高中数学《空间中直线平面的垂直关系》公开课优秀教学设计三
高中三年级下学期数学《空间中的垂直关系》教学设计
《空间中的垂直关系》教学设计
一、教学目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、断定定理和性质定理，并能运用它们进展论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和断定定理、性质定理，并能运用它们进展推理论证和解决有关问题；
二、教学重点、难点
在研究垂直问题时，要擅长应用“转化〞和“降维〞的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、教学过程
环节一：思维构建
环节二：线线垂直
【21年全国甲卷第19题】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA BB 为正方形，2AB BC ==,,E F 分别是1,AC CC 的中点，D 为棱11A B 上的点
11BF A B ⊥.
证明：BF DE ⊥
环节三：线面垂直
【20年山东卷第20题】如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l . 证明：l ⊥平面PDC
环节四：面面垂直
【17年全国Ⅲ卷第19题】如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，AB BD =. 证明：平面ACD ⊥平面ABC。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
教学设计1：1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直
1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ （二）探索新知一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直. 用向量刻画线线垂直如图，设直线21l l ，的方向向量分别为12u u ，，则 1212120l l ⊥⇔⊥⇔=u u u u .用向量刻画线面垂直如图，设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则 l αλ⊥⇔⇔∃∈R un ，使得λ=u n .用向量刻画面面垂直如图，设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则 12120αβ⊥⇔⊥⇔=n n n n .（三）例题精析例1 如图，在平行六面体中，11AB AD AA ===，11A AB A AD ∠∠==60BAD ∠=︒，求证：直线1AC ⊥平面11BDD B .证明：设1AB AD AA ===，，a b c ，则{}，，a b c 为空间的一个基底， 且11A C BD BB =+-=-=，，a b c b a c . 因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒， 所以222112======，a b c a b b c c a . 在平面11BDD B 上，取1BD BB ，为基向量， 则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对()λμ，，使得1BP BD BB λμ=+. 所以1111()()()0A C BP A C BD A C BB λμλμ=+=+--++-=a b c b a a b c c .所以1A C 是平面11BDD B 的法向量，所以1AC ⊥平面11BDD B . 例 2 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.已知：如图，l l αβ⊥⊂，， 求证：αβ⊥.1111ABCD A B C D -证明：取直线l 的方向向量u ，平面β的法向量n . 因为l α⊥，所以u 是平面α的法向量.因为l β⊂，而n 是平面β的法向量，所以⊥u n .所以αβ⊥. （四）课堂练习1.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则( ) A. B. C.D. A ，C 都有可能【答案】A【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量为， 又，∴.故选A.2.已知点，若平面，则点的坐标为( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知， 又平面，所以，得①， ，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.故选C. 3.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________. 【答案】3【解析】∵平面的法向量为.又与平面平行， ∴，解得.4.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④l (222)=-，，a α(111)=-，，b l α⊥//l αl α⊂(222)=-，，a α(111)=-，，b 2=a b l α⊥(010)(101)(211)(0)A B C P x z --，，，，，，，，，，，PA ⊥ABC P (102)-，，(102)，，(102)-，，(201)-，，(111)(201)(1)AB AC AP x z =---==-，，，，，，，，PA ⊥ABC (111)(1)0AB AP x z =----=，，，，10x z -+-=(201)(1)0AC AP x z =-=，，，，20x z +=12x z =-=，P (102)-，，l αl (13)z =，，u (321)=-，，v αz =α(13)z =，，u v α133(2)10z =⨯+⨯-+⨯=u v 3z =P ABCD (214)(420)AB AD =--=，，，，，(121)AP =--，，AP AB ⊥AP AD ⊥AP ABCD.其中正确的是__________. 【答案】①②③【解析】∵，∴，则①②正确；又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确；由于，，∴与不平行，故④错误. 5.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点，证明.证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，.易得，， 于是，所以.（五）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 作业： 四、板书设计1. 用向量刻画线线垂直；2. 用向量刻画线面垂直；3. 用向量刻画面面垂直.//AP BD 00AB AP AD AP ==，AB AP AD AP ⊥⊥，AB AD AP ABCD (234)BD AD AB =-=，，(121)AP =--，，BD AP 1111ABCD A B C D -1A A ⊥ABCD //AB DC AB AD ⊥1AD CD ==12AA AB ==E 1AA 11B C CE⊥A (000)A ，，(002)B ，，(101)C ，，1(022)B ，，1(121)C ，，(010)E ，，11(101)B C =-，，(111)CE =--，，110B C CE =11B C CE⊥。
