做一做2－2】B典型例题·领悟【例1】证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC⊂平面AC，所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.而B1O⊂平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OB21＝3a2＋6a2＝9a2，PD21＋B1D21＝a2＋8a2＝9a2,PB21＝PD21＋B1D21，所以PO2＋OB21＝PB21.所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.【例2】证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.【例3】(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH 12AB.又EF12AB，∴EF GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.V B－DEF＝13×12×1×2×2＝13.【例4】正解：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．(2)当AB⊄平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A，B到平面α的距离，且AA1∥BB1.∴AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β.又∵O∈α，∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.∵∠AOA1＝∠BOB1，AO＝BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．随堂练习·巩固1．B2．B一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．3．A4．21cm∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．5．证明：∵α∩β＝AB，PC⊥α，∴PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.2.3 空间中的垂直关系》

高中数学人教B版必修2
空间的垂直关系（第一课时）教学设计
线与平面垂直，
并归纳直线与
平面垂直的判
定定理。

【教师】巡视学
生的实践活动，
用
α
⊥a b a ,//.α⊥b ，n ．根据直线与平面垂直的定义知
.,n a m a ⊥⊥又因为a b //
n m n m ,,,αα⊂⊂是两条相交
直线，
【学生】独立思考，并给出证
明，之后小组交
流，【教师】巡视，指导，用
ααα⊥PO
1.在空间四边形ABCD 中, DA ⊥面
ABC, AC ⊥BC, 若AE ⊥ DB,
AF ⊥ DC
求证：EF ⊥DB
3.如图：已知：
A
PA 于，αβα⊥= ,B PB 于β⊥Q AQ 于 ⊥,
求证： ⊥BQ
l Q B
A
P
αβ
板书设计
直线与平面垂直
一、直线与直线垂直的定义二、直线与平面垂直的定义 a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 若α⊂⊥a a ，任意性)( ，则α⊥ 作用：证明线线垂直
三、直线与平面垂直的性质四、直线与平面垂直的判定定理 m m ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥ αα
ααα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,
五、直线与平面垂直的推论a∥b，b⊥α，则a⊥α。

人教B版高中数学必修二空间中的垂直关系教案(3)

空间中的垂直关系教学目标：1、直线与平面垂直的概念2、直线与平面垂直的判定与性质教学重点：直线与平面垂直的判定与性质教学过程：（一）两条直线成的角为直角——两条直线垂直（二）一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直（三）一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面（四）直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直（五）推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（六）直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线（2）垂直于同一平面的两条直线平行（七）（1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个（八）例子与练习例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，因为ΔACD 为等腰三角形,所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,所以CD ⊥AB .例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,即VC ⊥MD .又VN ⊥AB ,CD ⊥AB所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ，所以VC ⊥平面AMB .例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线.(2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线.证明：（1）连OE 、OF ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，AB CD E A B C D VN M ABC EFO P由三垂线定理的逆定理知：OE⊥AB，OF⊥AC，由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO 所以AO是∠BAC的平分线.（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,垂足为E、F，因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，则PE＝PF.（以下同（1））。

人教B版高中数学必修2-1.2教学教案-空间中的垂直关系：平面与平面垂直

1.2.3 空间中的垂直关系平面与平面垂直一、教材分析平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.二、学生分析学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定和性质.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度,教学中必须注意这一点.三、设计理念学生是学习和发展的主体,教师是学习活动积极的组织者和引导者.立体几何的学习主要培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,因此在学习与教学过程中应充分发挥学生在学习中的主动性和创造性, 通过探究性的学习方法,使学生在不断的探究学习的过程中积极参与、独立思考.多媒体与教具的应用是教学情景的设置、表现立体几何中丰富多彩的线面关系、加深定理与性质的理解的一个重要手段.也是教师调动学生的情感体验、关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要的作用.四、教学目标理解和掌握面面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题五、教学重点、难点教学重点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理。

教学难点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理的推导及应用。

六、教学方法与教学手段教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．．教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。

（1）新课引入：提出问题，激发学生的求知欲。

（2）定义的讲解：让学生自己分析定义中的两个垂直，并和以前的知识建立联系。

（3）判定定理的分析：通过两个实际的例子，让学生自己分析两个平面怎样才能垂直，归纳定理的内容。

再进一步分析定理。

人教B版高中数学必修二1.2.3空间中的垂直关系

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能7.下列说法中正确的个数是（）A B C DD 1 O A 1B 1C 1G图1.2.3-1①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是（）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内9.下面各选项中，不正确是（）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么（）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P AMND【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(14. 证明：图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。

