第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案教师版

1.2.3空间中的垂直关系(一)

【学习要求】

1．理解直线与平面垂直的定义．

2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理．

3．会应用两定理解决问题．

【学法指导】

借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.

填一填：知识要点、记下疑难点

1．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线得垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

3．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．4．线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 .

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]

生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题．

探究点一直线与平面垂直的定义

问题1你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？

答：旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象．

问题2在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能举例说明吗？

答：不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，它们同样是互相垂直．

小结：空间两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．

问题3在平面中，到线段AB两端距离相等点的集合是线段的垂直平分线，在空间中，线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？

答：容易发现，空间中线段AB的垂直平分线有无数多条，它们构成的集合是一个平面．

问题4结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义．

(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随

着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？

答：垂直关系，所成的角度不变，都为90°.

(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是

什么？由此得到什么结论？

答：垂直关系，依据是空间两直线垂直的定义．

得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．

问题5通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

答：直线与平面垂直的定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

问题6如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？

答：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.

问题7若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？

答：不一定垂直，有可能平行或者相交．

探究点二直线与平面垂直的判定定理

问题1通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂

直是否方便？为什么？

答：不方便，因为要验证直线垂直平面内所有的直线，这实际上是很困难的．

问题2请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？

答： 从实验可知：当AD 与BC 不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面不垂直；

当AD 与BC 垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面垂直．

问题3 由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD.由此你能得到什么结论？

答：若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交，则该直线垂直这个平面．

问题4 如图，把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ，把桌面抽象为平面α，l 与α垂直的条件是什么？ 答：条件是l 与平面α内的两条相交直线m ，n 垂直且相交．

问题5 如图，若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，我们可以把直线l 平移到交点处，由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？

答：线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与

这个平面垂直．

问题6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？

答： ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm∩n ＝P l ⊥m l ⊥n

⇒l ⊥α即：线线垂直⇒线面垂直． 例1 已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.

证明 在平面α内作两条相交直线m ，n.因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a ⊥m ，a ⊥n.

又因为b ∥a ，所以b ⊥m ，b ⊥n.

又因为m ⊂α，n ⊂α，m ，n 是两条相交直线，所以b ⊥α.

小结：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

跟踪训练1 已知：直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，垂足分别为A 、B ，如图，求证：l ∥m.

证明：假设直线m 不与直线l 平行，过直线m 与平面α的交点B ，作直线m′∥l ，

由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α，设m 和m′确定的平面为β，α与β的交线为a ，

因为直线m 和m′都垂直于平面α. 所以直线m 和m′都垂直于交线a.

因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条，

所以直线m 和m′必重合，即l ∥m.

小结：推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．

求证：过点P 与平面α垂直的直线只有一条．

证明：不论点P 在α外或内，设PA ⊥α，垂足为A(或P)．

如果过点P ，除直线PA ⊥α外，还有一条直线PB ⊥α，

设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有

两条直线PA ，PB 垂直于交线a ，这是不可能的．

所以过点P 与α垂直的直线只有一条．

小结：如果直接证明比较难或感觉无从下手，可以假设结论不成立，

然后设出成立的结论，由此推理得出矛盾，从而说明原结论成立．

跟踪训练2 已知：直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥l. 求证：AP 在平面α内．

证明：设AP 与l 确定的平面为β，假设AP 不在平面α内，则设平面β与平面α交

于直线AM ，如下图所示：因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM ，又因为AP ⊥l ，

所以在平面β内过一点A 存在两条直线垂直于l ，

这是不可能的，所以AP 在平面α内．

例3 有一根旗杆高8 m(如图)，在它的顶点处系两条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它

们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距 6

m ，那么旗杆就与地面垂直，为什么？

解：如题图，旗杆PO ＝8，两绳子长PA ＝PB ＝10，OA ＝OB ＝6，A ，O ，B 三点不共线，因此A ，O ，B 三点确定平面α，因为PO 2＋AO 2＝PA 2，PO 2＋BO 2＝PB 2，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，又OA∩OB ＝O.

所以OP ⊥α，因此旗杆与地面垂直．

小结：证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理，寻找满足定理的条件，当条件满足了，也就证明了线面垂直；线面垂直的定义说明了直线垂直平面，则直线垂直这个平面内的任意直线，常用此性质证，线面垂直线线垂直．