直线与平面垂直的判定 高三数学必修教案
《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．知识与技能：（1）让学生熟练掌握三垂线定理的文字叙述和符号表述，并能够正确叙述三垂线定理；（2）能够运用三垂线定理证明简单的空间两直线垂直问题。
2．过程与方法：通过探究学习三垂线定理的过程，培养学生的空间想象能力，发现问题和解决问题的能力。
3．情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神。
二、教学重点：（1）掌握并准确表达三垂线定理的内容是本节课的第一个重点内容；（2）利用三垂线定理证明空间直线的垂直关系是本节可的第二个重点内容：三、教学难点：构造运用定理的条件证明空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
四、学情分析：对高中的学生而言，通过前面立体几何内容的学习学生已经能够从实际生活中抽象出相关的几何形态，空间观念正在形成。
因此，让学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握用“线面垂直法”研究空间直线垂直关系的思想方法，学生在学习方面可能容易达到目标。
本节教学的难点是准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理解题的一般步骤。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足来确定，问题便会迎刃而解。
五、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
六、教学设计：（一）复习回顾问题1 直线与平面垂直的判定、射影、斜线（学生回答，教师补充说明并板书）设计意图：思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续问题2 利用前面证明线面垂直、线线垂直的方法证明练习1 （ 教师图形辅助，思路分析）练习1、已知正方体AC1中，求证： ⑴ BD⊥面AA1C设计意图：学生正确解答，再次深入理解：线面垂直的证明练习2 （1）在正方体AC1中，AC1在平面ABCD、BB1C1C内的射影分别（2）平面 ABCD、BB1C1C内 的 直线BD、BC1分别 与 对应的斜线是否垂直？与对应的射影呢？设计意图：引导分析引出三垂线定理，学生探讨回答问题，让学生养成严格论证问题的习惯和正确的书写格式，培养学生思维的严谨性。
空间中的垂直关系(优质课)教案
1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证． 答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二 平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定 答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
《8.6 空间直线、平面的垂直》直线与平面垂直的判定公开课优秀教案教学设计(高中必修第二册)
8.6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。
线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。
同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。
因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。
本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。
1.教学重点：直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明；2.教学难点：直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．多媒体2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是() A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定【答案】A【解析】因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°【答案】A【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.让学多观察直线与平面垂直的实例，更好的理解直线与平面的定义，证明直线与平面垂直，应强调关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂直。
高中数学《直线与平面垂直的判定》公开课优秀教学设计
《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：n P⇒⎬=⎭验证跨栏的支架与地面是否垂直，⊥b aα,,七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传。
人教版高中数学必修二直线与平面垂直的性质公开课优质教案
2.3.3 直线与平面垂直的性质一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（ 3 ）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相如图 1，表示方法为： a ⊥ α.a 由直线与平面垂直的定义不难得出：b ⊥ a.b （二）导入新课思路 1.（情境导入 ）大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵 守卫着祖国疆土 .一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路 2.（事例导入 ）如图 2，长方体 ABCD —A ′B ′C ′中D ，′棱 AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面们之间具有什么位置关系？