数学人教B2教案：1.2.3 空间中的垂直关系2.平面与平面垂直含解析

示范教案错误!教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间，避免出现直接给出定义和定理，那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义，提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,以及应用定理解决有关问题,提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时错误!导入新课设计1.回顾直线与平面垂直的定义，是用线线垂直来定义的，那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义？教师点出课题．设计2.如下图所示,在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课错误!错误!(1)如右下图，两个平面α,β相交，交线为CD,在CD上任取一点B,过点B分别在α，β内作直线BA和BE,使BA⊥CD，BE⊥CD.于是,直线CD⊥平面ABE。

容易看到，当∠ABE为直角时，给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？（2)在下图中，由于∠ABE为直角,可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA.现在要问,如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3）下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时,BA是否垂直平面β？归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：(1）如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直,记作α⊥β。

（2）答案是肯定的．事实上,只要在平面β内作BE⊥CD，由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β。

数学人教B必修2教案：1.2.3 空间中的垂直关系1.直线与平面垂直 Word版含解析

示范教案整体设计教学分析本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质．在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性，留出足够思考时间，培养学生的思维能力．值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点．对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考．三维目标1．掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力．重点难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理及其推论．教学难点：归纳判定定理，证明推论2.课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．设计2.(实例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明．如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直．推进新课新知探究提出问题(1)阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义．(2)想想看，如果A，B是空间中的两点，那么在空间中线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形(如下图)？固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形？(3)归纳空间直线与平面垂直的定义．(4)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m垂直吗？讨论结果：(1)如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面．(3)如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(4)如下图，如果l⊥a，垂足为O，直线m是平面α内不过点O的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a，根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示．直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.提出问题(1)用直线与平面垂直的定义，直接检验直线是否与平面垂直是困难的.想想看，判定直线与平面垂直是否有容易操作又比较简单的方法？(2)直线l∥直线m，l⊥平面α，则m与α垂直吗？(3)直线l⊥平面α，直线m⊥α，则l与m有何位置关系？讨论结果：(1)我们已经知道，一个平面被它所含的两条相交直线完全确定．实际上只要检验这条直线与平面内的两条相交直线是否垂直就可以了，如果都垂直，则这条直线就与平面垂直．当这两条相交直线不都经过这条直线与平面的交点时，可以把它们平行移动到交点处后进行研究．由以上分析，我们归纳出直线与平面垂直的判定定理：定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)如下图，如果直线l平行于直线m，且直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b.根据空间两条直线垂直的定义，易知，m与直线a和b也垂直，所以m与平面α垂直．推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(3)推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B(如下图)求证：l∥m.证明：假设直线m不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α.设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a.因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m和m′必重合，即有l∥m.应用示例思路1例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．甲乙求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．变式训练如下图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC.问：四面体PABC中有几个直角三角形？解：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.所以△PAB，△PAC为直角三角形．又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又PB 平面PAB，于是BC⊥PB，所以△PBC也为直角三角形．所以四面体PABC中的四个面都是直角三角形．例2有一根旗杆AB高8m(如下图)，它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D(和旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2.所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD.又知B，C，D三点不共线，因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．