相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在

C

.

.

点的异侧作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．

8.在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么D 点的坐标为（）

A.

B.

C.

D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x ＋2与坐标轴交于A 、B 两点．以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD ，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C 、D 两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A 、X 字型

11.如图：△ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC ，BC 边上的中线AE 交CD 于F 。 求证：

12.四边形ABCD 中，AC 为AB 、AD 的比例中项，且AC 平分∠DAB 。

求证：

13.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝b ，CD ＝a ，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某同学在研究这一问题时，发现

如下事实： (1)当

时，

EF=；(2)当时，EF=

；

(3)

当

时，EF=．当时，参照上述

研究结论，请你猜想用a 、b 和

k

表示

EF

的一般结论，

并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于

该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB 于点E、F．求证：．

17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。

求证：．

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

求证：．

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a ．求证：．

.

.

五、相似之共线线段的比例问题 20.（1）如图1，点

在平行四边形ABCD 的对角线BD

上，一直线过点P 分别交BA ，BC 的延长线于点Q ，S

，交

于点

．求证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD 的对角线

或

的延长线上时，

是否仍然成立？

若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅

以图2为例进行证明或说明）；

21.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2

＝PE ·PF ．

22.如图，已知ΔABC 中，AD ，BF 分别为BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，

交AC 延长线于H 。求证： DE 2

=EG •EH

23.已知如图，P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、

H.