三）推进新课、新知探究、提出问题① 回忆空间两直线平行的定义② 判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③ 找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系ABCD ，它图1图2④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法③如图4，长方体ABCD —A′B′C′中D，′棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行a直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥ a.b直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系四）应用示例思路1例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行解:已知a⊥α,b⊥α.求证：a∥ b.②如图3，同垂直于图6证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O作,直线b′，使O∈b′,∥a b′ 直线b′与直线 b 确定平面β，设α∩β=则c, O∈ c.∵a⊥α,b⊥α∴,a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b β,b ′β,a∥ b′显然不可能，因此b∥ a.例 2 如图7，已知α∩β =l,E⊥A α于点A,EB ⊥β于点B,a α,a⊥AB.求证:a∥ l.EA ,EB l EA证明：l ⊥平面EAB.l l EB又∵ a α,EA⊥α∴,a⊥EA.又∵ a⊥AB, ∴ a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例 1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥ α，a α.求证：a∥ α.证明：在直线 a 上取一点 A ，过 A 作b′∥ b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设 α∩β =a ′,∵ b ′∥b ， a ⊥b,∴ a ⊥ b ′∵.b ⊥ α，b ′∥ b,∴ b ′⊥ α.又∵ a ′ α∴,b ′⊥ a ′.由 a ，b ′，a ′都在平面 β内，且 b ′⊥ a ， b ′⊥ a ′知 a ∥ a ′∴.a ∥ α.例 2 如图 9，已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、N 分别是 AB 、PC 的中点 .（ 1）求证： MN ⊥CD ；（2）若∠ PDA=45° ，求证 :MN ⊥面 PCD.图91 证明： (1)取 PD 中点 E,又 N 为PC 中点 ,连接 NE,则 NE ∥CD,NE= CD. 21 又∵ AM ∥ CD,AM= CD, 2∴ AM NE.∴四边形 AMNE 为平行四边形 .∴MN ∥AE. PA 平面 ABCD CD PACD 平面 ADP ∵ CD 平面 ABCD CD AD CD ⊥AE.AE 平面 ADP(2)当∠ PDA=45°时 ,Rt △PAD 为等腰直角三角形 ,则 AE ⊥ PD.又 MN ∥AE,∴MN ⊥PD,PD ∩CD=D.∴MN ⊥平面 PCD.变式训练已知 a 、b 、c 是平面 α内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和平面 α相交，并且和 a 、b 、c 三条直 线成等角 .求证： l ⊥ α.证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO. 设l 经过O，在l 上取一点P，在△POA、△ POB、△POC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠ POA= ∠POB=∠POC，∴△ POA ≌△ POB≌△ POC.∴ PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD，则OD⊥AB ，PD⊥ AB.∵ PD∩OD=D, ∴AB ⊥平面POD.∵PO 平面POD, ∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥ BC.∵AB α，BC α，AB∩BC=B, ∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O时，可经过点O作l ∥′l.用上述方法证明l ′⊥α，∴l⊥α.（五）知能训练如图10，已知正方体ABCD —A1B1C1D1 的棱长为a,（1）求证：BD 1⊥平面B1AC;（2）求 B 到平面B1AC 的距离.1）证明：∵AB ⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC 1D 1.又BD 1 面ABC 1D1,∴B1C⊥ BD1.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥ AC,∴AC ⊥面 BB 1D 1D.又 BD 1 面 BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1.∴BD 1⊥平面 B 1AC.（2）解:∵O ∈BD,∴连接 OB 1交 BD 1于 E.又 O ∈AC ，∴ OB 1 面 B 1AC.∴ BE ⊥OE ，且 BE 即为所求距离 .BE BD BD 2a 2 3 ∵ ,∴ BE= ·OB= a a .OB BD 1 BD 1 3a 2 3（六）拓展提升已知在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， CD 在平面 α内， AB∶CD=4 ∶ 6， AB 到 α的距离为 10 cm ，求梯 形对角线的交点 O 到 α的距离 .解：如图所示，过 B 作 BE ⊥α交 α于点 E ，连接 DE,过 O 作 OF ⊥DE 交 DE 于点 F,∵AB ∥CD ，AB α，CD α，∴ AB ∥α又. BE ⊥α,∴BE 即为 AB 到 α的距离， BE=10 cm 且∠ BED=90°∵ OF ⊥DE, ∴OF ∥ BE,得 OF ODBE BD∵AB ∥CD, ∴△ AOB ∽△ COD.CD 6OD，得AB 4 BD3∴ OF= ×10=65OD OB OF BE OD BD BE=10 cm,10cm ）∴OF⊥α，即OF 即为所求距离为 6 cm.（七）课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题 2.3 B 组1、 2.。
高中数学《直线与平面垂直的判定》优质课比赛教案设计
《直线与平面垂直的判定》教案
教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2 “2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时
一、重难点
教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。
二、教学目标
1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.