变式训练如下图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC.(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥面ASC.证明：(1)在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，∴SD⊥AC，取AB的中点E，连DE、SE.∵ED∥BC，AB⊥BC，∴DE⊥AB.又SE⊥AB，∴AB⊥面SED，∴AB⊥SD，又AB∩AC＝A，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又SD⊥面ABC，∴SD⊥BD，∵SD∩AC＝D，∴BD⊥面ASC.例3已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l.求证：AP在α内．证明：设AP 与l 确定的平面为β.假设AP 不在α内，则设α与β相交于直线AM(如下图)．因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM.又已知AP ⊥l ，于是在平面β内，过点A 有两条直线垂直于l.这是不可能的，所以AP 一定在α内．变式训练如下图，已知直线a ⊥b ，b ⊥α，aα.求证：a ∥α.证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b ′∥b ，则b ′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b ′作平面β，设α∩β＝a ′，∵b ′∥b ，a ⊥b ，∴a ⊥b ′. ∵b ⊥α，b ′∥b ，∴b ′⊥α. 又∵a ′⊂α，∴b ′⊥a ′.由a ，b ′，a ′都在平面β内，且b ′⊥a ，b ′⊥a ′ 知a ∥a ′.∴a ∥α.点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略.2.2008安徽，理4已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：垂直于同一个平面的两条不同的直线平行．答案：D思路2例4如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：A 1O ⊥平面GBD.证明：∵⎭⎪⎬⎪⎫A 1A ⊥BD AC ⊥BD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥平面A 1AO A 1O ⊂面A 1AO ⇒BD ⊥A 1O.又∵A 1O 2＝A 1A 2＋AO 2＝a 2＋(22a)2＝32a 2， OG 2＝OC 2＋CG 2＝(22a)2＋(a 2)2＝34a 2， A 1G 2＝A 1C 21＋C 1G 2＝(2a)2＋(a 2)2＝94a 2， ∴A 1O 2＋OG 2＝A 1G 2.∴A 1O ⊥OG.又BD ∩OG ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法．变式训练如下图，已知点P 为平面ABC 外一点，PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证：PB ⊥AC.证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连结OA 、OB 、OC. ∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥BC.又∵PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAO. 又∵OA ⊂平面PAO ，∴BC ⊥OA. 同理，可证AB ⊥OC. ∴O 是△ABC 的垂心． ∴OB ⊥AC.可证PO ⊥AC. ∴AC ⊥平面PBO. 又PB ⊂平面PBO ， ∴PB ⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁．知能训练如下图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a.(1)求证：BD 1⊥平面B 1AC ； (2)求B 到平面B 1AC 的距离．(1)证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C ，∴B1C⊥面ABC1D1.又BD1⊂面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.∵B1B⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D.又BD1⊂面BB1D1D，∴AC⊥BD1.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面B1AC.(2)解：∵O∈BD，∴连结OB1交BD1于E. 又O∈AC，∴OB1⊂面B1AC.∴BE⊥OE，且BE即为所求距离．∵BEOB＝BDBD1，∴BE＝BDBD1·OB＝2a3a·22a＝33a.2．已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．求证：l⊥α.证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO＝BO＝CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO＝PO＝PO，AO＝BO＝CO，∠POA＝∠POB＝∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA＝PB＝PC.取AB的中点D，连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD＝D，∴AB⊥平面POD.∵平面POD，∴PO⊥AB.同理，可证PO⊥BC.∵，，AB∩BC＝B，∴PO⊥α，即l⊥α.若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，∴l⊥α.拓展提升如下图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．证明SO⊥平面ABC.证明：如下图，由题设，知AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝22SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22SA.从而OA2＋SO2＝SA2.所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.课堂小结本节学习了：1．两直线垂直、直线与平面垂直的有关概念；2．判定直线与平面垂直和直线与直线垂直；3．转化的数学思想方法应用．作业本节练习A5题；练习B4,5题．设计感想本节教学设计容量较大，拓展内容较多，建议课前要求学生预习，在教学中使用信息技术，减少板书内容，把教学时间应用到判定定理的应用上．备课资料镜面对称如下图(1)所示，如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫做线段AA′的垂直平分面(或中垂面)．并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫做A，A′的对称平面．如果一个图形F的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′(如下图(2))，则称F，F′关于平面α成镜面对称．(1)(2)如果一个图形F通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形称作镜面对称图形．根据以上定义，请探索研究以下问题：(1)线段的中垂面有哪些性质？(2)你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？(3)写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．。

