C类运筹学 第5章 图与网络

6.2 树图与最小生成树
• 一般研究无向图 • 树图：倒臵的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 • 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分 类学、组织结构等都是典型的树图
C1
根
C2 C3
C4
叶
6.2.1 树的定义及其性质
• 任两点之间有且只有一条路径的图称为树(tree)，记为T 树的性质： • 最少边的连通子图，树中必不存在回路 • 任何树必存在次数为 1 的点 • 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有 n 个节点， n1 条边的连通图必是一棵树 6.2.2 图的生成树 • 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的 子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部分指定节 点的树称为 steiner tree • 每个节点有唯一标号的图称为标记图，标记图的生成树 称为标记树(labeled tree) Caylay 定理：n (2)个节点，有nn2个不同的标记树
• 如果只求 vs 到 vt 的最短路，则当 vt 得到永久标记算法就结束了； 但算法复杂度是一样的
• 应用 Dijkstra 算法 n1 次 ，可以求所有点间的最短路
Warshall-Floyd算法 (1962)
• Warshall-Floyd算法可以解决有负权值边(弧)的最短路问题 • 该算法是一种整体算法，一次求出所有点间的最短路 • 该算法不允许有负权值回路，但可以发现负权值回路 • 该算法基于基本的三角运算 定义：对给定的点间初始距离矩阵{dij}，令dii=，对所有 i。对一 个 固定点 j，运算 dik=min{dik, dij+djk}, 对所有 i, k j , 称为 三角运算。 (注意，这里允许 i=k) 定理：依次对 j=1,2,…,n 执行三角运算，则 dik 最终等于 i 到 k 间 最短路的长度。
例狄克斯特拉算法
10 11
2 10
0 s
1 8 9 3 4
12 15
5 20 2 2 30
t 31
15 8 4 8
7
6
13 15
Dijkstra算法的特点和适应范围
• 一种隐阶段的动态规划方法 • 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的 临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标 记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 • 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有 n1 次迭代 • 可以应用于简单有向图和混合图，在临时标记时，所谓相邻必须是 箭头指向的节点；若第 n1 次迭代后仍有节点的标记为 ，则表明 vs 到该节点无有向路径
6.2.3 最小生成树
• 最小生成树不一定唯一 • 定理 3 推论是一个构造性定理，它指示了找最小生成树 的有效算法 • Prim 算法：不需要对边权排序，即可以直接在网路图上 操作，也可以在边权矩阵上操作，后者适合计算机运算 边权矩阵上的 Prim 算法： 1、根据网路写出边权矩阵，两点间若没有边，则用表示； 2、从 v1 开始标记，在第一行打 ，划去第一列；
3、从所有打 的行中找出尚未划掉的最小元素，对该元素 画圈，划掉该元素所在列，与该列数对应的行打 ；
4、若所有列都划掉，则已找到最小生成树(所有画圈元素所 对应的边)；否则，返回第 3 步。 • 该算法中，打 行对应的节点在 V1中，未划去的列在 V2
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称 为欧拉回路 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 • 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径， 则称为连通图(connected graph)，否则为非连 通图( disconnected graph)；非连通图中的每 个连通子图称为成分 (component) • 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图
e22
v1 e'13 v3 e13
e12
v2 e24 v5
• 图 (Graph) – 节点和边的集合，
– 一般用 G(V,E) 表示
e34 图 6.1
e45 v4
– 点集 V={v1,v2,…, vn}
– 边集E={eij}
无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图，如图6.1 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序 是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
6.1 图与网路的基本概念
6.1.1图与网路 • 节点 (Vertex) – 物理实体、事物、 概念 – 一般用 vi 表示 • 边 (Edge) – 节点间的连线，表 示有关系 – 一般用 eij 表示
• 网络 (Network)
– 边上具有表示连接 强度的权值，如 wij – 又称加权图 (Weighted graph)
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点
端点，关联边，相邻，次
• 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共 同端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点 的图称为偶图(even graph)
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7 查伴随矩阵 E 的第一行 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 2 0 2 5 5
小结
• 最短路有广泛的应用(6.3.4节 市话局扩容方案) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向 图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
• 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为 d+，指向 该节点的弧的数目称为负次数，记为 d–
• 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的点称为悬 挂点(pendant vertex)
定理 1：图中奇点的个数总是偶数个
链，圈，路径，回路，欧拉回路
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称为行走 (walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 • 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在有向图中， 节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径 (directed path) • 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
dij i
j dik
djk k
Floyd-Warshall 算法 (1962 all eij=0; for j=1 to n do for i=1 to n do if ij then for k=1 to n do if kj then begin dik=min{dik, dij+djk}; if dik>dij+djk then eik=j end; • 若网路中存在负回路，则 计算中，某些 dii 会小于0， 此时应中断算法 • 显然，Floyd 算法要进行 n(n-1)2 次加法和比较 • 如何回溯找出任两点之间 的最短路？ • 在Floyd 算法中设一拌随 矩阵E={eik}， eik 记录了 i 到 k 最短路中最后一个中 间节点



12 7 19.5


10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 11 7 8 7 10 8 9 17 19.5 12 7 9
• • • • •
Prim算法是多项式算法 Prim算法可以求最大生成树 网路的边权可以有多种解释，如效率 次数受限的最小生成树—尚无有效算法 最小 Steiner 树—尚无有效算法
6.3.4 最短路应用举例——市话 扩容 (实装率=0.8)
年 号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 预测数 1.6 1.8 2.0 2.2 2.5 2.8 3.1 3.5 3.9 9 10 11 4.4 4.9 5.5 12 6.2
通过一个网络的最短路径
• 最短路径问题: 假如产品的生产地和 销售地之间有多条路径组 成的网络连接,要求从产 地到销地的最短路径. 一个网络通常由若干 个节点(城镇),连接节点 的边(公路)或弧(单行道) 组成,边或弧旁的数字代 表距离.
狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959) • 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路 令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间 没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边，则 dji= ； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 0、令始点Ts=0，并用• 框住，所有其它节点标记 Tj= ； 1、从 vs 出发，对其相邻节点 vj1 进行临时标记，有 Tj1=ds,j1 ； 2、在所有临时标记中找出最小者，并用• 框住，设其为 vr 。 若此时全部节点都永久标记，算法结束；否则到下一步； 3、从新的永久标记节点 vr 出发，对其相邻的临时标记节点 进行再标记，设 vj2 为其相邻节点，则 Tj2=min{Tj2, Tr+dr,j2 }，返回第2步。