三、教学方法
采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。
四、教学过程。
1.4.1空间中直线平面的垂直(第3课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性)
C1
A1C AB AD AA1 a b c, BD AD AB b a ,
证明：因为AB= AD =AA1=1,
A1
B1
D
C
A1 AB A1 AD BAD 60 ,
所以 a b c 1,
2
2
2
1
a b b c c a 11 cos60 .
(a 2 b 2 b c a c) (a c b c c 2 )
1 1
1 1
(1 1 ) ( 1) 0
2 2
2 2
A
C1
A1
B1
D
C
B
A1C是平面BDD1B1的法向量。 直线A1C 平面BDD1B1.
2
(2)若点 G 在 BC 上，BG＝ ，点 M 在 BB1 上，GM⊥BF，垂足为 H，
3
求证：ME⊥平面 BCC1B1.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，
D1(3,3,3)，
→
→
→
则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
错因分析
分层练习
课堂小结
学习目标
1.用向量语言描述线线、线面、面面垂直的关系（重点）
2.用向量语言证明直线、平面垂直的相关判定定理（重点）
3.用向量语言解决立体几何直线、平面垂直的相关问题（难点）
情景导入
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的
高中数学湘教版必修3第6章《数学实验 直线和平面的垂直关系》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学湘教版必修3第6章《数学实验直线和平面的垂直关系》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.了解直线与平面垂直的定义,两异面直线垂直的定义.
2.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理,并会应用之判断直线与平面垂直.
3.掌握并会应用直线与平面垂直的性质,理解平行与垂直之间的关系.
2重点难点
重点:平面垂直的定义,两异面直线垂直的定义.
难点:会应用直线与平面垂直的性质,平行与垂直之间的关系.
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【讲授】直线与平面垂直
(一)复习引入
问题提出:生活中处处都有直线和平面垂直的例子,如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理,那么判断线面垂直又有什么好办法呢?
(二)新课教学
1.直线与平面垂直的概念
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线;平面α叫作直线l的垂面.
2.异面直线垂直的定义
设a,b是异面直线,过a上任意一点A作c∥b,如果a⊥c,就称a⊥b.
3.直线与平面垂直的判定定理
(1)定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
(2)图形表述:如图所示.
(3)符号语言:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α且a∩b=O⇒l⊥α.。
高中数学《直线与平面垂直的判定》公开课优秀教
教师应该合理安排课堂时间，给学生提供提问的 机会和时间，让学生能够充分表达自己的想法和 疑惑。
对学生的问题进行认真回应
教师应该对学生的问题进行认真回应，不回避、 不敷衍，让学生能够感受到自己的问题得到了重 视和关注。
针对学生的问题进行解答和指导
清晰明确地解答问题
教师在解答学生问题时，应该清晰明确地表达自己的想法和思路，让学生能够听懂、理解 。
过程与方法
情感态度与价值观
培养学生严谨、认真的学习态度，体 会数学中的转化思想和数形结合思想 ，感受数学的美。
通过直观感知、操作确认、思辨论证 等过程，培养学生的空间想象能力、 推理论证能力和解决问题的能力。
教学内容与安排
引入新课
通过生活中的实例和已 学过的知识，引出直线
与平面垂直的概念。
新课学习
讲解直线与平面垂直的 定义、判定定理及其证 明，引导学生理解并掌
握相关知识。
课堂练习
通过具体题目，让学生 运用所学知识解决问题
，巩固所学内容。
课堂小结
总结本节课所学内容， 强调重点和难点，引导 学生思考并加深对所学
知识的理解。
教学方法和手段
教学方法
采用启发式教学法和探究式教学 法，引导学生主动思考、积极探 究。
利用直线与平面垂直的性质解题的例题
例题5
已知直线$l$与平面$alpha$垂直，且直线$m subset alpha$ ，求证：直线$l$与直线$m$垂直。
例题6
在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，已知点$E, F, G, H$分 别是棱$AB, BC, CD, DA$的中点，求证：四边形$EFGH$是 矩形。
课后作业
空间直线平面的垂直教案
空间直线平面的垂直教案主题：空间直线平面的垂直关系教学目标：1. 理解空间中直线、平面的定义及其特点。
2. 理解什么是直线与平面的垂直关系。
3. 能够判断直线与平面是否垂直，并举例说明。
教学重点：1. 直线与平面的定义及特点。
2. 直线与平面的垂直关系。
教学难点：1. 判断直线与平面是否垂直。
教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔或白板、标杆等教具。
教学过程：Step 1：导入新知识教师可以利用日常生活中的实例，引导学生思考两个平面相交于一根直线的情况，并提问学生如何判断这根直线与两个平面的关系。
Step 2：直线与平面的定义及特点教师简单明了地给出直线与平面的定义，并介绍直线与平面的特点，如直线无始无终、平面无边无角等。
Step 3：直线与平面的垂直关系教师引导学生思考直线与平面的垂直关系，并给出垂直的定义。
然后从两者的定义入手，解释直线与平面垂直的条件。
Step 4：判断直线与平面的垂直关系教师通过具体的实例，展示判断直线与平面垂直关系的方法。
同时，引导学生参与讨论，并解答他们的疑问。