新人教B版必修二1.2.3《空间中的垂直关系》word教案1

ABCDA 1B 1C 1D 1C DαβA B CDαβl1.2.3空间中的垂直关系（2）【昨日重现】如图所示正方体1AC 中，求证：1AC ⊥平面1BDC【创设情境】1.直线与平面垂直的判定定理： .(符号表示)2.直线与平面垂直的性质定理： .（符号表示）【概念形成】1.两个平面互相垂直概念： ____________________________________________________________________________________________________________________________________________2.平面与平面垂直的判定定理： . 符号语言表示：．3.平面与平面垂直性质定理： .已知：求证：证明：【例题选讲】例1.已知：平面⊥α平面β，在α与β 的交线上取线段AB=4cm ，AC,BD 分别在α和β内，它们都垂直于交线AB ，并且AC=3cm ，BD=12cm ，求CD 的长.例2．已知Rt ∆ABC 中，AB=AC=a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角. 求证：（1）平面ABD ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC (2)∠BAC=60.B AB C D EPABCDN【巩固提高】1.若l 为一条直线，,,αβγ为三个互不重合的平面，判断下面三个命题真假.（1）,αγβγαβ⊥⊥⇒⊥；（2）,//αγβγαβ⊥⇒⊥；（3）//,l l αβαβ⊥⇒⊥; 2.如图，有一个正三棱锥体的零件，P 是侧面ACD 上一点，在面ACD 上过点P 画一条与棱AB 垂直的线段，怎样画法？并说明理由.3. 1.已知空间四边形ABCD 中，AC=AD,BC=BD,且E 是CD 的中点，求证：（1）平面ABE ⊥平面BCD.（2）平面ABE ⊥平面ACD.2.如图：四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,M,N 分别是AB,PC 的中点，PA=AD=a .（1）求证：MN//平面PAD.（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD.。

高中数学必修二教案-1.2.3 空间中的垂直关系-人教B版

直线与平面垂直教学设计（一）一、本节内容分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。

定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。

定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。

同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学目标分析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

高中数学_1.2.3 空间中的垂直关系教学设计学情分析教材分析课后反思

《直线与平面垂直》教学设计一引入新课：设计意图：这种联系现实世界引入课题的方式有助于学生将客观现实材料和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”二展示学习目标：知识与技能:（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；过程与方法:（1）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．（2）尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．情感、态度与价值观:经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．教学重难点：基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：重点：直线和平面垂直的概念，直线和平面垂直的判定定理及应用；难点：直线与平面垂直的判定定理证明思路的理解三运用生活实例引出线线垂直的定义和线面垂直的定义：探究活动：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：通过这样直观的、具体的变式引入概念，借助学生已有的具体的直观经验，帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，实现从具体到抽象的过渡。

四跟踪训练，加深学生对线面垂直定义的理解及对定理的探究：设计意图：问题链的设置，可以更好的揭示定义的内涵，加深对定义的理解，同时为判定定理的引入作铺垫。

通过学生讨论问题、解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。

探究活动：教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图五动手操作，确认定理：设计意图：安排这个活动的目的在于让学生在操作中辨析、思考折纸过程的数学本质，真正体会到知识产生的过程，在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。

高中数学必修2-1.2.3 空间中的垂直关系学案

1.2.3 空间中的垂直关系第一课时直线与平面垂直年月日一、复习：（1）在平面上两条直线垂直是如何定义的？（2）在平面上线段AB 的垂直平分线有几条？在空间呢？（3）在右图的长方体中，棱AA 1 与棱AB 有何关系？棱AA 1 与棱AD 有何关系？棱AA 1 与平面ABCD 有何关系？1A二、自主学习：自学47P -50P 回答；1。

线线垂直：在空间，如果两条直线或平移后，并且交角为，则称这两条直线互相垂直。

2。

直线与平面垂直：定义：如果一条直线（AB ）和一个平面（α）相交于点O ，并且和这个平面内过交点（O ）的任何直线，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的，这个平面叫做直线的，交点叫做。

垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的。

垂线段的长度叫做这个。

性质：由直线与平面垂直的定义可知：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任意直线。

此性质用符号语言表示为：画法：通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边。

记法：直线l 和平面α互相垂直，记作：。

3。

直线与平面垂直的判定定理：判定定理：如果一条直线与平面内的两条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

此定理用符号语言表示为：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条这个平面。

此推论用符号语言表示为：推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线。

此推论用符号语言表示为：思考：垂直于同一条直线的两个平面有怎样的位置关系？三、典型例题：自学50P 例1、例2、例3补充例4．如图1-2-62所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA=SB=SC ，点D 为斜边AC 的中点。

（1）求证：SD ⊥平面ABC ；（2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面SAC 。

四、学生练习：51P 练习A 、B五、小结：六、作业：1．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（）A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 2．已知平面α及α外一直线l ，下列命题中：①若l 垂直α内两直线，则α⊥l ；②若l 垂直α内所有直线则α⊥l ；③若l 垂直α内两条平行直线，则α⊥l ；④若l 垂直α内无数条直线，则α⊥l ；⑤若l 垂直α内任一条直线，则α⊥l 。