Step 5：例题练习教师以练习题的形式进行针对直线与平面垂直关系的测试。
鼓励学生积极思考，独立完成。
Step 6：总结归纳教师对直线与平面的垂直关系进行总结归纳，并强调学生在实际问题中的应用。
Step 7：拓展延伸根据学生的学习情况，教师可以引导学生思考直线与平面的垂直关系在实际生活中的应用，如建筑、几何建模等领域。
Step 8：作业布置教师布置相关的习题作为课后作业，鼓励学生独立解答，并批改作业，及时给予反馈。
教学资源：黑板、彩色粉笔或白板、标杆等教具。
评估方式：教师通过观察学生的回答、讨论和作业的完成情况，评估学生对于直线与平面垂直关系的理解与应用能力。
延伸活动：教师可以组织学生进行小组讨论，挑选一些实际问题，引导他们应用直线与平面垂直关系的知识，一起尝试解决问题。
注意事项：在教学过程中，教师需要引导学生思考，并鼓励他们提出问题和分享观点。
高二数学9.4直线和平面垂直 (三) 教案
课 题：9．4直线和平面垂直 (三)教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线，则与斜线垂直；相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见，三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线的垂直问题；另一方面，又把平面上判定两直线垂直问题转化为判定空间两直线垂直问题正是由于三垂线定理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：（l ）在复杂的空间图形中，抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线；（2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；（3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；（4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到平面的距离等教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内a α⊂（无数个公共点）；（2）直线和平面相交a A α=（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行//a α（没有公共点）2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒3线面平行的性质 βαm l定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行二、讲解新课：1三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥求证：a PA ⊥；证明：∵PO α⊥∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面POA ，∴a PA ⊥． 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用三、讲解范例：例1 已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ∆的垂心，∴AD BC ⊥又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，ODA CB PPA ABC A =平面所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC 在α内，P ∉α，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F 且PE=PF ，PO ⊥α 求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ） 证明：连接OE ，OF∵PO ⊥α∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在α上的射影∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC(三垂线定理的逆定理 )∴O 到∠BAC 两边距离相等∴O 在∠BAC 的平分线上变式：已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα∉⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，求证：BAO CAO ∠=∠．证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ∆≅∆，∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ∆≅∆∴BAO CAO ∠=∠． 推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例3．在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心 求证：⑴PH ⊥底面ABC ⑵△ABC 是锐角三角形. 证明：⑴∵PA ⊥PB PA ⊥PC 且PB ∩PC=P∴PA ⊥侧面PBC又∵BC ⊂平面PBD ∴PA ⊥BC ∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ∵PA ∩AH=A ∴BC ⊥截面PAH又PH ⊂平面PAH ∴BC ⊥PH 同理可证：AB ⊥PH 又AB ⋂BC=B ∴PH ⊥面ABC⑵设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE由⑴知PH ⊥底面ABC ∴AE 为PE 在平面ABC 的射影由三垂线定理：PE ⊥BC∵PB ⊥PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边αP O E F C BA∴E 在BC 边上 由于AE ⊥BC ，故B ∠C 都是锐角同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形四、课堂练习：1．选择题（1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）6个（C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）（A ）没有 （B ）有一条（C ）有无数条 （D ）α内所有直线答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，P A ⊥α，P A =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ，∠AOC 的余弦值是 .答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D . 分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD,A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .五、小结 ：三垂线定理及其逆定理的证明用三垂线定理及其逆定理的应用六、课后作业：1.（1）下列命题中正确的是 ()①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．②与一条直线成等角的两条直线必平行．③与一条直线都垂直的两直线必平行．④同时平行于一个平面的两直线必平行．（A ）①、②；（B ）①、③；（C ）②、④；（D ）以上都不对．（2）平面α过△ABC 的重心，B 、C 在α的同侧，A 在α的另一侧，若A 、B 、C 到平面α的距离分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 间的关系为() A A ′ CαO C12a =b +c ；（B ）a =b +c ；（C ）2a =3(b +c )；（D ）3a =2(b +c )．（3）若斜线和平面所成的角为α，此斜线与此平面内任一直线所成的角为β，则（A ）α≤β；（B ）α=β；（C ）α≥β；（D ）α与β的大小关系不确定．（4）已知正△ABC 的边长为334，则到三个顶点的距离都为1的平面有 () 1个；（B ）3个；（C ）5个；（D ）7个．（5）若空间∠α的两边分别与∠β的两边互相垂直，则∠α与∠β的关系为 ( ) 相等；（B ）互补；（C ）相等或互补；（D ）不确定．答案：⑴D ⑵B ⑶A ⑷C ⑸D2.（1）P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影．若P 到△ABC 三边的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心．（2）已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 ．（3）已知直线a ∥b ，a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ．（4）AB ∥CD ，它们都在平面α内，且相距28．EF ∥α，且相距15．EF ∥AB ，且相距17．则EF 和CD 间的距离为 ．（5）已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC =6，∠BAC =90︒，AB 、AC 与平面α分别成30︒、45︒的角．则BC 到平面α的距离为 ．答案：⑴内 ，外 ，垂 ⑵33 ⑶b ∥α 或 b α ⑷25或39 ⑸6 3．如图，已知CD 是异面直线CA 、DB 的公垂线，CA ⊥α于A ，DB ⊥β于B ，α∩β=EF ．求证：CD ∥EF ． 证明：设CD 、CA 确定平面γ，γ∩α=AA 1．∵CA ⊥α于A ， ∴CA ⊥AA 1．又∵CA ⊥CD ，CA 、CD 、AA 1都在平面γ内， ∴CD ∥AA 1．设CD 、DB 确定平面δ，δ∩β=BB 1．同理有 CD ∥BB 1，∴BB 1∥CD ∥AA 1．∵AA 1 α，∴BB 1∥α． ∵BB 1 β，α∩β=EF ，∴EF ∥CD ．4．如图，已知AO 是四面体ABCD 的高，M 是AO 的中点，连结BM 、CM 、DM ．求证：BM 、CN 、DM 两两垂直．证明：设正四面体的棱长为a ．∵AO 是高,∴O 是正三角形BCD 的中心． 连结OD ,则OD =a a 332332=⨯．在Rt △AOD 中,AO =a 36,OM =a 66； 在Rt △MOD 中，DM =a 22．同理CM =a 22，∴CM 2+DM 2=CD 2． ∴CM ⊥DM ．同理BM ⊥CM ，DM ⊥BM ．∴BM 、CM 、DM 两两垂直． δ γ β α F E D C B A B 1 A 1 OM D C B A5．如图，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC ，G 是△PAB 的重心，E 是BC 上的一点，且BE =31BC ，F 是PB 上的一点，且PF =31PB ．求证：（1）GF ⊥平面PBC ；（2）FE ⊥BC ；（3）GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线． 证明：（1）连结BG 和PG ，并延长分别交PA 、AB 于M 和D ， 在△PBM 中，∵PF =31PB ，G 是△PAB 的重心，∴MG =31BM ， ∴GF ∥PM ．又PA ⊥PB ,PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC ，则GF ⊥平面PBC ．（2）在EC 上取一点Q 使CQ =31BC ，连结FQ ，又PF =31PB ， ∴FQ ∥PC ．∵PB =PC ，∴FB =FQ ．∵BE =31BC ，∴E 是BQ 的中点，∴FE ⊥BQ ，即FE ⊥BC ． （3）连结GE ．∵GF ⊥平面PBC ，∴由三垂线定理得GE ⊥BC 于E ．取BF 中点N ，连结EN ，则EN ∥FQ ∥P C ．∵PC ⊥平面PAB ，∴EN ⊥平面PAB ．连结NG ，那么NG 是EG 在平面PAB 上的射影．在Rt △PDB 中，∵NG ∥DB ，∴NG ⊥PD ，由三垂线定理得EG ⊥PD 于G ，∴GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．6．如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．解：（1）在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，连结QE ．∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ，∴QE 的 长是Q 到BD 的距离．在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =b ， ∴AE =22ba ab +．在Rt △QAE 中，QA =21PA =c ， ∴QE =2222222b a b a c AE QA ++=+． ∴Q 到BD 的距离为22222b a b ac ++． （2）∵平面BQD 经过线段PA 的中点，∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离．在△AQE 中，作AH ⊥QE 于E ．∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥平面AQE ．∴BD ⊥AH ，AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离．在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =22b a ab+，∴AH =222222a c c b b a abc ++．∴P 到平面BQD 的距离为222222a c c b b a abc++N MG F E D C B PA Q H E Q P D CB A七、板书设计（略）八、课后记：。
人教B版高中数学必修二空间中的垂直关系教案(3)
空间中的垂直关系教学目标：1、直线与平面垂直的概念2、直线与平面垂直的判定与性质教学重点：直线与平面垂直的判定与性质教学过程：（一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直（二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直（三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面（四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直（五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（六） 直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线（2）垂直于同一平面的两条直线平行（七） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个（八） 例子与练习例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，因为ΔACD 为等腰三角形,所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,所以CD ⊥AB .例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,即VC ⊥MD .又VN ⊥AB ,CD ⊥AB所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ， 所以VC ⊥平面AMB .例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线.(2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线.证明：（1）连OE 、OF ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，AB CD E A B C D VN M ABC EFO P由三垂线定理的逆定理知：OE⊥AB，OF⊥AC，由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO 所以AO是∠BAC的平分线.（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,垂足为E、F，因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，则PE＝PF.（以下同（1））。
高中数学《直线与平面垂直的判定 》公开课优秀教学设计
《直线与平面垂直的判定》公开课教案授课教师学校学科班级班上课课题直线与平面垂直的判定授课时间四教学三维目标知识目标：理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用.能力目标：通过对定义和判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯.教学重点操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程及初步应用. 教学难点操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程.教学过程一、联系生活，引入慨念引入生活实际中的例子，从直观感受生活中的线面垂直（世界第一高楼，广州塔）观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直二、揭示定义直线与平面垂直的定义：定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l的垂面。
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫垂足。
三、提出问题思考：得到线面垂直,直线最少垂直于平面内的几条直线？（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？（3）如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，此直线是否和平面垂直？四、实验探究请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线在平面α垂直。
五、引出结论线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，则该直线与此平面垂直。
教案直线与平面的垂直关系
教案直线与平面的垂直关系教案：直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是几何学中重要的概念之一。
它描述了直线与平面之间的相互关系，对于解决平面几何问题具有重要作用。
本教案将详细介绍直线与平面的垂直关系的定义、特征与性质，并通过实例演示其应用。
一、直线与平面的垂直关系的定义在几何学中，我们说直线与平面垂直，意味着直线与平面之间存在一种特殊的关系，满足以下条件：1. 直线上的任意一点与平面上的任意一点之间的连线都垂直于平面。
2. 直线与平面之间恰好只有一个交点。
二、直线与平面的垂直关系的特征与性质1. 垂直平分线性质：若一条直线与一个平面垂直，并且过该直线的平面相对于上述平面也是垂直的，则称该直线为垂直平分线。
直线的任意两点到平面的距离相等，并且直线上的任意一点到平面上的点的距离也相等。
2. 垂心性质：对于一个平面内，存在一个点，它与平面上的三个非共线点之间的连线都垂直于该平面。
这个点被称为垂心。
垂心与三个非共线点的连线构成的线段长度等于其他点与平面之间距离的平均值。
三、直线与平面的垂直关系的应用举例1. 针对垂直平分线性质的应用：在建筑设计中，我们经常需要将一个平面上的线段垂直平分，以确定建筑物的对称位置。
例如，对角线可以垂直平分一个正方形，从而确定正方形的中心位置。
2. 针对垂心性质的应用：在山地地形测量中，我们常常使用垂心性质来确定山峰的高度。
通过在山脚的三个位置选择三个非共线的点，然后测量这三个点与山顶之间的直线距离，我们可以计算出山峰的高度。
四、总结直线与平面的垂直关系是几何学中重要的概念，具有广泛的应用领域。
在教学中，我们应该深入理解直线与平面的垂直关系的定义、特征与性质，并通过实例演示其应用，以帮助学生更好地掌握这一概念。
通过合理的教学方法和丰富的实例教学，能够提高学生对直线与平面垂直关系的理解和应用能力，为他们解决几何问题提供有力的工具。
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3.重难点及突破策略
重难点：
1.运用转化、正难则反、特殊到一般、类比等数学思想方法来研究直线与平面、平面与 平面垂直的性质，提高学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
通过本节课的学习研究， 可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生观
察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、正难则反、类比、归纳、转化等数学思 想方法•因此，学习这部分知识有着非常重要的意义.
【教学目标设置】
1.学生通过对生活视频、实验操作的观察、直观感知、发现、猜想、归纳直线与平面垂 直的性质、平面与平面垂直的性质定理．
理］
以上结构图反应出了直线与平面垂直的性质、
平面与平面垂直的性质在本节中的位置
学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质
了性质定理，为本节课提供了研究方法上的范式.线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是
空间垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都借助垂直来构建，在空间几何中起
着承上启下的作用.
【学生学情分析】
1.学生已有的认知基础 学生能够感知生活中有大量的线面、面面垂直关系，已经掌握了线线、线面、面面平 行的判定和性质以及线面、 面面垂直的判定的相关知识， 从而具备了研究空间位置关系的经 验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法.
2.达成目标所需要的认知基础
要达成本节课的目标， 这些已有的知识和经验基础不可或缺， 还需要整体上把握本节课 的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地观察发现、直观 感知、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好 的数学学习习惯.
课 题：
【教学内容解析】
本节课是湘教版教材必修3中第六章第二节的内容，属于新授性质原理课
平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质的形成是教学重点
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
直线与平 面平行
直线在
平面内
平面与平 面平行
直线与平面 相交
平面与平面 相交
线
线1
面
面1
垂
斜
直
交
判
性
疋
疋
1质1
义
疋
疋
（理
2.在性质的探究活动中，学生通过独立思考与合作交流， 直观感知、发展类比、归纳等 培养学生合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．
3.学生运用特殊化、 类比、 正难则反、转化等数学思想， 体验了研究空间位置关系的一 般方法.
4.在探究线面垂直的性质、 面面垂直的性质的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体 验探究发现的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯.
【教学策略分析】
根据学生已有学习基础，为情境，学生动手操作，形成关于线面、面面垂直的性质定理的直观感知•
2.教师启发引导，学生明确按照“直观感知=操作确认=推理论证”的研究程序，强
化空间位置关系的常用研究策略一一降维化归（空间问题平面化）
3.教师以问题串为载体，驱动学生主动参与知识建构、合作探究
4.教师分层设计知识应用，引导反思，学生深化理解，形成知识体系
教学流程示意
教学过程（表格描述）
2.探究实验、归纳猜想、推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空 间向平面”、“平行与垂直”、“线面与面面”的转化.
突破策略：
1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段.
2.引导学生经过“直观感知 =操作确认=推理论证”的学习过程形成线面垂直、面面
垂直的性质定理
3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发